pré-cálculo aula-01

Rubens Leão de Andrade

Ronaldo Freire de Lima

Pré-CálculoD I S C I P L I N A

Introdução à linguagem matemática

Autores

aula

01

2ª Edição

Material APROVADO (conteúdo e imagens)( g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________

Andrade, Rubens L. de. Pré-cálculo / Rubens L. de Andrade, Ronaldo F. de Lima. – Natal, RN : EDUFRN Editora da UFRN, 2006. 248 p. ISBN 85-7273-295-0

Conteúdo: Introdução à linguagem matemática - Os números naturais e os números intereiros. - Frações e números decimais - os números racionais - Os números reais - Polinômios e equações algébricas - Inequações algébricas e intervalos - Funções I - Funções II - Funções polinomiais - Funções afins - funções quadráticas - As funções exponencial e logarítmica - Funções trigonométricas - Funções trigonométricas inversas.

1. Número real. 2. Equação. 3. Função. I. Lima, Ronaldo F. de. II. Título. CDD 512.81RN/UF/BCZM 2006/ 29 CDU 517.13

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da UFRN -

Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEEDRonaldo Motta

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

ReitorJosé Ivonildo do Rêgo

Vice-ReitorNilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho

Secretária de Educação a DistânciaVera Lúcia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância- SEDIS

Coordenadora da Produção dos MateriaisCélia Maria de Araújo

Coordenador de EdiçãoAry Sergio Braga Olinisky

Projeto GráficoIvana Lima

Revisores de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesMarcos Aurélio Felipe

Revisora das Normas da ABNTVerônica Pinheiro da Silva

Revisoras de Língua PortuguesaJanaina Tomaz Capistrano

Sandra Cristinne Xavier da Câmara

IlustradoraCarolina Costa

Editoração de ImagensAdauto HarleyCarolina Costa

DiagramadoresBruno de Souza Melo

Adaptação para Módulo MatemáticoThaisa Maria Simplício LemosPedro Gustavo Dias Diógenes

Imagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis (Secretaria de Educação a Distância) - UFRN

Fotografias - Adauto HarleyMasterClips IMSI MasterClips Collection, 1895 Francisco Blvd,

East, San Rafael, CA 94901,USA.MasterFile – www.masterfile.com

MorgueFile – www.morguefile.comPixel Perfect Digital – www.pixelperfectdigital.com

FreeImages – www.freeimages.co.ukFreeFoto.com – www.freefoto.com

Free Pictures Photos – www.free-pictures-photos.comBigFoto – www.bigfoto.com

FreeStockPhotos.com – www.freestockphotos.comOneOddDude.net – www.oneodddude.net

Stock.XCHG - www.sxc.hu

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da UFRN -

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Aula 01 Pré-Cálculo 1

ApresentaçãoEstamos iniciando a disciplina Pré-Cálculo, que visa dar subsídios ao estudo do cálculo

diferencial.

O cálculo diferencial é uma teoria matemática que se desenvolveu ao longo do séculoXVII, principalmente com os trabalhos de dois grandes cientistas desse período, Newton eLeibniz, constituindo-se num dos fundamentos da Matemática teórica e aplicada, sobretudo,à Física.

Os objetos de estudo do cálculo diferencial são as funções, mais especificamente, asfunções reais de variável real. Sendo assim, esta disciplina tem como objetivo principaldiscutir os conceitos de número real e função.

O conteúdo é, feitas algumas exceções, igual àqueles do Ensino Médio que tratam dosmesmos assuntos. Por essa razão, o pré-cálculo tem um caráter de “curso de revisão”.No entanto, daremos a ele um direcionamento que nos permita fazer uma abordagem maismadura, que conduza você a uma compreensão mais profunda dos conceitos e resultadosenvolvidos, fornecendo-lhe condições de estabelecer conexões e, assim, obter uma visãoglobal da teoria.

Com esse propósito, faremos nesta aula uma breve introdução à linguagem matemática.Isso favorecerá bastante o entendimento dos textos deste e de outros cursos que você viera fazer, uma vez que o domínio da linguagem de uma teoria é essencial para o seu bomentendimento.

No decorrer da aula, discutiremos, então, alguns aspectos da teoria dos conjuntos e daLógica, que são a base da linguagem matemática moderna.

Objetivos

Familiarizá-lo com os principais aspectos dalinguagem matemática contemporânea, dando-lhecapacidade de ler e interpretar textos das mais diversasáreas.

Ao fim da aula, você deverá ser capaz de entenderos significados das proposições e suas respectivasnegações, bem como os métodos de demonstraçãodireta e indireta de teoremas.

1

2

Apresentação

Objetivos

Aula 01 Pré-Cálculo2

A linguagem da teoriados conjuntos

Conceitos básicos – propriedades

Conjunto, elemento e pertinência são conceitos ditos primitivos, isto é, não há umadefinição para eles. Assim, se A é uma coleção qualquer de objetos e a é um deles, dizemossimplesmente que a é um elemento de A ou, equivalentemente, que a pertence a A , erepresentamos isso simbolicamente por

a ∈ A.

Caso contrário, dizemos que a não pertence a A e escrevemosa /∈ A.

Há pelo menos duas maneiras de se descrever um conjunto. Uma é listando-se os seuselementos, por exemplo,

A = {a, e, i, o, u}.

Outra é identificando-os por uma propriedade que lhes seja comum. Por exemplo, o conjuntoA acima poderia ser descrito por

A = {x; x é vogal do alfabeto latino},

em que o símbolo “ ; ” significa tal que. Essa descrição deve ser entendida como: A é oconjunto de todos os x que satisfazem à condição, x é vogal.

Na maioria dos casos, no entanto, é impraticável, quando não impossível, descrever-seum conjunto listando-se seus elementos, o que acontece por exemplo com

B = {x; x é partícula do universo}.

Dois conjuntos A e B são ditos iguais, se todos os elementos de A são elementos deB e vice-versa. Nesse caso, escrevemos A = B. Se todos os elementos de A são elementosde B, dizemos que A está contido em B e escrevemos A ⊂ B ou, equivalentemente,que B contém A, e escrevemos B ⊃ A. Nesse caso, diz-se ainda que A é um subconjuntode B . Caso contrário, isto é, se existir pelo menos um elemento de A que não pertença aB , dizemos que A não está contido em B , e o denotamos por A �⊂ B .

Por exemplo, dados os conjuntos

A = {x; x é vogal do alfabeto latino} e B = {x; x é partícula do universo},

os conjuntos C = {a, e, i} e D = {x; x é elétron} são tais que C ⊂ A e D ⊂ B.

A relação A ⊂ B é chamada de inclusão.

A linguagem da teoria dos conjuntos

Aula 01 Pré-Cálculo 3

A inclusão tem propriedades que são conseqüências imediatas da definição. Porexemplo, se A ⊂ B e B ⊂ C , temos que todo elemento de A é elemento de B eque todo elemento de B é elemento de C . Logo, todo elemento de A é elemento de C ,donde se conclui que A ⊂ C . Essa propriedade é chamada de transitiva.

Além da transitividade, há as propriedades de reflexividade e anti-simetria. Essas sãoas três propriedades fundamentais da inclusão, as quais listamos a seguir.

Dados conjuntos quaisquer A , B e C , tem-se

reflexividade: A ⊂ A;

anti-simetria: se A ⊂ B e B ⊂ A, então, A = B;

transitividade: se A ⊂ B e B ⊂ C, então, A ⊂ C.

Vale salientar que a anti-simetria é uma propriedade bastante utilizada emdemonstrações de igualdade entre conjuntos, conforme veremos adiante.

Um conjunto pode ter outros conjuntos como elementos. Esse é o caso de A = {a, {b}}e B = {{a, b}, {c}} . Note que, nesses exemplos, tem-se {b} ∈ A e não {b} ⊂ A.Também {a, b} ∈ B e não {a, b} ⊂ B .

Dados dois ou mais conjuntos, obtém-se outros a partir destes, efetuando-se certostipos de operações como as que definiremos agora. São elas: a união e a interseção.

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. A união entre A e B , que simbolizamos porA ∪ B, é o conjunto formado por todos os elementos que estão em A ou em B , isto é,

A ∪ B = {x; x ∈ A ou x ∈ B}.

Por exemplo, se A = {a, i, o} e B = {a, e, i, u} , então, A ∪ B = {a, e, i, o, u} .

Convém observar que a conjunção “ou”, em linguagem matemática, não tem o caráterde exclusão que tem na linguagem comum. Dessa forma, quando dizemos x ∈ A oux ∈ B , deve-se entender que, pelo menos uma dessas possibilidades ocorre, não ficando,pois, excluída a possibilidade de x ser elemento de A e de B .

Como outro exemplo, suponhamos que só há dois tipos de maçãs, as verdes e asvermelhas. Então, se A é o conjunto de todas as maçãs verdes e B o de todas as maçãsvermelhas, A ∪ B é simplesmente o conjunto de todas as maçãs.

A interseção entre dois conjuntos A e B , que simbolizamos por A∩B , é o conjuntoformado por todos os elementos comuns a A e B , isto é,

A ∩ B = {x; x ∈ A e x ∈ B}.

Então, se A = {a, i, o} e B = {a, e, i, u} , tem-se A ∩ B = {a, e, i} .

Suponha que U = {x; x é ser humano} , A = {x; x ∈ U e x tem mais de 30 anos}e B = {x; x ∈ U e x tem menos de 50 anos} . Então,

A ∩ B = {x; x ∈ U e x tem idade entre 30 e 50 anos}.


Operações entre conjuntos podem também ser representadas por diagramas de Venn,conforme indicado na Figura 1.

Figura 1 – As partes hachuradas representam, respectivamente, A ∪ B e A ∩ B

Em Matemática, é comum nos depararmos com situações em que há vários conjuntosque são todos subconjuntos de um conjunto-universo U . Nesse caso, se A ⊂ U , pode-sequerer considerar o conjunto formado pelos elementos de U que não estão em A , chamadode complementar de A (com relação a U ), e denotado por Ac (Figura 2).

Figura 2 – Diagrama de Venn do complementar de um conjunto A ⊂ U

Consideremos, por exemplo, o caso em que U = {x; x é ser humano} , A = {x; x ∈U e x é do sexo masculino} e B = {x; x ∈ U e x é do sexo feminino} . Então, Ac = B

e Bc = A .

Do ponto de vista teórico, é importante definirmos um conjunto que não tenhaelementos, o que, a princípio, pode parecer estranho. No entanto, se considerarmos, porexemplo, A = {a, b, c} e B = {g, h} , temos que A ∩ B é um conjunto sem elementos,uma vez que A e B não têm elementos em comum.

O conjunto que não tem elementos é chamado de conjunto vazio, e é denotado por ∅.Partindo-se do princípio de que qualquer coisa é igual a ela mesma, temos

∅ = {x;x �= x}.

U

AAC


Atividade 1

1

2

3

4

No fim desta aula, provaremos que o vazio é subconjunto de qualquer conjunto, isto é,que se A é um conjunto qualquer, então, ∅ ⊂ A .

Descreva cada um dos conjuntos abaixo pela propriedade de seuselementos.

a) A = {quarta-feira, quinta-feira};

b) B = {Rio de Janeiro, São Paulo, Minas Gerais, Espírito Santo}.

Dados os conjuntos

A = {a, b}, B = {{a}, {b}},C = {{a}, {a, b}}, D = {{a}, {b}, {a, b}},

assinale V (verdadeiro) ou F (falso).

(a) A = B ( ) (b) A ⊂ B ( ) (c) A ⊂ C ( ) (d) A ∈ C ( )(e) A ⊂ D ( ) (f) B ⊂ C ( ) (g) B ⊂ D ( ) (h) B ∈ D ( )(i) A ∈ D ( )

Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A, e denota-se por P(A), o conjunto formado por todos os subconjuntos de A .Determine P(A) , sabendo-se que A = {a, b, c} (não esqueça queo vazio ∅ e o próprio A são subconjuntos de A ).

Verifique, através de exemplos e diagramas de Venn, as identidadesabaixo.A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).


Liguagem básica da LógicaLinguagem básica da Lógica

A Matemática, devido ao seu caráter de ciência exata, requer uma linguagem que nãodê lugar a afirmações imprecisas ou de sentido dúbio. Para tanto, faz-se uso dalinguagem proposicional, que é fundamentada numa teoria chamada Lógica.

A seguir, discutiremos alguns aspectos dessa linguagem, que será utilizada em todo odecorrer do nosso curso.

Implicações e recíprocas

As proposições em Matemática são do tipo “se P , então, Q”, em que P e Q sãosentenças. Nesse caso, a sentença P é chamada de hipótese e Q de tese. Uma proposiçãodesse tipo seria:

Se um triângulo é isósceles, então dois dos seus ângulos são congruentes. (I)

Assim, feita a hipótese de um triângulo ser isósceles, conclui-se a tese, isto é, que doisde seus ângulos são congruentes.

Proposições desse tipo podem ser enunciadas simbolicamente por

P ⇒ Q.

O símbolo (⇒) significa implica , isto é, P ⇒ Q significa que Q é uma conseqüência deP e, portanto, tem o mesmo significado de “se P , então, Q”. Nesse caso, pode-se aindaescrever Q ⇐ P . A proposição (I) poderia, então, ser enunciada como

x é triângulo isósceles ⇒ dois dos ângulos de x são congruentes.

Pode-se ainda enunciar a proposição (I) das seguintes maneiras.

1) Dois dos ângulos de um triângulo x são congruentes, se x é um triângulo isósceles.

2) Um triângulo é isósceles, somente se dois de seus ângulos são congruentes.

3) Uma condição necessária para que um triângulo seja isósceles é a de que dois de seusângulos sejam congruentes.

4) Uma condição suficiente para que dois dos ângulos de um triângulo sejam congruentes éa de que ele seja isósceles.

A


A expressão “somente se” na proposição (2), nos diz que se um triângulo não possuidois ângulos congruentes, então ele não pode ser isósceles, isto é, ter (pelo menos) doisângulos congruentes é uma condição necessária para que um triângulo seja isósceles. Poroutro lado, para se concluir que um triângulo possui dois ângulos congruentes, basta queele seja isósceles, isto é, ser isósceles é uma condição suficiente para que dois dos ângulosde um triângulo sejam congruentes.

Em suma, as proposições

a) se P , então, Q;

b) P ⇒ Q;

c) Q ⇐ P ;

d) Q, se P ;

e) P , somente se Q;

f) Q é condição necessária para P ;

g) P é condição suficiente para Q

têm o mesmo significado.

Vejamos um outro exemplo. A proposição “todo ser humano é mortal”, pode serenunciada em linguagem matemática das seguintes formas:

a) se x é ser humano, então, x é mortal;

b) x é ser humano ⇒ x é mortal;

c) x é mortal ⇐ x é ser humano;

d) x é mortal, se x é ser humano;

e) uma condição necessária para que x seja humano é a de que x seja mortal;

f) uma condição suficiente para que x seja mortal é a de que x seja humano.

A recíproca de uma proposição P ⇒ Q é, por definição, a proposição dada porQ ⇒ P .

Observemos que, independentemente do fato de P ⇒ Q ser verdadeira ou falsa,sua recíproca, Q ⇒ P, pode ser ou não uma proposição verdadeira. Como exemplo,consideremos novamente a proposição (I). Sua recíproca é

Dois dos ângulos de um triângulo x são congruentes ⇒ x é um triânguloisósceles.

Sabe-se da Geometria que (I) e sua recíproca são, ambas, verdadeiras. Esse é, então, ocaso em que são verdadeiras a proposição e também a sua recíproca. Quando isso acontece,podemos reuni-las em uma única, escrevendo (no caso do nosso exemplo)


x é triângulo isósceles ⇔ dois dos ângulos de x são congruentes.

O símbolo ⇔ significa “se, e somente se”, e é sugerido pelo fato de P ⇔ Q ter omesmo significado de P ⇒ Q e P ⇐ Q . Nesse caso, as sentenças P e Q são ditasequivalentes.

Assim, o fato de um triângulo ser isósceles é equivalente ao fato desse triângulo terdois ângulos congruentes. Dito de outra forma, pode-se caracterizar um triângulo isóscelespor qualquer uma dessas propriedades, isto é, pode-se dizer que triângulos isósceles sãoaqueles que têm dois lados congruentes ou, equivalentemente, que triângulos isósceles sãoaqueles que têm dois ângulos congruentes.

Segue-se, então, que as proposições a seguir têm, todas, o mesmo significado.

1) x é triângulo isósceles ⇔ dois dos ângulos de x são congruentes.

2) x é triângulo isósceles se, e somente se, dois dos ângulos de x são congruentes.

3) Uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja isósceles é a de quedois de seus ângulos sejam congruentes.

Retomemos agora a proposição

x é ser humano ⇒ x é mortal. (II)

Sua recíproca éx é mortal ⇒ x é ser humano.

Note que essa proposição é falsa, pois há seres vivos que são mortais e não são sereshumanos. Os gatos, por exemplo. Logo, a recíproca da proposição (II) não é verdadeira.Dito de outra forma, a condição “ser mortal” não é equivalente à condição “ser ser humano”.

ExemploEm Geometria, retângulos são paralelogramos cujos ângulos são retos e quadrados

são retângulos cujos lados são congruentes. Além disso, os retângulos são os únicosparalelogramos cujas diagonais são congruentes e os quadrados, os únicos retânguloscujas diagonais são perpendiculares. Considerando-se então o conjunto dosparalelogramos como conjunto-universo, são verdadeiras as seguintes proposições:

a) x é retângulo ⇒ x é paralelogramo;

b) x é quadrado ⇒ x é retângulo;

c) x é retângulo ⇔ as diagonais de x são congruentes;

d) x é quadrado ⇔ as diagonais de x são congruentes e perpendiculares.

Note que as recíprocas das proposições (a) e (b) não são verdadeiras.


Quantificadores – negações

As sentenças matemáticas, em geral, envolvem variáveis que são quantificadas. Porexemplo, na proposição “dados dois pontos distintos, existe uma única reta � que oscontém”, a variável � foi quantificada pela expressão existe uma única.

Expressões desse tipo são chamadas de quantificadores. Estes são

1. existe x;

2. existe um x;

3. existe um único x;

4. para todo x;

5. qualquer que seja x.

Convém observar que as sentenças (1) e (2) anteriores têm o mesmo significado, poiso artigo “um” em (2) tem o sentido de “algum”. Quando se deseja enunciar a unicidade de x

com respeito a uma propriedade qualquer, deve-se fazê-lo explicitamente, como no caso de(3). As sentenças (4) e (5), claramente, têm o mesmo significado.

Em sentenças desse tipo, podem-se usar os símbolos

∃ – existe, existe um;

∃! – existe um único;

∀ – para todo, qualquer que seja.

Vejamos um exemplo. Dado um segmento de reta AB , obtêm-se facilmente, triângulosisósceles cuja base é AB . Usando-se quantificadores, podemos dizer isso das seguintesmaneiras:

1. para todo segmento de reta AB existe um triângulo isósceles cuja base é AB ;

2. para todo segmento de reta AB existe um ponto C , tal que ABC é um triânguloisósceles de base AB ;

3. ∀AB , ∃C , tal que ABC é um triângulo isósceles de base AB .

Note que, em (1) e (2), pode-se ainda substituir a expressão “para todo” por “qualquerque seja”.

Uma proposição clássica da geometria euclidiana estabelece que três pontos nãocolineares determinam uma circunferência. Esse fato pode ser enunciado também como:

1. quaisquer que sejam os pontos não colineares A,B, C , existe uma única circunferênciaγ que contém A , B e C ;

2. ∀ A,B, C não colineares, ∃! γ , tal que γ é uma circunferência e A,B, C ∈ γ .


Ao longo de uma argumentação matemática, é muitas vezes necessário negar certassentenças segundo as regras da Lógica. Nesse contexto, a negação de “todo triângulo éisósceles”, é “existe um triângulo que não é isósceles”, e não “nenhum triângulo é isósceles”,isto é, para negarmos o fato de que todos os triângulos são isósceles, basta exibirmos umque não o seja.

Dessa forma, a negação de uma sentença do tipo “para todo x ∈ A , x tem apropriedade P” é “existe um x ∈ A , tal que x não tem a propriedade P ”, e vice-versa. Anegação de uma sentença S é denotada por ∼ S [lê-se não S].

ExemploNegar as seguintes proposições:

P1− Dadas duas retas distintas � e m , existe um ponto P , tal que P ∈ � ∩ m ;

P2− Dados dois pontos distintos A e B , existe uma única reta � que os contém.

A proposição P1 afirma que quaisquer que sejam as retas distintas � e m, estas têmum ponto em comum, portanto, sua negação é:

∼ P1− Existem duas retas distintas � e m , tais que � ∩ m = ∅ .

Quanto à proposição P2 , observemos que há duas formas de contrariá-la. Uma seriaobter um par de pontos A,B , tais que nenhuma reta os contenha; outra seria obter A,B ,tais que mais de uma reta os contenha, isto é, a negação da sentença “existe um único x

com a propriedade P” é “não existe x com a propriedade P” ou “existe mais de um x

com a propriedade P”. Assim, a negação de P2 é:

∼ P2− Existem pontos distintos A,B , tais que reta alguma os contém ou existempontos distintos A,B , tais que mais de uma reta os contém.

Em linguagem simbólica, essas proposições escrevem-se como:

P1− ∀�,m , ∃P , tal que P ∈ � ∩ m ;

∼ P1− ∃�,m , tais que � ∩ m = ∅ ;

P2− ∀A,B , A �= B , ∃!� , tal que A,B ∈ � ;

∼ P2− ∃A,B , A �= B , tais que ∀� , A /∈ � ou B /∈ � ou ∃A,B , A �= B e ∃�,m ,� �= m , tais que A,B ∈ � ∩ m .

Para finalizar esta seção, observemos que as proposições P ⇒ Q e ∼ Q ⇒∼ P têmo mesmo significado e, portanto, são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Esse é o caso, porexemplo, de

1. x é ser humano ⇒ x é mortal;

2. x não é mortal ⇒ x não é ser humano;

que são, ambas, verdadeiras.


Teoremas e demonstrações

As teorias em Matemática são estabelecidas através de um conjunto de proposiçõesdivididas em duas categorias: a dos axiomas e a dos teoremas.

Os axiomas são proposições consideradas intrinsecamente verdadeiras e, por isso,não são passíveis de demonstração. São, por assim dizer, o “ponto de partida” da teoria.Qualquer outra proposição que não seja um axioma é dita um teorema. Assim, teoremassão proposições que admitem uma demonstração, isto é, podem ser deduzidos a partir dosaxiomas. Por exemplo, em Geometria, a proposição

(A) – se A,B são dois pontos distintos, então existe uma única reta � que contém A eB – é um axioma, enquanto a proposição

(T) – se ABC é um triângulo, então a soma dos seus ângulos internos é igual a 180◦ –é um teorema.

Um teorema pode também ser chamado simplesmente de proposição . No caso de umteorema ser uma conseqüência imediata de um outro, chamamo-lo corolário. Um teoremacujo resultado é utilizado apenas na demonstração de um outro que lhe é subseqüente échamado de lema.

Um corolário do teorema T anterior seria

(C) – se ABC é um triângulo retângulo, então a soma dos seus ângulos agudos é iguala 90◦.


Relembremos que uma proposição matemática, em particular um teorema, semprepode ser escrita na forma P ⇒ Q. Demonstrar um teorema significa concluir a tese Q

a partir de uma argumentação lógica legítima, isto é, uma série de argumentos baseadosnos princípios básicos da Lógica, valendo-se da hipótese P , de definições, e de outrosresultados previamente estabelecidos, como os axiomas.

Como exemplo, vamos enunciar a propriedade de transitividade da inclusão de conjuntosna forma de um teorema e fornecer a sua demonstração.

Teorema 1 – Se A, B e C são conjuntos, tais que A ⊂ B e B ⊂ C, entãoA ⊂ C.

Demonstração – Temos, por hipótese, que A, B e C são tais que A ⊂ B e B ⊂ C,enquanto, a tese, que é o que queremos concluir, é a de que A ⊂ C. Pela definição deinclusão, devemos provar que, para todo x ∈ A, tem-se x ∈ C. Suponhamos então x ∈ A.Como A ⊂ B, temos que x ∈ B. Porém, B ⊂ C, o que implica x ∈ C, como queríamosprovar.

Vejamos agora como se pode usar a propriedade de anti-simetria da inclusão para sedemonstrar a identidade do item 4(a) da Atividade 1 desta aula.

Teorema 2 – Se A, B e C são conjuntos, então A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).

Demonstração – Vamos provar inicialmente que A ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).Para isso, suponhamos que x ∈ A ∩ (B ∪ C). Então, x é um elemento de A e tambémum elemento de B ou C. Logo, x é um elemento de A e de B ou um elemento de A

e de C, isto é, x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Pela definição de inclusão, concluímos queA ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Provemos agora a inclusão contrária, isto é, (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C) .Suponhamos então que x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩C) . Nesse caso, x é elemento de A e B ouelemento de A e C . Em ambos os casos, x é elemento de A , logo, x é elemento de A

e elemento de B ou C , isto é, x ∈ A ∩ (B ∪ C) , o que nos dá (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊂A ∩ (B ∪ C) .

Como provamos que A ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊂A ∩ (B ∪ C) , segue-se da propriedade de anti-simetria da inclusão que A ∩ (B ∪ C) =(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) .

Uma técnica de demonstração bastante utilizada em Matemática é a tão chamadaredução ao absurdo. Essa técnica consiste em demonstrar uma proposição P ⇒ Q,acrescentando-se a negação da tese Q ao conjunto de hipóteses. Em seguida, por meiode uma argumentação lógica legítima, deve-se chegar a uma contradição, também chamadade absurdo, que é a negação da hipótese ou de algum resultado previamente estabelecido.


Tomemos como exemplo a proposição “duas retas de um plano, distintas e não-paralelas, intersectam-se num único ponto”. Vamos enunciá-la na forma de teorema edemonstrá-la usando a técnica de redução ao absurdo.

Teorema 3 – Se � e m são retas de um plano, distintas e não-paralelas, entãoexiste um único ponto P tal que P ∈ � ∩ m .

Demonstração – Observemos inicialmente que, por hipótese, as retas � e m devemintersectar-se em algum ponto, pois estas são não-paralelas. Então, a negação da tese é:existem pontos distintos P1, P2 , tais que P1, P2 ∈ � ∩ m . Vamos supor que seja este ocaso e chegar a uma contradição.

Bem, uma vez que os pontos P1 e P2 são distintos, pelo axioma (A) anterior, existeuma única reta que os contém. Como estamos supondo P1, P2 ∈ � ∩ m , isso nos leva aconcluir que � = m . No entanto, essa igualdade nega a hipótese de � e m serem retasdistintas, o que é absurdo.

Uma vez que a negação da tese nos levou a uma contradição, concluímos que aproposição é verdadeira, isto é, que o ponto de interseção entre � e m é, de fato, único.

Finalizaremos agora com outro exemplo de demonstração por redução ao absurdo,mostrando que o vazio é subconjunto de qualquer conjunto A . Antes, porém, vale salientarque a negação de A ⊂ B é A �⊂ B , cujo significado é existe x ∈ A , tal que x /∈ B .

Teorema 4 – Se A é um conjunto, então ∅ ⊂ A .

Demonstração – Suponhamos, por absurdo, que ∅ �⊂ A. Então, existe x ∈ ∅, tal quex /∈ A. Isso, porém, é uma contradição, pois, por definição, o conjunto vazio não temelementos. Como a hipótese ∅ �⊂ A nos levou a uma contradição, concluímos que ∅ ⊂ A .


Atividade 2

1

2

3

4

5

Reescreva cada uma das afirmações abaixo, usando a linguagem pro-posicional.

a) Todos os matemáticos são cientistas.

b) Todos os filósofos são cientistas ou professores.

Reescreva cada uma das afirmações abaixo, usando quantificadores.

a) Alguns matemáticos são professores.

b) Alguns cientistas são filósofos.

c) Nem todo professor é cientista.

Tome as cinco afirmações dos exercícios 1 e 2 como hipóteses everifique quais das afirmações abaixo são verdadeiras. Reescrevatodas elas em linguagem matemática.

a) Alguns matemáticos são filósofos.

b) Nem todo filósofo é cientista.

c) Alguns filósofos são professores.

d) Se um filósofo não é matemático, ele é professor.

e) Alguns filósofos são matemáticos.

Enuncie a identidade do item 4(b) da Atividade 1 desta aula na formade teorema e demonstre-o.

Sejam A1, A2 e B1, B2 subconjuntos de um conjunto-universo U .Suponha que A1 ∪ A2 = U e B1 ∩ B2 = ∅. Suponha ainda queA1 ⊂ B1 e A2 ⊂ B2. Prove que A1 = B1 e A2 = B2.


ResumoNesta aula, estudamos as relações de inclusão e as operações entre conjuntos.Vimos o significado das implicações lógicas, suas recíprocas e negações, bemcomo os conceitos de teorema e demonstração. Por fim, vimos a técnica dedemonstração por redução ao absurdo.

Auto-avaliaçãoTente encontrar proposições em livros de Matemática, sobretudo de Geometria,e reescreva-as de uma maneira diferente daquela que está no texto. Verifiquequais são as recíprocas e se elas são verdadeiras ou não. Caso estejafamiliarizado com a teoria do texto que você escolheu, tente demonstraralgumas dessas proposições e também identificar demonstrações por reduçãoao absurdo.

ReferênciasCARVALHO, Paulo César et al. A matemática do ensino médio. 1.v. Rio de Janeiro:Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.

COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert. O que é matemática?: uma abordagem elementarde métodos e conceitos. 2.ed. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2000.

Auto-avaliação

Referências


Anotações

pré-cálculo aula-01

Documents