2 Edio

D I S C I P L I N A

Pr-clculo

As funes exponencial e logartmicaAutoresRubens Leo de Andrade Ronaldo Freire de Lima

aula

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Governo FederalPresidente da Repblica Luiz Incio Lula da Silva Ministro da Educao Fernando Haddad Secretrio de Educao a Distncia SEED Ronaldo Motta

Revisoras de Lngua Portuguesa Janaina Tomaz Capistrano Sandra Cristinne Xavier da Cmara Ilustradora Carolina Costa Editorao de Imagens Adauto Harley Carolina Costa Diagramadores Bruno de Souza Melo Adaptao para Mdulo Matemtico Thaisa Maria Simplcio Lemos Pedro Gustavo Dias Digenes Imagens Utilizadas Banco de Imagens Sedis (Secretaria de Educao a Distncia) - UFRN Fotografias - Adauto Harley MasterClips IMSI MasterClips Collection, 1895 Francisco Blvd, East, San Rafael, CA 94901,USA. MasterFile www.masterfile.com MorgueFile www.morguefile.com Pixel Perfect Digital www.pixelperfectdigital.com FreeImages www.freeimages.co.uk FreeFoto.com www.freefoto.com Free Pictures Photos www.free-pictures-photos.com BigFoto www.bigfoto.com FreeStockPhotos.com www.freestockphotos.com OneOddDude.net www.oneodddude.net Stock.XCHG - www.sxc.huDiviso de Servios Tcnicos Catalogao da publicao na Fonte. UFRN/Biblioteca Central Zila Mamede

Universidade Federal do Rio Grande do NorteReitor Jos Ivonildo do Rgo Vice-Reitor Nilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho Secretria de Educao a Distncia Vera Lcia do Amaral

Secretaria de Educao a Distncia- SEDISCoordenadora da Produo dos Materiais Clia Maria de Arajo Coordenador de Edio Ary Sergio Braga Olinisky Projeto Grfico Ivana Lima Revisores de Estrutura e Linguagem Eugenio Tavares Borges Marcos Aurlio Felipe Revisora das Normas da ABNT Vernica Pinheiro da Silva

Andrade, Rubens L. de. Pr-clculo / Rubens L. de Andrade, Ronaldo F. de Lima. 248 p. ISBN 85-7273-295-0

Natal, RN : EDUFRN Editora da UFRN, 2006.

Contedo: Introduo linguagem matemtica - Os nmeros naturais e os nmeros intereiros. - Fraes e nmeros decimais - os nmeros racionais - Os nmeros reais - Polinmios e equaes algbricas - Inequaes algbricas e intervalos - Funes I - Funes II - Funes polinomiais - Funes afins - funes quadrticas - As funes exponencial e logartmica - Funes trigonomtricas - Funes trigonomtricas inversas. 1. Nmero real. 2. Equao. 3. Funo. I. Lima, Ronaldo F. de. II. Ttulo. CDD 512.81 RN/UF/BCZM 2006/ 29 CDU 517.13

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorizao expressa da UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Apresentao

D

ando continuidade ao estudo das funes elementares, introduziremos nesta aula as funes exponencial e logartmica. Faremos, inicialmente, uma discusso a respeito de potncias de expoente real, uma vez que, at agora, s tratamos de potncias de expoente racional. Em seguida, na linha das aulas anteriores, deniremos essas funes, vericaremos suas propriedades principais, e, no que diz respeito a crescimento e sinal, como elas incidem no comportamento dessas funes. Veremos tambm como tais funes surgem naturalmente em modelagens de problemas, nos quais se deseja determinar o valor de uma grandeza que cresce ou decresce com o tempo de acordo com certas leis, como capital nanceiro, populao e substncias radioativas.

Objetivos Objetivos1 2Denir e identicar as principais propriedades das funes exponencial e logartmica a partir de suas expresses algbricas e de seus grcos. Aplicar a teoria no estudo de problemas envolvendo juros compostos, crescimento populacional e desintegrao radioativa.

Aula 13 Pr-Clculo

1

Potncias em RRelembremos que, dado a R , a > 0 , e p/q Q , q > 0 , a potncia ap/q , por denio, ap/q = q ap . Assim denidas, as potncias de base real positiva e expoente racional tm as seguintes propriedades. Dados reais positivos a e b , e x, y Q , tem-se (i) ax ay = ax+y ; (ii) (ax )y = axy ; (iii) (ab)x = ax bx . Nosso objetivo agora estender essa denio para potncias de expoente irracional, isto , potncias do tipo 2 2

3

5

7

9

,

de tal modo que as igualdades (i), (ii) e (iii) continuem sendo verdadeiras. Para tanto, usaremos o fato de que todo nmero irracional limite de uma seqncia de nmeros racionais. Seja ento x R um nmero irracional e x1 , x2 , x3 , , xn , uma sequncia de nmeros racionais cujo limite x , isto , quanto maior for n mais prxima de 0 estar a distncia entre x e xn . Neste contexto, prova-se que, dado um nmero real positivo a , a seqncia ax1 ax2 ax3 ax4 axn

tem um limite, o qual no depende da particular escolha da sequncia x1 , x2 , x3 , , xn , . Dene-se ento ax como sendo esse limite. Por exemplo, a potncia 2 21,4 2

o limite da seqncia 21,414 21,4142

21,41

Prova-se ainda que, com essa denio, as equaes (i), (ii) e (iii) so vlidas para potncias de expoente irracional.

2

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A funo exponencialDenio 1 Seja a um nmero real positivo. A funo exponencial de base a a funo denida porf: R R x ax Assim, f (x) = 2x , f (x) = x e f (x) = exponenciais. 5 3x

so exemplos de funes

Faamos fa (x) = ax , a > 0 , e vejamos as propriedades da funo exponencial fa . Temos que fa (0) = a0 = 1 e fa (1) = a1 = a . Alm disso, fa (x + y) = ax+y = ax . ay , isto , fa (x + y) = fa (x).fa (y) , x, y R .

(1)

Dessa igualdade, segue-se que fa uma funo positiva, isto , fa (x) > 0 para todo x R . Para provarmos isso, vejamos inicialmente que fa (x) = 0 para todo x R . De fato, se fa (x0 ) = 0 para algum x0 R , ento, pela equao (1), fa (x) = fa (x0 + (x x0 )) = fa (x0 ).fa (x x0 ) = 0 , x R . Isso, porm, uma contradio, pois fa (0) = 1 = 0 . Por outro lado, dado x R , ainda pela equao (1), tem-se fa (x) = fa (x/2 + x/2) = fa (x/2).fa (x/2) = (fa (x/2))2 > 0 , como queramos demonstrar. Passemos agora ao estudo do crescimento de fa . Suponhamos inicialmente a > 1 , e provemos que, neste caso, fa crescente. Devemos provar ento que, dados x, y R , x > y ax > ay , No entanto, ax > ay ax >1 ay

se a > 1 .

(2)

axy > 1 .

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3

Fazendo-se z = x y , segue-se que a implicao (2) equivalente z > 0 az > 1 ,

se a > 1 .

(3)

Quando z = n N , claramente, az = an > 1 , o que prova (3) neste caso particular. Por outro lado, se z = 1/n Q , ento, az = a1/n = n a > 1 , pois se tivssemos b = n a 1 , ento, a = bn 1 , contrrio hiptese a > 1 . Agora, se z = p/q Q um racional positivo, segue-se desses argumentos que az = ap/q = (a1/q )p > 1 . Finalmente, prova-se a veracidade de (3) no caso em que z irracional, usando-se limites. No daremos os detalhes dessa prova, mas a idia tomar-se uma seqncia de racionais positivos x1 , x2 , , xn , que converge para z , e, do fato de axi > 1 para cada i = 1, 2, , concluir-se que az > 1 . Dessa forma, temos que fa crescente, se a > 1 .

Atividade 1Prove que fa decrescente, se 0 < a < 1 .

Na Figura 1, esto ilustrados os grcos das funes f (x) = 2x e g(x) = (1/2)x . Observando-os, vemos que, quando a > 1 , os valores de fa (x) crescem indenidamente medida que x cresce, e decrescem para zero medida que x decresce. No caso em que 0 < a < 1 , temos que fa (x) decresce para zero medida que x cresce, e cresce indenidamente medida que x decresce. Com isso, em ambos os casos, o conjunto-imagem de fa Im(fa ) = R+ = {y R; y > 0} .

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Figura 1 Grcos das funes f (x) = 2x e g(x) = (1/2)x

Em resumo. . .

Dado um nmero real a > 0 , a = 1 , a funo exponencial fa (x) tem as seguintes propriedades: 1. fa (x + y) = fa (x).fa (y) x, y R ; 2. fa montona (crescente se a > 1 e decrescente, se 0 < a < 1) ; 3. O conjunto-imagem de fa R+ .

Note que, por (2), fa injetiva, o que, juntamente com (3), nos d que a funo fa : R R+ x ax bijetiva. Um fato curioso a respeito das funes exponenciais que elas so caracterizadas pelas propriedades (1) e (2), e por se ter, sempre, fa (0) = 1 . Dito de outra forma, elas so as nicas que tm tais propriedades, conforme a proposio a seguir.

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Proposio 1 Seja f : R R uma funo tal que:1. f (x + y) = f (x).f (y) 2. f (0) = 1 3. f montona. Ento, existe a > 0 tal que f = fa .

Antes da demonstrao, faamos uma pequena digresso sobre seqncias de nmeros reais. Dado um nmero real x , devido densidade de Q em R (veja a denio de conjunto denso em R , feita na aula 5 Os nmeros reais), sempre possvel obter-se seqncias de nmeros racionais x1 , x2 , x3 , , xn ,

e

y 1 , y 2 , y 3 , , yn ,

tais que a seqncia dos xn crescente, a dos yn decrescente, e ambas tm x como limite. Valem ento as desigualdades

x1 < x2 < x3 < < xn < < x < < yn < < y3 < y2 < y1 . Reciprocamente, se as desigualdades (4) so verdadeiras, e o limite da seqncia y1 x1 , y2 x2 , y3 x3 , . . . , yn xn , zero, ento, x o limite das seqncias indicadas.

(4)

Demonstrao da Proposio 1 Como j vimos, se f satisfaz (1) , ou f identicamente nula ou f (x) > 0 , x R . Como f (0) = 1 , temos que f (x) > 0 , x R . Seja a = f (1) . Pela propriedade (1) , temos que, para todo n N , f (n) = an . Como f (n)f (n) = f (n + (n)) = f (0) = 1 , obtemos f (n) = 1/f (n) = an . Alm disso, a = f (1) = f (n.1/n) = (f (1/n))n . Da, f (1/n) = a1/n . Finalmente, dados m, n N , m = am/n . temos f (m/n) = (f (1/n))m = a1/nAssim, ca demonstrado que f (x) = fa (x) , x Q . Resta-nos ento mostrar que f (x) = fa (x) , x R .6 Aula 13 Pr-Clculo

Suponhamos que f seja montona crescente. Como f (0) = 1 e f (1) = a, temos que a > 1. Ento, fa montona crescente. Agora, dado x R, consideremos seqncias x1 , x2 , , xn , e y1 , y2 , y3 , , yn , que tm x como limite e satisfazem as desigualdades (4) acima. Pela denio de potncia de expoente irracional, temos que fa (x) o limite das seqncias fa (x1 ), fa (x2 ), , fa (xn ), Porm, para cada xi e yi , temos f (xi ) = fa (xi ) < f (x) < fa (yi ) = f( yi ) , isto , fa (x1 ) < fa (x2 ) < < fa (xn ) < < f (x) < < fa (yn ) < < fa (y2 ) < fa (y1 ) . Como fa (x) o limite de ambas as seqncias fa (x1 ), fa (x2 ), . . . , fa (xn ) e fa (y1 ), fa (y2 ), . . . , fa (yn ) temos que o limite da seqncia fa (y1 ) fa (x1 ), fa (y2 ) fa (x2 ), . . . , fa (yn ) fa (xn ), . . . zero. Disso, segue-se que f (x) tambm o limite das seqncias fa (x1 ), fa (x2 ), , fa (xn ),

e

fa (y1 ), fa (y2 ), , fa (yn ), .

e

fa (y1 ), fa (y2 ), , fa (yn ), .

Dessa forma, temos f (x) = fa (x) , x R . O caso em que f montona decrescente tratado de maneira anloga.

Atividade 2Responda s seguintes questes.

1 2

Complete a demonstrao da Proposio 1, provando o caso remanescente. Demonstre que uma funo exponencial ca determinada pelo seu valor em um ponto x0 = 0 , isto , se fa e fb so funes exponenciais tais que fa (x0 ) = fb (x0 ) , ento, a = b .

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AplicaesVejamos agora como a funo exponencial surge naturalmente em certos contextos em que h grandezas que crescem ou decrescem com o tempo, de acordo com certas leis.

Juros compostosSuponhamos que uma quantia de c0 reais seja colocada numa poupana que rende k por cento ao ms. Isso signica que, ao m do primeiro ms, o investidor ter, em reais, a quantia c0 + c0 k k = c0 1 + 100 100 .

Ao reaplicar esse valor por mais um ms, os juros incidiro sobre este novo montante, no somente sobre o valor inicial c0 , da a denominao juros compostos. Dessa forma, depois de dois meses de investimento, o capital ser k 100 k 100 k k = c0 1 + 100 100 k 100 k 1002

c0 1 +

+ c0 1 +

1+

= c0 1 +

.

Analogamente, aps n meses de investimento, o montante ser de c0 1 + reais. Assim, fazendo-se a = 1 + dado pork 100

k 100

n

, temos que o valor a ser resgatado aps n meses

f (n) = c0 fa (n) .

Exemplo 1Sabendo-se que a poupana rende 0, 3% ao ms, por quanto tempo, no mnimo, deve-se aplicar 150 reais para que esse capital dobre de valor? Neste caso, temos que a= 1+ 3 100 = 103 100

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Aula 13 Pr-Clculo

Logo, depois de n meses de aplicao, o valor de resgate ser f (n) = c0 fa (n) = 150. Assim, devemos encontrar o menor n tal que 150. Temos, ento, 103 100n

103 100

n

.

103 100

n

300 .

150 .

(5)

Com o auxlio de uma mquina calculadora, vemos que o valor mnimo de n para o qual essa ltima desigualdade verdadeira 170 , que corresponde ao nmero mnimo de meses (aproximadamente 10 anos e meio) em que se deve aplicar a quantia dada para que ela dobre de valor. No prximo item, indicaremos detalhadamente como usar a calculadora para se resolver a inequao (5).

Atividade 3Se uma poupana rende 0,4 por cento ao ms, por quanto tempo, no mnimo, devo aplicar a quantia de 300 reais para poder resgatar 450 reais?

Crescimento populacionalNo que diz respeito a crescimento populacional, observa-se que aps perodos de mesma durao, a populao da terra ca multiplicada pelo mesmo fator. Assim, se num perodo de n anos a populao da Terra passou de um valor p0 para um valor p1 = kp0 , espera-se que nos prximos n anos, a populao seja igual a kp1 = k 2 p0 . Dessa forma, aps m perodos de n anos, a populao esperada f (m) = p0 k m = p0 fk (m) .Aula 13 Pr-Clculo 9

Exemplo 2Sabendo-se que a populao da Terra era de 2, 68 bilhes em 1956 e 3, 78 bilhes em 1972, qual a populao estimada para o ano 2012 ? De 1956 a 1972 , temos um perodo de 16 anos. Como, nesse perodo, a populao passou de 2, 68 para 3, 78 bilhes, o fator de crescimento foi k = 3,78 Logo, a populao 2,68 esperada em m perodos de 16 anos f (m) = p0 fk (m) = 2, 68. 3, 78 2, 68m

.m 16 k .

Por outro lado, num perodo de m anos, m < 16 , o fator de crescimento ser

Como o perodo de 1956 a 2012 de 56 anos, e 56 = 3.16+6 , a populao estimada em 2012 (em bilhes) f (3) + 6 3 kf (3) = f (3)(1 + k) = 2, 68. 16 8 3, 78 2, 683

1+

3 3, 78 8 2, 68

11, 49 .

Atividade 4Responda, com base nos dados do Exemplo 2, as seguintes perguntas. a) Qual o tempo necessrio, a partir de 1956, para que o nmero da populao dobre? b) Em que ano a populao da Terra era de 1 bilho?

Desintegrao radioativaDada uma certa quantidade de uma substncia radiotiva, verica-se que a sua taxa de desintegrao proporcional quantidade de substncia observada. Desse fato e valendo-se das tcnicas do Clculo Diferencial, conclui-se que, a partir de uma quantidade inicial c0 , a quantidade c(t) de substncia aps um tempo t dada por c(t) = c0 ek t , em que k um nmero real negativo chamado de taxa de desintegrao da substncia.

(6)

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Aula 13 Pr-Clculo

O smbolo e que aparece na equao acima, designa um nmero irracional, chamado nmero de Napier, em homenagem ao matemtico John Napier, criador dos logaritmos. A representao decimal de e e = 2, 7182818284 . O nmero de Napier aparece em muitos contextos que envolvem as funes exponenciais e logartmicas e sua importncia evidenciada no estudo do clculo diferencial dessas funes. Ele tambm caracterizado como o limite da seqncia cujo termo geral xn = isto , x1 = 1+ 1+ 1 nn

,

1 1

1

= 2, 1 33

x2 =

1+

1 2

2

= 2, 25 ,

x3 =

1+

2, 37 ,

Usando-se uma mquina calculadora, pode-se vericar ainda que x100 2, 7048 , x1000 2, 7169 , x10000 2, 7181 .

A funo logartmica

V

imos na seo anterior que, para todo a R , a > 0 , a = 1 , a funo exponencial 1 fa : R R+ bijetiva. Sendo assim, ela admite uma inversa fa : R+ R , a qual chamamos funo logartmica na base a , e denotamos por R loga : R+ x loga x

Note que, como fa e loga so funes inversas uma da outra, tem-se fa (loga x) = aloga x = x , x > 0; loga (fa (x)) = loga (ax ) = x , x R . Alm disso, segue-se da denio de loga que, dado x > 0 , loga x = y ay = x .Aula 13 Pr-Clculo 11

As propriedades da funo exponencial reetem-se como propriedades da funo logartmica, podendo ser demonstradas sem diculdade. So elas:

1. loga (xy ) = loga x + loga y ; xy) 2. loga 1 = 0 , loga a = 1; 3. loga crescente, se a > 1 , e decrescente, se 0 < a < 1; 4. loga xy = y loga x .

Por exemplo, para vericarmos a propriedade (1), basta observarmos que, sendo fa e loga inversas uma da outra, tem-se fa (loga (xy)) = xy . Por outro lado, fa (loga x + loga y) = fa (loga x).fa (loga y) = xy . .f Segue-se, ento, da injetividade de fa que loga (xy) = loga x + loga y . J a propriedade (4) demonstrada a partir da identidade fa (loga xy ) = xy = fa (y loga x) . Vale salientar que, conforme mencionamos, os logaritmos foram criados em 1614 pelo matemtico escocs John Napier, motivado pela propriedade (1). Note que, por essa propriedade, o logaritmo transforma um produto numa soma, o que facilitou enormemente o trabalho de cientistas da poca, como os astrnomos, que necessitavam manipular nmeros muito grandes. O advento das mquinas calculadoras e computadores tornou obsoleta tal caracterstica dos logaritmos. Atualmente, sua importncia reside no fato de a funo logartmica ser a inversa da exponencial, o que car bastante claro ao longo dos cursos de clculo. Convm ainda observar que o logaritmo na base 10 representado simplesmente por log , e o logaritmo na base e , chamado logaritmo neperiano, denotado por ln , isto , log10 x = log x

e

loge x = ln x , x > 0 .

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Na Figura 2, esto ilustrados os grcos das funes log2 e log1/2 , juntamente com suas inversas f2 e f1/2 .

Figura 2 Grcos das funes f2 , log2 e f1/2 , log1/2

Atravs desses grcos, vemos que a funo logartmica tem as seguintes propriedades:n

se a > 1 , loga x cresce indenidamente medida que x cresce, e decresce indenidamente medida que x se aproxima de zero; se 0 < a < 1 , loga x decresce indenidamente medida que x cresce, e cresce indenidamente medida que x se aproxima de zero.

n

Atividade 5Para cada item, construa, num mesmo sistema de coordenadas, os grcos das funes dadas. a) f (x) = ex e g(x) = ln x. e g(x) = log1/3 x .

b) f (x) = (2/3)x

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Vejamos agora como deduzir a frmula de mudana de base loga x = logb x . loga b . Para isso, consideramos inicialmente a identidade loga by = y loga b , e fazemos x = by , isto , y = logb x . Da , loga by = y loga b loga x = logb x . loga b . Em particular, se a = 10 , temos logb x = log x log b

Essa frmula bem til quando queremos calcular um logaritmo de base diferente de 10 usando-se uma calculadora, pois, em geral, estas s calculam logaritmos de base 10. Por exemplo, para calcularmos log2 3 , usamos uma calculadora para obter os valores log 2 0, 301 e log 3 0, 477 . Logo, log2 3 = log 3 0, 477 1, 584 . log 2 0, 301

Atividade 6Prove que, se a e b so reais positivos distintos de 1 , tem-se logb a . loga b = 1 .

Exemplo 3Determine, com o auxlio de uma mquina de calcular, o menor nmero natural n tal que 103 100 (veja o Exemplo 1 da seo anterior).n

150

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Aplicando-se log , que uma funo crescente, em ambos os membros da desigualdade dada, obtemos log 1, 03n log 150 n log 1, 03 log 150 n Logo, o nmero natural procurado n = 170 . 2, 17 log 150 169, 53. log 1, 03 0, 0128

Exemplo 4Considere uma substncia radioativa que se desintegra segundo a funo (veja Exemplo 6 da seo anterior) c(t) = c0 ekt , k < 0 . Determine a quantidade de tempo necessria para que a substncia se desintegre at a metade da quantidade original. Neste caso, devemos encontrar t > 0 tal que c(t) = c0 /2 , isto , c0 ekt = c0 1 1 ekt = kt = ln(1/2) t = ln 2 . 2 2 k

Note que o valor de t encontrado no depende da quantidade inicial c0 , mas sim de 1 k , que uma caracterstica da substncia radioativa. Portanto, o valor k ln 2 chamado de meia-vida dessa substncia. Por exemplo, a meia-vida do rdio aproximadamente 1550 anos. Logo, nesse caso, o valor de k ln 2 0, 0000447 . Dessa maneira, a partir de uma quantidade inicial c0 1550 de rdio, esta se desintegrar segundo a funo c(t) = c0 e0,0000447t .

Atividade 71 2Determine o menor nmero natural n tal que 1, 002n > 241 . Qual o tempo necessrio para que uma certa quantidade de rdio se desintegre at atingir 1/5 desta?

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ResumoNesta aula, estudamos as funes exponencial e logartmica. Vimos que estas so denidas a partir de um nmero real positivo a chamado de base, que determina o comportamento dessas funes no que diz repeito a propriedades de crescimento. Vericamos que a funo exponencial sempre positiva, enquanto o conjunto-imagem da funo logartmica R . Vimos tambm que tais funes so inversas uma da outra e, por m, aplicamos a teoria vista no estudo de alguns problemas envolvendo juros compostos, crescimento populacional e desintegrao radioativa.

Auto-avaliaoEnuncie e demonstre um teorema de caracterizao das funes logartmicas anlogo quele para funes exponenciais. Em seguida, consulte Carvalho et al (2001, p. 194), no qual esse teorema enunciado e demonstrado, e compare com o seu texto.

Referncias ReferciasCARVALHO, Paulo Csar et al. A matemtica do ensino mdio. 1.v. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemtica, 2001. COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert. O que matemtica?: uma abordagem elementar de mtodos e conceitos. 2.ed. Rio de Janeiro: Editora Cincia Moderna, 2000.

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