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Cálculo Aplicado I
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 17
5 de julho de 2013
Parte 17 Cálculo Aplicado I 1
-
Limites
Parte 17 Cálculo Aplicado I 2
-
Limites
limx→4
x + 1x − 2
=52.
Se limx→p
f (x) = 5 e limx→p
g(x) = 2, então limx→p
f (x)g(x)
=52
.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 3
-
Limites
limx→4
x + 1x − 2
=52.
Se limx→p
f (x) = 5 e limx→p
g(x) = 2, então limx→p
f (x)g(x)
=52
.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 4
-
Limites
limx→4
x + 1x − 2
=52.
Se limx→p
f (x) = 5 e limx→p
g(x) = 2, então limx→p
f (x)g(x)
=52
.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 5
-
Limites
limx→2+
x + 1x − 2
= +∞.
Se limx→p+
f (x) = L > 0 e limx→p+
g(x) = 0+, então limx→p+
f (x)g(x)
= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 6
-
Limites
limx→2+
x + 1x − 2
= +∞.
Se limx→p+
f (x) = L > 0 e limx→p+
g(x) = 0+, então limx→p+
f (x)g(x)
= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 7
-
Limites
limx→2+
x + 1x − 2
= +∞.
Se limx→p+
f (x) = L > 0 e limx→p+
g(x) = 0+, então limx→p+
f (x)g(x)
= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 8
-
Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 9
-
Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 10
-
Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 11
-
Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 12
-
Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 13
-
Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 14
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 15
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 16
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 17
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
7 x + 1x − 2
= limx→+∞
7 x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
7 +1x
1− 2x
= 7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 18
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
7 x + 1x − 2
= limx→+∞
7 x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
7 +1x
1− 2x
= 7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 19
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
x2 + 1x − 2
= limx→+∞
x2 + 1x
x − 2x
= limx→+∞
x +1x
1− 2x
= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 20
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
x2 + 1x − 2
= limx→+∞
x2 + 1x
x − 2x
= limx→+∞
x +1x
1− 2x
= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 21
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x
= 1. (limite fundamental)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 22
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x
= 1. (limite fundamental)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 23
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x
= 1. (limite fundamental)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 24
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x
= 1. (limite fundamental)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 25
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(2 x)x
= limx→0
[2
sen(2 x)2 x
]= 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 26
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(2 x)x
= limx→0
[2
sen(2 x)2 x
]= 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 27
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(2 x)x
= limx→0
[2
sen(2 x)2 x
]= 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 28
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x3
= limx→0
[sen(x)
x· 1
x2
]= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 29
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x3
= limx→0
[sen(x)
x· 1
x2
]= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 30
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x3
= limx→0
[sen(x)
x· 1
x2
]= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 31
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→+∞
[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞
12 = 12.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 32
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→+∞
[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞
12 = 12.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 33
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→+∞
[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞
12 = 12.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 34
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→+∞
[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞
12 = 12.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 35
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x2 − x
]= lim
x→∞x · (x − 1) = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 36
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x2 − x
]= lim
x→∞x · (x − 1) = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 37
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x2 − x
]= lim
x→∞x · (x − 1) = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 38
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x − x2
]= lim
x→∞x · (1− x) = −∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 39
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x − x2
]= lim
x→∞x · (1− x) = −∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 40
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x − x2
]= lim
x→∞x · (1− x) = −∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 41
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x]= lim
x→∞1 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 42
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x]= lim
x→∞1 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 43
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x]= lim
x→∞1 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 44
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x]= lim
x→∞1 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 45
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[2x· x]= lim
x→∞2 = 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 46
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[2x· x]= lim
x→∞2 = 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 47
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[2x· x]= lim
x→∞2 = 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 48
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x2]= lim
x→∞x = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 49
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x2]= lim
x→∞x = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 50
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x2]= lim
x→∞x = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 51
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
1x
)x= e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 52
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
1x
)x= e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 53
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
1x
)x= e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 54
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
7x
)x(x=7 u)= lim
u→∞
(1 +
77 u
)7 u= lim
u→∞
[(1 +
1u
)u]7= e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 55
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
7x
)x(x=7 u)= lim
u→∞
(1 +
77 u
)7 u= lim
u→∞
[(1 +
1u
)u]7= e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 56
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
7x
)x(x=7 u)= lim
u→∞
(1 +
77 u
)7 u= lim
u→∞
[(1 +
1u
)u]7= e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 57
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
7x
)x(x=7 u)= lim
u→∞
(1 +
77 u
)7 u= lim
u→∞
[(1 +
1u
)u]7= e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 58
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x2
)x2= lim
x→0
1
e1
x2·x2
= limx→0
1e=
1e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 59
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x2
)x2= lim
x→0
1
e1
x2·x2
= limx→0
1e=
1e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 60
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x2
)x2= lim
x→0
1
e1
x2·x2
= limx→0
1e=
1e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 61
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x2
)x2= lim
x→0
1
e1
x2·x2
= limx→0
1e=
1e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 62
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x2
)x2= lim
x→0
1
e1
x2·x2
= limx→0
1e=
1e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 63
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e7
x2
)x2= lim
x→0
1
e7
x2·x2
= limx→0
1e7
=1e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 64
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e7
x2
)x2= lim
x→0
1
e7
x2·x2
= limx→0
1e7
=1e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 65
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e7
x2
)x2= lim
x→0
1
e7
x2·x2
= limx→0
1e7
=1e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 66
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e7
x2
)x2= lim
x→0
1
e7
x2·x2
= limx→0
1e7
=1e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 67
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x4
)−x2= lim
x→0
1
e1
x4·(−x2)
= limx→0
1
e−1
x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 68
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x4
)−x2= lim
x→0
1
e1
x4·(−x2)
= limx→0
1
e−1
x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 69
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x4
)−x2= lim
x→0
1
e1
x4·(−x2)
= limx→0
1
e−1
x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 70
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x4
)−x2= lim
x→0
1
e1
x4·(−x2)
= limx→0
1
e−1
x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 71
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x4
)−x2= lim
x→0
1
e1
x4·(−x2)
= limx→0
1
e−1
x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 72
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x2)x2
= limx→0
e1
x2·x2
= limx→0
e1 = e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 73
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x2)x2
= limx→0
e1
x2·x2
= limx→0
e1 = e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 74
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x2)x2
= limx→0
e1
x2·x2
= limx→0
e1 = e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 75
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x2)x2
= limx→0
e1
x2·x2
= limx→0
e1 = e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 76
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x2)x2
= limx→0
e1
x2·x2
= limx→0
e1 = e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 77
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
7x2)x2
= limx→0
e7
x2·x2
= limx→0
e7 = e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 78
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
7x2)x2
= limx→0
e7
x2·x2
= limx→0
e7 = e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 79
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
7x2)x2
= limx→0
e7
x2·x2
= limx→0
e7 = e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 80
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
7x2)x2
= limx→0
e7
x2·x2
= limx→0
e7 = e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 81
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x4)x2
= limx→0
e1
x4·x2
= limx→0
e1
x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 82
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x4)x2
= limx→0
e1
x4·x2
= limx→0
e1
x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 83
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x4)x2
= limx→0
e1
x4·x2
= limx→0
e1
x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 84
-
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x4)x2
= limx→0
e1
x4·x2
= limx→0
e1
x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 85
-
A regra de L’Hôpital
Parte 17 Cálculo Aplicado I 86
-
A regra de L’Hôpital
Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis (deriváveis)e que g′(x) 6= 0 em uma vizinhança do ponto p. Suponhatambém que
limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0
ou que
limx→p
f (x) = +∞ (ou −∞) e limx→p
g(x) = +∞ (ou −∞).
Então
limx→p
f (x)g(x)
= limx→p
f ′(x)g′(x)
se o limite do lado direito existir (ou se ele é −∞ ou +∞).
Teorema
Parte 17 Cálculo Aplicado I 87
-
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 88
-
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 89
-
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 90
-
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 91
-
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 92
-
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 93
-
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 94
-
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 95
-
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 96
-
A regra de L’Hôpital
A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igualao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,desde que as condições dadas estejam satisfeitas. É importanteverificar que as condições com respeito aos limites de f e g antes deusar a regra de L’Hôpital.
A regra de L’Hôpital também é válida para limites laterais ou para limitesno infinito, isto é, “x → p” pode ser trocado por qualquer dos símbolos aseguir: x → p+, x → p−, x → +∞, x → −∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 97
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2.
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 98
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2.
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 99
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2.
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 100
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2.
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 101
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2.
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 102
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2.
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 103
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2.
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 104
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2.
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 105
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2.
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 106
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2.
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2= lim
x→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 107
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 108
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 109
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 110
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 111
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 112
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 113
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 114
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 115
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 116
-
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞ 3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 117
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 118
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 119
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 120
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 121
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 122
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 123
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 124
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 125
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 126
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 127
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 128
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 129
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 130
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 131
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 132
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 133
-
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3
.
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3
= limx→0
sec2(x)− 13 x2
.
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2
= limx→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 134
-
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 135
-
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 136
-
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 137
-
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 138
-
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 139
-
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 140
-
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 141
-
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 142
-
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 143
-
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 144
-
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 145
-
Produtos indeterminados
Parte 17 Cálculo Aplicado I 146
-
Produtos indeterminados
Para usar a regra de L’Hôpital para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x) · g(x)]
com limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = +∞ (ou −∞), basta reescrevê-lo em
limx→p
[f (x) · g(x)] = limx→p
f (x)1/g(x)
ou limx→p
[f (x) · g(x)] = limx→p
g(x)1/f (x)
.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 147
-
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 148
-
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 149
-
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 150
-
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 151
-
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 152
-
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 153
-
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 154
-
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 155
-
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 156
-
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 157
-
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 158
-
Observação
No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
.
Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
= limx→0+
1
− 1x (ln(x))2
= limx→0+
(−x (ln(x))2).
Parte 17 Cálculo Aplicado I 159
-
Observação
No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
.
Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
= limx→0+
1
− 1x (ln(x))2
= limx→0+
(−x (ln(x))2).
Parte 17 Cálculo Aplicado I 160
-
Observação
No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
.
Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
= limx→0+
1
− 1x (ln(x))2
= limx→0+
(−x (ln(x))2).
Parte 17 Cálculo Aplicado I 161
-
Observação
No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
.
Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
= limx→0+
1
− 1x (ln(x))2
= limx→0+
(−x (ln(x))2).
Parte 17 Cálculo Aplicado I 162
-
Observação
No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
.
Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
= limx→0+
1
− 1x (ln(x))2
= limx→0+
(−x (ln(x))2).
Parte 17 Cálculo Aplicado I 163
-
Diferenças indeterminadas
Parte 17 Cálculo Aplicado I 164
-
Diferenças indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)− g(x)]
com
limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞,
é necessário converter a diferença em um quociente(usando um denominador comum ou racionalização)
oucolocar algum fator comum em evidência.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 165
-
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−1− sen(x)
cos(x)(∗)= lim
x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 166
-
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−1− sen(x)
cos(x)(∗)= lim
x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 167
-
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−1− sen(x)
cos(x)(∗)= lim
x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 168
-
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−1− sen(x)
cos(x)(∗)= lim
x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 169
-
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−1− sen(x)
cos(x)(∗)= lim
x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 170
-
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−1− sen(x)
cos(x)(∗)= lim
x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 171
-
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−1− sen(x)
cos(x)(∗)= lim
x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 172
-
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−1− sen(x)
cos(x)(∗)= lim
x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 173
-
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−1− sen(x)
cos(x)(∗)= lim
x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 174
-
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−1− sen(x)
cos(x)(∗)= lim
x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 175
-
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−1− sen(x)
cos(x)(∗)= lim
x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 176
-
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−1− sen(x)
cos(x)(∗)= lim
x→(π/2)−− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 177
-
Potências indeterminadas
Parte 17 Cálculo Aplicado I 178
-
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = lim
x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 179
-
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = lim
x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 180
-
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = lim
x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 181
-
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = lim
x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 182
-
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = lim
x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 183
-
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = lim
x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 184
-
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = lim
x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 185
-
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = lim
x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 186
-
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = lim
x→peg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 187
-
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = lim
x→0+ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 188
-
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = lim
x→0+ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 189
-
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = lim
x→0+ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 190
-
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = lim
x→0+ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 191
-
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = lim
x→0+ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x