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Aula 01: Noes de Limites de uma funo a uma varivel realDisciplinaClculo I

Professor Paulo Roberto Sousa DavidInstituto Federal deEducao, Cincia e Tecnolgica do Par

SumrioBreve Histrico;Noo Intuitiva de LimiteO que Limite?Qual a motivao para o desenvolvimento do Clculo?Um problema para ser estudado.DefiniesDefinio Informal de LimiteDefinio Informal de Limite LateralTeorema: Unicidade de um Limite1. Breve HistricoIsaac NewtonNasceu em Woolsthorpe, Inglaterra;Em 1661, entrou no Trinity College, em Cambridge;Em 1665 e 1666, descobriu o clculo, princpios bsicos do movimento planetrio e da gravitao, etc;Em 1667 voltou a Cambridge, da por diante o fluxo de descobertas brilhantes foi contnuo;Somente em 1687, persuadido por Edmond Halley, publicou sua obra-prima Philosophiae Naturalis Principia Mathematica,Em 1705 foi nomeado cavaleiro (Sir Isaac Newton);Morreu em 1727 aps um longo perodo de depresso.

Isaac Newton1. Breve Histrico (cont.)

Gottfried LeibnizGottfried LeibnizNasceu em Leipzig, Alemanha;Seu pai morreu quando Leibniz tinha 6 anos. Da o menino precoce passou a ter acesso a biblioteca do pai;Com 15 anos entrou na Universidade de Leiptig como estudante de direito;Com 20 anos recebeu o ttulo de doutor ;Seguiu carreira em leis e em poltica internacional, atuando como conselheiro de reis e prncipes;Em suas misses ao exterior conheceu renomados matemticos ;Morreu em 1716, solitrio.2. Noo Intuitivaa) O que Limite?

b) Qual foi a motivao para o desenvolvimento do Clculo Diferencial e Integral?O Problema da TangenteDada uma funo f e um ponto P no seu grfico, ache uma equao da reta que tangente ao grfico de f em P.

O Problema da reaDada uma funo f , ache a rea entre o grfico de f e um intervalo [a, b] no eixo x.

c) Um problema para ser estudadoI ) Considere agora a funo a seguir:

Esta funo est definida para todo x pertencente aos reis.O que isso significa?

c) Um problema para ser estudadoExemplo:Graficamente:

3

2c) Um problema para ser estudadoII) Considere agora a funo a seguir:

Por qu?

x1q(x)No est definida0,90000,99000,99900,99991,00011,00101,01001,10001,90001,99001,99901,99992,00012,00102,01002,1000

Uma alternativa para anlise:O que acontece Geometricamente

3. Definies

a) Definio Informal de Limite3. Definiesb) Definio Informal de Limite LateralExemplo:

Limites LateraisLimite pela DireitaLimite pela EsquerdaLimites Lateraisb.1) Definio Informal de Limite Lateral Direita

Limites Lateraisb.2) Definio Informal de Limite Lateral Esquerda

Relao entre Limites Laterais e Bilaterais

c) Teorema: Unicidade do LimiteTeorema: Unicidade do Limite

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4