apostila pré cálculo - cigarra

APOSTILA DE NIVELMENTO PR-CALCULO E GEOMETRIA ANALTICA PROFESSOR: FERNANDO AUGUSTO CIGARRA AUTOR: LEONARDO DE ASSIS

CONJUNTOS NUMRICOS1. Conjunto dos Nmeros Naturais So todos os nmeros inteiros positivos, incluindo o zero. representado pela letra maiscula N. Caso queira representar o conjunto dos nmeros naturais no-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, } N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, } 2. Conjunto dos Nmeros Inteiros So todos os nmeros que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos SIMTRICOS. So representados pela letra Z: Z = { -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, } O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos. Subconjuntos so conjuntos que esto dentro de outros conjuntos. - Inteiros no negativos So todos os nmeros inteiros que no so negativos. Logo percebemos que este conjunto igual ao conjunto dos nmeros naturais. representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, } - Inteiros no positivos So todos os nmeros inteiros que no so positivos. representado por Z-: Z- = {, -5, -4, -3, -2, -1, 0} - Inteiros no negativos e no-nulos o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, }Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro Rua Mestre Nicanor, 119 - Centro Rua Antnio Olinto, 67 - Centro Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

Z*+ = N* - Inteiros no positivos e no nulos So todos os nmeros do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-. Z*- = { -4, -3, -2, -1} Obs: Regra de sinais Tenho = + Devo = Vamos experimentar as operaes. 3 + 2 = 5; 3 2 = 1; 2 - 3 = 1; -32=1 3. Conjunto dos Nmeros Racionais Os nmeros racionais um conjunto que engloba os nmeros inteiros (Z), nmeros decimais finitos (por exemplo: 743,8432) e os nmeros decimais infinitos peridicos (que repete uma sequncia de algarismos da parte decimal infinitamente), como 12,050505, so tambm conhecidas como dzimas peridicas. Os racionais so representados pela letra Q, que tambm pode ser definido por: Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0} 4. Conjunto dos Nmeros Irracionais formado pelos nmeros decimais infinitos no-peridicos. Um bom exemplo de nmero irracional o nmero PI (resultado da diviso do permetro de uma circunferncia pelo seu dimetro), que vale 3,14159265 . Atualmente, supercomputadores j conseguiram calcular bilhes de casas decimais para o PI. Tambm so irracionais todas as razes no exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ) 5. Conjunto dos Nmeros Reais formado por todos os conjuntos citados anteriormente (unio do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R.Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro Rua Mestre Nicanor, 119 - Centro Rua Antnio Olinto, 67 - Centro Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

DZIMAS PERIDICASH fraes que no possuem representaes decimal exata. Por exemplo:

Aos numerais decimais em que h repetio peridica e infinita de um ou mais algarismos, d-se o nome de numerais decimais peridicos ou dzimas peridicas. Numa dzima peridica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o perodo dessa dzima. As dzimas classificam-se em dzimas peridicas simples e dzimas peridicas compostas. Exemplos: (perodo: 3) (perodo: 12)

(perodo: 5)

So dzimas peridicas simples, uma vez que o perodo apresenta-se logo aps a vrgula.

Perodo: 2 Parte no peridica: 0

Perodo: 4 Perodo no peridica: 15

Perodo: 23 Parte no peridica: 1

So dzimas peridicas compostas, uma vez que entre o perodo e a vrgula existe uma parte no peridica. Observaes: Consideramos parte no peridica de uma dzima o termo situado entre vrgulas e o perodo. Podemos representar uma dzima peridica das seguintes maneiras:

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GERATRIZ DE UMA DZIMA PERIDICA possvel determinar a frao (nmero racional) que deu origem a uma dzima peridica. Denominamos esta frao de geratriz da dzima peridica. - Procedimentos para determinao da geratriz de uma dzima: Dzima simples A geratriz de uma dzima simples uma frao que tem para numerador o perodo e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do perodo. Exemplos:

Dzima Composta: A geratriz de uma dzima composta uma frao da forma , onde:

N a parte no peridica seguida do perodo, menos a parte no peridica. d tantos noves quantos forem os algarismos do perodo seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte no peridica. Exemplos:

Exerccio) Determine as fraes geratrizes das Dzimas Peridicas abaixo: 1) 0,555... 09) 1,030303... 2) 2,363636... 10) 0,003003003... 3) 1,090909... 11) 2,027027027... 4) 5,73018018018... 12) 0,0666... 5) 1,04727272... 13) 2,06818181... 6) 1,323232... 14) 1,291666... 7) 1,123050505... 15) 3,61666...


PRODUTOS NOTVEISQuadrado da soma de dois termos (a+b) = (a+b). (a+b) = a + 2ab + b Regra bsica: Quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo. Quadrado da diferena de dois termos (a-b) = (a-b). (a-b) = a - 2ab + b Regra bsica: Quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo , mais o quadrado do segundo. Produto da soma pela diferena de dois termos (a+b). (a b) = a + ab ab b = a b Regra bsica: Quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo Fator comum em evidncia Fatorar transformar equaes algbricas em produtos de duas ou mais expresses, chamadas fatores. Exemplos: ax + ay = a.(x+y) 2x + 8 = 2(x+4) Monmio Uma expresso algbrica pode variar em nmero de termos. Quando a sentena for composta de um s termo, dizemos que se trata de um monmio. Assim, em lgebra, conhece-se por monmio a seguinte expresso: axm. Ex: 9x2 Todo monmio constitudo de duas partes: Coeficiente e parte literal Para lembrar: O fator numrico a chama-se coeficiente e o produto dos fatores que apresentam letras do monmio chama-se parte literal. Na parte literal chamamos o nmero natural m de grau do monmio. Exemplo: No monmio 5x3 temos: Coeficiente 5, parte literal x3 e grau 3Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro Rua Mestre Nicanor, 119 - Centro Rua Antnio Olinto, 67 - Centro Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

Observe as seguintes expresses algbricas inteiras:

2x2; 5x2; 6ab; a + b 4; 5x + 8

Nas trs primeiras, aparecem apenas multiplicaes. So monmios. Nas duas expresses seguintes, j aparecem somas e subtraes. So, portanto, polinmios. Cada parcela conhecida por termo do polinmio. Os monmios 5x2 e 2x2 tm a mesma letra (x) elevada aos mesmos expoentes (2). Por isso, so denominados monmios semelhantes. Para lembrar podemos dizer que dois monmios que tm a mesma parte literal, so semelhantes. Podemos dizer que os monmios semelhantes sempre podem ser somados. J os monmios 6x e 7y no so semelhantes. O mesmo acontece com 3x2 e 5x3. Exemplo: O polinmio pode ser simplificado: 2x2 + x + 5x 3x2 + 9 = x2 + 6x + 9 Noo de polinmio A expresso: axn + bxm - chama-se binmio com varivel x e com coeficientes inteiros a e b. axn + bxm + cxp - chama-se trinmio com varivel x e com coeficientes inteiros a , b e c Obs.: As expresses acima tambm so monmios. - So tambm polinmios com coeficientes inteiros: 4x2 + x3 7x5 2 x7 + 8x9 2x3 + 5x + 4x2 Grau de um polinmio Temos o polinmio: a + bx + cx2 + ... + dxn , onde a, b, c, ..., d so os coeficientes. O maior expoente n das potncias de x que aparecem no polinmio o grau do polinmio. Exemplo: O polinmio 3x4 + 2x3 16x + 6 de quarto grau, porque o maior expoente de x 4. O polinmio 8x5 3x2 2x + 16 de quinto grau porque o maior expoente de x 5.Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro Rua Mestre Nicanor, 119 - Centro Rua Antnio Olinto, 67 - Centro Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

OPERAES COM POLINMIOSSoma de polinmios Os polinmios so somados agrupando-se os termos semelhantes. Exemplo: Temos os polinmios P(x) = 3x3 + 2x2 + x 3 e Q(x) = 2x3 6x2 + 1. Para somar, agrupamos os termos dos dois polinmios que tiverem o mesmo grau: P(x) + Q(x) = (3x3 + 2x2 + x 3) + (2x3 6x2 + 1) = 3x3 + 2x3 + 2x2 6x2 + x 3 + 1 = =5x3 4x2 + x 2 - Agora vamos somar os polinmios: P(x) = 4x3 + 2x2 + 1 com Q(x) = 2x2 + 2x + 1 O resultado ser? _______________________ Outro Exemplo: Considere os polinmios : 2x + 5x 2 3x + 2x 1. Vamos efetuar a adio e a subtrao entre eles. Adio (2x + 5x 2) + (3x + 2x 1) eliminar os parnteses realizando o jogo de sinal 2x + 5x 2 3x + 2x 1 reduzir os termos semelhantes 2x + 7x 3x 3 ordenar de forma decrescente de acordo com a potncia 3x 2x + 7x 3 Subtrao (2x + 5x 2) (3x + 2x 1) eliminar os parnteses realizando o jogo de sinal 2x + 5x 2 + 3x 2x + 1 reduzir os termos semelhantes 2x + 3x 1 + 3x ordenar de forma decrescente de acordo com a potncia 3x 2x + 3x 1 Rua Zizinha Camelo, 25 - CentroRua Mestre Nicanor, 119 - Centro Rua Antnio Olinto, 67 - Centro Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

Multiplicao de polinmios Para multiplicar dois polinmios, devemos aplicar a propriedade distributiva do produto dos nmeros reais em relao soma. Exemplo: a) (2x3) . (3x2 + 5x 1) = 2x3 . 3x2 + 2x3 . 5x 2x3 . 1 = 6x5 + 10x4 2x3 b) (3x + 4 ) . (x2 + 5x 3) = 3x (x2 + 5x 3) + 4 (x2 + 5x 3) = 3x3 + 15x2 9x + 4x2 + 20x 12 = = 3x3 + 15x2 + 4x2 9x + 20x 12 = 3x3 + 19x2 + 11x 12 Na multiplicao de polinmios tambm preciso somar os termos semelhantes Exemplo: (3x2) * (5x3 + 8x2 x) (x 1) * (x2 + 2x - 6) Diviso de polinmios Sejam os polinmios: A(x) = x2 1 B(x) = x + 1 O polinmio Q(x) = x 1 chama-se quociente da diviso entre A(x) e B(x). O polinmio A(x) o dividendo, enquanto o B(x) o divisor. Como existe o polinmio Q(x) = x 1, tal que A(x) = B(x) . Q(x). Ento podemos dizer que o polinmio x2 1 divisvel pelo polinmio x + 1. Podemos comprovar, a partir dos produtos notveis tambm que: x2 1 = (x + 1) . (x 1) - Observao Ilustre: Se A(x)/B(x) = C(x) + R ento A(x) = B(x).C(x) + R - Diviso de um polinmio pelo binmio x a Processo de diviso: idntica diviso numrica. Exemplo: Seja o polinomio A(x) = x2 + 5x + 6 e B(x) = x + 2. Faa a diviso A(x)/B(x)


O Dispositivo de Briot-Ruffini Os matemticos Paolo Ruffini (1765 - 1822) e A. Briot (1817 - 1882) idealizaram um mtodo prtico para o clculo do quociente de um polinmio de grau n. Para a aplicao desse dispositivo, usa-se o seguinte esquema:

Na primeira linha colocam-se os coeficientes dos termos do polinmio dividendo, na ordem decrescente de seus expoentes. Se faltar algum termo, coloca-se um zero no lugar. Na terceira linha, aps o trao, aparecem os coeficientes do quociente. O ltimo nmero da terceira linha, situado dentro do retngulo, o resto da diviso (R). Comprovaremos que esta regra uma simplificao da forma habitual de clculo de uma diviso. O dispositivo de Briot-Ruffini nos ajuda a achar os coeficientes do quociente e do resto quando fazemos a diviso de um polinmio por x a. O dispositivo de Briot-Ruffini tem as seguintes propriedades: O primeiro coeficiente do quociente igual ao primeiro do dividendo. O segundo coeficiente do quociente igual ao primeiro do quociente multiplicado por a, mais o segundo do dividendo. O resto igual ao ltimo coeficiente do quociente multiplicado por a, mais o ltimo do dividendo. O grau do quociente sempre uma unidade inferior ao grau do dividendo. Podemos realizar a diviso abaixo apenas com os coeficientes, isto , sem os x da Figura 1, utilizando o dispositivo de Ruffini. Observe a figura 2.

Figura 1


Figura 2:

Assim, podemos escrever a diviso anterior como produto de dois fatores: 6x3 5x2 17x 1 = (6x2 5x 3)(x 2) 7 Exerccio) Resolva as divises

(x3 + x2 1) por (x 2) (x5 + 2x4 2x2 + 2) por (x 1)


VALOR NUMRICO DE UM POLINMIOSe temos o polinmio: A(x) = x3 7x + 1 e supomos que x = 2, podemos substituir os x por este valor e efetuar a seguinte operao: A(2) = 23 7(2) + 1 = 8 14 + 1 = 5 A(2) = ( 5) Ento: A(3) = ? Fatorando o Polinmio P(x) = 4x2y3 + 8xy2z 16x3y4 Comeamos procurando o m.d.c. dos trs coeficientes do polinmio, que ser o coeficiente do fator comum, ou seja, m.d.c. (4, 8 e 16) = 4 Em seguida, procuramos o fator comum da parte literal, que xy2. Dividimos cada termo do polinmio pelo fator comum 4xy2 e obtemos: 4xy2(xy + 2z 4x2y2) Para comprovar esse resultado, basta efetuarmos a multiplicao e novamente teremos o polinmio original.

Exerccio) Fatore os polinmios. Veja como se faz... ax+2a = a(x+2) a-b = (a+b)(a-b) a - 4ab + 4b = (a-2b) 2x-2 = 2(x-1) = 2(x+1)(x-1)

a) 3ax - 7ay = b) x - x + x = c) xy + xy + xy = d) ab - ab = e) a + ab + ac + bc = f) x - b = g) x - 25 =Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro Rua Mestre Nicanor, 119 - Centro Rua Antnio Olinto, 67 - Centro Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

n) 4a - 4 =

EQUAO DO 1 GRAUTrabalharemos com uma situao real e dela tiraremos algumas informaes importantes. Observe a balana:

A balana est equilibrada. No prato esquerdo h um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito h um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia? Equao original: 2x + 2 = 14 Subtramos 2 dos dois membros 2x + 2 - 2 = 14 - 2 Dividimos por 2 os dois membros 2x = 12 Soluo x = 6 Exemplo 1) A soma das idades de Andr e Carlos 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que Andr 4 anos mais novo do que Carlos. Soluo: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemtica. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de Andr, logo a = c - 4. Assim: c + a = 22 c + (c - 4) = 22 2c - 4 = 22 2c - 4 + 4 = 22 + 4 2c = 26 c = 13 Resposta: Carlos tem 13 anos e Andr tem 13 4 = 9 anos. Exemplo 2) A populao de uma cidade A o triplo da populao da cidade B. Se as duas cidades juntas tm uma populao de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B? Soluo: Identificaremos a populao da cidade A com a letra a e a populao da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever: a + b = 100.000 3b + b = 100.000 4b = 100.000 b = 25.000 Resposta: Como a=3b, ento a populao de A corresponde a: a=325.000=75.000 habitantes. 119 - Centro Rua Mestre Nicanor,Rua Antnio Olinto, 67 - Centro Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748 Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro

-

Exemplo 3)Uma casa com 260m2 de rea construda possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual a rea de cada quarto, se as outras dependncias da casa ocupam 140m2? Soluo: Tomaremos a rea de cada dormitrio com letra x. 3x + 140 = 260 3x = 260 -140 3x = 120 x = 40 Resposta: Cada quarto tem 40m2. Exerccios: Resolver as equaes a) 2x + 4 = 10 b) 5k - 12 = 20 c) 2y + 15 - y = 22 d) 9h - 2 = 16 + 2h Mas afinal por que a Equao do 1 Grau? _____________________________________________ ___________________________________________________________________________________ DESIGUALDADES DO PRIMEIRO GRAU EM 1 VARIVEL Relacionadas com as equaes de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (tambm denominadas inequaes) que so expresses matemticas em que os termos esto ligados por um dos quatro sinais: < > < > menor maior menor ou igual maior ou igual

Nas desigualdades, o objetivo obter um conjunto de todos os possveis valores que pode(m) assumir uma ou mais incgnitas na equao proposta. Exemplo: Determinar todos os nmeros inteiros positivos para os quais vale a desigualdade: 2x + 2 < 14 Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro Rua Mestre Nicanor, 119 - Centro Rua Antnio Olinto, 67 - Centro Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

Passo 1 Passo 3 Passo 4

2x + 2 < 14 2x < 12 x 3 (1 - x)

3(1 - 2x) < 2(x + 1) + x 7

2x + 1

x+6

i) 8(x + 3) > 12 (1 - x)

f) (x + 3) > (-x-1)

e) x/3 - (x+1)/2 < (1 - x) / 4


TEOREMA DE PITGORAS O Teorema de Pitgoras diz que, em um tringulo retngulo, o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos. Se construirmos quadrados sobre os lados a, b e c do tringulo retngulo, esses quadrados tero rea a2, b2 e c2. Assim podemos enunciar o Teorema de Pitgoras da seguinte forma:

A rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa igual soma das reas dos dois quadrados construdos sobre os catetos. Atividades


EQUAES DO SEGUNDO GRAUDenomina-se equao do segundo grau, toda a equao do tipo ax+bx+c = 0, com coeficientes numricos a.b e c com . Exemplos: Equao x+2x+1 5x-2x-1 Classificao: - Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equao do 2 grau incompleta. 1 caso: b=0 Considere a equao do 2 grau incompleta: x-9=0 x = 9 x= x= a 1 -2 b 2 5 c 1 -1

2 caso: c = 0 Considere a equao do 2 grau incompleta: x - 9x = 0 Basta fatorar o fator comum x x(x-9)=0 x=0,9 3 caso: b e c = 0 Considere a equao do 2 grau incompleta: 2x=0 x=0 Resoluo de equaes do 2 grau A resoluo de equaes do 2 grau incompletas j foi explicada acima, vamos agora resolver equaes do 2 grau completas, ou seja, do tipo ax + bx + c = 0 com a, b e c diferentes de zero. Uma equao do 2 grau pode ter at 2 razes reais, que podem ser determinadas pela frmula quadrtica. - Formula de Bhaskara ou formula quadrtica:

= b2 4ac.Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro Rua Mestre Nicanor, 119 - Centro Rua Antnio Olinto, 67 - Centro Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

Utilizando a frmula quadrtica, vamos resolver alguns exerccios: 1) 3x -7x + 2 = 0 com a = 3, b=-7 c=2 = (-7)-4.3.2 = 49-24 = 25 Substituindo na frmula:

= e Logo, o conjunto verdade ou soluo da equao :

2) - x + 4x 4 = 0 com a = -1 b=4 c = -4 = 4 - 4(-1)(-4) = 16-16 = 0 Substituindo na frmula quadrtica:

x=2

- Neste caso, tivemos uma equao do 2 grau com duas razes reais e iguais. ( 3) 5x-6x+5=0 a=5 b=-6 c=5 = (-6) - 4(5)(5) = 36-100 = -64

)


Note que 0 Isso significa que a ser positivo. Por exemplo, dada a funo: f(x) = 2x 1 ou y = 2x - 1, Onde: a = 2 b = -1. Para construirmos seu grfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y. Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambm aumenta, ento dizemos que quando a > 0 a funo crescente. Com os valores de x e y formamos as coordenadas, que so pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja: No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x. R* e b R. Veja alguns exemplos de Funo afim.


- Quando a < 0 Isso indica que a ser negativo. Por exemplo, dada a funo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1, Onde: a = -1 b = 1. Para construirmos seu grfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y. x -2 -1 0 1 y 3 2 1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui, ento dizemos que quando a < 0 a funo decrescente. Com os valores de x e y, formamos as coordenadas que so pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja: No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x.

Caractersticas de um grfico de uma funo do 1 grau. Com a > 0 o grfico ser crescente. Com a < 0 o grfico ser decrescente.Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro Rua Mestre Nicanor, 119 - Centro Rua Antnio Olinto, 67 - Centro Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

O ngulo formado com a reta e com o eixo x ser agudo (menor que 90) quando a > 0. O ngulo formado com reta e com o eixo x ser obtuso (maior que 90) quando a < 0. Na construo de um grfico de uma funo do 1 grau basta indicar apenas dois valores pra x, pois o grfico uma reta e uma reta formada por, no mnimo, 2 pontos. Apenas um ponto corta o eixo x, e esse ponto a raiz da funo. Apenas um ponto corta o eixo y, esse ponto o valor de b. As funes do tipo f(x) = y = ax + b, com a e b nmeros reais e a 0, so consideradas do 1 grau. Ao serem representadas no plano cartesiano, constituem uma reta crescente ou decrescente. E no caso de a = 0, a funo chamada de constante. Uma funo possui pontos considerados essenciais para a composio correta de seu grfico, e um desses pontos dado pelo coeficiente linear da reta representado na funo pela letra b, que indica por qual ponto numrico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y). Nas funes a seguir, observe o valor numrico do coeficiente linear e o grfico representativo da funo:


Definindo a Lei da Funo a Partir dos Pontos Vamos determinar a funo que passa por dois pontos. Para isso, precisamos encontrar as coordenadas destes dois pontos, sendo que a coordenada y determinada pelo valor da funo na coordenada x (x1, f(x1)), (x2, f(x2)). Pela def. de funo afim, temos que ela determinada pela seguinte expresso f(x) = ax + b, ou seja, para determinar tal funo, basta encontrarmos os coeficientes a, b. Veremos que para descobrir estes coeficientes precisamos apenas de dois pontos e o valor da funo nesses pontos. Antes de mostrarmos a expresso do caso geral, vejamos como proceder em um exemplo. Com f(1)=4 e f(2)=6, temos, ento, dois pontos e os valores da funo nestes pontos. Para f(1) temos: f(1) = 4 = a.1+b Para f(2) temos: f(2) = 6 = a.2+b Destacaremos essas duas relaes de igualdade: Como f(x) = ax + b e a = 2 e b = 2, temos que esta funo, para f(1) = 4 e f(2) = 6, ser a seguinte: f(x)=2x+b. Mas este o processo realizado para um caso especfico. Como seria a expresso para determinarmos os valores dos coeficientes de qualquer funo? Veremos agora. Temos ento y - y0 = m(x - x0) , Onde: m o coeficiente angular definido pela formula: m = tg ( o ngulo feito entre a reta do grfico e o eixo x ) ou m = (y2 y1)/(x2-x1) Exerccios 1) Qual o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (1,3) e B (2,4)? 2) A equao da reta que passa pelo ponto P(-1,-2) e tem coeficiente angular -1 ? 3) Qual a funo da reta que passa pelos pontos (2, -3) e (8, 1)? 4) O ponto de interseo das retas x + 2y = 3 e 2x + 3y 5 = 0 ? 5) Os pontos A = (-4, -2) e B = (-2, 2) pertencem respectivamente aos quadrantes? 6) A equao da reta que passa pela origem e pelo ponto A ( 2, 5 ) 7) A reta que passa pelos pontos A ( 1, 2 ) e B ( -1, 6 ) intercepta o eixo das abscissas no ponto?


De acordo as anlises feitas sobre as funes crescentes e decrescentes do 1 grau, podemos relacionar seus grficos aos sinais. Veja: Sinais da funo do 1 grau crescente

Sinais da funo do 1 grau decrescente

- Funo do 2 Grau ou Funo Quadrada Toda funo estabelecida pela lei de formao f(x) = ax + bx + c, com a, b e c nmeros reais e a 0, denominada funo do 2 grau. Generalizando temos:

As funes do 2 grau possuem diversas aplicaes no cotidiano, principalmente em situaes relacionadas Fsica envolvendo movimento uniformemente variado, lanamento oblquo e etc. Na Biologia, estudando o processo de fotossntese das plantas, na Administrao e Contabilidade relacionando as funes custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente em diversas construes. A representao grfica de uma funo do 2 grau dada por uma parbola, que de acordo com o sinal do coeficiente de (a) pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro Rua Mestre Nicanor, 119 - Centro Rua Antnio Olinto, 67 - Centro Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

As razes de uma funo do 2 grau so os pontos onde a parbola intercepta o eixo x. Dada a funo f(x) = ax + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equao do 2 grau, ax + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante (delta), podemos ter as seguintes situaes grficas: > 0, a equao possui duas razes reais e diferentes. A parbola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.

= 0, a equao possui apenas uma raiz real. A parbola intercepta o eixo x em um nico ponto.

< 0, a equao no possui razes reais. A parbola no intercepta o eixo x.

Observaes: Coeficiente a > 0, parbola com a concavidade voltada para cima. Coeficiente a < 0, parbola com a concavidade voltada para baixo.Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro Rua Mestre Nicanor, 119 - Centro Rua Antnio Olinto, 67 - Centro Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

Pontos Notveis do Grfico de uma Funo do 2 Grau O vrtice da parbola constitui um ponto importante do grfico, pois indica o ponto de valor mximo e o ponto de valor mnimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos sero definidos, observe: Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parbola possuir valor mximo.

Obs.: f(x) = ax2 + b + c Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parbola possuir valor mnimo.

Obs.: f(x) = ax2 + bx + c Outra relao importante na funo do 2 grau o ponto onde a parbola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formao da funo corresponde ao valor do eixo y onde a parbola o intersecta.


Toda funo, independente do seu grau, possui um grfico e cada um representado de uma forma diferente. O grfico de uma funo de 1 grau uma reta que poder ser crescente ou decrescente. O grfico de uma funo de 2 grau ser uma parbola de concavidade para baixo ou para cima.

Toda funo do 2 grau formada a partir da forma geral f(x) = ax 2 + bx + c, com a 0. No primeiro momento, para construir um grfico de uma funo de 2 grau qualquer, basta atribuir valores para x e encontrar valores correspondentes para a funo. Portanto, formaremos pares ordenados, com eles iremos construir o grfico, veja alguns exemplos: Exemplo 1: Dada a funo f(x) = x2 1. Essa funo pode ser escrita da seguinte forma: y = x2 1. Atribuiremos qualquer valor para x e substituindo na funo encontraremos o valor de y, formando pares ordenados. y = (-3)2 1 y=91 y=8 (-3,8) y = (-2)2 1 y=41 y=3 (-2,3) y = (-1)2 1 y=11 y=0 (-1,0) y = 02 1 y = -1 (0,-1) y = 12 1 y=11 y=0 (1,0) y = 22 1 y=41 y=3 (2,3)


y = 32 1 y=91 y=8 (3,8)

Distribuindo os pares ordenados no plano cartesiano montaremos o grfico.

O grfico desse exemplo tem a concavidade voltada para cima, podemos relacionar a concavidade com o valor do coeficiente a, quando a > 0 a concavidade sempre ser voltada para cima. Exemplo 2: Dada a funo f(x) = -x2. Atribuiremos qualquer valor para x e substituindo na funo encontraremos o valor de y, formando pares ordenados. y = -(-3)2 y=-9 (-3,-9) y = -(-2)2 y=-4 (-2,-4) y = -(-1)2 y = -1 (-1,-1) y = -(0)2 y=0 (0,0) y = -(1)2


y = -1 (1,-1) y = -(2)2 y = -4 (2,-4)

y = -(3)2 y = -9 (3,-9) Distribuindo os pares ordenados no plano cartesiano montaremos o grfico.

O grfico do exemplo 2 tem a concavidade voltada para baixo, como j foi dito na concluso do exemplo 1 que a concavidade est relacionada com o valor do coeficiente a, quando a < 0 a concavidade sempre ser voltada para baixo. MXIMO E MNIMO Toda expresso na forma y = ax + bx + c ou f(x) = ax + bx + c com a, b e c nmeros reais, sendo a 0, denominada funo do 2 grau. A representao grfica de uma funo do 2 grau dada atravs de uma parbola, que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. Veja:

Para determinarmos o ponto mximo e o ponto mnimo de uma funo do 2 grau, basta calcular o vrtice da parbola utilizando as seguintes expresses matemticas:Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro Rua Mestre Nicanor, 119 - Centro Rua Antnio Olinto, 67 - Centro Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

O ponto mximo e o ponto mnimo podem ser atribudos a vrias situaes presentes em outras cincias, como Fsica, Biologia, Administrao, Contabilidade entre outras. Fsica: movimento uniformemente variado, lanamento de projteis. Biologia: na anlise do processo de fotossntese. Administrao: Estabelecendo pontos de nivelamento, lucros e prejuzos. Exemplos 1 Na funo y = x - 2x +1, temos que a = 1, b = -2 e c = 1. Podemos verificar que a > 0, ento a parbola possui concavidade voltada para cima possuindo ponto mnimo. Vamos calcular as coordenadas do vrtice da parbola.

As coordenadas do vrtice so (1, 0). 2 Dada a funo y = - x - x + 3, temos que a = -1, b = -1 e c = 3. Temos a < 0, ento a parbola possui concavidade voltada para baixo tendo um ponto mximo. Os vrtices da parbola podem ser calculados da seguinte maneira:


As coordenadas do vrtice so (-0,5; 3,25).

Conclumos que o vrtice da parbola deve ser considerado um ponto notvel, em razo da sua importncia na construo do grfico de uma funo do 2 grau e sua relao com os pontos de valor mximo e mnimo. Razes: Determinar a raiz de uma funo calcular os valores de x que satisfazem a equao do 2 grau ax + bx + c = 0, que podem ser encontradas atravs do Teorema de Bhaskara:

- Nmero de razes reais da funo do 2 grau Dada a funo f(x) = ax + bx + c, existiro trs casos a serem considerados para a obteno do nmero de razes. Isso depender do valor do discriminante . 1 caso > 0: A funo possui duas razes reais e distintas, isto , diferentes. 2 caso = 0: A funo possui razes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que a funo possui uma nica raiz. 3 caso < 0: A funo no possui razes reais. Estudar o sinal de uma funo, determinar para quais valores reais de x a funo positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de analisar o sinal de uma funo atravs do grfico, pois permitenos uma avaliao mais ampla da situao. Vamos analisar os grficos das funes a seguir, de acordo Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro com a sua lei de formao. Observao: para construirmos o grfico de uma funo do 2 grau

Rua Mestre Nicanor, 119 - Centro Rua Antnio Olinto, 67 - Centro precisamos determinar o nmero de Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

razes da funo, e se a parbola possui concavidade voltada para cima ou para baixo. = 0, uma raiz real. > 0, duas razes reais e distintas < 0, nenhuma raiz real.

.

De acordo as anlises feitas sobre as funes crescentes e decrescentes do 1 grau, podemos relacionar seus grficos aos sinais. Veja: Pedir aos alunos para fazerem na apostila

Exemplo 1 f(x) = x 3x + 2 x 3x + 2 = 0 Aplicando a formula quadrtica: = (3) 4 * 1 * 2 =98 =1


A parbola possui concavidade voltada para cima em virtude de a > 0 e duas razes reais e distintas.

Anlise do grfico: Com x < 1 ou x > 2 teremos um y > 0 Com x entre 1 e 2, ou seja 1 0Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro Rua Mestre Nicanor, 119 - Centro Rua Antnio Olinto, 67 - Centro Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

Exemplo 3 y = 3x 2x + 1 ou f(x) = 3x2 2x + 1 3x 2x + 1 = 0 - Aplicando Bhaskara = (2) 4 * 3 * 1 = 4 12 =8 A parbola possui concavidade voltada para cima em decorrncia de a > 0, mas no possui razes reais, pois < 0. Anlise do grfico: A funo ser positiva para qualquer valor real de x.

Exemplo 4 y = 2x 5x + 3 ou f(x) = 2x 5x + 3 2x 5x + 3 = 0 Aplicando Bhskara = (5) 4 * (2) * 3 = 25 + 24 = 49

ento:

A parbola possui concavidade voltada para baixo em face de a< 0 e duas razes reais e distintas.

Anlise do grfico:


Com x< 3 ou x > teremos y < 0 Com x entre 3 e 1/2, y > 0 Com x = 3 ou x = 1/2, y = 0 Exemplo 5 y = x + 12x 36 ou f(x) = y = x + 12x 36 x + 12x 36 = 0 Aplicando Bhskara = 12 4 * (1) * (36) = 144 144 =0 A parbola possui concavidade voltada para baixo em decorrncia de a < 0 e uma nica raiz real.

Anlise do grfico Com x = 6, teremos y = 0 Com x 6, teremos y < 0 - Exerccios Aplicados O movimento de um projtil, lanado para cima, descrito pela equao y = 40x + 200x. Onde y a altura, em metros, atingida pelo projtil x segundos aps o lanamento. A altura mxima atingida e o tempo que esse projtil permanece no ar correspondem, respectivamente a: Resoluo: Veja o grfico do movimento:


Na expresso y = 40x + 200x os coeficientes so a = 40, b = 200 e c = 0. Utilizaremos a expresso Yv para obter a altura mxima atingida pelo objeto:

O objeto atingiu a altura mxima de 250 metros. Utilizaremos a expresso Xv para obter o tempo de subida do objeto:

O projtil levou 2,5s para atingir altura mxima, levando mais 2,5s para retornar ao solo, pois no movimento vertical o tempo de subida igual ao tempo de descida. Portanto, o projtil permaneceu por 5 s no ar.

Exerccio) Seja a funo y = x2 + 6x + 5, com domnio e contradomnio nos nmeros reais, responda: a) Para onde est voltada a concavidade da parbola. b) Se h ponto de mnimo ou de mximo c) Esboce o grfico. d) Encontre o vrtice. e) Em que ponto a parbola corta o eixo y - Inequaes do 2 Grau As inequaes so expresses matemticas que utilizam na sua formatao, os seguintes sinais de desigualdades: >: maior que 1/2} Exemplo 3 Determine a soluo da inequao x 4x 0.


S = {x R / x 0 ou x 4} Exemplo 4 Calcule a soluo da inequao x 6x + 9 > 0.

S = {x R / x < 3 e x > 3}

EQUAO EXPONENCIALEquaes exponenciais so aquelas em que a incgnita se encontra no expoente de pelo menos uma potncia. A forma de resoluo de uma equao exponencial permite que as funes exponenciais sejam tambm resolvidas de forma prtica. Esse tipo de funo apresenta caractersticas individuais na anlise de fenmenos que crescem ou decrescem rapidamente. Elas desempenham papis fundamentais na Matemtica e nas cincias envolvidas com ela, como: Fsica, Qumica, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras. Exemplos de equaes exponenciais: 10x = 100 2x + 12 = 20 9x = 81 5x+1 = 25 Para resolvermos uma equao exponencial precisamos aplicar tcnicas para igualar as bases, Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro assim podemos dizer que os expoentes so iguais. Observe a resoluo da equao exponencial a seguir: Rua Mestre Nicanor, 119 - CentroRua Antnio Olinto, 67 - Centro Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

3x = 2187 (fatorando o nmero 2187 temos: 37) 3x = 37 x=7 O valor de x na equao 7. Vamos resolver mais algumas equaes exponenciais: 2x + 12 = 1024 2x + 12 = 210 x + 12 = 10 x = 10 12 x=2 2 4x + 1 * 8 x + 3 = 16 1 2 4x + 1 * 2 3(x + 3) = 2 -4 2 4x + 1 * 2 3x + 9 = 2-4 4x + 1 3x + 9 = 4 4x 3x = 1 4 9 x = 14 5 x + 3 * 5 x + 2 * 5 x = 125 5 x+3 * 5 x+2 * 5 x = 5 3 x+3+x+2+x=3 3x = 3 5 3x = 2 x = 2/3

2 3x 2 * 8 x + 1 = 4 x 1 2 3x 2 * 2 3(x + 1) = 2 2(x 1) 3x 2 + 3(x + 1) = 2(x 1) 3x 2 + 3x + 3 = 2x 2 3x + 3x 2x = 2 + 2 3 4x = 3 x = 3/4 2 2x + 1 * 2 x + 4 = 2 x + 2 * 32 2 2x + 1 * 2 x + 4 = 2 x + 2 * 2 5 2x + 1 + x + 4 = x + 2 + 5 2x + x x = 2 + 5 1 4 2x = 2 x=1

FUNO EXPONENCIAL


Toda relao de dependncia, onde uma incgnita depende do valor da outra, denominada funo. A funo denominada como exponencial possui essa relao de dependncia e sua principal caracterstica que a parte varivel representada por x se encontra no expoente. Observe: y=2x y = 3 x+4 y = 0,5 x y = 4x A lei de formao de uma funo exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notao: f: RR tal que y = a x, sendo que a > 0 e a 1. Uma funo pode ser representada atravs de um grfico, e no caso da exponencial, temos duas situaes: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os grficos so constitudos respeitando as condies propostas:

Uma funo exponencial utilizada na representao de situaes onde a taxa de variao considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substncias qumicas, desenvolvimento de bactrias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situaes. As funes exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessrio, as regras envolvendo potenciao.

TRIGONOMETRIAA Trigonometria (trigono: tringulo e metria: medidas) o estudo da Matemtica responsvel pela relao existente entre os lados e os ngulos de um tringulo. Nos tringulos retngulos (possuem um ngulo de 90), as relaes constituem os chamados ngulos notveis, 30, 45 e 60 que possuem valores constantes representados pelas relaes seno, cosseno e tangente. Os estudos iniciais esto relacionados aos povos babilnicos e egpcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Atravs da prtica, conseguiram criar situaes de medio de distncias inacessveis. Rua Zizinha Camelo, 25 - Centro Hiparco de Niceia (190 a.C 125 a.C) foi um astrnomo grego que introduziu a Trigonometria como Rua Mestre Nicanor, 119 - Centro cincia, por meio de estudos ele implantou as relaes existentes entre os Rua Antnio Olinto, 67 - CentroO elementos do tringulo.Cep.: 35420-000 - Mariana - Minas Gerais Tel: (31) 3557- 4104 / 3557-3748

Teorema de Pitgoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonomtricos. O estudo da trigonometria fundamentado nas relaes existentes entre ngulos e medidas. No tringulo retngulo, essas relaes so constantemente trabalhadas e alguns ngulos presentes nesse tipo de tringulo so usados com maior frequncia, eles recebem o nome de ngulos notveis e seus valores so de 30, 45 e 60. A circunferncia trigonomtrica est representada no plano cartesiano com raio medindo uma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a origem dos arcos. O ponto A ser localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas, dessa forma, este ponto ter abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem o crculo trigonomtrico em quatro partes, chamadas de quadrantes, onde sero localizados os nmeros reais relacionados a um nico ponto P. Os sentidos dos arcos trigonomtricos esto de acordo com as seguintes definies: Se = 0, P coincide com A. Se > 0, o sentido do crculo trigonomtrico ser anti-horrio. Se < 0, o sentido do crculo ser horrio. O comprimento do arco AP ser o mdulo de .

Na ilustrao a seguir esto visualizados alguns nmeros importantes, eles so referenciais para a determinao principal de arcos trigonomtricos:


Uma volta completa no crculo trigonomtrico corresponde a 360 ou 2 radianos, se o ngulo a ser localizado possuir mdulo maior que 2, precisamos dar mais de uma volta no crculo para determinarmos a sua imagem. Por exemplo, para localizarmos 8/3 = 480, damos uma volta completa no sentido anti-horrio e localizamos o arco de comprimento 2/3, pois 8/3 = 6/3 + 2/3 = 2 + 2/3.

Na localizao da determinao principal de 17/6 = 510, devemos dar 2 voltas completas no sentido horrio e localizarmos o arco de comprimento 5/6, pois 17/6 = 12/6 5/6 = 2 5/6.


Vamos relembrar as relaes trigonomtricas existentes no tringulo retngulo: seno, cosseno e tangente.

Para demonstrarmos as relaes trigonomtricas no tringulo retngulo dos ngulos 30e 60, preciso obter um tringulo que tenha esses dois ngulos. Observe o tringulo eqiltero (todos os ngulos internos so iguais a 60) ABC de lado igual a x, preciso calcular o valor da sua altura. Traar sua altura o mesmo que traar a bissetriz do ngulo A e a mediatriz da base BC.

Para calcular a sua altura, basta aplicar o Teorema de Pitgoras no tringulo AHC:


Com o valor da altura em funo de x e utilizando o tringulo retngulo AHC, podemos determinar as relaes trigonomtricas dos ngulos de 30 e de 60 no tringulo AHC.


Como o tringulo equiltero no possui ngulo de 45, precisamos traar a diagonal do quadrado formando dois tringulos retngulos, a diagonal uma bissetriz, ou seja, divide o ngulo de 90 em dois de 45. Veja como: Dado o quadrado ABCD de lado x e diagonal d.

Aplicando o Teorema de Pitgoras no tringulo ABD, iremos descobrir um valor para a diagonal (d) em funo de x.

Assim, com o valor da diagonal possvel calcular o valor das relaes trigonomtricas do tringulo retngulo ABD com o ngulo de 45.

Com base em algumas dedues geomtricas e clculos matemticos, conseguimos calcular as relaes trigonomtricas seno, cosseno e tangente dos ngulos de 30, 45 e 60 do tringulo retngulo. A partir dos clculos efetuados construmos a seguinte tabela de relaes trigonomtricas:



apostila pré cálculo - cigarra

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