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Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 2
Parte 2 Pré-Cálculo 1
Funções
Parte 2 Pré-Cálculo 2
O que é uma função?
Parte 2 Pré-Cálculo 3
O que é uma função?
Uma função f é uma lei a qual para todo elemento x emum conjunto D faz corresponder exatamente um elementochamado f (x) em um conjunto C.
D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f .
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Parte 2 Pré-Cálculo 4
O que é uma função?
Uma função f é uma lei a qual para todo elemento x emum conjunto D faz corresponder exatamente um elementochamado f (x) em um conjunto C.
D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f .
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Parte 2 Pré-Cálculo 5
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Parte 2 Pré-Cálculo 6
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Parte 2 Pré-Cálculo 7
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Parte 2 Pré-Cálculo 8
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Parte 2 Pré-Cálculo 9
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Parte 2 Pré-Cálculo 10
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Parte 2 Pré-Cálculo 11
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Parte 2 Pré-Cálculo 12
Exemplo: avaliando funções
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)h
=2 (p + h)− 2 p
h=
2 p + 2 h − 2 ph
= 2.
Parte 2 Pré-Cálculo 13
Lembram-se dos diagramas de Venn?
CD
Parte 2 Pré-Cálculo 14
Lembram-se dos diagramas de Venn?
CD
Parte 2 Pré-Cálculo 15
Lembram-se dos diagramas de Venn?
(Ir para o GeoGebra)
Parte 2 Pré-Cálculo 16
Uma outra representação para funções
(entrada) (saída)
(considerando uma função como uma transformação)
Parte 2 Pré-Cálculo 17
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 18
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 19
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 20
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 21
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 22
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 23
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 24
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 25
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 26
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 27
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 28
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 29
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 30
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 31
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 32
Cuidado!
f : D → Cx 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.
Parte 2 Pré-Cálculo 33
A Imagem de Uma Função
Parte 2 Pré-Cálculo 34
O que é a imagem de uma função?
Parte 2 Pré-Cálculo 35
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Parte 2 Pré-Cálculo 36
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Parte 2 Pré-Cálculo 37
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Parte 2 Pré-Cálculo 38
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Parte 2 Pré-Cálculo 39
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
1 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1/2) = 1!
Parte 2 Pré-Cálculo 40
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
1 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1/2) = 1!
Parte 2 Pré-Cálculo 41
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1) = 2!
Parte 2 Pré-Cálculo 42
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1) = 2!
Parte 2 Pré-Cálculo 43
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
√3 pertence a imagem de f? Sim, pois f (
√3/2) =
√3!
Parte 2 Pré-Cálculo 44
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
√3 pertence a imagem de f? Sim, pois f (
√3/2) =
√3!
Parte 2 Pré-Cálculo 45
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
b ∈ R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) = b!
Parte 2 Pré-Cálculo 46
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
b ∈ R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) = b!
Parte 2 Pré-Cálculo 47
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Moral: Imagem de f = R!
Parte 2 Pré-Cálculo 48
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√
2) = 2!
Parte 2 Pré-Cálculo 49
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√
2) = 2!
Parte 2 Pré-Cálculo 50
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
Temos que f (√
2) = 2. Note, também, que f (−√
2) = 2.
Parte 2 Pré-Cálculo 51
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
Temos que f (√
2) = 2. Note, também, que f (−√
2) = 2.
Parte 2 Pré-Cálculo 52
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
Para que y ∈ Imagem de f basta um x ∈ D tal que f (x) = y !
Parte 2 Pré-Cálculo 53
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) = 0!
Parte 2 Pré-Cálculo 54
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) = 0!
Parte 2 Pré-Cálculo 55
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Parte 2 Pré-Cálculo 56
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Parte 2 Pré-Cálculo 57
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Parte 2 Pré-Cálculo 58
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Parte 2 Pré-Cálculo 59
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b ≥ 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√
b) = b!
Parte 2 Pré-Cálculo 60
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b ≥ 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√
b) = b!
Parte 2 Pré-Cálculo 61
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Parte 2 Pré-Cálculo 62
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Parte 2 Pré-Cálculo 63
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Parte 2 Pré-Cálculo 64
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Parte 2 Pré-Cálculo 65
O que é a imagem de uma função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = x2
Moral: Imagem de f = [0,+∞)!
Parte 2 Pré-Cálculo 66
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6) 3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Parte 2 Pré-Cálculo 67
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6) 3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Parte 2 Pré-Cálculo 68
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6) 3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Parte 2 Pré-Cálculo 69
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6) 3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Parte 2 Pré-Cálculo 70
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6) 3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Parte 2 Pré-Cálculo 71
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√
6) 3√
135 + 60√
6 + (−49 + 24√
6) 3√
(135 + 60√
6)2
2304,+∞
= [0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!
Parte 2 Pré-Cálculo 72
Gráfico de Uma Função Real
Parte 2 Pré-Cálculo 73
O que é o gráfico de uma função real?
Parte 2 Pré-Cálculo 74
O que é o gráfico de uma função real?
O gráfico de uma função real f : D → C é o subconjunto depontos (x , y) ∈ R2 tais que x ∈ D e y = f (x):
Gráfico de f = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ D e y = f (x)}.
Definição
Parte 2 Pré-Cálculo 75
O que é o gráfico de uma função real?
(Ir para o GeoGebra)
Parte 2 Pré-Cálculo 76
Como construir o gráfico de uma função real?
Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!para se construir gráficos de funções!
Parte 2 Pré-Cálculo 77
Como construir o gráfico de uma função real?
Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!para se construir gráficos de funções!
Parte 2 Pré-Cálculo 78
Como construir o gráfico de uma função real?
Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!para se construir gráficos de funções!
Parte 2 Pré-Cálculo 79
Como construir o gráfico de uma função real?
A disciplina de Cálculo ensinará ferramentas mais adequadaspara se construir gráficos de funções!
Parte 2 Pré-Cálculo 80
Toda curva é gráfico de uma função real?
A resposta é não!
Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!
Parte 2 Pré-Cálculo 81
Toda curva é gráfico de uma função real?
A resposta é não!
Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!
Parte 2 Pré-Cálculo 82
Toda curva é gráfico de uma função real?
A resposta é não!
Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!
Parte 2 Pré-Cálculo 83
Exemplo
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Qual é o domínio da função?Qual é a imagem da função?
40 pertence à imagem da função? E −20? E 0?
Parte 2 Pré-Cálculo 84
Exemplo
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Qual é o domínio da função?Qual é a imagem da função?
40 pertence à imagem da função? E −20? E 0?
Parte 2 Pré-Cálculo 85
Exemplo
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Qual é o domínio da função?Qual é a imagem da função?
40 pertence à imagem da função? E −20? E 0?
Parte 2 Pré-Cálculo 86
Exemplo
−2 −1 1 2 3 4 5
x
−20
20
40y
0
Qual é o domínio da função?Qual é a imagem da função?
40 pertence à imagem da função? E −20? E 0?
Parte 2 Pré-Cálculo 87
Exercícios da Lista 02
[06] Desenhe o gráfico de duas funções f e g diferentes comdomínio [1,2] e imagem [
√2,√
3].
[07] Desenhe o gráfico de uma função f com domínio [1,2] eimagem [−2,−1] ∪ [3,4].
[08] Considere a função f (x) = 1/x cujo domínio é o intervalo ]1,2[.Indique as coordenadas de 5 pontos que pertencem ao gráfico de fe as coordenadas de 5 pontos que não pertencem ao gráfico de f .
Parte 2 Pré-Cálculo 88
Exercícios da Lista 02
[06] Desenhe o gráfico de duas funções f e g diferentes comdomínio [1,2] e imagem [
√2,√
3].
[07] Desenhe o gráfico de uma função f com domínio [1,2] eimagem [−2,−1] ∪ [3,4].
[08] Considere a função f (x) = 1/x cujo domínio é o intervalo ]1,2[.Indique as coordenadas de 5 pontos que pertencem ao gráfico de fe as coordenadas de 5 pontos que não pertencem ao gráfico de f .
Parte 2 Pré-Cálculo 89
Exercícios da Lista 02
[06] Desenhe o gráfico de duas funções f e g diferentes comdomínio [1,2] e imagem [
√2,√
3].
[07] Desenhe o gráfico de uma função f com domínio [1,2] eimagem [−2,−1] ∪ [3,4].
[08] Considere a função f (x) = 1/x cujo domínio é o intervalo ]1,2[.Indique as coordenadas de 5 pontos que pertencem ao gráfico de fe as coordenadas de 5 pontos que não pertencem ao gráfico de f .
Parte 2 Pré-Cálculo 90
Domínio e Contradomínio Naturais(Efetivos) de Uma Função
Parte 2 Pré-Cálculo 91
Domínio e contradomínio naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Parte 2 Pré-Cálculo 92
Domínio e contradomínio naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Parte 2 Pré-Cálculo 93
Domínio e contradomínio naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Parte 2 Pré-Cálculo 94
Domínio e contradomínio naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Parte 2 Pré-Cálculo 95
Domínio e contradomínio naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Parte 2 Pré-Cálculo 96
Domínio e contradomínio naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Parte 2 Pré-Cálculo 97
Domínio e contradomínio naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.
Convenção
Atenção: aqui, o termo “domínio natural” não significa
que o domínio da função seja o conjunto N dos números naturais!
O domínio natural também é denominado efetivo ou maximal!
Parte 2 Pré-Cálculo 98
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Parte 2 Pré-Cálculo 99
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Parte 2 Pré-Cálculo 100
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Parte 2 Pré-Cálculo 101
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Parte 2 Pré-Cálculo 102
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Parte 2 Pré-Cálculo 103
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Parte 2 Pré-Cálculo 104
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Parte 2 Pré-Cálculo 105
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Parte 2 Pré-Cálculo 106
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Parte 2 Pré-Cálculo 107
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Parte 2 Pré-Cálculo 108
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Parte 2 Pré-Cálculo 109
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Parte 2 Pré-Cálculo 110
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Parte 2 Pré-Cálculo 111
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Parte 2 Pré-Cálculo 112
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Parte 2 Pré-Cálculo 113
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Parte 2 Pré-Cálculo 114
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1
x3 − x?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Parte 2 Pré-Cálculo 115
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 116
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 117
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 118
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 119
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 120
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 121
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 122
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 123
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 124
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 125
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 126
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 127
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 128
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 129
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 130
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 131
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 132
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 133
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 134
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 135
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 136
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =1√
1− 2 x − 6x − 1
?
1−2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Parte 2 Pré-Cálculo 137
Modelagem com funções reais
Parte 2 Pré-Cálculo 138
Motivação: o problema da caixa
Você foi contratado por uma empresa que fabrica caixas sem tampa. Cada caixaé construída a partir de uma folha retangular de papelão medindo 30 cm × 50 cm.Para se construir a caixa, um quadrado de lado medindo x cm é retirado de cadacanto da folha de papelão.
50 cm
30 cm
x
x
Dependendo do valor de x , diferentes caixas (com diferentes volumes) podem serconfeccionadas. O problema é determinar o valor de x a fim de que a caixacorrespondente tenha o maior volume possível.
Parte 2 Pré-Cálculo 139
Motivação: o problema da caixa
Parte 2 Pré-Cálculo 140
O problema da caixa
50 cm
30 cm
x
x
Aqui, y = f (x) = x (30− 2 x) (50− 2 x) = 1500 x − 160 x2 + 4 x3 e A = (0,15).
Parte 2 Pré-Cálculo 141
O problema da caixa
50 cm
30 cm
x
x
Aqui, y = f (x) = x (30− 2 x) (50− 2 x) = 1500 x − 160 x2 + 4 x3 e A = (0,15).
Parte 2 Pré-Cálculo 142
O problema da caixa
50 cm
30 cm
x
x
Aqui, y = f (x) = x (30− 2 x) (50− 2 x) = 1500 x − 160 x2 + 4 x3 e A = (0,15).
Parte 2 Pré-Cálculo 143
O problema da caixa
50 cm
30 cm
x
x
Aqui, y = f (x) = x (30− 2 x) (50− 2 x) = 1500 x − 160 x2 + 4 x3 e A = (0,15).
Parte 2 Pré-Cálculo 144
O problema da caixa
50 cm
30 cm
x
x
Aqui, y = f (x) = x (30− 2 x) (50− 2 x) = 1500 x − 160 x2 + 4 x3 e A = (0,15).
Parte 2 Pré-Cálculo 145
O problema da caixa
50 cm
30 cm
x
x
Aqui, y = f (x) = x (30− 2 x) (50− 2 x) = 1500 x − 160 x2 + 4 x3 e A = (0,15).
Parte 2 Pré-Cálculo 146
O problema da caixa
Parte 2 Pré-Cálculo 147
O problema da caixa
Em Cálculo I -A-,você aprenderá a calcular exatamente
o valor de x que maximiza o volume da caixa:
x =40− 5
√19
3≈ 6.068 . . . .
Parte 2 Pré-Cálculo 148
O problema da caixa
O problema da caixa foi modelado por meio de uma função real f .
Por que é importante, neste contexto, conhecero domínio e a imagem de f?
É possível produzir uma caixa com volume 5000 cm3?
É possível produzir uma caixa com volume 2000 cm3?De quantas maneiras diferentes?
Parte 2 Pré-Cálculo 149
O problema da caixa
O problema da caixa foi modelado por meio de uma função real f .
Por que é importante, neste contexto, conhecero domínio e a imagem de f?
É possível produzir uma caixa com volume 5000 cm3?
É possível produzir uma caixa com volume 2000 cm3?De quantas maneiras diferentes?
Parte 2 Pré-Cálculo 150
O problema da caixa
O problema da caixa foi modelado por meio de uma função real f .
Por que é importante, neste contexto, conhecero domínio e a imagem de f?
É possível produzir uma caixa com volume 5000 cm3?
É possível produzir uma caixa com volume 2000 cm3?De quantas maneiras diferentes?
Parte 2 Pré-Cálculo 151