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OS FRACTAIS E O LIMITE DE UMA FUNÇÃO: UMA
EXPLORAÇÃO COM O GEOGEBRA
Anderson Ervino Schwertner1
Universidade do Minho (Portugal)
Clenir Fernanda Alba2
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (Brasil)
Rodolfo Eduardo Vertuan3
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (Brasil)
Resumo
O presente artigo foi desenvolvido no intuito de contribuir de forma dinâmica e
significativa na abordagem inicial do tópico de “Teoria de Limites”, a ser ministrado
aos alunos do curso de Matemática A do 12º ano do Ensino Secundário. Para tal fim,
apresentamos uma atividade exploratória composta por duas sequências didáticas com o
software GeoGebra, com as quais pretende-se que os alunos possam adquirir uma noção
intuitiva do que é o “limite de uma função”. A proposta de exploração compõe-se de
uma breve exposição sobre Geometria Fractal; a apresentação do software GeoGebra,
de sua interface e de algumas ferramentas; a construção de fractais usando as
ferramentas disponíveis no software GeoGebra; uma análise de um fractal a cada
iteração realizada; o estabelecimento de funções para perímetro, área, etc.; e por fim,
uma previsão do comportamento de cada uma das funções quando o número de
iterações tende a crescer infinitamente. É durante esta última fase, que a noção intuitiva
1 Aluno do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade do Minho. Bolsista do Programa
de Licenciaturas Internacionais da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
(PLI-CAPES).
2 Aluna do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná –
Câmpus Toledo (Brasil). Bolsista do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência
(PIBID-CAPES).
3 Professor Doutor do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Tecnológica Federal
do Paraná – Câmpus Toledo (Brasil). Coordenador de área do PIBID-CAPES.
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de “limite de uma função” começa a consolidar-se e portanto, é muito importante que o
professor esteja atento as dificuldades demonstradas pelos educandos.
Palavras-chave: Limite de uma função, Funções, Geometria Fractal, GeoGebra.
O uso de softwares no ensino da Matemática
A utilização de softwares vem ganhando espaço no ambiente escolar, principalmente no
ensino da matemática, constituindo uma forma de motivação para o aprendizado através
da curiosidade dos alunos e de seu fascínio pela tecnologia. Aliado às demais
tecnologias, sua correta utilização proporciona métodos de ensino-aprendizagem mais
dinâmicas e investigativos, podendo facilitar a compreensão de diferentes conceitos e
representações e desenvolver certa autonomia quanto ao pensar, refletir e criar soluções.
Neste sentido, Fernandes e Vaz (1998) afirmam que:
“Mais especificamente, a utilização de tecnologia nas aulas de
Matemática justifica-se na medida em que tem potencial para promover
uma aprendizagem mais profunda e significativa, favorecer uma
abordagem indutiva ou experimental da matemática, e desenvolver as
suas aplicações (p. 44).”
No âmbito da realização das atividades discutidas nesse artigo, o professor deve exercer
o papel de mediador das ações dos alunos, sendo o próprio educando o construtor de seu
conhecimento. Tal visão da relação professor-aluno contribui para a formação de
valores associados ao desenvolvimento humano, tal como a autonomia e a criticidade,
tornando assim o indivíduo mais consciente e ativo na sociedade na qual se encontra
inserido.
A Geometria Fractal
Benoit B. Mandelbrot (1924 - 2010), ao observar a natureza, notou que as formas
geométricas puras de Platão não possuíam a capacidade de representar o mundo de
maneira exata, mas sim, fornecia apenas uma aproximação grotesca da realidade, pois
tais formas não conseguiam reproduzir as irregularidades de um terreno, ou as lascas de
uma pedra, ou ainda a forma das nuvens. Percebeu então a necessidade prática das
formas geométricas impuras, da irregularidade da forma, concluindo também que as
figuras geométricas puras serviam para representar as construções do homem, porém a
natureza era a manifestação das formas irregulares.
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Figura 1 – Irregularidade das rochas. Bryce Canyon (Utah – EUA). Fonte:
http://www.amazingplacesonearth.com/bryce-canyon-usa/. Acedido em 25 de Agosto de 2013.
Mandelbrot interessou-se então pelo estudo destas formas irregulares, contemplando
também figuras tidas por seus colegas matemáticos como “monstros” ou “demônios” da
geometria (Mandelbrot, 1977). Tais formas receberam esta alcunha, pois desafiavam as
noções comuns de infinito, não havia uma descrição/explicação objetiva e,
aparentemente, não possuíam utilidade alguma.
Um destes “monstros” geométricos é o Triângulo de Sierpinski, cuja área tende a zero
conforme o número de iterações4 tende ao infinito. Esta construção causava
estranhamento entre os matemáticos, visto que mesmo a área tendendo a zero, o
perímetro da figura tendia ao infinito, ou seja, um espaço nulo estava contido dentro de
uma figura de perímetro infinito.
Figura 2 – Primeira à quinta do Triângulo de Sierpinski. Fonte:
http://2.bp.blogspot.com/_jkN19G5rkJo/TGgx1g3dlWI/AAAAAAAAAAc/FUi-2Hggltc/s320/
sierpiski.gif. Acedido em 25 de Agosto de 2013.
4 Segundo o Dicionário Online Michaelis, “iteração” significa: Ato de iterar ou repetir. Fonte:
http://michaelis.uol.com.br/moderno/portugues/index.php?lingua=portugues-portugues&palavra
=itera %E7%E3o. Acedido em 02 de Março de 2014.
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Outro exemplo que podemos citar é o Floco de Neve de Koch, ou Ilha de Koch. Neste
pode-se notar que mesmo o perímetro tendendo ao infinito, a área da figura não
ultrapassará a área da circunferência circunscrita ao triângulo original.
Figura 3 – Primeira à quinta iteração do Floco de Neve de Koch. Fonte:
http://www.ceticismoaberto.com/wp-content/uploads/imagens4/fractalkoch.gif. Acedido em 25
de Agosto de 2013.
Em 1975, ao folhar um dicionário de latim, Mandelbrot encontrou o verbo latino
“frangere”, que significa quebrar, fraturar, irregular, e achou tal nome adequado as
formas que estudava, a partir de então, os “demônios” da geometria, que ainda não
possuíam uma nomenclatura geral, passaram a ser chamados de Fractais (Mandelbrot,
1977).
Os fractais, enquanto figuras geométricas possuem quatro características básicas, a
saber:
1. Autossimilaridade: Cada parte que compõe um conjunto fractal é uma
reprodução em menor escala da totalidade do fractal. A autossimilaridade
manifesta-se de duas maneira diferentes, podendo ser exata, como a gerada por
algoritmos matemáticos, ou aproximada, como a que ocorre na natureza;
Figura 4 – Fractal com autossimilaridade exata. Conjunto de Cantor. Fonte:
http://www.ced.ufsc.br/men5185/trabalhos/28_fractal/image001.jpg. Acedido em 25 de Agosto
de 2013.
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Figura 5 – Fractal com autossimilaridade aproximada. Brócolis Romanesco. Fonte:
http://ceeabm.files.wordpress.com/2012/01/brocolis_romanesco.jpg. Acedido em 25 de Agosto
de 2013.
2. Complexidade Infinita: O conjunto todo é representado em cada uma das partes
do conjunto indefinidamente.
Figura 6 – Conjunto de Mandelbrot. Fonte: http://www-tc.pbs.org/wgbh/nova/insidenova/
fractal-large.jpg. Acedido em 25 de Agosto de 2013.
3. Irregularidade: Fractais são formas cujo perímetro apresenta irregularidade de
contorno, sendo fragmentados, rugosos.
Figura 7 – Árvore de Pitágoras. Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ commons/
thumb/8/88/Pythagoras_tree_1_1_13_Summer.svg/384pxPythagoras_tree_1_1_13_
Summer.svg.png. Acedido em 25 de Agosto de 2013.
4. Dimensão não-inteira: Usualmente, compreendemos por dimensão a forma de
disposição de determinado objeto no espaço, cujo valor varia entre os naturais
no período de 0 (ponto) à 3 (sólido). Porém, nos fractais o conceito de dimensão
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possui outro significado, a dimensão fornece parâmetros sobre o grau de
ocupação do espaço e a irregularidade do fractal, podendo assumir valores
fracionários (Almeida, Martinelli, Rodrigues & Silva, s.d.).
Conhecendo o software GeoGebra
O GeoGebra é um software de geometria dinâmica gratuito desenvolvido por Markus
Hohenwarter da Universidade de Salzburgo (Áustria) em 2001 (Padilha, 2012). Com a
sua popularização, o software tornou-se multiplataforma e atualmente existem versões
para as plataformas Linux, Windows, MAC OS e Android, além de aplicativos
baseados na tecnologia JAVA™ e também para navegador de internet Google Chrome.
Segundo Gravina (2001), os softwares de geometria dinâmica são:
“Ferramentas informáticas que oferecem régua e compasso virtuais,
permitindo a construção de objetos geométricos a partir das propriedades
que os definem. São micromundos que concretizam um domínio teórico,
no caso da geometria euclidiana, pela construção de seus objetos e de
representações que podem ser manipuladas diretamente na tela do
computador (p. 82).”
Uma das principais vantagens desse tipo de ambiente é a oportunidade de testar diversas
possibilidades, como segmentos de medidas diferentes, pontos no plano com
coordenadas distintas, entre outros, realizando apenas uma construção. Tal propriedade
é uma consequência do dinamismo do software e da associação que realiza entre a
construção do objeto matemático e a geometria analítica envolvida neste processo,
através da qual o software é capaz de recalcular pontos, segmentos, etc., e fornecer a
nova figura correspondente às alterações realizadas.
Outra característica que merece destaque é a possibilidade de criar novas ferramentas e
programar-las no software, de modo a personalizá-lo conforme o fim pretendido. Esta
funcionalidade será essencial nas sequências didáticas expostas neste artigo, no intuito
de facilitar a construção dos fractais e sua exploração, sendo instrumento indispensável
no incentivo à pesquisa. O software auxilia os discentes a criarem conjecturas sobre os
conceitos matemáticos e testarem essas conjecturas, permitindo o desenvolvimento do
raciocínio, da argumentação e da comunicação.
Explorando o software GeoGebra
Considerando a hipótese de desconhecimento do software pelos alunos, faz-se
necessária uma exploração inicial das ferramentas e funcionalidades do GeoGebra. Para
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tal, sugerimos ao professor que realize uma pequena explanação, abordando
principalmente os tópicos destacados nesta subseção.
A interface do GeoGebra é simples e de fácil compreensão, possui botões desdobráveis
e permite diversas opções de personalização, como mostrar eixos, grelhas, folha gráfica,
entre outros.
Figura 8 – Interface do GeoGebra. Fonte: GeoGebra (2013).
Na Figura 8 podemos notar:
1. Interface do software GeoGebra;
2. Barra de Menus: Permite abrir/salvar arquivos, opções de edição, exibição da
folha de cálculo, da folha gráfica, opções de personalização, criar ferramentas,
etc.;
3. Barra de Ferramentas: Contém as ferramentas de construção do software,
inserção de textos e imagens, e manipulação da Folha Gráfica;
4. Folha Algébrica: Apresenta a descrição algébrica dos objetos matemáticos,
como as coordenadas de um ponto, a equação da reta, entre outros;
5. Folha Gráfica: Folha onde são realizadas as construções geométricas;
6. Campo de Entrada: Suporta a inserção de funções do software através de
comandos escritos, além da possibilidade de criação de objetos matemáticos
através de sua descrição algébrica.
A Barra de Ferramentas é composta por um conjunto de 12 botões desdobráveis, cada
qual com suas ferramentas. Ao posicionar o cursor do rato sobre a ferramenta, uma
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caixa indica sua função e, ao clicar sobre o canto inferior direito do botão, é aberta a
lista de ferramentas deste ícone. Vejamos algumas delas:
Figura 9 – Barra de Ferramentas. Fonte: GeoGebra (2013).
1. Mover;
2. Novo ponto;
3. Reta (Dois Pontos);
4. Reta Perpendicular;
5. Polígono;
6. Circunferência (Centro, Ponto);
7. Elipse;
8. Ângulo;
9. Reflexão Axial (Objeto, Eixo);
10. Inserir Texto;
11. Seletor;
12. Arrastar a Folha Gráfica.
Sequência didática com o software GeoGebra
Sugerimos que os textos abaixo sejam disponibilizados aos educandos, seja por meio
impresso ou eletrônico, no início de cada atividade. O professor deverá dividir a sala em
grupos de trabalho com no máximo 3 alunos, ficando atento às possíveis dificuldades
manifestadas pelos alunos e buscando, sempre que possível, prestar a assistência
necessária.
Sequência Didática 1 – Árvore Fractal
1) Dê um duplo clique sobre o ícone do GeoGebra na área de trabalho.
2) Clique com o botão direito do rato sobre a folha gráfica e esconda os eixos e a
grelha, caso eles estiverem sendo exibidos. Clique no menu “Vista” e em
seguida no submenu “Folha Algébrica”, para exibi-la.
3) Selecione a ferramenta “Novo Ponto” e crie os pontos A e B, de modo que A≠B e
B tenha abcissa semelhante a de A. Selecione a ferramenta “Segmento de Reta”
e crie o segmento a=AB. Em seguida, selecione a ferramenta “Reta (Dois
Pontos)” e trace a reta b, que passa pelos pontos A e B.
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4) Selecione a ferramenta “Reta Perpendicular” e clique sobre a reta b e em seguida
sobre o ponto B. A reta c será criada.
Figura 10. Fonte: Autores.
5) Selecione a ferramenta “Ponto Médio ou Centro” e clique sobre A e em seguida
sobre B, note que o ponto C será criado. Selecione a ferramenta “Circunferência
(Centro e Ponto)”, clique sobre B e em seguida sobre C, a circunferência d foi
criada. Com a ferramenta “Interseção de Dois Objetos”, crie os pontos D e E,
interseções da reta c com a circunferência d, e o ponto F, interseção da reta b
com d. Sua construção deverá estar próxima a representação da Figura 11.
Figura 11. Fonte: Autores.
6) Selecione a ferramenta “Circunferência (Centro e Ponto)” e trace as
circunferências e, f, g, com centros em D, E, F e ponto B, respectivamente. Com
a ferramenta “Intercessão de Dois Objetos” marque os pontos G e H,
intercessões das circunferências e e g, e f e g, respectivamente. Com a
ferramenta “Semirreta (Dois Pontos)”, trace a semirreta h, de origem em B e que
passa por G, e a semirreta i, de origem em B e que passa por H. Selecione a
ferramenta “Intercessão entre Dois Objetos” e marque os pontos I, intercessão
da circunferência d com a semirreta h, e J, intercessão de d com i. Com a
ferramenta “Segmento de Reta (Dois Pontos)”, trace os segmentos j=BI e k=BJ.
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Figura 12. Fonte: Autores.
7) Na folha algébrica, note que há um pequeno círculo antes da descrição do
objetos, clique sobre o círculo antes do ponto C, note que o objeto não aparece
mais na folha gráfica. Repita o processo para todos os demais objetos da folha
algébrica, com exceção dos pontos A, B, I, J e os segmentos de reta a, j e k.
Clique com o botão direito sobre o ponto A, em seguida clique sobre “Mostrar
Rótulo”, note que o nome do ponto A não aparece mais na folha gráfica, apenas
o ponto. Repita o processo para os objetos restantes.
Figura 13. Fonte: Autores.
8) Clique no menu “Ferramentas”, em seguida no submenu “Criar Nova
Ferramenta”. Com a aba “Objetos Finais” selecionada, clique sobre os
segmentos de reta a, j, k e sobre os pontos I e J. Clique em “Seguinte”, confira
se os pontos A e B encontram-se na caixa de seleção, se não, adicione-os. Clique
em “Seguinte”, na caixa de texto “Nome da Ferramenta” digite “Árvore
Fractal”, clique em “Concluído” e em seguinte em “Ok”. Observe que nossa
nova ferramenta foi adicionada à caixa de ferramentas. Selecione a ferramenta
“Árvore Fractal”, clique sobre os pontos B e I e em seguida clique em B e J. O
que aconteceu?
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Figura 14. Fonte: Autores.
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9) Selecione a ferramenta “Árvore Fractal” novamente, repita o processo algumas
vezes e veja o que ocorre. Cite três características que você conseguiu notar:
Figura 15. Fonte: Autores.
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10) O que ocorre com o comprimento dos ramos da árvore à cada interação?
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11) Com base em suas observações, tente preencher as tabelas abaixo:
Tabela 01 – Iterações da Árvore Fractal com AB=8 cm. Fonte: Autores.
ITERAÇÃO Nº DE RAMOS COMPRIMENTO DO RAMO GERADO COMPRIMENTO TOTAL
0 1 8 8
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Tabela 02 – Iterações da Árvore Fractal com AB=20 cm. Fonte: Autores.
ITERAÇÃO Nº DE RAMOS COMPRIMENTO DO RAMO GERADO COMPRIMENTO TOTAL
0 1 20 20
1
2
3
12) Você é capaz de generalizar os resultados anteriores para qualquer valor para o
comprimento de AB? E para qualquer número de interações? Tente preencher a
tabela abaixo:
Tabela 03 – Iterações da Árvore Fractal com AB=a cm e x iterações. Fonte: Autores.
ITERAÇÃO Nº DE RAMOS COMPRIMENTO DO RAMO GERADO COMPRIMENTO TOTAL
0 1 a a
1
2
3
x
13) Qual o comportamento que pôde notar quando o número de iterações cresce?
Isso é válido para qualquer número de interações?
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14) O que acontece com o comprimento dos ramos gerados quando o número de
iterações tende a um número muito grande?
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15) O que ocorre com o comprimento total dos ramos, se o número de iterações
crescer para valores muito grandes?
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16) Salve o documento do GeoGebra como “seunomearvore.ggb”. Abra uma nova
página do GeoGebra, mostre os eixos, transforme as generalizações que
encontrou na questão 12) em funções de x, onde x é o número de iterações e
a=10 cm, restringindo o intervalo da função para [0, infinito[, usando o
comando “Função[<Função>, <Valor inicial-x>,<Valor Final-x>]”. Olhando
para o gráfico das funções, suas respostas nas questões 13), 14) e 15) são
condizentes? Salve o documento como “seunomearvore2.ggb”.
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Reflexão sobre a Sequência Didática 1
Em matemática, ao tentarmos determinar o comportamento de uma função f quando sua
variável independente x se aproxima de algum valor específico x0, pertencente ou não
ao seu domínio, buscamos determinar o limite da função f(x) quando x tende a x0. No
caso específico da função que retornava o comprimento total dos ramos, a qual
denotaremos por g(x)=a*2x , com a ∈ R
+ e g(x): N0→R
+. Observe que, quanto maior for
o número de iterações x, maior será o comprimento do ramo g(x). Logo, podemos
afirmar que o limite de g(x) quando x tende ao infinito é infinito.
Sequência Didática 2 – Quadrado Fractal
1) Abra o GeoGebra e esconda os eixos e a grelha. Deixe a “Folha de Álgebra”
visível no ecrã.
2) Selecione a ferramenta “Polígono Regular”, crie os pontos A e B, de modo que
A≠B e que a ordenada do ponto A seja próxima a ordenada de B. Irá abrir a
caixa de diálogo “Polígono Regular”, no campo “Número de Vértices” informe
o valor 4 e clique em “Ok”. Note que um polígono ABCD foi criado. Que
polígono é este? Qual a medida de suas arestas?
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3) Com a ferramenta “Ponto Médio ou Centro”, construa os pontos E, F, G e H,
pontos médios dos segmentos AB, BC, CD e AD, respectivamente. Trace os
segmentos de reta e=EF, f=FG, g=GH e h=HE. Selecione a ferramenta
“Polígono” e clique sobre os pontos E, F, G, H e E. Note que o polígono EFGH
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foi criado. Sua construção deverá ter ficado semelhante a Figura 16. Que tipo de
polígono é EFGH?
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Figura 16. Fonte: Autores.
4) Esconda o rótulo dos objetos e crie a ferramenta “Quadrado Fractal”,
selecionando na aba “Objetos finais”, os pontos C, D, E, F, G e H, os segmentos
e, f, g, h e os polígonos ABCD e EFGH, e na aba “Objetos Iniciais”, certifique-
se de que estejam selecionados os pontos A e B. Selecione a nova ferramenta e
clique sobre os pontos H e E. O que aconteceu?
Figura 17. Fonte: Autores.
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5) Repita o processo (itere) algumas vezes. Que características você consegue
apontar?
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Figura 18. Fonte: Autores.
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6) O que ocorre com a medida do lado do polígono a cada interação?
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7) Conforme as suas observações, procure preencher as tabelas abaixo:
Tabela 04 – Iterações do Quadrado Fractal com AB=6 cm. Fonte: Autores.
ITERAÇÃO MEDIDA DO LADO PERÍMETRO DO POLÍGONO ÁREA DO POLÍGONO
0 6
1
2
3
Tabela 05 – Iterações do Quadrado Fractal com AB=32 cm. Fonte: Autores.
ITERAÇÃO MEDIDA DO LADO PERÍMETRO DO POLÍGONO ÁREA DO POLÍGONO
0 32
1
2
3
8) Você é capaz de generalizar os resultados anteriores para qualquer valor a=AB e
para qualquer número de iterações?
Tabela 06 – Iterações do Quadrado Fractal com AB=a cm e x iterações. Fonte: Autores.
ITERAÇÃO MEDIDA DO LADO PERÍMETRO DO POLÍGONO ÁREA DO POLÍGONO
0 a
1
2
3
x
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9) O que ocorre com a medida do lado do polígono regular quando o número de
iterações cresce? É capaz de imaginar um limite para esta situação?
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10) O que acontece com o perímetro do polígono regular quando o número de
iterações cresce? Este caso é semelhante ao da questão 9)?
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11) Qual o comportamento que a área do polígono apresenta quando o número de
iterações tende a crescer?
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12) Salve o arquivo do GeoGebra como “seunomequadrado.ggb”. Abra uma nova
página no GeoGebra. Transforme as generalizações encontradas na questão 8)
em funções de x, onde x é o número de interações e a=16 cm. Esboce o gráfico
das funções, restringindo o intervalo a [0, inf[. Ao analisar o comportamento das
funções, suas respostas nas questões 9), 10) e 11) condizem com o observado?
Salve o arquivo como “seunomequadro2.ggb”.
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Reflexão sobre a Sequência Didática 2
Analisaremos o caso da função que retornava a área do polígono, a qual denotaremos
h(x)=a2*2
(-2x), com a ∈ R
+ e h(x): N0→R
+. Note que, quanto maior for o número de
iterações x, menor será a área do quadrado. Sendo assim, podemos afirmar que o limite
de h(x) quando x tende ao infinito é zero.
Limite de uma função segundo Heine
Diremos que o limx→a f(x)=L, ou que o limite de f(x) quando x tende para a é L, se e
somente se, qualquer sucessão (un) de termos do domínio de f, diferentes de a, tal que
limn→ ∞ (un)=a, se tenha que a sucessão (f(un)) tende para L: limn→ ∞ f(un)=L.
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Ou seja, reduzimos o estudo do limite de uma função f ao estudo dos limites de duas
sucessões, a sucessão (un) no domínio da função e a sucessão transformada (f(un))
(Silva, Pinto & Machado, 2012).
Considerações Finais
Como expresso inicialmente, nosso foco na realização deste artigo foi discutir uma nova
perspetiva para a introdução do tópico “Limite de uma função” aos alunos do 12º ano
do Ensino Secundário e adotando por princípio diretor a construção do conhecimento
através da exploração matemática de duas sequências didáticas com o uso do software
GeoGebra e do contexto “Fractais”.
A utilização de novas tecnologias vem ganhando espaço no ambiente escolar, porém,
muitas vezes, não são utilizadas em sala de aula ou são relegadas a um segundo plano,
devido à falta de suporte dos livros didáticos e à falta de capacitação adequada dos
professores. Neste sentido, Valente (1997) aponta:
“Um software só pode ser tido como bom ou ruim dependendo do
contexto e do modo como será utilizado. Portanto, para ser capaz de
qualificar um software é necessário ter muito clara a abordagem
educacional a partir da qual ele será utilizado e qual o papel do
computador neste contexto. E isso implica ser capaz de refletir sobre a
aprendizagem a partir de dois polos: a promoção do ensino ou a
construção do conhecimento do aluno (p. 19).”
Acreditamos que a abordagem aqui proposta, a qual envolve Geometria Fractal e
Funções, leva os alunos a fazer suas próprias considerações acerca da prática
desenvolvida, além de possibilitar a criação de conjecturas sobre o tema, o que contribui
para a fixação dos conceitos algébricos e geometricos envolvidos, estimulando a
aprendizagem de uma forma diferenciada e significativa.
Referências bibliográficas
Almeida, T. B., Martinelli, R. O., Rodrigues, V. M. & Silva, A. M. M. (s.d.). Fractais no
Ensino Fundamental: Explorando essa nova geometria. Disponível em:
http://www.leoakio.com/wa_files/fractais_20no_20ensino_20fundamental.pdf.
Fernandes, J. A. & Vaz, O. (1998). Porquê usar tecnologia nas aulas de Matemática? Boletim da
SPM, 39, 43-55.
Gravina, M. A. (2001). Os ambientes de geometria dinâmica e o pensamento hipotético-
dedutivo. (Tese de Doutoramento). Disponível em LUME Digital Repository.
(http://hdl.handle.net/10183/2545).
Mandelbrot, B. B. (1977). The fractal geometry of nature. Nova York: W. H. Freeman and
Company.
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Padilha, T. A. F. (2012). Conhecimentos Geométricos e Algébricos a partir da construção de
fractais com uso do software GeoGebra. Lajeado: Univates.
Pinto, J. C., Pinto, J. & Machado, V. (2012). NiuAleph 12 -Manual de Matemática para o 12º
Ano de Matemática A. Projeto NIUAleph, 3. Disponível em: http://niualeph.eu/
download/niualeph12/manual/niualeph12_manual_vol3_v01.pdf.
Valente, J. A. (1997). O uso inteligente do computador na educação. Revista Pátio, 1, 19-21.