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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA

CAMPUS IV-CCAE

CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PROFESSOR José Elias Dos Santos Filho

Limite de uma Função

I) Introdução ao Limite de uma Função

Você já deve ter tido a experiência de tentar calcular o custo aproximado de um produto. Imagine

você perguntando a um amigo sobre o custo do quilo do feijão carioquinha nos mercados de sua cidade e

obtém a seguinte resposta: “O custo do feijão carioquinha nos mercados de nossa cidade, eu não sei ao

certo, mas sei que é de aproximadamente R$5,00.”

Veja que se você necessita de 7 quilos de feijão carioquinha, o que teremos é uma estimativa de

quanto você vai gastar para obter os 7 quilos de feijão, isto é, quanto mais próximo de R$5,00 estiver o

custo do feijão, o valor a ser pago pelos 7 quilos estará cada vez mais próximo do valor de R$35,00.

Observe que se “ x ” representa o custo do quilo do feijão carioquinha e “ P ” representa o valor a

ser pago pro 7 quilos de feijão, então ( ) 7P x x . Note que, pela situação problema descrito

anteriormente, vemos que se x estiver cada vez mais próximo do valor 5 (denotaremos isso da forma

5x ), teremos ( )P x cada vez mais próximo de 35 (denotaremos isso da forma ( ) 35P x ).

Podemos representar esse fato da seguinte forma:

5lim ( ) 35x

P x

A notação acima nos diz que se x é um valor suficientemente próximo de 5, então o valor da função

( ) 7P x x estará cada vez mais próximo do valor 35.

Veja gráfico abaixo, bem como a planilha de valores, e constate o limite 5

lim ( ) 35x

P x

.

2

II) Noção Intuitiva do Limite

O que faremos agora é estudar o que acontece com os valores de uma função ( )f x quando o

valor de x estiver suficientemente próximo de um ponto a , ou seja, se x a , qual o comportamento

dos valores de ( )f x .

Para ficar mais claro o estudo do limite de uma função num ponto, considere a função

2 1( )

1

xf x

x

, onde ( ) {1}Dom f IR , ou seja,

2 1( )

1

xf x

x

não esta definida para 1x .

Vamos ver o comportamento dos valores de ( )f x , quando 1x . Para isso, observe a tabela

abaixo com valores de 1x (tanto valores x<1 quanto x>1) e os respectivos valores de ( )f x .

Observamos pela tabela acima que se x tende 1, ou seja, 1x então os valores de

2 1( )

1

xf x

x

estarão cada vez mais próximos de 2, isto é, ( ) 2f x sempre que 1x .

Desta forma, diremos que o limites de

2 1( )

1

xf x

x

quando 1x é 2 e denotaremos este fato

da forma

2

1 1

1lim ( ) lim 2

1x x

xf x

x

.

Veja graficamente a ilustração do limite da função

2 1( )

1

xf x

x

quando 1x .

3

Pelo gráfico da função, observe que se o valor de x estiver suficientemente próximo do valor 1, o

valor de ( )f x estará cada vez mais próximo do valor 2. Assim, diremos que o limite de ( )f x quando x

tende a 1 é 2 e denotaremos da forma 1

lim ( ) 2x

f x

.

De um modo geral, dizemos que o limite da função ( )f x , quando x tende ao valor a , é igual ao

número real L se, e somente se, os números reais ( )f x , para os infinitos valores de x permanecerem

próximos de L , sempre que x estiver suficientemente próximo de a .

Notação:

lim ( )x a

f x L

III) Limites Laterais

Note que quando estudamos o limite da função

2 1( )

1

xf x

x

quando 1x , tivemos que

considerar valores de x menores que 1 quanto valores de x maiores que 1, ou seja, valores x<1 e valores

x>1. Vamos rever novamente a tabela que nos ajudou a determinar o limite 1

lim ( ) 2x

f x

.

Na tabela na qual temos 1x com x<1, notamos que

2

1 1 11

1lim ( ) lim ( ) lim 2

1x x xx

xf x f x

x

.

Analogamente, na tabela na qual temos 1x com x>1, também verificamos que

2

1 1 11

1lim ( ) lim ( ) lim 2

1x x xx

xf x f x

x

. Desta forma, se 1x , seja com valores x<1 ou x>1,

teremos

2

1 1

1lim ( ) lim 2

1x x

xf x

x

.

O limite 1

lim ( ) 2x

f x

é denominado de limite lateral pela esquerda da função

2 1( )

1

xf x

x

quando 1x (x<1) e o limite 1

lim ( ) 2x

f x

é denominado de limite lateral pela direita da função

2 1( )

1

xf x

x

quando 1x (x>1).

4

De uma forma geral, se x se aproxima de a através de valores maiores que a ( x a ) ou

simplesmente pela sua direita, e ( )f x L escrevemos

lim ( )x a

f x L

. (Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a )

Analogamente, se x se aproxima de a através de valores menores que a ( x a ) ou

simplesmente pela sua esquerda, e ( )f x M escrevemos

lim ( )x a

f x M

(Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a )

Teorema: O limite lim ( )x a

f x L

, se, e somente se, os limites laterais lim ( )x a

f x

e lim ( )x a

f x

existirem e forem iguais a L .

Simplificando: lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x L f x f x L

Note que, para a função

2 1( )

1

xf x

x

temos que

2 2

1 1

1 1lim 2 lim

1 1x x

x x

x x

e assim

2

1 1

1lim ( ) lim 2

1x x

xf x

x

.

Observação Importante:

Se lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x

, então não existe lim ( )x a

f x

.

Exemplos

1) Calcule o limite 2

lim ( )x

g x

, caso exista, sabendo que 2( ) 3g x x x .

Resolução:

Note que, quando 2x , isto é, x se aproxima de 2, (seja pela direita com x>2 ou pela esquerda

com x<2) o valor de 2x estará cada vez mais próximo de 4.

Analogamente, quando 2x , isto é, x se aproxima de 2, (seja pela direita com x>2 ou pela

esquerda com x<2) o valor de 3x estará cada vez mais próximo de 6.

Assim, quando 2x , isto é, x se aproxima de 2, o valor de 2( ) 3g x x x estará cada vez

mais próximo de 4 6 2 , ou seja, 2( ) 3 2g x x x , quando 2x .

Portanto, 2

2 2lim ( ) lim( 3 ) 4 6 2x x

g x x x

.

Dica para Você: Baixe o arquivo, “Limite g(x).ggb” e veja o gráfico da função 2( ) 3g x x x e do limite

2lim ( ) 2x

g x

.

5

2) Considere a função

2 1, 1

( ) 3, 1 2

2 1, 2

x se x

h x x se x

x se x

, cujo gráfico esta representado abaixo.

Calcule, caso exista, os limites 1 2

lim ( ) lim ( )x x

h x e h x

.

Resolução:

a) Note que quando consideramos 1x , devemos levar em conta o fato de que x<1 ou x>1. Assim, note

que quando 1x (x<1), a função é dada por 2( ) 1h x x .

Logo, 2

1 1lim ( ) lim( 1) 1 1 2x x

h x x

.

Analogamente, note que quando 1x (x>1), a função é dada por ( ) 3h x x .

Logo, 1 1

lim ( ) lim( 3) 1 3 2x x

h x x

.

Como 1 1

lim ( ) lim ( ) 2x x

h x h x

, então 1

lim ( ) 2x

h x

. Observe o gráfico da função e veja este

limite graficamente.

b) Note que quando consideramos 2x , devemos levar em conta o fato de que x<2 ou x>2. Assim, note

que quando 2x (x<2), a função é dada por ( ) 3h x x .

Logo, 2 2

lim ( ) lim ( 3) 2 3 1x x

h x x

.

Analogamente, note que quando 2x (x>2), a função é dada por ( ) 2 1h x x .

Logo, 2 2

lim ( ) lim (2 1) 4 1 3x x

h x x

.

Como, 2 2

lim ( ) lim ( )x x

h x h x

, então o limite 1

lim ( )x

h x

não existe.

Observe o gráfico da função e veja que há uma quebra no gráfico da função para valores próximo de

2.

Dica para Você: Baixo o Arquivo “Limite-h(x).ggb” e veja a animação gráfica dessa função.

6

IV) Propriedades do Limite

Suponhamos que lim ( )x a

f x L

, lim ( )x a

g x M

e k IR .

I) Limite de uma constante

O limite de uma constante é a própria constante, isto é, limx a

k k

.

Exemplos: a) 4

lim3 3x

b) 8

2 2lim

3 3x

II) Limite da soma ( ou da diferença )

O limite da soma (ou da diferença) de duas funções é igual à soma ( ou à diferença ) dos limites

dessas funções, isto é:

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x L M

Exemplos:

a) 2 2

4 4 4lim( 3) lim lim3 16 3 19x x x

x x

b) 2 2 2

lim( 5) lim lim5 2 5 3x x x

x x

II) Limite do produto

O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é:

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) .x a x a x a

f x g x f x g x L M

Exemplo:2 2

2 2 2lim4 lim4 lim 4 4 16x x x

x x

III) Limite do quociente

O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções (exceto quando o

limite do divisor for igual a zero), isto é:

lim ( )( )lim

( ) lim ( )

x a

x a

x a

f xf x L

g x g x M

, desde que lim ( ) 0x a

g x M

Exemplo: 2

2

2

lim( 3)3 5lim

2 lim( 2) 4

x

x

x

xx

x x

IV) Limite de uma potência

O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função,

isto é:

lim[ ( )] lim ( )n

n n

x a x af x f x L

Exemplo: 2

2 2

2 2lim 5 lim5 10 100x x

x x

7

V) Limite de uma raiz

O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função, isto é:

lim ( ) lim ( ) nn nx a x a

f x f x L

, desde que n L exista.

Exemplo: 5 4 4 5

5

2 2lim 2 lim2 32 2x x

x x

-EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Explique com suas palavras com suas palavras o significado da equação

2lim ( ) 5x

f x

É possível que a equação anterior seja verdadeira, mas que (2) 3f ? Explique.

2) Explique o que significa dizer que

1lim ( ) 5x

f x

e 1

lim ( ) 7x

f x

Nesta situação, é possível que 1

lim ( )x

f x

exista? Explique.

3) Considere uma função xf cujo gráfico esta representada abaixo.

Com base no gráfico da função xf acima, obtenha:

6 2 0 2 4

64 10 10

) ) ) ) )

) ) ) )

lim lim lim lim lim

lim lim lim lim

x x x x x

xx x x

a f x b f x c f x d f x e f x

g f x h f x i f x j f x

8

4) Utilize o gráfico da função ( )g x para estimar os limites e os valores da função ou explique por que os

limites não existem.

5) Calcule o limite da função no ponto indicado.

2 3 2

2 1 3

53

2 4

32 0 1

) lim 1 ) lim 3 4 )lim 3 4 2

4 3) lim 3 . 4 )lim )lim 1

2 4 2

x x x

x x x

a x x b x c x x x

x xd x x e f x

x x

6) Considere as funções 2132 32 xxgexxxf . Determine :

xg

xfcxgxfbxgxfa

xxx 121lim).lim)lim)

7) Suponha que lim ( ) 5x a

f x

e 0

lim ( ) 2x

g x

. Determine:

( )

) lim ( ) ( ) ) lim2 ( ) ( ) ) lim ( ) 3 ( ) )lim( ) ( )x a x a x a x a

f xa f x g x b f x g x c f x g x d

f x g x

8) Os gráficos de f e g são dados. Use-os para calcular cada limite. Caso não exista o limite, explique por

quê.

2 1 0

3

1 2 1

( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( ). ( )

( )( ) lim ( )lim . ( ) ( ) lim 3 ( )

( )

x x x

x x x

a f x g x b f x g x c f x g x

f xd e x f x f f x

g x

2 2

2

1 1

1

2

) lim ( ) ) lim ( )

) lim ( ) ) ( 2)

) lim ( ) ) lim ( )

) lim ( ) ) (1)

) lim ( ) ) (2)

x x

x

x x

x

x

a g x b g x

c g x d g

e g x f g x

g g x h g

i g x j g

9


2

2 4 , 2

2 , 2 0

4, 0

x se x

f x x se x

x se x

.

a) Calcule o valor da expressão ( 3) ( 2) (0) (1)f f f f ;

b) Calcule xfxfxfxxxlimlimlim

102

.2

;

c) Represente graficamente essa função.

10) Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça todas as condições dadas em cada

caso.

1 1

0 0 2

2

) lim ( ) 2, lim ( ) 2, (1) 2.

) lim ( ) 1, lim ( ) 1, lim ( ) 0,

lim ( ) 0, (2) 1, (0) .

x x

x x x

x

a f x f x f

b g x g x g x

g x f f não está definida

1


CAMPUS IV-CCAE




Limites Infinitos e Limites no Infinito

I-Limites Infinitos

Inicialmente, considere a função 2

1( )f x

x . Note que, ( ) {0}Dom f IR .

Vamos ver o que acontece com os valores de 2

1( )f x

x , quando 0x . Para isso, observe a

tabela abaixo.

Observe que se x estiver suficientemente próximo de zero, ou seja, se 0x , então os valores de

2

1( )f x

x cresce indefinidamente, ou seja,

2

1( )f x

x . Assim,

20 0

1lim ( ) lim .x x

f xx

Veja o gráfico da função 2

1( )f x

x para visualizar o limite

20 0

1lim ( ) lim .x x

f xx

2

Veja agora o gráfico da função 1

( )g xx

, onde ( ) {0}Dom g IR .

Observe que se 0x , os valores de 1

( )g xx

cresce

indefinidamente, ou seja, 0

lim ( )x

g x

.

Analogamente, observe que quando 0x , os valores

de 1

( )g xx

decresce indefinidamente, ou seja,

0lim ( )x

g x

.

Note que não podemos concluir que 0

lim ( )x

g x

nem que 0

lim ( )x

g x

.

De ponto de vista mais informal, as expressões lim ( )x a

f x

e lim ( )x a

f x

significam

que ( )f x cresce indefinidamente, sem cota superior quando x a pela esquerda ou pela direita,

respectivamente. Se ambas são verdadeiras, então escrevemos lim ( )x a

f x

.

De forma análoga, as expressões lim ( )x a

f x

e lim ( )x a

f x

significam que ( )f x

decresce indefinidamente, sem cota inferior quando x a pela esquerda ou pela direita, respectivamente.

Se ambas são verdadeiras, então escrevemos lim ( )x a

f x

.

-Dicas Importantes para Você

Considere n IN e , 0C IR com C . Podemos ter assim, os seguintes limites infinitos.

0

0 0

)0

) . .0 0

lim

lim lim

nx

n nx x

C CI

x

C C C CII se n for PAR ou se n for IMPAR

x x

Exercícios Resolvidos: 1) Calcule os seguintes limites, caso existam:

1

3)

2

12)

1

3)

2)

2121

30

limlimlimlim

xd

x

xc

xb

xa

xxxx

Resolução:

a) Temos que,

0

3 30 0

0.

2 2 2

0lim lim

x

3

x x

Valor Próximo de 0mas positivo, pois,

x

x x

.

3

b) Temos que,

1

1

1 0

3 3

1 0limx

x então

x

x

.

c) Temos que,

2 ,2 1 5

2

2

2 0

2 1 5

2 0lim

x entãox

x

x então

x

x

x

.

d) Inicialmente note que se 1x , então 2 1 0x e se 1x , então

2 1 0x .

Assim, devemos calcular os seguintes limites laterais, 2

1

3

1limx x

e 2

1

3

1limx x

, antes de tirar alguma

conclusão sobre o limite 2

1

3

1lim

x x .

Note que, 2

1

3 3

1 0limx x

e que 2

1

3 3

1 0limx x

.

Portanto, como os limites laterais são diferentes, então 2

1

3

1lim

x x não existe.

-Assíntotas Verticais

Observe o gráfico da função 2

8( )

( 4)f x

x

, onde ( ) {2, 2}Dom f IR .

Dica para Você: Baixe o Arquivo “Limite Assíntotas Verticais.ggb” para visualizar o gráfico desta função no

Geogebra.

4

Note que existem duas retas verticais, a saber, a reta 2x e a reta 2x dividem o gráfico da

função em três partes.

Observe que quando 2x ou 2x o gráfico da função 2

8( )

( 4)f x

x

estará cada vez

mais próximo da reta 2x . Desta forma, a reta 2x é denominada assíntota vertical da função ( )f x .

Analogamente, quando 2x ou 2x o gráfico da função 2

8( )

( 4)f x

x

estará cada

vez mais próximo da reta 2x . Desta forma, a reta 2x também é denominada assíntota vertical da

função ( )f x .

De uma forma geral, quando temos lim ( )

x aAssíntoaVertical

x af x

ou lim ( )

x aAssíntoaVertical

x af x

, então a função

( )f x possui uma assíntota vertical que é a reta x a .

-Exercícios Propostos:

1) Considere o gráfico da função ( )f x representado abaixo.

2) Calcule os seguintes limites, caso existam:

3 2 2

30 1 2

2 3 1 2 2 1 4) ) ) )

2 91lim lim lim lim

xx x x

x x xa b c d

xx xx

3) Utilize o software Geogebra para esboçar os gráficos das funções abaixo. Que assíntotas verticais os

gráficos possuem? Por que as assíntotas verticais estão localizadas onde estão?

2 3 23

2

4 3 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )

1 1

x x xa f x b g x x c h x d k x sen x

x x xx

Com base no gráfico da função ( )f x ao lado

obtenha:

2 2

1 1

3 3

) lim ( ) ) lim ( )

) lim ( ) ) lim ( )

) lim ( ) ) lim ( )

x x

x x

x x

a f x b f x

c f x d f x

e f x f f x

)g as assíntotas verticais da função. Justifique

cada uma delas.

5

II- Limites no Infinito

Considere a função 1

( )f xx

, onde ( ) {0}Dom f IR . Vejamos agora, o que acontece com

os valores de 1

( )f xx

, quando os valores da variável x crescem indefinidamente, ou seja, quando

x , como também, iremos verificar o que acontece com os valores de 1

( )f xx

, quando os valores

da variável x decrescem indefinidamente, ou seja, quando x . Para isso, observe a tabela abaixo:

Com base na tabela acima, observamos que quando os valores de x cresce indefinidamente, ou

seja, quando x , os valores da função 1

( )f xx

estão cada vez mais próximos de zero, isto é,

1lim ( ) lim 0

x xf x

x . Analogamente, quando os valores de x decresce indefinidamente, ou seja,

quando x , os valores da função 1

( )f xx

estão cada vez mais próximos de zero, isto é,

1lim ( ) lim 0

x xf x

x .

De um ponto de vista mais informal, se os valores de uma função ( )f x ficam cada vez mais

próximos de um número L à medida que x cresce sem parar, então escrevemos:

lim ( )x

f x L

, ou seja, ( )f x L quando x .

Analogamente, se os valores de uma função ( )f x ficam cada vez mais próximos de um número L

à medida que x decresce sem parar, então escrevemos:

lim ( )x

f x L

, ou seja, ( )f x L quando x .

Abaixo veremos uma ilustração gráfica dos limites no infinito.

6

- Dicas Importantes para você

Se C IR é uma constante qualquer então:

) 0 ) 0lim limn nx x

Isso significa que x Isso significa que x crece ou decresce crece ou decresceindefinidamente indefinidamente

C C C CI II

x x

-Exercícios Resolvidos

1) Calcule os seguintes limites:

12)1

3)

2

4) 2

2 limlimlim

xxcx

bxx

axxx

Resolução:

(a) Temos que, note que se x então 2 2x x . Assim,

2

4 40

2limx x x

.

(b) Temos que, 3 3

01

limx x

.

(c) Observe que 2 2 1x x quando x . Assim, 2 2 1lim

x

x x

.

Abaixo você terá uma ilustração do gráfico de cada uma dessas funções.

7

- Dica Importante para Você:

Limites de polinômios quando x

O comportamento de um polinômio qualquer 1 2

1 2 1 0( ) n n

n nP x a x a x a x a x a

,

com 0na , coincide com o comportamento final de seu termo de maior grau n

na x .

Resumindo, se 1 2

1 2 1 0( ) n n


, com 0na , então

1 2

1 2 1 0lim ( ) limn n n

n n nx x

a x a x a x a x a a x

e

1 2

1 2 1 0lim ( ) limn n n

n n nx x



1)Calcule os seguintes limites, caso existam.

2 3 2

33

3 5 4 5 2 1 3 5( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim

6 8 1 3 6 82 5x x x x

x x x x x xa b c d

x x xx

Resolução:

(a) Pela dica acima, temos que lim (3 5) lim 3x x

x x

e que lim (6 8) lim 6x x

x x

.

Assim, 3 5 3 3 3

lim lim lim6 8 6 6 6x x x

x x

x x

.

(b) Temos que,

2 2

3 3

4 4 4 4lim lim lim 0

22 5 2x x x

x x x

xx x

.

(c) Temos que,

3 2 3 25 2 1 5 5lim lim lim

1 3 3 3 3x x x

x x x x

x x

.

(d) Temos que, 33 3 3 3 33 5 3 5 3 3 3 1

lim lim lim lim6 8 6 8 6 6 6 2x x x x

x x x

x x x

.

8

-Assíntotas Horizontais

Sabemos que função 2

8( )

( 4)f x

x

, onde ( ) {2, 2}Dom f IR , apresenta duas

assíntotas verticais, que são as retas 2x e a reta 2x . Um dos argumentos para afirmar que a reta

2x é uma assíntota vertical da função é o fato de que 2

lim ( )x

f x

, e para afirmarmos que a reta

2x é uma assíntota vertical da função é pelo fato de que 2

lim ( )x

f x

.

Observe o gráfico da função 2

8( )

( 4)f x

x

e verifique que a reta 0y limita o gráfico da

função quando x , ou quando x . Essa limitação é devido ao fato de que lim ( ) 0x

f x

e

de que lim ( ) 0x

f x

.

Assim, diremos que a reta 0y é uma assíntota horizontal da função 2

8( )

( 4)f x

x

, pois

0

lim ( ) 0x

yAssíntotaHorizontal

f x

. De uma forma geral, quando temos lim ( )x

y LAssíntotaHorizontal

f x L

ou lim ( )x

y LAssíntotaHorizontal

f x L

,

então a função ( )f x possui uma assíntota horizontal que é a reta y L .

9

-Exercícios Resolvidos:


2

2

2 4 4( )

2

x xf x

x x

. Determinar se a função possui assíntotas horizontais.

Resolução:

Para verificarmos se a função possui assíntotas horizontais é necessário calcularmos os limites

lim ( )x

f x

e lim ( )x

f x

.

Assim,

(I)

2 2

2 2

2 4 4 2lim ( ) lim lim lim 2 2

2x x x x

x x xf x

x x x

.

(II)

2 2

2 2

2 4 4 2lim ( ) lim lim lim 2 2

2x x x x

x x xf x

x x x

.

Pelos resultados acima, verificamos que a função

2

2

2 4 4( )

2

x xf x

x x

possui apenas uma

assíntota horizontal que é a reta 2.y Veja o gráfico da função abaixo e constate esse fato.

Note que a função

2

2

2 4 4( )

2

x xf x

x x

também possui assíntotas verticais que são as retas

2x e 0x . Observe que x=2 e x=0 são as raízes da equação 2 2

Denominador

x x . Mostre que

2lim ( )

xf x

,

2lim ( )

xf x

,

0lim ( )x

f x

e 0

lim ( )x

f x

e assim você estará

provando que as retas 2x e 0x são as assíntotas verticais da função.

10

- Exercícios Propostos

4) Determine o limite de cada uma das funções quando (a) x e (b) x .

3 3

2 2 3 2

2 5 3

2 3 2

2 3 1 1 12 7) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( )

5 7 3 4 12 3 6

3 6 2 3 2 2 3) ( ) ) ( ) ) ( )

4 8 3 3 5

x x x xa f x b f x c f x d f x

x x x x x x

x x x x xe f x f f x g f x

x x x x x x

5) Para cada uma das funções do exercício (4), determinar as assíntotas horizontais da função.

6) Com base no gráfico da função ( )

( ) 2sen x

g xx

abaixo, determinar as assíntotas horizontais da

função justificando cada uma delas.

7) Esboce o gráfico de uma função ( )y f x que satisfaça as condições dadas. Nenhuma fórmula é

necessária, simplesmente indique os eixos cartesianos e trace uma curva apropriada.

1 1 1 1

( ) (0) 0, (1) 2, ( 1) 2, lim ( ) 1 lim ( ) 1.

( ) (0) 0, lim ( ) 0, lim ( ) lim ( ) , lim ( ) lim ( ) .

x x

x x x x x

a f f f f x e f x

b f f x f x f x f x e f x

8) Utilize o software Geogebra para esboçar os gráficos das funções abaixo. Em cada caso, determine o que

se pede com base no gráfico da função.

( ) ( )sen x

a f xx

; Calcule, caso exista, 0

lim ( )x

f x

e lim ( )x

f x

.

1( ) ( )b g x sen

x

; Calcule, caso exista,

0lim ( )x

g x

.

( )c No mesmo plano cartesiano represente 1( ) , ( ) ( ) . ( )x

f x x g x x e h x x sen . Verifique

que ( ) ( ) ( )f x h x g x e com isso estime o valor do limite 0

lim ( )x

h x

.

(c) Represente graficamente a função

22( )

3 6

xg x

x

. A reta x=-2 é uma assíntota vertical da função?

Essa função possui assíntota horizontal? Com base no gráfico, é possível afirmar que a função possui uma

reta com inclinação positiva que representa uma assíntota da função de forma inclinada?

1


CAMPUS IV-CCAE




Limites Indeterminados

-Introdução

Sabemos que para calcular o limite da função 2( ) 4f x x e da função

2( ) 2g x x x

quando 2x , procedemos da seguinte forma:

2

2 2lim ( ) lim( 4) 4 4 0x x

f x x

2

2 2lim ( ) lim( 2) 4 2 2 0x x

g x x x

Isto significa que os valores de ( )f x , bem como os valores de ( )g x , estarão suficientemente

próximo de 0(zero) sempre que x estiver suficientemente próximo de 2.

Lembre-se que ( ) 0 ( ) 0f x e g x , pois

2

2x

x

. Na verdade, o que teremos é

( ) 0 ( ) 0f x e g x sempre que 2x .

Vejamos agora tentar, de forma direta, calcular o limite da função

2

2

( ) 4

( ) 2

f x x

g x x x

quando

2x , vejamos:

2

22 2

( ) 4 4 4 0lim lim

( ) 4 2 2 02x x

f x x

g x x x

.

Veja que temos uma expressão da forma 2

( ) 0lim

( ) 0x

f x

g x , o que significa que tanto o numerador

quanto o denominador, são valores suficientemente próximos de 0(zero) e assim não temos como saber o

comportamento da divisão 0

.0

Esse limite 2

( ) 0lim

( ) 0x

f x

g x é denominado de limite indeterminado.

Observe a tabela abaixo e veja o que acontece com os valores de ( )

( )

f x

g x quando 2x .

2

Pela tabela acima, vemos que 2

( )lim 0,5

( )x

f x

g x . De uma forma mais analítica, note que,

2( ) 4 ( 2)( 2)f x x x x e que ( ) ( 1)( 2)g x x x .

Logo, podemos calcular o limite 2

( )lim

( )x

f x

g x da seguinte forma:

2 2

( 2) ( 2)( )lim lim

( )x x

x xf x

g x

( 6) ( 2)x x 2

( 2) 4lim 0,5

( 6) 8x

x

x

.

-Limites Indeterminados 0

0.

Estamos entrando em outra etapa sobre limites, este é conhecido por LIMITES INDETERMINADOS,

sempre que tivermos uma indeterminação do tipo:

Teremos que fazer uso dos nossos conhecimentos algébricos, onde os mais conhecidos são:

Fatoração de Polinômios, Divisão de Polinômios e Multiplicação pelo Conjugado.

Faremos aqui alguns exercícios sobre limites indeterminados. Ante de iniciarmos faremos duas

discussões, uma sobre DIVISÃO ENTRE POLINÔMIOS e outra sobre MULTIPLICAÇÃO OELO CONJUGADO.

-EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Seja 2( )f x x x . O valor do

0

( ) ( )limh

f a h f a

h

é:

Resolução: Temos que,

f (a + h) = (a + h)2 + a + h

I)

2

2 2

( ) ( ) ( )

2

f a h a h a h

a ah h a h

II) 2( )f a a a

Agora, substituímos os valores de ( )f a h e ( )f a , para calcular o limite, observe:

2 2 2

0 0

2

0

2( ) ( )lim lim

lim

h h

h

a ah h a h a af a h f a

h h

a

22ah h a 2h a a 2

0

0

2lim

2lim

h

h

ah h h

h h

a h

h

2h

h

h

h 0lim(2 1) 2 1.h

a h a

Portanto, 0

( ) ( )lim 2 1.h

f a h f aa

h

Foi feito o seguinte passo aqui: Onde tinha (x) eu

troquei por (a + h), pois estou analisando f(a + h)

Foi feito o seguinte passo aqui: Onde tinha (x) eu

troquei por (a), pois estou analisando f(a)

1 , ,0 , 0 , - , ,

0

0 00

3

2) Calcule o limite

2

32

3 2lim

8x

x x

x

.

Resolução:

Poderemos usar para sair da indeterminação 0

0, a Divisão entre Polinômios ou Fatoração. Neste caso, vamos optar

por usar Fatoração de Polinômios. Sabemos pelos produtos notáveis que I) x2 – a2 = (x – a)(x + a)

II) x3 – a3 = (x – a)(x2 + ax + a2)

Sabendo que 3 3 38 2x x , e por (II) temos que

3 28 ( 2)( 2 4)x x x x .

Com relação ao numerador da fração

2

3

3 2

8

x x

x

, vamos determinar as raízes da equação

2 3 2 0x x , que

são 1 22 1.x ou x Como, 2

1 2( )( )ax bx c a x x x x então 2 3 2 ( 2)( 1)x x x x .

Assim,

2

32 2

( 2)3 2lim lim

8x x

xx x

x

.( 1)

( 2)

x

x

2 22 2

( 1) (2 1) 1lim .

( 2 4) (2 2.2 4) 12.( 2 4) x

x

x xx x

3) Calcule o limite indeterminado

2

4

5 4lim

4x

x x

x

.

Resolução:

Como as raízes da equação 2 5 4 0x x , são os valores 1 24 1x ou x , então

2 5 4 ( 4).( 1).x x x x

Desta forma teremos:

2

4 4

( 4)5 4lim lim

4x x

xx x

x

.( 1)

( 4)

x

x

4¨ lim( 1) 4 1 3.

xx

Portanto,

2

4

5 4lim 3

4x

x x

x

.

4

MULTIPLICAÇÃO PELO CONJUGADO

Suponha que queremos calcular o limite indeterminado 0

1 1limx

x x

x

.

Em muitos casos como estes, é de grande importância que nos livremos do termo que envolve a

radiciação e que neste caso é ( 1 1 )x x . O conjugado do termo ( 1 1 )x x é o termo

( 1 1 )Sinalopostoaoanterior

x x .

O que fazemos na prática para calcular o limite, é a multiplicar a fração 1 1x x

x

pela

fração

1 1

1 1

x x

x x

que representa o valor 1.

Assim teremos o seguinte cálculo:

0 0

1 1 1 11 1lim lim .

1 1x x

x x x xx x

x x x x

,

A intenção de se fazer isso, é produzir a “Diferença de Dois Quadrado”, veja:

2 2( ) ( )

2 2

0 0

1 1 1 1 1 1lim . lim

1 1

a ba b a b

x x

x x x x x x

x xx x

.

Efetuando as operações devidas iremos obter o resultado do limite, veja a resolução completa

abaixo:

2 2

( ) ( )

0 0

2 2

0 0

0

1 1 1 11 1lim lim .

1 1

1 1 ( 1) (1 )lim lim

.( 1 1 )

1lim

a b a b

x x

a b

x x

x

x x x xx x

x x x x

x x x x

x x x x

x

1

0

2lim

.( 1 1 ) x

x x

x x x

x

0

.( 1 1 )

2 2 2lim 1

2( 1 1 ) 1 1x

x x

x x

5

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Determine o valor numérico do limite 1

1lim .

1x

x

x

Resolução:

Observe que se trata de um limite indeterminado 0

.0

Usaremos a multiplicação pelo Conjugado de ( 1)x que é ( 1)x .

Observe:

2

2

1 1 1

1

11 ( 1) ( 1)lim lim . lim

1 ( 1) ( 1) ( 1).( 1)

( 1)lim

x x x

x

xx x x

x x x x x

x

( 1)x 1

1 1 1lim .

2.( 1) ( 1) 1 1xx x

Portanto, 1

1 1lim .

1 2x

x

x

2) Calcule 2

2lim

2y

y

y

.

Resolução:

Vamos multiplicar a fração 2

2

y

y

pelo termo

2

2

y

y

, observe os cálculos feitos:

2 2

2 2

2

2 ( 2) 2( 2)lim . lim

2 2 2

( 2)lim

y y

y

y y yy

y y y

y

2

( 2)

y

y

2lim 2 2 2 2 2.y

y

Portanto, 2

2lim 2 2.

2y

y

y

6

-Limites Indeterminados .

Considere a função 4 2( )f x x x .

Logo, 4 2lim ( ) lim ( )

x xf x x x

, que é uma indeterminação, pois quando x

teremos 4x e

2x , ou seja, crescem indefinidamente e assim, não podemos estimar o

resultado da subtração .

Para resolver esse tipo de indeterminação, usaremos o fato de que o comportamento de um

polinômio qualquer 1 2

1 2 1 0( ) n n


, com 0na , coincide com o

comportamento final de seu termo de maior grau n

na x , ou

seja,1 2

1 2 1 0lim ( ) limn n n

n n nx x


.

Assim, vamos calcular o limite 4 2lim ( ) lim ( )

x xf x x x

da seguinte forma:

4 2 4lim ( ) lim ( ) limx x x

f x x x x

.

- Exercícios Resolvidos

1) Calcule o seguinte limite 4

3lim

2 4 5x x x .

Resolução:

Observe que pelo cálculo direto do limite teremos, 4

3 3lim

2 4 5x

Indeterminação

x x

.

Vamos usar o fato de que quando x o polinômio 42 4 5x x possui o mesmo

comportamento de 42x .

Assim, 4 4

3 3 3lim lim 0

2 4 5 2x xx x x

.

-Limites Indeterminados

.

Considere a função

4

3

2 3 2( )

4

x xg x

x x

. Note que quando, x então

42 3 2x x e que 3 4x x e assim teremos

4

3

2 3 2lim

4x

x x

x x

que também

representa um tipo de indeterminação.

7

Para calcular o limite

4

3

2 3 2lim

4x

x x

x x

iremos novamente utilizar o fato de que

1 2

1 2 1 0lim ( ) limn n n

n n nx x


.

Assim,

4 4

3 3

2 3 2 2 2lim lim lim

14x x x

x x x x

x x x

.

-Exercícios Resolvidos:

1) Calcule o limite

3

4 3

2 5 1lim

5 3x

x x

x x

, caso exista.

Resolução:

Temos que

3 3

4 3 4

2 5 1 2 2 2lim lim lim 0

5 3x x x

x x x

xx x x

.

2) Calcule o limite

4

8

3 2lim

3 4x

x

x x

.

Resolução:

Temos que

82

4 4 4

8 8

3 2 3 3lim lim lim

3 4x x x

x

x x x

x x x

4x

3 ¨.


1) Para cada uma das funções abaixo determine o limite 0

( ) ( ) ( ) ( )lim limh x a

f a h f a f x f ae

h x a

para

os respectivos valores de a .

2 2

2 2 3

3 3 3 2

) ( ) 2 , 3; ) ( ) , 3; ) ( ) 2 , 1

) ( ) 2 , 2; ) ( ) 2 1, 1; ) ( ) , 2

) ( ) 1, 1 ) ( ) 2 , 2; ) ( ) , 3

a f x x a b f x x a c f x x a

d f x x x a e f x x a f f x x a

g f x x a h f x x a i f x x x a

2) Calcule os seguintes limites:

25 2

6 3 2 21 2 3

2 2 2

2 2 22 3 1

2 2

23 0 2

3

22 1

4 14 9 7 3 4)lim ) lim )lim

3 1 4 14 2

5 6 9 5 4)lim )lim )lim

4 5 6 4 3

9 (2 ) 4 2) lim )lim )lim

3 2 2

8)lim ) lim

2

x x x

x x x

x h x

x x

xx x x xa b c

x x x x

x x x x xd e f

x x x x x

x h xg h i

hx x x

x xj k

x x

2

2 0

20 1

1 9 5 4 3)lim

6 3 3

4 2 2 3)lim )lim

49

x

x x

x xl

xx x

x xm n

x x

8

3) Calcule os seguintes limites no infinito:

3 4 2

4 3 28

2 2

2

32

2

4 4

3

2 5 1 3 2 2 3) lim ) lim ) lim

5 3 3 13 4

1 1) lim ) lim ) lim

3 2 3 23 1

) lim ) lim 1 ) lim 1 33

2 3 1) lim ) lim

x x x

x x x

x x x

x x

x x x x xa b c

x x x xx x

x x xd e g

x xx x

x xh i x x j x x

x

x x xk l

x x

9

4 9 6 4

1) lim

5 1x

xm

x x x

4) Calcule os seguintes limites infinitos:

3 2 3

2 2 22 1

32 5

23

2 20 1 1

2 2

22 3

3 1 3 1) lim ) lim ) lim

2 1 4 2 1

5 6 1 5) lim (5 4 ) ) lim ) lim

36 1

2 1 2 3 2 3) lim ) lim ) lim

1 1

4 3) lim ) lim

4 4

x x x

x x x

x x x

x x

x x x x xa b c

x x x x x

x xd x x x e f

xx x

x x xg h i

x x x

x xj k

x x

21

1) lim

6 9 1x

x xl

x x x

1


CAMPUS IV-CCAE




Funções Contínuas

- Introdução

Inicialmente considere as funções

2 1( )

1

xf x

x

,

2 1, 1

( ) ,1

1, 1

xse x

g x x

se x

( ) 1h x x , e a

função 1, 1

( )2, 1

x sek x

x se x

. Abaixo você poderá observar as semelhanças entre os gráficos das

funções , ,f g k e h .

Gráfico da função Observações sobre o Gráfico

Note que (1)f não existe, já que

( ) {1}Dom f IR . Isso faz com que

tenhamos uma quebra no gráfico da função

no ponto 1x , na qual você pode observar.

Dizemos assim, que a função ( )f x não é

contínua no ponto 1x .

Observe ainda que 1

lim ( ) 2 (1)x

f x f

.

Note que agora, que temos (1) 1g , já

que ( )Dom g IR , mas, no entanto, ainda

continuamos com uma quebra no gráfico da

função no ponto 1x , na qual você pode

observar. Dizemos assim, que a função

( )g x não é contínua no ponto 1x .

Observe ainda que 1

lim ( ) 2 (1)x

g x g

.

2

Observe que o gráfico da função ( )k x

possui uma quebra no seu gráfico de forma

mais clara, isso é devido ao fato de que

1 1lim ( ) lim ( )x x

k x k x

, ou seja, 1

lim ( )x

k x

não existe. Dizemos assim que a função

( )k x não é contínua no ponto 1x .

Note ainda que a função ( )k x esta definida

no ponto 1x , a saber,

1

( ) 2 lim ( )x

k x k x

.

Obseve que a função ( )h x não apresenta

quebra no gráfico no ponto 1x e assim

diremos que a função ( )h x é continua no

ponto 1x .

A continuidade da função ( ) 1h x x no

ponto 1x é devido ao fato de que

(1) 2h e que 1

lim ( ) 2x

h x

, ou seja,

1lim ( ) 2 (1)x

h x h

.

- Funções Contínuas

Com base nos gráfico apresentados anteriormente podemos apresentar a definição de continuidade

de uma função num ponto.

Definição: Dizemos que uma função f é contínua em x a se as seguintes condições forem satisfeitas:

(I) ( )f a existe

(II) lim ( )x a

f x

existe

(III) lim ( ) ( )x a

f x f a

Exemplo 1: Podemos verificar que a função

2 1( )

1

xf x

x

não é contínua no ponto 1x , pois a função

não esta definida no ponto 1x , ou seja, (1)f não existe. Portanto a função

2 1( )

1

xf x

x

não é

contínua no ponto 1x . (Veja o gráfico na tabela anterior)

3

Exemplo 2: Considerando a função 1, 1

( )2, 1

x sek x

x se x

, vemos que (1)k existe, ou seja, (1) 2k ,

mas 1

lim ( )x

k x

não existe, já que 1 1

lim ( ) lim ( )x x

k x k x

. Portanto a função 1, 1

( )2, 1

x sek x

x se x

não

é contínua no ponto 1x . (Veja o gráfico na tabela anterior)

Exemplo 3: Considere a função

2 1, 1

( ) 1

1, 1

xse x

g x x

se x

.

Note que,

(I) (1) 1g existe

(II) 1

lim ( ) 2x

g x

existe

No entanto, note que 1

lim ( ) 2 (1)x

g x g

.

Portanto a função

2 1, 1

( ) 1

1, 1

xse x

g x x

se x

não é contínua no ponto 1x . (Veja o gráfico na

tabela anterior)

Exemplo 4: Considerando a função ( ) 1h x x teremos:

(I) (1) 2h existe

(II) 1 1

lim ( ) lim( 1) 2x x

h x x

existe

(III) 1

lim ( ) (1) 2x

h x h

Portanto a função ( ) 1h x x é contínua no ponto 1x . (Veja o gráfico na tabela anterior)

Uma função é contínua em um intervalo [ , ]a b se e somente se for contínua em cada ponto do

intervalo. Uma função contínua é aquela que é contínua em cada ponto de seu domínio.

Note que o gráfico da função ( ) 1h x x é uma reta que não possui quebra no gráfico. Assim, a

função ( ) 1h x x é contínua em todos os pontos do domínio da função ( )Dom h IR , ou

simplesmente, ( ) 1h x x é uma função contínua.

- Continuidade dos Polinômios

Se 1 2

1 2 1 0( ) n n


, com 0na é um polinômio qualquer, então

lim ( ) ( )x c

P x P c

para todo c IR , ou seja, um polinômio qualquer é contínuo para todo ponto

x c IR .

4

-Propriedades de Funções Contínuas

Se as funções f e g são contínuas em x c , então :

(I) f g é contínua em x c ;

(II) f g é contínua em x c ;

(III) .f g é contínua em x c ;

(IV) f

g é contínua em x c , se ( ) 0g c .

-Composta de Funções Contínuas

Se f é contínua x c e g é contínua em ( )f c , então a composta ( ( ))g f x é composta em

x c .


1) Considere uma função ( )f x cujo gráfico está representado abaixo:

Com base no gráfico da função responda:

a) ( )f x é contínua no ponto 2x ? Justifique.

b) ( )f x é contínua no ponto 1x ? Justifique.

c) Qual é o domínio da função ( )f x e m quais pontos de seu domínio a função é contínua?

Resolução:

a) Com base no gráfico da função temos que:

(I) (2) 1f , existe (II) 2 2

lim ( ) 1 lim ( )x x

f x f x

, ou seja, 2

lim ( ) 1x

f x

existe.

Como 2

lim ( ) 1 (2)x

f x f

, então a função é contínua em 2x .

Graficamente vemos que o gráfico da função não possui quebra no ponto 2x , ou seja, a função

é contínua em 2x .

b) Pelo gráfico da função teremos:

(I) (1) 2f (II) 1 1

lim ( ) 1 lim ( ) 3x x

f x f x

, ou seja, 1

lim ( )x

f x

não existe.

Portanto, a função ( )f x não é contínua no ponto 1x .

5

c) Vemos que a função ( )f x esta definida no intervalo [ 5,4] e assim, ( ) [ 5,4]Dom f .

Já vimos que a função não é contínua no ponto 1x e com base no gráfico, vemos que também

existe uma quebra no gráfico da função no ponto 2x , ou seja, ( )f x também não é contínua no ponto

2x .

Veja que ( 2) 0f existe, mas no entanto 2

lim ( )x

f x

não existe, já que 2

lim ( ) 3x

f x

que é

diferente do limite 2

lim ( ) 0x

f x

.

Portanto, ( )f x é continua no conjunto [ 5,4] { 2,1}C .

2) Mostre que a função 2( ) 1 1g x x é contínua no intervalo [ 1,1] .

Resolução: Se 1 1a , então, usando as Propriedades dos Limites, temos

2 2 2 2lim ( ) lim 1 1 1 lim 1 1 lim(1 ) 1 1 ( )x a x a x a x a

g x x x x a g a

Assim, ( )g x é contínua em x a se 1 1a .

Vamos agora verificar se a função 2( ) 1 1g x x é contínua nos extremos do intervalo

[ 1,1] , ou seja, 1x e 1x .

Para o ponto 1x temos que 1

lim ( ) ( 1)x

g x g

. Veja que não faz sentido calcular

1lim ( )

xg x

. (Veja o gráfico abaixo)

Analogamente, para o ponto 1x temos que 1

lim ( ) (1)x

g x g

. Veja que não faz sentido calcular

1lim ( )

xg x

. (veja o gráfico abaixo)

Portanto, 2( ) 1 1g x x é contínua no intervalo [ 1,1] . Veja o Graco da função abaixo.

6

3)Determinar m IR de modo que

2 5 4,( )

x x se x 4f x

3m , se x =4

seja contínua em x = 4.

Resolução:

(I) Temos que (4) 3.4 12f

(II) Cálculo do limite de ( )f x :

2 2

4 4lim ( ) lim( 5 4) 4 5 4 6 2x x

f x x x

(III) Para que a função seja contínua em x = 4, devemos ter 4

lim ( ) (4)x

f x f

e assim:

4

2lim ( ) (4) 2 3

3xf x f m m

.

Portanto, para que a função seja contínua em x=4 devemos ter 2

3m .

4) Verificar se a função

2 4( )

2

xf x

x

é contínua no ponto em x =3 e no ponto x=2.

Resolução:

(I) Temos

23 4(3) 5

3 2f

.

(II)

2

3 3

( 2) ( 2)4lim lim

2x x

x xx

x

( 2)x 3lim( 2) 5x

x

Logo, f(x) é contínua em x=3.

Observe que ( )f x não é contínua em x=2, pois, não existe (2)f .

7


1) Complete a afirmação:

“A função f é contínua em x c se estiver definida ( )f c , existir lim ( )x c

f x

e ____________________.”

2) Considere as funções 1, 4

( )1, 4

se xf x

se x

e

4 10, 4( )

6, 4

x se xg x

se x

.

a) A função ( )f x é contínua em 4x ? Justifique.

b) A função ( )g x é contínua em 4x ? Justifique.

c) A função ( ) ( )f x g x é contínua em 4x ? Justifique.

d) A função ( ( ))g f x é contínua em 4x ? Justifique.

3) Para quais valores de x , se houver, a função

2

2

16( )

5 4

xf x

x x

é descontínua?

4) Considere a função ( )h x cujo gráfico esta representado abaixo:

Com base no gráfico de ( )h x responda:

a) Qual o domínio da função?

b) A função é contínua no ponto 0x ? E no ponto 1x ? Justifique.

c) Em quais pontos a função é contínua?

5) Encontre um valor para a constante k , se possível, que faça a função ficar contínua em toda parte.

22

2

97 2, 1 , 2 , 3) ( ) ) ( ) ) ( ) 3

, 1 2 , 2, 3

xx se x kx se x se xa f x b g x c h x x

kx se x x k se xk se x

limite de uma função - mat.ufpb.br · disciplina cÁlculo diferencial e integral i professor...

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