FUNÇÕES

Dados dois conjuntos não vazios de A em B chama-se de função de A em B a qualquer relação tal que a cada um dos elementos do

conjunto A corresponda sempre um único elemento do conjunto B.

Indicamos que uma relação f é uma função de A em B, escrevendo f : A B. O conjunto A é o domínio da função e o B é o contradomínio.

Numa função f : A B, chamamos de conjunto imagem da função ao conjunto de todos os elementos de B(contradomínio) que tiverem alguma correspondência com valores de A (domínio).Exemplo: A B Conjunto Imagem

Contradomínio

Domínio

Imagine um veículo com velocidade constante. Feitas as medições dos espaços (em metros) de segundo em segundo, obtiveram-se os

resultados:

Tempo (s) 0 1 2 3 4 5...

Espaço (m) 0 15 30 45 60 75...

Observando à tabela, pode-se chamar de s a variável do conjunto dos tempos e de m a variável do conjunto dos espaços. Como a variável s não depende de nenhum fator ela é chamada de variável independente. A variável m depende de cada valor de s, portanto é uma variável dependente. Cada valor de m está em função de s, ou de maneira mais simples: a variável ‘m’ é função de ‘s’, que se representa por:

Constitui-se, dessa forma, o conceito de função:

Sejam ‘x’ e ‘y’ duas variáveis representativas de conjuntos de números; diz-se que ‘y’ é função de ‘x’ e escreve-se.

y = f(x)

Uma função também pode ser representada geometricamente de maneira muito simples, com um sistema de referência denominado

cartesiano, por ter sido usado pela primeira por René Descartes 1, na primeira metade do séc. XVII.

TIPOS DE FUNÇÕES

Função Injetora: Dada uma função f : A B., será injetora quando elementos distintos do conjunto A estão em correspondência com elementos distintos do conjunto B.

Exemplo: Seja f : A B, definida por f ( x )=x+3 A B

(Cada elemento B só recebe uma flechada

Função Sobrejetora : - Dada uma função f : A B., será Sobrejetora se o conjunto imagem for igual ao contradomíno.

Exemplo: Seja f : A B, definida por f ( x )=3 x2

1

1

2.3.4.

.25.

.4

.9

.16

1.

2..

.4

.5

.6

m = f(s)

A B

Não sobram elementos em B

Função Bijetora: Dada uma função f : A B., será Bijetora quando for ao mesmo tempo Sobrejetora e Injetora.

Exemplo: Seja f : A B, definida por f ( x )=x+1 A B Sobrejetora: não sobram elementos em B

Injetora: cada elemento de B sé recebe uma flecha.

Função Composta.

Dados os conjuntos: A={ 0, 1, 2 }; B={ 0, 1, 2, 3, 4 } e C= { 0, 1, 4, 9, 16 } e considerando as seguintes funções:f : A→B e definida por: f ( x ): 2x

g :B→C e definida por: g( x ) : x2

h

g

f g

Observe que:

A cada x ∈ A associa-se um único elemento y ∈ B tal que y=2x

A cada y ∈ B associa-se um único elemento z ∈ C tal que z= y2

A cada x ∈ A associa-se um único elemento z ∈ C tal que z= y2=(2 x )2=4 x2

Então se verifica que existe um função h de A em C definida por h( x ): 4 x2, que indica-se por gοf ou g( f ( x ))

Logo h( x )=gοf=g( f ( x ))={(0,0 ) ,(1,4 ), (2,16 )}ou h( x )=4 x2

Função Inversa

Dados os conjuntos: A={ 1, 2, 3, 4 } e B={ 2, 4, 6, 8 } e considerando as seguintes funções:

2

1.

-1.

2..

.3

.12

1.

2.

3..

..2 .3 .4

A

0⋅¿ ¿1⋅¿ ¿

2⋅¿ ¿3⋅¿ ¿4⋅¿

¿

B

¿0¿1¿2¿3¿4

C

¿0

¿1

¿ 4

¿9

¿16

f : A→B e definida por: y=2x

g :B→A e definida por: y= x

2

f g

f={(1,2), (2,4), (3,6),(4,8)} g = {(2,1), (4,2), (6,3),(8,4)}D={1, 2, 3, 4} D = {2, 4, 6, 8}Im={ 2, 4, 6, 8} Im={1, 2, 3, 4}

Observe que: A função g pode ser obtida invertendo-se a ordem dos elementos de cada um dos pares ordenados que pertencem à função f .

D f=Img e

Dg=Im f

Daí dizermos que a função g é função inversa da função f. e indicamos por f−1

.Atenção:

A função y=( x ) define uma correspondência de x para y, ou seja, dado um valor de x, pode-se obter o valor de y que lhe corresponde através da função f.Essa correspondência é unívoca, quer seja, cada x terá em correspondência um único y.

A função inversa de f, quer seja f−1

, define uma correspondência contrária, isto é, de y para x e indica-se por x= f−1( y )Essa função somente existirá se a correspondência de y para x também for unívoca. (funções bijetoras).As funções que possuem inversas são chamadas de funções inversíveis.

Daí podemos concluir que: Dada uma função bijetpra f : A→B , chama-se função inversa de f a função f−1 :B→A tal que

(a ,b )∈ f ⇔(b ,a )∈ f −1

Cálculo da função Inversa ( processo algébrico)

a) y=x+2Resolução:y⏟↓

=x⏟↓

+2

x= y+2→ trocamos x por yy=x−2→isolamosyPor tan to y=x−2 é a exp ressão que representa a inversa da função y=x+2

b ) y= x+52 x−3 com

x≠32

Resolução:Trocando x por y:

x= y+52 y−3

⇒ x(2 y−3 )= y+5⇒2xy−3x= y+5

Isolando y:

2 xy− y=3x+5⇒ y=3 x+52 x−1

Resposta: y= 3 x+5

2 x−1 com x≠1

2 é a função inversa da função y= x+5

2x−3Gráfico de uma função.

Na representação geométrica de uma função, os valores da variável independente ( x ) serão representados, geralmente, no

eixo das abscissas e os valores da variável dependente ( y ), no eixo das ordenadas.

3

A

1

2

3

4

B

2

4

6

8

B

2

4

6

8

A

1

2

3

4

A representação geométrica ou gráfica constitui uma poderosa forma de se representar uma função, pela facilidade de interpretação e visualização do comportamento das variáveis.

Considere todos os pares ordenados (x,y) onde x pertence ao domínio da função f e y é a imagem de x pela função f .

O gráfico cartesiano de uma função numérica f é a representação gráfica onde cada um desses pares ordenados é mostrado como um ponto do plano cartesiano.

Portanto, o gráfico das funções reais é o conjunto de todos os pontos (x; y) do plano cartesiano onde x está no domínio e y é a imagem de x segundo a definição da função f.

Ao zeros ou raízes de uma unção são os pontos onde f(x)=0. Graficamente , são os pontos da curva (gráfico de f ) onde intercepta o eixo x.Exemplos: Gráfico de f(x) = ax

y

0 x

Gráfico de f ( x )=x2

y

0 x

Gráfico de f ( x )=x3

y

0 x

Funções Especiais:

Função Constante – é toda função do tipo f ( x )=k , que associa a qualquer número real x um mesmo número real kA representação será sempre uma reta paralela ao eixo x , pasando por f ( x )=kExemplos:

a) f ( x )=3

y

3

0 x

b) f ( x )=−2 y

0 x -2

Função Identidade

O gráfico dessa função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.f ( x )=x

y

0 x

Função do 1º Grau.

Denominamos função do primeiro grau a qualquer função f : R R, tal que: f (x ) = ax+b (com a¿ 0)

O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta inclinada que encontra o eixo vertical quando y=b .

O valor constante b da expressão ax+b é chamado coeficiente linear.

O coeficiente a da expressão ax+b é chamado de coeficiente angular e está associado ao grau de inclinação que a reta do gráfico terá.

Se a > 0 a função será crescente, ou seja, quanto maior for o valor de x , maior será o valor correspondente de y e o gráfico vai ficando mais alto para a direita.

y f ( x )=ax+b (a > 0)

x

Se a < 0 a função será decrescente, ou seja, quanto maior for o valor de x , menor será o valor correspondente de y e o gráfico vai ficando mais baixo para a direita.

y f ( x )=ax+b

4

a < 0

x

Classificação da função do 1º grau:

Função linear é do tipo f ( x )=ax

Função Afim é do tipo f ( x )=ax+b

Zeros da função do 1º Grau.

a) Zeros ou raízes da função é o valor que anula a função, isto é torna-se f ( x )=0, ponto em que o gráfico corta o eixo x .

Ex.: f ( x )=3 x−1

f ( x )=3 x−13 x−1=03 x=1

x=13

Exercícios1. Construa o gráfico de cada função abaixo e classifique em crescente ou decrescente, considerando para todas as funções, o seguinte domínio: D ={ -2, -1, 0, 1, 2}

a)f ( x )= x−2 e) f ( x )=−1

3x

b) f ( x )= 1 – 3x f) f ( x )=−4 x+3

c) f ( x )= −x g) f ( x )=2+2 x

d) f ( x )= 3

2. Calcule os zeros das funções.

a) f ( x )=x+3 c) f ( x )=2 x−1

b) f ( x )=−2 x+4 d) f ( x )=−3 x

Função Quadrática ou Função do 2º Grau

Denominamos função do segundo grau a qualquer função f : R R, tal que: f (x ) = ax2+ bx+c (com a¿ 0)

Como vimos anteriormente a determinação algébrica de uma equação na forma: ax2+bx+c=0 , com a≠0 ,

pode ser obtida com a fórmula de Báskara.

x=−b±√Δ2a , onde Δ=b2−4 .a .c (discriminação da equação).

O sinal da discriminante, Δ , determina a quantidade de raízes da equação do segundo grau.

Δ>0 duas raízes reais e distintas;

Δ=0 uma única raiz real (duas raízes iguais);

Δ<0 nenhuma raiz real.

Obs.: Quando a equação apresenta duas raízes distintas, o gráfico toca o eixo x duas vezes;Quando a equação apresenta uma única raiz o gráfico toca apenas uma vez o eixo x.;Quando a equação não tem raiz o gráfico não toca o eixo x.

O gráfico de uma função do 2º grau é sempre uma parábola com eixo de simetria paralela a O⃗y . O ponto de intersecção entre a parábola e o eixo de simetria denomina-se vértice

y V

5

vértice

x ' x ''

x1

x1 x2

x2

x1=x2

x1=x2

vx

O x

Eixo de simetria Pode-se demonstrar que as coordenadas do vértice são:

xv=− b2a e

yv=− Δ4 a , assim forma um par ordenado

(− b2a

;− Δ4 a )

y y

x' x ''

O x

O x yv

xv

a>0 (a maior que zero)Concavidade voltada p/ cima

a<0 (a menor que zero) Concavidade voltada p/ baixo

Δ>0

Δ=0

Δ<0

1) Construa os gráficos das funções seguintes.

a ) f ( x )=x2−2 x−3 e ) f (x )=3 x2+5 x

b ) f ( x )=−x2+2 x+3 f ) f ( x )=3 x2=27c ) f ( x )=−x2+2 x−4 g ) f ( x )=−x2+4d ) f ( x )=−x2+2x−1 h ) f ( x )=9x2−16

Funções Exponenciais

Função exponencial: é toda função de f de R em R tal que f ( x )=ax, com 0<a≠1 (a positivo e diferente de 1).

Quando a incógnita se encontra no expoente as equações são chamadas de funções exponenciais.

6

yvV

V

xv

Exemplos.: f ( x )=3x função exponencial com base a =3

f ( x )=(15 )

x

função exponencial com base a =

15

A função exponencial será CRESCENTE sempre que a > 1.

y

x

A função exponencial será DECRESCENTE sempre que a 0 < a < 1.

y

x

Exercícios1º Construa o gráfico das seguintes funções:

a) f ( x )=2xb)

f ( x )=(12 )

x

c) f ( x )=2x+1 f ( x )=2x+1

b) f ( x )=(1

2 )x

d) f ( x )=2x+1Função Logarítmica

Função f : R -> R definida por f ( x )= loga x , com a∈R , 0 < a ¿ 1 e x∈ R , é denominada função logarítmica de base a.

A função logarítmica de base a é a inversa da função exponencial de mesma base.

Exemplos:

a ) f ( x )=log2 (x )b ) f ( x )=log1

2

( x )

Resolução Resolução

log 2( x )= ylog 1

2

( x )= y

2 y=x ( 12 )

y

=x

2º Esboce o gráfico das seguintes funções logarítmicas:

a) f ( x )= log3( x ) b)

f ( x )= log13

( x )

LIMITES

Descreve o comportamento dos valores de uma função f nas proximidades de um ponto b.

Esquerda direita

7

y -2 -1 0 1 2

( 12 )

x

= y4 2 1 1

214

Y= -2 -1 0 1 2

x=2 y 14

12

1 2 4

a b c

Exemplo 1: Consideremos uma função f :R→R definida por f ( x )=x+2 Investigar quando x tende

a 3.

Resolução: o Domínio não foi especificado, portanto, pode ser qualquer número do campo dos reais.

Quando dizemos que x tende a 3, significa que x se aproxima de 3 pela esquerda ou pela direita, sem, no entanto, asumir o valor 3.

< > 3

Atribuímos valores a x:Pela Esquerda

f(x): x+2Pela Direita

f(x): x+2x y x y

2,0 4,0 3,9 5,92,3 4,3 3,7 5,72,5 4,5 3,4 5,42,8 4,8 3,2 5,22,9 4,9 3,1 5,12,93 4,93 3,08 5,082,99 4,99 3,01 5,01

lim x→3−f ( x )=5 lim x→3+

f ( x )=5

y5

2

-2 0 3 x

Se os limites são iguais, dizemos que a função tem limite no ponto 3 e que é uma função contínua no ponto 3, ou seja, quando os dois limites laterais de uma função forem iguais, dizemos que existe o limite da função naquele ponto.

Exemplo 2 : f (x )=¿ {x , se x≤3¿ ¿¿¿¿

¿Observe que é uma função definida por duas sentenças.

Atribuímos valores para

f(x): x≤3

Atribuímos valores paraf(x): x+2

x y x y3,0 3,0 3,9 5,92,0 2,0 3,8 5,8

8

lim x→ 3 f ( x )=5 ou lim x→ 3 f (x+2 )=5

1,0 1,0 3,5 5,5

lim x→3−f ( x )=3 lim x→3+

f ( x )=5

Observe que quando x se aproxima de 3 pela esquerda, f(x) se aproxima de 3: lim x→3−

f ( x )=3

Quando x se aproxima de 3 pela direita, f(x) se aproxima de 5: lim x→3+ f ( x )=5

Esses limites são chamados limites laterais e, como são diferentes, dizemos que neste caso não existe o limie de f(x) quando x tende a 3.

Para que exista o limite f(x) deve se aproximar de um mesmo valor quando x se aproxima de 3 pela

direita ou pela esquerda, isto é: lim x→3−f ( x )=limx→3

+f ( x )=lim x→3 f ( x )

y 5

3

0 3 x

Exemplo 3: Considere a função f ( x )= x2−9

x−3 , definida em R−{3} O Domínio de f ( x ) é R−{3} , isto é, não existe f(3) porque teríamos uma divisão por zero. Assim, para calcularmos f(3) devemos simplificar a função:

f ( x )= x2−9

x−3=

( x+3 )( x−3 )x−3

= x+3⇒ f ( x )=x+3

Mesmo não existindo f(3), existe o valor de f(x0 quando x se aproxima de 3 pela esquerda ou pela direita:

lim x→3−f ( x )=limx→3

+f ( x )=lim x→3 f ( x )=6

Observe pelo gráfico abaixo que x não chega a asumir o valor de 3, e f(x) não chega a asumir o valor de 6, mas, quando x se aproxima de 3, f(x) se aproxima do valor 6.

y6

3

0 3 x

Podemos determinar os limites das funções sem a construção de gráficos, veja os exemplos abaixo:

a) Determinar lim x→2 (4 x+1) e dar interpretação para o resultado.

Resolução: lim x→2 (4 x+1)=( 4 .2+1 )=9 Quando x se aproxima de 2, então 4 x+1 assume valor próximo de 9.

b) Calcular lim x→1=

x2+6 x−7x−3 e dar interpretação para o resultado.

9

Resolução: x2+6 x−7

x−3 , existe para x=1, portanto podemos calcular o limite rápidamente, substituindo x por 1, assim:

lim x→1=

x2+6 x−7x−3

=12+6 . 1−71−3

=0

Quando x se aproxima de 1, então, x2+6 x−7

x−3 asume valor muito próximo de 0.

c) Calcular lim x→5=

x2−3 x−10x−5 e interpretar o resultado.

Resolução: Se fizermos x=5, obteremos 0 no denominador o que não é permitido. Nestes casos debemos utilizar a faoração para simplificarmos a fração e calcularmos. Assim:

lim x→5x2−3 x−10

x−5=lim x→5

( x+2)( x−5 )x−5

=lim x→5( x+2)=7,

Obs. Podemos cancelar ( x−5 ) porque estamos supondo que x esteja se aproximando de 5 e não assumindo o valor 5.

Portanto, quando x se aproxima de 5, então,

x2−3 x−10x−5 assume valor muito próximo de 7.

Exercícios

1º Dado o gráfico da função f :R→R , definida por f ( x )=x+1 , calcular:

a) lim x→1−f ( x ) y

b) lim x→1+

f ( x ) 3

c) lim x→0 f ( x )

2

d) lim x→−1+

f ( x ) 1

Respostas: a) 2; b)2; c)1; d)0. -1 0 1 2 3 x

2º Dada a função f :R→R , definida por f ( x )=x2, calcular os valores dos limites:

a) lim x→0 f ( x ) b) lim x→1 f ( x ) c)

lim x→−1 f ( x ) d) lim x→3 f ( x ) e)

lim→ −3 f ( x ) Respostas: a) 0; b)1; c)1; d)9 e)9

3º Dada a função f ( x )=2 x−1, calcule:

a) lim x→0 f ( x ) b)lim x→3 f ( x ) c) lim x→−1 f ( x )Respostas: a) -1 ; b)5; c)-3

4º Calcule os limites:

a) lim x→2

x3−1x+2

b) lim x→−2

( x−1 )(x+2 )x+2

c) lim x→3

x2+x−12x−3

Respostas: a)

74 ; b)-3; c)7

2- Teoremas sobre Limites

Consideremos para nosso estudo as funções f(x) e g(x), definidas num dominio D tal que:

lim x→ x0f ( x )=a e lim x→ x0

g( x )=b

2.1-Limite de uma constante10

O limite de uma constante é a própria constante: lim x→ x0

k=k

Exemplos: a)lim x→2 3=3 b)lim x→−5 10=10

2.2- Limite da Soma O limite da soma de duas funções é igual a soma dos limites dessas funções:

lim x→ x0[ f (x )+g ( x ) ]=limx→ x

0f ( x )+ limx→ x

0g( x )=a+b

Exemplos:a) lim x→2 ( x+3 )= limx→2 x+lim x→ 23=2+3=5

b) lim x→−1( x2+x+1 )=lim x→−1 x

2+ limx→−1 x+lim x→−11=1−1+1=1

2.3- Limite da Diferença O limite da soma de duas funções é igual a diferença dos limites dessas funções:

lim x→ x0[ f (x )−g( x ) ]=lim x→ x

0f ( x )− limx→x

0g( x )=a−b

Exemplos:a) lim x→1 (x−5)=lim x→1 x limx→1 5=1−5=−4

b) lim x→2 (4 x2−x )= limx→ 2 4 x2−lim x→2 x=16−2=14

2.4- Limite do Produto O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções:

lim x→ x0[ f (x ). g( x ) ]=limx→x

0f ( x ). lim x→ x

0g ( x )=a .b

Exemplo:a) lim x→2 5 x= limx→2 5 . lim x→2 x=5 .2=10

2.5- Limite do QuocienteO limite do quociente de duas funções é igual ao quociente dos limites dessas funções ( exceto quando o limite do divisor for igual a zero), isto é:

lim x→ x0

f ( x )g ( x )

=lim x→ x

0f ( x )

lim x→ x0g( x )

=ab

Exemplos: a)lim x→2

( x+3 )( x+4 )

=limx→ 2( x+3)limx→ 2( x+4 )

=(2+3 )(2+4 )

=56

b) lim x→2

(3 x−1 )5

=limx→ 2(3 x−1)limx→ 2 5

=55=1

2.6- Limite de uma PotênciaO limite de uma Potência n-ésima de uma função é igual à potencia n-ésima do limite dessa função:

lim x→ x0[ f (x )]n=[ lim x→ x

0f ( x ) ]n=an se a >0

Exemplos: a) lim x→2 x3=[ lim x→2 x ]3=23=8

b) lim x→1 (4 x )2=[ limx→1 4 x ]2=(4 .1)2=16

2.7- Limite de uma RaizO limite de uma raiz n-ésima de uma função é igual à raiz n-ésima do limite dessa função:

lim x→ x0

n√ f ( x )= n√ limx→ x0=n√a se a >0

Exemplos: a ) lim x→4 √x=√ limx→4 x=√4=2

b ) lim x→1√2. x3=√ limx→ 1 2. x3=√2

11

2.8- Limite do LogaritmoO limite do Logaritmo de uma função é igual ao logaritmo do limite dessa função:

lim x→ x0

[ log f ( x ) ]= log [ limx→ x0f ( x ) ]=log a se a >0

Exemplos: a ) lim x→10 log x=log [ lim x→10 x ]=log 10=1

b ) lim x→10 log10 x=log [ lim x→ 1010 x ]=log 100=2

Exercícios:

1º Sabendo quelim x→ x0f ( x )=10 e lim x→ x0

g( x )=2 calcule:a ) limx→ x0

[ f ( x )+g( x ) ]

b ) limx→ x0[ f ( x )−g( x )]

c ) lim x→ x0

3 f ( x )

d ) lim x→ x0

12

.g( x )

e ) lim x→x 0

f (x )g( x ) f ) lim x→ x 0

[ f ( x ) ]5 g ) lim x→ x0

√g ( x ) h ) limx→ x0

[ log f ( x ) ] j ) limx→ x0

√ log f (x )

Respostas: a) 12, b) 8, c)30, d)1, e)5, f) 105, g) √2 , h) 1, i) 2, j)1

2º Calcule:

a) lim x→1 5 x b ) lim x→3(2 x2+5 ) c ) lim x→34 x2

x+1d ) limx→2

x5

2 x2−1

Respostas: a) 5, b)23, c)9, d)

327

3º Calcule lim x→2 ( x+8)(−x+1) Resposta: -10

4º Calcule os limites:

a) lim x→ 4 x b ) lim x→0 5 x c ) lim x→1 (x3−5 x ) d ) limx→2

xx−1

e ) lim x→−2x2+5x+1

f ) lim x→1( x3−2x2−5 x+1) g ) limx→−1 (x

4+2 x3−x2 h ) limx→−1 (2x−1 )6

i) lim x→3|x|j ) lim

x→−12

|2x|k ) lim x→ 2(3 x3−2x2−5x−1)2 l) lim x→1

2x3+14x−1

m) lim x→1(2 x4+2 x3−5 x2+x−3 )n ) limx→−1 (2+3 x )6

Respostas: a) 4, b) 0, c)-4, d)2, e)-9, f)-5, g) -2, h) 729, i) 3, j)1, k) 25, l) 4, m)-3, n)1.

5º Dada a função f ( x )=5 x3−6 x2+3 x

x3−x2+3x , calcule:

a ) limx→1 f ( x ) b ) lim

x→ 12

f ( x ) f ) lim x→−1 f ( x ) Respostas: a)

23 , b)

511 , c)

145

3- Função Contínua

Se uma função tem limite em um ponto x e, alem disso, é possível calcular o valor dessa função no ponto e o valor coincide com o limite, dizemos que a função é contínua nesse ponto.Observe o gráfico da função f 1apresentado:

f 1

f 1 (a)

0 a

A cada x do domínio de f 1 associamos um único valor de y e também que o gráfico de f 1 não é interrompido para x=a, isto é, o gráfico pode ser desenhado de uma só vez, sem levantar a ponta do lápis do gráfico.

Exemplos:

12

1º Verificar se a funçãof ( x )=3 x+9

x+3 é contínua no ponto x=2Resolução:Devemos fazer os seguintes cálculos (da função e do limite):a) Cálculo de f(2):f (2)=3 . 2+9

2+3=15

5=3

b) Cálculo de lim x→2=

3x+9x+3

=3

Como lim x→2 f ( x )= f (2) , f ( x ) é contínua no ponto x=2

2º Verificar se a funçãof ( x )= x2−4

x−2 é contínua no ponto x=2Resolução: Não existe f(2) porque teríamos uma divisão por zero, logo, a função f(x) é descontínua em x=2.

Exercícios:

1º Dada a função f ( x )=1−x

x+1 verificar se a função é contínua nos pontos: a) x=0 b)x=-1c)x=2

Respostas: a) contínua, b) descontínua c) contínua

2º Dada a função f ( x )= x+5

x2+3 x−10 verificar se a função é contínua nos pontos: a) x=5b)x=2

Respostas: a) contínua, b) descontínua

4- Limites Infinitos

Em Limites pode ocorrer, à medida que x se aproxima de p,que os valores de f(x) tornem-se números muito grandes,sendo que, o número que cresce indefinidamente à medida que x se aproxima de p é positivo, descrevemos esse comportamento dizendo que o limite calculado é +∞ (mais infinito).Caso o número seja negativo , dizemos que o limite é −∞ (menos infinito). O símbolo ∞não representa um número ( não se efetuam com ele operações matemáticas)Exemplos:a )Calcular limx→0

5+xx2

Resolução: À medida que x se aproxima de zero, temos: 5+x aproxima-se de 5

x2aproxima-se de zero ou seja

lim x→05+xx2

=5+0

02=5

0

Tabelas com x aproximando –se de zero:x 5+x

x2x 5+x

x2

-1,0 4,0 1,0 6,0-0,1 490 0,1 510

-0,01-0,001⇓0

49.9004.999.00

0⇓+∞

0,010,001⇓0

50.1005.001.000

⇓+∞

Assim, quando x se aproxima de zero tanto pela esquerda quanto pela direita, os valores da função tendem a +∞

b )Calcular limx→3x2+1x−3

Resolução:À medida que x se aproxima de 3, temos que:

x2+1 aproxima-se de 10

13

x−3 aproxima-se de zero ou seja lim x→3

x2+1x−3

=100

Tabelas com x aproximando –se de 3:x x2+1

x−3x x2+1

x−32,0 -5,0 4,0 17,02,9 -94,10 3,1 106,12,99

2,999⇓0

-994,01-

9.994.001⇓−∞

3,013,001⇓0

1.006,0110.006,00

1⇓+∞

O limite à esquerda é −∞ . O limite à direita é +∞ .O limite no ponto p=3 não existe porque os limites laterais são diferentes.

Resumo: Técnicas para o cálculo de limites

Símbolos de indeterminação: ∞ ,−∞ ,

00, ∞∞ , 00 ,∞0

Igualdades utilizadas nos cálculos de Limites:k 0=1 ; k−∞= ∞ (com k≠1) , k

∞=0 ;0k=0( com k≠0) , k

0=∞

1º Caso- A função existe ( está definida no ponto considerado)Resolução: Substituir diretamente o valor de x.

Exemplo: lim x→ 2 (2x+1 )=2. 2+1=5

2º Caso- A função não tem denominador e x tende a +∞ ou −∞ Resolução: Colocar em evidência a maior potência de x.

Exemplo: lim x→ ∞ (3 x4−2x3+x2−x+1)

lim x→ ∞ [x4 (3−2x+ 1x2

− 1x3

+ 1x4 )]=limx→ ∞3 x4=∞

3º Caso- O numerador se aproxima de um número real não nulo e o denominador tende a zero.Resolução: Se o denominador tende a zero, a fração cresce ou decresce indefinidamente e o limite será ∞ ou- ∞

Exemplo 1: lim x→ 1+

3 x

x2−1=+∞

Para sabermos o sinal da resposta com x tendendo a 1 pela direita, podemos fazer x=1,1 e verificar

qual é o sinal da função.: lim x→ 1+

3 x

x2−1= 3. 1,1

(1,1)2−1 >0, se a função é positiva para x=1,1, o limite tende a +∞

Exemplo 2: lim x→ 1−

3 x

x2−1=−∞

Fazendo x=0,9 teremos: f ( x )= 3 .0,9

(0,9 )2−1=<0, o limite tende a −∞

4º Caso- O numerador tende a um número real e o denominador se aproxima de +∞ ou −∞ Resolução: Neste caso o limite é sempre zero.

Exemplo 1: lim x→∞

7x=0

5º Caso- O numerador e o denominador tendem a +∞ ou −∞Resolução: Dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x e fazer a substituição.

14

lim x→ ∞x5+2 x2−x+3

x7+4 x3−1=limx→ ∞

x5

x7+ x2

x7− xx7

+ 3x7

x7

x7+ 4 x3

x7− 1x7

=

1x2

+ 2x5

− 1x6

+ 3x7

1+ 4

x4− 1

x7

=01=0

lim x→ ∞2x3+ x2+8

5 x3+√2=limx→ ∞

2 x3

x3+ x2

x3+ 8x3

5 x3

x3+ √2x3

=2+ 1

x3+ 8x3

5+ √2x3

=25

6º Caso- O numerador e o denominador tendem a zero.Resolução: Fatorar o numerador e o denominador e simplificar a função ou dividir por (x-a),

considerando lim x→ a

Exemplo limx→−2

x2+2 xx+2

=lim x→−2

(−2 )2+2 .(−2 )(−2)+2

=00

lim x→−2

x (x+2 )x+2

=lim x→−2 x=−2

Exercícios

1ºCalcular os limites:

a ) limx→−2

x2+5x+1

=

b ) limx→3

( x3−4 x2+2 x+5)=

Respostas: a) -9, b) 25

2º Calcule os limites:

a ) limx→−∞

x5+xx2+2 x

=

b ) limx→−2

x2+2 xx+2

=

d ) limx→−7

49−x2

7−x=

e ) limx→3

x2−4 x+3x2−x−6

=

15

f ) limx→∞

2 x+3x

=

Respostas: a) ∞ b)-2, c)10, d)14, e) 2/5, f)2

Função ExponencialLimite Exponencial Fundamental

Considere a

f ( x )=(1+ 1x )

x

que aparece em curvas de crescimento em geral. À medida que x cresce,

tendendo a infinito a fração

1x

tende a zero, porém se somada a 1 e o resultado elevado a x não tem um valor de convergência evidente.Foi o matemático Leonardo Euler ( 1707-1783) o primeiro a dar importância a essa função, demonstrando que o limite da função para x tendendo ao infinito era um número irracional compreendido entre 2 e 3, simbolizado por e ( número de Euler).

x (1+ 1x )

x

1 2

2 2,250000

5 2,488320

10 2,593742

20 2, 653298

50 2,691588

100 2,704814

200 2,711517

500 2,715569

1.000 2,716924

5.000 2,718010

50.000 2,718255

100.000 2,728268

1.000.000 2,718280

Conclusão: lim+∞(1+ 1

x )x

=lim−∞(1+ 1x )

x

=e

Exemplos:

1º Calcular lim+∞(1+ 1

x )4 x

Resolução: lim+∞(1+ 1

x )4 x

=lim+∞[(1+ 1x )

x ]4

=e4

2º Calcular lim−∞(1+ 1

5 x )x

16

f ) limx→∞

2 x+3x

=

Resolução: Artifício 5 x=t⇒ x= t

5 e x→−∞⇒ t=−∞

lim x→−∞(1+ 15 x )

x

=limt→−∞(1+ 1t )

t5=limt→−∞[(1+ 1

t )t]

15=e

15=5√e

3º Calcular lim−∞(1−1

x )x

Resolução:

lim x→−∞(1−1x )

x

=lim x→−∞[(1+1−x )

− x]−1

fazendo−x=t , vem que x=−∞⇒ t=+∞ , então :lim t→+∞[(1+1t )

t ]−1

=e−1=1e

Exercícios:1º Calcule

a ) limx→+∞(1+ 1x )

6 x

b ) lim x→−∞(1+ 1x )

34xc ) lim x→+∞ (1+ 1

x )12xd ) limx→+∞(1+ 1

2x )x

Re spostas :a ) e6 , b)√e , c )e 3√e d )√e

Gráficos da função exponencial f ( x )=ax

a>1 0<a<1

¿ lim x→+∞ax=+∞

y

¿ lim x→−∞ax=0

1

0 x

¿ lim x→+∞ax=0 y

¿ lim x→−∞ax=+∞

1

0 x

Exercícios:Com base na análise do gráfico, calcule os limites das funções exponenciais:

a ) lim x→+∞2x b ) lim x→−∞2x c ) lim x→∞( 13 )

x

d ) limx→ −∞ (13 )

x

e ) lim x→ + ∞( 34 )

x

f ) lim x→− ∞( 53 )

x

g ) limx→ 22x h ) limx→ −1( 12 )

x

Re spostas : a ) +∞ ; b ) 0 ; c ) 0 ; d ) +∞ ; e ) 0 ; f ) 0 ; g ) 4 ; h ) 2

Limite de uma função Logarítmica

Gráficos da função Logarítmicaf ( x )= loga x

a>1 0<a<1

¿ lim x→0+∞ loga x=+∞y

¿ lim x→+∞ loga x=− ∞ y

17

¿ lim x→0+loga x=−∞

0

1 x

¿ lim x→0+loga x=+∞

0 1 x

Exercícios:Com base na análise do gráfico, calcule os limites das funções logarítmicas:

a ) limx→+∞ log3 x b ) limx→0+log7 x

c ) limx→+∞ log 12

x d ) lim x→ 0+log 1

2

x

Re spostas : a ) +∞ ; b )−∞ ; c ) −∞ ; d ) +∞

O ESTUDO DAS DERIVADAS

-Razão Incremental

Considere a função f ( x )=2 x+5 , definida em R. Se x1=3 e x2=8 . Calcular:

a) O valor de Δx tal que Δx=x2−x1

b) f ( x1) e f ( x2 )

c) O valor de Δy tal que Δy=f ( x2)−f ( x1 )Resoluções:

a) O valor de Δx tal que Δx=x2−x1

Δx=x2−x1⇒ Δx=8−3=5

b) f ( x1) e f ( x2 )f ( x1) =f (3)=2 . 3+5=11f ( x2) =f (8)=2. 8+5=21

c) O valor de Δy tal que Δy=f ( x2)−f ( x1 )

Δy=21−11=10

Podemos concluir que:- Dada uma função y=f(x), definida e contínua num conjunto D:

a) A variável independente x pode variar ( aumentar ou diminuir) de x1 a x2 , variação que indicamos por Δx e teremos:Δx=x2−x1⇒ x2=x1+Δx a esse valor Δx=x2−x1 denomina-se incremento da variável x.

b) A variável dependente y pode variar ( aumentar ou diminuir), variação que indicamos por Δy e teremos:Δy=f ( x2)−f ( x1 ), denomina-se incremento da função y=f(x).Também, verifica-se que:

18

x2=x1+Δx⇒ f ( x2)=f ( x1+Δx)Daí:Δy=f ( x2)−f ( x1 )Δy=f ( x1+Δx )−f ( x1 )

Exemplo 1: Se y=3 x2−5 , determinar a variação de Δy para x=2 e Δx=8

Resolução: Δy=f ( x1+Δx )−f ( x1 )

f ( x1+Δx )= f (2+8)=f (10 )=3 . 102−5=300−5=295

f ( x1 )=f (2 )=3 .22−5=12−5=7

Então: Δy=295−7=288⇒ Δy=288

Define-se razão incremental da função y= f(x), relativa ao ponto x1 , a expressão:

ΔyΔx

Daí:

ΔyΔx

=f (x )− f ( x1 )

x−x1 ou

ΔyΔx

=f (x1+Δx)−f ( x1 )

x−x1

Exemplo 2:Determinar a razão incremental da função f ( x )=2 x+3 relativa ao ponto x1=3.

Resolução:

ΔyΔx

=f (x )− f ( x1 )

x−x1

Temos:f ( x )=2 x+3f ( x1 )=f (3 )=2 .3+3=9

x−x1=x−3

Daí:

ΔyΔx

=f (x )− f ( x1 )

x−x1

= ΔyΔx

=2x+3−9x−3

=⇒ ΔyΔx

=2 x−6x−3

=2( x−3 )( x−3 )

=2

Derivada de Uma função Num Ponto x1

A derivada de uma função y=f(x) num ponto x1 pertencente ao domínio de f, mede a taxa de variação

de f dada uma variação infinitesimal da variável independente x e indicaremos por f' ( x1 ) . Daí:

f ' ( x1 )= limx→ x1

=f ( x )−f ( x1)

x−x 1 ou f ' ( x1 )= lim

Δx→01

=f ( x1+Δx )− f ( x1)

Δx

Se este limite existir e for finito.Como a derivada de uma função num ponto é um limite, sua condição de existência é que o limite do quociente que define a derivada exista, isto é, o limite do quociente quando tende a zero pela direita deve ser igual quando tende a zero pela esquerda.Define-se também a função derivada que representa a derivada num ponto genérico x.Primeiro, calculamos a derivada num ponto genérico e depois substituímos o ponto x0 em questão.

Exemplo 1: Dada a função f ( x )=3 x2+12 , calcular o valor da derivada no ponto x1=5.

f ' ( x1 )= limx→ x1

=f ( x )−f ( x1)

x−x 1

f ' ( x1 )=?f ( x )=3 x2+12

19

f ( x1 )=f (5 )=3 .52+12=87x−x 1=x−5Daí:

f ' ( x1 )=limx→5

=3 x2+12−87x−5

⇒ limx→51

=3 x2+75x−5

=limx→51

=3( x+25 )x−5

⇒ limx→51

=3( x+5) .( x−5 )x−5

=

f ' ( x1 )= limx→51

=3(5+5 )=30

Exemplo 2: Dada a função f ( x )=3 x2+12 , calcular o valor da derivada no ponto x1=5.

f ' ( x1 )= limΔx→01

=f ( x1+Δx )−f ( x1)

Δx

Temos: f ( x )=3 x2+12

f ( x1+Δx )=f (5+Δx )=3(5+Δx)2+12=75+30 . Δx+3(Δx )2+12=87+30 Δx+3 Δx2

f ( x1 )=f (5 )=3 .52+12=75+12=87 )

f ' ( x1 )= limΔx→01

=87+30 Δx+3 Δx2−87Δx

= limΔx→01

=30 Δx+3 Δx 2

Δx= lim

Δx→01

=Δx(30+3 Δx )Δx

=

limΔx→01

=30+3 Δx=30+3 .0=30

O número 30 obtido é denominado derivada da função f ( x )=3 x2+12 no ponto x=5

DERIVADA DE UMA FUNÇÃOConsidere uma função y=f(x) definida num conjunto A.A derivada da função f é a função indicada por f’(x) tal que seu valor, em qualquer ponto x do domínio de f é dado por:

f ' ( x )= limΔx→0

f ( x+Δx )−f (x )Δx

=

Desde que o limite exista e seja finito.

Exemplo 1: Determinar a função derivada da função f ( x )=x2

Resolução: f ( x )=x2

f ( x+Δx )⏟substituir por x

=( x+Δx )2=x2+2x . Δx+( Δx)2

Aplicando a fórmula:

f ' ( x )= limΔx→0

f ( x+Δx )−f (x )Δx

=

f ' ( x )= limΔx→ 0

x2+2 x . Δx+(Δx )2

Δx⇒ f ' ( x )= lim

Δx→0

Δx(2x+Δx )Δx

=

f ' ( x )= limΔx→0

(2 x+Δx)=f '( x )=2x

Então Se f ( x )=x2⇒ f '( x )=2x

Exemplo 2: f ( x )=x3−5 x2

f ( x+Δx )=( x+Δx )3−5 ( x+Δx )2=x3+3 x2 . Δx+3 x (Δx )2+(Δx )3−5 x2−10 xΔx−5(Δx )2

Aplicando a fórmula:

f ' ( x )= limΔx→0

f ( x+Δx )−f (x )Δx

=

20

f ' ( x )= limΔx→0

f ( x+Δx )− f ( x )Δx

=

f ' ( x )= limΔx→0

x3+3 x2 .Δx+3x ( Δx)2+(Δx )3−5x2−10 xΔx−5 (Δx)2−x3+5 xΔx

f ' ( x )= limΔx→0

Δx [ (3x2+3xΔx+(Δx )2−10x−5(Δx )]Δx

f ' ( x )= limΔx→0

[ (3 x2+3 xΔx+( Δx)2−10 x−5(Δx ) ]

f ' ( x )=3 x2−10x

Então Se f ( x )=x3−5 x2⇒ f ' ( x )=3 x2−10x

Exercícios – Calcule a derivada das funções :a ) f ( x )=5xb ) f ( x )=3x+1c ) f ( x )=x2−2d ) f ( x )=2 x3

e ) f (x )=x2−xf ) f ( x )=5 x2

g ) f ( x )=x2−7 x+12

Regras de derivação: DERIVADAS FUNDAMENTAIS

Derivada das Principais Funções Elementares

Exemplos:a) f(x)=3 ⇒ f’(x)=0b) f(x)=-5 ⇒ f’(x)=0

Exemplos :a ) f (x )=x2⇒ f ' ( x )=2 . x2−1 =2x

b ) f (x )=x−2⇒ f ' ( x )=−2. x−2−1 =−2 x−3=−21x3

=−2x3

c ) f ( x )=x34 ⇒ f ' ( x )=

34x

34

−1

=34x

−14 =

34

.14√x

=3

44√ x

d ) f ( x )=3√ x=x13 ⇒ f '( x )=x

13

−1

=13x−2

3 =13

.13√ x2

=1

3.3√ x2

e ) f ( x )=1x3

=x−3⇒ f '( x )=−3 x−3−1=−3x−4=−31x4

=−3x4

nota : a) Se f ( x )=x⇒ f ' ( x )=1=1. x1−1=1 x0=1b ) Se f ( x )=5 x3⇒ f '( x )=3 . 5 .x3−1=15 x2

21

1-Se c é uma constante e f(x)=c, para todo x real, então f’(x)=0

2-Se f ( x )=xn com n∈ R ,então f ' ( x )=n . xn−1

3-Se f ( x )=sen x , então f ' ( x )=cos x

Exemplos:a ) f ( x )=3 sen x , então f '( x )=3cos xb ) f (x )=−2 sen x , então f ' ( x )=−2cos x

Exemplos:a ) f ( x )=5 cos x , então f '( x )=5(−sen x )=−5 sen xb ) f (x )=−2 cos x , então f '( x )=−2 (−sen x )=2 sen x

Exercícios:a ) f ( x )=5b ) f ( x )=xc ) f ( x )=x5

d ) f ( x )=x−4

e ) f ( x )=4 x2

f ) f (x )=4 sen xg ) f ( x )=3 cos x

2º Calcule as derivadas nos pontos:

a ) f ( x )=2x3 , calcule f ' (2)

b ) f ( x )=2

x3, calcule f ' (−2 )

c ) f ( x )=3√ x2 , calcule f '(8 )

d ) f ( x )=5 x−2 , calcule f '(−1)

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DAS DERIVADAS

Sejam u( x ) e v ( x ) duas funções tais que u '( x ) e v '( x ) existam, então serão válidas as seguintes propriedades:

Exemplosa ) f ( x )=5x2+3x calcular f ' ( x )

22

4-Se f ( x )=cos x , então f '( x )=−sen x

1ª Propriedadef ( x )=u( x )+v ( x ) então f '( x )=u '( x )+v ' ( x )f ( x )=u( x )−v ( x ) então f ' ( x )=u '( x )−v ' ( x )

RESUMOFUNÇÃO DERIVADA

f ( x )=cf ( x )=xf ( x )=xn

f ( x )=c .xn

f ( x )=sen xf ( x )=cos x

f ' ( x )=0f ' ( x )=1f ' ( x )=n. xn−1

f ' ( x )=c .n .xn−1

f ' ( x )=cos xf ' ( x )=−sen x

Observando , vemos que temos f (x )=u( x )+v ( x )u( x )=5x2 u ' (x )=10xv (( x )=3 x v ' ( x )=3então=f ( x )=5x2+3x⇒ f ' ( x )=10 x+3

b ) f ( x )=2 sen x−cos x+ x2 calcular f '( x )Observando , vemos que temos f (x )=u( x )−v ( x )+t ( x )u( x )=2 sen x u ' ( x )=2 cos xv (( x )=cos x v ' (x )=−sen xt ( x )=x2 t '( x )=2xentão=f ( x )=2 sen x−cos x+x2⇒ f ' (x )=2cos x −(−sen x ) +2 x=2cos x +sen x +2 x

Exemplosa ) f ( x )=x2 ( x2−3 x +2 ) calcular f '( x )

Re solução: temos :f ( x )=u( x ).v ( x ) então f ' (x )=u '( x ) .v ( x )+u( x ) .v '( x )u( x )=x2⇒u '( x )=2xv (x )=x2−3x+2⇒ v ' ( x )=2 x−3então f ' ( x )=u '( x ).v ( x )+u (x ).v '( x ) , teremos :f ' ( x )=2 x .( x2−3 x+2 )+x2(2 x−3)f ' ( x )=2 x3−6 x2+4 x+2 x3−3x2=f ' ( x )=+ 4 x3−9x2+4 x

b ) f ( x )=x3 . cos x , calcular f '( x )Re solução: temos :f ( x )=u( x ).v ( x ) então f ' (x )=u '( x ) .v ( x )+u( x ) .v '( x )u( x )=x3⇒u '( x )=3x2

v (x )=cos x⇒ v ' ( x )=−sen xentão f ' ( x )=u '( x ).v ( x )+u (x ).v '( x ) , teremos :f ' ( x )=3 x2(cos x )+x3(−sen x )f ' ( x )=3 x2 . cos x−x3 . sen xf ' ( x )=x2(3 . cos x−x . senx )

Exemplos

a ) f ( x )= x2−32x

calcular f ' (x )

23

2ª Propriedadef ( x )=u( x ).v ( x ) então f ' (x )=u '( x ) .v ( x )+u( x ) .v '( x )

3ª Propriedade

f ( x )=u( x )v ( x )

, com v ( x )≠0 então f ' ( x )=u '( x ) .v ( x )−u (x )v ' .( x )

[v . (x )]2

Re solução : temos :u( x )=x2−3⇒u ' ( x )=2 xv (x )=2 x ⇒ v '( x )=2

f ' ( x )=u ' (x ).v ( x )−u( x )v ' .( x )

[ v .( x ) ]2=

2 x . 2 x −( x2−3 ). 2

[2 x ]2=

4 x2−(2 x2−6 )4 x2

=

4 x2−2 x2+64 x2

=2 x2+64 x2

=2( x2+3 )4 x2

=x2+32 x2

b ) f ( x )=1+sen x1−sen x

calcular f ' ( x )

Resolução:

b ) f ( x )=u ( x )v ( x )

f ' ( x )=u '( x ) .v ( x )−u (x )v ' .( x )

[v .( x )]2

u( x )=1+sen x ⇒u ' ( x )=cos xv (x ) =1−sen x ⇒ v '( x )=−cos xEntão:

f ( x )=1+sen x1−sen x

⇒ f ' ( x )=cos x(1−senx )−(1+senx )(−cos x )

[ 1−senx ]2

f ' ( x )=cos x−senx . cos x−(−cos x−senx . cos x )

[ 1−senx ]2=cos x−senx .cos x+cos x+senx .cos x

[1−senx ]2

f ' ( x )= 2cos x

[ 1−senx ]2

Exercícios

1) Seja f ( x )=10 x2 e g ( x )=4 x calcule f '( x )+g ' (x )

2 ) f ( x )=√4 x e g( x )=23x3 calcule f '( x )−g '( x )

3) Obter a derivada de cada função a seguir:

a) f ( x )=10

b) f ( x )=x5

c) f ( x )=10 . x5

d) f ( x )=1

2. x2

24

RESUMO-OPERAÇÕESFUNÇÃO DERIVADA

f ( x )=u( x )+v ( x )f ( x )=u( x )−v ( x )f ( x )=u( x ).v ( x )

f ( x )=u( x )v ( x )

f ' ( x )=u ' ( x )+v ' ( x )f ' ( x )=u ' ( x )−v ' ( x )f ' ( x )=u ' ( x ).v ( x )+u ( x ). v ' (x )

f ' ( x )=u ' ( x ).v ( x )−u( x )v ' .( x )

[v .( x )]2

e) f ( x )=x2+x3

f) f ( x )=10 . x3+5 .x2

g) f ( x )=2 .x+1

h) f ( t )=3 . t2−6 . t−10

i) f (u)=5.u3−2 .u2+6 .u+7

j) f ( x )=3 . ln x+5

k) f ( x )=10 . ln x−3 .x+6

l) f ( x )=5 . sen x+2 . cos x−4

m) f ( x )=x . sen x

n) f ( x )=x2 . ln x

o) f ( x )=(2 . x2−3 . x+5 ). (2 .x−1 )

p) f ( x )= x−1

x−2

q) f ( x )= 2

x3+ 5

x2

r) f ( x )=x23

s) f ( x )=x13+ x

14

t) f ( x )=3 . 2√x+5 . 3√x+10

u) f ( x )=2√ x . sen x

Derivada da potência de uma função

Considere a funçãof ( x )=[u (x )]n com n ∈ R

Exemplos:a ) f ( x )=( x2−1)3 , calcular f '( x )Re solução : temos :n=3⇒n−1=3−1=2u ( x )=x2−1⇒u ' ( x )=2xentão f ' ( x )=n .[ u ( x ) ]n−1.u ' ( x )⇒ f ' ( x )=3( x2−1)2 . 2x=3( x4−2 x2+1) .2 x=(3 x4−6 x2+3 ). 2 x=6 x5−12 x3+6 x

b ) f ( x )=√x−2, calcular f '( x )

25

Se f ( x )= [u ( x ) ]n , então f '( x )=n .[u ( x ) ]n−1 .u ' ( x )

Re solução: temos :

f ( x )=√x−2=( x−2 )12

n=12

⇒n−1=12

−1=−12

v ( x )=x−2⇒ v ' ( x )=1

então f '( x )=n. [u (x )]n−1 .u' (x ) ⇒ f '( x )=12

( x−2)−1

2 .1=12

.1

( x−2 )12

. 1=1

2√x−2

c ) f ( x )=sen2 x−cos2 x , calcular f '( x )Re solução: temos :sen2=( sen x )2

cos2=(cos x )2

f ( x )=[u( x )]n−[ v ( x ) ]n⇒ f '( x )=n .[u (x )]n−1 .u' ( x )−n .[ v ( x ) ]n−1 . v ' ( x )n=2n−1=2−1=1u ( x )=sen x⇒u ' ( x )=cos xv ( x )=cos x⇒ v ' (x )=−sen xentão f '( x )=n. [u (x )]n−1 .u' (x )−n .[ v ( x ) ]n−1 .v ' ( x )f ' ( x )=2[ sen x ] . cos x−2 [cos x ]. (−sen x )f ' ( x )=2 sen x . cos x+2 senx cos x=sen2 x+sen2 x=2 . sen2 x

Exercícios-Função Potência1º Calcule as derivadas das funções a seguir:

a ) f ( x )=(2x−1) 4

b ) f ( x )=(5 x2−3 x+5) 6

c ) f (x )= 1

( x2−3 x−2 ) 5

e ) f ( x )=√2x+1f ) f ( x )=3√2 x+1

g ) f (x )=(6 x2+2x+1)32

Derivada: Função Exponencial

Exemplos:

a ) f ( x )=2x , calcular f '( x )Re solução:Temos : f ( x )= ax ⇒ f '( x )=ax . ln aEntão : f ( x )=2x⇒ f '( x )=2x ln 2

26

Se f ( x )= ax , com a∈ R+ , a>0, a≠1 e x∈ R , então f ' ( x )=ax . ln a

b ) f ( x )=ex , calcular f '( x )Re solução:Temos : f ( x )= ax ⇒ f ' ( x )=ax . ln aEntão : f ( x )=ex⇒ f ' ( x )=e x ln e⏟

1

=e x . 1=ex

Exemplos:

a ) f ( x )=32 x−5 , calcular f '( x )Re solução :f ( x )= au( x ) , então f '( x )=au( x ) . ln a .u ' (x ))Temos : f ( x )= 32 x−5 ⇒ f ' ( x )=(32 x−5) . ln 3 .2=2 .32 x−5 . ln 3.

b ) f ( x )=ecos x , calcular f ' ( x )Re solução:f ( x )= au(x ) , então f '( x )=au( x ) . ln a .u ' (x ))f ( x )= ecos x⇒u' (x )= esenx . ln e=e−senx . 1=e−senx=−senx.Temos : f ( x )= ecos x ⇒ f ' ( x )= ecos x . ln e⏟

1

.(−senx)=−senx . ecos x

Exemplos:

a ) f ( x )=32 x−5 , calcular f '( x )

Re solução : f ( x )= ln3 então f '( x )=13

b ) f ( x )=( ln 2 )4 , calcular f '( x )Re solução :função da forma : f ( x )=[u (x )]n⇒n [u( x ) ]n−1 .u ' ( x )

então f ( x )=ln2⇒ f '( x )=12

substituindo : f (x )= ( ln2 )4 então f '( x )=4 . ( ln 2)3 .12=2( ln2 )3

c ) f ( x )=( ln x ). x4 , calcular f ' ( x )

27

Se f ( x )= au(x ) , então f '( x )=au( x ) . ln a .u ' ( x )

Se f ( x )= ln x , para x > 0 , então f ' ( x )=1

x

Re solução:função da forma : f ( x )=u ( x ).v ( x )⇒ f '( x )=u' ( x ) .v ( x )+u( x ) .v ' ( x )então para : f ( x )=( ln x ). x4

u( x )=ln x⇒u' ( x )=1x

v (x )=x4⇒ v '( x )=4 x3

então : f ' ( x )=u( x ) .v '( x )+v ( x ).u '( x )=f '( x )=1x

. x4+ln x . 4 x3

substituindo : f (x )= ( ln2 )4 então f '( x )=1x

. x4+ln x . 4 x3=x3+( ln x )+4 x3=x3 .(1+4 ln x )

Exercícios Função Exponencial:

a ) f ( x )=2x

b ) f ( x )=ex+3x

c ) f (x )=3x2−4

Derivada da Função Logarítmica

Exemplos:a ) f ( x )=log2 x , calcular f '( x )Re solução:

f ( x )= loga x , então f ' (x )=1x . ln a

f ( x )= log2 x então f ' ( x )=1x . ln 2

b ) f ( x )=( log x )3 , calcular f ' ( x )Re solução:f ( x )= ( log x )3 a função é da forma :f ( x )= [u ( x ) ]n ⇒ f '( x )=n .[u ( x ) ]n−1 .u ' ( x )

u( x )=log10 x⇒u ' (x )=1x ln10

entãof ( x )= ( log x )3 ⇒ f ' (x )=3( log x )2 .1x . ln . 10

=3 log2 xx . ln . 10

Função Composta e sua derivada- Regra da CadeiaAs funções simples como os polinômios, a potência, o logaritmo e a exponencial podem ser compostas, fornecendo outras funções mais complexas.

Utiliza-se a regra da cadeia para situações onde temos que derivar funções compostas, isto é quando a variável independente também é uma função.

28

Se f ( x )= loga x , então f ' (x )= 1

x . ln a

A função composta é definida por f ( x )=v [u (x )] , se as derivadas u ' ( x ) e v ' (u) existirem

Fórmula da regra de cadeia: f ' ( x )= v ' (u) .u' ( x )

Por exemplo: Consideremos a função

Poderíamos achar a derivada de f(x) desenvolvendo a expressão cubo de uma diferença. Todavia,

poderíamos fazer u( x )=x2−1 e nossa função ficaria sob a forma u³. Assim, para calcularmos uma imagem dessa função, procedemos em duas etapas:

a.) para um dado valor de x, uma primeira função calcula a imagemu( x )=x2−1 ;

b.) para o valor de u assim encontrado, uma segunda função calcula a imagem v (u )=u3

Dizemos que a função f(x) é uma composição dessas duas funções. Para o cálculo da derivada de f(x), podemos usar o seguinte raciocínio intuitivo:

Sob condições bastante gerais, quando Δx tende a zero, o mesmo ocorre com Δu, de forma que:

Essa fórmula é conhecida como regra da cadeia

Então resolvendo a função f ( x )=( x2−1 )3

f ( x )=( x2−1 )⏟u( x )3

⇒ u3⏟v (u )

u=( x2−1 )⇒u '( x )=2xv (u )=u3⇒ v ' (u)=3u2

Substituindo na fórmula:

f ' ( x )= v ' (u) .u' ( x )f ' ( x )=3u2 . 2 x

Retornando em termos de x: f ' ( x )= 3( x2 −1)2 . 2 x⇒6 x ( x2 −1)2

Exemplo 2: A derivada de f ( x )=ln(3 x+6 )Resolução: f ( x )=ln(3 x+6)⏟

u (x )

⇒ ln u⏟v (u)

u( x )=3x+6⇒u' ( x )=3

v (u )= lnu⇒ v '(u )=1u

e substituindo na fórmula da regra de cadeia f ' ( x )= v ' (u) .u' ( x )⇒ f ' ( x )=1

u.3

29

f ( x )=( x2−1 )3 .

ΔfΔx

= ΔvΔu

⋅ΔuΔx

f ' (x )=v ' (u )⋅u ' ( x ) ,

f ' ( x )=¿ (derivada de v ¿ ) ¿¿

¿¿

¿

¿

Retornando em termos de x: f ' ( x )= 1

3 x+6. 3⇒ 3

3 x+6

Exercícios:Calcule as funções compostas (regra de cadeia)a ) f ( x )=( x2+5 x+7 )4

Resolução:( x2+5 x+7)⏟

u(x )4

⇒ u4⏟v (u )

u ( x )=(x2u+5 x+7 )⇒u '( x )=2 x+5v (u )=u4 ⇒ v ' (u)=4u3

Substituindo na fórmula:

f ' ( x )= v ' (u) .u' ( x )f ' ( x )=4u3 . 2x+5

Retornando em termo de x: f ' ( x )=4( x2+5 x+7 )3 .(2x+5 )

b ) f ( x )=sen . 3 xResolução:sen . 3 x⏟

u( x )

⇒ sen .u⏟v (u)

u( x )=3x⇒u ' (x )=3v (u )=sen .u⇒ v '(u )=cos .u

Substituindo na fórmula: f ' ( x )= v ' (u) .u' ( x )f ' ( x )= (cos .u ) .3

Retornando em termo de x: f ' ( x )=(cos3 x )3=3cos3 x

c ) f ( x )=√x2+1Resolução:

f ( x )=√ x2+1⇒( x2+1)12

( x2+1)12⏟

u (x )

⇒ u12⏟

v (u )

u( x )=x2+1⇒u '( x )=2x

v (u )=u12 ⇒ v ' (u)=1

2u

−12=1

2.1

u12

=12

.1

√u=1

2√u

Substituindo na fórmula: f ' ( x )= v ' (u) .u' ( x )

f ' ( x )= 1

2√u.2 x

Retornando em termo de x: f ' ( x )= 1

2√x2+1.2 x= 2x

2√ x2+1= x

√x2+1

d ) f ( x )=e4 x+3

Resolução:e

4 x+3⏟u ( x) ⇒ eu⏟

v( u)

30

u( x )=4 x+3⇒u ' (x )=4v (u )=eu⇒ v '(u )=eu

Substituindo na fórmula: f ' ( x )= v ' (u) .u' ( x )

f ' ( x )= eu . 4=4eu

retornando em termo de x: f ' ( x )= 4e4 x+3

e ) f (x )=ln( x2 −5 x+6 )Resolução:ln (x2 −5 x+6 )⏟

u( x )

⇒ lnu⏟v (u )

u( x )=( x2 −5 x+6 ) ⇒u '( x )=2x−5

v (u )= lnu⇒ v '(u )=1u

Substituindo na fórmula: f ' ( x )= v ' (u) .u' ( x )

f ' ( x )= 1u

.(2 x−5 )

retornando em termo de x: f ' ( x )= 1

( x2−5 x+6 ).(2 x−5)=

(2 x−5 )( x2−5 x+6 )

f ) f ( x )=log(3 x2 +2 )5

Re solução :log (3x2 +2)⏟

u (x )5

⇒ logu5⏟v (u )

u( x )=(3 x2 +2 )5⇒u '( x )=5(3 x2 +2 )4 . 6 x=30 x ((3 x2 +2 )4

v (u )= log10u5 ⇒ v ' (u)=

1

u5 . ln10

Substituindo na fórmula: f ' ( x )= v ' (u) .u' ( x )

f ' ( x )= 1

u5 . ln 10. 30x ((3 x2 +2)4

retornando em termo de x:

f ' ( x )= 1(3 x2+2)5 . ln 10

. 30 x ((3 x2 +2 )4=30 x ((3 x2 +2 )4

(3 x2+2 )5 . ln10=30 x

(3 x2+2 ). ln 10

Interpretação geométrica da derivadaConsideremos a função f e os pontos P(x0,f(x0)) e Q(x0+Δx,f(x0+Δx)) da Figura que segue. A reta que passa por PQ é secante ao gráfico e seu coeficiente angular é

31

ΔfΔx

.

À medida que Δx se aproxima de zero, a reta secante vai mudando seu coeficiente angular. Consideremos a reta que passa por P e cujo coeficiente angular é dado por:

Essa reta, conforme vê-se na figura abaixo, é chamada reta tangente ao gráfico de f no ponto P (desde que f seja derivável em x0).

Exemplo 1: Obter a reta tangente ao gráfico da função no ponto P de abscissa 2Resolução:Determinação do ponto P

Coeficiente angular (m)

. t t

4----P

2Exercícios

32

m= limΔx→ 0

ΔfΔx

=f ' (x0 )

f ( x )=x2

f ( x )=x2

f (2)=22=4⇒P(2,4 )

f ' ( x )=2 x

f ' (2)=2. 2=4⇒m=y− y0

x−x0

=10= y−4x−2

⇒ y=4 x−4

1º Obter a equação da reta tangente ao gráfico de f nos pontos de abscissas indicadas:a ) f ( x )=x2 ; x0=5

b ) f ( x )=x2−5 .x ; x0=1

c ) f (x )=2 .x+3 ; x0=3

d ) f ( x )=x2−5. x+6 ; x0=2

e ) f ( x )= ln x ; x0=e

f ) f (x )= x−1x+3

; x0=3

Método da segunda derivada

a) calculamos f’(x)b) f’(x)=0 e calculamos as raízesc) Calculamos f’’(x)-os valores de x que tornam f’’(x)<0 determina o ponto de máximo- os valores de x que tornam f’’(x)>0 determina o ponto de mínimo

Exemplo 1: f ( x )=−x2−6 x−2

1º Calcular f’(x) e a raiz 2º Calcular f’’(x) e interpretar

f ( x )=−x2−6 x−2⇒ f ' ( x )=−2 x−6 f ' ( x )=−2 x−6⇒ f ''( x )=−2−2 x−6=0 f ''(−3 )=−2−2 x=+6 (−1 )temos f ''( x )=−2<0 ponto de máximo2 x=−6

x=−62

=−3

Exemplo 2: f ( x )=x3−6 x 2 +9x+2

1º Calcular f’(x) e a raiz(s) 2º Calcular f’’(x) e interpretarf ( x )=x3−6 x 2 +9x+2⇒ f ' ( x )=3 x2−12x+9 f ' ( x )=3x2−12 x+9 ⇒3 x2−12 x+9=0 f ''( x )=6 x−12Δ=b2−4 ac f ''(3)=6 .3−12=+ 6 >0= ponto mínimoΔ=(−12 )2−4 . 3. 9 f ''(1 )=6 . 1−12=−6<0 = ponto máximoΔ=144−108Δ=36

x=−b±√Δ2a

=x=−(−12)±√362 . 3

=x=12±66

x '=12−66

=66=1

x ''=12+66

=186

=3

Exercícios 1º Calcule os pontos de máximo ou de mínimo das funções:

33

a) f ( x )=x2+1

b)f ( x )=2 x3−x2

c)f ( x )=x3−12x+120

d)

f ( x )=−13x3+7x2−48x+2

2º Calcule os pontos de máximo ou de mínimo das funções:

a ) f ( x )=x2−4 x+3b ) f ( x )=x3−3 x2+2c ) f ( x )=18 x+3 x2−4 x3

d ) f ( x )=x3

3−x2

2−6 x

e ) f (x )=4 x−x2

f ) f ( x )=4 x3−8 x2

g ) f ( x )=x3−7 x+6

h ) f ( x )=2x3+3 x2+2

i) f (x )=x2

2−2x+5

j ) f ( x )=x3

3−4 x2+12 x

k ) f ( x )=2x3

3−3 x2

2l) f (x )=36 x−2 x2−158

Derivadas Sucessivas ( ordem maior)

Dada uma função f(x), podemos determinar as derivadas sucessivas , isto é, derivada primeira, derivada segunda, derivada terceira, derivada quarta,....., derivada de ordem n da função.

Exemplo 1: Dada a função f ( x )=x3−6 x2+5 x−2

f ' ( x )=3 x2−12 x+5→ derivada primeira f ''( x )=6 x−12 → derivada segundaf '''( x )=6 → derivada terceiraf ''''( x )=0 → derivada quarta

Exercícios

34

1º Calcule a derivada terceira das funções:

a) f ( x )=6 x3−x4+16 x+3

b) f ( x )=5 x3

5− x 4

2+12x+30

c) f ( x )=2 x3−x+3

d ) f ( x )= x3

3− x2

2−6 x

e ) f (x )= x3

3−5 x2+21 x+3

2º Determine as derivadas sucessivas da função f ( x )=2 x4− x3

3−10 x2+4

até a determinação da função nula.

3º Determine todas as derivadas sucessivas da função f ( x )=4 x3+e x

35