10ª aula de cálculo 1

1

Cálculo 1 – Prof Mestre Matusalém Vieira Martins – Aula

Limites

A idéia de limites

Seja a função f: definida por f(x) = x + 1

Para obtermos valores y “próximos de 4”, devemos tomar valores de x “próximos a 3”

Se quisermos y, talque 3,9 < y < 4,1

Tomaremos x, 2,9 < x < 3,1

Observe o quadro:

Valores próximos de f(x) Valores próximos x

3,9 < y < 4,1 2,9 < x < 3,1

3,99 < y < 4,01 2,99 < x < 3,01

3,999 < y < 4,001 2,999 < x < 3,001

: :

3,999999 < y < 4,000001 2,999999 < x < 3,000001

Observe que, à medida que f(x) se aproxima de 4 (por valores maiores ou menores) x se

aproxima de 3 (por valores maiores ou menores).

Dizemos então, que o limite f(x) é 4 quando x tende a 3 e indicamos por:

lim3x

f(x) = 4

Vizinhança de um ponto

Dado o intervalo aberto (a,b)

2


Se x0 é um ponto desse intervalo, então dizemos que esse intervalo é uma vizinhança de x0

- Vizinhança simétrica de x0.

Dizemos que (a, b) é uma vizinhança simétrica de x0, se x0 é o ponto médio de (a, b).

Indicaremos vizinhança simétrica por V(x0, r).

Lê-se: “vizinhança de x0, com raio r”.

V(x0, r) = (x0 – r, x0 + r)

Exemplo:

1) A vizinhança V(4,2) tem x0 = 4 e r = 2 , daí

V (4, 2) = (4 – 2, 4 + 2)

= (2, 6)

Definição de Limite

Limites laterais de uma função e limites infinitos

x

3


a) Considere a função f(x), representada no gráfico a seguir:

Observe que para valores de x próximos de 3 pela esquerda, f(x) tende a 4, e indicamos

4)x(flim3X

Agora quando tomamos valores de x próximos de 3 pela direita, f(x) tende a 6 e

indicamos por 6)x(flim3x

Estes limites são chamados limites laterais da função f(x).

Observe que )x(f)x(f limlim3x3x

Só existira o limite de uma função para x tendo a um determinado valor, se os limites

laterais dessa função forem iguais.

b)

Observe que:

)x(fe)x(f limlim6x6x

logo

)x(flim6x

Exemplos:

4


1) Esboçar o gráfico da função f, definida por

4xse,x

4x0se,2

0xse,x

, verificar se existem

)x(fe)x(f limlim4x0x

2)x(fe0)x(f limlim0x0x

4)x(fe2)x(f limlim4x4x

2) Seja a função f(x) = -3 + 3. Obter os seguintes limites:

a)

)x(flim4x

b)

)x(flimx

c) )x(flimx

5


a) = -1 b) = - c) = +

3) Seja f: definida por: f(x) =

1xse,ax2

1xse,2x5 , determinar o valor de a para que

exista )x(flim1x

- )x(flim1x

= (S . 1 + 2 = 7 )x(f)x(f limlim1x1x

- )x(flim1x

= (2 . 1 + a) = 2 + a 7 = 2 + a

a = 5

Continuidade de funções Sejam f(x) uma função de domínio D e a um valor de D. Dizemos que f(x) é

contínua em (a) se: )a(f)x(flimax

Em decorrência da definição, dizemos que uma função f(x) é contínua em (a) nas

seguintes condições:

Existe f(a)

Existe )x(flimax

)a(f)x(flimax

Exemplos:

1) Verificar se a função f(x) =

1

1.3

x

xx é descontínua em x = 1

A função f(x) é descontínua em x = 1, pois ela não é definida nesse valor.

f(1) =

0

0

11

1131

(indeterminação)

6


2) Verificar se a função f(x) = 3x + 1 é contínua em x = 1

Pelas três condições temos:

Existe f(1):

f(1) = 3 . (1) + 1

= 4

Existe

)1(flim1x

4)x(f)x(f limlim1x1x

,4)1(f)x(flim1x

, portanto f(x) = 3x + 1 é contínua em x = 1

3) Determine m ,m de modo que a função f(x) =

2xse,1m2

2xse,3x4x2

seja

contínua em x = 2

132423x4x22

2xlim

para que f(x) seja contínua em x = 2, devemos ter:

1m212f)x(flim2x

1m

2m2

Propriedades operatórias dos limites 1ª Propriedade: Limite de uma função constante

k)x(flimax

, f(x) = k

Exemplo:

7


f(x) = 5 , 55lim2x

2ª Propriedade: Limite de uma soma (ou diferença) algébrica

cb)x(g)x(f)x(g)x(f limlimlimaxaxax

Exemplo:

182416xxxxxx limlimlimlim2x

2

2x

4

2x

24

2x

3ª Propriedade: Limite de um produto

c.b)x(g.)x(f)x(g.)x(f limlimlimaxaxax

Exemplo:

82.4x.4x4 limlimlim2x2x2x

4ª Propriedade: Limite de um quociente

c

b

)x(g

)x(f

)x(g

)x(f

lim

limlim

ax

sx

ax

Exemplo:

1x

3x

1x

3x

1x

3x

limlim

limlim

lim

limlim

1x1x

1x

2

1x

1x

2

1x2

1x

5ª Propriedade: Limite de uma potência

n

n

ax

n

ax

b)x(f)x(f limlim

Exemplo:

93xx2

2

3x

2

3xlimlim

6ª Propriedade: Limite de um radical n

n

ax

n

ax

b)x(f)x(f limlim

Exemplo:

5x2x2 limlim3x3x

8


7ª Propriedade: Limite de um logarítmo

blog)x(flogxflogc

axcc

axlimlim

Exemplo:

6logx2logx2log limlim3x3x

8ª Propriedade: Limite de uma função polinomial

)a(f)x(flimax

Exemplo:

1)1288()1xx2x(23

2xlim

Indeterminação na forma 0

0

Exemplo:

1) Calcular 0

0

10x3x

6x5x

10x3x

6x5x2

2x

2

2x

2

2

2x lim

limlim

Neste caso vamos fatorar as duas funções:

x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) e

x2 – 3x – 10 = (x + 2) (x – 5) e daí temos

7

1

5x

3x

5x2x

3x2xlimlim

2x2x

2) Calcular: 0

0

3x

3xlim

3x

então:

Devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de 3x

3x

1

3x3x

3x

3x

3x.

3x

3x

6

3

3

3.

32

1

33

1

3x

1lim

3x

Limite de uma função polinomial para x tendo a e a

9


n

nxx

xa)x(f limlim

Exemplos:

1) Calcular:

a) 1xxx523

xlim

b) 1xxx523

xlim

3

x

x5lim

3

x

x5lim

2) Calcular:

2xx3

1x2x62

2

xlim (indeterminação)

23

6

x

2

x

13

x

1

x

26

x

2

x

x

x

x3

x

1

x

x2

x

x6

2xx3

1x2x6

2

2

222

2

222

2

2

2

xlim

3) Calcular:

a) 2xx

1x2x2

3

xlim

x

x

x

x

x

limlimlim

lim

x2

3

x2

x

3

x

b)

0x

3

x

x3

x

x3

xx

xx3

limlimlim

lim

lim

x3

2

x3

x

2

x

3

2

x

4) Calcular:

10


a)

1xx2x323

xlim

3

x

23

x

x31xx2x3 limlim

1xx2x323

xlim

5) Calcular:

1x

x

2xlim

1

x

11

1

x

11x

x

x

11x

x

2

x

2

x

2

2xlimlimlim

6) Calcular: x3xlimx

x3x limlimxx

(indet.)

0x3x

3x3x limlim

xx

x3x

3

x3x

x3x

x3x

x3x.x3x

Limites fundamentais

Limite trigonométrico fundamental

1x

xsenlim

0x

Exemplo:

Calcular x3

x4senlim

0x

3

4

3

4.1

3

4.

x4

x4senlimlim

0x0x

Limite exponencial fundamental

...718,2c,cx

11

x

xlim

Logarítmo neperiano

Limite do logarítmo neperiano

11


1ae0acom,alnx

1ax

0xlim

a

clogaln

Exemplo:

1) Calcular

x

x x

81lim

8

8y

x

y8

x

cy8xy

1

x

8

y

11

y

11 limlim

2) Determinar x

13x

0xlim

3ln

x

13x

0xlim

12


Exercícios de Limites

1) Com base da função representada no gráfico, calcule:

a) )x(flim2x

b) )x(flim2x

c) )x(flim0x

2) Considere a função f(x), assim definida:

1xse,1x2

1xse,1x2)x(f

Esboce o gráfico dessa função e determine:

a) )x(flim1x

b) )x(flim1x

c) )x(flim1x

3) Seja a função f: dada por y = -x2 + x + 2. Determine:

a) ylim3x

b) ylimx

c) limx

4) Dado o gráfico da função f(x), calcule os limites pedidos:

a) )x(flimx

b) )x(flimx

13


5) Calcule os limites:

a)

5lim2x

f)3

2x

x2lim

k) 3

xlog3

2xlim

b) 8xlim3x

g)2

3x

x3lim

l) 3xx2

2xlim

c) x7lim2x

h) x1

xlim

0x

m) 7xx2

3xlim

d) x4

1xlim

0x

i) x2loglim5x

n) 4x2x32

1xlim

e) x

xsenlim

2x

j) 1xx2

5xlim

o) 3x3x223

2xlim

6) Sendo ,6)x(ge4)x(f limlimaxax

calcule:

a) )x(g)x(flimax

e) )x(flimax

b) )x(g.5limax

f) )x(glog6

axlim

c) )x(f

)x(glim

ax

g) )x(g.)x(floglimax

d) 3ax

)x(flim

7) Calcule b e c, sabendo que 5cbxe9cbx limlim1x2x

8) Calcule os seguintes limites:

a) 5x

x5x2

5xlim

b) 2x

x2x2

2xlim

c) 4x

2x2

2xlim

d) 3x

18x3x2

3xlim

14


e) 1x

1xlim

1x

9) Calcule:

a) 1x3limx

b) 1x3limx

c) 1x3limx

d) 1x3limx

10) Calcule:

a) 1xxx234

xlim

b) 2x3x33

xlim

c) 235

x

xxx2lim

11) Calcule:

a) 32

23

x x7xx5

4x3x2lim

b) 8xx5

7xx33

23

xlim

c) 1xx7

8x6x23

24

xlim

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