solicitaÇÕes normais cÁlculo no estado limite Último

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVILDepartamento de Estruturas

EC 702 – CONCRETO ARMADO I

SOLICITAÇÕES NORMAIS CÁLCULO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO

PROF. DR. GILSON B. FERNANDES

VERSÃO REVISTA POR: PROF. DR. MARIA CECILIA A. TEIXEIRA DA SILVA MONITORAS PED REGINA MANTOVANI MATSUI SUSANA LIMA PIRES CAMPINAS – FEVEREIRO/2006

P – GR – 702 – 501- R

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1 INTRODUÇÃO........................................................................................................................................... 3

2 DIAGRAMAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO DOS AÇOS.............................................................................. 4

2.1 DIAGRAMAS CARACTERÍSTICOS................................................................................................. 4

2.2 DIAGRAMAS DE CÁLCULO ............................................................................................................ 4

2.3 VALORES DE CÁLCULO................................................................................................................. 5

3 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO CONCRETO ........................................................................ 7

4 HIPÓTESES DE CÁLCULO...................................................................................................................... 9

5 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES............................................................................................................ 12

6 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE..................................................................... 15

7 FLEXÃO NORMAL SIMPLES ................................................................................................................. 18

7.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 18

7.2 POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA...................................................................................................... 19

7.3 DEFORMAÇÃO E TENSÃO NA ARMADURA As........................................................................... 19

7.4 DEFORMAÇÃO E TENSÃO NA ARMADURA A’s .......................................................................... 22

7.5 CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES RETANGULARES ................................................... 23 7.5.1 SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA SIMPLES ...................................................... 23 7.5.2 SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA DUPLA.......................................................... 25

7.6 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES ........................................ 26 7.6.1 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES ............................................................. 27 7.6.2 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA................................................................. 29

7.7 VIGAS DE SEÇÃO “T” NAS ESTRUTURAS DE CONCRETO ...................................................... 31 7.7.1 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES T COM ARMADURA SIMPLES............... 33 7.7.2 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES T COM ARMADURA DUPLA................... 35

8 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA – FORÇA NORMAL DE COMPRESSÃO.......................................... 37

8.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 37

8.2 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE ......................................... 37

8.3 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADE ....................................... 41

8.4 COMPRESSÃO NÃO UNIFORME................................................................................................. 44

8.5 INTERAÇÃO DE MOMENTO FLETOR E FORÇA NORMAL NA FLEXO-COMPRESSÃO ........... 47

8.6 FNC - CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO EM SEÇÕES RETANGULARES ........................................ 53 8.6.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................................... 53 8.6.2 FLEXÃO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE..................................................... 53 8.6.3 FLEXÃO COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADE................................................... 56 8.6.4 COMPREESÃO NÃO UNIFORME ............................................................................................ 57

9 COMPRESSÃO UNIFORME................................................................................................................... 61

10 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA – FORÇA NORMAL DE TRAÇÃO .................................................... 63

10.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 63

10.2 FLEXO-TRAÇÃO............................................................................................................................ 63

10.3 TRAÇÃO NÃO UNIFORME............................................................................................................ 68

11 TRAÇÃO UNIFORME ............................................................................................................................. 70

12 FLEXÃO OBLÍQUA................................................................................................................................. 72

12.1 CÁLCULO EXATO ......................................................................................................................... 72

12.2 SUPERFÍCIES DE INTERAÇÃO E DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO .............................................. 74

3

1 INTRODUÇÃO

O estudo das seções de concreto armado tem por finalidade verificar se sob a ação das solicitações majoradas (solicitações de cálculo) a peça não supera cada um dos estados limites, admitindo que os materiais (concreto e aço) tenham como resistência real a resistência minorada (resistência de cálculo).

Neste texto, se estabelecem as bases de cálculo de seções de concreto armado submetidas a solicitações normais nos estados limites de deformação plástica excessiva e de ruptura.

Denominam-se solicitações normais as que originam tensões normais nas seções transversais dos elementos estruturais. Compreendem, neste caso, força normal e momento fletor, ambos referidos ao centro de gravidade da seção transversal de concreto.

Uma seção de concreto armado, submetida a solicitações normais, pode atingir o estado limite último de três formas: por excesso de deformação plástica do aço da armadura, por esmagamento do concreto na flexão ou por esmagamento do concreto na compressão.

a) Estado de deformação plástica excessiva: nas peças submetidas à tração ou à flexão com quantidades pequenas de armadura, admite-se que o estado limite último seja atingido em virtude de deformação plástica excessiva da armadura, cujo valor se fixa em 1%.

b) Estados de ruptura: em peças submetidas à flexão simples ou à flexão composta, com quantidades médias ou grandes de armadura, o estado limite último é atingido por esmagamento do concreto comprimido para deformações da ordem de 0,35% e em peças submetidas à compressão uniforme ou à compressão não uniforme o estado limite último é atingido por esmagamento do concreto para deformações da ordem de 0,2%.

O Código Modelo do C.E.B. e a Norma Brasileira NBR 6118:2003 preconizam para o estudo das seções de concreto armado nas formas de ruína vistas, um método que cobre de maneira contínua todos os casos de solicitações normais, desde a tração uniforme até a compressão uniforme, incluindo as fases intermediárias de solicitações combinadas.

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2 DIAGRAMAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO DOS AÇOS

2.1 DIAGRAMAS CARACTERÍSTICOS

De acordo com a NBR-6118:2003, pode-se adotar o diagrama tensão-deformação característico simplificado, indicado na figura 2.1, para aços com ou sem patamar de escoamento.

Para os aços, adota-se um diagrama bi-retilíneo formado pela reta de Hooke e um segmento reto paralelo ao eixo das deformações, cuja ordenada corresponde à resistência característica, fyk.

Figura 2.1

Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelos fabricantes, a NBR 6118:2003 admite a adoção do módulo de elasticidade do aço:

ES = 210.000 MPa

Para esses aços, embora o efeito Bauschinger possa não ser desprezível, admite-se um comportamento na compressão análogo ao na tração. Na parte correspondente à tração, o alongamento é limitado em 1%, ou seja, ao valor que caracteriza o estado limite de deformação plástica excessiva. Na parte correspondente à compressão, o encurtamento é limitado em 0,35% porque o concreto comprimido solidário às armaduras sofre ruptura com encurtamentos não superiores a 0,35%.

2.2 DIAGRAMAS DE CÁLCULO

Os diagramas de cálculo dos aços são obtidos a partir dos diagramas característicos mediante uma translação efetuada paralelamente à reta de Hooke.

5

Para os aços, admite-se um diagrama de cálculo como o apresentado na figura 2.2, ou seja, bi-retilíneo, formado pela reta de Hooke e um segmento reto paralelo ao eixo

das deformações e cuja ordenada corresponde à resistência de cálculo: s

ykyd

ff

γ= .

Figura 2.2

A parte do diagrama correspondente à compressão é análoga àquela que corresponde à tração. O limite para o alongamento é 1% e o encurtamento máximo é 0,35%.

As resistências de cálculo s

ykyd

ff

γ= e

s

yckycd

ff

γ=

são obtidas a partir das resistências características fyk e fyck determinadas experimentalmente. Na falta de determinação experimental, fyk e fyck podem ser consideradas iguais e com o valor mínimo nominal de fyk fixado pela NBR 7480:1996.

2.3 VALORES DE CÁLCULO

As relações tensão-deformação para os aços são as seguintes:

sss E εσ = , se yds εε ≤

yds f=σ , se yds εε ≥

6

Figura 2.3

Os valores das resistências e deformações de cálculo para os aços da NBR 7480:1996 são os que se apresentam na tabela abaixo. Tais valores foram determinados para γs = 1,15 e Es = 210.000 MPa.

Aços fyk

(MPa)

fyd

(MPa) εyd

CA-25 250 217,4 0,001035

CA-50 500 434,8 0,002070

CA-60 600 521,7 0,002484

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3 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO CONCRETO

A distribuição de tensões no concreto nas seções submetidas à flexão e à compressão, na proximidade da ruptura, depende de muitos fatores tais como:

- posição da linha neutra;

- velocidade de aplicação da carga;

- duração da carga;

- quantidade de armadura;

- forma da seção;

- resistência do concreto;

- idade do concreto ao ser aplicada a carga;

- composição do concreto

- condições climáticas.

Por essa razão, é praticamente impossível conseguir uma única distribuição real de tensões que corresponda a todas as situações existentes.

Além disso, deve-se considerar que, durante os primeiros anos de vida, o concreto passa por um período em que sofre um amadurecimento acompanhado pela hidratação do cimento, pela transformação dos produtos da hidratação desde o estado de gel até a cristalização e por um processo de secagem. Enquanto isso, a resistência, o módulo de deformação e as características de fluência do concreto sofrem variações com o tempo. Simultaneamente, ocorrem deformações que dependem da tensão no concreto e influem na distribuição das tensões.

Por todos esses motivos, a distribuição de tensões na zona comprimida pode oscilar entre um triângulo ligeiramente arredondado e uma parábola, cujo valor máximo não está situado na borda da seção, mas no seu interior. Na borda comprimida a deformação poderá estar compreendida entre 0,2% e 1%.

Mesmo que se tentasse empregar, em cada caso de dimensionamento, o diagrama da distribuição de tensões correspondente às condições existentes, não seria possível ser fiel à realidade. Dificilmente seria possível prever o histórico do carregamento, a idade do concreto quando ele começasse a atuar e o grau de solicitação que aconteceria. Por essas razões deve-se utilizar um diagrama que, em cada caso, corresponda às situações mais desfavoráveis, podendo-se conservar a convenção, já aceita, de que com a idade de 28 dias uma parte ou elemento da estrutura já está em condição de poder resistir à combinação mais desfavorável dos carregamentos.

Os estudos experimentais desenvolvidos nesse sentido, considerando combinações de força normal e momento fletor, cargas de curta e de longa duração, formas diferentes de seção, quantidades diferentes de armadura, etc., revelaram que o diagrama parábola - retângulo da figura 3.1 permite determinar, com precisão suficiente para a prática, a solicitação de ruptura de uma seção qualquer nas condições mais desfavoráveis.

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Figura 3.1

Esse diagrama não é cópia de alguma distribuição verdadeira de tensões. É um diagrama idealizado e que se justifica por levar a resultados concordantes com os obtidos experimentalmente.

Conforme a NBR 6118:2003, o diagrama tensão-deformação do concreto à compressão, a ser usado no cálculo, compõe-se de uma parábola do 2º grau que passa pela origem e tem seu vértice no ponto de abscissa 0,2% e ordenada 0,85 fcd e de um segmento reto entre as deformações de 0,2% e 0,35% tangente à parábola e paralelo ao eixo das abscissas – figura 3.2.

Figura 3.2

]),

([., 2ccdc 0020

11f850ε

σ −−=

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4 HIPÓTESES DE CÁLCULO

As hipóteses de cálculo no estado limite último de ruptura ou de deformação plástica excessiva, nos casos de flexão simples ou flexão composta, normal ou oblíqua, e de compressão ou tração uniforme, excluídas as vigas paredes e os consolos curtos, são as seguintes:

a) Sob a influência das solicitações normais, as seções transversais permanecem planas (hipótese de Bernouilli).

Como resultado, as deformações ε das fibras de uma seção são proporcionais às suas distâncias à linha neutra, ou seja, o diagrama de deformações na seção transversal é retilíneo (figura 4.1).

Figura 4.1

b) A resistência à tração do concreto é desprezada.

Em virtude da baixa resistência que o concreto apresenta quando tracionado, na região da seção em que a solicitação produz tensões de tração admite-se que o concreto esteja fissurado. Disso decorre que todas as forças internas de tração devem ser resistidas por armadura.

c) Admite-se que haja aderência perfeita entre a armadura e o concreto adjacente não fissurado.

Em vista disso, a deformação nas barras da armadura é a mesma do concreto que as envolve.

d) O alongamento específico εsu máximo permitido na armadura de tração é 1%.

Este limite é adotado convencionalmente por considerar-se que a esse valor correspondem fissuração excessiva do concreto e deformação excessiva da peça, dando-se por esgotada sua capacidade resistente.

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e) O encurtamento de ruptura do concreto nas seções não inteiramente comprimidas é de 0,35% e nas seções inteiramente comprimidas, o encurtamento da borda mais comprimida, na ocasião da ruptura, varia de 0,35% a 0,20%, mantendo-se constante e igual a 0,20% a deformação a 3/7 da altura total da seção a partir da borda mais comprimida (figura 4.2).

Figura 4.2

O encurtamento de ruptura do concreto sofre influência de vários fatores como velocidade de deformação, forma da seção transversal e posição da linha neutra na seção. O fato de se admitir o encurtamento de ruptura do concreto conforme o critério exposto é uma hipótese simplificadora. Na verdade, os resultados experimentais justificam os valores 0,35% para as seções não inteiramente comprimidas e 0,20% para as seções comprimidas uniformemente. Ao mesmo tempo, parece lógico supor uma passagem contínua do valor 0,35% para o valor 0,20% para os casos de compressão não uniforme, conforme mencionado na presente hipótese.

f) A distribuição das tensões no concreto na seção transversal se faz de acordo com um diagrama parábola - retângulo (figura 4.3) baseado no diagrama tensão-deformação adotado para o concreto. Permite-se a substituição desse diagrama por um retângulo de altura y = 0,8 x, com a seguinte tensão:

0,85 fcd no caso em que a largura da seção medida paralelamente à linha neutra não diminui a partir desta para a borda comprimida;

0,80 fcd no caso contrário.

Figura 4.3

11

Para os cálculos de verificação e dimensionamento, torna-se necessário admitir uma forma para a distribuição da curva de tensões de compressão na seção de concreto.

Estudos comparativos entre várias formas adotadas para essa distribuição de tensões evidenciaram que uma distribuição composta por uma parábola do 2º grau desde a linha neutra até a fibra com deformação de 0,20% completada com um segmento reto até a borda mais comprimida, onde a tensão vale 0,85 fcd, fornece boa concordância com os resultados obtidos experimentalmente.

O diagrama parábola - retângulo é válido para qualquer forma de seção transversal e pode ser usado também na flexão oblíqua.

Ao mesmo tempo, verifica-se que se consegue boa aproximação de cálculo com uma distribuição retangular de tensões com altura igual a 80% da profundidade da linha neutra real e com tensão igual a 0,85 fcd ou 0,80 fcd conforme exposto anteriormente.

O diagrama retangular de tensões adotado fornece uma resultante de tensões que concorda em intensidade e ponto de aplicação com o que lhe corresponde ao diagrama parábola - retângulo. No entanto, diferenças apreciáveis se verificam quando a linha neutra se situa muito próxima à borda comprimida porque as tensões correspondem à parte curva da distribuição real de tensões e, portanto, com valor inferior a 0,85 fcd.

O coeficiente redutor da resistência de cálculo do concreto considera a diminuição da resistência do mesmo por influência da deformação lenta (efeito Rusch) causada por ações de longa duração e, considera também, a diminuição da resistência decorrente da elevação de parte da argamassa à superfície e da exudação da água, que afetam a resistência da parte superior de concreto, onde poderão ocorrer as máximas tensões de compressão.

g) A tensão na armadura é a correspondente à deformação determinada de acordo com as hipóteses anteriores e obtida do diagrama tensão-deformação do aço correspondente.

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5 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES

As configurações possíveis do diagrama de deformações correspondentes ao estado limite último para uma seção submetida a solicitações normais sugerem a delimitação de regiões, chamadas domínios de deformações, onde poderá estar contido o diagrama de deformações referente a um determinado caso de solicitação normal quando o estado limite último for atingido.

Na figura 5.1 estão representados os domínios de deformações e as retas que correspondem aos limites entre cada um deles.

Figura 5.1

Os domínios 1 e 2 correspondem ao estado limite de deformação plástica excessiva e são fixados pelo ponto A, que corresponde ao alongamento de 1%. Para todas as situações correspondentes aos domínios 1 e 2 a reta do diagrama de deformação passa pelo ponto A.

Os domínios 3, 4 e 4a referem-se ao estado limite de ruptura do concreto na flexão e são fixados pelo ponto B, que corresponde ao encurtamento de 0,35% na borda mais comprimida da seção. Para todas as situações correspondentes aos domínios 3, 4 e a reta do diagrama de deformações passa pelo ponto B.

O domínio 5 corresponde ao estado limite de ruptura do concreto na compressão e é fixado pelo ponto C que corresponde ao encurtamento de 0,2% na fibra distante (3/7)h da borda mais comprimida da seção. Para todas as situações referentes ao domínio 5 e a reta do diagrama de deformações passa pelo ponto C.

A posição da linha neutra na seção é definida pela distância x da linha neutra até a borda mais comprimida da seção. Na figura 5.1 são indicadas as posições da linha neutra para as situações limites entre os domínios de deformações.

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RETA a

A reta a corresponde à tração uniforme, caso em que toda a seção é tracionada de modo uniforme. A deformação na seção é representada por uma reta paralela à face da seção, que é a origem das deformações. A posição da linha neutra é dada por x=-∞. O estado limite último é atingido por deformação plástica excessiva da armadura sendo caracterizado por um alongamento de 1%. Por isso, a reta a, que representa as deformações no estado limite último para o caso da tração uniforme, passa pelo ponto A, que corresponde a um alongamento de 1% na armadura. A seção resistente é constituída somente pelas armaduras, pois o concreto tracionado é considerado fissurado.

DOMÍNIO 1

O domínio 1 corresponde ao caso de tração não uniforme. Toda a seção é tracionada, mas de modo não uniforme. A linha neutra é externa à seção e a reta do diagrama de deformações na seção passa pelo ponto A correspondente a um alongamento de 1% na armadura mais tracionada. Cobre o campo de profundidade da linha neutra desde x > -∞ até x ≤ 0. O estado limite último é caracterizado por deformação plástica excessiva da armadura. A seção resistente é composta apenas pelas armaduras, não havendo participação resistente do concreto.

DOMINIO 2

Abrange os casos de flexão simples e flexão composta com grande excentricidade. A linha neutra é interna à seção transversal, estando uma parte desta sujeita à compressão. Este domínio corresponde às situações em que o alongamento da armadura atinge 1% e o encurtamento da fibra mais comprimida de concreto é inferior a 0,35%. A reta do diagrama de deformações na seção passa pelo ponto A, correspondente a um alongamento de 1% na armadura. Cobre o campo de profundidade da linha neutra desde x > 0 até x < 0,259d. O estado limite último é atingido por deformação plástica excessiva da armadura, não se verificando ruptura do concreto na zona comprimida da seção.

DOMÍNIO 3

O domínio 3 corresponde à flexão simples e à flexão composta com grande excentricidade. A linha neutra é interna à seção e a reta do diagrama de deformações na seção passa pelo ponto B, correspondente a um encurtamento de 0,35% na borda comprimida. Abrange os casos em que no estado limite último o encurtamento de 0,35% é alcançado na borda comprimida da seção e o alongamento na armadura está compreendido entre 1% e εyd, deformação que corresponde ao início do escoamento do aço. O estado limite último é caracterizado pela ruptura do concreto comprimido após o escoamento da armadura. Cobre o campo de profundidade da linha neutra desde x = 0,259d até x ≤ xy. Esta é a situação desejável para projeto, pois os materiais são aproveitados de forma econômica e a ruína poderá ser avisada pelo aparecimento de muitas fissuras motivadas pelo escoamento da armadura. As peças de concreto armado nestas condições são denominadas peças sub-armadas.

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DOMÍNIO 4

O domínio 4 abrange os casos de flexão simples e de flexão composta com grande excentricidade. A linha neutra é interna à seção e a reta do diagrama de deformações na seção passa pelo ponto B. Refere-se aos casos em que no estado limite último o encurtamento de 0,35% é alcançado na borda comprimida de seção e o alongamento na armadura está situado entre εyd e 0. O estado limite último é caracterizado pela ruptura do concreto comprimido sem que haja escoamento da armadura. Cobre o campo de profundidade da linha neutra desde x > xy até x < d. Apesar do aparecimento eventual de fissuras, estas possuem abertura muito fina no instante que ainda precede a ruptura. Esta se dá de modo brusco e sem aviso, porque o concreto sofre esmagamento na zona comprimida da seção antes que a armadura tracionada possa permitir a abertura de fissuras visíveis que sirvam de advertência. As peças de concreto armado nestas condições são denominadas peças super-armadas e devem ser evitadas tanto quanto possível. Na flexão simples esta situação sempre poderá ser evitada, contudo, na flexão composta nem sempre.

DOMÍNIO 4a

O domínio 4a corresponde à flexão composta com pequena excentricidade. As armaduras são comprimidas e existe somente uma pequena região de concreto tracionada próxima a uma das bordas da seção. Só poderá ocorrer na flexo-compressão. A linha neutra é interna à seção, mas situa-se entre a armadura menos comprimida e a borda tracionada da seção. Cobre o campo de profundidade da linha neutra de x ≥ d até x < h. A reta do diagrama de deformações na seção passa pelo ponto B. O estado limite último é caracterizado pela ruptura do concreto com encurtamento de 0,35% na borda comprimida, sem aparecimento de fissuras.

DOMÍNIO 5

O domínio 5 refere-se à compressão não uniforme, com toda a seção de concreto comprimida. A linha neutra é externa à seção e a reta do diagrama de deformações na seção passa pelo ponto C, afastado da borda mais comprimida de 3/7 da altura total da seção e correspondente a um encurtamento de 0,20%. Cobre o campo de profundidade da linha neutra desde x ≥ h até x < +∞. O estado limite último é atingido pela ruptura do concreto comprimido com encurtamento na borda mais comprimida situado entre 0,35% e 0,20%, dependendo da posição da linha neutra, mas constante e igual a 0,20% na fibra que passa pelo ponto C.

RETA b

A reta b corresponde à compressão uniforme, caso em que toda a seção é comprimida de modo uniforme. A deformação na seção é representada por uma reta paralela à face da seção, que é a origem das deformações. A posição da linha neutra é dada por x = + ∞. O estado limite último é atingido por ruptura do concreto com um encurtamento de 0,20%. Por isso, a reta b que representa as deformações no estado limite último para o caso da compressão uniforme, passa pelo ponto C, que corresponde a um encurtamento de 0,20%. A seção resistente é constituída pelo concreto e pelas armaduras, sendo a deformação nestas igual à do concreto, ou seja, 0,20%.

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6 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE

O estudo geral das seções de concreto armado, submetidas a solicitações normais no estado limite último de ruptura ou de deformação plástica excessiva, deve tratar de seções com forma qualquer com uma distribuição qualquer de armaduras.

Neste trabalho trata-se somente de seções, com um eixo de simetria, submetidas a solicitações normais que atuam segundo um plano que contém esse eixo e com um par de armaduras principais As e As’.

Considere-se uma seção de forma qualquer, mas simétrica em relação ao plano de flexão, submetida a uma força normal Nu e a um momento fletor Mu, relativos ao centro de gravidade da seção transversal, e com armaduras As e As’ (figura 6.1).

Figura 6.1

A notação empregada é a seguinte:

Nu = valor último da força normal N;

Mu = valor último do momento fletor M;

As = área da seção transversal da armadura mais tracionada ou menos comprimida;

As’ = área da secão transversal da armadura mais comprimida ou menos tracionada;

h = altura total da seção;

d = altura útil da seção;

d’ = distância do centro de gravidade da armadura até a borda mais próxima da seção;

x = distância da linha neutra até a borda mais comprimida ou menos tracionada da seção;

y = ordenada contada a partir da borda mais comprimida;

by = largura da seção na ordenada y;

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σc = tensão de compressão no concreto;

σcy = tensão de compressão no concreto na ordenada y;

σs = tensão na armadura As;

σ’s = tensão na armadura As’;

Rc = resultante das tensões de compressão no concreto;

Rs = resultante das tensões na armadura As;

Rs’ = resultante das tensões na armadura As’;

zc = distância do ponto de aplicação da resultante de compressão no concreto ao centro de gravidade da armadura As.

Como a flexo-compressão constitui-se na solicitação mais freqüente, considera-se a força normal com sinal positivo quando for de compressão e com sinal negativo quando for de tração. O momento fletor é considerado positivo quando provocar tração na borda inferior da seção. As tensões internas e suas resultantes são consideradas positivas quando de compressão e negativas quando de tração.

O sistema de esforços constituído por Nu e Mu referidos ao eixo baricêntrico da seção transversal de concreto pode ser reduzido a um sistema equivalente formado pela força normal Nu aplicada com excentricidade e em relação ao centro de gravidade da seção de concreto (figura 6.2), onde:

u

u

NMe =

A excentricidade es de Nu em relação ao centro de gravidade da armadura As (figura 6.2) vale:

2'ddees

−+=

Figura 6.2

A excentricidade e é considerada positiva a partir do centro de gravidade da seção transversal até a sua borda mais comprimida e a excentricidade es é tomada como positiva a partir do centro de gravidade da armadura As até a borda mais comprimida da seção transversal.

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Considerando-se as resultantes internas como indica a figura 6.1 e referindo-se os momentos dessas resultantes ao centro de gravidade da armadura As, as equações de equilíbrio no estado limite último são escritas na forma seguinte:

⎩⎨⎧

−+=++=

)'('.'

ddRzReNRRRN

sccsu

sscu

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−=

++=

∫∫

)'('')'(.

''

ddAdyddbeN

AAdybN

ss

h

0 cyysu

ssss

h

0 cyyu

σσ

σσσ

onde os sinais dos esforços são considerados conforme a convenção adotada.

Considerando-se positivos os encurtamentos e negativos os alongamentos a equações de compatibilidade das deformações tem a seguinte forma:

dxdxxssc

−=

−=

εεε'

'

Nesta equação:

εc = deformação específica do concreto na borda mais comprimida (ou menos tracionada)

εs = deformação específica na armadura As

ε’s = deformação específica na armadura As’

Com a convenção apresentada, as equações de equilíbrio e de compatibilidade de deformações são válidas para qualquer domínio de deformações e para qualquer caso de solicitação normal, desde a tração uniforme até a compressão uniforme, passando pelos casos intermediários de flexão simples e solicitações combinadas.

Neste trabalho, as tensões e as deformações serão consideradas em valor absoluto. As resultantes internas de compressão e de tração já serão orientadas no sentido do esforço aplicado e os sinais correspondentes serão incluídos nas expressões de cálculo. O momento Mu será considerado sempre positivo e a força normal será positiva quando de compressão e negativa quando de tração.

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7 FLEXÃO NORMAL SIMPLES

7.1 INTRODUÇÃO

Flexão simples é aquela que se verifica com ausência de força normal.

Flexão normal é aquela em que o plano de flexão contém um dos eixos principais de inércia da seção.

Na flexão normal simples a linha neutra situa-se entre a borda comprimida da seção e a armadura tracionada: 0 < x < d. Ocorre nos domínios 2, 3 e 4 de deformações.

Equações de Equilíbrio

0 = Rc + R´s – Rs

Mu = Rc zc + R´s (d – d´)

Rc resultante de compressão no concreto

R´s resultante de compressão na armadura comprimida (A´s)

Rs resultante de tração na armadura tracionada (As)

Mu valor último do momento fletor

d altura útil da seção (distância do CG da armadura tracionada até a borda comprimida da seção)

d´ distância do CG da armadura comprimida até a borda comprimida da seção

zc distância do ponto de aplicação de Rc ao CG da armadura tracionada

bw largura da alma da seção

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Equações de Compatibilidade

xddxxssuc

−=

−=

εεε'

',

x distância da LN até a borda comprimida

εc,u encurtamento de ruptura do concreto na borda comprimida

ε’s encurtamento da armadura comprimida

εs alongamento da armadura tracionada

7.2 POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA

A posição da linha neutra pode ser relacionada com as deformações na borda comprimida da seção e sua armadura tracionada.

Da equação de compatibilidade:

xdxsuc

−=

εε , ∴ dxsuc

uc

εεε

+=

,

,

Definição: dx

x =β

βx: coeficiente adimensional que fornece a posição relativa da LN na seção.

Sendo: dxsuc

uc

εεε

+=

,

, tem-se suc

ucx εε

εβ

+=

,

,

7.3 DEFORMAÇÃO E TENSÃO NA ARMADURA As

As área da seção transversal da armadura tracionada

εs deformação na armadura tracionada (alongamento)

σs tensão na armadura tracionada

a) Domínio 2: 0 < x < 0,259d ∴ 0 < βx < 0,259

0 < εc < εc,u = 0,35%

εs = εs,u = 1% > εyd ∴ σs = fyd

20

b) Domínio 3: 0,259d ≤ x ≤ xy ∴ 0,259 ≤ βx ≤ βxy

εc = εc,u = 0,35%

εyd ≤ εs ≤ 1% ∴ σs = fyd seções sub-armadas

Definição: xy valor de x quando εc = εc,u = 0,35% e εs = εyd

βxy valor de βx quando εc = εc,u = 0,35% e εs = εyd

dxyduc

ucy εε

ε+

=,

, ∴ yduc

ucxy εε

εβ

+=

,

,

ydxy ε

β+

=0035,0

0035,0

Para que σs = fyd é preciso que βx ≤ βxy

Obs.: βxy é também denominado de βxlim.

c) Domínio 4: xy < x < d ∴ βxy < βx < 1

εc = εc,u = 0,35%

0 < εs < εyd ∴ 0 < σs < fyd seções super-armadas

xdxsuc

−=

εε , ∴ x

xducs

−= ,εε

x

xds

−= 0035,0ε

∴x

xs β

βε

−=

10035,0

Relação σ x ε do aço:

Para 1> βxy > βx tem-se 0 < εs < εyd

Portanto: 0 < σs < fyd (reta de Hooke)

σs = Es εs

Aços εyd βxy CA-25 0,001035 0,772 CA-50 0,002070 0,628 CA-60 0,002484 0,585

21

d) Comentários:

1º) No dimensionamento, a situação mais recomendável é para βx < βxy, isto é, seções sub-armadas.

2º) As vantagens dessa situação são:

• ruptura com aviso (devido ao escoamento do aço e aparecimento de muitas fissuras);

• maior economia (por aproveitar toda a capacidade resistente do aço).

3º) A ruptura das peças super-armadas é brusca e sem aviso sendo, por isso, essa situação evitada na flexão simples.

4º) Deve-se também evitar o dimensionamento com βx de valor muito baixo (no domínio 2, em geral para βx < 0,15) porque resulta uma quantidade muito pequena de armadura conduzindo a uma ruptura frágil. Para isso é preciso que a taxa de armadura ρ seja maior ou igual à taxa mínima de armadura (NBR 6118:2003 - item 17.3.5.2.1 – Tabela 17.3)

Tabela 17.3 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (fonte: NBR 6118:2003)

Valores de ρmin1) em % (As,min/Ac)

Forma da Seção fck

ωmin 20 25 30 35 40 45 50

Retangular

0,035 0,15 0,15 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288

T (mesa

comprimida) 0,024 0,15 0,15 0,15 0,150 0,158 0,177 0197

T (mesa

tracionada) 0,031 0,15 0,15 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255

Circular

0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575

1) Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem uso de aço CA-50, γc =1,4, γs=1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado com base no valor de ωmin dado.

Nota – Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

22

7.4 DEFORMAÇÃO E TENSÃO NA ARMADURA A’s

A’s área da seção transversal da armadura comprimida

ε's deformação na armadura comprimida (encurtamento)

σ's tensão na armadura comprimida

a) DOMÍNIO 2: 0 < x < 0,259d ∴ 0 < βx < 0,259

0 < εc < εc,u = 0,35%

εs = εs,u = 1%

xddxss

−=

−εε

'' ∴

xddx

ss −−

='' εε

xddx

s −−

='010,0'ε

Definição : dd '

=η ∴ x

xs β

ηβε

−−

=1

010,0'

b) DOMÍNIO 3 e 4: 0,259d < x < d ∴ 0,259 < βx < 1

εc = εc,u = 0,35%

0 < εs ≤ 1%

xdxucs ,

'' εε

=−

∴ x

dxucs

'' ,−

= εε

xdx

s'0035,0' −

=ε

∴ x

xs β

ηβε

−= 0035,0'

Relação σ x ε do aço:

Definição: β’xy valor de βx quando ε’s = ε’yd (nos domínios 2, 3 ou 4)

23

O valor de β’xy é obtido, para cada aço, por uma das duas expressões de ε’s vistas anteriormente (conforme corresponda aos domínios 2, 3 ou 4) admitindo-se ε’s = ε’yd.

Para que σ’s = fycd é preciso que ε’s ≥ ε’yd .

- quando βx ≥ β’xy tem-se ε’s ≥ ε’yd e portanto σ’s = fycd

- quando βx < β’xy tem-se ε’s < ε’yd e portanto σ’s = Es.ε’s com ε’s dado por uma das expressões apresentadas anteriormente, conforme o domínio.

c) COMENTÁRIOS:

1º) Quando βx ≤ η desprezar a armadura A’s e considerar somente a armadura As.

2º) No caso em que βx ≤ η, recalcular βx considerando somente a armadura As

7.5 CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES RETANGULARES

Adotar-se-á nos cálculos o diagrama retangular de tensões de compressão como permitido pela NBR 6118:2003.

7.5.1 SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA SIMPLES

Denominam-se seções com armadura simples aquelas que possuem armadura somente do lado tracionado (As).

Equações de equilíbrio

0 = Rc – Rs

Mu = Rc .zc = Rs .zc

β´xy Aços ε´yd η=0,05 η=0,08 η=0,10 η=0,12 η=0,15

CA-25 0,001035 0,139 0,166 0,184 0,203 0,230 CA 50 0,002070 0,213 0,238 0,254 0,294 0,367 CA 60 0,002484 0,239 0,276 0,345 0,414 0,517

24

Então:

0 = bw y 0,85 fcd - As σs

)2

()2

(85,0 ydAydfybM sscdwu −=−= σ

Rc = bw y 0,85 fcd

Rs = As σs

2ydzc −=

y = 0,8 x

dx

x =β ∴ x = βx d

y = 0,8 βx d

Então:

0 = bw d 0,68 βx fcd - As σs (1a equação)

Mu = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4 βx) = As σs d. (1 – 0,4 βx) (2a equação)

Nos casos de verificação conhecem-se as dimensões da seção de concreto (bw, h, d), a área da seção transversal da armadura (As) e as resistências de cálculo do concreto (fcd = fck / γc) e do aço (fyd = fyk / γs). Procura-se o momento último Mu ou o momento máximo M que a seção poderá suportar em serviço.

Da 1a equação de equilíbrio: cdw

ssx fdb

A.68,0..

σβ =

- Admite-se σs = fyd e calcula-se βx

- Se βx calculado ≤ βxy, a hipótese está correta (σs = fyd)

- Se βx calculado > βxy, a hipótese feita está incorreta (σs < fyd). Deve-se corrigir βx corrigindo-se o valor adotado para σs. Coloca-se σs em função de βx, Es e εs. Corrige-se a tensão e recalcula-se βx.

A tensão no aço é calculada pela expressão: σs = Es εs

25

A deformação εs vale: x

xs β

βε

−=

10035,0

- Com o valor correto de βx a 2a equação fornece Mu.

)4,01(68,02xcdxwu fdbM ββ −= ou )4,01( xssu dAM βσ −=

- O momento máximo que a seção poderá suportar em serviço será: f

uMM

γ=

7.5.2 SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA DUPLA

Denominam-se seções com armadura dupla aquelas que possuem armaduras tanto no lado tracionado (As) quanto no lado comprimido (A’s).


0 = Rc + R’s – Rs

Mu = Rc zc + R’s (d-d’)

Então:

0 = bw y 0,85 fcd + A’s σ’s - As σs

)'.('.')2

.(.85,0.. ddAydfybM sscdwu −+−= σ

Rc = bw y 0,85 fcd

R’s = A’s σ’s

Rs = As σs

2ydzc −=

y = 0,8 x

26

dx

x =β ∴ x = βx d

y = 0,8 βx d

Então:

0 = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s - As σs (1a equação)

Mu = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4 βx) + A’s σ’s (d-d’) (2a equação)

Nos casos de verificação, conhecem-se as dimensões da seção de concreto (bw, h, d, d’), as área das seções transversais das armaduras (As e A’s) e as resistências de cálculo do concreto (fcd = fck / γc) e do aço (fyd = fyk / γs e fycd = fyck / γs). Procura-se o momento último Mu ou o momento máximo M que a seção poderá suportar em serviço.

Da 1a equação de equilíbrio: cdw

ssssx fdb

AA68,0

'' σσβ

−=

Roteiro:

- Admite-se σs = fyd e σ’s = fycd

- Para que σs = fyd deve-se ter βx < βxy e para que σ’s = fycd deve-se ter βx ≥ β’xy

- Se as duas condições se verificarem ao mesmo tempo, o valor obtido para βx está correto

- Se uma das condições (ou as duas) não se verificar (verificarem) coloca-se a tensão correspondente (ou tensões correspondentes) em função de βx, Es e das deformações e recalcula-se βx para obter o valor correto.

Para As: σs = Es εs se βx > βxy

Para A’s σ’s = Es ε’s se βx < β’xy

- Com o valor correto de βx a 2ª equação de equilíbrio fornece Mu.

Mu = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4 βx) + A’s σ’s (d-d’)

- O momento máximo que a seção poderá em serviço será: f

uMM

γ=

7.6 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES

Adotar-se-á nos cálculos o diagrama retangular de tensões de compressão no concreto, como permitido pela NBR 6118:2003.

27

7.6.1 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES


0 = Rc – Rs

Mu = Rc zc =Rs zc

Então:

0 = bw y 0,85 fcd - As σs

)2

.(.)2

.(.85,0.. ydAydfybM sscdwu −=−= σ

Rc = bw y 0,85 fcd

Rs = As σs

2ydzc −=

y = 0,8 x

dx

x =β ∴ x = βx d

y = 0,8 βx d

Então:

0 = bw d 0,68 βx fcd - As σs (1a equação)

Mu = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4 βx) = As σs d (1 – 0,4 βx) (2a equação)

No dimensionamento faz-se Mu = Md

Mu momento último

Md momento de cálculo Md = γf M

M momento fletor solicitante em serviço

28

γf coeficiente de majoração das ações e solicitações (conforme a NBR 6118:2003 ou a NBR 8681:2003)

fcd valor de cálculo da resistência do concreto fcd = fck / γc

fck resistência característica do concreto à compressão

γc coeficiente de minoração da resistência do concreto (γc = 1,4 em geral, conforme a NBR 6118:2003)

Da 2a equação de equilíbrio:

)4,01(68,02xcdxwd fdbM ββ −=

)4,01(68,02x

c

ckxwd

fdbM β

γβ −=

Denomina-se )4,01(68,0 xckx

cc f

kββ

γ−

=

Resulta então: c

wd k

dbM

2

=

O coeficiente kc é tabelado em função de fck e βx.

Ainda da 2a equação de equilíbrio:

)4,01( xssd dAM βσ −=

dM

Axs

ds )4,01( βσ −

=

Denomina-se )4,01(

1

xssk

βσ −=

Resulta então: d

MkA d

ss =

O coeficiente ks é tabelado em função de βx para cada tipo de aço da A.B.N.T.

Definição: hb

A

w

s=ρ taxa geométrica de armadura

A armadura da seção deverá satisfazer a seguinte condição: ρ ≥ ρmin (ver item 7.3 desta apostila).

29

A seção terá armadura simples sempre que o coeficiente kc correspondente a Md resulte em βx ≤ βx lim (ver item 7.3 desta apostila).

7.6.2 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA

Pode-se admitir a seguinte equivalência:


0 = Rc + R’s – Rs Rs= Rs1 + Rs2 Md = Md1 + ΔMd

Mu = Rc zc + R’s (d-d’) Rs1 = Rc Md1 = Rc zc = Rs1zc

Md Md1 ΔMd Rs2 = R’s ΔMd = Rs2 (d-d’) = R’s (d-d’)

Pode-se então fazer a seguinte decomposição para o cálculo com tabelas:

30

Md = Md1 + ΔMd

Md momento de cálculo a ser resistido pela seção com armadura dupla

Md1 parte de Md resistida pelo concreto e a parte As1 da armadura total

ΔMd parte de Md resistida pelo par de armaduras A’s e As2

As = As1 + As2

A seção terá armadura dupla quando com armadura simples resultar βx > βx lim.

Adota-se βx ≤ βx lim e a seção deverá ter armadura dupla.

Para βx adotado, da tabela, obtém-se kc e ks

c

wd k

dbM

2

1 =

dM

kA dss

11 =

ΔMd = Md - Md1

ΔMd = As2 σs (d-d’) ∴ )'(2 dd

MA

s

ds −

Δ=

σ

Denomina-se s

skσ1

2 =

Resulta, então: )'(22 dd

MkA d

ss −Δ

=

As = As1 + As2 armadura tracionada

ΔMd = A’s σ´s (d-d’) ∴ )'('

'dd

MA

s

ds −

Δ=

σ

Denomina-se s

sk'

1'σ

=

Resulta, então: )'(

''dd

MkA d

ss −Δ

= armadura comprimida

Com ks2 e k’s correspondentes ao βx adotado.

Os coeficientes ks2 e k’s são tabelados em função de βx para cada um dos aços da A.B.N.T..

31

7.7 VIGAS DE SEÇÃO “T” NAS ESTRUTURAS DE CONCRETO

Nas vigas internas das estruturas de concreto, quando a zona comprimida situa-se do lado da laje, as tensões de compressão distribuem-se além da alma da seção abrangendo também a laje. Por isso, podem-se considerar as regiões da laje vizinha da alma como partes integrantes da seção transversal da viga.

A seção T submetida à flexão normal simples apresenta, no estado limite último, um bloco de tensões de compressão não prismático. Por razões práticas substitui-se esse bloco real de tensões por um bloco ideal, prismático, com um diagrama de tensões constante e semelhante ao diagrama real no plano de solicitação.

Escolhe-se para esse bloco ideal de tensões uma largura eficaz bf tal que seja mantida a resistência de cálculo da seção ao se substituir por ele o bloco real de tensões. A largura bf é denominada largura colaborante.

O valor da largura colaborante bf não é constante ao longo da viga. Depende: - do tipo de viga considerada (simplesmente apoiada, contínua, etc.); - de serem as cargas distribuídas ou concentradas; - da presença eventual de mísulas. A largura colaborante bf é determinada conforme o item 14.6.2.2 da NBR

6118:2003 como se transcreve a seguir:

“A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida no máximo 10% da distância “a” entre dois pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante.”

32

Para cálculo da resistência ou deformação, a parte da laje a considerar como elemento da viga (parte de bf), medida a partir da face da nervura fictícia, é conforme o caso:

vigas associadas vigas isoladas

0,10 a 0,10 a

b1 ≤ b3 ≤ 0,5 b2 b4

em que a tem o seguinte valor: - viga simplesmente apoiada a = l - tramo com momento em uma só extremidade a = (3/4) l - tramo com momento nas duas extremidades a = (3/5) l - viga em balanço a = 2 l l = vão teórico da viga

Viga associada : bf = bw + 2 b1

Viga isolada: bf = bw + 2 b3

Neste lado respeitar também b3 ≤ b4

33

7.7.1 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES T COM ARMADURA SIMPLES

1º Caso : o bloco de tensões de compressão não ultrapassa a mesa (y ≤ hf, isto é βx ≤ βxf)

O dimensionamento se faz como para uma seção retangular com largura fictícia bw = bf e altura h, pois a forma da região tracionada não interfere no cálculo.

y = 0,8 x ∴ 8,0

yx =

Quando y = hf tem-se: 8,0fh

x =

Sendo dxx =β , quando y = hf define-se

dh f

fx 8,0=β

Este caso (y ≤ hf) acontece quando βx ≤ βxf.

Assim, quando para d

fc M

dbk

2

= corresponder βx ≤ βxf

a armadura será d

MkA d

ss = com ks correspondente ao βx obtido.

2º Caso : o bloco de tensões de compressão ultrapassa a mesa

(y > hf, isto é βx > βxf)

34

Quando o bloco de tensões de compressão ultrapassa a mesa, é prático empregar o artifício de decompor a seção T em duas outras idealmente concebidas para estender a este caso o uso das tabelas para seções retangulares.

Md = Md1 + ΔMd

As = As1 + As2

Md momento a ser resistido pela seção T

Md1 parte do momento Md resistida pela mesa e pela parte As1 da armadura total

ΔMd parte do momento Md resistido pela nervura e pela parte As2 da armadura total

O momento Md1 é o mesmo que seria resistido por uma seção T com largura fictícia igual a bf – bw e y = hf (1º caso)

c

wfd k

dbbM

2

1

)( −=

com kc correspondente a βx = βxf, isto é, a y = hf.

Para a segunda seção o momento é:

ΔMd = Md – Md1

Então:

d

wc M

dbk

Δ=

2

tabela βx ≤ βx lim

ks

dM

kA dss

Δ=2

A armadura As1 necessária para a primeira seção será obtida por:

35

)2

(11f

ssd

hdAM −= σ

2

1 11

f

d

ss h

d

MA

−⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞=

σ

Nesta expressão 21

ss

k=σ

já apresentado anteriormente

Então:

2

121

f

dss h

d

MkA

−= com ks2 correspondente ao βx da seção.

As = As1 + As2 7.7.2 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES T COM ARMADURA

DUPLA

Resolve-se o problema de dimensionamento de seções T com armadura dupla com facilidade empregando-se o artifício de desdobramento da seção T como indicado abaixo. A seção T, com armadura dupla, é desdobrada em: mesa com uma parte da armadura, e nervura com armadura dupla. Esta última se desdobra em nervura com armadura simples e um par de armaduras.

Md = Md1 + ΔMd

ΔMd Md2 + Md3

As = As1 + As2 + As3

36

A seção terá armadura dupla quando com armadura simples resultar βx > βx lim.

Adota-se βx ≤ βx lim e a seção deverá ter armadura dupla.

c

wfd k

dbbM

2

1

).( −=

com kc correspondente a βx = βxf, isto é, a y = hf.

c

wd k

dbM

2

2

.=

dM

kA dss

22 =

com kc e ks correspondentes ao βx adotado. Md3 = Md – Md1 – Md2

'3

23 ddM

kA dss −

=

''' 3

ddM

kA dss −

=

com ks2 e k’s correspondentes ao βx adotado.

2

121

f

dss h

d

MkA

−=

om ks2 correspondente ao βx adotado. As = As1 + As2 + As3

37

8 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA – FORÇA NORMAL DE COMPRESSÃO

8.1 INTRODUÇÃO

Flexão composta é o caso de solicitação normal em que atuam momento fletor e força normal simultaneamente.

Flexão normal composta é aquela em que o plano de flexão contém um dos eixos principais de inércia da seção transversal da peça.

Os esforços solicitantes são referidos, convencionalmente, ao eixo geométrico da peça.

u

u

NM

e = 2

'ddees−

+=

2'

2'..)

2'.(. ddNMddNeNddeNeNM uuuuususu

−+=

−+=

−+==

8.2 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE

Flexão normal composta com grande excentricidade é aquela em que uma das armaduras é tracionada.

As área da seção transversal da armadura tracionada.

As’ área da seção transversal da armadura comprimida.

Ocorre nos domínios de deformações 2, 3 e 4.

Portanto 0 < x < d ∴ 0 < βx < 1

38

Equações de equilíbrio:

Nu = Rc + R’s – Rs

Nu es = Rc zc + R’s (d – d’)

y = 0,8 x ∴ y = 0,8 βx d

x = βx d

Rc = bw y 0,85 fcd = bw d 0,68 βx fcd

R’s = A’s σ's

Rs = As σs

),(,

xx

c 401d2

d80d

2ydz β

β−=−=−=

As equações ficam:

Nu = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ's – As σs

Nu es = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’)

No dimensionamento faz-se Nu = Nd

N valor da força normal em serviço

Nd valor de cálculo da força normal: Nd = γf N

Md valor de cálculo do momento fletor: Md = Nd . e

Então:

Nd = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s – As σs

Nd es = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’)

Dividindo-se os dois membros da 1a equação por bw d fcd e os dois membros da 2a equação por bw d2 fcd, resultam as equações na forma adimensional.

cd

s

w

s

cd

s

w

sx

cdw

d

fdbA

fdbA

dfbN σσ

β −+=''

68,0

ddd

fdbA

fdbeN

cd

s

w

sxx

cdw

sd ''')4,01(68,02

−+−=

σββ

39

cdw

dd dfb

N=ν normal reduzida

dd '

=η

cdw

sdsd fdb

eN2=μ momento reduzido

ddd '1 −

=−η

ω = 0,68 βx tabelados

μ = 0,68 βx (1-0,4βx)

cd

yd

w

sd f

fdb

A=ω taxa mecânica de armadura referente a As

cd

ycd

w

sd f

fdb

A'' =ω taxa mecânica de armadura referente a A’s

cd

s

w

s

yd

sd fdb

Af

σσω = e

cd

s

w

s

ycd

sd fdb

Af

'''

σσω =

Então

yd

sd

ycd

sdd ff

σω

σωων −+=

'' Equações para seção com armadura dupla

)1('

' ησ

ϖμμ −+=ycd

sdsd f

No caso de seção com armadura simples:

A’s = 0 ∴ R’s = 0 e R’s (d-d’) = 0

Nu = Rc – Rs

Nu es = Rc zc

Com Nu = Nd ficam:

Nd = Rc – Rs = bw d 0,68 βx fcd – As σs

Nd es = Rc zc = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx)

40

cd

s

w

sx

cdw

d

fdbA

dfbN σ

β −= 68,0

)4,01(68,02 xxcdw

sd

fdbeN

ββ −=

yd

sdd f

σωων −= Equações para seção com armadura simples

μμ =sd

As relações yd

s

fσ e

ycd

s

f'σ também são tabeladas.

1º) Dimensionamento com armadura simples

Para μ = μsd tabela 4 βx1

ω

Da 1a equação: dyd

sd f

νωσ

ω −=

Para βx = βx1 tabela 5 yd

s

fσ ∴

yd

s

dd

fσ

νωω

−=

Daí obtém-se: yd

cdwds f

fdbA ω=

2º) Dimensionamento com armadura dupla

Para βx adotado tabela 4 μ

ω

Da 2a equação: η

μμσω

−−

=1

'' sd

ycd

sd f

41

Para βx tabela 6 ycd

s

f'σ ∴

ycd

s

sd

d

f'

1'σ

ημμ

ω −−

=

Daí obtém-se: ycd

cdwds f

fdbA '' ω=

Da 1a equação: dycd

sd

yd

sd ff

νσ

ωωσ

ω −+='

'

Para βx tabela 5 yd

s

fσ ∴

yd

s

dycd

sd

d

f

fσ

νσ

ωωω

−+

=

''

Daí obtém-se: yd

cdwds f

fdbA ω=

8.3 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADE

Flexão normal composta com pequena excentricidade é aquela com armaduras comprimidas havendo parte da seção de concreto tracionada.

As área da seção transversal da armadura menos comprimida.

A’s área da seção transversal da armadura mais comprimida.

Ocorre no domínio de deformação 4a.

Portanto d ≤ x < h ∴ 1 ≤ βx < 1+η


Nu = Rc + R’s + Rs


42

y = 0,8 x ∴ y = 0,8 βx d

x = βx d



Rs = As σs

)4,01(2

8,02 x

x dd

dydzc ββ

−=−=−=


Nu = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s + As σs



Então:

Nd = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s + As σs

Nd es = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’)

Na forma adimensional:

cd

s

w

s

cd

s

w

sx

cdw

d

fdbA

fdbA

dfbN σσ

β ++=''

68,0

ddd

fdbA

fdbeN

cd

s

w

sxx

cdw

sd ''')4,01(68,02

−+−=

σββ

Com as definições vistas no caso anterior:

yd

sd

ycd

sdd ff

σω

σωων ++=


)1('

' ησ

ϖμμ −+=ycd

sdsd f

No caso de armadura simples:

A’s = 0 ∴ R’s = 0 e R’s (d-d’) = 0

43

Nu = Rc + Rs

Nu es = Rc zc

Com Nu = Nd resultam

Nd = Rc + Rs = bw d 0,68 βx fcd + As σs

Nd es = Rc zc = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx)

cd

s

w

sx

cdw

d

fdbA

dfbN σ

β += 68,0

)4,01(68,02 xxcdw

sd

fdbeN

ββ −=

yd

sdd f

σωων += Equações para seção com armadura simples

μμ =sd

As relações yd

s

fσ e

ycd

s

f'σ também são tabeladas.

1º) Dimensionamento com armadura simples


ω

Da 1a equação: ωνσ

ω −= dyd

sd f


s

fσ ∴

yd

s

dd

fσ

ωνω

−=

Daí obtém-se: yd

cdwds f

fdbA ω=

44

2º) Dimensionamento com armadura dupla


ω

Da 2a equação: η

μμσω

−−

=1

' sd

ycd

sd f


s

f'σ ∴

ycd

s

sd

d

f'

1'σ

ημμ

ω −−

=

Daí obtém-se: ycd

cdwds f

fdbA '' ω=

Da 1a equação: ycd

sdd

yd

sd ff

''

σωων

σω −−=


s

fσ ∴

yd

s

ycd

sdd

d

f

fσ

σωων

ω

''−−

=

Daí obtém-se: yd

cdwds f

fdbA ω=

8.4 COMPRESSÃO NÃO UNIFORME

Compressão não uniforme é a flexão composta em que toda a seção transversal da peça é comprimida, inclusive as armaduras.

As área da seção transversal da armadura menos comprimida.

A’s área da seção transversal da armadura mais comprimida.

Ocorre no domínio 5 de deformações.

Portanto h ≤ x < +∞ ∴ 1+η ≤ βx < +∞

45

Na compressão não uniforme o dimensionamento é, em geral, feito com armadura dupla.

1º caso: y ≤ h ∴ 1+η ≤ βx ≤ 1,25 (1+η)

Neste caso y = 0,8x ∴ ω = 0.68 βx e μ = 0,68 βx (1-0,4 βx)

As equações de equilíbrio são as mesmas da flexão normal composta com pequena excentricidade. No dimensionamento procede-se do mesmo modo que para aquele caso.

2º caso: y = h ∴ 1,25(1+η) ≤ βx < +∞ . Neste caso y = h = cte




Rc = bw h 0,85 fcd


Rs = As σs

2hdzc −=

Nu = bw h 0,85fcd + A’s σ’s + As σs

(d- d')' A') h (d - f, h b eN sscdwsu σ+=2

850

46


Então:

Nd = bw h 0,85fcd + A’s σ’s + As σs

(d- d') σ A') h (d - f, h b eN sscdwsd '2

850 +=

Na forma adimensional:

cd

s

w

s

cd

s

w

s

cdw

d

fdbA

fdbA

dh

dfbN σσ

++=''

85,0

ddd

fdbA

dh

dh

fdbeN

cd

s

w

s

cdw

sd ''')

21(85,02

−+−=

σ

)1(85,0'85,085,0 ηω +=+

==d

dddh

)1(425,02

1)1(85,02

'1'85,02

185,0 2ηηημ −=−

+=⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞+

−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ −=

ddd

ddd

dh

dh

ddd '1 −

=−η

Portanto, resultam nas seguintes equações onde: ω=0,85(1+η)

μ=0,425(1-η2)

yd

sd

ycd

sdd ff

σω

σωων ++=


)1('

' ησ

ϖμμ −+=ycd

sdsd f

Na compressão uniforme o dimensionamento é, em geral, feito com armadura dupla.

No dimensionamento procede-se como para a flexão composta com pequena excentricidade.

47

8.5 INTERAÇÃO DE MOMENTO FLETOR E FORÇA NORMAL NA FLEXO-COMPRESSÃO

1º) Análise da 2a equação de equilíbrio:

)1('

' ησ

ϖμμ −+=ycd

sdsd f

armadura dupla

μμ =sd armadura simples

Onde μ = 0,68 βx (1-0,4 βx) para 0 < βx < 1,25 (1 + η)

μ = 0,425 (1 – η2) para βx ≥ 1,25 (1 + η)

cdw

sdsd fdb

eN2=μ

βx1 = valor de βx para μ = μsd

sdx μβ .6765,35625,125,11 −−=

• Para βx = βx1 → μsd = μ ∴ 0)1('

' =−ησ

ϖycd

sd f

e A’s=0 armadura simples

A 2a equação de equilíbrio é satisfeita com A’s = 0

• Para βx < βx1 → )1('

' ησ

ϖμμ −+=ycd

sdsd f

∴ 01

'' ≠

−−

=η

μμσϖ sd

ycd

sd f

A 2a equação de equilíbrio é satisfeita com A’s ≠ 0 comprimida

Isto só será possível com βx > η

48

• Para βx > βx1 → )1('

' ησ

ϖμμ −−=ycd

sdsd f

∴ 01

'' ≠

−−

=ημμσ

ϖ sd

ycd

sd f

A 2a equação de equilíbrio é satisfeita com A’s ≠ 0 tracionada

Isto só será possível com βx < η.

• Quando βx1 > η não é possível satisfazer a 2a equação de equilíbrio com valores de βx < η (porque a armadura As’seria tracionada e não comprimida como exige a condição de equilíbrio) nem com βx > βx1 (porque a armadura As’seria comprimida e não tracionada como exige a condição de equilíbrio).

Portanto a 2a equação de equilíbrio só é satisfeita com A’s ≠ 0 comprimida ou A’s = 0. Os valores de βx que satisfazem o equilíbrio são os do intervalo η < βx ≤ βx1

Com βx = βx1 → 0'

' =ycd

sd f

σϖ ∴ A’s= 0 → armadura simples

Com η < βx < βx1 → 0'

' ≠ycd

sd f

σϖ ∴ A’s≠ 0 → comprimida

• Quando βx1 < η não é possível satisfazer a 2a equação de equilíbrio com valores de βx < βx1 (porque a armadura As’seria tracionada e não comprimida como exige a condição de equilíbrio) nem com βx > η (porque a armadura seria comprimida e não tracionada como exige a condição de equilíbrio).

49

Portanto a 2a equação de equilíbrio só é satisfeita com A’s ≠ 0 tracionada ou A’s=0. Os valores de βx que satisfazem o equilíbrio são os do intervalo βx1 ≤ βx < η.

Com βx = βx1 → 0'

' =ycd

sd f

σϖ ∴ A’s= 0 → armadura simples

Com βx1 ≤ βx < η → 0'

' ≠ycd

sd f

σϖ ∴ A’s≠ 0 → tracionada

• Quando βx1 = η o único valor de βx que satisfaz a 2a equação de equilíbrio é

βx = βx1 = η resultando 0f ycd

sd =

''

σϖ e portanto A’s=0 → armadura simples

(única solução).

Dependendo do valor do momento reduzido, μs, quatro casos podem ocorrer:

• Caso A: quando 0 < μsd ≤ 0,68 η (1-0,4η) resultando 0 < βx1 ≤ η

A 2a equação de equilíbrio é satisfeita para βx1 ≤ βx < η

• Caso B: quando 0,68 η (1-0,4η) < μsd ≤ 0,408 resultando η < βx1 ≤ 1,00

A 2a equação de equilíbrio é satisfeita para η< βx ≤ βx1

• Caso C: quando 0,408 < μsd ≤ 0,425 resultando 1,00 < βx1 ≤ 1,25

A 2a equação de equilíbrio é satisfeita para η< βx ≤ βx1

• Caso D: quando μsd > 0,425

A 2a equação de equilíbrio é satisfeita para βx > η

2º) Análise da 1a equação de equilíbrio:

Domínios 2, 3 e 4: 0 < βx < 1

yd

sd

ycd

sdd ff

σω

σωων −+=

''

dycd

sd

yd

sd ff

νσ

ϖωσ

ω −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

'' ∴

yd

sd f

σω = tração

50

Domínios 4a e 5: 1 ≤ βx < +∞

yd

sd

ycd

sdd ff

σω

σωων ++=

''

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

ycd

sdd

yd

sd ff

''

σωων

σω ∴

yd

sd f

σω = compressão

Onde: cdw

dd dfb

N=ν

βx2 = valor de βx quando 0'

' =∴+=yd

sd

ycd

sdd ff

σω

σωων

])1(.[6765,35625,125,1 22 sddx μηνηηβ −−++=

• Para βx = βx2 → ycd

sdd f

''σ

ωων += ∴ 0=yd

sd f

σω e As = 0

A 1a equação de equilíbrio é satisfeita com As = 0.

• Para βx > βx2 → yd

sd

ycd

sdd ff

σω

σωων −+=

'' ∴ 0

'' ≠−+= d

ycd

sd

yd

sd ff

νσ

ωωσ

ω

A 1a equação de equilíbrio é satisfeita com As ≠ 0 tracionada

Isto só será possível com 0 < βx < 1 → Domínios 2, 3 e 4.

• Para βx < βx2 → yd

sd

ycd

sdd ff

σω

σωων ++=

''

∴ 0'

' ≠−−=ycd

sdd

yd

sd ff

σωων

σω

A 1a equação de equilíbrio é satisfeita com As ≠ 0 comprimida

Isto só será possível com 1 < βx < +∞ → Domínios 4a e 5.

51

• Quando βx2 < 1 não é possível satisfazer a 1a equação de equilíbrio com valores de βx < βx2 (porque a armadura As seria tracionada e não comprimida como exige a condição de equilíbrio) nem com valores de βx > 1 (porque a armadura As seria comprimida e não tracionada como exige a condição de equilíbrio).

Portanto a 1a equação de equilíbrio só é satisfeita com As ≠ 0 tracionada ou As = 0. Os valores de βx que satisfazem o equilíbrio são os do intervalo βx2 ≤ βx < 1.

Com βx = βx2 → 0=yd

sd f

σω ∴ As = 0

Com βx2 < βx < 1 → 0≠yd

sd f

σω ∴ As ≠ 0 → tracionada

• Quando βx2 > 1 não é possível satisfazer a 1a equação de equilíbrio com valores de βx > βx2 (porque a armadura As seria comprimida e não tracionada como a condição de equilíbrio exige) nem com valores de βx < 1 (porque a armadura As seria tracionada e não comprimida como a condição de equilíbrio exige).

52

Portanto a 1a equação de equilíbrio só é satisfeita com As ≠ 0 comprimida ou As = 0. Os valores de βx que satisfazem o equilíbrio são os do intervalo 1 <βx ≤ βx2.

Com βx = βx2 → 0=yd

sd f

σω ∴ As = 0

Com 1 < βx < βx2 → 0≠yd

sd f

σω ∴ As ≠ 0 → comprimida

• Quando βx2 = 1 o único valor de βx que satisfaz a 1a equação de equilíbrio é

βx = βx2 = 1 resultando 0=yd

sd f

σω e portanto As = 0 (única solução).

Dependendo do valor da força normal reduzida, νd, cinco situações podem ocorrer:

1a) η

ημν

−−

<1

425,0 2sd

d : a 1a equação de equilíbrio é satisfeita para 0 < βx <1,

com As ≠ 0 tracionada

2a) η

ημν

ηημ

−−+

<<−

−1

)1(425,01

425,0 22sd

dsd : então existe βx2

o Se βx2 < 1: a 1a equação de equilíbrio é satisfeita para βx2 ≤ βx < 1

com βx = βx2 → As = 0

com βx2 < βx < 1 → As ≠ 0 tracionada

o Se βx2 = 1: a 1a equação de equilíbrio é satisfeita para βx = βx2 = 1 com As = 0

o Se βx2 > 1: a 1a equação de equilíbrio é satisfeita para 1 < βx ≤ βx2

com βx = βx2 → As = 0

com 1 < βx < βx2 → As ≠ 0 comprimida

3a) η

ημν

−−+

>1

)1(425,0 2sd

d : a 1a equação de equilíbrio é satisfeita para

βx > 1, com As ≠ 0 comprimida.

Combinando-se os intervalos para βx que satisfazem a 2a equação de equilíbrio com os intervalos para βx que satisfazem a 1a equação de equilíbrio, verifica-se o aparecimento de sub-casos dentro dos casos A, B, C e D, aos quais correspondem intervalos para βx de modo que as duas equações de equilíbrio sejam satisfeitas.

53

8.6 FNC - CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO EM SEÇÕES RETANGULARES

8.6.1 INTRODUÇÃO

u

u

NM

e = 2

'ddees−

+=

8.6.2 FLEXÃO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE

Ocorre nos domínios 2, 3 e 4. Uma das armaduras é tracionada.

Posição da Linha Neutra

0 < x < d ∴ 0 < βx < 1

Com dx

x =β resulta sc

cx εε

εβ

+=

Deformação e Tensão em As

As área da seção da armadura tracionada

εs deformação em As (alongamento)

σs tensão em As (tração)

54

a) No domínio 2: 0 < βx < 0,259

0 < εc < 0,35%

εs = 1% → σs = fyd

b) No domínio 3: 0,259 ≤ βx ≤ βxy

εc = 0,35%

εyd ≤ εσ < 1% → σs = fyd

ydxy ε

β+

=0035,0

0035,0

c) No domínio 4: βxy < βx < 1

εc = 0,35%

0 < εs < εyd → σs < fyd

x

xs β

βε

+=

10035,0

Tensão no aço → σs = Es εs (reta de Hooke)

Deformação e Tensão em A’s

A’s área da seção da armadura comprimida

ε's deformação em A’s (encurtamento)

σ's tensão em A's (compressão)

a) No domínio 2: 0 < βx < 0,259

0 < εc < 0,35%

εs = 1% x

xs β

ηβε

−−

=1

01,0' com dd '

=η

b) Nos domínios 3 e 4: 0,259 ≤ βx < 1

εc = 0,35%

0 < εs < 1% x

xs β

ηβε

−= 0035,0' com

dd '

=η

Aços βxy CA-25 0,772 CA-50 0,628 CA-60 0,585

55

Tensão no aço:

o Se βx < β’xy → σ’s = Es ε’s

o Se βx ≥ β’xy → σ’s = fycd

β´xy Aços η=0,05 η=0,08 η=0,10 η=0,12 η=0,15

CA-25 0,139 0,166 0,184 0,203 0,230 CA 50 0,213 0,238 0,254 0,294 0,367 CA 60 0,239 0,276 0,345 0,414 0,517


No caso de armadura dupla

Nu = Rc + R’s - Rs



R’s = A’s σ's

Rs = As σs

2ydzc −= = d (1+0,4bx)

y = 0,8 x y = 0,8 βx d

x = βx d

Resultam:

Nu = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s - As σs


No caso de armadura simples: A’s = 0

Nu = Rc - Rs

Nu es = Rc zc

Nu = bw d 0,68 βx fcd - As σs

Nu es = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx)

56

8.6.3 FLEXÃO COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADE

Ocorre no domínio 4a. As armaduras são comprimidas.


d ≤ x < h ∴ 1 ≤ βx < 1+η

Com dx

x =β resulta sc

cx εε

εβ

−=


As área da seção da armadura menos comprimida

εs deformação em As (encurtamento)

σs tensão em As (compressão)

xdxcs εε

=−

∴ x

xs β

βε

10035,0

−=

Tensão no aço: → σs = Es εs


A’s área da seção da armadura mais comprimida

ε's deformação em A’s (encurtamento)

σ's tensão em A’s (compressão)

xdxcs εε

=− '' ∴

x

xs β

ηβε

−= 0035,0'

Tensão no aço: → σ's = fycd

57


Neste caso, com armadura dupla (eventualmente A’s = 0)





Rs = As σs

2ydzc −= = d (1-0,4βx)

y = 0,8 x y = 0,8 βx d

x = βx d

Resultam:

Nu = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s + As σs


8.6.4 COMPREESÃO NÃO UNIFORME

Ocorre no domínio 5. Toda a seção é comprimida.


h ≤ x < +∞ ∴ 1+η ≤ βx < +∞

Com dx

x =β resulta s

s

x ε

εηβ

−

+−=

002,0

)1(73002,0

58


As área da seção da armadura menos comprimida

εs deformação em As (encurtamento)

σs tensão em As (compressão)

)1(73

1002,0

ηβ

βε

+−

−=

x

xs

1) Para aço CA-25

Se βx < βxy → σs = Es εs

Se βx ≥ βxy → σs = fycd

βxy = βx quando εs = ε’yd

2) Para aços CA-50 e CA-60 → σs = Es εs


A’s área da seção da armadura mais comprimida

ε’s deformação em A’s

σ’s tensão em A’s

)1(73

002,0'ηβ

ηβε

+−

−=

x

xs

1) Para aço CA-25 → σ’s = fycd

2) Para aços CA-50 e CA-60

Se βx ≤ β’xy → σ’s = fycd

Se βx > β’xy → σ’s = Es ε’s

β’xy = βx quando ε’s = ε’yd

59

____ β´xy

Aços

η=0,05 η=0,08 η=0,10 η=0,12 η=0,15

CA 50 11,815 11,341 11,024 10,708 10,234

CA 60 2,101 2,043 2,005 1,966 1,908


Neste caso com armadura dupla

Nu = Rc + R's + Rs

Nu es = Rc zc + R's (d – d’)

1º caso: para h ≤ x ≤ 1,25h

∴1+η ≤ βx ≤ 1,25 (1+η)

Vale a hipótese y = 0,8x com x = βx d e então y = 0,8 βx d


R's = A's σ's

Rs = As σs

Resultam:

Nu = bw d 0,68 βx fcd + A's σ's + As σs

Nu es = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx) + A's σ's (d – d’)

2º caso: para 1,25h < x < +∞

∴1,25(1+η) <βx < +∞

Não vale a hipótese y = 0,8x porque y = h (=cte)

Rc = bw y 0,85 fcd

R's = A's σ's Rs = As σs

2hdzc −=

60

Resultam:

Nu = bw d 0,85 fcd + A's σ's + As σs

(d- d') σ A) h (d - f, h b eN sscdwsu ''2

850 +=

61

9 COMPRESSÃO UNIFORME

Compressão uniforme é o caso de solicitação normal que se caracteriza pela presença só de força normal de compressão centrada na seção.

At: área total de armadura comprimida distribuída na seção de modo que o seu CG coincida com o CG da seção de contorno.

Ac: área da seção transversal de concreto (seu CG deve coincidir com o ponto de aplicação da força normal na seção).

No diagrama de domínios de deformações, corresponde à reta b.

A seção resistente é constituída por concreto (Ac) e armaduras (At).


∑=

+=n

isicu RRN

1

Rc = ( Ac – At) 0,85 fcd

Rsi = Asi σsi

Asi área de armadura de cada camada

σsi tensão de compressão nas barras da camada i

σsi = σs2d (igual para todas as barras porque εsi = 0,2%)

σs2d tensão de compressão correspondente à deformação total de 0,2% no diagrama tensão-deformação do aço empregado.

62

si

n

isicdtcu AfAAN σ∑

=

+−=1

85,0)(

d2s

n

1isicdtcu Af850AAN σ∑

=

+−= ,)(

∑=

+−=n

1isid2scdtcu Af850AAN σ,)(

∑=

=n

isit AA

1 At = área total da armadura

Nu = (Ac – At) 0,85 fcd + At σs2d



Nd valor de cálculo da força normal Nd = γf . N

Aço σs2d

(MPa) CA-25 217

CA-50 420

CA-60 420

63

10 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA – FORÇA NORMAL DE TRAÇÃO

10.1 INTRODUÇÃO

Compressão: N > 0

Tração: N < 0

Momento: M > 0 nas equações de equilíbrio

Flexo-Tração: domínios 2, 3 ou 4 → 0 < βx < 1

Mu > 0 ∴ 0<=u

u

NM

e ; 02

'<

−+=

ddees

Nu < 0

Tração Não Uniforme: domínio 1 → -∞ < βx ≤ 0

Mu > 0 ∴ 0<=u

u

NM

e ; 02

'>

−+=

ddees

Nu < 0

10.2 FLEXO-TRAÇÃO

Flexo-tração é o caso de flexão composta com força normal de tração em que uma das armaduras é tracionada havendo parte da seção de concreto comprimida.

As área da secção transversal da armadura tracionada A’s área da secção transversal da armadrua comprimida Ocorre nos domínios de deformações 2, 3 e 4.

Portanto 0 < x < d ∴ 0 < βx < 1

64


Nu = Rc + R’s – Rs com Nu < 0 ; es < 0


y = 0,8 x e x = βx d ∴ y = 0,8 βx d

Rc = bw y 0,85 fcd ∴ Rc = bw d 0,68 βx fcd


Rs = As σs

),(,x

xc 401d

2d80d

2ydz ββ

−=−=−=


Nu = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s – As σs

Nu es = bw d2 0,68 βx fcd ( 1 - 0,4 βx) + A’s σ’s (d – d’)



Nd valor de cálculo da força normal Nd = γf N

Md valor de cálculo do momento fletor Md = Nd e

Então:

Nd = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s – As σs com Nd < 0 e es < 0

Nd es = bw d2 0,68 βx fcd ( 1 - 0,4 βx) + A’s σ’s (d – d’)

65

Dividindo-se os dois membros da 1a equação por bw d fcd e os dois membros da 2a equação por bw d2 fcd, resultam as equações na forma adimensional

cd

s

w

s

cd

s

w

sx

cdw

d

fdbA

fdbA

dfbN σσ

β −+=''

68,0

ddd

fdbA

fdbeN

cd

s

w

sxx

cdw

sd ''')4,01(68,02

−+−=

σββ

cdw

dd dfb

N=ν normal reduzida

dd '

=η

cdw

sdsd fdb

eN2=μ momento reduzido

ddd '1 −

=−η

ω = 0,68 βx tabelados

μ = 0,68 βx (1 – 0,4 βx)

cd

s

w

sd fdb

A σω = taxa mecânica de armadura referente a As

cd

s

w

sd fdb

A '''

σω = taxa mecânica de armadura referente a As’

cd

s

w

s

yd

sd fdb

Af

σσω = e

cd

s

w

s

ycd

sd fdb

Af

''''

σσω =

Então:

yd

sd

ycd

sdd ff

σω

σωων −+=


)1('

' ησ

ωμμ −+=ycd

sdsd f

No caso de seção com armadura simples:

As’ = 0 ∴ Rs’ = 0 e Rs’ (d – d’) = 0

Nu = Rc – Rs com Nu < 0 e es < 0

Nu es = Rc zc

66

Com Nu = Nd ficam:

Nd = Rc – Rs = bw d 0,68 βx fcd – As σs

Nd es = Rc zc = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4 βx)

cd

s

w

sx

cdw

d

fdbA

dfbN σ

β −= 68,0

)4,01(68,02 xxcdw

sd

fdbeN

ββ −=

yd

sdd f

σωων −= Equações para seção com armadura simples

μμ =sd

As relações yd

s

fσ e

ycd

s

f'σ são também tabeladas.

1o) Dimensionamento com armadura simples:


ω

Da 1a equação: dyd

sd f

νωσ

ω −=


s

fσ ∴

yd

s

dd

fσ

νωω

−=

Daí obtém-se: yd

cdwds f

fdbA ω=

2o) Dimensionamento com armadura dupla:


ω

67

Da 2a equação: η

μμσω

−−

=1

'' sd

ycd

sd f


s

f'σ ∴

ycd

s

sd

d

f'

1'σ

ημμ

ω −−

=

Daí obtém-se: ycd

cdwds f

fdbA '' ω

Da 1a equação: dfycd

sd

yd

sd ff

νσ

ωωσ

ω −+='

'


s

fσ ∴

yd

s

dycd

sd

d

f

fσ

νσ

ωωω

−+

=

''

Daí obtém-se: yd

cdwds f

fdbA ω=

3o) Interação de momento fletor e força normal na flexo-tração

Na flexo-tração (que ocorre nos domínios 2, 3 ou 4) pode ocorrer o Caso A ou o Caso B como vistos na flexo-compressão.

• Caso A: 0 < μsd ≤ 0,68 η (1 – 0,4η) ∴ 0 < βx1 ≤ η

Neste caso, adotar βx = βx1 ∴ A’s = 0 Armadura simples

• Caso B: 0,68 η (1 – 0,4η) < μsd ≤ 0,408 ∴ η < βx1 ≤ 1

Neste caso, adotar η < βx ≤ βx1

Para βx = βx1

μsd = μ ∴ A’s = 0 Armadura simples

Para η < βx < βx1

)1('

' ησ

ωμμ −+=ycd

sdsd f

0)1('

' ≠−ησ

ωycd

sd f

∴ As’ ≠ 0 Armadura dupla

68

10.3 TRAÇÃO NÃO UNIFORME

Tração não uniforme é o caso de flexão composta com força normal de tração em que toda a seção transversal da peça é tracionada, inclusive as armaduras.

As área da seção transversal da armadura mais tracionada

A’s área da seção transversal da armadura menos tracionada

Ocorre no domínio 1 de deformações.

Portanto -∞ < x ≤ 0 ∴ -∞ < βx ≤ 0

A seção resistente é composta só por armaduras.


Nu = R’s + Rs R’s = A’s σ’s

Nu es = R’s (d – d’) Rs = As σs

com Nu em valor absoluto

Nu = A’s σ’s + As σs

Nu es = A’s σ’s (d - d’)




Md valor de cálculo do momento fletor Md = Nd e

Nd = A’s σ’s + As σs com Nd em valor absoluto

Nd es = A’s σ’s (d - d’)

σs = fyd porque εs = 1% > εyd para os aços da A.B.N.T.

69

σ's = fyd porque a situação mais econômica é aquela que resulta de admitir-se para βx valor tal que σ’s = fyd.

Então:

Nd = A’s fyd + As fyd

Nd es = A’s fyd (d - d’)

Seção com armadura dupla (caso que deverá ser adotado sempre na tração não uniforme)

Dimensionamento:

Da 2a equação: '

'dd

efN

A s

yd

ds −

=

Com esse resultado na 1a equação deduz-se: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

'1

dde

fN

A s

yd

ds

70

11 TRAÇÃO UNIFORME

Tração uniforme é o caso de solicitação normal que se caracteriza pela presença só de força normal de tração centrada na seção.

At: área total de armadura tracionada distribuída na seção de modo que o seu CG coincida com o ponto de aplicação da força normal na seção.

No diagrama de domínios de deformações, corresponde à reta a.

A seção resistente é composta só por armaduras.

Equação de equilíbrio:

∑=

=n

isiu RN

1

∑=

=n

isisiu AN

1

σ com Nu em valor absoluto

Rsi = Asi ssi

Asi = área de armadura de cada camada

σsi = tensão de tração nas barras da camada i

σsi = fyd porque εsi = 1% > εyd para os aços da A.B.N.T.

∑∑==

==n

isiyd

n

iydsiu AffAN

11

∑=

=n

isit AA

1 At = área total da armadura

Nu = At fyd

71




Então:

Nd = At fyd com Nd em valor absoluto

Dimensionamento:

yd

dt f

NA =

com CG coincidente com o ponto de aplicação de Nd na seção.

72

12 FLEXÃO OBLÍQUA

12.1 CÁLCULO EXATO

São dadas a seção e a armadura.

Condições de equilíbrio:

∑∫∫=

+=n

isidsicdd AdxdyN

1

... σσ

∑∫∫=

=+=n

ixdsidsicdxd eNxAdxdyxM

1...... σσ

∑∫∫=

=+=n

iydsidsicdyd eNyAdxdyyM

1

...... σσ

Condições de compatibilidade:

As condições de compatibilidade são decorrentes da manutenção da forma plana da seção transversal.

73

Dada a posição da L.N. e conhecida a deformação em uma fibra da seção, ficam determinadas as deformações de todas as outras fibras e, portanto, as respectivas tensões n concreto e nas barras da armadura.

No domínio 2, εsd=1%. Nos domínios 3, 4 e 4a, εc1d=0,35%. No domínio 5, εcod=0,2%.

Solução do problema:

Para uma dada seção transversal, adota-se um valor de Nd e portanto tem-se:

cdc

dd fA

N=ν

Adota-se uma inclinação α para a linha neutra e, para valores crescentes de x, calcula-se Nd. Quando se obtém o valor pré-estabelecido para Nd, para esse valor de x são calculados Mxd e Myd. Portanto tem-se:

cdxc

xdxd fhA

M=μ

cdyc

ydyd fhA

M=μ

Mxd é o momento que atua no plano que contém o eixo x e Myd é o momento que atua no plano que contém o eixo y.

Adotam-se, a seguir, novas inclinações α para a linha neutra e repete-se, para cada uma delas, o processo descrito anteriormente. Obtém-se desse modo, por pontos, o diagrama de interação (μxd, μyd, νd=cte).

Para νd = valor dado, para cada taxa total de armadura, ωt, tem-se uma curva como a da figura acima, à direita. Variando a taxa de armadura, obtém-se novas curvas de interação.

74

12.2 SUPERFÍCIES DE INTERAÇÃO E DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO

Adotando-se a forma da seção transversal e o arranjo das armaduras, podem ser determinados os termos de valores Nd, Mxd e Myd que levam a seção transversal ao estado limite último. Para cada taxa total de armadura os ternos Nd, Mxd e Myd pertencem a uma superfície de interação.

A propriedade importante dessas superfícies de interação (Nu, Mxu, Myu) é a sua convexidade. Essa propriedade permite o estabelecimento de processos aproximados de cálculo a favor da segurança.

A apresentação das superfícies de interação é feita por meio de ábacos chamados de ábacos em roseta, correspondentes a cortes da superfície de interação definidos para diferentes valores de νu.

Esses ábacos podem ser também apresentados em função de

x

x

he

e y

y

he

ou x

x

he.ν

e y

y

he.ν

.

solicitaÇÕes normais cÁlculo no estado limite Último

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