CÁLCULO NUMÉRICO

Aula 5 – Sistema de Equações lineares

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA

Métodos diretos e iterativos para a

resolução de sistemas lineares: Método de Gauss Jordan; Método da Gauss Jacobi.

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MÉTODO DE GAUSS - JORDAN

• Um dos métodos utilizados na resolução de sistemas lineares é o de Gauss-Jordan;• Consiste em gerar uma matriz diagonal (elementos que não pertencem à diagonal principal, iguais a zero);• Operações elementares serão efetuadas com as linhas / colunas;• Não é iterativo e sim um método direto pois conduz à solução exata a menos de erros de arredondamento, introduzidos pela máquina, após um número finito de passos.

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ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES

9234327

zyxzyxzyx

41.0.02.01.01.0.01

zyxzyxzyx

921341327111

410020101001

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ESCALONAMENTO

• A primeira linha deve manter apenas o “x”, a segunda linha apenas o “y” e a terceira linha apenas o “z”;• Para eliminarmos o “2x” da segunda linha podemos multiplicar a primeira linha por (-2):

4327

zyxzyx

103.0

43214222

zyx

zyxzyx

Nova segunda linha

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ESCALONAMENTO

• Para eliminarmos o “3x” da terceira linha podemos multiplicar a primeira linha por (-3):

9237

zyxzyx

124.0

92321333

zyx

zyxzyx

Nova terceira linha

124.0 zyx

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ESCALONAMENTO

• Sistema com as modificações:

• Com operações semelhantes eliminamos: “y” e “z” da primeira linha; “z” da segunda linha; “y” da terceira linha.

REPOSTA:x =1 , y = 2 e z = 4

124.0103.0

7

zyxzyx

zyx

41.0.02.01.01.0.01

zyxzyxzyx

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MÉTODO DE GAUSS - JACOBI

• Considere um sistema linear com “n” equações e “n” incógnitas; • Método iterativo que consiste em uma solução inicial (x(0), y(0), z(0)...) que será substituída na expressão de recorrência e testada segundo um critério de parada;• Fórmula de recorrência:

11

)(1

)(313

)(2121)1(

1......(

axaxaxabxknn

kkk

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MÉTODO DE GAUSS - JACOBI

• Critério de parada: O número de iterações; Erro relativo

• Teste de convergência do método: se o sistema linear satisfaz o critério das linhas então o método de Gauss-Jacobi converge.

)1(1

)()1(1)1(

max

maxkini

ki

kinik

x

xxM

kk

kjj

kj

k a

a

a

1

1max 1 knk a

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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.1

• Avalie a convergência do método de Gauss-Jacobi para o sistema linear abaixo

• Como amáximo = 0,5 < 1, há convergência.

61032857210

321

321

321

xxxxxxxxx

3,01012

1

a 4,0511

2

a 5,01032

3

a

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Início (ALGORITMO CONVERGÊNCIA) max 0 Para i = 1 até n faça Soma 0 Para j = 1 até n faça Se i j Soma Soma + aij Fim se Fim para Soma Soma /aii Se max < soma max Soma Fim para

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(ALGORITMO GAUSS JACOBI)Início convergência cont 0 Repetir cont cont + 1; num 0; den 0 Para i = 1 até n faça yi 0 Para j = 1 até n faça Se i j então yi yi + aij * yj Fim para yi (bi - yj )/aij

Se num < yi - xi então num yi - xi Se den < yi então den yi Fim Parax yAté (num/den < e )Fim-Se

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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2

• Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Jacobi com precisão de 0,01.

• Convergência:

• Convergência após mudança de linhas:

• Como amáximo = 0,40 < 1, há convergência.

18516876

18576168

zyxzyxzyx

zyxzyxzyx

9118

1

a

33,0611

1

a 25,0811

2

a 40,0511

3

a

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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2

• Fórmulas de recorrência:• Valores iniciais: x(0) = 0; y(0) = 0; z(0) = 0;

• Iterações:

Primeira:

518;

816;

67 yxzzxyzyx

6000,350018

0000,28

0016

1667,16007

)1(

)1(

)1(

z

y

x

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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2 Segunda:

Terceira:

9667,25

21667,118

3042,28

6,31667,116

9,06

6,327

)2(

)2(

)2(

z

y

x

9592,253042,29,018

2583,289667,29,016

0562,16

96667,23042,27

)3(

)3(

)3(

z

y

x

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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2 Quarta:

Quinta:

9371,25

2583,20562,118

2379,28

9592,20562,116

0498,16

9592,22583,27

)4(

)4(

)4(

z

y

x

9425,25

2379,20498,118

2359,28

9371,20498,116

0501,16

9371,22379,27

)5(

)5(

)5(

z

y

x

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RESUMINDO

Nesta aula vocês estudaram:

A resolução de sistemas lineares: Método direto; Método Iterativo.

Algoritmo do método de Gauss-

Jacobi.