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Ensino Superior Cálculo 1 1.6- Aplicabilidade do Limite Amintas Paiva Afonso

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Page 1: Ensino Superior Cálculo 1 1.6- Aplicabilidade do Limite Amintas Paiva Afonso

Ensino Superior

Cálculo 1

1.6- Aplicabilidade do Limite

Amintas Paiva Afonso

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Cálculo 1 - Limites

Funções e Limites

Taxas de variação,definição de limite, limites laterais e

técnicas para determinação de limites

Prof. Amintas Paiva Afonso

Page 3: Ensino Superior Cálculo 1 1.6- Aplicabilidade do Limite Amintas Paiva Afonso

Velocidade Média

Determinando a velocidade média:

Uma pedra se desprende do topo de um penhasco. Qual a sua velocidade média durante os primeiros 2s de queda?

Solução:

Experimentos mostram que, ao entrar em queda livre a partir do repouso, próximo da superfície terrestre, um objeto sólido e denso percorrerá y metros nos primeiros t segundos, onde:

y = 4,9 t 2

A velocidade média da pedra em qualquer intervalo de tempo é a distância percorrida y, dividida pelo tempo decorrido t, neste percurso.

Para os primeiros 2s temos: t0= 0 e tf = 2, logo y0 = 0 e yf = 4,9(2)2.

Daí, smt

y/8,9

2

49,4

02

)0(9,4)2(9,4 22

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Velocidade Instantânea

Determine a velocidade da pedra no caso anterior, no instante t = 2 s.

Fazendo a aproximação:

y/ t = [4,9(t +h)2 – 4,9t2]/h,

onde h está próximo de zero, podemos

construir a seguinte tabela:

h (s) y/ t

1,0 24,5

0,1 20,09

0,01 19,649

0,001 19,6049

0,0001 19,60049

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Velocidade Instantânea

Determinando a velocidade instantânea algebricamente:

Neste caso, podemos calcular a velocidade média da pedra ao longo do percurso t = 2s até um tempo imediatamente posterior t = 2 + h, com h > 0 bem “pequeno”, ou seja, algebricamente temos:

Assim, fazendo h 0 descobrimos a velocidade instantânea em t = 2s, isto é, seu valor limite é 19,6 + 4,9(0) = 19,6 m/s.

hh

hh

h

hh

h

h

t

y9,46,19

9,46,196,19)44(9,4)2(9,4)2(9,4 2222

Page 6: Ensino Superior Cálculo 1 1.6- Aplicabilidade do Limite Amintas Paiva Afonso

Taxa instantânea

Graficamente, a taxa de variação instantânea pode ser feita pelas aproximações dadas na figura abaixo.

Page 7: Ensino Superior Cálculo 1 1.6- Aplicabilidade do Limite Amintas Paiva Afonso

Definição de limite:

Lxfxx

)(lim0

Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de x0, exceto talvez

em x0. Dizemos que f(x) tem limite

L quando x tende a x0 e escrevemos

Se para cada número > 0 existir um número correspondente > 0 tal que, para todos os valores de x,

Esta definição está ilustrada, graficamente, na figura ao lado.

Lxfxx )(0 0

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Regras envolvendo limites

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Exemplos

1 – Funções polinomiais:Os limites podem ser obtidos por substituição, seP(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, então

2 – Funções racionais:Os limites de funções racionais podem ser obtidos por substituição, desde que o denominador não se anule, ou seja, se P(x) e Q(x) são polinômios e Q(c) 0, então

3 – Eliminando algebricamente o fator nulo no denominador:a) cancelando um fator comum:

011

1)()(lim acacacacPxP nn

nn

cx

)(

)(

)(

)(lim

cQ

cP

xQ

xPcx

.31

212lim

)1(

)2)(1(lim

2lim

112

2

1

x

x

xx

xx

xx

xxxxx

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Exemplos

3 – Eliminando algebricamente o fator nulo no denominador:b) Criando e cancelando um fator comum:

.22

1

202

1

22

1lim

22lim

22lim

22

22lim

22lim

22

2222lim

22lim

00

000

00

hh

h

hh

h

hh

h

h

h

h

h

h

h

h

h

hh

hhh

hh

As vezes, não podemos obter o limite diretamente, mas talvez seja pos-sível obtê-lo indiretamente, quando uma função está limitada por duas funções que tenham o mesmo limite no ponto desejado.

Teorema do confronto:Suponha que g(x) f(x) h(x) para qualquer x em um intervalo aberto,contendo c, exceto possivelmente em x = c. Suponha também que

LxfLxhxgcxcxcx

)(lim,)(lim)(lim então

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Limites Laterais

Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma função f deve

ser definida em ambos os lados de a e seus valores devem se aproxi-

mar de L quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, devemos

estudar os limites laterais, para verificar a existência ou não do limite.

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Relação entre limite e limites laterais

Teorema: Uma função f(x) terá limite quando x se aproximar de c, se e

somente se, tiver um limite lateral à esquerda e um limite

lateral à direita e os dois limites laterais forem iguais, ou seja,

LxfLxfLxfcxcxcx

)(lim)(lim)(lim e

Exemplos:

1 – Mostre que y = sen (1/x) não tem limite quando x tende a 0.

Solução: a medida que x se aproxima de 0, pela esquerda, seu inverso (1/x) – . Daí, a função sen (1/x) assume valores que se repetem ciclicamente entre -1 e 1. Da mesma forma, ao se aproximar de zero, à direita, o inverso (1/x) +, o que implica na função sen (1/x) assumir valores que se repetem ciclicamente entre -1 e 1. Assim, a função não tem limite nem à esquerda nem à direita de zero e, portanto, não tem limite quando x tende a zero.

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Exemplos:2 – Mostre que f() = (sen)/ tem limite

igual 1 quando tende a zero ( em radianos).

Demonstração: Se mostrarmos que os limites laterais existem e são iguais a 1, então usando o teorema anterior obteremos o resultado requerido.

Começamos com valores positivos para e menores que /2. Observando a figura ao lado, podemos observar que:

Área OAP < área do setor OAP < área do OAT

Podemos expressar essas áreas em termos de da seguinte maneira:

tgtgalturabaseΔOAT

rOAP

sensenalturabaseΔOAP

2

1))(1(

2

1

2

12

)1(2

1

2

12

1))(1(

2

1

2

1

22

Área

setor do Área

Área

1111

.11

1

,2222

senlim

senlimcoslim

senlimlim

Portanto, cossen

cossen

:vemsen

por tudo dividindo agora ,tgsen

logo,

00000

θ

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