aula cálculo

An´ atica II 1a Aula Pr´alise Matem´ atica 2o Semestre 2004/2005

1a Aula Pratica

c˜Observa¸oes: Recorde que “P cos x = sen x” significa “uma primitiva de cos e . . . ”, e que so-c˜mando uma constante qualquer se obtem outra primitiva. A no¸ao de primitiva e as suas

propriedades elementares a usar nesta aula podem ser revistas observando os seguintesexemplos:

P cos x = sen x porque D sen x = cos x

P 2 cos x = 2 sen x porque . . .xP(cos x + ex) = sen x + e porque “a derivada da soma e . . . ”

1P cos 3x = sen 3x porque D sen 3x = . . .

3·

2P 2x cos x2 = sen x porque . . .

1) Determine uma primitiva da fun¸ao definida (em algum intervalo apropriado) pela ex-c˜pressao:

a) x5

b) x +√

x

3 x√

xc) +√

x 4( )21 1

d)2

+x√

xx

1e)

2cos xf) 2x

1g) √

4 − x2

1h)

5 + x2

i) ex+3

j) (x2 + 1)3

k) 2x−1

1l)

5√

1 − 2x

m) tg2 x

2) Determine uma primitiva da fun¸ao:c˜

a) sen 2x

b) e5x

c) x sen x2

xd)

1 + x2

e) tg x

1/2


f) cotg x

1g)

sen2 3x1

h)3x − 7

i) tg 2x

j) cotg(5x − 7)

k) tg x sec2 x

c˜Obs. Note que a ideia da resolu¸ao e a mesma ideia que permitiu resolver 2.c) e ate2.b), 2.a), etc. Observe a regra geral:

Se P f(x) = F (x)entao P u′f(u) = F (u)

l) cos3x sen x

m) x√

x2 + 1cos x

n)sen2 x

xeo)

ex2 +3x

p)

q) sh(2x + 1) ch(2x + 1)

x8 + 1

2r) 3sen x sen 2x

tg√

xs) √

xxe

t)2x

√1 − e

u) tg3 x

2/2


2a Aula Pratica


a) 3ex +√

x( )21 4

b)3

+x√

xx

1c) cotg(2x)

4

d) xe−x2

cos(log x)e)

xf) x sh x2

2) Determine primitivas das seguintes fun¸oes:c˜

1a)

x − 53

b)(x + 2)2

1c)

x2 + 4x

d)x2 + 4

1e)

x2 + x + 1x

f)x2 + x + 1

c˜3) Determine primitivas das seguintes fun¸oes:

a) sen2 x

b) cos2 x

c) cotg2 x

d) sec x

e) cosec x

f) sen3 x

g) cos3 x sen2 x

4) Determine primitivas das seguintes fun¸oes:c˜

xa) xe

b) log xxc) e sen x

d) x2 sen x

e) arctg x

f) cos(log x)

1/1


3a Aula Pratica


1a)

2x − 13x + 1

b)x3 − x

4xc)

1 − xx + 1

d)x(x − 2)2

1e)

(x + 1)(x2 + 1)

x + 1f)

x5 + 4x3

1g)

x4 − x3 − x + 11

h)(x2 + 1)2

1i)

x4 + 1

1/1

∫

∫

∫∫

∫


4a Aula Pratica

1) Calcule os seguintes integrais:∫ 3 xa)

2dx

x − 252∫ 4 3xb) dx

2 x − 12e

c) x log x dxe

2) Considere a fun¸ao F : R+

R definida pela identidade:c˜ →t2+1x

teF (x) = dt

t1

a) Mostre que F ( 1 ) = −F (x), para todo x ∈ R+.

x

b) Mostre que F e diferenciavel em R+ e calcule F ′(x) para todo x ∈ R

+.

3) Sendo F a fun¸ao definida em R pela seguinte express˜c˜ ao, calcule F ′(x) para todo x ∈ R.∫ 0

a) F (x) = sen2 t dtx

b) F (x) = log(1 + t

2x2) dt

x

x x+tec) F (x) = dt

t2 + 10

c˜ c˜4) Dada uma fun¸ao contınua ϕ : R R, mostre que a fun¸ao f : R R definida pela→ →expressao

x

f(x) = (x − t)ϕ(t) dt0

e duas vezes diferenciavel em R.

x5) Calcule todas as primitivas da fun¸ao definida por e em R \ {0}.c˜

6) Calcule uma primitiva de:

sen xa)

(1 − cos x)3(Recorra ` c˜a substitui¸ao cos x = t.)

1b)

sen x(1 − cos x)3

7) Mostre que existe uma (e uma s´ c˜ c˜o) fun¸ao f : R R que verifica as seguintes condi¸oes:→⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

xef ′′(x) =

(ex + 1)2para todo x ∈ R

f(0) = 0

f(1) = 1

1/2

∫


8) Calcule os seguintes integrais:∫ 8 dxa)

x√

x + 11∫ 1√

4 − 2xao: substitui¸ao x = 1/t)b)

4dx (Sugest˜ c˜

1/2 x∫ 1/2

c)1/4

dx√x − x

(x = sen2 t)2

3x∫ 2 e2x + 2ed) dx

1 1 − ex

π/2 sen xe) dx (cotg x = t)

π/4 sen x + cos x

2/2

{

{


5a Aula Pratica

1) Determine a ´ ao compreendida entre o eixo dos xx e o gr´ cãrea da regi˜ afico da fun¸ao

f(x) = (x + 2)−2 , x ∈ [0, 2] .

2) Determine a area delimitada pelas curvas

y = x , y = sen x , x = π/2 .

area do conjunto de todos os pontos (x, y) que verificam as condi¸oes:3) Determine a ´ c˜

2 2x + y ≤ 10

x + y| | | | ≥ 4

4) Calcule a ´ ao plana delimitada pelas linhas dearea e o comprimento do bordo da regi˜c˜equa¸oes y = x + 1 e y = (x − 1)2.

5) Calcule a ´ ao delimitada pelo grárea da regi˜ afico de y = log x e pela recta que o intersectanos pontos de abcissa 1 e e. Calcule o comprimento da linha que delimita esta regiao.

area da regi˜ aficos das fun¸oes f e g definidas em R por:6) Calcule a ´ ao delimitada pelos gr´ c˜

2f(x) = 3x3 − x − 10x

g(x) = −x2 + 2x

area da regi˜ c˜7) Calcule a ´ ao delimitada pelas curvas de equa¸ao x = 3 − y2 e x = y + 1.

8) Considere a fun¸ao f : R R definida por:c˜ →

f(x) =cos x (x ≤ 0)

ex (x > 0)

a) Determine todas as primitivas de f em R.

b) Determine todas as primitivas de f em R \ {0}.c) Determine a primitiva F de f em R \ {0} tal que F (1) = F (−π) = 0.

3 + cos x x9) Calcule uma primitiva de , recorrendo ` cã substitui¸ao tg = t.

1 + sen x 2

2x

10) Calcule uma primitiva de .4x − 1

1/1

( (

√

∫

√

√


6a Aula Pratica

c˜ ao1) Calcule o volume do elipsoide gerado pela rota¸ao, em torno da recta y = 0, da regi˜do plano delimitada pela elipse de equa¸aoc˜

)2 )2x

a+

y

b= 1 ,

onde a e b sao maiores que zero.

olido gerado pela rota¸ao, em torno do eixo indicado, da regi˜2) Calcule o volume do s´ c˜ ao doplano delimitada pelas curvas dadas.

a) y = x2 , y = 4 , x = 0 (so no primeiro quadrante); eixo dos yy

b) y = 1/x , y = 0 , x = 0, 1 , x = 1; eixo dos xx2c) y = x2 , x = y ; eixo dos xx

c˜3) Considere a fun¸ao g : D → R definida por g(x, y) = ( 1 − x2 − y2)−1 no domınio Ddesta expressao.

a) Determine o domınio D e represente-o geometricamente. Diga se e um conjuntolimitado, e justifique.

b) Verifique se a fun¸ao g e limitada.c˜

c) Identifique as linhas de nıvel da fun¸ao g e represente-as graficamente. Calcule oc˜contradomınio de g.

d) Mostre que o conjunto D e aberto.∂ge) Determine ∂g e∂y

para (x, y) ∈ D.∂x

4) Calcule as derivadas parciais, para cada ponto (x, y) ∈ R2, da fun¸ao g definida porc˜

g(x, y) =1

2x y

e−t2 dt .

5) Calcule as derivadas parciais, nos pontos em que existam, da fun¸ao f : R2

R definidac˜ →por:

a) ⎧⎨f(x, y) = x⎩

x + yse (x, y) = (0, 0)

2 + y2�

0 se (x, y) = (0, 0)

b)

f(x, y) =

⎧⎨⎩

2x 3x2 + yse (x, y) = (0, 0)

x2 + y2�

0 se (x, y) = (0, 0)

1/1

{ }

{ }


7a Aula Pratica

1) Considere a fun¸ao g : D → R definida por g(x, y) = log y − x no domınio D destac˜ | 2|expressao.

a) Determine o domınio D e represente-o geometricamente. Diga se e um conjuntolimitado, e justifique.

b) Verifique se a fun¸ao g e limitada.c˜

c) Identifique as linhas de nıvel da fun¸ao g e represente-as graficamente. Calcule oc˜contradomınio de g.

d) Mostre que o conjunto D e aberto.∂ge) Determine ∂g e∂y

para (x, y) ∈ D.∂x

2) Considere a fun¸ao f definida porc˜

1f(x, y) =

2 − y2x

no conjunto D em que a expressao do 2o membro faz sentido.

a) Determine e represente graficamente o domınio de f .

b) Determine as linhas de nıvel de f e esboce-as graficamente.

c) Determine o contradomınio de f .∂fd) Determine ∂f e∂y

no ponto (1, 0).∂x

3) Considere o subconjunto de R2 definido por:

D = (x, y) : xy > 1

a) Represente-o graficamente e diga se e aberto, fechado ou limitado. Identifique a suafronteira.

b) De um exemplo de uma sucess˜ aoao de termos em D que convirja para um ponto n˜pertencente a D.

4) Considere a fun¸ao f : D R definida por:c˜ →D = (x, y) : xy > 0

f(x, y) = x log(xy)

a) Interprete geometricamente o domınio D e determine o seu interior, exterior e fron-teira. Diga se D e aberto, fechado, limitado. (Justifique a resposta.)

c˜b) A fun¸ao f e contınua no seu domınio? Justifique a resposta.

c) Mostre que para qualquer semi-recta S com origem no ponto (0, 0) e contida em D olimite

lim f(x, y)(x,y)→(0,0)

(x,y)∈S

existe e nao depende de S.

1/2

{ }

√


e−1/x2d) Sendo E = (x, y) ∈ R

2 : y = , calcule, se existir, o limite:

lim f(x, y)(x,y)→(0,0)

(x,y)∈E

e) Existe lim(x,y)→(0,0) f(x, y)? Justifique a resposta.

1 + (x − 1)(x − 2)5) Calcule uma primitiva de .

x

2/2

√

√√ �


8a Aula Pratica

1) Considere a funcao f : D → R definida por

1f(x, y) = √

xy − 1,

onde D = {(x, y) : xy > 1).

a) Interprete geometricamente o domınio.

b) Justifique que f e contınua em D.

c) Existe algum ponto fronteiro a D ao qual f seja prolongavel por continuidade?

d) Indique o contradomınio de f .

a continuidade a fun¸ao f : R2

R definida por:2) Estude quanto ` c˜ →

f(x, y) =

⎧⎪⎨⎪⎩

2x se x2 + y2 < 2y22 + y = 2yx|

2

| se x2 + y2 > 2yy se x

c˜3) Seja f : R2 \ {(0, 0)} → R a fun¸ao dada por:

2 2

f(x, y) = 1 +x − y

2x2 + y

Calcule, se existir, o limite lim(x,y)→(0,0) f(x, y).

4) Repita o exercıcio anterior, com a funcao

f(x, y) = 1 + xy · x2 − y2

x2 + y2.

5) Considere a funcao f : R2 → R dada por:

⎧⎨ x + yse (x, y) = (0, 0)

2 + y2�

f(x, y) = x⎩0 se (x, y) = (0, 0)

Estude a fun¸ao f quanto `c˜ a continuidade.

6) Considere a fun¸ao f : R2

R dada por:c˜ → ⎧⎪⎨ 23x2 + yxse (x, y) = (0, 0)

f(x, y) = x

0

22 + y⎪⎩ se (x, y) = (0, 0)

Estude a fun¸ao f quanto `c˜ a continuidade.

1/2


7) Verifique se a fun¸ao f : R2 \ {(0, 0)} → R definida pela express˜c˜ ao

2xyf(x, y) =

4x2 + y

e prolongavel por continuidade ao ponto (0, 0).

8) Calcule (ou mostre que nao existe) cada um dos seguintes limites:

a) limsen x − sen y

(x,y)→(0,0) x − 2y2y

b) lim (z + 1) sen 3x(x,y,z)→(0,1,1) x

2/2

( )

( )

( )

{√


9a Aula Pratica

c˜Notacao: fv′(u) e a derivada da fun¸ao f no ponto u, segundo o vector v.

Quanto ` c˜ avel em (a, b)” e equivalente a:a defini¸ao de diferenciabilidade: “f e diferenci´

r1(x, y)lim = 0

(x,y)→(a,b) ‖(x, y) − (a, b)‖

com r1(x, y) = f(x, y) − f(a, b) + α(x − a) + β(y − b) ,

∂f ∂fonde α = (a, b) e β = (a, b).

∂x ∂y

1) Calcule, se existirem, os seguintes limites:

sen(x + y)a) lim

(x,y)→(0,0) x + y1

2b) lim e−

x2+y2+z

(x,y,z)→(0,0,0)

2x − 2x − y2 + 4y − 3c) lim 1 +

(x,y)→(1,2) (x − 1)2 + (y − 2)2

2) Considere a fun¸ao f : D R2 definida pela express˜c˜ ao→

x2f(x, y) = log(4 − x2 − y ),x2 + y2

2no domınio D = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x + y2 < 4}.

a) Represente geometricamente o conjunto D, e diga se e aberto, fechado ou limitado.

ao e prolong´b) Mostre que f n˜ avel por continuidade a nenhum ponto fronteiro a D.


R dada por:c˜ →⎧ 2x⎨(x2 + y2) senx2 + y2

se (x, y) �= (0, 0)f(x, y) = ⎩

0 se (x, y) = (0, 0)

a) Mostre que f e contınua em R2.

b) Calcule as derivadas parciais na origem.

c˜4) Seja f : R2

R a fun¸ao definida por:→

x2 + y2 se x + y > 0f(x, y) =

x + y se x + y ≤ 0

a) Calcule, caso existam, as derivadas parciais de f no ponto (0, 0).

b) Determine, se existirem, as derivadas de f segundo o vector (1, 1) nos pontos (1, 1) e(1,−1).

1/2



R definida porc˜ →

f(x, y) = x sen y .

c˜ avel no ponto (1,0), recorrendo ` c˜Verifique se a fun¸ao e diferenci´ a defini¸ao de diferenci-abilidade.

6) Estude a fun¸ao f definida em R3 \ {(0, 0, 0)} pela express˜c˜ ao

+y2+z2)f(x, y, z) = e−1/(x2

quanto a diferenciabilidade, e calcule as suas derivadas parciais.

2/2

{

( )

( √ )

′


10a Aula Pratica

Notacao: Matriz jacobiana de f no ponto u: (J f)(u) ou (J f)u.

1) Seja g a fun¸ao definida em R2 por:c˜

x + y se xy > 0g(x, y) =

0 se xy ≤ 0

a) Calcule ∂g∂y

(0, 0).∂x

(0, 0) e ∂g

b) Calcule g(1,1)(0, 0). Que pode concluir quanto `′ a diferenciabilidade de g no ponto

(0, 0)?

2) Seja f a fun¸ao definida em R2 por:c˜

g(x, y) =

⎧⎨⎩

3xse (x, y) = (0, 0)

x2 + y2�

0 se (x, y) = (0, 0)

a) Mostre que f e contınua em todo o seu domınio.

b) Estude f quanto a diferenciabilidade no ponto (0, 0).

3) Prove que a fun¸ao f : R2

R definida porc˜ →

f(x, y) =

⎧⎨⎩

1xy sen se (x, y) = (0, 0)

x2 + y2�

0 se (x, y) = (0, 0)

e diferenci´ ao s˜avel. Mostre que as derivadas parciais n˜ ao contınuas na origem.

c˜4) Seja F : D R2 a fun¸ao definida por→

xyF (x, y) =

1 − x2

y2 − x,

x− y2,

no domınio de existencia desta expressao.

a) Represente geometricamente o domınio D.

b) Determine o domınio de diferenciabilidade de F .

c) Calcule F(1,1)(1, 2).

5) Considere a fun¸ao g : R3

R3 definida por:c˜ →

g1(u, v, w) = eu cos v cos w

g2(u, v, w) = eu cos v sen w

g3(u, v, w) = eu sen v

a) Determine o domınio de diferenciabilidade de g e defina a derivada g′(0, 0, 0).

1/2


b) Sendo f uma fun¸ao de R3 em R

2, diferenci´c˜ avel no ponto (1, 0, 0), mostre que f ◦ ge diferenciavel em (0, 0, 0) e determine (f ◦ g)′(0, 0, 0), sabendo que:

∂f(1, 0, 0) = (1, 2)

∂x∂f

(1, 0, 0) = (−1, 0)∂y∂f

(1, 0, 0) = (−1, 3)∂z

2/2

′


11a Aula Pratica

c˜ afico da fun¸ao f(x, y) = 3x2−y no ponto1) Determine a equa¸ao do plano tangente ao gr´ c˜ 2

correspondente a (5, 2). Determine as equa¸oes da recta normal a esse plano no mesmoc˜ponto.

c˜ a curva de equa¸ao x+y−log xy = e2) Determine as equa¸oes das rectas tangente e normal ` cño ponto (x, y) = (1, e).

3) Determine a equa¸ao do plano que e tangente ao parabol´ c˜ 2c˜ oide de equa¸ao z = 2x2 + 3yc˜e que e paralelo ao plano de equa¸ao 4x − 6y − z = 10.

4) Para cada um dos seguintes casos, determine a equa¸ao do plano tangente ao grć˜ afico dafun¸ao f no ponto correspondente ao ponto P do domınio de f . Sendo p o polinć˜ omiocujo grafico e esse plano, compare o erro que se comete ao aproximar f(Q) por p(Q) coma distancia entre P e Q.

1a) f(x, y) = √ , P = (4, 3), Q = (3.92, 3.01)

2x2 + y0.3b) f(x, y) = x0.5y , P = (1, 1), Q = (1.05, 0.97)

c) f(x, y) = x sen x, P = (0, 0), Q = (0.003, 0, 004)

d) f(x, y) = log(xy), P = (1, 2), Q = (1.01, 2.02)

5) Sejam ϕ : R3

R2 uma fun¸ao diferenci´ c˜c˜ avel em R

3 e ψ : R2

R a fun¸ao definida por→ →ψ(u, v) = arctg(u2 + v) .

Calcule (ψ ϕ) (0, 0, 0), sabendo que ϕ(0, 0, 0) = (1, 2) e que as coordenadas da derivada◦ao as fun¸oes dadas por:de ϕ no ponto (0, 0, 0) s˜ c˜

L1(x, y, z) = 2x + 3y + z

L2(x,y, z) = x − y + z

6) Considere a fun¸ao f definida porc˜

z(x − y)2

f(x, y, z) =2(x − y)4 + z

no domınio de existencia desta expressao.

a) Determine todos os limites (na origem) segundo rectas.

b) Mostre que a fun¸ao n˜c˜ ao tem limite na origem.

7) Considere a fun¸ao F : R3

R definida porc˜ →2 2 2F (x, y, z) = G(x2 − y , y − z ) ,

onde G e uma fun¸ao real diferencić˜ avel em R2.

Indique em que pontos F e diferenciavel e mostre que

yzF ′( )x, y, zz′( ) + xyFx, y, zy

′( ) + xzFx, y, zx = 0

para qualquer (x, y, z) ∈ R3.

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