aula de cálculo i - limite

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Cálculo I Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 5 13 de setembro de 2007 Aula 5 Cálculo I 1

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Aula sobre Limites para alunos que cursam Cálculo I.

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Page 1: Aula de Cálculo I - Limite

Cálculo I

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 5

13 de setembro de 2007

Aula 5 Cálculo I 1

Page 2: Aula de Cálculo I - Limite

Exercícios da última aula

Aula 5 Cálculo I 2

Page 3: Aula de Cálculo I - Limite

Relembrando o teorema do confronto

Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de p (excetopossivelmente em p) e

limx→p

f (x) = L = limx→p

h(x),

entãolimx→p

g(x) = L.

Teorema

Este teorema também é conhecido comoo teorema do sanduíche.

Aula 5 Cálculo I 3

Page 4: Aula de Cálculo I - Limite

Relembrando o teorema do anulamento

Se y = f (x) é uma função limitada em torno de um ponto p elimx→p g(x) = 0, então

limx→p

(f (x) · g(x)) = 0.

Teorema

Aula 5 Cálculo I 4

Page 5: Aula de Cálculo I - Limite

Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart

Estude limx→0

x4 cos(

2x

).

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-cando estas desigualdades por x4 para x 6= 0, vemos que

−x4 ≤ x4 cos(

2x

)≤ +x4.

Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confrontoque

limx→0

x4 cos(

2x

)= 0.

Aula 5 Cálculo I 5

Page 6: Aula de Cálculo I - Limite

Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart

Estude limx→0

x4 cos(

2x

).

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-cando estas desigualdades por x4 para x 6= 0, vemos que

−x4 ≤ x4 cos(

2x

)≤ +x4.

Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confrontoque

limx→0

x4 cos(

2x

)= 0.

Aula 5 Cálculo I 6

Page 7: Aula de Cálculo I - Limite

Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart

Estude limx→0

x4 cos(

2x

).

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-cando estas desigualdades por x4 para x 6= 0, vemos que

−x4 ≤ x4 cos(

2x

)≤ +x4.

Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confrontoque

limx→0

x4 cos(

2x

)= 0.

Aula 5 Cálculo I 7

Page 8: Aula de Cálculo I - Limite

Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart

Estude limx→0

x4 cos(

2x

).

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-cando estas desigualdades por x4 para x 6= 0, vemos que

−x4 ≤ x4 cos(

2x

)≤ +x4.

Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confrontoque

limx→0

x4 cos(

2x

)= 0.

Aula 5 Cálculo I 8

Page 9: Aula de Cálculo I - Limite

Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart

Estude limx→0

x4 cos(

2x

).

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-cando estas desigualdades por x4 para x 6= 0, vemos que

−x4 ≤ x4 cos(

2x

)≤ +x4.

Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confrontoque

limx→0

x4 cos(

2x

)= 0.

Aula 5 Cálculo I 9

Page 10: Aula de Cálculo I - Limite

Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart

Estude limx→0

x4 cos(

2x

).

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-cando estas desigualdades por x4 para x 6= 0, vemos que

−x4 ≤ x4 cos(

2x

)≤ +x4.

Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confrontoque

limx→0

x4 cos(

2x

)= 0.

Aula 5 Cálculo I 10

Page 11: Aula de Cálculo I - Limite

Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart

Estude limx→0+

√x 2sen(π/x).

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-ciando, vemos que

2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.

Isto mostra que y = f (x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, comolimx→0+

√x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que

limx→0+

√x 2sen(π/x) = 0.

Aula 5 Cálculo I 11

Page 12: Aula de Cálculo I - Limite

Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart

Estude limx→0+

√x 2sen(π/x).

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-ciando, vemos que

2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.

Isto mostra que y = f (x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, comolimx→0+

√x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que

limx→0+

√x 2sen(π/x) = 0.

Aula 5 Cálculo I 12

Page 13: Aula de Cálculo I - Limite

Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart

Estude limx→0+

√x 2sen(π/x).

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-ciando, vemos que

2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.

Isto mostra que y = f (x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, comolimx→0+

√x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que

limx→0+

√x 2sen(π/x) = 0.

Aula 5 Cálculo I 13

Page 14: Aula de Cálculo I - Limite

Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart

Estude limx→0+

√x 2sen(π/x).

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-ciando, vemos que

2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.

Isto mostra que y = f (x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, comolimx→0+

√x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que

limx→0+

√x 2sen(π/x) = 0.

Aula 5 Cálculo I 14

Page 15: Aula de Cálculo I - Limite

Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart

Estude limx→0+

√x 2sen(π/x).

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-ciando, vemos que

2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.

Isto mostra que y = f (x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, comolimx→0+

√x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que

limx→0+

√x 2sen(π/x) = 0.

Aula 5 Cálculo I 15

Page 16: Aula de Cálculo I - Limite

Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart

Estude limx→0+

√x 2sen(π/x).

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-ciando, vemos que

2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.

Isto mostra que y = f (x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, comolimx→0+

√x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que

limx→0+

√x 2sen(π/x) = 0.

Aula 5 Cálculo I 16

Page 17: Aula de Cálculo I - Limite

Problemas de organização eerros freqüentes

Aula 5 Cálculo I 17

Page 18: Aula de Cálculo I - Limite

Problemas de organização e erros freqüentes

Aula 5 Cálculo I 18

Page 19: Aula de Cálculo I - Limite

Problemas de organização e erros freqüentes

Aula 5 Cálculo I 19

Page 20: Aula de Cálculo I - Limite

Problemas de organização e erros freqüentes

Aula 5 Cálculo I 20

Page 21: Aula de Cálculo I - Limite

Problemas de organização e erros freqüentes

Aula 5 Cálculo I 21

Page 22: Aula de Cálculo I - Limite

Problemas de organização e erros freqüentes

Aula 5 Cálculo I 22

Page 23: Aula de Cálculo I - Limite

Problemas de organização e erros freqüentes

Aula 5 Cálculo I 23

Page 24: Aula de Cálculo I - Limite

Problemas de organização e erros freqüentes

Aula 5 Cálculo I 24

Page 25: Aula de Cálculo I - Limite

Problemas de organização e erros freqüentes

Aula 5 Cálculo I 25

Page 26: Aula de Cálculo I - Limite

Problemas de organização e erros freqüentes

Aula 5 Cálculo I 26

Page 27: Aula de Cálculo I - Limite

Problemas de organização e erros freqüentes

Aula 5 Cálculo I 27

Page 28: Aula de Cálculo I - Limite

As definições formais de limite elimites laterais

Aula 5 Cálculo I 28

Page 29: Aula de Cálculo I - Limite

Motivação para a definição formal de limite

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

(∗)= lim

x→3

2 (x − 1/2)(x − 3)

x − 3

= limx→3

(2 x − 1)

= 2 (3)− 1 = 5.

f (x) =2 x2 − 7 x + 3

x − 3= 2 x − 1, para x 6= 3.

Aula 5 Cálculo I 29

(∗) pois 2 x2 − 7 x + 3 = 2 (x − 1/2)(x − 3).

Page 30: Aula de Cálculo I - Limite

Motivação para a definição formal de limite

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

(∗)= lim

x→3

2 (x − 1/2)(x − 3)

x − 3

= limx→3

(2 x − 1)

= 2 (3)− 1 = 5.

f (x) =2 x2 − 7 x + 3

x − 3= 2 x − 1, para x 6= 3.

Aula 5 Cálculo I 30

(∗) pois 2 x2 − 7 x + 3 = 2 (x − 1/2)(x − 3).

Page 31: Aula de Cálculo I - Limite

Motivação para a definição formal de limite

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

(∗)= lim

x→3

2 (x − 1/2)(x − 3)

x − 3

= limx→3

(2 x − 1)

= 2 (3)− 1 = 5.

f (x) =2 x2 − 7 x + 3

x − 3= 2 x − 1, para x 6= 3.

Aula 5 Cálculo I 31

(∗) pois 2 x2 − 7 x + 3 = 2 (x − 1/2)(x − 3).

Page 32: Aula de Cálculo I - Limite

Motivação para a definição formal de limite

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

(∗)= lim

x→3

2 (x − 1/2)(x − 3)

x − 3

= limx→3

(2 x − 1)

= 2 (3)− 1 = 5.

f (x) =2 x2 − 7 x + 3

x − 3= 2 x − 1, para x 6= 3.

Aula 5 Cálculo I 32

(∗) pois 2 x2 − 7 x + 3 = 2 (x − 1/2)(x − 3).

Page 33: Aula de Cálculo I - Limite

Motivação para a definição formal de limite

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

(∗)= lim

x→3

2 (x − 1/2)(x − 3)

x − 3

= limx→3

(2 x − 1)

= 2 (3)− 1 = 5.

f (x) =2 x2 − 7 x + 3

x − 3= 2 x − 1, para x 6= 3.

Aula 5 Cálculo I 33

(∗) pois 2 x2 − 7 x + 3 = 2 (x − 1/2)(x − 3).

Page 34: Aula de Cálculo I - Limite

Motivação para a definição formal de limite

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

(∗)= lim

x→3

2 (x − 1/2)(x − 3)

x − 3

= limx→3

(2 x − 1)

= 2 (3)− 1 = 5.

f (x) =2 x2 − 7 x + 3

x − 3= 2 x − 1, para x 6= 3.

Aula 5 Cálculo I 34

(∗) pois 2 x2 − 7 x + 3 = 2 (x − 1/2)(x − 3).

Page 35: Aula de Cálculo I - Limite

Visualizando os elementos da definição no GeoGebra

Aula 5 Cálculo I 35

Page 36: Aula de Cálculo I - Limite

Definição formal de limite

Seja f uma função definida em um intervalo aberto quecontém o número p, exceto possivelmente o próprio número p.Então dizemos que o limite de f (x) quando x tende a p éo número real L se para todo número ε > 0, existe umnúmero δ > 0 tal que

se 0 < |x − p|︸ ︷︷ ︸distância entre x e p

< δ, então |f (x)− L|︸ ︷︷ ︸distância entre f (x) e L

< ε.

Neste caso escreveremos

limx→p

f (x) = L.

Definição

Aula 5 Cálculo I 36

Page 37: Aula de Cálculo I - Limite

Definição formal de limite

Seja f uma função definida em um intervalo aberto quecontém o número p, exceto possivelmente o próprio número p.Então dizemos que o limite de f (x) quando x tende a p éo número real L se para todo número ε > 0, existe umnúmero δ > 0 tal que

se 0 < |x − p|︸ ︷︷ ︸distância entre x e p

< δ, então |f (x)− L|︸ ︷︷ ︸distância entre f (x) e L

< ε.

Neste caso escreveremos

limx→p

f (x) = L.

Definição

Aula 5 Cálculo I 37

Page 38: Aula de Cálculo I - Limite

Definição formal de limite

Seja f uma função definida em um intervalo aberto quecontém o número p, exceto possivelmente o próprio número p.Então dizemos que o limite de f (x) quando x tende a p éo número real L se para todo número ε > 0, existe umnúmero δ > 0 tal que

se 0 < |x − p|︸ ︷︷ ︸distância entre x e p

< δ, então |f (x)− L|︸ ︷︷ ︸distância entre f (x) e L

< ε.

Neste caso escreveremos

limx→p

f (x) = L.

Definição

Aula 5 Cálculo I 38

Page 39: Aula de Cálculo I - Limite

Definição formal de limite

Seja f uma função definida em um intervalo aberto quecontém o número p, exceto possivelmente o próprio número p.Então dizemos que o limite de f (x) quando x tende a p éo número real L se para todo número ε > 0, existe umnúmero δ > 0 tal que

se 0 < |x − p|︸ ︷︷ ︸distância entre x e p

< δ, então |f (x)− L|︸ ︷︷ ︸distância entre f (x) e L

< ε.

Neste caso escreveremos

limx→p

f (x) = L.

Definição

Aula 5 Cálculo I 39

Page 40: Aula de Cálculo I - Limite

Definição formal de limite

Seja f uma função definida em um intervalo aberto quecontém o número p, exceto possivelmente o próprio número p.Então dizemos que o limite de f (x) quando x tende a p éo número real L se para todo número ε > 0, existe umnúmero δ > 0 tal que

se 0 < |x − p|︸ ︷︷ ︸distância entre x e p

< δ, então |f (x)− L|︸ ︷︷ ︸distância entre f (x) e L

< ε.

Neste caso escreveremos

limx→p

f (x) = L.

Definição

Aula 5 Cálculo I 40

Page 41: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 41

Page 42: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 42

Page 43: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 43

Page 44: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 44

Page 45: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 45

Page 46: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 46

Page 47: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 47

Page 48: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 48

Page 49: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 49

Page 50: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 50

Page 51: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 51

Page 52: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 52

Page 53: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 53

Page 54: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 54

Page 55: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 55

Page 56: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 56

Page 57: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

Mostre que limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Solução. Temos que f (x) = (2 x2 − 7 x + 3)/(x − 3) = 2 x − 1 para x 6= 3,p = 3 e L = 5. Agora

|f (x)− L| = |(2 x − 1)− 5| = |2 x − 6| = |2 (x − 3)| = 2 |x − 3|.

Assim, dado ε > 0 qualquer, escolhendo δ = ε/2, vemos que

se 0 < |x − 3| < δ então |f (x)− 5| = 2 |x − 3| < 2 δ = 2 (ε/2) = ε.

Isto mostra que

limx→3

2 x2 − 7 x + 3x − 3

= 5.

Aula 5 Cálculo I 57

Page 58: Aula de Cálculo I - Limite

Um exemplo onde não existe o limite

Aula 5 Cálculo I 58

Page 59: Aula de Cálculo I - Limite

Definição formal de limite lateral à esquerda

Dizemos quelim

x→p+= L

se para todo número ε > 0, existe um número δ > 0 tal que

se 0 < |x−p| < δ e x > p, então |f (x)−L| < ε.

Definição

Aula 5 Cálculo I 59

Page 60: Aula de Cálculo I - Limite

Definição formal de limite lateral à direita

Dizemos quelim

x→p−= L

se para todo número ε > 0, existe um número δ > 0 tal que

se 0 < |x−p| < δ e x < p, então |f (x)−L| < ε.

Definição

Aula 5 Cálculo I 60

Page 61: Aula de Cálculo I - Limite

Limites infinitos e assíntotas verticais

Aula 5 Cálculo I 61

Page 62: Aula de Cálculo I - Limite

Cuidado!

f (x) =1x2

x q(x)

− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100

Aula 5 Cálculo I 62

Page 63: Aula de Cálculo I - Limite

Cuidado!

f (x) =1x2

x q(x)

− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100

Aula 5 Cálculo I 63

Page 64: Aula de Cálculo I - Limite

Cuidado!

f (x) =1x2

x q(x)

− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100

Aula 5 Cálculo I 64

Page 65: Aula de Cálculo I - Limite

Cuidado!

f (x) =1x2

x q(x)

− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100

Aula 5 Cálculo I 65

Page 66: Aula de Cálculo I - Limite

Cuidado!

f (x) =1x2

x q(x)

− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100

Aula 5 Cálculo I 66

Page 67: Aula de Cálculo I - Limite

Cuidado!

f (x) =1x2

x q(x)

− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100

Aula 5 Cálculo I 67

Page 68: Aula de Cálculo I - Limite

Cuidado!

f (x) =1x2

x q(x)

− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100

Aula 5 Cálculo I 68

Page 69: Aula de Cálculo I - Limite

Cuidado!

f (x) =1x2

x q(x)

− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100

Aula 5 Cálculo I 69

Page 70: Aula de Cálculo I - Limite

Cuidado!

f (x) =1x2

x q(x)

− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100

Aula 5 Cálculo I 70

Page 71: Aula de Cálculo I - Limite

Cuidado!

f (x) =1x2

x q(x)

− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100

Aula 5 Cálculo I 71

Page 72: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

limx→0

1x2 = +∞.

Aula 5 Cálculo I 72

Page 73: Aula de Cálculo I - Limite

Limite infinito (de um ponto de vista informal)

Seja f uma função definida em ambos os lados de p, excetopossivelmente em p. Dizemos que

limx→p

f (x) = +∞

se podemos fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamentegrandes (tão grandes quanto quisermos) por meio de umaescolha adequada de x nas proximidades de p, mas não iguala p.

Definição

Aula 5 Cálculo I 73

Page 74: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

limx→0

− 1x2 = −∞.

Aula 5 Cálculo I 74

Page 75: Aula de Cálculo I - Limite

Limite infinito (de um ponto de vista informal)

Seja f uma função definida em ambos os lados de p, excetopossivelmente em p. Dizemos que

limx→p

f (x) = −∞

se podemos fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamentegrandes, porém negativos, escolhendo-se valores de xpróximos de p, porém diferentes do próprio p.

Definição

Aula 5 Cálculo I 75

Page 76: Aula de Cálculo I - Limite

Limites laterais infinitos

Definições análogas podem ser dadas no caso de limites laterais:

limx→p+

f (x) = +∞, limx→p+

f (x) = −∞,

limx→p−

f (x) = +∞, limx→p−

f (x) = −∞.

Aula 5 Cálculo I 76

Page 77: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

limx→3+

1x − 3

= +∞ e limx→3−

1x − 3

= −∞.

Aula 5 Cálculo I 77

Page 78: Aula de Cálculo I - Limite

Assíntota vertical

A reta x = p é uma assíntota vertical do gráfico de y = f (x) sepelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:

limx→p+

f (x) = +∞, limx→p+

f (x) = −∞,

limx→p−

f (x) = +∞, limx→p−

f (x) = −∞.

Definição

Aula 5 Cálculo I 78

Page 79: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

As assíntotas verticais de y = tg(x) sãox = +π/2, x = −π/2, x = +3 π/2, x = −3 π/2, etc.

Aula 5 Cálculo I 79

Page 80: Aula de Cálculo I - Limite

Exemplo

A assíntota vertical de y = ln(x) é a retax = 0 (o eixo y ).

Aula 5 Cálculo I 80