cálculo aplicado

CálculoAplicado

Centro de Formação Profissional Geny José Ferreira

NOVA SERRANA

2005

Presidente da FIEMGRobson Braga de Andrade

Gestor do SENAI

Petrônio Machado Zica

Diretor Regional do SENAI e

Superintendente de Conhecimento e Tecnologia

Alexandre Magno Leão dos Santos

Gerente de Educação e Tecnologia

Edmar Fernando de Alcântara

Elaboração

SANDRA MARA AMARAL COSTA

Unidade Operacional

CENTRO DE FORMAÇÃO PROFISSIONAL GENY JOSÉ FERREIRACENTRO DE FORMAÇÃO PROFISSIONAL ANIELO GRECO

Sumário

PRESIDENTE DA FIEMG...............................................................................................................2

APRESENTAÇÃO .........................................................................................................................5

1. CÁLCULO APLICADO..............................................................................................................6

1.1. NÚMEROS NATURAIS: .........................................................................................................6

1.2. OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS NATURAIS...........................................6

1.2. CONVERSÃO DE UNIDADES ...............................................................................................8

1.2.1. MEDIDAS DE COMPRIMENTO ..........................................................................................8

1.2.1.1. CONCEITO DE MEDIDA..................................................................................................8

1.2.1.2. MEDIDAS DE COMPRIMENTO.......................................................................................9

1.2.1.3. LEITURA DE COMPRIMENTOS......................................................................................9

1.2.1.4. MUDANÇAS DE UNIDADE............................................................................................10

1.2.2. MEDIDAS DE SUPERFÍCIE..............................................................................................12

1.2.2.1. MUDANÇAS DE UNIDADE............................................................................................13

1.2.2.2. EXERCÍCIOS ..................................................................................................................14

1.2.3. PORCENTAGEM:..............................................................................................................14

1.2.3.1. EXERCÍCIOS:.................................................................................................................15

1.2.4. REMANEJAMENTO DE FÓRMULAS: .............................................................................16

1.2.4.1. EXERCÍCIOS:.................................................................................................................17

1.2.4. NOÇÕES DE GEOMETRIA...............................................................................................18

1.2.4.1. DEFINIÇÃO ....................................................................................................................18

1.2.4.2. GEOMETRIA ELEMENTAR...........................................................................................18

1.2.4.2.1. LINHAS:.......................................................................................................................18

1.2.4.2.2. CÁLCULO DE ÁREAS:...............................................................................................18

A) QUADRADO ...........................................................................................................................18

B) RETÂNGULO..........................................................................................................................19

C) PARALELOGRAMO...............................................................................................................19

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...........................................................................................21

Cálculo Aplicado____________________________________________________________

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Curso Supervisor na Confecção de Calçados 5

Apresentação

“Muda a forma de trabalhar, agir, sentir, pensar na chamada sociedade doconhecimento”.

Peter Drucker

O ingresso na sociedade da informação exige mudanças profundas em todosos perfis profissionais, especialmente naqueles diretamente envolvidos naprodução, coleta, disseminação e uso da informação.

O SENAI, maior rede privada de educação profissional do país, sabe disso econsciente do seu papel formativo, educa o trabalhador sob a égide doconceito da competência: ”formar o profissional com responsabilidade noprocesso produtivo, com iniciativa na resolução de problemas, comconhecimentos técnicos aprofundados, flexibilidade e criatividade,empreendedorismo e consciência da necessidade de educaçãocontinuada.”

Vivemos numa sociedade da informação. O conhecimento, na sua áreatecnológica, amplia-se e se multiplica a cada dia. Uma constante atualizaçãose faz necessária. Para o SENAI, cuidar do seu acervo bibliográfico, da suainfovia, da conexão de suas escolas à rede mundial de informações – internet –é tão importante quanto zelar pela produção de material didático.

Isto porque, nos embates diários, instrutores e alunos, nas diversas oficinas elaboratórios do SENAI, fazem com que as informações, contidas nos materiaisdidáticos, tomem sentido e se concretizem em múltiplos conhecimentos.

O SENAI deseja , por meio dos diversos materiais didáticos, aguçar a suacuriosidade, responder às suas demandas de informações e construir linksentre os diversos conhecimentos, tão importantes para sua formaçãocontinuada!

Gerência de Educação e Tecnologia


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11.. CCÁÁLLCCUULLOO AAPPLLIICCAADDOO

11..11.. NNúúmmeerrooss NNaattuurraaiiss::

Desde os tempos mais remotos, o homem sentiu a necessidade de verificarquantos elementos figuravam em um conjunto.

Antes que soubessem contar, os pastores verificavam se alguma ovelha deseus rebanhos se havia extraviado, fazendo corresponder a cada uma delasuma pedrinha que colocavam na bolsa. Na volta do rebanho, a última ovelhadevia corresponder à última pedrinha. Tinham assim, a noção dos númerosnaturais, embora não lhes dessem nomes nem os representassem porsímbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

O conjunto dos números naturais é representado pela letra N e escreve-se:

{ },.....9,8,7,6,5,4,3,2,1,0=Ν

11..22.. OOppeerraaççõõeess FFuunnddaammeennttaaiiss CCoomm NNúúmmeerrooss NNaattuurraaiiss

A) Adição:

É a operação que permite determinar o número de elementos da união de doisou mais conjuntos:

} Total

Parcelas

597.1

412

577004.1

��

�

��

�

�

+

B) Subtração:

É a operação que permite determinar a diferença entre dois números naturais:

stosubtraendo

uendo

Re679158

min837

�

�−�


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C) Multiplicação:

A multiplicação é muitas vezes definida como uma adição de parcelas iguais:

Exemplo: 2+2+2 = 3 x 2 ( três parcelas iguais a 2 )

produto

dormultiplicax

ndomultiplica

→

→→

87637621143

23381

Atenção: Qualquer número multiplicado por zero é zero.Exemplo: 4 x 0 = 0

D) Divisão:

É a operação que permite determinar o quociente entre dois números.A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Exemplo: 18 x 4 = 72 � 72 ÷ 4 = 18

D.1) Termos da divisão:

Atenção:Quando o dividendo é múltiplo do divisor, dizemos que a divisão é exata.

Exemplo: 16 ÷ 8 = 2Quando o dividendo não é múltiplo do divisor, diz-se que a divisão éaproximada ou inexata.

Exemplo: 16 ÷ 5 = 3 ( resto = 1 )

Numa divisão, em números naturais, o divisor tem de ser sempre diferente dezero, isto é, não existe divisão por zero no conjunto de números naturais ( N ).


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11..22.. CCoonnvveerrssããoo ddee UUnniiddaaddeess

11..22..11.. MMeeddiiddaass ddee CCoommpprriimmeennttoo

11..22..11..11.. CCoonncceeiittoo ddee MMeeddiiddaa

Medir uma grandeza é compará-la com outra da mesma espécie tomada comounidade.

Exemplo:

Consideremos dois pontos quaisquer de uma reta r, os quais representaremospelas letras A e B.

A parte de reta compreendida entre os pontos A e B é chamada segmento dereta.

Para medir o segmento de reta escolhemos um segmento unitário u que seráa unidade de medida.

Exemplo: 1º uAB 3=

2º = 6u

Qualquer segmento pode ser escolhido para unidade de comprimento. Porémse cada pessoa pudesse escolher livremente uma unidade de comprimentopara medir um segmento este apresentaria diferentes medidas,dependendo da unidade usada.

Assim, existe a necessidade de se escolher uma unidade padrão decomprimento, isto é, uma unidade de comprimento que seja conhecida e aceitapor todas as pessoas.


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11..22..11..22.. MMeeddiiddaass ddee CCoommpprriimmeennttoo

A unidade padrão de comprimento é o metro.

O metro é o comprimento assinalado sobre uma barra metálica depositada noMuseu Internacional de Pesos e Medidas, na cidade de Sérvres ( França ).

O metro com seus múltiplos forma o Sistema Métrico Decimal que éapresentado no seguinte quadro:

MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOSUnidade Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro MilímetroSímbolo km hm dam m dm cm Mm

Valor 1.000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

11..22..11..33.. LLeeiittuurraa ddee CCoommpprriimmeennttooss

Cada unidade de comprimento é igual a 10 vezes a unidade imediatamenteinferior:

1 km = 10 hm 1 hm = 10 dam 1 dam = 10 m1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm

Em conseqüência, cada unidade de comprimento é igual a 0,1 da unidadeimediatamente superior:

1 hm = 0,1 km 1 dam = 0,1 hm 1 m = 0,1 dam1 dm = 0,1 m 1 cm = 0,1 dm 1 mm = 0,1 cm

A leitura e a escrita de um número que exprime uma medida de comprimento( número seguido do nome da unidade ) é feita de modo idêntico aos númerosdecimais.

0,1 m }} decímetro

oumetrodedécimo

11

0,25 m }} scentímetrocincoeev

oumetrodecentésimoscincoeev

intint


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6,37 m }} decímetros

oumetrodecentésimosseteeatreeirosSeis

7,63intint

11..22..11..44.. MMuuddaannççaass ddee UUnniiddaaddee

Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior, devemos fazeruma multiplicação por 10, ou seja, devemos deslocar a vírgula um algarismopara a direita.

Exemplos:

3,72 dam = ( 3,72 x 10 ) m = 37,2 m5,98 dam = ( 5,89 x 10 ) m = 58,9 m

Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemosfazer uma divisão por 10, ou seja, devemos deslocar a vírgula de um algarismopara a esquerda.

Exemplos:389,2 cm = ( 389,2 ÷ 10 ) dm = 38,92 dm8,75 m = ( 8,75 ÷ 10 ) dam = 0,875 dam

Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicarsucessivamente uma das regras anteriores.

Exemplos:

a) km para m3,584 km = 35,84 hm = 358,4 dam = 3.584 m

b) dm para hm87,5 dm = 8,75 m = 0,875 = 0,0875

Exercícios:

1) Escreva a medida mais adequada quando você quer medir:

a) o comprimento da sala de aula;b) a distância entre Vitória e Rio de Janeiro;c) A largura de um livro;d) A folga de virabrequim.


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2) Escreva as medidas:

a) 8 hectômetros e 9 decâmetros;b) 3 metros e 2 milímetros;c) 27 metros e 5 milímetros;d) 1 metro e 17 centímetros;e) 15 decímetros e 1 milímetro.

3) Transforme cada medida apresentada para a unidade indicada:

a) 527 m ........................................cmb) 0,783 m......................................mmc) 34,5 dam....................................cmd) 0,8 m..........................................mme) 22,03 m......................................dm

4) Reduza para a unidade indicada:

a) 5 m..............................................dm e12 dm..................................mmb) 6 m..............................................cm f)18 cm...................................mmc) 7 m..............................................mm g)0,872 m...............................mmd) 9 dm............................................cm

5) Como se lêem as medidas:

a) 38,65 mb) 1,50 mc) 13,08 kmd) 2,37 hme) 9,728 m

6) Marque as afirmativas com V ou F:

a) ( ) A unidade 100 vezes menor que o metro é o centímetro;b) ( ) O metro é a medida usada para medir comprimento;c) ( ) A abreviatura de decâmetro é dm;d) ( ) 1 m = 10 cm;e) ( ) 1000 mm corresponde a 1 metro;f) ( ) As medidas de comprimento variam de 10 em 10.

7) Resolva os problemas com toda a atenção.

a) Júlio tem 1,72 m de altura e Paulo tem 1,58 m. Qual a diferença da alturados dois meninos?

b) Alice quer colocar o rodapé na sala. A sala tem forma retangular commedidas iguais 3,5 m e 4,2 m. Quantos metros de rodapé serão colocadosnesta sala?


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c) Um vendedor tinha uma peça de tecido com 6,5 m. Ontem, vendeu 2,4 mdeste tecido a uma freguesa e hoje vendeu mais 1,3 m da mesma fazenda.Quantos metros sobraram?

d) Uma barra de ferro com 8 m será repartida em 32 pedaços do mesmotamanho. Quanto medirá cada pedaço?

e) Um lote de forma quadrada será cercado com 3 voltas de arame. Quantosmetros de arame serão gastos, se o lado do lote tem 22,5 m?

11..22..22.. MMeeddiiddaass ddee SSuuppeerrffíícciiee

A medida de uma superfície chama-se área. O metro quadrado ( 2m ) é aunidade fundamental das medidas de superfície.Dividimos o retângulo abaixo em quadrados de 1 metro de lado.

Então o retângulo tem 15 m² de área.

Conclusão:

Podemos encontrar a área do retângulo multiplicando a medida da base pelamedida da altura.

Múltiplos e submúltiplos do m².

Para medir superfícies, além do metro quadrado, podemos usar ainda os

� ��

��

�

==

=

)(1100

)(110000

)(110000

22

22

22

quadradodecâmetrodamm

quadradohectômetrohmm

quadradoquilômetrokmm

Múltiplos

� ��

��

�

===

)(²1000000²1)(²10000²1

)(²100²1

quadradomilímetromm

quadradocentímetrocmm

quadradodecímetrodmm

osSubmúltipl


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11..22..22..11.. MMuuddaannççaass ddee UUnniiddaaddee

Cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamenteinferior.

A mudança de unidade se faz com deslocamento da vírgula a direita ou para aesquerda.

Exemplos:

a) transformar 73,58 dam² em metros quadrados:

73,58 dam² = ( 73,58 x 100 ) m² = 7358 m²

Na prática, deslocamos a vírgula duas casas para a direita.

b) transformar 0,54623 hm² em metros quadrados:

0,54623 hm² = ( 0,54623 x 10000 ) m² = 5462,3 m²

Na prática, deslocamos a vírgula quatro casas para a direita.

c) transformar 18,57 dm² em metros quadrados:

18,57 dm² = ( 18,57 ÷ 100 ) m² = 0,1857 m²

Na prática, deslocamos a vírgula duas casas para a esquerda.


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11..22..22..22.. EExxeerrccíícciiooss

1) Transforme em m²:

a) 7 km² e) 87,20 dm²b) 8 dam² f) 44,93 cm²c) 6,41 km² g) 0,0095 hm²d) 5,3 hm² h) 524,16 cm²

2) Faça a conversão de:

a) 15 m² em dm² e) 0,07 dm² em cm²b) 30 hm² em km² f) 581,4 m² em dm²c) 0,83 cm² em mm² g) 739 dam² em km²d) 3200 mm² em cm² h) 0,65 m² em hm²

11..22..33.. PPOORRCCEENNTTAAGGEEMM::

Você já deve, muitas vezes, ter ouvido falar na expressão “por cento”.

Por exemplo:

- O preço da gasolina aumentou trinta por cento.- Esta roupa tem vinte por cento de desconto.- Quinze por cento dos alunos não compareceram à escola hoje.

Para a expressão “ por cento” usamos o símbolo %.

“Por cento” quer dizer uma determinada quantidade em cada cem.

Se, por exemplo, numa avaliação de matemática de 100 questões, Pauloacertou 70, isto quer dizer que ele acertou 70% das questões dadas, isto é,acertou 70 em 100.

Você percebeu que:

O “Cento” é uma maneira diferente de dizer “centésimos”.

70 em 100 = 10070

= 0,70 = 70%

Há diversos modos de calcular porcentagem. Vejamos alguns:

Calcular 30% de R$ 800,00.


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1) 30% = 240100

240001

80010030

800100

310030 === xde

Resposta: R$ 240,00

2) 800 x 30 = 24.00024.000 ÷100 =240Resposta: R$ 240,00

11..22..33..11.. EExxeerrccíícciiooss::

1) Observe a forma fracionária dada e represente-a sob a forma deporcentagem:

a) 10049

)100100

)100

2cb

2) Represente a porcentagem dada sob a forma de fração:

a) 99% b) 42% c) 50%

3) Calcule:

a) 20% de 800b) 10% de 350c) 18% de 1.400

4) Uma cidade tem 987.500 habitantes, 36% são crianças com menos de 12anos de idade. Quantas crianças com menos de 12 anos tem a cidade?

5) Ache o número, sabendo que:

a) 10% dele é igual a 27; d) 5,5% dele é igual a 11;b) 1 % dele é igual a 15; e) 2 % dele é igual a 20.000;c) 25% dele é igual a 100; f) 6,2% dele é igual a 124.000.

6) Uma empresa compra um equipamento por R$ 120.000,00. Ela desejavendê-lo tendo um lucro equivalente a 40% do preço de custo. Por quantodeve ser vendido esse aparelho?


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11..22..44.. RReemmaanneejjaammeennttoo ddee FFóórrmmuullaass::

Este tópico tem como objetivo trabalhar o uso de fórmulas e expressões.

Seja a equação: 2x – 5 + 3x = 2x + 15 – x 1º membro 2 º membroSolução:

Separamos no 1º membro todos os termos que contém x e no 2º membro osdemais.

Devemos considerar que um termo, ao trocar de membro, troca também deoperação.

Assim: 2.x + 3.x – 2.x + x = 15 + 5 4x = 20

x = 54

20 =x

a) Resolva : 35

23 −=+

xx

Solução: Encontrar 1º o m.m.c. entre 2 e 3 que é 6.Pois 2 e 3 são primos entre si.

Então:

6106

693 −=+ xx

3x + 9 = 6x – 103x – 6x = - 10 – 93x = - 19 ( -1 )3x = 19

319=x

Quando o termo que contém x der negativo, devemos transformá-lo empositivo, multiplicando os dois membros da equação por –1

b)


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525

25

916

169

2

2

2

==

=+=

=−

x

x

x

x

x

c)

28025,0

707025,0

7025,0

=

=

=

=

y

y

yy

d)

140

80.75,180

75,1

==

=

x

x

x

11..22..44..11.. EExxeerrccíícciiooss::

1) Resolva:

a) 3x – 5x = - 18

b) 12

33

23 −=− xx

c) 13

23

14 =+

��

� − xx

2) Um número somado com a sua terça parte é igual a 24. Calcule essenúmero.

3) Quando adicionamos 56 a um certo número x, obtemos como resultado onúmero 120. Qual é o valor de x?

4) Um certo número, aumentado de 43, é igual a 109. Qual é esse número?5) Um certo número, dividido por 23 dá resultado 8. Calcule esse número.6) Um certo número aumentado do triplo desse mesmo número é igual a 104.

Qual é esse número?7) Pense em um número: a ele acrescente 12 e obtenha resultado igual a três

vezes o número pensado. Qual o número que você pensou?


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11..22..44.. NNooççõõeess ddee GGeeoommeettrriiaa

11..22..44..11.. DDeeffiinniiççããoo

A geometria é a ciência que investiga as formas e as dimensões dos seresmatemáticos.

11..22..44..22.. GGeeoommeettrriiaa EElleemmeennttaarr

É a parte da geometria que estuda as figuras planas que podem ser traçadascom régua e compasso, e os sólidos cujas seções são estas figuras.

11..22..44..22..11.. LLiinnhhaass::

11..22..44..22..22.. CCáállccuulloo ddee ÁÁrreeaass::

Área ou superfície é o produto de duas dimensões: Comprimento e largura.

aa)) QQuuaaddrraaddoo

A área de um quadrado é o produto de um lado pelo outro, como os ladospossuem a mesma dimensão, a área é a medida de seu lado elevado aoquadrado:

Área = lado x lado Área = ( lado )²

Comprimento = lado

lado

lado


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Largura = lado

bb)) RReettâânngguulloo

A área de um retângulo é igual ao produto da base ( b ) pela altura ( h ):

Área = base x altura A = b x h

Comprimento = base ( h )Largura = altura ( h )

cc)) PPaarraalleellooggrraammoo

O cálculo da área do paralelogramo é igual ao do retângulo, porém, a altura é adistância entre os dois lados maiores.

Área = base x altura A = b x h

Comprimento = base ( b )Largura = altura ( h )

Exemplos: Calcule as áreas das figuras abaixo:

a) Área = ( lado )²

A = 8² = 8 x 8A = 64 m²

8 m

b) Área = base x altura 6 cm A = 12 x 6

A = 72 cm²12 cm

h

b

h b


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c) Área = base x altura 5 A = 9 x 5 A = 45 dm²

a) Uma sala retangular de 6,45 x 4,75 m, possui um pé direito de 2,80 m. Háuma porta de 0,80 x 2,10 m e um janelão de 1,50 x 2,50 m. Pergunta-se queárea deverá ser considerada para pintura ( teto e paredes ) e qual a áreade piso?


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RReeffeerrêênncciiaass bbiibblliiooggrrááffiiccaass

Chevallard, Yves; BOSCH,MARIANNA; gascón, Josep. Estudar matemáticas; oelo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artes Médicas ,2001.

EDUCAÇão matemática em revista. São Paulo: Sociedade Brasileira dematemática , 2000.

cálculo aplicado

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