cálculo técnico aplicado a mecanica

Cálculo Técnico

Aplicado à Mecânica

2

Cálculo Técnico

Aplicado à Mecânica

Técnico em eletromecânica – PRONATEC

Sesi Senai SAMA

Cícera Ribeiro Barros

Coordenadora pedagógica

Luciano Jorge Menezes

Coordenador técnico

Josué Teixeira de Moura

Diretor unidade SESI SENAI SAMA

2

Sumário Introdução .................................................................................................................................... 2

Conceitos Básicos ....................................................................................................................... 3

Operações e expressões numéricas ........................................................................................ 6

Unidades de medida .................................................................................................................. 11

Múltiplos e submúltiplos ............................................................................................................. 16

Cálculo RPM e Velocidade de corte .......................................................................................... 17

Transmissões ............................................................................................................................. 18

Polias – Relação simples ....................................................................................................... 18

Relações múltiplas ................................................................................................................. 22

Calculando o comprimento de peças dobradas ou curvadas..................................................... 24

Cálculo trigonométrico ............................................................................................................... 37

Área e Perímetro de Figuras Planas .......................................................................................... 40

Área dos Polígonos .............................................................................................................. 44

Finalizando ................................................................................................................................. 54

2

Introdução

Diariamente, docentes e alunos se utilizam das info rmações contidas nos materiais didáticos para transformá-los em conhecim entos, ampliar suas experiências, embasar e enriquecer sua vida profissional. O mater ial didático torna-se, então, importante elemento no processo ensino-aprendizagem .

Compreende-se que quando o professor se apropria, d esenvolve e adapta o material didático e o utiliza adaptando ao contexto dos alunos a aula resulta mais produtiva para o professor e para o aluno. Por isso , ao planejar, o docente observa possibilidades de uso destes, quer seja um filme, u ma maquete, um jogo, ou mesmo um livro e, vai combinando estes em ação educativa vis ando o desenvolvimento de seus alunos e de seu próprio estilo de pedagogia.

No contexto educativo é fundamental estabelecer a e streita correlação entre os materiais didáticos, a criatividade e os objetivos educacionais. Nesta direção percebe-se que há muito ainda o que se fazer no que se refere a constituição de maior correlação entre o sistema de ensino, dimensão macro, possibil ita e adota materiais didáticos padronizados e o contexto da sala de aula, sua dime nsão micro.

Gleito Kunde

Instrutor de educação profissional

3

Conceitos Básicos Os conjuntos numéricos são uma forma de classificar os números segundo algumas

características básicas, como propriedades e complexidade. Classificando os números você pode compreender melhor suas aplicações na Mecânica.

Conjunto dos Números Naturais, N

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

Os Números Naturais foram os primeiros utilizados pelo homem, empregados na contagem de alimentos, utensílios e pessoas. Sua forma primitiva não permite obter respostas negativas neste conjunto de cálculos, tais como 3 - 5 e 3 ÷ 5. Por isso, surgiram outros conjuntos numéricos que você conhecerá a seguir.

Conjunto dos Números Inteiros, Z

Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}

Estes números surgiram com a necessidade dos comerciantes e dos bancos em representar dívidas e saldos negativos. Com este conjunto você pode efetuar o seguinte cálculo, 3 - 5 = - 2.

Conjunto dos Números Racionais, Q

Racional é todo número que pode ser escrito na forma de fração, a/b sendo a e b Números Naturais e b diferente de zero.

Q = { ( a ) / b | a , b ε Ν e b ≠ 0 }

Acompanhe a seguir alguns exemplos:

... _ 3 , _ 1 , 0 , 2 , 10 , 11 ... 1 2 5 1 3 2 { Q = }

Os Números Racionais têm seu correspondente decimal. Veja abaixo os números decimais correspondentes aos Racionais mostrados no exemplo anterior:

Q = {...; - 3 ; - 0,5 ; 0 ; 2 ; 3,333... ; 5,5 ; ...}

O Conjunto dos Números Racionais surgiu com a necessidade do homem de representar divisões não exatas, tais como, 3 ÷ 5 = 3 . 5

Conjunto dos Números Reais, R

O Conjunto dos Números Reais engloba os Números Racionais, que você conheceu anteriormente, e todos os outros números que não podem ser escritos na forma de fração, os chamados Irracionais:

4

Irracionais = {...; - sen (34o) ; √2 ; log 70 ; ...} = {...; - 0,559... ; 1,414... ; 1,845... ; ...}

R = ... ; - 3 ; - sen ( 34° ) ; _ 1 ; 0 ; Ѵ2; log 70 ; 2 ; 10 ; 11 ; ... 2 3 2{}

Uma forma interessante de apresentar os Números Reais é por meio da Reta Real. Acompanhe a figura a seguir. :

Figura 1 - Reta Real - 3 -2 -1 0 1 2 3 Ѵ2 e πR

Nessa imagem você tem a noção de sequência dos Números Reais, cada ponto da reta representa um número e vice-versa. Para qualquer número da reta, têm-se os números maiores que ele à direita e os menores à esquerda.

Outra maneira de visualizar o Conjunto dos Números Reais é utilizando o Diagrama de Venn, conheça-o a seguir:

Por meio do Diagrama de Venn você pode observar que os Naturais estão contidos nos Inteiros, que por sua vez estão contidos nos Racionais e os Reais englobam todos os Conjuntos.

Figura 2 –Diagrama de Venn. R IR Q Z N

5

Os números decimais não são um conjunto numérico, mas uma forma de escrever os números. Este sistema é a evolução natural do sistema numérico indo-arábico. Trata-se de um sistema posicional, onde o algarismo vale não só por si, mas também pela sua posição.

No número acima foi utilizado apenas o algarismo 8, porém em cada posição ele indica uma quantidade diferente. O 1º vale 80.000, o 2º vale 8.000 e assim por diante até o último que vale 0,008. O único que vale 8 é o que está imediatamente à esquerda da vírgula. Sendo assim, cada número é uma soma, confira a seguir:

O Sistema Internacional de Medidas utiliza a vírgula para separar a unidade do décimo e o ponto para separar a unidade de milhar da centena. Nos países de língua inglesa, que não utilizam o Sistema Internacional de Medidas, essa notação é exatamente ao contrário, devido a isso as calculadoras vêm com ponto no lugar da vírgula para separar a unidade do décimo.

Assim, as operações com os números decimais são facilmente resolvidas com calculadoras, porém é importante tomar cuidado principalmente com a vírgula, pois como colocado, nas calculadoras a vírgula deve ser representada por ponto e os pontos não são representados.

6

Operações e expressões numéricas

As operações com números decimais e com Números Naturais são básicas e possíveis de se resolver com o auxílio de calculadoras científicas e comuns. Portanto, o próximo passo de estudos são as operações no Conjunto dos Números Inteiros.

Adição de Números Inteiros

Quando dois números tiverem o mesmo sinal, soma-se os valores absolutos conservando o sinal. Acompanhe os exemplos:

Quando os dois tiverem sinais opostos, subtrai-se um do outro mantendo o sinal do maior valor absoluto. Observe os exemplos:

Subtração de Números Inteiros

Para efetuar a subtração entre Números Inteiros, basta inverter o sinal do subtraendo e efetuar uma adição. Confira os exemplos a seguir:

Multiplicação e Divisão de Números Inteiros

A multiplicação e a divisão no Conjunto dos Números Inteiros possuem as mesmas regras de sinais. Observe os exemplos:

7

As regras de sinais aplicadas aos Inteiros também valem para todo o Conjunto dos Números Reais.

Potenciação

Potenciação nada mais é do que a simplificação de uma série de multiplicações de fatores iguais, como você pode observar nos exemplos a seguir:

Na potenciação se utiliza uma notação da seguinte forma:

Observe a seguir algumas características desta operação:

8

Nesta operação, dizemos que a base de uma potência é negativa quando ela está entre parênteses, caso contrário, quem está negativa é a potência.

Potências de Base negativa

Para iniciarmos este tema, que tal resolver as seguintes potências?

Você pôde observar nos resultados que quando o expoente é par o resultado é positivo, e quando o expoente é ímpar o resultado tem o mesmo sinal da base.

Potências de Expoente Negativo

Quando uma potência possui expoente negativo, inverte-se a base (troca-se de posição o numerador e o denominador), como nos exemplos a seguir:

9

Quando o expoente é zero e a base diferente de zero, o resultado é sempre 1. Veja alguns exemplos:

Radiciação

Você pode dizer que a potenciação possui duas operações inversas, uma é a radiciação e a outra é o logaritmo, veja o esquema apresentado a seguir:

O logaritmo é a operação que determina o expoente de uma potência. Entretanto, esta operação não será estudada nesta apostila, o objeto de estudo desta seção será a radiciação que possui grande aplicação na área de Mecânica.

Confira a seguir os entes das raízes:

10

Após conhecer os entes das raízes, vamos aos exemplos:

Vale destacar que algumas raízes não possuem resultado no Conjunto dos Números Reais, os casos são:

• índice par e radicando negativo:

• índice zero, 0:

11

Unidades de medida

Por muito tempo, o mundo usou medidas imprecisas, como aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado . Isso acabou gerando muitos problemas, principalmente no comércio, devido à falta de um padrão para determinar quantidades de produtos.

Para resolver o problema, o Governo Republicano Francês, em 1789, pediu à Academia de Ciências da França que criasse um sistema de medidas baseado numa "constante natural". Assim foi criado o Sistema Métrico Decimal . Este sistema adotou, inicialmente, três unidades básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma.

O sistema métrico decimal acabou sendo substituído pelo Sistema Internacional de Unidades (SI) , mais complexo e sofisticado. No Brasil, o SI foi adotado em 1962 e ratificado pela Resolução nº 12 de 1998 do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial (Conmetro), tornando-se de uso obrigatório em todo o Território Nacional.

Logo abaixo, você conhecerá as grandezas e suas unidades de medida. À direita da tabela, verá o símbolo da unidade e suas equilavências. No pé da página, confira os principais prefixos do sistema internacional.

Principais Unidades SI

Grandeza Nome Plural Símbolo

Comprimento Metro Metros m

Área metro quadrado metros quadrados m²

Volume metro cúbico metros cúbicos m³

ângulo plano Radiano Radianos rad

Tempo Segundo Segundos s

Freqüência Hertz Hertz Hz

Velocidade metro por segundo metros por segundo m/s

Aceleração metro por segundo

metros por segundo

m/s²

12

Massa Quilograma quilogramas kg

massa específica quilograma por metro cúbico

quilogramas por metro cúbico

kg/m³

Vazão metro cúbico por segundo

metros cúbicos por segundo

m³/s

quantidade de matéria Mol mols mol

Força Newton newtons N

Pressão Pascal pascals Pa

trabalho, energia quantidade de calor

Joule joules J

potência, fluxo de energia Watt watts W

corrente elétrica Ampère ampères A

carga elétrica Coulomb coulombs C

tensão elétrica Volt volts V

resistência elétrica Ohm ohms

Condutância Siemens siemens S

Capacitância Farad farads F

temperatura Celsius grau Celsius graus Celsius ºC

temp. termodinâmica Kelvin kelvins K

intensidade luminosa Candela candelas cd

fluxo luminoso Lúmen lúmens lm

Iluminamento Lux lux lx

13

Algumas Unidades em uso com o SI, sem restrição de prazo

Grandeza Nome Plural Símbolo Equivalência

volume litro Litros l ou L 0,001 m³

ângulo plano grau Graus º p/180 rad

ângulo plano minuto Minutos ´ p/10 800 rad

ângulo plano segundo segundos ´´ p/648 000 rad

Massa tonelada toneladas t 1 000 kg

Tempo minuto Minutos min 60 s

Tempo hora Horas h 3 600 s

velocidade angular

rotação por minuto

rotações por minuto

rpm p/30 rad/s

Algumas Unidades fora do SI, admitidas temporariame nte

Grandeza Nome Plural Símbolo Equivalência

Pressão atmosfera atmosferas atm 101 325 Pa

Pressão Bar Bars bar Pa

Pressão milímetro de mercúrio

milímetros de mercúrio

mmHg 133,322 Pa aprox.

quantidade de calor

caloria Calorias cal 4,186 8 J

Área Hectare Hectares ha m²

Força quilograma- força

quilogramas- força

kgf 9,806 65 N

14

comprimento milha marítima

milhas marítimas

1 852 m

velocidade Nó Nós (1852/3600)m/s

Principais prefixos das Unidades SI

Nome Símbolo Fator de multiplição da unidade

tera T = 1 000 000 000 000

giga G = 1 000 000 000

mega M = 1 000 000

quilo K 10³ = 1000

hecto H 10² = 100

deca Da 10

Unidade

deci D = 0,1

centi C = 0,01

mili M = 0,001

micro µ = 0,000 001

nano N = 0,000 000 001

pico P = 0,000 000 000 001

Massa

1 QUILOGRAMA (kg) 1000 g

1 TONELADA (T) 1000 kg

15

1 QUILATE 0,205 g

1 ONÇA (oz) 28,352 g

1 LIBRA (lb) 16 oz

1 LIBRA (lb) 453,6 g

1 ARROBA 32,38 lb

1 ARROBA 14,687 kg

Distância

1 METRO 10O cm

1 QUILÔMETRO (km) 1000 m

1 POLEGADA 2,54 cm

1 PÉ 30,48 cm

1 JARDA 0,914 m

1 MILHA 1,6093 km

1 MILHA MARÍTIMA 1,853 km

1 BRAÇA 2,2 m

Área

1 M² 10000 cm²

1 CM² 100 mm²

1 ARE (A) 100 m²

1 HECTARE (HA) 100 A

1 HECTARE (HA) 10000 m²

1 ACRE 4064 m²

1 ALQUEIRE PAULISTA 24200 m²

1 ALQUEIRE MINEIRO 48400 m²

16

Múltiplos e submúltiplos A unidade principal de comprimento é o metro, entretanto existem situações em que essa

unidade deixa de ser prática. Se quisermos medir grandes extensões ela é muito pequena. Por outro lado, se queremos medir extensões muito "pequenas", a unidade metro é muito "grande".

Os múltiplos e submúltiplos do metro são chamados de unidades secundárias de comprimento.

No Sistema Internacional de Medidas (SI) são usados múltiplos e divisões do metro:

Múltiplo Nome Símbolo Submúltiplo Nome Símbolo

100 Metro m 100 metro M

10¹ decâmetro dam 10−1 decímetro DM

10² hectômetro hm 10−2 centímetro Cm

103 quilômetro / km 10−3 milímetro Mm

106 megametro Mm 10−6 micrometro µm

109 Giametro Gm 10−9 nanometro Nm

1012 Terametro Tm 10−12 picometro PM

1015 petametro Pm 10−15 femtômetro/fentómetro4 FM

1018 Exametro Em 10−18 attometro/atometro4 AM

1021 zettametro/zetametro Zm 10−21

zeptômetro /

/ zeptómetro4 Zm

1024 iotametro Ym 10−24

yoctômetro /

/ ioctómetro4 ym

Cálculo RPM e Velocidade de corte

O cálculo da rotação é feito em função do diâmetro usinado e do valor da velocidade de corte requerida pela função "S", deste modo a velocidade de corte é mantida variandoapenas a rotação, à medida que se varia o diâmetro usinado.

Fórmulas:

Onde:

N = RPM

Vc = Velocidade de corte

D = Diâmetro usinado

N= Números de Rotações por minuto ( RPM)

Obs:

Quanto maior o diâmetro menor o rpm, e quanto menor o diâmetro maior o rpm.

17

Cálculo RPM e Velocidade de corte

rotação é feito em função do diâmetro usinado e do valor da velocidade de corte requerida pela função "S", deste modo a velocidade de corte é mantida variandoapenas a rotação, à medida que se varia o diâmetro usinado.

= Números de Rotações por minuto ( RPM)


rotação é feito em função do diâmetro usinado e do valor da velocidade de corte requerida pela função "S", deste modo a velocidade de corte é mantida variando-se


18

Transmissões

São órgãos que servem para transmitir um movimento de rotação, lineares e excêntricos. Nesta unidade iremos estudar apenas os cálculos relacionados à transmissão por correias planas, correias trapezoidais, engrenagens e rodas de fricção.

Polias – Relação simples

Em nossos exemplos vamos utilizar cálculos para os sistemas de polias, porém para realizar os cálculos das engrenagens utiliza-se o mesmo raciocínio com a quantidade de dentes das engrenagens. Nos moto-redutores esse cálculo é feito pelo fabricante e indicado em sua placa juntamente com outros dados.

19

CALCULANDO

A velocidade final fornecida por um conjunto transmissor depende da relação do diâmetro das polias. Polias com o mesmo diâmetro transmitem para máquina a mesma velocidade.

Polias de diâmetros diferentes transmitem velocidade maior ou menor à máquina. No caso onde a polia motora (polia que fornece o movimento) é maior que a movida (polia que recebe o movimento) a velocidade transmitida para a máquina será maior.

Quando a polia motora é menor que a polia movida, a velocidade será menor, ou seja, haverá menor rotação na saída do sistema.

20

Matematicamente utiliza-se a seguinte expressão para mostrar essa relação:

R=

Onde, n1 é a rotação (rpm) da polia motora, n2 a rotação da polia movida, D2 o diâmetro da polia movida e D1 o diâmetro da polia motora.

Dada a fórmula, vamos partir para um exemplo pratico utilizando uma furadeira de bancada, onde a velocidade do motor é fixa e o objetivo é obter velocidades diferentes na broca.

Vamos aplicar a fórmula para o cálculo da rotação de saída quando a correia estiver em todas as posições?

21

Encontrando o D2 ( Diâmetro da polia movida).

Um motor munido de uma polia de 180 milímetros gira a 800 RPM. Ele aciona um compressor que faz 200 RPM, pergunta-se:

a) O diâmetro da polia do compressor; b) A relação de transmissão; c) O diâmetro exato da polia do compressor, se a correia tiver um deslizamento de 5%

( o deslizamento das correias planas varia de 2 a 5%).

Encontrando o D1 ( diâmetro da polia motora) Duas polias estão na relação de transmissão i de 3,5/1, a polia acionadora tem um

diâmetro de 120 milímetros, ela aciona uma serra circular girando a 180 RPM ( figura 8)

a) Qual é o diâmetro da polia montada na serra circular?

b) Qual é o numero de rotações por minuto da polia acionadora?

22

Relações múltiplas

Nesse caso utiliza-se a mesma fórmula para o cálculo, porém deve-se realizar o cálculo por estágios, com o cuidado de observar qual é a polia motora e a movida. Observe que entre os dois estágios encontra-se a polia movida do primeiro estágio e acoplada a ela a polia motora do segundo.

Aplicando a fórmula já conhecida para calcular a rotação na saída do sistema na figura acima:

Primeiro estágio

Calculando:

Para o cálculo do segundo estágio utiliza-se a mesma fórmula e como a polia motora do segundo estágio está acoplada na polia movida do primeiro então n2=n1. Portanto o valor de n1 do segundo estágio é 400rpm.

Calculando:

23

Portanto, a velocidade final do sistema é 100rpm.

Fórmula direta:

No sistema de transmissão por quatro polias representado abaixo, o eixo motor desenvolve 1000 rpm. Os diâmetros das polias medem: D1 =150 mm, D 2 =300 mm, D3 =80 mm e D4 =400 mm. Determine a RPM final do sistema.

24

Calculando o comprimento de peças dobradas ou curvadas

O problema

Vamos supor que você seja dono de uma pequena empresa mecânica e alguém lhe encomende 10.000 peças de fixação, que deverão ser fabricadas por dobramento de chapas de aço. O seu provável cliente, além de querer uma amostra do produto que você fabrica, certamente também desejará saber quanto isso vai custar.

Um dos itens do orçamento que você terá de fazer corresponde ao custo da matéria-prima necessária para a fabricação das peças.

Para obter esta resposta, você terá de calcular o comprimento de cada peça antes de elas serem dobradas, já que você vai trabalhar com chapas.

Como resolverá este problema?

Peças dobradas

Calcular o comprimento das peças antes que sejam dobradas, não é um problema tão difícil de ser resolvido. Basta apenas empregar conhecimentos de Matemática referentes ao cálculo de perímetro.

Recordar é aprender

Perímetro é a medida do contorno de uma figura geométrica plana.

Analise o desenho abaixo e pense em um modo de resolver o problema.

O que você viu na figura? Basicamente, são três segmentos de reta (A, B, C). A e C são iguais e correspondem à altura da peça. B, por sua vez, é a base. O que pode ser feito com eles em termos de cálculo?

Você tem duas alternativas de solução:

a) Calcular o comprimento da p

b) Multiplicar a altura (30mm) por 2 e somar com a medida interna (50mm).

Vamos ver se isso dá certo com a alternativa

Essa alternativa considera a linha média da chapa. Você sabe por quê?

É simples: se você usar as medidDa mesma forma, se você usar as medidas internas, ela ficará menor. Assim, pela lógica, você deve usar a linha média.

Tomando-se a linha média como referência, o segmento B corresponde à medida interna mais duas vezes a metade da espessura da chapa. Então, temos:

50 + 2 x 3 =

50 + 6 = 56mm

Com esse valor, você obteve o comprimento da linha média da base da peça. Agora, você tem de calcular a altura dos segmentos A e C.

Pelo desenho da figura da página Desse valor, temos de subtrair metade da espessura da chapa, a fim de encontrar a medida que procuramos.

30 - 3 = 27mm

25

igura? Basicamente, são três segmentos de reta (A, B, C). A e C são iguais e correspondem à altura da peça. B, por sua vez, é a base. O que pode ser feito com

Você tem duas alternativas de solução:

Calcular o comprimento da peça pela linha média da chapa.

Multiplicar a altura (30mm) por 2 e somar com a medida interna (50mm).

Vamos ver se isso dá certo com a alternativa a.


É simples: se você usar as medidas externas da peça, ela ficará maior que o necessário. Da mesma forma, se você usar as medidas internas, ela ficará menor. Assim, pela lógica, você

se a linha média como referência, o segmento B corresponde à medida a mais duas vezes a metade da espessura da chapa. Então, temos:

Com esse valor, você obteve o comprimento da linha média da base da peça. Agora, você tem de calcular a altura dos segmentos A e C.

Pelo desenho da figura da página anterior, você viu que a altura da peça é 30 mm. Desse valor, temos de subtrair metade da espessura da chapa, a fim de encontrar a medida

igura? Basicamente, são três segmentos de reta (A, B, C). A e C são iguais e correspondem à altura da peça. B, por sua vez, é a base. O que pode ser feito com

Multiplicar a altura (30mm) por 2 e somar com a medida interna (50mm).


as externas da peça, ela ficará maior que o necessário. Da mesma forma, se você usar as medidas internas, ela ficará menor. Assim, pela lógica, você

se a linha média como referência, o segmento B corresponde à medida a mais duas vezes a metade da espessura da chapa. Então, temos:

Com esse valor, você obteve o comprimento da linha média da base da peça. Agora,

anterior, você viu que a altura da peça é 30 mm. Desse valor, temos de subtrair metade da espessura da chapa, a fim de encontrar a medida

26

Com isso, obtemos as três medidas: A = 27mm, B = 56mm e C = 27mm. O comprimento é obtido pela soma das três medidas.

27 + 56 + 27 = 110mm

Portanto, a chapa de que você necessita deve ter 110mm de comprimento.

Tente você também

Agora vamos treinar um pouco esse tipo de cálculo.

Exercício 1

A alternativa b é um método prático. Calcule o comprimento do material necessário para a peça que mostramos em nossa explicação, usando essa alternativa. Você deverá obter o mesmo resultado.

Solução: 30 x 2 + 50 = ................ + 50 =

Peças curvadas circulares

Vamos supor agora que, em vez de peças dobradas, a sua encomenda seja para a produção de anéis de aço.

Mais uma vez, você terá de utilizar o perímetro. É preciso considerar, também, a maneira como os materiais se comportam ao sofrer deformações.

Os anéis que você tem de fabricar serão curvados a partir de perfis planos. Por isso, não é possível calcular a quantidade de material necessário nem pelo diâmetro interno nem pelo diâmetro externo do anel. Você sabe por quê?

Se você pudesse pôr um pedaço de aço no microscópio, veria que ele é formado de cristais arrumados de forma geométrica.

Quando esse tipo de material sofre qualquer deformação, como, por exemplo, quando são curvados, esses cristais mudam de forma, alongandomenos o que acontece com a palma de suou se contrairá, dependendo do movimento que você fizer.

No caso de anéis, por causa dessa deformação, o diâmetro interno não pode ser usado como referência para o cálculo, porque a peça ficará

Pelo mesmo motivo, o diâmetro externo também não poderá ser usado, uma vez que a peça ficará maior do que o especificado.

O que se usa, para fins de cálculo, é o que chamamos de deformação quando a peça é curvada. A figura a seguir dá a idéia do que é essa linha neutra.

Mas como se determina a posição da linha neutra? É, parece que teremos mais um pequeno problema aqui.

Em grandes empresas, essa linha é determinada por meio do que chamamos, em Mecânica, de um ensaio , isto é, um estudo do comportamento do material, realizado com o auxílio de equipamentos apropriados.

No entanto, “sua” empresa é muito pequena e não possui esse tipo de equipamento. O que você poderá fazer para encontrar a linha ne

A solução é fazer um cálculo aproximado pelo diâmetro médio do anel. Para achar essa média, você precisa apenas somar os valores do diâmetro externo e do diâmetro interno do anel e dividir o resultado por 2. Vamos ten

Suponha que o desenho que você recebeu seja o seguinte.

27

Quando esse tipo de material sofre qualquer deformação, como, por exemplo, quando são curvados, esses cristais mudam de forma, alongando-se ou comprimindomenos o que acontece com a palma de sua mão se você abri-la ou fecháou se contrairá, dependendo do movimento que você fizer.

No caso de anéis, por causa dessa deformação, o diâmetro interno não pode ser usado como referência para o cálculo, porque a peça ficará menor do que o tamanho especificado.

Pelo mesmo motivo, o diâmetro externo também não poderá ser usado, uma vez que a do que o especificado.

O que se usa, para fins de cálculo, é o que chamamos de linha neutrapeça é curvada. A figura a seguir dá a idéia do que é essa linha neutra.

Mas como se determina a posição da linha neutra? É, parece que teremos mais um

Em grandes empresas, essa linha é determinada por meio do que chamamos, em , isto é, um estudo do comportamento do material, realizado com o

auxílio de equipamentos apropriados.

No entanto, “sua” empresa é muito pequena e não possui esse tipo de equipamento. O que você poderá fazer para encontrar a linha neutra do material e realizar a tarefa?

A solução é fazer um cálculo aproximado pelo diâmetro médio do anel. Para achar essa média, você precisa apenas somar os valores do diâmetro externo e do diâmetro interno do anel e dividir o resultado por 2. Vamos tentar?

Suponha que o desenho que você recebeu seja o seguinte.

Quando esse tipo de material sofre qualquer deformação, como, por exemplo, quando se ou comprimindo-se. É mais ou

la ou fechá-la. A pele se esticará

No caso de anéis, por causa dessa deformação, o diâmetro interno não pode ser usado o que o tamanho especificado.

Pelo mesmo motivo, o diâmetro externo também não poderá ser usado, uma vez que a

linha neutra , que não sofre peça é curvada. A figura a seguir dá a idéia do que é essa linha neutra.

Mas como se determina a posição da linha neutra? É, parece que teremos mais um

Em grandes empresas, essa linha é determinada por meio do que chamamos, em , isto é, um estudo do comportamento do material, realizado com o

No entanto, “sua” empresa é muito pequena e não possui esse tipo de equipamento. O utra do material e realizar a tarefa?

A solução é fazer um cálculo aproximado pelo diâmetro médio do anel. Para achar essa média, você precisa apenas somar os valores do diâmetro externo e do diâmetro interno do

Com as medidas do diâmetro interno e do diâmetro externo do desenho, você faz a soma:

100 + 80 = 180mm

O resultado obtido, você divide por 2:

180 ÷ 2 = 90mm

O diâmetro médio é, portanto,

Esse valor (90mm) corresponde aproximadamente ao diâmetro da circunferência formada pela linha neutra, do qual você precisa para calcular a matériaComo o comprimento do material para a fabricação do anel corresponde mais ou menperímetro da circunferência formada pela linha média, o que você tem de fazer agora é achar o valor desse perímetro.


A fórmula para calcular o perímetro da circunferência é circunferência e π é a constante igual a 3,14.

P = 90 x 3,14

P = 282,6mm

28

Com as medidas do diâmetro interno e do diâmetro externo do desenho, você faz a

O resultado obtido, você divide por 2:

O diâmetro médio é, portanto, de 90mm.

Esse valor (90mm) corresponde aproximadamente ao diâmetro da circunferência formada pela linha neutra, do qual você precisa para calcular a matériaComo o comprimento do material para a fabricação do anel corresponde mais ou menperímetro da circunferência formada pela linha média, o que você tem de fazer agora é achar o

A fórmula para calcular o perímetro da circunferência é P = D . π, em que é a constante igual a 3,14.

Com as medidas do diâmetro interno e do diâmetro externo do desenho, você faz a

Esse valor (90mm) corresponde aproximadamente ao diâmetro da circunferência formada pela linha neutra, do qual você precisa para calcular a matéria-prima necessária. Como o comprimento do material para a fabricação do anel corresponde mais ou menos ao perímetro da circunferência formada pela linha média, o que você tem de fazer agora é achar o

, em que D é o diâmetro da

Como você pôde observar no desenho, para a realização do trabalho, terá de usar uma chapa com 10mm de espessura. Por causa da deformação que ocorrerá no material quando ele for curvado, muito provavelm(282,6mm).

Nesses casos, a tendência é que o anel fique empresa pequena, o procedimento é fazer amostras com a medida obtida, analisar o resultado e fazer as correções necessárias.

Dica tecnológica

Quando se trabalha com uma chapa de até 1mm de espessura, não há necessidade de correção nessa medida, porque, neste caso, a linha neutra do material está bem próxima do diâmetro médio do anel.

Tente você também

Vamos a mais um exercício para reforçar o que foi explicado

Exercício 2

Calcule o comprimento do material necessário para construir o anel correspondente ao seguinte desenho:

Solução: P = Diâmetro médio . π

Diâmetro médio = 31

π = 3,14

29

Como você pôde observar no desenho, para a realização do trabalho, terá de usar uma chapa com 10mm de espessura. Por causa da deformação que ocorrerá no material quando ele for curvado, muito provavelmente haverá necessidade de correção na medida obtida

Nesses casos, a tendência é que o anel fique maior que o especificado. Em uma empresa pequena, o procedimento é fazer amostras com a medida obtida, analisar o resultado

ecessárias.

Quando se trabalha com uma chapa de até 1mm de espessura, não há necessidade de correção nessa medida, porque, neste caso, a linha neutra do material está bem próxima do

s um exercício para reforçar o que foi explicado

Calcule o comprimento do material necessário para construir o anel correspondente ao

π

Como você pôde observar no desenho, para a realização do trabalho, terá de usar uma chapa com 10mm de espessura. Por causa da deformação que ocorrerá no material quando

ente haverá necessidade de correção na medida obtida

que o especificado. Em uma empresa pequena, o procedimento é fazer amostras com a medida obtida, analisar o resultado

Quando se trabalha com uma chapa de até 1mm de espessura, não há necessidade de correção nessa medida, porque, neste caso, a linha neutra do material está bem próxima do

Calcule o comprimento do material necessário para construir o anel correspondente ao

P =

Peças curvadas semicirculares

Você deve estar se perguntando o que deve fazer se as peças não apresentarem a circunferência completa. Por exemplo, como seria o cálculo para descobrir o comprimento do material para a peça que está no desenho a seguir?

O primeiro passo é analisar o desenho e descobrir quais os elementos geométricos contidos na figura. Você deve ver nela duas semicircunferências e dois segmentos de reta.

Mas, se você está tendo dificuldade para “encom o auxílio de linhas pontilhadas na figura abaixo.

30

Peças curvadas semicirculares

Você deve estar se perguntando o que deve fazer se as peças não apresentarem a circunferência completa. Por exemplo, como seria o cálculo para descobrir o comprimento do

peça que está no desenho a seguir?


Mas, se você está tendo dificuldade para “enxergar” esses elementos, vamos mostrácom o auxílio de linhas pontilhadas na figura abaixo.

Você deve estar se perguntando o que deve fazer se as peças não apresentarem a circunferência completa. Por exemplo, como seria o cálculo para descobrir o comprimento do


xergar” esses elementos, vamos mostrá-los

31

Com as linhas pontilhadas dessa nova figura, formam-se duas circunferências absolutamente iguais. Isso significa que você pode fazer seus cálculos baseado apenas nas medidas de uma dessas circunferências.

Como você tem a medida do raio dessa circunferência, basta calcular o seu perímetro e somar com o valor dos dois segmentos de reta.


Como estamos trabalhando com a medida do raio, lembre-se de que, para o cálculo do perímetro, você terá de usar a fórmula P = 2 π R.

Vamos ao cálculo:

P = 2 π R

Substituindo os valores:

P = 2 x 3,14 x 10

P = 6, 28 x 10

P = 62,8mm

Por enquanto, temos apenas o valor das duas semicircunferências. Precisamos adicionar o valor dos dois segmentos de reta.

62,8 + 30 + 30 = 122,8mm

Portanto, o comprimento do material necessário para a fabricação desse elo de corrente é aproximadamente 122,8mm.

Tente você também

Releia essa parte da lição e faça o exercício a seguir.

Exercício 3

Calcule o comprimento do material necessário para confeccionar a peça de fixação em forma de “U”, cujo desenho é mostrado a seguir.

Solução:

Linha média: 6 / 2 =

Raio: 10 + 3 =

Perímetro da semicircunferência:

P = .........

Comprimento: 20 + 20 + ......... = .........

Outro exemplo.

Será que esgotamos todas as possibilidades desse tipo de cálculo? Provavelmente, não. Observe esta figura.

Nela temos um segmento de reta e uma circunferência que não está completa, ou seja, um arco. Como resolver esse problema?

32

Releia essa parte da lição e faça o exercício a seguir.

Perímetro da semicircunferência: x3,14=.R

2R2 π=π

.........

Comprimento: 20 + 20 + ......... = .........

Será que esgotamos todas as possibilidades desse tipo de cálculo? Provavelmente, não.

Nela temos um segmento de reta e uma circunferência que não está completa, ou seja, um arco. Como resolver esse problema?

Será que esgotamos todas as possibilidades desse tipo de cálculo? Provavelmente, não.

Nela temos um segmento de reta e uma circunferência que não está completa, ou seja,

33

Como você já sabe, a primeira coisa a fazer é analisar a figura com cuidado para verificar todas as medidas que você tem à sua disposição.

Nesse caso, você tem: a espessura do material (6mm), o comprimento do segmento de reta (50mm), o raio interno do arco de circunferência (12mm) e o valor do ângulo correspondente ao arco que se quer obter (340º).

O passo seguinte é calcular o raio da linha média. Esse valor é necessário para que você calcule o perímetro da circunferência. As medidas que você vai usar para esse cálculo são: o raio (12mm) e a metade da espessura do material (3mm). Esses dois valores são somados e você terá:

12 + 3 = 15mm

Então, você calcula o perímetro da circunferência, aplicando a fórmula que já foi vista nesta aula.

P = 2 x 3,14 x 15 = 94,20mm

Como você tem um arco e não toda a circunferência, o próximo passo é calcular quantos milímetros do arco correspondem a 1 grau da circunferência.

Como a circunferência completa tem 360°, divide-se o valor do perímetro (94,20mm) por 360.

94,20 � 360 = 0,26166mm

Agora você tem de calcular a medida em milímetros do arco de 340º. Para chegar a esse resultado, multiplica-se 0,26166mm, que é o valor correspondente para cada grau do arco, por 340, que é o ângulo correspondente ao arco.

0,26166 x 340 = 88,96mm

Por último, você adiciona o valor do segmento de reta (50mm) ao valor do arco (88,96mm).

50 + 88,96 = 138,96mm.

Portanto, o comprimento aproximado do material para esse tipo de peça é de 138,96mm.

Tente você também

As coisas parecem mais fáceis quando a gcomo é fácil.

Exercício 4

Calcule o comprimento do material necessário à fabricação da seguinte peça.

Solução:

Linha média: 6 /2 .......... =

Raio: 12 + .......... =

Perímetro =

............ ÷÷÷÷ 360º =

............ x ............ =

............ + ............ + ............ =

Teste o que você aprendeu

Se você estudou a lição com cuidado e fez os exercícios com atenção, não vai ter dificuldade para resolver o desafio que preparamos para você.

34

Portanto, o comprimento aproximado do material para esse tipo de peça é de

As coisas parecem mais fáceis quando a gente as faz. Faça o exercício a seguir e veja

Se você estudou a lição com cuidado e fez os exercícios com atenção, não vai ter dificuldade para resolver o desafio que preparamos para você.

Portanto, o comprimento aproximado do material para esse tipo de peça é de

ente as faz. Faça o exercício a seguir e veja

Se você estudou a lição com cuidado e fez os exercícios com atenção, não vai ter

Exercício 5

Calcule o material necessário para a fabricação das seguintes peças dobradas.

a)

b)

c)

Exercício 6

35

alcule o material necessário para a fabricação das seguintes peças dobradas.alcule o material necessário para a fabricação das seguintes peças dobradas.

Calcule o comprimento do material necessário para fabricar as seguintes peças.

a)

b)

36

Calcule o comprimento do material necessário para fabricar as seguintes peças.Calcule o comprimento do material necessário para fabricar as seguintes peças.

37

Cálculo trigonométrico A resolução de triângulos retângulos faz parte do cotidiano dos cálculos envolvidos em

usinagem mecânica, desenho técnico, programação CNC, processos etc.

Neste tópico, abordaremos a resolução de triângulos retângulos, abrangendo o "Teorema de Pitágoras" e as funções básicas: seno, co-seno e tangente.

Lembramos que triângulo retângulo é todo triângulo que possui um ângulo reto (90 graus). Neste triângulo, o maior lado é chamado de Hipotenusa, enquanto os menores de catetos (Oposto e Adjacente) a um determinado ângulo.

Teorema de Pitágoras

O "teorema de Pitágoras" trabalha apenas com os lados do triângulo não envolvendo os ângulos.

Fórmula:

Desmembrando a Fórmula, teremos:

a) Aplicação de Seno

38

Seno: A função seno envolve o cateto oposto ao ângulo implicado (cateto que está à frente do ângulo) e a hipotenusa. Assim temos:


b) Aplicação do co - seno

Co-seno: A função co-seno envolve o cateto adjacente ao ângulo implicado (cateto que está do lado) e a hipotenusa. Assim temos:


c) Aplicação da tangente

Tangente: A função tangente envolve os dois catetos, não levando em consideração a hipotenusa.

Assim temos:

39


40

Área e Perímetro de Figuras Planas

A geometria plana é a parte da matemática que estuda as relações entre as figuras planas e as figuras que têm duas dimensões: comprimento e largura ou comprimento e altura. Já a geometria espacial se preocupa com o estudo dos objetos no espaço, ou seja, estuda o objeto envolvendo três dimensões: comprimento, largura e altura.

Polígonos Seja (A, B, C, D, ...) n pontos de um plano, com n ≥ 3, onde três pontos

consecutivos estão em pontos distintos do plano, a união desses pontos com segmentos de reta determina um polígono. Observe a figura:

Em que: A, B, C e D são os vértices do polígono, e AB, BD, DC e CA são os segmentos

que formam os lados do polígono.

Superfície Poligonal

A superfície poligonal corresponde à reunião de um polígono com o seu interior. As superfícies poligonais podem ser cônicas ou convexas.

41

Os polígonos são classificados de acordo com o seu número (n) de lados, dessa forma

eles recebem os nomes. Conheça a seguir as nomenclaturas dos polígonos.

42

Medida de Superfície – Área Para medir uma superfície você deve compará-la com outra tomada como

unidade, na figura anterior foi utilizado um quadrado de 1 m de lado. Unidade de área.

Aplicação 1

O retângulo ABCD tem 10 quadrados, se cada quadrado tem 1 m de lado, então a medida da superfície ocupada por essa figura tem 10 m2.

Na Mecânica utiliza-se esse conhecimento para determinar a medida da superfície de chapas. Por exemplo, a quantidade de chapas necessárias para confeccionar um baú da carroceria de um caminhão.

A unidade fundamental é o metro quadrado, mas é comum na Mecânica trabalhar com

unidades menores, por exemplo, o mm2, que é um submúltiplo do metro. Já na construção civil utiliza-se os múltiplos do metro, por exemplo, o km2. Acompanhe o quadro a seguir.

43

Representação e Leitura

As unidades de medidas de área variam de 100 em 100, em vez de escrever 54,3 dm2 é conveniente escrever 54,30 dm2 .

Quando ocorre a mudança de unidade, a vírgula se desloca duas casas para a direita ou

esquerda.

44

Área dos Polígonos

Área do Retângulo

Observe a figura a seguir, nela você tem um retângulo de 4 cm de altura e 9 cm de base, cuja área é de 2 cm x 5 cm = 10 cm2.

Representa-se por A a área do retângulo, por b a base e por h a altura.

Área do Quadrado

O quadrado é um retângulo cuja base é igual à altura, assim a área pode ser encontrada da mesma forma que o retângulo.

45

A área do quadrado A = 3.3, A = 9 cm2

Área do Paralelogramo

Você já ouviu falar de paralelogramo? Visualize atentamente as figuras a seguir.

Se você cortar o triângulo direito do paralelogramo e colocar sobre o lado oposto, ficará com um retângulo. Para calcular a área do paralelogramo será utilizada a fórmula do retângulo.

Área do Triângulo

Observe na figura que a área do triângulo é metade da área do retângulo, assim a área do retângulo é A = b.h. Para calcular a área do triângulo, basta dividir por dois a área do retângulo. Veja a seguir.

46

Substituindo na fórmula as medidas da página anterior, que estão em cm, tem-se:

Área do Losango

Para calcular a área de um losango, deve-se partir da área de um retângulo, pois conforme veremos na figura a seguir, o losango é formado por oito triângulos iguais.

Como a área do retângulo é A = b.h, conforme a figura acima, tem-se b = D e h = d.

A área do losango é:

Substituindo as medidas do desenho você terá:

47

Área do Trapézio

Dado um trapézio qualquer para determinar a área, estabeleça o seguinte: ajustar outro trapézio igual ao primeiro em sentido inverso, nota-se dessa forma que temos um paralelogramo.

Área do Polígono Regular

Seja um polígono regular com números de lado maior do que quatro, utilize o hexágono conforme figura a seguir. O hexágono pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros iguais (congruentes).

48

Observe que o paralelogramo contém 12 triângulos semelhantes dos quais 6 constituem a área do hexágono.

Como a área do paralelogramo é dada por A = b.h, a área da figura é: A = 6.ℓ.apótema.

Para determinar a área do hexágono você deve dividir a área da figura por dois, o hexágono corresponde exatamente à metade do paralelogramo da figura.

Assim você poderá calcular qualquer área de qualquer polígono regular desde que seja dada a medida do lado e do apótema.

Aplicação 1

Dada uma chapa de aço em forma de octógono, determine a área da chapa.

49

Área do Círculo

Círculo é a região interna à circunferência. Para determinar a área do círculo você deverá dividi-lo em 16 partes iguais (congruentes).

Observe que ao abrir a circunferência você obterá 32 partes congruentes, dos quais 16 constituem a área do círculo, usando a fórmula do paralelogramo terá:

A = b.h como b = C e h = r temos: A = C.r mas, C = 2π.r assim:

Aplicação 1

Determine a área de uma chapa de forma circular que apresenta um diâmetro de 232,5 mm de diâmetro.

50

Observe que o resultado em milímetro quadrado é um número grande, podendo ser transformado, por exemplo, para cm2. Desta forma ficaria com:

Na Mecânica é comum arredondar esse valor, pode-se assim utilizar a área de 424,35 cm2.

Área da Coroa Circular

Denomina-se coroa circular a região da figura plana formada entre duas circunferências concêntricas, conforme figura a seguir.

51

Acompanhe a seguir um resumo das fórmulas para cálculo das áreas

dos polígonos. Aproveite!

53

Exercícios de fixação

54

Finalizando

Procuramos apresentar nesta unidade curricular os elementos necessários para que você possa utilizar os conhecimentos matemáticos de forma clara e objetiva. Os conteúdos abordados são essenciais na sua vida profissional como técnico; frações, números decimais, regra de três, porcentagem, cálculo de área e volume e muitos outros conhecimentos são indispensáveis para que você se torne um profissional seguro e dedicado naquilo que faz.

Muitos desses conhecimentos você irá aperfeiçoar ao longo da sua vida profissional, portanto, dedique-se, o sucesso só depende de você.

Pratique, faça as coisas com carinho e quando não conseguir resolver um problema de qualquer área do conhecimento, peça ajuda, pois um profissional só se faz quando trabalha junto com outras pessoas, ou seja, trabalha em equipe.

Um ótimo estudo!

cálculo técnico aplicado a mecanica

Technology