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Cálculo 1 – Prof Mestre Matusalém Vieira Martins – Aula
Limites
A idéia de limites
Seja a função f: definida por f(x) = x + 1
Para obtermos valores y “próximos de 4”, devemos tomar valores de x “próximos a 3”
Se quisermos y, talque 3,9 < y < 4,1
Tomaremos x, 2,9 < x < 3,1
Observe o quadro:
Valores próximos de f(x) Valores próximos x
3,9 < y < 4,1 2,9 < x < 3,1
3,99 < y < 4,01 2,99 < x < 3,01
3,999 < y < 4,001 2,999 < x < 3,001
: :
3,999999 < y < 4,000001 2,999999 < x < 3,000001
Observe que, à medida que f(x) se aproxima de 4 (por valores maiores ou menores) x se
aproxima de 3 (por valores maiores ou menores).
Dizemos então, que o limite f(x) é 4 quando x tende a 3 e indicamos por:
lim3x
f(x) = 4
Vizinhança de um ponto
Dado o intervalo aberto (a,b)
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Se x0 é um ponto desse intervalo, então dizemos que esse intervalo é uma vizinhança de x0
- Vizinhança simétrica de x0.
Dizemos que (a, b) é uma vizinhança simétrica de x0, se x0 é o ponto médio de (a, b).
Indicaremos vizinhança simétrica por V(x0, r).
Lê-se: “vizinhança de x0, com raio r”.
V(x0, r) = (x0 – r, x0 + r)
Exemplo:
1) A vizinhança V(4,2) tem x0 = 4 e r = 2 , daí
V (4, 2) = (4 – 2, 4 + 2)
= (2, 6)
Definição de Limite
Limites laterais de uma função e limites infinitos
x
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a) Considere a função f(x), representada no gráfico a seguir:
Observe que para valores de x próximos de 3 pela esquerda, f(x) tende a 4, e indicamos
4)x(flim3X
Agora quando tomamos valores de x próximos de 3 pela direita, f(x) tende a 6 e
indicamos por 6)x(flim3x
Estes limites são chamados limites laterais da função f(x).
Observe que )x(f)x(f limlim3x3x
Só existira o limite de uma função para x tendo a um determinado valor, se os limites
laterais dessa função forem iguais.
b)
Observe que:
)x(fe)x(f limlim6x6x
logo
)x(flim6x
Exemplos:
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1) Esboçar o gráfico da função f, definida por
4xse,x
4x0se,2
0xse,x
, verificar se existem
)x(fe)x(f limlim4x0x
2)x(fe0)x(f limlim0x0x
4)x(fe2)x(f limlim4x4x
2) Seja a função f(x) = -3 + 3. Obter os seguintes limites:
a)
)x(flim4x
b)
)x(flimx
c) )x(flimx
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a) = -1 b) = - c) = +
3) Seja f: definida por: f(x) =
1xse,ax2
1xse,2x5 , determinar o valor de a para que
exista )x(flim1x
- )x(flim1x
= (S . 1 + 2 = 7 )x(f)x(f limlim1x1x
- )x(flim1x
= (2 . 1 + a) = 2 + a 7 = 2 + a
a = 5
Continuidade de funções Sejam f(x) uma função de domínio D e a um valor de D. Dizemos que f(x) é
contínua em (a) se: )a(f)x(flimax
Em decorrência da definição, dizemos que uma função f(x) é contínua em (a) nas
seguintes condições:
Existe f(a)
Existe )x(flimax
)a(f)x(flimax
Exemplos:
1) Verificar se a função f(x) =
1
1.3
x
xx é descontínua em x = 1
A função f(x) é descontínua em x = 1, pois ela não é definida nesse valor.
f(1) =
0
0
11
1131
(indeterminação)
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2) Verificar se a função f(x) = 3x + 1 é contínua em x = 1
Pelas três condições temos:
Existe f(1):
f(1) = 3 . (1) + 1
= 4
Existe
)1(flim1x
4)x(f)x(f limlim1x1x
,4)1(f)x(flim1x
, portanto f(x) = 3x + 1 é contínua em x = 1
3) Determine m ,m de modo que a função f(x) =
2xse,1m2
2xse,3x4x2
seja
contínua em x = 2
132423x4x22
2xlim
para que f(x) seja contínua em x = 2, devemos ter:
1m212f)x(flim2x
1m
2m2
Propriedades operatórias dos limites 1ª Propriedade: Limite de uma função constante
k)x(flimax
, f(x) = k
Exemplo:
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f(x) = 5 , 55lim2x
2ª Propriedade: Limite de uma soma (ou diferença) algébrica
cb)x(g)x(f)x(g)x(f limlimlimaxaxax
Exemplo:
182416xxxxxx limlimlimlim2x
2
2x
4
2x
24
2x
3ª Propriedade: Limite de um produto
c.b)x(g.)x(f)x(g.)x(f limlimlimaxaxax
Exemplo:
82.4x.4x4 limlimlim2x2x2x
4ª Propriedade: Limite de um quociente
c
b
)x(g
)x(f
)x(g
)x(f
lim
limlim
ax
sx
ax
Exemplo:
1x
3x
1x
3x
1x
3x
limlim
limlim
lim
limlim
1x1x
1x
2
1x
1x
2
1x2
1x
5ª Propriedade: Limite de uma potência
n
n
ax
n
ax
b)x(f)x(f limlim
Exemplo:
93xx2
2
3x
2
3xlimlim
6ª Propriedade: Limite de um radical n
n
ax
n
ax
b)x(f)x(f limlim
Exemplo:
5x2x2 limlim3x3x
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7ª Propriedade: Limite de um logarítmo
blog)x(flogxflogc
axcc
axlimlim
Exemplo:
6logx2logx2log limlim3x3x
8ª Propriedade: Limite de uma função polinomial
)a(f)x(flimax
Exemplo:
1)1288()1xx2x(23
2xlim
Indeterminação na forma 0
0
Exemplo:
1) Calcular 0
0
10x3x
6x5x
10x3x
6x5x2
2x
2
2x
2
2
2x lim
limlim
Neste caso vamos fatorar as duas funções:
x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) e
x2 – 3x – 10 = (x + 2) (x – 5) e daí temos
7
1
5x
3x
5x2x
3x2xlimlim
2x2x
2) Calcular: 0
0
3x
3xlim
3x
então:
Devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de 3x
3x
1
3x3x
3x
3x
3x.
3x
3x
6
3
3
3.
32
1
33
1
3x
1lim
3x
Limite de uma função polinomial para x tendo a e a
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n
nxx
xa)x(f limlim
Exemplos:
1) Calcular:
a) 1xxx523
xlim
b) 1xxx523
xlim
3
x
x5lim
3
x
x5lim
2) Calcular:
2xx3
1x2x62
2
xlim (indeterminação)
23
6
x
2
x
13
x
1
x
26
x
2
x
x
x
x3
x
1
x
x2
x
x6
2xx3
1x2x6
2
2
222
2
222
2
2
2
xlim
3) Calcular:
a) 2xx
1x2x2
3
xlim
x
x
x
x
x
limlimlim
lim
x2
3
x2
x
3
x
b)
0x
3
x
x3
x
x3
xx
xx3
limlimlim
lim
lim
x3
2
x3
x
2
x
3
2
x
4) Calcular:
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a)
1xx2x323
xlim
3
x
23
x
x31xx2x3 limlim
1xx2x323
xlim
5) Calcular:
1x
x
2xlim
1
x
11
1
x
11x
x
x
11x
x
2
x
2
x
2
2xlimlimlim
6) Calcular: x3xlimx
x3x limlimxx
(indet.)
0x3x
3x3x limlim
xx
x3x
3
x3x
x3x
x3x
x3x.x3x
Limites fundamentais
Limite trigonométrico fundamental
1x
xsenlim
0x
Exemplo:
Calcular x3
x4senlim
0x
3
4
3
4.1
3
4.
x4
x4senlimlim
0x0x
Limite exponencial fundamental
...718,2c,cx
11
x
xlim
Logarítmo neperiano
Limite do logarítmo neperiano
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1ae0acom,alnx
1ax
0xlim
a
clogaln
Exemplo:
1) Calcular
x
x x
81lim
8
8y
x
y8
x
cy8xy
1
x
8
y
11
y
11 limlim
2) Determinar x
13x
0xlim
3ln
x
13x
0xlim
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Exercícios de Limites
1) Com base da função representada no gráfico, calcule:
a) )x(flim2x
b) )x(flim2x
c) )x(flim0x
2) Considere a função f(x), assim definida:
1xse,1x2
1xse,1x2)x(f
Esboce o gráfico dessa função e determine:
a) )x(flim1x
b) )x(flim1x
c) )x(flim1x
3) Seja a função f: dada por y = -x2 + x + 2. Determine:
a) ylim3x
b) ylimx
c) limx
4) Dado o gráfico da função f(x), calcule os limites pedidos:
a) )x(flimx
b) )x(flimx
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5) Calcule os limites:
a)
5lim2x
f)3
2x
x2lim
k) 3
xlog3
2xlim
b) 8xlim3x
g)2
3x
x3lim
l) 3xx2
2xlim
c) x7lim2x
h) x1
xlim
0x
m) 7xx2
3xlim
d) x4
1xlim
0x
i) x2loglim5x
n) 4x2x32
1xlim
e) x
xsenlim
2x
j) 1xx2
5xlim
o) 3x3x223
2xlim
6) Sendo ,6)x(ge4)x(f limlimaxax
calcule:
a) )x(g)x(flimax
e) )x(flimax
b) )x(g.5limax
f) )x(glog6
axlim
c) )x(f
)x(glim
ax
g) )x(g.)x(floglimax
d) 3ax
)x(flim
7) Calcule b e c, sabendo que 5cbxe9cbx limlim1x2x
8) Calcule os seguintes limites:
a) 5x
x5x2
5xlim
b) 2x
x2x2
2xlim
c) 4x
2x2
2xlim
d) 3x
18x3x2
3xlim
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e) 1x
1xlim
1x
9) Calcule:
a) 1x3limx
b) 1x3limx
c) 1x3limx
d) 1x3limx
10) Calcule:
a) 1xxx234
xlim
b) 2x3x33
xlim
c) 235
x
xxx2lim
11) Calcule:
a) 32
23
x x7xx5
4x3x2lim
b) 8xx5
7xx33
23
xlim
c) 1xx7
8x6x23
24
xlim