pré-cálculo aula 6

7/25/2019 Pr-Clculo Aula 6

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Conversa inicial

Ol! Chegamos ltima aula de Pr-Clculo!

Voc percebeu o quanto j evolumos nessa disciplina? Para completar

o contedo terico dessa disciplina, na aula de hoje vamos tratar de

funes compostas e de funes inversas. Falaremos tambm sobre

ponto de equilbrio.

Assista ao vdeo do professor Ricardo sobre os contedos da aula

acessando o material on-line!

Contextualizando

Em muitos momentos de nossas vidas, precisamos tomar decises, no

campo profissional e tambm no pessoal. Mas voc j parou para

pensar em comotomamos decises?

O processo de tomada de decises segue critrios previamente

estabelecidos. Para comprarmos uma roupa, por exemplo, podemos

estabelecer alguns critrios tais como o modelo, o tamanho e o preo.

Se as trs condies so satisfeitas, concretizamos a compra. Se pelo

menos um desses critrios no estiver de acordo com o esperado, a

compra no realizada.

NVEL Graduao

CURSO Engenharia de Produo

DISCIPLINA Pr-Clculo

M DULO A1 2016

AULA 6

PROFESSOR Prof. Me. Ricardo Zanardini


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claro que os critrios so muitas vezes subjetivos e podem variar de

acordo com quem est tomando a deciso ou de acordo com o contextoem que esses critrios se encontram.

A matemtica pode ser muito til no processo de tomada de decises.

Estudos comprovam que a falta de conhecimento matemtico pode

provocar muitos prejuzos em situaes que envolvem quantidades.

Ao escolhermos uma operadora de telefonia celular, por exemplo,

temos diversos planos disponveis e com preos variados. Vamos supor

que temos dois planos de telefonia celular que mais chamaram a

ateno e que esto de acordo com as expectativas.

O primeiro plano tem uma mensalidade de R$ 39,90 com 50 minutos de

ligaes. Ultrapassando esses 50 minutos, cada minuto adicional tem

um custo de R$ 0,79. O outro plano tem uma mensalidade de R$ 49,90tambm com 50 minutos para ligaes e cada minuto adicional tem um

custo de R$ 0,69.

Se formos utilizar no mximo 50 minutos por ms, o primeiro plano o

mais adequado, pois tem uma mensalidade menor. No entanto, se

ultrapassarmos esses 50 minutos, iremos pagar pelo tempo adicional

de conversa. Mesmo tendo uma mensalidade mais barata, os minutosadicionais do primeiro plano so mais caros do que os do segundo

plano.

Nesse caso, o primeiro plano ser vantajoso at um certo ponto. Depois

disso, o segundo plano ser mais vivel financeiramente.

Mas que ponto esse?

At quantos minutos adicionais o primeiro plano melhor?

A partir de quantos minutos o segundo plano melhor?

Isso e muito mais o que veremos nessa aula!

As funes compostas esto relacionadas a problemas onde temos

grandezas associadas entre si por duas ou mais leis de composio.


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Por exemplo, a receita de uma empresa est associada produo e

essa produo est associada demanda. Nesse caso, podemos dizerque a receita est associada demanda. Conhecendo a relao entre a

receita e a produo e entre a produo e a demanda, possvel

estabelecer a relao que h entre a receita e a demanda. E isso que

veremos a seguir.

Para iniciarmos nossos estudos, vamos assistir ao seguinte vdeo sobre

funes compostas.

https://www.youtube.com/watch?v=P1Y5Sh8sw7A

Podemos dizer, ento, que uma funo composta: f(g(x)) constituda

pelas funes f(u) e g(x) onde substitumos u por g(x) na expresso de

f(u).

A seguir um texto bastante interessante sobre funes compostas.

http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoComposta.aspx

Para entendermos melhor, vamos ver agora um exemplo relacionado

aplicao de funes compostas.

O nvel de monxido de carbono em uma pequena cidade de:

m(p)=0,7p+1

Partes por milho quando a populao corresponde a p mil habitantes.

Estima-se que daqui a t anos, a partir da data atual, a populao ser

de


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p(t)=45+0,2t2mil habitantes.

a) Qual a funo que relaciona o nvel de monxido de carbono com o

tempo?

Nesse caso, temos a relao entre o nvel de monxido de carbono e a

populao, dada por m(p)=0,7p+1 e temos tambm a relao entre a

populao e o tempo, dada por p(t)=45+0,2t2. Precisamos relacionar o

nvel de monxido de carbono com o tempo. Para isso, na funo

m(p)=0,7p+1, vamos substituir a varivel p pela expresso 45+0,2t2,

pois p(t)=45+0,2t2.

m(p(t))=0,7(45+0,2t2)+1

Vamos agora aplicar a lei distributiva, multiplicando 0,7 por 45 e

tambm 0,7 por 0,2t2

m(p(t))=31,5+0,14t2+1

Somando 31,5 com 1, temos

m(p(t))=32,5+0,14t2

Que a relao entre o nvel de monxido de carbono e o tempo.

b) Qual o nvel atual de monxido de carbono?

Sabemos que a relao entre o nvel de monxido de carbono e o

tempo dada por:

m(p(t))=32,5+0,14t2

Para sabermos o nvel atual de monxido de carbono, vamos substituir

a varivel t por 0.

m(p(0))=32,5+0,14(0)2

m(p(0))=32,5+0,14(0)


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m(p(0))=32,5+0

m(p(10))=32,5 ppm

Portanto, o nvel atual de monxido de carbono de 32,5 partes por

milho.

c) Qual ser o nvel de monxido de carbono daqui a 10 anos?

Para determinarmos o nvel de monxido de carbono daqui a 10 anos,

basta substituirmos t por 10 na expresso

m(p(t))=32,5+0,14t2,

O que resulta em

m(p(10))=32,5+0,14(10)2

m(p(10))=32,5+0,14(100)

m(p(10))=32,5+14

m(p(10))=46,5 ppm

Sendo assim, o nvel de monxido de carbono daqui a 10 anos ser de46,5 partes por milho.

Seja as funes f(t)=2t2-5t e t(x)=4x+1. Escreva a funo f(t(x)).

Resoluo:

Sabemos que f(t)=2t2-5t e que t(x)=4x+1. Para encontrarmos f(t(x)),

basta substituirmos 4x+1 no lugar de t na funo f(t)=2t2-5t:

f(t(x))=2(4x+1)2-5(4x+1).

Em primeiro lugar precisamos resolver a potncia (4x+1)2.

f(t(x))=2(16x2+8x+1)-5(4x+1)

Vamos agora efetuar as multiplicaes:


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f(t(x))=32x2+16x+2-20x-5

Somando os termos semelhantes, temos:

f(t(x))=32x2-4x-3

que a funo procurada.

Vamos assistir o professor Ricardo e suas explicaes sobre as

funes compostas? Para isso, acesse o material on-line!

Exemplos com funes compostas

Agora que j sabemos o que so funes compostas, vamos resolver

alguns exemplos relacionados a esse assunto.

O primeiro deles consiste em, dadas duas funes f e g, determinarmos

a funo composta fog.

1. Determine f(g(x)) onde f(u)=3u+5 e g(x)=x2+1.

Substituindo x2+1 no lugar da varivel u, na funo f(u)=3u+5, temos:

f(g(x))=3(x2+1)+5

f(g(x))=3x2+3+5

f(g(x))=3x2+8

O segundo exemplo mostra que possvel utilizarmos o que

aprendemos at aqui para realizarmos a decomposio de funes.

2. Seja 222

121

3

xx

xf , faa, convenientemente, a

decomposio da funo f.

Sabendo que 222

121

3

xx

xf , podemos escrever f(x) como:


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223

uu

uf

Onde 12 xu .

A seguir, dois vdeos apresentando exerccios resolvidos relacionados

s funes compostas.

https://www.youtube.com/watch?v=NKIuiSk4zSs

https://www.youtube.com/watch?v=Dfy6Eov80SY

1. Considere as funes dadas a seguir denotadas por f(x) e g(x).

Determine o domnio destas funes. Determine as expresses

(equaes) das funes compostas (f+g)(x), (f-g)(x), (g-f)(x), (f.g)(x),

(f/g)(x), (g/f)(x), (fog)(x) e (gof)(x) e os domnios destas funes.

a) e

b) e

c) e

Resoluo:

a) Para a funo tem-se: pois no

ocorrem restries nesta funo. Em relao a funo e

ocorre uma raiz de ndice par, fazendo com que no

radicando somente sejam aceitos valores no negativos, ou

ou ainda resultando . As

expresses resultantes e os correspondentes domnios, para as

funes compostas sero:


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(Para a situao de diviso deve-se excluir valores que zerem o

denominador, neste caso x=1 deve ser excludo)


denominador, neste caso x=0 e x=-3 devem ser excludos, porm estesvalores no pertencem ao domnio de sobreposio das funes

originais, restando ento o domnio informado)


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(O domnio de fog(x) so todos os valores do domnio de g(x) cujo

conjunto imagem contenha os valores do domnio de f(x))

(O domnio de gof(x) so todos os valores do domnio de f(x) cujo

conjunto imagem contenha os valores do domnio de g(x), ou onde

Resolvendo esta inequao tem-se as razes

(frmula quadrtica) calculados como:

Resultando e . Considerando-se que

desejado valores maiores ou iguais a zero, deve-se tomar os intervalos

fora das razes, de forma a obter

b) Considerando as funes e . Para a

funo tem-se: pois no ocorrem restries

nesta funo. Em relao a funo e ocorre uma raiz de

ndice par, fazendo com que no radicando somente sejam aceitos

valores no negativos, ou resultando . As

expresses resultantes e os correspondentes domnios, para as

funes compostas sero:


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denominador, neste caso x=0 deve ser excludo)


denominador, neste caso no denominador ocorre a funo exponencial

que NUNCA se anula, restando apenas a observao do numerador

que envolve a radiciao, onde o radicando deve ser no negativo).


conjunto imagem contenha os valores do domnio de f(x). A varivel x


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pode assumir qualquer valor real, ocasionando em valores sempre

positivos, ou seja, o radicando ser sempre positivo que a condio

de existncia de razes de ndice par).


conjunto imagem contenha os valores do domnio de g(x), ou onde:

c) Para a funo tem-se: pois no

ocorrem restries nesta funo. Em relao a funo e

ocorre uma situao de logaritmo, fazendo com que

no logaritmando somente sejam aceitos valores positivos, ou

resultando . As expresses resultantes e os

correspondentes domnios, para as funes compostas sero:


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denominador, neste caso x=1 deve ser excludo pois o ln(1)=0):


denominador, neste caso no denominador sempre ocorrero valores

positivos, restando apenas a observao do numerador que envolve o

logaritmo, onde o logaritmando deve ser positivo).


conjunto imagem contenha os valores do domnio de f(x). A varivel x

pode assumir qualquer valor real positivo devido estar no

logaritimando).


conjunto imagem contenha os valores do domnio de g(x), ou seja, so

todos os valores reais):


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Para fixarmos melhor o que aprendemos at aqui, vamos assistir ao

vdeo do professor Ricardo sobre a resoluo de problemas sobre

funes compostas! Para isso, acesse o material on-line!

Funes inversas

Alm das funes compostas, um estudo til e importante sobre

funes inversas. Para podermos determinar a funo inversa de uma

dada funo, precisaremos, primeiro, saber o que so funes injetoras,

sobrejetoras e bijetoras. Para isso, vamos assistir ao vdeo a seguir.

https://www.youtube.com/watch?v=tQ7o3EezYo8

Para sabermos como encontrar a inversa de uma funo, temos um

vdeo bem interessante.

https://www.youtube.com/watch?v=mRIW3fFw3eE

Sabemos que uma funo f relaciona valores de y a partir de certos

valores de x. Mas ser que temos como fazer o processo inverso, ou

seja, conhecendo y, saber qual o valor de x?

?xy

yx

Caso exista essa possibilidade, temos uma situao onde feita ainverso de uma funo. Para podermos determinar a inversa de uma

funo f, essa funo f deve ser bijetora. Mas o que uma funo

bijetora? Uma funo bijetora uma funo que atende a seguinte

condio:

para )()( 2121 xfxfxx e ffCD Im ,


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Ou seja, cada valor de y deve estar associado a um nico valor de x e

todos os valores do contradomnio devem estar associados aoselementos do domnio de f.

Bom, agora que sabemos o que uma funo bijetora, podemos definir

o que uma funo inversa.

Se f uma funo bijetora com domnio A e imagem B, ento f-1(funo

inversa de f) a funo com domnio em B e imagem em A definida por

f-1(b)=a se e somente se f(a)=b.

Podemos visualizar o que uma funo inversa observando a imagem

a seguir.

Se f relaciona s elementos do conjunto A com os elementos do conjunto

B, a inversa f-1 relaciona esses elementos de B com os elementos do

conjunto A. bom ressaltar que nem todas as funes possuem

inversa.

1. Para as funes dadas a seguir, faa a representao grfica eutilize o teste da linha horizontal para verificar se a funo ter

inversa.

a)

b)


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c)

d)

e)

f)

g)

Resoluo: O teste da linha horizontal consiste em imaginar linhas

horizontais para verificar se cortam o grfico em uma nica posio

(funo bijetora que admitir inversa), ou em mais de uma posio

(funo no admitir inversa).

a) Admite inversa

b) Admite inversa


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c) Admite inversa

d) No admite inversa

e) Admite inversa

f) Admite inversa


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g) Admite inversa

Vamos assistir ao professor Ricardo falando um pouco mais sobre as

funes inversas? Acesse o material on-line!

Exemplos relacionados s funes inversas

Em diversas situaes prticas podemos fazer uso das funes

inversas. Por exemplo, se temos o lucro em funo das vendas dado

por

L=1,5x-2000

possvel estimarmos as vendas em funo do lucro:


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5,1

2000

20005,1

20005,1

20005,1

Lx

Lx

Lx

xL

Por exemplo, se o lucro mensal foi de R$ 8.500,00, o nmero de

unidades vendidas foi igual a 7.000, pois

7000

5,1

10500

5,1

20008500

5,12000

x

x

x

Lx

Esse um exemplo da utilizao de funes inversas em situaesreais.

O exemplo nos mostra como podemos determinar a inversa de uma

determinada funo.

Seja1

)(

x

xxf . Determine )(

1xf .

Considerando a funo1

)(

x

xxf , com o intuito de simplificarmos a

notao utilizada, podemos fazer )(xfy . Logo

1

x

xy

Vamos agora escrever y no lugar de x e x no lugar de y

1

y

yx

O nosso objetivo isolar y para que tenhamos a funo inversa. Para

isso vamos multiplicar os dois membros por y+1


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yyx )1(

Multiplicando x por y e x por 1, temos:

yxxy

Subtraindo x e subtraindo y dos dois membros, temos:

xyxy

Vamos agora colocar y em evidncia:

xxy )1(

O prximo passo dividir ambos os membros por x-1:

1

x

xy

Como a varivel x est no numerador com o sinal negativo, podemos

ainda simplificar essa expresso. Para isso, vamos colocar, no

denominador, o sinal negativo em evidncia:

)1(

x

xy

Finalmente, comparando os sinais do numerador e do denominador,

temos a funo inversa dada por:

x

xy

1

Vamos ver agora diversos exemplos de funes e, caso existam, suas

respectivas inversas.

)(xf )(1 xf

15 x 5

1x

1

1

x

x 1

1

x

x


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2x A funo f(x)=x2no possui

nversa, pois f no bijetora.Contra-exemplo: f(2)=4 e f(-

2)=4.

3x 3

x

x

e xln

23 x

3

2,

3

22

x

x

1. Calcule as funes inversas das funes dadas.

a)

b)

c)

d)

e)

Resoluo:

a) Para a funo: faz-se e isolando y

vem ou . A seguir o grfico das duas funes, a

original e a inversa.


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b) Para a funo faz-se e isolando y vem

que a mesma funo original.

c) Para a funo: faz-se e isolando y

vem ou . A seguir os grficos das duas

funes, a original e a inversa:


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d) Para a funo: faz-se e elevando

ao quadrado tem-se e isolando . A seguir os

grficos das duas funes, a original e a inversa:

e) Para a funo: faz-se a troca de variveis

obtendo-se e invertendo as fraes tem-se

que pode ser reescrito ou

. Aplicando mmc no lado esquerdo vem e finalmente

invertendo as fraes tem-se .

Acesse o material on-linee confira a apresentao do professor Ricardo

sobre diversos problemas envolvendo funes inversas!


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Ponto de equilbrio

Estamos chegando ao final dos temas relacionados nossa disciplina

de Introduo ao Clculo. Para finalizarmos, vamos falar sobre ponto de

equilbrio. Matematicamente, quando pensamos em ponto de equilbrio,

estamos pensando em igualdade entre funes. Essas igualdades

podem estar relacionadas a equilbrio entre oferta e demanda, entrereceitas e despesas...

O vdeo a seguir est relacionado ao ponto de equilbrio.

https://www.youtube.com/watch?v=Z-ydL91brmI

Vamos ver agora um exemplo prtico que nos mostra a importncia do

ponto de equilbrio.

Uma empresa comercializa um determinado produto a um preo de R$

50,00. Logo, a receita total dessa empresa consiste em ganhos

relacionados diretamente venda desses produtos. A funo receita

R(x)=50x

Onde R indica a receita total e x indica a quantidade de produtos

comercializados.

Temos ainda que cada produto tem um custo de R$ 30,00 e tambm

que, mensalmente, essa empresa possui custos fixos que totalizam R$

5.000,00. Logo, a funo que associa o custo C com a quantidade de

produtos vendidos x

C(x)=30x+5000.

Para determinarmos o ponto de equilbrio dessa empresa ou, nesse

caso, o nmero de unidades que devem ser vendidas para que essa

empresa consiga pagar os seus custos e tambm qual a receita

referente a esse volume de vendas precisamos escrever uma


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expresso onde a receita R deve ser igual ao custo C e, em seguida,

isolarmos o valor e x.

250

20

5000

500020

50003050

50003050

x

x

x

xx

xx

Com isso, sabemos que a empresa precisa vender 250 unidades do

seu produto para que possa pagar os seus custos.

Vamos agora determinar qual essa receita, em reais.

Como R(x)=50x, R(250)=50(250). Logo, R(250)=12.500. Do mesmo

modo, C(250)=12.500.

Graficamente, o ponto de equilbrio consiste na interseco dos grficos

das funes R(x)=50x e C(x)=30x+5000.

Uma grande empresa pretende terceirizar o servio de manuteno de

computadores e tem dois possveis contratos que esto em anlise. No

primeiro contrato a empresa prestadora de servio cobra uma taxa

mensal de R$ 1.200,00 mais R$ 50,00 para cada computador que

precisou de manuteno. No segundo contrato no h taxa mensal,


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mas o custo por computador que precisou de manuteno de R$

100,00.

Sob o ponto de vista financeiro, qual dos dois contratos mais

vantajoso em relao ao nmero de computadores que precisam

mensalmente de manuteno?

Resoluo:

fA=50x+1200

fB=100x

fA=fB

50x+1200=100x

50x-100x=-1200

-50x=-1200 x(-1)

50x=1200

x=1200/50

x=24

Para at 24 computadores mensais, o contrato B mais vantajoso.

Para 24 computadores ou mais por ms, o contrato A mais vantajoso.

No material on-line, o professor Ricardo aborda os principais contedos

relacionados ao ponto de equilbrio. No deixe de acessar!

Aplicaes

Vamos agora ver que podemos utilizar os conhecimentos adquiridos

para que possamos tomar decises em problemas reais.


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Como exemplo, vamos considerar uma empresa de planos de sade

que oferece duas opes para os seus clientes:

Plano A: mensalidade de R$ 100,00 mais R$ 50,00 por consulta.

Plano B: mensalidade de R$ 150,00 mais R$ 25,00 por consulta.

Supondo que as demais coberturas tais como exames, cirurgias,

internamentos e atendimentos de emergncia so iguais para os dos

planos, qual o plano que mais se adapta s caractersticas de umdeterminado cliente, em funo do nmero de consultas mensais?

Para que possamos determinar qual a melhor escolha, vamos,

primeiro, escrever as funes que relacionam o valor mensal a ser pago

pelo cliente com o nmero de consultas realizadas. Para isso, basta,

para cada plano, multiplicarmos o valor de cada consulta por x, que

corresponde ao nmero de consultas por ms e, em seguida,

somarmos esse valor ao preo da mensalidade, que constante.

A: f(x)=50x+100

B: g(x)=25x+150

Para determinarmos o ponto de equilbrio, vamos igualar as funes f e

g e em seguida determinar o valor de x.

2

25

50

5025

1001502550

1502510050

x

x

x

xx

xx

Chegamos concluso que o ponto de equilbrio ocorre quando x

igual a 2, ou seja, quando temos duas consultas por ms os dois panos

tm o mesmo custo para o cliente. Precisamos agora determinar qual

plano financeiramente mais vantajoso para quem tem, em mdia, at

duas consultas por ms e para quem tem mais do que duas consultas

mensais.


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O plano que tem uma mensalidade menor mais vantajoso para quem

tem poucas consultas por ms, ou seja, o plano A mais vantajosopara at duas consultas mensais. Por outro lado, o plano B mais

vantajoso para mais do que duas consultas mensais, pois esse

apresenta um valor menor por consulta, mesmo tendo uma

mensalidade maior do que a mensalidade cobrada pelo plano A.

Graficamente, temos a seguinte situao:

O valor a ser pago, tanto no plano A quanto no plano B, para duas

consultas corresponde a R$ 200,00. Para chegarmos a esse valor,

basta substituirmos x por 2 na funo f(x)=50x+100 ou na funo

g(x)=25x+150.

Podemos entender melhor essa aplicao assistindo ao vdeo do

professor Ricardo no material on-line!

Na prtica

Lembra-se do problema colocado no incio da aula?

Precisamos decidir sob o ponto de vista financeiro qual dos dois

planos de telefonia celular mais vivel. Sabemos que o primeiro plano

tem uma mensalidade de R$ 39,90 e que cada minuto adicional tem um

custo de R$ 0,79.

O segundo plano tem uma mensalidade de R$ 49,90 e cada

minuto adicional custa R$ 0,69.


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Como o primeiro plano tem uma mensalidade menor, mais

vivel para poucos minutos adicionais. O segundo plano tem um customenor por minuto adicional.

Logo, at quantos minutos adicionais o primeiro plano melhor?

A partir de quantos minutos o segundo plano melhor?

Resoluo

Para podermos resolver esse problema, precisamos encontrar o ponto

de equilbrio, que o ponto onde os custos mensais dos dois planos

so iguais para um certo nmero de minutos adicionais.

Primeiro, vamos escrever a funo que relaciona o custo total do

primeiro plano com o nmero de minutos adicionais:

y=0,79x+39

Onde y o custo total por ms e x o nmero de minutos adicionais.

Em relao ao segundo plano, a funo que relaciona o custo mensal y

com os minutos adicionais x dada por:

y=0,69x+49

Podemos encontrar o ponto de

equilbrio igualando as duas funes:

0,79x+39=0,69x+49

Agora precisamos colocar no

primeiro membro os termos que

contm a varivel x e no

segundo membro os termos

independentes:

0,79x-0,69x=49-39

Efetuando as subtraes, temos: 0,1x=10

Dividindo ambos os membros por 0,1,

temos:

0,1x/0,1=10/0,1

Logo: x=100


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Portanto, o valor de x que iguala o custo dos dois planos 100, ou seja,

at 100 minutos adicionais o primeiro plano mais vantajoso e a partirde 100 minutos adicionais o segundo plano mais vantajoso. Observe

que nesse caso no estamos considerando outros planos, mas

poderamos comparar esse resultado com planos de 100 ou mais

minutos para verificar o que mais vantajoso.

Sntese

Chegamos ao final da ltima aula de Pr-Clculo!

Nessa aula tratamos de funes compostas e de funes inversas.

Vimos que elas podem ser muito teis na resoluo de problemas

prticos. Tratamos tambm de ponto de equilbrio e da importncia

desse tema no processo de tomada de decises.

Para saber mais, a sugesto a leitura dos captulos 13 e 14 da obra

Pr-Clculo dos autores Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D.

Foley e Daniel Kennedy, 2a edio, editora Pearson, disponvel na

Biblioteca Virtual.

At uma prxima vez!

Referncias

DEMANA, F.D.; WAITS, B.K.; FOLEY, G.D.; KENNEDY, D. Pr-

Clculo. 2aEd,So Paulo, Pearson, 2013.

pré-cálculo aula 6

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