Aula 01 - Conjuntos, operaes, intervalos e desigualdades.

N, Z, Q, I , R

Definio de conjuntosTrata-se de uma noo primitiva, sem definio prpria, podendo o conjunto ser considerado qualquer coleo de objetos ou entidades. Os objetos que compem a coleo so os elementos do conjunto. Os conjuntos normalmente so representados por letras maisculas enquanto seus elementos so representados por letras minsculas.

Relao de pertinnciax Para indicarmos que um objeto x x elemento do conjunto A , escrevemos x A x x A (l-se: pertence a ). x x x x x for x A Se o objeto no A elemento do conjunto A , escrevemos (l-se: no pertence a ).

Representao:1 EnumeraoQuando escrevemos entre chaves, e separados por vrgula, os seus elementos formadores do conjunto. Exemplos: A = { a, b, c} a) B = { 1, 2,3, 4,5} b) C = { 2,3,5,7,11,K } c)

Representao: 2 CompreensoQuando escrevemos, entre chaves, uma caracterstica comum a todos os elementos formadores do conjunto. Exemplos: A = { x / x divisor inteiro de 6} a) A = { 6, 3, 2, 1,1, 2,3,6} B = { x / x vogal}

b) B = { a, e, i, o, u}

Conjunto unitrio o conjunto que possui apenas um elemento. Exemplos: A = { x / x par e compreendido entre 9 e 11} a) A = { 10} B = { x / x o satlite natural da terra} B = { Lua}

b)

Conjunto vazio o conjunto que no possui elementos e denota-se { } ou . Exemplos: A = { x / x = 9 par} = a) B = { x / x mpar e mltiplo de 2} =

b)

Subconjuntos-Relao de inclusoSe todo elemento de um conjunto um elemento de um conjunto tambm for A

B , ento dizemos que um subconjunto de . A B Para indicarmos que um subconjunto de , escrevemos: A B (l-se est contido em ); B A A B (l-se contm ); A B parte de . B A B A

Observaes importantesTodo conjunto subconjunto dele mesmo ( ). A A subconjunto de qualquer conjunto A ( ).

O total de subconjuntos que podemos n A formar a partir de um conjunto com 2n elementos dado por , e denota-se por # A # A = 2n ( ).

Observaes importantese A B B A A.= B A subconjunto prprio de A B A B se, e .

se,B somente e

Denominamos o conjunto das partes de um P ( A) A conjunto o conjunto formado por todos A os subconjuntos de . Exemplo: Seja

A = { 1,2,3}Ento: .

P ( A) = { ,{ 1} ,{ 2} ,{ 3} ,{ 1,2} ,{ 1,3} ,{ 2,3} ,{ 1,2,3} }

Unio de conjuntosO conjunto P a unio dos conjuntos A A e , se todos os elementos de B , e B e apenas estes, estiverem presentes em .P P = A B = { x / x A ou x B} A B A B A B

A B

A B

A B

Exemplos (Unio)a)

Se

e A = { 1,2,3,4}

, 4,6} B = { 2, ento

A B = { 1,2,3,4,6}a)

Se

e A = { 1,2,3,4}

B =,{ento 1,4}

A B = { 1,2,3, 4} = Aa)

Se

e A = { 1,2,3}

, ento B = { 4,5,6}

A B = { 1,2,3,4,5,6}

Interseo de conjuntosP o conjunto interseo de A e B , se ele for composto por todos os elementos comuns a A e B , ao mesmo tempo. P = A B = { x / x A e x B} A B A B A B

A B

A B =

A B = B

Exemplos (Interseo)a)

Se

e A = { 1,2,3,4}

, 4,6} B = { 2, ento

A B = { 2,4}a)

Se

e A = { 1,2,3,4}

B =,{ento 1,4}

A B = { 1,4} = Ba)

Se

e A = { 1,2,3}

, ento B = { 4,5,6}

A B =

Diferena entre conjuntosP o conjunto diferena de A e B , se for composto pelos elementos de A que no so elementos de B . P = A B = { x / x A e x B} A B A B A B

A B

A B = A

A B

Exemplos (Diferenas)a)

Se A = { 1,2,3,4} e B = { 2, 4,6} , ento A B = { 1,3} B A = { 6}

Conjunto universo

um conjunto especificado que contm todos os elementos de interesse para um determinado problema.

Conjunto complementarSe B A , ento o complementar de Bcom B A CA = A B relao a , denotado por .A CU = A = A = U A

.

Exemplo:

A = { 1,2, 4}Se

B = { 0,1,2, 4,6,9} e , ento

C = { 0,6,9}A B

Diferena simtricaDados dois conjuntos e ,B chamamos A diferena simtrica entre e oBconjunto A denotado por AB definido por e

AB = ( A B ) ( B . ) A

Exemplo:

Se A = { 1,2, 4,7}e

B = { 1,3,6,7,10}ento ,

AB = { 2,4} { 3,6,10} = { 2,3,4,6,10} .

Nmeros NaturaisSua notao N = { 0,1,2,K } . Quando no se considera o elemento zero, a notao utilizada N* = N { 0} = { 1,2,3,K }

Nmeros InteirosA notao utilizada para representar os nmeros inteiros . Z = { K , 2, 1,0,1, 2,K } Quando o elemento zero no pertence ao conjunto, denotamos:

Z = Z { 0}*

Outras notaes

Z+ = N Z =N* + *

(inteiros no negativos) (inteiros positivos) (inteiros no positivos) (inteiros negativos)

Z = { K , 2, 1,0} Z* = { K , 3, 2, 1}

Alguns nmeros racionaisa)

2 -7

b)

c)

2 50,6 1,37 0,333... 1,123123123...

a)

b)

c)

d)

Exemplo

1 1 2 1 + = = 8 8 8 4 6 3 = 8 4

Soma de fraes1 3 + =? 5 5 1 5 + 3 5 4 = 5

Soma de fraes1 1 + =? 4 6 1 4 1 6

10 5 = 24 12

Operaesa c Sejam e duas fraes quaisquer. b d A soma e o produto destas fraes so obtidos da seguinte forma: a c ad + bc + = b d bd a c ac = b d bd

Nmeros racionaisp * Q = / pZ e qZ q So todos os nmeros que podem ser escritos sob forma de frao de nmeros inteiros. Tm representao decimal finita ou peridica.

Nmeros irracionais ( I=Q) =So os nmeros cuja representao decimal no exata nem peridica, consequentemente no pode ser escrita sob a forma de frao de inteiros. Exemplos: a)

2 = 1,4142135624... b) = 3,14159265... c) e = 2,718281828...

Nmeros reais

( R)

= R = Q I , onde Q I= Q I Z N R

Adio e multiplicaoA operao que a cada par de nmeros associa sua soma denomina-se adio, e a que associa a o produto denomina-se multiplicao.

a Um nmero racional bse diz positivo se a bN ; a a 0 a bN Se e , ento bse diz estritamente positivo.

Propriedades

Fechamento

Se a, b R ento a + b R e

ab R .

a+b =b+a e

Comutativa Associativa

ab = bae

a + (b + c) = (a + b) + c a (b + c) = ab + acdistributiva

a (bc) = (ab)c

Propriedades

Elemento neutro da adio

0 R;0 + a = a + 0 = a a RElemento neutro da multiplicao Existncia a = a 1 = a a 1 R;1 do simtrico ou oposto R

a R , ( a ) R; a + ( a ) = 0 a R 1 1 a R , R; a = 1 a R * a a

Existncia do inverso ou recproco

Subtrao e diviso

Subtrao

a b = a + (b)onde (b o simtrico de . b )

Diviso

a 1 1 = a b b b onde b o inverso de .

Ordenao dos reaisNo conjunto dos nmeros reais, existe um subconjunto denominado nmeros positivos, tal que: Se a for um nmero real, ento exatamente uma das trs afirmativas ser verdadeira.

a=0

;

a positivo; positivo;

(a)

DefiniesO nmero real a negativo se, e somente se, for positivo. ( a )

O smbolo < significa menor que.

a significa maior que.se, e somente se,b a for positivo.a>b O smbolosignifica menor ou igual a. se, e somente se,a < b ouse, e somente se, b for positivo. a . a=babIntervalos numricosExiste uma correspondncia biunvoca (um a um entre o conjunto dos nmeros reais e o conjunto dos pontos da reta numerada.3 21 25 R2 1 0 1 2 3Algumas propriedades1) a = b a c = b c 2) a = b ac = bc 3) ab = 0 a = 0 ou b = 0 4) a < b e b < c a < c 5) a < b a c < b c 6) a < b e c < d a + c < b + dAlgumas propriedades7) a < b e c > 0 ac < bc 8) a < b e c < 0 ac > bc 1 9) a > 0 > 0 a 10) ab > 0 ( a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0) 11) ab < 0 (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0) 1 1 12) 0 < b < a 0 < < a bIntervalosSo subconjuntos de R , determinados por desigualdades. Intervalo aberto de a a b (a, b)denotado por o conjunto a nmeros reais, tais de todos os < x < b que .ab(a, b) = { x R / a < x < b}Intervalos fechadosIntervalo fechado de a a b [ a, b ] denotado por o conjunto de todos os nmeros reais, tais que .a xb ba[ a, b] = { x R / a x b}Intervalos semi-abertosIntervalo semi-aberto esquerda de ( a, b a a b denotado ]por o conjunto a a} (, a ) = { x R / x < a} a a a aObrigado !Esta aula est disponvel em http://calcularepreciso.blogspot.com/