apostila cálculo i

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FACULDADE DO CENTRO LESTE – UCL

BÁSICO DAS ENGENHARIAS

CÁLCULO I

Serra 2014

Este trabalho contém uma compilação de

textos de diversos autores, tendo sido elaborado

com o objetivo exclusivo de ser um apoio didático

para o aluno em sala de aula.

Prof. Walquiria Torezani

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Sumário

1. FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES .................................................................... 3 1.1. Por que estudar as Funções .................................................................................. 3 1.2. Conceito de Função ............................................................................................... 3 1.3. Algumas Características das Funções ................................................................. 5 1.4. Funções Compostas ............................................................................................. 15 1.5. Funções Inversas ................................................................................................. 17

1.6. Algumas Funções Básicas ................................................................................... 21 1.7. Funções Definidas Por Partes e Funções Modulares ....................................... 27 1.8. Função Exponencial ............................................................................................ 36 1.9. A Função Logarítmica ........................................................................................ 38 1.10. Funções Trigonométricas e Trigonométricas Inversas ................................ 41

1.11. Transformações das funções trigonométricas .............................................. 57

1.12. Identidades Trigonométricas ......................................................................... 61

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1. FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES

1.1. Por que estudar as Funções

O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar de destaque

em vários de seus ramos, bem como em outras áreas do conhecimento. É muito comum

expressar fenômenos físicos, biológicos, sociais e os problemas de engenharia, dentre

outros, por meio de funções.

As funções são consideradas o elemento chave para a modelagem matemática que nada

mais é do que descrever os problemas do mundo real em termos matemáticos. A noção de

função é fundamental para todo o nosso trabalho em cálculo.

Este capítulo abre caminho para o cálculo discutindo as ideias básicas relacionadas às

funções e seus gráficos, bem como as formas de combiná-los e transformá-los.

Uma função pode ser representada por uma equação, uma tabela numérica, um gráfico ou

verbalmente. O gráfico de uma função é uma maneira particularmente útil de visualizar

suas propriedades e comportamento geral.

Vamos estudar aqui os principais tipos de funções que ocorrem no cálculo e descrever o

modo de usá-las como modelos matemáticos do nosso cotidiano. Daremos ênfase especial

para as funções exponenciais, trigonométricas e suas inversas.

1.2. Conceito de Função

As funções surgem quando relacionamos duas grandezas variáveis, isto é quando uma

grandeza depende de outra. Vejamos alguns exemplos:

A temperatura de ebulição da água depende da altitude – o ponto de ebulição

diminui quando a altitude aumenta.

Os juros pagos sobre um investimento dependem do tempo que o dinheiro

permanece investido.

A distância que um objeto percorre a uma velocidade constante, a partir de um

ponto inicial, ao longo de uma trajetória reta, depende do tempo transcorrido.

Em todos os casos, o valor de uma variável, que podemos chamar de y, depende do valor

de outra, que podemos denominar de x. Uma vez que o valor de y é completamente

determinado pelo valor de x, dizemos que y é uma função de x.

Definição – Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma lei que associa a cada

elemento x de A um e somente um elemento y de B.

Usamos as seguintes notações:

)(

:

xfx

BAf

ou

)(xfx

BA f

ou

yx

BAf

: tal que xfy

4

O conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto A é chamado contradomínio da

função. Como a definição não obriga que todos os elementos de B sejam atingidos pela

função, o conjunto dos elementos atingidos chama-se imagem de A pela função f, ou

simplesmente imagem da função.

A variável x que representa os elementos do conjunto A é chamada de variável

independente e a variável y = f(x) que representam os elementos do conjunto B é chamada

de variável dependente, pois seus valores dependem dos valores de x.

No nosso curso A e B serão sempre conjuntos de números reais.

Representações de Funções

É possível representar uma função de quatro maneiras:

Verbalmente – descrevendo-a com palavras.

Dizemos que a área A de um círculo é função do seu raio r.

Dado um círculo de raio r sua área A é calculada multiplicando-se pelo quadrado

do seu raio 2r .

Numericamente – por meio de tabela de valores

Podemos representar a função que expressa a área A de um círculo como função do

seu raio r através da seguinte tabela:

Algebricamente – Utilizando-se uma fórmula explícita )(xfy

A mais útil dentre as representações da área A de um círculo em função de seu raio

r é provavelmente a fórmula:

2rrA Apesar de ser possível, como visto acima, elaborar uma tabela de valores, bem

como esboçar seu gráfico.

Visualmente - através de gráficos ou diagrama de Venn – Euler

Como o raio do círculo deve ser positivo, o domínio da função rA é dado por:

[,0]0/ rIRrD , assim seu gráfico é parte de uma parábola.

r 1 cm 2 cm 3 cm

...

A 2cm 24 cm 29 cm ...

5

Usando o Diagrama de Venn – Euler a tabela que montamos anteriormente podemos

representar a função rA da seguinte maneira:

A B

Cada flecha conecta um elemento de A com um único elemento de B. A flecha indica, por

exemplo, que 2 está associado a 4 . Podemos escrever ainda que 42 A .

1.3. Algumas Características das Funções

Domínio

Usualmente definimos uma função f enunciando uma fórmula para calcular o valor de

xf para cada valor de x dado. Quando o domínio de uma função não é especificado no

problema, tomamos como domínio todos os valores reais de x para os quais existe a

imagem xfy .

Se x está no domínio de f, dizemos que f é definida em x, ou que xf existe, caso

contrário dizemos que xf não existe ou que f não está definida em x.

Exemplo 1 - Dada a função 2)( xxf , determine, se possível:

a) 27f b) 2f c) 1f

Vamos calcular cada um desses valores:

a) 52522727 f

b) 00222 f

c) R1211 f

Observe que x não pode assumir certos valore, por exemplo, para x = 1 temos que 1f

não é um número real e portanto, nem todo número real pertence ao domínio dessa função.

Para determinar o domínio de uma função é preciso obedecer duas regras básicas da

matemática, que chamaremos de “Condições de Existência”. Essas regras são válidas

sempre que estivermos tratando de números reais.

Em uma fração o denominador deve ser sempre diferente de zero.

0bcom

b

a

Em uma raiz de índice par o radicando deve ser sempre maior ou igual a zero.

0acoma

Exemplo 2 - Determine o domínio das funções abaixo:

6

a) 252 xxy b) 3

2

xy c) 2 xy d)

x

xy

4

5 e)

5

3

x

xy

a) Neste caso, não há qualquer restrição, portanto D = R.

b) Aqui devemos respeitar a primeira condição de existência:

303 xx

Logo: 3 RD

c) Aqui devemos respeitar a segunda condição de existência:

202 xx

Graficamente temos que:

Logo: [,2[ D

d) Este é um caso típico onde devemos satisfazer as duas condições de existência,

pois temos uma raiz quadrada no denominador de uma fração:

404 xx


Logo: [4,] D

e) Aqui também usaremos as duas condições de existência; a primeira para o

denominador da fração e a segunda para o numerador que é uma raiz quadrada:

3x03-x

e

505

xx


Logo: 5[,3[ D

Imagem

Dada uma função y = f(x) de A em B, definimos a imagem de f como o conjunto de todos

os elementos By que estão relacionados com algum x de A. Isto é,

AxxfyByf algum para /Im

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Exemplo - Determine a imagem de cada uma das funções abaixo:

[,2[Im f IRf Im

2.0Im f 2[,0]Im f

Interceptos da Função

Dada uma função y = xf , os valores de x para os quais 0xf são chamados de raízes

da função ou interceptos - x. No gráfico cartesiano da função, as raízes são abscissas dos

pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal.

No gráfico abaixo temos que 01 xf , 02 xf e 03 xf . Assim 321 e , xxx são as

raízes da função.

O valor de 0f é chamado de interceptos – y pois é a ordenado do ponto onde o gráfico

corta o eixo vertical.

Função Injetora e Função Sobrejetora

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Uma função BAf : é dita injetora se para quaisquer elementos distintos do conjunto

21 xxA correspondem elementos distintos do conjunto 21 yyB .

Isto é,

2121 xfxfxx

Uma função é considerada injetora no diagrama de Venn se cada elemento de B for

atingido por, no máximo, uma flecha.

Exemplo - Observe cada uma das funções abaixo descrita através de seus diagramas de

Venn:

f(x) não é Injetora f(x) é injetora

Em relação ao seu gráfico uma função é considerada injetora se qualquer reta horizontal

intercepta o gráfico, no máximo, uma vez.

Exemplo - Observe os gráficos abaixo:

f(x) não é injetora f(x) é injetora

Uma função BAf : é dita sobrejetora se seu conjunto imagem é igual ao conjunto B.

Bf )Im( .

Para o diagrama de Vem de uma função representar uma função sobrejetora é preciso que

todos os elementos B sejam atingidos por pelo menos uma flecha.

Exemplo - Observe o diagrama de Vem das funções representadas abaixo:

9

f(x) é sobrejetora f(x) não é sobrejetora

Em relação ao seu gráfico uma função somente será sobrejetora se a projeção do gráfico

sobre o eixo Oy for seu contradomínio.

Exemplo - A função IRIRf : dada por 2xxf cujo gráfico está representado

abaixo não é sobrejetora, pois sua imagem é o conjunto IR+.

Uma função BAf : é dita bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Para o diagrama de Vem de uma função representar uma função bijetora é preciso que

todos os elementos B sejam atingidos por uma única flecha.

f(x) é bijetora f(x) não é bijetora

É fácil ver que as funções que são crescentes ou decrescentes em todo o seu domínio são

funções bijetoras.

Exemplo - As funções esboçadas abaixo são funções bijetoras.

10

2

:

xxf

IRIRf

xxf

IRIRf

2/1

*

log

:

Dependendo do domínio A e do contradomínio B escolhido, a função f: A → B

determinada pela mesma sentença aberta poderá ser somente sobrejetora, somente injetora,

bijetora, ou nem sobrejetora, nem injetora.

Exemplo - Considere a função determinada por 2xxf .

a) Considerando A = IR+ e B = IR, f(x) é somente injetora.

b) Considerando A = IR e B = IR+, f(x) é somente sobrejetora.

c) Considerando A = IR+ e B = IR+, f(x) bijetora.

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d) Considerando A = IR e B = IR, f(x) não é injetora nem sobrejetora.

Função Crescente e Decrescente

Uma função y = f(x) é crescente se, atribuindo a x valores crescentes, se obtém para y

valores também crescentes. Isto é:

2121 xfxfxx

Exemplo 1 - Os gráficos abaixo descrevem funções crescentes. Observe que, embora as

três funções sejam crescentes, não crescem da mesma forma:

Uma função y = f(x) é decrescente se, atribuindo a x valores crescentes, se obtém para y

valores decrescentes. Isto é:

2121 xfxfxx

Exemplo 2 - Os gráficos abaixo descrevem funções decrescentes. Observe que, embora as

três funções sejam decrescentes, não decrescem da mesma forma:

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Uma função y = f(x) é constante se, atribuindo a x valores crescentes, y permanece

invariável. Isto é,

21 xfxf para todo fDxx 21,

Exemplo 3 - O gráfico abaixo descreve uma função constante:

Uma função que seja crescente ou constante num intervalo é chamada não decrescente

naquele intervalo; se uma função for constante ou decrescente num intervalo ela é

chamada não crescente naquele intervalo.

Exemplo 4 - Os gráficos abaixo descrevem uma função não decrescente e uma função não

crescente:

Não decrescente Não crescente

Uma maneira simples de determinar os intervalos de crescimento ou decrescimento de

uma função é aplicar o seguinte teste:

“Da esquerda para a direita siga o traçado do gráfico da função com o dedo. Nos

intervalos em que seu dedo sobe a função é crescente e nos intervalos em que ela desce a

função é decrescente. Se seu dedo seguir na horizontal, a função é constante.”

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Exemplo 5 - Usando o teste acima, determine os intervalos de crescimento e

decrescimento da função f(x) ilustrada abaixo:

Resolução:

Observando o gráfico vemos que:

f(x) é decrescente nos intervalos [2, 4], [7, 9] e [12, 15]

f(x) é constante no intervalo [4,7]

f(x) é crescente nos intervalos [9,12], [15,18]

Máximos e Mínimos de uma Função

Já vimos que uma função pode não ser crescente (ou decrescente) em todo o seu domínio,

tendo intervalos em que cresce e intervalos em que decresce. Quando isso ocorre a função

apresenta máximos ou mínimos locais, conforme o caso.

Dizemos que 0xf é um máximo local (máximo relativo) de uma função xfy se

xfxf 0 para qualquer outro x do domínio de f que estejam em um intervalo aberto

[,] ba contendo 0x . Em outras palavras 0xf está “no topo de uma montanha”, pois em 0x

a função passa de crescente para decrescente.

Da mesma forma, 0xf é um mínimo local (ou mínimo relativo) de uma função xfy

se xfxf 0 para qualquer outro x do domínio de f que estejam em um intervalo aberto

[,] ba contendo 0x . Em outras palavras 0xf está “no fundo de um poço”, pois em 0x a

função passa de decrescente para crescente.

Se 0x é tal que 0xf é o maior valor que a função assume em todo o seu domínio, então

0x é dito ponto de máximo absoluto de f.

Analogamente, se 0xf é o menor valor que a função assume em todo o seu domínio,

então 0x é dito ponto de mínimo absoluto de f.

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Exemplo - Determine os pontos de máximos e mínimos locais e absolutos da função cujo

gráfico está ilustrado abaixo:

Supondo que o domínio dessa função é o intervalo de zero a quinze temos:

Máximos locais: 2,47,1 f , 97 f e 5,35,12 f .

Mínimos locais: 24 f e 210 f .

Máximo absoluto: 97 f .

Mínimo absoluto: 315 f .

Funções Pares e Ímpares

Uma função f é par se xfxf para todo fDx .

Exemplo - São funções pares:

2xxf 34 xxf 2

22

2

x

xxf

Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eixo y.

Exemplo - Observe o gráfico de 2xy :

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Uma função f é ímpar se xfxf para todo fDx .

Exemplo - São funções ímpares:

3xxf xxxf 35 42

3

x

xxf

Os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem.

Exemplo - Observe o gráfico de 3xy :

Algumas funções não são nem pares nem ímpares.

Por exemplo, 152 xxxf não é nem par nem ímpar, pois calculando xf temos:

1515 22 xxxxxf

Logo, xfxf e xfxf .

1.4. Funções Compostas

Considere as funções BAg : e CBf : . Chama-se função composta das funções f e

g a função CAh : definida por:

xgfxgfxh

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A imagem de um determinado elemento x de A através da função composta gf é

definida em duas partes:

A transformação do elemento x de A no elemento g(x) de B.

A transformação do elemento g(x) de B no elemento xgfxgf de C.

O contradomínio de g é idêntico ao domínio de f, porém, para existir gf é preciso que

fDg Im .

Podemos dizer então, que o domínio de gf é o conjunto de todos os gDx para os

quais IRxgf .

IRxgfDxD ggf /

Exemplo 1 - Dadas as funções 32 xxf e xxg 5 , pede-se determinar xfg e

xgf .

151032532 xxgxfgxfg

3103525 xxxfxgfxgf .

Este exemplo nos mostra que de modo geral fggf , ou seja, a operação de

"composição de funções " não é comutativa.

Exemplo 2 – Dadas as funções 162 xxf e xxg , determine:

a) xgf e o seu domínio.

b) xfg e o seu domínio.

Inicialmente note que IRD f e [,0[ Dg

a) 1616162

xxxxfxgfxgf

Se considerássemos apenas a expressão final poderíamos a ser levados a crer que o

domínio de gf fosse IR. Entretanto, por definição, o domínio de gf é o conjunto de

todos os [,0[ x tal que g(x) está em IR.

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Assim, [,0[ gfD

b) 1616 22 xxgxfgxfg

Por definição o domínio de fg é conjunto de todos os x em IR tal que f(x) está em

[,0[ .

Logo devemos determinar os valores de x para os quais 40162 xx .

Assim, [,4[]4,] fgD

Forma Funcional Composta

Se f e g são funções tais que xguufy e

Então, substituindo o valor de u em ufy , temos xgfy .

Para certos problemas no cálculo, costumamos inverter este procedimento, ou seja, dado

xhy para alguma função h, determinamos uma forma funcional composta

xguufy e tal que xgfxh .

Exemplo - Expresse 528

xy sob a forma de uma função composta.

Fazendo uy

52xu

8

temos que 8uufy onde 52 xu

O método usado para resolver este exemplo pode ser aplicado a outras funções.

Em geral suponha xhy . Para escolher a expressão interior xgu em uma forma

funcional composta, faça a seguinte pergunta:

“Se estivesse usando uma calculadora que parte de xhy seria calculada primeiro?”

Isso conduz em geral a uma escolha adequada de xgu . Após escolher u, recorra a

xh para determinar uhy .

Exemplo - Observe a tabela abaixo que ilustra a escolha de algumas formas funcionais

compostas:

Função Escolha de xgu Escolha de ufy

15253 xxy 152 3 xxu 5uy

24 xy 24 xu uy

13

2

xy

13 xu

2

uy

1.5. Funções Inversas

Se f é uma função bijetora com domínio A e contradomínio B, então para cada By ,

existe um único número Ax tal que xfy . Podemos então pensar na existência de

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uma função que a partir da imagem xfy determine o número x que a gerou, ou seja,

uma função g tal que xyg . Essa função g que faz o caminho de volta da função f, é

chamada de função inversa de f e recebe a notação 1f .

Propriedades das funções inversas

1. O domínio da função f é a imagem da função 1f e o domínio da função 1f é a

imagem de f.

2. Considerando que a função f leva o elemento a na imagem afb e que a função

inversa 1f traz a imagem de volta ao elemento a, abf 1 , então vale:

xxff 1 Para todo x em A e

xxff 1 Para todo x em B.

3. Podemos mostrar também que:

xfxf 11 e

111 fggf

4. Se o par ordenado ba, pertencer ao gráfico de f então o par ab, pertencerá ao

gráfico de 1f e isso representado no plano cartesiano nos proporcionará uma simetria dos

pontos de f e 1f em relação à reta xy .

Logo os gráficos de f e 1f são simétricos em relação à reta xy .

Diretrizes para determinar 1f .

1 – Verifique se f pode ser definida com domínio e contradomínio nos quais ela é bijetora.

2 – Resolva a equação xfy em relação à x em termos de y, obtendo uma equação da

forma yfx 1 .

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3 – Troque y por x na função encontrada em (2) para obter a função xfy 1 que será a

função inversa de f.

4 – Verifique se valem as condições xxff 1 e xxff 1 para todo x nos

domínios de f e 1f .

Exemplo 1 - Seja 53 xxf . Para determinar a função inversa de f devemos seguir os

quatro passos dados pelas diretrizes acima:

1 - É fácil ver que o domínio e a imagem de f é todo o conjunto dos números reais, logo

IRIRf : é uma função bijetora. (observe seu gráfico)

2 - Considere então a equação:

Isolando x nesta equação temos:

3

55353

yxyxxy

3 – Trocando x por y obtemos a função:

3

51 x

xf

4 – Verificando as condições para e existência da inversa:

xxx

xfxff

xxxx

fxff

3

3

3

55353

5553

5.3

3

5

11

1

Fazendo os gráficos de f e de 1f em um mesmo plano cartesiano podemos observar que

de fato são simétricos em relação à reta xy .

53 xy

20

Exemplo 2 - Seja 32 xxf para 0x . Determine a função inversa de f.

Vamos seguir os quatro passos dados pelas diretrizes acima.

1 – Observando o gráfico de f vemos que se [,0[ fD e [,3[Im f então,

[,3[[,0[: f é bijetora.

2 - Considere então a equação:

Isolando x nesta equação temos:

333 22 yxyxxy

3 – Trocando x por y obtemos a função:

31 xxf

4 – Verificando as condições para e existência da inversa:

xxxxfxff

xxxxfxff

22211

21

333

33333

Fazendo os gráficos de f e de 1f em um mesmo plano cartesiano podemos observar que

de fato são simétricos em relação à reta xy .

32 xy

21

1.6. Algumas Funções Básicas

Função Constante

Função constante é toda função do tipo: cy

Onde IRc é constante.

Características

Domínio – IR

Imagem –

Gráfico – O gráfico de uma função constante é uma reta horizontal na altura de y = c

Função Linear

Função Linear é toda função do tipo:

baxxf

Sendo a e b constantes reais e 0a .

Características

Domínio – IR

Imagem – IR

Gráfico – O gráfico de uma função linear é uma reta e é obtido pelo deslocamento do

gráfico da função xy .

O gráfico de baxy intercepta o eixo x no ponto de abscissa a

bx

22

A constante b é chamada coeficiente linear e representa no gráfico o ponto onde a reta

intercepta o eixo-y.

A constante a é chamada de coeficiente angular e indica a inclinação ou direção da reta.

Quando 0a , o gráfico corresponde a uma função crescente e quando 0a o gráfico

corresponde a uma função decrescente.

0a 0a

Uma característica muito importante da função linear é que a variação do y é sempre a

mesma quando x varia de 1 unidade por isso o coeficiente angular a também é chamado

de Taxa de Variação da função em relação a x.

Função Quadrática

Função Quadrática é toda função do tipo:

cbxaxxf 2

Em que a, b e c são constantes reais e 0a .

Características

Domínio – IR

Imagem –

0 se ]4

,]

0 se [,4

[

aa

aa

Gráfico – O gráfico desse tipo de função é uma curva chamada parábola e é obtido através

das transformações da função 2xy .

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A concavidade da parábola é voltada para cima se 0a e voltada para baixo se 0a .

0a 0a

O ponto V do gráfico acima é chamado Vértice da parábola e suas coordenadas são dadas

por:

vv yxV , Onde

vvv

v

xfya

y

a

bx

ou 4

2

Observe que se 0a , V é um ponto de mínimo da parábola e se 0a , V é um ponto de

máximo da parábola.

A reta vxx é chamada de eixo de simetria da Parábola.

Os eventuais pontos de interseção da parábola com o eixo x são obtidos fazendo 0y .

Isto é, resolvendo a equação 02 cbxax .

Segue dos nossos estudos anteriores que:

0 A parábola corta o eixo x em dois pontos distintos

0 A parábola corta o eixo x em um único ponto (que é o vx )

0 A parábola não corta o eixo x

A interseção com o eixo y é obtida fazendo-se 0x .

Portanto

24

cycbayx 000 2

Logo a parábola corta o eixo y no ponto cy

Função Potência

Chamamos de Função Potência a toda função do tipo:

nxxf

Onde n é uma constante.

Características

Quando 0n , 1n ou 2n temos situações particulares já estudadas, que são as

funções constantes, lineares e quadráticas, respectivamente. Para outros valores de n, as

características de xf variam dependendo da natureza de n.

Vamos estudar alguns casos.

Caso 1 – Expoente (n) inteiro e positivo

Vejamos algumas dessas funções:

Exemplo 1 - Considere a função xxf

Domínio – IR

Imagem – IR

Simetria – Origem

Paridade – Função ímpar

Exemplo 2 - Considere a função 2xxf

Domínio – IR

Imagem - [;0[ Simetria – Eixo y

Paridade – Função par

25

Exemplo 3 - Considere a função 3xxf

Domínio – IR

Imagem – IR

Simetria – Origem


A forma geral do gráfico de nxxf depende de n ser par ou ímpar.

Se n for par nxxf será uma função par e seu gráfico é similar ao da parábola 2xy .

Se n for ímpar nxxf será uma função ímpar e seu gráfico é similar ao de 3xy .

Caso 2 – Expoente (n) Racional

A função nxxf onde n é um número racional é uma função raiz.

Vejamos os casos mais comuns:

Exemplo 1 - Considere a função xxxf 2

1

Domínio – ,0

Imagem - ,0

Observe que este gráfico é a parte superior da parábola 2yx .

Para outros valores pares de n, o gráfico de n xy é similar ao gráfico de xy .

26

Exemplo 2 - Considere a função 33

1

xxxf

Domínio – IR

Imagem – IR

Simetria – Origem


Para outros valores ímpares de n, o gráfico de n xy é similar ao gráfico de 3 xy .

Exemplo 3 - Considere a função 3 2xxf

Domínio – IR

Imagem - [,0[ Simetria – Eixo y


Caso 3 – Expoente (n) Inteiro Negativo

Se n é um inteiro positivo então n

n

xxxf

1 .

Vejamos algumas dessas funções:

Exemplo 1 - Considere a função x

xxf11 Seu gráfico é chamado de Hipérbole e

tem as seguintes características:

27

Domínio – 0IR

Imagem – 0IR

Simetria – Origem


Se n ímpar o gráfico de nx

xf1

se assemelha ao gráfico de x

xf1

.

Exemplo 2 - Considere a função 2

2 1

xxxf .

Domínio – 0IR

Imagem – [,0]

Simetria – Eixo y


Se n par o gráfico de nx

xf1

se assemelha ao gráfico de 2

1

xxf .

1.7. Funções Definidas Por Partes e Funções Modulares

Funções Definidas por partes

Funções definidas por partes são funções definidas por fórmulas diversas em diferentes

partes do seu domínio.

Exemplo 1 - Esboce o gráfico da função f definida por

1 se1

1 se 1

xx

xxxf

Como fazer o gráfico de f?

Observe que a parte do gráfico de f à esquerda da reta vertical 1x deve coincidir com a

reta xy 1 , enquanto que a parte do gráfico de f à direita da reta vertical 1x deve

coincidir com a reta 1 xy . Neste caso, precisamos de apenas dois pontos de cada lado

da reta 1x para esboçar seu gráfico.

Considere então as tabelas:

28

1x

1x

x y = 1 - x x y = x - 1

0 1 1 0

1 0 2 1

Logo:

Exemplo 2 - Esboce o gráfico da função definida por

2 se3

2 se 12

x

xxxf

Seguindo os mesmos passos do exemplo anterior podemos construir as seguintes tabelas:

2x

2x

x y = 2x + 1 x y = 3

-3 -5 -2 3

-2 -3 1 3

Assim:

Exemplo 3 - Esboce o gráfico da função definida por

1 se 7

11 se 6

1 se 12

xx

x

xx

xf

Neste caso precisamos construir três tabelas, pois a função tem três leis de formação.

29

1x 11 x 1x

x y = x2 + 1 x y = 6 x y = 7 - x

-2 5 -1 6 1 6

-1 2 1 6 2 5

Assim:

Funções Modulares

Dado um número real x, sempre existe x e seu valor é único. Podemos então, definir uma

função RRf : tal que xxf chamada de Função Modular.

Usando a definição de x temos que:

0 se

0se

xx

xxxf

Observe que a função modular é uma função definida por partes.

Graficamente temos:

Exemplo 1 - Esboce o gráfico da função 3 xxf :

Para esboçar o gráfico de f, vamos usar as seguintes tabelas:

30

3x 3x

x y = - x + 3 x y = x - 3

2 1 3 0

3 0 4 1

Marcando esses pontos no plano cartesiano temos:

Observe que este é o gráfico de xy deslocado de 3 unidades para a direita.

Exemplo 2 - Esboce o gráfico da função 1 xxf :


0x 0x

x y = - x + 1 x y = x + 1

0 1 1 2

-1 2 0 1


Observe que este é o gráfico de xy deslocado de 1 unidades para cima.

31

Exemplo 3 - Esboce o gráfico de xxf

Temos que

0 se

0 sex

xx

xxf


0x 0x

x y = x x y = - x

0 0 1 -1

-1 -1 0 0


Observe que este gráfico é a reflexão do gráfico de xy em relação ao eixo x.

Exemplo 4 - Dada a função 32 xxf . Escreva xf como uma função definida

por partes e esboce seu gráfico.

Temos que:

02 se2

02se22

xx

xxx

Isto é,

2 xse 2

2 xse 22

x

xx

Subtraindo 3 a cada uma das expressões temos:

2 se5

2se1

xx

xxxf


32

2x 2x

x y = - x - 5 x y = x - 1

-5 0 -2 -3

-2 -3 1 0


Observe que este é o gráfico de xy deslocado de 2 unidades para a esquerda e de 3

unidades para baixo.

Exemplo 5 - Esboce o gráfico da função xxf 3 :


0x 0x

x y = - 3x x y = 3x

0 0 1 3

-1 3 0 0

Marcando esses pontos no plano cartesiano podemos observar que o gráfico de xxf 3

é o gráfico de xy esticado verticalmente de 3 unidades:

33

Exemplo 6 - Esboce o gráfico da função 22 xxf .

O gráfico de xfy deve ser feito a partir do gráfico de 22 xy refletindo a parte

negativa deste último em relação ao eixo x.

Observe o gráfico de 22 xy .

Assim podemos escrever xf como uma função definida por partes:

2 se 2

2 se 2

2

2

xx

xxxf

Dessa forma seu gráfico é dado por:

Exemplo 7 - Esboce o gráfico da função x

xxf :

Temos que:

0 se

0se

xx

xxx

Dividindo por x temos que:

0 se

0 se

xx

x

xx

x

x

x

Assim,

34

0 se 1

0 se 1

x

xxf

Portanto o gráfico de f(x) é uma reta horizontal na altura do 1 se 0x e uma reta

horizontal na altura do – 1 se 0x .

Exemplo 8 - Esboce o gráfico da função 12 xxxf :

Temos que:

2 se 2

2 se 2-2

xx

xxx e

1 se 1

1 se 11

xx

xxx

Para escrever f(x) como uma função definida por partes, iremos usar uma tabela na qual

escreveremos a lei de formação de cada um dos módulos nas diferentes partes de seus

domínios.

1x 21 x 2x

2x 2 x 2 x 2x

1x 1 x 1x 1x

12 xx 12 x 3 12 x

Assim,

-1 xse 12

21- se 3

2 se 1-x2

x

x

x

xf


1x 21 x 2x

x y = - 2x + 1 x y = 3 x y = 2x - 1

-2 5 -1 3 2 3

-1 3 2 3 3 5

35

Marcando esses pontos no plano cartesiano temos que:

Exemplo 9 - Esboce o gráfico da função 13 xxxf :

Temos que:

3 se 3

3 se 33

xx

xxx e

1 se 1

1 se 11

xx

xxx

Para escrever f(x) como uma função definida por partes, iremos usar uma tabela na qual

escreveremos a lei de formação de cada um dos módulos nas diferentes partes de seus

domínios.

3x 13 x 1x

3x 3 x 3x 3x

1x 1 x 1 x 1x

13 xx 4 22 x 4

Assim,

-3 xse 4

13- se 2x2

1 se 4

x

x

xf


3x 13 x 1x

x y = - 4 x y = 2x + 2 x y = 4

-4 - 4 -3 - 4 1 4

-3 - 4 1 4 2 4

36

Marcando esses pontos no plano cartesiano temos que:

1.8. Função Exponencial

A Função Exponencial de Base a

Dado um número real a tal que 1 e 0 aa denomina-se função exponencial de base a à

função *: RRf definida por:

xaxf

As restrições 1 e 0 aa dadas na definição são necessárias, pois:

Para 0a e x negativo, não existe xa ;

Para 0a e 2/1x , por exemplo, não é possível calcular xa ;

Para 1a , 1xa para qualquer que seja o valor de x;

Gráfico de xay

O padrão gráfico da função exponencial xay depende fundamentalmente da base a ser

maior ou menor do que 1.

Para 1a temos:

Para 10 a temos:

37

Características de xay

Em ambos os gráficos quando x cresce uma unidade, o valor da função é multiplicado

pela base a. Este padrão generaliza todas as funções exponenciais e acarreta na fórmula

recursiva:

xafxf 1

Domínio: RD

Imagem: ,0Im

O gráfico de xay é uma figura chamada de Curva Exponencial

O gráfico de xay corta o eixo y no ponto 1,0 .

O gráfico de xay não toca o eixo x.

Para 1a , a função é crescente e chamada de Função de Crescimento Exponencial. A

base a, neste caso, é o seu fator de crescimento.

Para 10 a , a função é decrescente e chamada de Função de Decrescimento

Exponencial. A base a, neste caso, é o seu fator de decrescimento.

O gráfico de

x

ay

1é a reflexão do gráfico de xay em relação ao eixo y.

Exemplo 1 - Os gráficos das funções xxf 2)( e xxg 3)( são:

xy 2 xy 3

38

Exemplo 2 - Os gráficos das funções

x

xf

2

1)( e

x

xg

3

1)( são:

A Função Exponencial de Base e

Uma função exponencial muito importante na Matemática é aquela cuja base é o número e,

conhecido como a Constante de Euler. Esta função é xexf .

Nós já vimos que para qualquer valor de a, xaxf passa pelo ponto (0,1), entretanto,

cada uma delas passa por esse ponto com uma inclinação diferente. A escolha da base a

influencia na forma com que o gráfico corta o eixo y.

O número e é um número irracional definido como a base da função exponencial cuja

inclinação no ponto (0.1) é 1.

Observe seu gráfico:

Podemos provar que:

....7182818284,2e

1.9. A Função Logarítmica

O Logaritmo de um número

Dados dois números positivos a e b com 1a , definimos o logaritmo de b na base a como

sendo o número c tal que bac .

Isto é:

bacb c

a log

x

y

2

1

x

y

3

1

39

Exemplo: Temos que:

1) 813 pois 481log 4

3

2) 322

1 pois 532log

5

2

1

3) 55 pois 25log2

5

4) 18 pois 01log 0

8

5) 162 pois 416log 4

2

6) 10010 pois 2100log 2

10

Observações

1) Quando a base for 10, temos os chamados logaritmos decimais e neste caso,

omitimos a base na notação de logaritmos:

xx loglog10

2) Quando a base for o número e, temos os logaritmos naturais ou Neperianos e

neste caso, escrevemos:

xxe lnlog

Propriedades dos Logaritmos

Propriedades Básicas Propriedades Operatórias

1) 01log a P1) NMNM aaa loglog.log

2) 1log aa P2) NMNM aaa loglog/log

3) ya y

a log P3) MbM a

b

a loglog

4) xaxa

log P4)

a

MM

b

b

alog

loglog

Função Logarítmica

Dado um número positivo a com 1a , a função logarítmica de base a é a função

IRIRf

*: definida por:

xxf alog

40

Gráfico de y = loga x

O padrão gráfico da função exponencial xy alog depende fundamentalmente da base

a ser maior ou menor do que 1.

Para 1a temos:

Para 10 a temos:

Características do Gráfico de y = loga x

Domínio: ,0D

Imagem: IRIm

O gráfico de xy alog corta o eixo x no ponto 0,1 .

O gráfico de xy alog não toca o eixo y.

O eixo y 0x é uma Assíntota Vertical do gráfico de xy alog .

Para 1a , a função é crescente.

Para 10 a , a função é decrescente.

O gráfico de xy alog é a reflexão do gráfico de xay em relação à reta xy .

41

Exemplo 1 - Os gráficos das funções xxf 2log)( e xxg 3log)( são:

x xf

1/2 -1

1 0

2 1

x xg

1/3 -1

1 0

3 1

Exemplo 2 - Os gráficos das funções xxf2

1log)( e xxg3

1log)( são:

x xf

1/2 1

1 0

2 -1

x xg

1/3 1

1 0

3 -1

1.10. Funções Trigonométricas e Trigonométricas Inversas

O Ciclo Trigonométrico

Ciclo Trigonométrico ou Circunferência Trigonométrica é a circunferência orientada que

possui as seguintes características:

i) Raio igual a 1;

ii) Centro na origem dos eixos coordenados x e y;

iii) O ponto 0.1A como a origem dos arcos orientados.

Os eixos coordenados dividem o círculo trigonométrico em quatro arcos congruentes,

chamados de quadrantes.

xf

xg

xf

xg

42

Observe a tabela a seguir que relaciona ângulos e quadrantes:

Variação dos

Arcos º900 º180º90 º270º180 º360º270

Quadrante

Correspondente 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q

São definidas no ciclo trigonométrico seis funções circulares básicas: seno, cosseno,

tangente, cotangente, secante e cossecante.

Vamos conhecer cada uma dessas funções.

Função Seno, Função Cosseno e Suas Inversas

Considere no ciclo trigonométrico um ponto yxP , gerado pelo arco que mede rad .

Definimos:

ysen

cos

x

Podemos mostrar que:

1cossen 22

De fato, do ciclo trigonométrico extraímos o seguinte triângulo:

Aplicando Pitágoras obtemos:

1cossen 22

Exemplo 1 - Seja um ângulo do 1º quadrante cujo cosseno vale 4

3. Determine o valor de

sen .

Usando a relação acima temos que:

43

4

7

16

7

16

911

4

3sen 2

2

2

sensen

Mas sendo um ângulo do 1º quadrante, temos que sen é positivo.

Logo,

4

7sen .

Exemplo 2 – Calcule xcos , sabendo que 5cos43 xxsen e 2

0

x .

Devemos resolver o seguinte sistema de equações:

1cos

5cos43

22 xxsen

xxsen

Isolando xsen na primeira equação temos:

3

cos5 xxsen

Substituindo na segunda equação:

016cos40cos251cos

3

cos5 22

2

xxx

x

Fazendo xy cos temos a equação 0164025 2 yy

Resolvendo esta equação quadrática obtemos 5

4y .

Assim,

5

4cos x .

Veremos a seguir os valores do seno e do cosseno de alguns arcos notáveis:

44

Características da Função Seno

Segue diretamente da definição de sen que a função ttf sen tem as seguintes

características:

Domínio: IR

Imagem: 1,1

Período: tsen2tsen pois 2

ímpar função uma é seno função a tsensen t

Sinal, Crescimento e Decrescimento:

Observando os valores do seno dos arcos representados na figura acima vemos que:

ttf sen é positiva no 1º e 2º quadrantes

ttf sen é negativa no 3º e 4º quadrantes

ttf sen é crescente no 1º e 4º quadrantes

ttf sen é decrescente no 2º e 3º quadrantes

Gráfico:

x xsen

0 0

2/ 1

0

2/3 -1

2 0

Características da Função Cosseno

Segue diretamente da definição de cos que a função ttf cos tem as seguintes

características:

Domínio: IR

Imagem: 1,1

Período: tcos2tos pois 2 c

par função uma é cosseno função a tcostcos


45

ttf cos é positiva no 1º e 4º

quadrantes

ttf cos é negativa no 2º e 3º

quadrantes

ttf cos é crescente no 3º e 4º

quadrantes

ttf cos é decrescente no 1º e 2º

quadrantes

Gráfico:

x xcos

0 1

2/ 0

-1

2/3 0

2 1

Função Arco Seno

Sabemos que a função seno em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função

,xseny restrita ao intervalo 22

x é bijetora e portanto é invertível neste

intervalo.


Definimos a função arco seno por:

xy ysenxarcsen e 22

y .

46

Exemplo 1 – Encontre exatamente o valor de:

a) 2

3

6cos

2

1arcsencos

b) 2

1arcsen,2

senarcsen

c) 32

3arcsen,

4tan

2

3arcsen

Características da Função Arco Seno

Domínio: 1,1

Imagem:

2,

2

ímpar função uma é seno arco função a arcsenarcsen xx

A Função Arco Seno é sempre crescente

Sinal:

10 se 0arcsen

01 se 0arcsen

xx

xx

Gráfico:

Função Arco Cosseno

Sabemos que a função cosseno em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função

,xcosy restrita ao intervalo x0 é bijetora e portanto é invertível neste

intervalo.


47

Definimos a função arco cosseno por:

xy ycosxcosarc e y0 .

Exemplo 1 – Encontre exatamente o valor de:

d) 2

1

3

2cos

2

1cosarccos

e) 3

2

2

1cosarc,

3

2coscosarc

f) 00tan,1cosarctan

Características da Função Arco Cosseno

Domínio: 1,1

Imagem: ,0

Se 0x então, 2

cosarcarcsen

xx

A Função Arco Cosseno é sempre decrescente e sempre positiva

Gráfico:

48

Função Tangente

Considere no ciclo trigonométrico um ponto yxP , gerado pelo arco que mede rad e a

reta vertical t que passa pelo ponto 0,1A .

Prolongando a semirreta OP encontraremos o ponto ',' yxQ intersecção de OP com a

reta t.

Definimos 'tan y

Vejamos a seguir alguns valores da tangente de alguns arcos notáveis:


cos

tansen

49

De fato,

Da definição de tangente no ciclo trigonométrico extraímos os triângulos OAQ e OHP.

Usando semelhança de triângulos temos que:

costan

cos1

tan

sen

sen

OH

PH

OA

QA

Características da função Tangente

Segue diretamente da definição de tan que a função ttf tan tem as seguintes

características:

Domínio

A função tangente está definida nos pontos em que a função cosseno não se anula.

Portanto,

ZkktIRtD onde 2

/

Imagem: IR

Período: ttantan pois t

impar função uma é tangentefunção a ttanttan


ttf tan é positiva no 1º e 3º

quadrantes

ttf tan é negativa no 2º e 4º

quadrantes

ttf tan é sempre crescente.

50

Gráfico:

x xtan

0 0

2/

0

2/3

2 0

Observe que as retas do tipo Zkkx com 2

são Assíntotas Verticais do gráfico de

xy tan .

Função Arco Tangente

Sabemos que a função tangente em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função

,xtany restrita ao intervalo 22

y é bijetora e portanto é invertível neste

intervalo.

Definimos a função arco tangente por:

xy ytanxtanarc e 22

y .

Características da Função Arco Tangente

Domínio: IR

Imagem:

2,

2

ímpar função uma é tangentearco função a tanarctanarc xx

A Função Arco Tangente é sempre crescente

Sinal:

0 se 0arcsen2

0 xse 02

tanarc0

xx

x

Gráfico:

51

Função Cotangente


reta horizontal t que passa pelo ponto 1,0B .

Prolongando a semirreta OP encontraremos o ponto ',' yxQ intersecção de OP com a

reta t.

Definimos 'cot x


sen

coscot

De fato,

Da definição da função cotangente no ciclo trigonométrico extraímos os triângulos OBQ e

OHP:

Usando semelhança de triângulos temos que:

sensenPH

OH

OB

QB coscot

cos

1

cot

Podemos escrever ainda

tan

1cot

De fato,

Sabemos que

cos

tansen

.

Assim,

cot

cos

cos

1

tan

1

sensen

52

Característica da Função Cotangente

Usando a identidade

tan

1cot , podemos concluir que a função ttf cot tem as

seguintes características:

Domínio

A função cotangente está definida nos pontos em que a função seno não se anula.

Portanto,

ZkktIRtD onde /

Imagem: IR

Período: tcottot pois c

impar função uma é cotangente função a tcottcot


ttf cot é positiva no 1º e 3º

quadrantes

ttf cot é negativa no 2º e 4º

quadrantes

Além disso, ttf cot é sempre

decrescente.

Gráfico:

x xcot

0

2/ 0

2/3 0

2

Observe que as retas do tipo Zkkx com são Assíntotas Verticais do gráfico de

xy cot .

Função Arco Cotangente

Sabemos que a função cotangente em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função

,xcoty restrita ao intervalo x0 é bijetora e portanto é invertível neste intervalo.

53

Definimos a função arco cotangente por:

xy ycotxcotarc e y0 .

Características da Função Arco Cotangente

Domínio: IR

Imagem: ,0

xx tanarc2

cotarc

A Função Arco Cotangente é sempre decrescente e sempre positiva

Gráfico:

Função Secante e Função Cossecante


reta t que é tangente ao círculo trigonométrico no ponto P.

Sejam os pontos 0,mxM e nyN ,0 intersecção da reta t com os eixos x e y

respectivamente.

Definimos:

mxsec

nycsc


cos

1sec e

sen

1csc

De fato,

Da definição de secante e cossecante no circulo trigonométrico extraímos os triângulos

OPM, OPN e OHP:

54

Usando a relação de semelhança entre os triângulos OPM e OHP temos:

cos

1sec

cos

1

1

sec

OH

OP

OP

OM

Usando a relação de semelhança entre os triângulos OPN e OHP temos:

sensenPH

OP

OP

ON 1csc

1

1

csc

Características da Função Secante

Usando a identidade

cos

1sec , podemos concluir que a função ttf sec tem as


Domínio

A função secante não está definida nos pontos onde o cosseno se anula. Portanto:

ZkktIRtD onde 2

/

Imagem: ,11,

Período: tsec2tec pois 2 s

par função uma é secante função a tsectsec


ttf sec é positiva no 1º e 4º

quadrantes

ttf sec é negativa no 2º e 3º

quadrantes

ttf sec é crescente no 1º e 2º

quadrantes

ttf sec é decrescente no 3º e 4º

quadrantes

55

Gráfico:

x xsec

0 1

2/

-1

2/3

2 1

Observe que as retas do tipo Zkkx com 2

são Assíntotas Verticais do gráfico de

xy sec .

Características da Função Cossecante

Usando a identidade

sen

1csc , podemos concluir que a função ttf csc tem as


Domínio

A função cossecante não está definida nos pontos onde o seno se anula. Portanto:

ZkktIRtD onde /

Imagem: ,11,

Período: tcsc2teccsc pois 2 s

impar função uma é cossecante função a tcsctcsc


ttf csc é positiva no 1º e 2º

quadrantes

ttf csc é negativa no 3º e 4º

quadrantes

ttf csc é decrescente no 1º e 4º

quadrantes

ttf csc é crescente no 2º e 3º

quadrantes

56

Gráfico:

x xcsc

0

2/ 1

2/3 -1

2

Observe que as retas do tipo Zkkx com são Assíntotas Verticais do gráfico de

xy csc .

Função Arco Secante

Sabemos que a função secante em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função

,xsecy restrita ao intervalo x0 com 2

x é bijetora e portanto é invertível

neste intervalo.

Definimos a função arco secante por:

xy ysecxsecarc com y0 e 2

y

Características da Função Arco Secante

Domínio: ,11,

Imagem:

2

,0

xx

1cosarcsecarc

A Função Arco secante é sempre crescente e positiva em seu domínio.

Gráfico:

57

Função Arco Cossecante

Sabemos que a função cossecante em todo o seu domínio não é injetora. Mas a função

,xcscy restrita ao intervalo 22

x com 0x é bijetora e portanto é invertível

neste intervalo.

Definimos a função arco cossecante por:

xy ycscxcscarc com 22

y e 0y

Características da Função Arco Cossecante

Domínio: ,11,

Imagem: 02

,2

xx

1senarccscarc

xx secarc2

arccsc

A Função Arco cossecante é sempre decrescente

Sinal:

1 se 0cscarc2

1 xse 02

cscarc0

xx

x

Gráfico:

1.11. Transformações das funções trigonométricas

As regras para deslocamento, ampliação, redução e reflexão do gráfico de uma função

também se ampliam às funções trigonométricas.

Seja f uma função trigonométrica, podemos a partir do gráfico de f construir o gráfico de:

58

dcxbafy ))((

Onde,

a Promove uma ampliação ou redução vertical e/ou uma reflexão em relação ao eixo x.

b Promove uma ampliação ou redução horizontal e/ou uma reflexão em torno do eixo y.

c Promove um deslocamento horizontal;

d Promove um deslocamento vertical.

Exemplos: Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período de:

1) xy cos1

O gráfico desta função é o gráfico xy cos deslocado uma unidade para cima.

x xcos xcos1

0 1 2

2/ 0 1

-1 0

2/3 0 1

2 1 2

Domínio: IR

Imagem: 2,0

Período: 2

2) xseny 2

O gráfico desta função é o gráfico xseny ampliado verticalmente de 2 unidades e

refletido em relação ao eixo x.

59

x xsen xsen2

0 1 2

2/ 0 1

-1 0

2/3 0 1

2 1 2

Domínio: IR

Imagem: 2,2

Período: 2

3)

2cos

xy

O gráfico desta função é o gráfico xy cos ampliado horizontalmente de 2 unidades.

x

2

x

2cos

x

0 0 1

2/ 0

2 -1

3 2/3 0

4 2 1

Domínio: IR

Imagem: 1,1

O período, neste caso, foi alterado.

Sabendo que o período do xcos é

2p , fazemos:

422

xx

Logo, o período da nova função é

4p .

60

4)

2tan

xy

O gráfico desta função é o gráfico xy tan deslocado horizontalmente de 2

x unidades

para a esquerda.

x 2

xx

2tan

x

2/ 0 0

0 2/

2/ 0

2/3

2/3 2 0

Domínio:

ZkkxIRxD onde /

Imagem: IR

Período: .

Assíntotas Verticais: Zkkx onde

61

5)

221

xseny

x

2

x

2

xsen

22

xsen

221

xsen

2/ 0 0 0 1

2/ 1 2 -1

2/3 0 0 1

2 2/3 -1 -2 3

2/5 2 0 0 1

Domínio: IR

Imagem: 3,1

Período: 2

1.12. Identidades Trigonométricas

Além das identidades trigonométricas básicas já relacionadas, também são válidas, dentre

outras, as seguintes identidades:

1) 22 sec1tan

2) 22 csc1cot

3) bababa sensencoscoscos


5) abbaba cossencossensen


7) aaa cossen22sen

8) aaa 22 sencos2cos

9) aasen 2cos12

12

10) aa 2cos12

1cos2

62

Exemplo 1 – Sabendo que 12

5tan x e que x é um arco do segundo quadrante, calcule o

valor de xcos .

Vamos utilizar as relações 22 sec1tan e

cos

1sec .

Então temos que:

1

144

25

cos

1

cos

11

12

522

2

Daí,

13

12cos

144

169

cos

12

x

Como x é um arco do segundo quadrante, então 13

12cos x .

Exemplo 2 – Calcule o valor de º75sen .

Podemos escrever º45º30º75 sensen

Assim

4

62º75

2

3.

2

2

2

2.

2

1º75

º30cosº45º45cosº30º45º30º75

sen

sen

sensensensen

Exemplo 3 – Sendo a um ângulo do 1º quadrante e b do 2º quadrante, 5

4cos a e

13

5bsen , calcule ba cos .

Como a está no 1º quadrante, 5

3

25

161 asen .

Como b está no 2º quadrante, 13

12

169

251cos b .

Portanto,

65

33

13

5.

5

3

13

12.

5

4cos

ba

63

Exemplo 4 – Prove que aasen cos2

aasen

aasenasen

senaasenasen

cos2

1.cos0.2

2cos

2cos

2

Demonstração das identidades trigonométricas

1) 22 sec1tan

Sabemos que 1cos22 sen

Dividindo esta igualdade por 2cos temos:

22

22

2

2

2

sec1tancos

1

cos

cos

cos

sen

2) 22 csc1cot

Sabemos que 1cos22 sen

Dividindo por 2sen temos:

22

22

2

2

2

csc1cot1cos

sensensen

sen

3) bsenasenbaba coscoscos

Sejam a e b arcos do ciclo trigonométrico conforme figura abaixo:

Temos que:

asenaP

basenbaRA

bsenbO

,cos

,cos 0,1

,cosQ 0.0

64

Os triângulos OPQ e OAR são semelhantes, logo, RAdQPd ,. .

Mas,

22

22

01cos,

e coscos.

basenbaRAd

asenbsenabQPd

Assim,

babsenasenba

basenbaasenbsenab

basenbaasenbsenab

cos222coscos22

01coscoscos

01coscoscos

2222

2222

Portanto,

bsenasenbaba coscoscos


bsenasenbababa coscoscoscos

Mas, bsenbb b-sen e coscos

Logo,

bsenasenbaba coscoscos


É fácil ver que asena

2cos

e aasen cos

2

.

Portanto,

bsenabasenba

bsenasenbaba

bababa

coscossen

2cos

2cossen

2cos

2cossen


bsenababasenba coscossensen

Mas, bsenbb b-sen e coscos

Logo,

bsenababa coscossensen

7) aaa cossen22sen

Fazendo ba na igualdade (6) temos:

65

aasenasen

aasenaaaasena

cos22

coscossen2sen

8) aaa 22 sencos2cos

Fazendo ba na igualdade (4) temos:

asenaasen

asenasenaaaaa

22cos2

coscoscos2cos

9) aasen 2cos12

12

Fazendo asena 22 1cos na igualdade (8) temos:

aasen

aasen

asenasenasena

2cos12

1

2cos12

2112cos

2

2

222

10) aa 2cos12

1cos2

Fazendo aasen 22 cos1 na igualdade (8) temos:

aa

aa

aaaa

2cos12

1cos

2cos1cos2

1cos2cos1cos2cos

2

2

222

apostila cálculo i

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