cálculo diferencial e integral 1 limite e continuidade de

Cálculo Diferencial e Integral ILimite e Continuidade de Funções

Prof. Angelo Aliano Filho

Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR

1º semestre de 2022

Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 1 / 63

Sumário

1 Limite de uma função real

2 Continuidade de funções


Limite de uma função real

Sumário





Limite de uma função realNotas de aula a partir dos livros: [1, 2, 3, 4].

Utilizando a ideia intui-tiva de limite, calculelimx→1

x2−1x−1 .

Claro que f não está defi-nida em x = 1; no entantopodemos nos aproximar de1 quanto quisermos.Fazendo as contas, obte-mos a tabela ao lado.

x f (x) x f (x)

0.9 1.9 1.1 2.10.91 1.91 1.09 2.090.92 1.92 1.08 2.080.93 1.93 1.07 2.070.94 1.94 1.06 2.060.95 1.95 1.05 2.050.96 1.96 1.04 2.040.97 1.97 1.03 2.030.98 1.98 1.02 2.020.99 1.99 1.01 2.01

Parece que x → 1, f (x)→ 2.Aliano, A.F. (UTFPR) Cálculo I 1º semestre de 2022 4 / 63



De fato, x → 1 não significa x = 1;

Logo, podemos simplificar f já que x 6= 1:

f (x) =x2 − 1x − 1

= ��(x − 1)(x + 1)��x − 1

= x + 1

Portanto, f (x) = x + 1 para todo x 6= 1.

Assim, esperamos aproximarmos de y = 2quando x se aproxima de 1, como espe-rado.

x

f (x)

−1 0 1 2 3

−1

0

1

2

3

4




Considere outro exemplo:

Parece que x → 1, f (x)→ 1/2. Seria verdadeira nossa intuição?




Utilizando a ideia intui-tiva de limite, calculelimx→0 sin

1x .

Claro que f não está defi-nida em x = 0; no entantopodemos nos aproximar de0 quanto quisermos.Fazendo as contas, obte-mos a tabela ao lado.

x f (x) x f (x)

0.2 −0.9589 0.1 −0.5440.19 −0.8521 0.09 −0.99330.18 −0.6651 0.08 −0.06630.17 −0.3902 0.07 0.9890.16 −0.0332 0.06 −0.81840.15 0.3742 0.05 0.91290.14 0.7576 0.04 −0.13240.13 0.987 0.03 0.94050.12 0.8873 0.02 −0.26240.11 0.3277 0.01 −0.5064

Para onde f tende quando x → 0? Há casos onde uma tabelanão funciona!




Situação 1:

x

y

f

f (p)

p

Quando x → p, f (x)→ f (p); f écontínua em x = p

Situação 2:

x

y

f

L

p

Quando x → p, f (x)→ L; mas fnão é contínua em x = p




Situação 3:

x

y

f (p)

f

L

p

Quando x → p, f (x)→ L 6= f (p);f não é contínua em x = p

Situação 4:

x

y

f (p)

f

p

Quando x → p, f (x) não tendea nenhum valor; f também não

é contínua em x = p



Continuidade de funções

Nas situações 1, 2 e 3 o limite de f quando x → p existe. Issopode ser sistematizado por meio da seguinte definição.

Definição de limite

Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio ou extremi-dade de um dos invervalos que compõem o domínio de f . Dize-mos que f tem limite L em p se, para todo ε > 0 dado, existir umδ > 0 tal que, para todo x ∈ D(f ):

0 < |x − p| < δ =⇒ |f (x)− L| < ε.

Tal número L deve ser único, finito e real e será indicado por L =lim

x→pf (x)

Já na situação 4 o limite não existe.




Propriedades

Sejam f ,g : D → R e p ∈ R tal que todo intervalo aberto con-tendo p intersecte D \ {p}. Se lim

x→pf (x) = L1 e lim

x→pg(x) = L2 então:

limx→p

(f (x)± g(x)) = L1 ± L2

limx→p

(f (x) · g(x)) = L1 · L2

Se g(x) 6= 0 para todo x ∈ D e L2 6= 0 então limx→p

f (x)g(x)

=L1

L2.

Se c ∈ R então limx→p

(c · f (x)) = c · L1




Exemplo

Avalie os limites:

limx→2

x3 − 2x + 1x2 − 1

limx→1

x3 − 2x + 1x2 − 1

limx→1

(1

1− x− 3

1− x3

)limx→1

√x − 1

x − 1




Limite lateral esquerdo

Sejam f : D → R e p ∈ R tais que para todo r > 0, o intervalo(p − r ,p) intersecte D. Dizemos que o limite f (x) quando x tendea p pela esquerda é igual a L, escrevendo lim

x→p−f (x) = L se para

todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

p − δ < x < p =⇒ |f (x)− L| < ε.




Limite lateral direitoSejam f : D → R e p ∈ R tais que para todo r > 0, o intervalo(p,p + r) intersecte D. Dizemos que o limite f (x) quando x tendea p pela direita é igual a L, escrevendo lim

x→p+f (x) = L se para todo

ε > 0 existe δ > 0 tal que:

p < x < p + δ =⇒ |f (x)− L| < ε.




TeoremaSejam f : D → R e a ∈ R tais que para todo r > 0, os intervalos(p − r ,p) e (p,p + r) intersectam D. Então, lim

x→pf (x) = L se, e

somente se, limx→p−

f (x) = limx→p+

f (x) = L.




x

y

f (p)

f

px

Limite lateral esquerdo limx→p−

f (x)

x

y

f (p)

f

p x

Limite lateral direito limx→p+

f (x)




Nosso objetivo é estudar limx→p

f (g(x)). Suponhamos que limx→p

g(x) =

a. É razoável esperar que

limx→p

f (g(x)) = f(lim

x→pg(x)

)= f (a).

Teorema – limite da função composta

Se f é contínua em a e limx→p

g(x) = a então

limx→p

f (g(x)) = f(lim

x→pg(x)

)= f (a).




Exemplo

Sejam f e g definidas em R de dadas por g(x) = x2 e

f (x) ={

x + 1, se x 6= 13, se x = 1

Verifique se

limx→1

f (g(x)) = f(limx→1

g(x)).

O que você conclui?

Exemplo

Calcule

limx→2

3√

x − 3√

2x − 2

.



Limites infinitos e no infinito

Teorema do confrontoSejam f , g e h funções definidas em R não necessariamente emx = p, satisfazendo f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x 6= p. Se

limx→p

f (x) = limx→p

h(x) = L

entãolim

x→pg(x) = L.

Exemplo

Calcule o limite limx→0

x cos1x.




Teorema do anulamentoSe f ,g : D → R são funções tais que f é limitada (na vizinhançade p) e lim

x→pg(x) = 0 então lim

x→p(fg)(x) = 0.

Exemplo

Calcule o limite limx→0

sin(x) · x2 + 1x2 + 2

.



Limites fundamentais

Seja f : R \ {0} → R definida por f (x) = sin xx . Queremos calcular

limx→0

sin xx

. Note que a regra do limite do quociente não poderá

ser aplicada.

Teorema – limite fundamental 1Limite trigonométrico fundamental é:

limx→0

sin xx

= 1




Da figura vemos que sin θ < θ < tan θ...

x

y

·

C

B D

E

O

θ

Figura: Limite fundamental trigonométrico




Exemplos

Usando o limite trigonométrico fundamental, calcule os limites:

limx→0

tan 2xx

limx→0

sin 3xsin 5x

limx→0

1− cos xx

limx→0

1− cos xx2




Seja f : R \ {0} → R definida por f (x) = ax−1x com 1 6= x > 0. Que-

remos calcular limx→0

f (x). Note que o valor deste limite depende

de a.Para a = 2 o valor deste é ≈0.6912Para a = 3 o valor deste é ≈1.104

Definição – número de Euler

O número 2 < e < 3 chamado de número de Euler é tal que

limx→0

ex − 1x

= 1.




x

f (x)

−2 −1 0 1 2−1

0

1

2

3

4

5

a = 1.5

a = 2

a = 3

a = 3.5

Figura: Função f (x) = ax−1x para vários valores de a




Teorema – limite fundamental 2O segundo limite fundamental é:

limx→0

(1 + x)1/x = limx→∞

(1 +

1x

)x

= e




Teorema – limite fundamental 3O terceiro limite fundamental é:

limx→0

ax − 1x

= lna,

onde 1 6= a > 0.




Exemplos

Calcule os limites a seguir:

limx→0

ax − bx

x

limx→∞

(x + 1x + 3

)x

limx→0

(1 + ax)bx

limx→0

e√

x − 13√

x




Algumas propriedades úteis para limites infinitos

Suponha que f (x) = h(x)g(x) onde lim

x→a−= L 6= 0 e lim

x→a−g(x) = 0.

1. Se g(x) > 0 então:

limx→a−

f (x) = limx→a−

h(x)g(x)

=

{+∞, se L > 0−∞, se L < 0.

2. Se g(x) < 0 então:

limx→a−

f (x) = limx→a−

h(x)g(x)

=

{+∞, se L < 0−∞, se L > 0.




Algumas propriedades úteis para limites infinitos

Suponha que f (x) = h(x)g(x) onde lim

x→a+= L 6= 0 e lim

x→a+g(x) = 0.

1. Se g(x) > 0 então:

limx→a+

f (x) = limx→a+

h(x)g(x)

=

{+∞, se L > 0−∞, se L < 0.

2. Se g(x) < 0 então:

limx→a+

f (x) = limx→a+

h(x)g(x)

=

{+∞, se L < 0−∞, se L > 0.




Exemplo

Calcule os limites laterais em torno de ±1 da função f (x) = xx2−1




Definição: limite +∞Seja f uma função e suponhamos que exista a tal que [a,+∞) ⊂D(f ). Definimos

limx→+∞

f (x) = L

se para qualquer ε > 0, existir um δ > 0 com δ > a tal que sex > δ =⇒ |f (x)− L| < ε.




x

f (x)f

L − εL

L + ε

δ

Figura: Ilustração geométrica da definição do limite no infinito




Definição: limite −∞Seja f uma função e suponhamos que exista a tal que (i∞,a] ⊂D(f ). Definimos

limx→−∞

f (x) = L

se para qualquer ε > 0, existir um δ > 0 com −δ < a tal que sex < −δ =⇒ |f (x)− L| < ε.




Definição: assíntota vertical

Diremos que a reta vertical x = a é uma assíntota vertical aográfico de uma função f se for satisfeita uma qualquer das con-dições abaixo:

limx→a−

f (x) = −∞, limx→a−

f (x) = +∞

oulim

x→a+f (x) = −∞, lim

x→a+f (x) = +∞.




x

y

f

a

Figura: Função com assíntotavertical em x = a

x

y f

a

Figura: Função com assíntotavertical em x = a




Definição: assíntota horizontal

Diremos que a reta horizontal y = L é uma assíntota vertical aográfico de uma função f se for satisfeita uma qualquer das con-dições abaixo:

limx→+∞

f (x) = L <∞

oulim

x→−∞f (x) = L <∞




x

yπ2

−π2

Figura: Função f (x) = arctan x

x

y

1

Figura: Função f (x) = e−1/x2




Exemplo

Considere a função f (x) = 2x2−x−1x2−1 definida em R \ {−1, 1}. Verifi-

que a presença de assíntotas verticais e horizontais para ela.




Função tendendo a +∞Suponhamos que exista a tal que ]a,+∞[⊂ D(f ). Definimos

limx→+∞

f (x) = +∞,

se para qualquer ε > 0, existe δ > 0 com δ > a tal que x > δ =⇒f (x) > ε.




Função tendendo a −∞Suponhamos que exista a tal que ]a,+∞[⊂ D(f ). Definimos

limx→+∞

f (x) = −∞,

se para qualquer ε > 0, existe δ > 0 com δ > a tal que x > δ =⇒f (x) < −ε.




Proposição

Monômios no +∞:

limx→+∞

cxk = +∞ se c > 0 e limx→+∞

cxk = −∞ se c < 0

onde c ∈ R e k ∈ Z




Proposição

Monômios no −∞:

limx→−∞

cxk = +∞ se c > 0 e limx→−∞

cxk = −∞ se c < 0

onde c ∈ R e k ∈ Z par

limx→−∞

cxk = −∞ se c > 0 e limx→−∞

cxk = +∞ se c < 0

onde c ∈ R e k ∈ Z ímpar




x

y

n = 1

n = 3

n = 5

Figura: Função f (x) = cxn, c > 0 en ímpar

x

y

n = 1

n = 3

n = 5

Figura: Função f (x) = cxn, c < 0 en ímpar




x

y

n = 2

n = 4

n = 6

Figura: Gráfico da funçãof (x) = cxn, c > 0 e n par

x

y

n = 2

n = 4

n = 6

Figura: Gráfico da funçãof (x) = cxn, c > 0 e n par




Algumas propriedades úteis para limites no infinito

Suponha que limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞ então:

1. limx→+∞

[f (x) + g(x)] = +∞

2. limx→+∞

f (x)g(x) = +∞


f (x) = L <∞ e limx→+∞

g(x) = +∞ então:

3. limx→+∞

[f (x) + g(x)] = +∞

4. limx→+∞

f (x)g(x) ={

+∞, se L >0−∞, se L >0






f (x) = −∞ e limx→+∞

g(x) = +∞ então:

5. limx→+∞

f (x)g(x) = −∞


f (x) = L <∞ e limx→+∞

g(x) = +∞ então:

6. limx→+∞

[f (x) + g(x)] = +∞


f (x) = L <∞ e limx→+∞

g(x) = −∞ então:

7. limx→+∞

[f (x) + g(x)] = −∞






f (x) = −∞ e limx→+∞


8. limx→+∞

[f (x) + g(x)] = −∞

9. limx→+∞

f (x)g(x) = +∞


f (x) = L <∞ e limx→+∞


10. limx→+∞

f (x)g(x) ={−∞, se L >0+∞, se L >0




Exemplo

Estude o comportamento assintótico da função p(x) = −3x3 −25x2 + 4x − 7

Exemplo

Estude o comportamento assintótico da função

f (x) =amxm + am−1xm−1 + · · ·+ a1x + a0

bnxn + bn−1xn−1 + · · ·+ b1x + b0

onde am,bn 6= 0




Exemplo

Calcule os limites:

limx→∞

x2 − 12x2 + 1

limx→−∞

√x2 + 2

2x + 1

limx→∞

(x −√

x + 1)




Formas indeterminadasEstas expressões necessitam ser calculadas cuidadosamente(são indeterminações):

00, 00, 1∞, ∞−∞, ∞

∞, 0 · ∞, ∞0,

portanto, muito cuidado ao deparar-se com elas!



Sumário






x

y

f

f (p)

px

y

f (p)

f

p

Intuitivamente, uma função contínua em um ponto p de seudomínio é uma função cujo gráfico não apresenta “salto” emx = p.




Definição de continuidade

Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. Dizemos quef é contínua em p se, e somente se, para todo ε > 0, existir umδ > 0 tal que, para todo x ∈ D(f ):

0 < |x − p| < δ =⇒ |f (x)− f (p)| < ε

Exemplo

Prove que f (x) = 2x + 1 é contínua em x = 1, via definição.




Definição alternativa de continuidade

Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. Dizemos quef é contínua em p se, e somente se, a seguinte condição forverdadeira:

limx→p

f (x) = f (p),

isto é, “pequenas variações no domínio promovem pequenasvariações na imagem”.




Definição alternativa de continuidade

A condição anterior leva a três condição para que f seja contí-nua em x = p:

1 f (p) existir;2 lim

x→pf (x) existir (implica os limites laterais x → p+ e x → p−

existirem e serem iguais)3 lim

x→pf (x) = f (p)




x

y

f

L

p

Note que, para f (p) está indefinida, logo f é descontínua emx = p




x

y

f (p)

f

L

p

Note que, embora f (p) exista, limx→p

f (x) = L 6= f (p), logo f é des-

contínua em x = p




x

y

f (p)

f

pp − δ p − δ

f (p)− ε

f (p) + ε

Note que, para p−δ < x < p+δ não implica que f (p)−ε < f (x) <f (p) + ε porque f é descontínua em x = p




Proposição

Se p é um polinômio qualquer, então, para todo a ∈ R,

limx→a

p(x) = p(a).




Proposição

Sejam f ,g : D → R funções tal que D ⊂ R tal que qualquer inter-valo aberto contendo p intersecte D\{p}. Se f e g são contínuas,então:

f + g : D → R é contínuaf · g : D → R é contínuafg : D∗ → R em que D∗ = {x ∈ D|g(x) 6= 0} é contínua.




Exemplo

Considere

f (x) ={

2, se x ≥ 11, se x < 1

Prove que f é descontínua em x = 1.

Exemplo

Determine todos os valores de x para os quais a função

f (x) =2− x

(3 + x2)(5− x)+

4 + x2

(3 + x)(2− 4x)

é contínua.



Referências I

A. C. Muniz Neto, “Fundamentos de cálculo (coleçãoprofmat),” Rio de Janeiro: SBM, 2015.

H. L. Guidorizzi, “Curso de calculo,” 1987.

G. F. Simmons, J. J. Martínez Fernández, et al., “Cálculo ygeometría analítica,” 2002.

J. Stewart and J. H. Romo, cálculo.Pioneira Thomson Learning, 2006.


cálculo diferencial e integral 1 limite e continuidade de

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