nascimento ademarfdo profmat 2011 mestrado (1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PAR UFOPA

PROGRAMA DE PS-GRADUAO MATEMTICA EM REDE NACIONAL

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMTICA EM REDE NACIONAL

Ademar Francisco do Nascimento

ESTUDANDO CURVAS CNICAS USANDO MATERIAIS CONCRETOS E

GEOGEBRA

Santarm (PA)

2014

Ademar Francisco do Nascimento

ESTUDANDO CURVAS CNICAS USANDO MATERIAIS CONCRETOS E

GEOGEBRA

Dissertao apresentada ao Programa de Ps-graduao

Matemtica em Rede Nacional Mestrado Profissional em Matemtica em Rede Nacional (PROFMAT), da

Universidade Federal do Oeste do Par (UFOPA), Instituto

de Cincias da Educao, como requisito parcial para a

obteno do ttulo de Mestre em Matemtica.

Orientador: Prof. Dr. Aldenize Ruela Xavier

Santarm (PA)

2014

Dados Internacionais de Catalogao-na-Publicao (CIP) Sistema Integrado Bibliotecas SIBI/UFOPA

N245e Nascimento, Ademar Francisco do

Estudando curvas cnicas usando materiais concretos e geogebra /

Ademar Francisco do Nascimento. Santarm, 2014.

65 f.; il.

Orientadora Aldernize Ruela Xavier.

Dissertao (Mestrado) Universidade Federal do Oeste do Par, Instituto de

Cincias da Educao, Programa de Ps-Graduao Matemtica em Rede

Nacional, Mestrado Profissional em Matemtica. Santarm, 2014.

1. Geometria analtica. 2. Curvas cnicas. I. Xavier, Aldenize Ruela, orient. II.

Ttulo.

CDD: 23 ed. 516.352

Bibliotecrio - Documentalista: Mayco Ferreira Chaves CRB/2 1357

AGRADECIMENTOS

Deus, pela vida . Que Deus abenoe a todos que contriburam direta ou indiretamente

para a concretizao deste trabalho.

minha esposa Bethnia e aos meus filhos que certamente ficaro felizes com o fim

desse trabalho.

A minha orientadora, Prof. Dr. Aldenize Ruela Xavier, por tudo, pela pacincia,

compreenso e direcionamentos.

Aos professores do PROFMAT-UFOPA em especial aos professores Dr. Hugo Alex

Carneiro Diniz, Dr. Sebastin Mancuso, Dr. Mario Tanaka Filho.

Aos colegas da turma, pelo companheirismo, pela colaborao e pela amizade.

banca examinadora, pelas contribuies realizao deste sonho.

RESUMO

As curvas cnicas desempenham um papel importante em vrios domnios da Fsica,

como Astronomia, tica e Acstica, da Engenharia e Arquitetura. Apesar de toda a sua

importncia histrica e de seu relevante papel no desenvolvimento tecnolgico moderno, o

estudo das cnicas na nossa escola bsica acabou reduzindo-se a simples manipulao e/ou

memorizao de frmulas. Esta abordagem leva a um certo desprezo em relao ao tema

pelos alunos. Pensando nessa problemtica propomos o estudo das curvas cnicas com

material concreto e GeoGebra. Pretendemos proporcionar aos alunos uma aprendizagem

significativa em relao as cnicas, despertando nos discentes a percepo desta rea do

conhecimento ao longo do tempo tornando as aulas de matemtica mais interessantes e

agradveis. Busca-se tambm a melhor compreenso do contedo por parte dos alunos, a fim

de melhorar a relao de ensino e aprendizagem. Esse projeto foi desenvolvido com trinta

alunos do 3 ano do ensino mdio, com o objetivo de despertar nos alunos a curiosidade e o

interesse para aprender contedos matemticos, em especial da geometria analtica sees

cnicas. Os participantes do projeto foram divididos em trs equipes de dez alunos cada, onde

cada equipe desenvolveu uma atividade diferente. Nessas atividades eles construram as

seces cnicas com uso de materiais concreto e uso do Software Geogebra.

Palavras-chave: Geometria Analtica, Seces cnicas, Geogebra.

ABSTRACT

The conic curves play an important role in various fields of physics, such as Astronomy,

Optics and Acoustics, Engineering and Architecture. Despite its historic importance and its

role in modern technological development, the study of conic in our elementary school just

reducing it to simple handling and / or memorizing formulas. This approach leads to a certain

contempt towards the subject by students. Considering this problem we propose the study of

conic curves co GeoGebra concrete and material. We intend to provide students with a

meaningful learning in relation conical, raising the students ' perception of that knowledge

over time area making lessons more interesting and enjoyable mathematics. The aim is also to

better understanding of the content by the students in order to improve both teaching and

learning. This project was developed with thirty students of the 3rd year of high school, in

order to awaken the students' curiosity and interest to learn mathematical content, in particular

the analytic geometry of conic sections. Project participants were divided into three teams of

ten students each, where each team developed a different activity. In these activities they built

conical sections using concrete materials and use of the Software Geogebra.

Key words: Analytic Geometry, Conic Sections, Geogebra.

Sumrio

1 INTRODUO................................................................................................. 07

2 CNICAS.......................................................................................................... 09

2.1 Um pouco de histria......................................................................................... 09

2.2 Elipse................................................................................................................... 11

2.2.1 Forma cannica da elipse.................................................................................... 11

2.2.2 Elementos da elipse............................................................................................. 13

2.2.3 Elipse com centro no ponto O = (x0,y0) ............................................................ 14 2.3 Hiprbole............................................................................................................. 15

2.3.1 Forma cannica da hiprbole.............................................................................. 16

2.3.2 Algumas propriedades da hiprbole dada pela equao na forma

cannica.................................................................................................... 17

2.3.3 Elementos da hiprbole...................................................................................... 18

2.3.4 Hiprbole com centro no ponto O=(x0,y0)........................................................ 19 2.4 Parbola ............................................................................................................. 20

2.4.1 Forma cannica da parbola.............................................................................. 21

2.4.2 Equao na forma cannica com vrtice V= (x0 ,y0).......................................... 23

2.5 Propriedade refletora das cnicas...................................................................... 24

2.5.1 Propriedade refletora da elipse............................................................................ 24

2.5.2 Propriedade refletora da parbola....................................................................... 26

2.5.3 Propriedade refletora da hiprbole..................................................................... 29

3 CNICAS EM COORDENADAS POLARES.............................................. 32

3.1 Definio geral das cnicas................................................................................ 32

3.2 Equao geral das cnicas.................................................................................. 34

4 RELATO DE EXECUO............................................................................. 37

4.1 Aula terica........................................................................................................ 37

4.2 Aula prtica ...................................................................................................... 39

4.2.1 Aula prtica 1 Confeco de um cone e suas seces..................................... 39 4.2.2 Aula prtica 2 Desenhando seces cnicas................................................... 40 4.2.3 Aula prtica 3 Aprendendo seces cnicas com geogebra............................ 44

5 AVALIAO DOS RESULTADOS ............................................................. 48

5.1 Anlise da prova 1 ............................................................................................. 48

5.2 Anlise da prova 2 ............................................................................................. 50

6 CONSIDERAES FINAIS........................................................................... 55

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS............................................................ 57

ANEXOS ........................................................................................................... 58

Anexo 1 Moldes das partes de um cone.............................................................. 58

Anexo 2 Prova diagnostica................................................................................. 61

Anexo 3 Prova 2 ................................................................................................. 62

Anexo 4 Fotos dos alunos participantes do projeto............................................ 63

Anexo 5 Atividade no GeoGebra........................................................................ 64

7

1 INTRODUO

A Geometria parte importante dos currculos de Matemtica da Educao Bsica, pois

pode desenvolver no estudante capacidades como compreenso, esprito de investigao,

representao e resoluo de problemas, habilidades citadas nos Parmetros Curriculares

Nacionais (PCNs, 2006).

A Geometria Analtica ocupa lugar de destaque como ramo da matemtica, pois

relaciona lgebra com Geometria. Problemas geomtricos podem ser resolvidos por mtodos

algbricos, muitas vezes simples, ou propriedades algbricas podem ser facilmente verificadas

geometricamente.

Os Parmetros Curriculares Nacionais - PCN de Matemtica (Brasil, 1997)

recomendam o uso de recursos didticos, dentre os quais destacamos os materiais concretos.

Os materiais concretos servem como elementos desencadeadores de conjecturas e processos

que levem s justificativas mais formais da aprendizagem dos conceitos matemticos.

Os PCNS (2006) determinam, para a Educao Matemtica e os recursos tecnolgicos,

uma relao de reciprocidade. A matemtica deve servir para entender e se apropriar das

tecnologias digitais assim como estas devem ser ferramentas para entender a matemtica.

As sees cnicas so curvas obtidas pela interseo de um cone circular reto de duas

folhas com um plano.

No incio os matemticos estudavam estas elegantes curvas sem maiores preocupaes

com aplicaes prticas. Mas ao longo do tempo inmeras descobertas importantes em

matemtica pura e na cincia em geral estavam ligadas s sees cnicas. Dois exemplos

clssicos so, a descoberta de Galileu Galilei que em 1604 descobriu que um projtil que era

lanado horizontalmente do topo de uma torre tinha uma trajetria em forma de parbola se

considerando atuante apenas a fora da gravidade e a publicao de Kpler em 1609 de sua

descoberta de que a rbita de Marte em torno do Sol era uma elipse, lanando a hiptese que

todos os planetas se moveriam em rbitas elpticas, o que foi comprovado dcadas mais tarde

por Isaac Newton.

Essas curvas cnicas desempenham um papel importante em vrios domnios da Fsica,

como Astronomia, tica e Acstica, da Engenharia e Arquitetura. O que torna essas curvas

to importantes para a matemtica pura e aplicada est ligado as suas propriedades focais de

suas tangentes e suas aplicaes prticas.

8

Apesar de toda a sua importncia histrica e de seu relevante papel no desenvolvimento

tecnolgico moderno, o estudo das cnicas na nossa escola bsica acabou reduzindo-se a

simples manipulao e/ou memorizao de frmulas. Esta abordagem leva a um certo

desprezo em relao ao tema pelos alunos. Pensando nessa problemtica nota-se a

necessidade de mudar esta realidade, e atravs da aplicao das atividades desenvolvidas

neste trabalho, Estudando curvas cnicas usando materiais concretos e GeoGebra,

pretendemos proporcionar aos alunos uma aprendizagem significativa em relao as cnicas,

despertando nos discentes a percepo desta rea do conhecimento. Nossas atividades foram

aplicadas a alunos da 3 srie do Ensino Mdio e se deu com a realizao de aulas formais

mescladas com aulas prticas onde os alunos construram as sees cnicas com uso de

materiais concreto e uso do Software GeoGebra.

Nos relatos, sero descritas as atividades realizadas durante o perodo de desenvolvimento

das atividades, bem como as dificuldades encontradas e sua superao com descrio dos

resultados alcanados.

9

2 CNICAS

Neste captulo faremos um estudo das curvas cnicas ( elipse, hiprbole e parbola),

iniciamos com uma breve histria do surgimento das curvas cnicas. Em seguida, tratamos

cada uma das cnicas separadamente, partimos das definies geomtricas de cada cnica,

identificamos seus elementos, suas equaes na forma cannica e por fim suas propriedades

refletoras.

2.1 Um pouco de histria

As Cnicas foram estudadas por Menaechmus (380-320 A.C), Euclides e Arquimedes.

Segundo Boyer atribui-se a Menaechmus o primeiro a considerar as cnicas na resoluo de

problemas, tais como o problema da duplicao do cubo que o conduziu ao estudo da

interseco de uma hiprbole com uma parbola. O clebre problema da duplicao do cubo

teve origem na Grcia Antiga e tambm conhecido por "problema de Delos'. Diz a lenda

que uma delegao da cidade de Atenas deslocou-se ao orculo em Delos para perguntar

como poderia ser combatida a peste que dizimava a cidade. Ainda segundo a lenda, o orculo

respondeu que o altar de Apolo, que tinha forma cbica, deveria ser duplicado. Foi ele o

primeiro a mostrar que as elipses, as parbolas e as hiprboles so obtidas como sees de um

cone quando cortado por planos no paralelos sua base (BOYER, 1974).

Foi, portanto, uma realizao importante de Menaechmus o ter descoberto que

curvas com a propriedade desejada estavam disposio. Na verdade, havia uma

famlia de curvas adequadas, que podiam ser obtidas de uma mesma fonte, cortando

um cone circular reto por um plano perpendicular a um elemento do cone. Isto ,

parece ter descoberto as curvas que mais tarde foram chamadas, elipse, parbola e

hiprbole. (BOYER,1974).

Apolnio de Perga (262-190 A.C.) foi outro matemtico a estudar as curvas cnicas.

Pouco se sabe de sua vida, mas seu trabalho teve uma grande influncia sobre o estudo da

matemtica. Ele desenvolveu um estudo mais completo e detalhado sobre as sees cnicas.

10

Sua grande obra Sees Cnicas supera completamente os trabalhos anteriores sobre o

assunto (EVES, 1997).

Antes de Apolnio os gregos tiravam as cnicas de trs tipos de cones de

revoluo, conforme o ngulo do vrtice da seo meridiana fosse menor que, igual

a, ou maior que um ngulo reto. Seccionando-se cada um desses tipos de cones com

um plano perpendicular a uma geratriz resultam respectivamente uma elipse, uma

parbola e uma hiprbole. S se considerava um ramo da hiprbole. Apolnio

porm, no livro I de seu tratado, obtinha todas as sees cnicas da maneira hoje

familiar, ou seja, a partir de uma cone circular duplo, reto ou oblquo (EVES,

1997).

Apolnio quem considerou as curvas como sees do cone duplo, com o qual a hiprbole

adquiriu outro ramo, tal qual conhecemos hoje em dia. Na obra Sees Cnicas de

Apolnio,onde ele apresentava a definio de sees cnicas como curvas formadas pela

interseco de um plano com a superfcie de um cone, introduzida ainda os termos parbola,

hiprbole e elipse pela primeira vez.

Figura 2.1 : Sees cnicas

fonte: http://www.galileu.esalq.usp.br/mostra_topico.php?cod=73

Hoje indispensvel a aplicao das cnicas em nosso mundo. Podemos verificar na

Astronomia, Engenharia, Arquitetura e outros.

11

2.2 Elipse

Definio 2.1 Uma elipse de focos F1 e F2 o conjunto dos pontos P do plano cuja soma

das distncias a F1 e F2 igual a uma constante 2a > 0, maior do que a distncia entre os focos

2c 0. Ou seja, sendo 0 c < a e d(F1,F2) = 2c, = { P | d(P, F1) + d(P, F2) = 2a }. O

segmento F1F2 chamado de segmento focal e seu ponto mdio de centro da elipse. O valor

2c chamado distncia focal.

2.2.1 Forma cannica da elipse

A partir da definio da elipse, vamos obter sua equao em relao a um sistema de

eixos ortogonais OXY para alguns casos especiais.

A equao na forma cannica da elipse ser deduzida sobre um sistema ortogonal de

coordenadas onde os focos pertenam ao eixo OX para simplificar os clculos. Assim, sejam

F1 = (- c, 0) e F2 = (c, 0) como mostra a figura 2.2 :

Figura 2.2. Ponto da elipse no sistema OXY.

Se P=(x,y) um ponto pertencente elipse, se e somente se, d(P,F1) + d(P,F2) = 2a, ou seja,

( ) ( ) , (2.1)

ou ainda,

( ) ( ) . (2.2)

Elevando ambos os membros da equao (2.2) ao quadrado, obtm-se

( ) ( ) ( ) , (2.3)

P

12

Expandindo os quadrados e simplificando segue que

( ) , (2.4)

Elevando ao quadrado ambos os membros e expandindo os quadrados novamente, tem-se

( ) . (2.5)

Logo, agrupando os termos em x2 e y

2, obtm-se

( ) ( ) (2.6)

Assim, definindo , a equao (2.6) pode ser reescrita como

(2.7)

Dividindo ambos os membros da igualdade (2.7) por resulta

(2.8)

A rigor, para verificar que (2.5) (2.4) e (2.3) (2.2), precisamos mostrar

que se

ento

e ( ) .

Com efeito, sendo 0 c< a e a2 = b2 + c2 temos :

pela igualdade (2.8)

o que implica que | | e como 0 c< a, tem-se

| | . Logo, o nmero positivo.

De modo anlogo temos :

pela igualdade (2.8)

o que implica que ou seja

Da igualdade (2.8), tem-se que . Como | | , o nmero - 2cx , em seu valor

absoluto, menor que .

Logo tem se que :

( ) .

Ou seja

( ) que implica ( ) .

Assim, fica demonstrado que a equao (2.8) a forma cannica da elipse de centro na

origem e reta focal coincidente com o eixo OX.

De maneira anlogo ao que foi feito anteriormente a equao na forma cannica da

elipse deduzida sobre um sistema ortogonal de coordenadas onde os focos pertenam ao

eixo OY e centrada na origem ser

. Neste caso F1 =(0, -c) e F2= (0,c).

13

Figura 2.3 :Ponto da elipse no sistema ortogonal de coordenadas com os focos sobre o eixo y.

2.2.2 Elementos da Elipse

Numa Elipse arbitrria temos os seguintes elementos:

foco : os pontos F1 e F2 ;

distncia focal: distncia entre os focos F1F2 = 2c;

centro O : ponto mdio de segmento focal ;

vrtices A1 e A2 : interseo da elipse com a reta focal ;

vrtices B1 e B2 : interseo da elipse com a mediatriz do segmento ;

eixo maior: segmento de medida 2a;

eixo menor: segmento de medida 2b;

excentricidade : o nmero e =

com

.

14

Figura 2.4: Elipse.

2.2.3 Elipse com centro no ponto O = (x0,y0)

Podemos obter uma equao, na forma cannica, da elipse com centro O=(x0,y0 ) fora da

origem do sistema OXY e cujo eixo focal paralelo a um dos eixos cartesianos. Para isso

basta transladarmos o sistema OXY para uma nova origem coincidindo com o centro O,

obtendo-se um novo sistema OXY. Assim, as equaes destas elipses se restringiro a um

dos casos a seguir:

( )

( )

ou

( )

( )

. (2.9)

De fato, vamos considerar primeiro o caso em que a reta focal paralela ao eixo OX. Seja

OXY o sistema de eixos ortogonais obtido transladando o sistema OXY para a nova origem

O=(x0,y0). Seja F1=(x0 c,0) e F2=(x0+c,0) os focos da elipse e P=(x,y)=( x + x0 , y + y0 )

um ponto pertencente elipse, onde x= x + x0 e y= y +y0 suas coordenadas no sistema OXY

e x, y so suas coordenadas no sistema OXY. Ento, P pertence a elipse se, somente se,

d(P, F1) + d(P, F2) = 2a,

ou seja,

(( ) ( )) ((

) ( ))

(( ) ( )) (( ) ( ))

15

( )

( )

.

Fazendo como no caso anterior, verifica-se que a forma cannica da equao da elipse com

centro no ponto (x0, y0) e eixo focal paralelo ao eixo OY :

( )

( )

.

Figura 2.5: ( )

( )

Figura 2.6 : ( )

( )

2.3 HIPRBOLE

Definio 2.2: Uma hiprbole H de focos F1 e F2 o conjunto de todos os pontos P do plano

para os quais o mdulo da diferena de suas distncias a F1 e F2 igual a uma constante

2a > 0, menor do que a distncia entre os focos 2c > 0.

H = * | ( ) ( )| + , 0 < a < c , d(F1, F2) = 2c.

O segmento F1F2 chamado de segmento focal e seu ponto mdio de centro da hiprbole. O

valor 2c chamado de distncia focal.

16

2.3.1 Forma cannica da hiprbole

Como fizemos para a elipse, vamos obter a equao da hiprbole em relao a um sistema

de eixos ortogonais OXY nos casos em que os focos F1 e F2 pertenam ao eixo OX ou o eixo

OY.

A equao na forma cannica da hiprbole H obtida fixando-se o sistema de

coordenadas cartesianas onde F1 = (-c, 0) e F2 = (c,0) esto sobre o eixo OX.

Figura 2.7: Ponto da hiprbole no sistema ortogonal de coordenadas.

Pela definio 2.2 se o P=(x,y) pertence hiprbole se, e somente se,

| ( ) ( )| . Logo d(P, F1) = 2a + d(P, F2). Assim,

( ) ( ) . (2.10)

Continuando o desenvolvimento de maneira anloga ao caso da elipse, chegamos concluso

que

( ) ( ) . (2.11)

Assim, definindo a equao (2.11) pode ser reescrita como:

(2.12)

De maneira anlogo ao que foi feito anteriormente a equao na forma cannica da hiprbole

H deduzida sobre um sistema ortogonal de coordenadas onde os focos pertenam ao eixo OY

e centrada na origem ser

. Neste caso F1 =(0, -c) e F2= (0,c).

P

17

2.3.2 Algumas propriedades da hiprbole dada pela equao na forma

cannica

Algumas propriedades da hiprbole H descrita pela equao (2.12):

O o ponto de simetria da hiprbole, chamado de centro da hiprbole.

Os eixos OX e OY so os eixos de simetria da hiprbole.

No existem pontos da hiprbole sobre o eixo OY. De fato, fazendo x=0 na equao

(2.12), temos

, que no satisfeito por nenhum ponto (0,y) do eixo OY.

Se (x,y) uma soluo qualquer da equao (2.12), ento (-x,y), (x, -y) e (-x,-y)

tambm sero, pois em tal equao todos os expoentes so pares. Logo,a hiprbole

simtrica em relao reta focal OX, mediatriz do segmento focal OY e ao centro O.

O eixo OX contm apenas 2 pontos da hiprbole, chamados de vrtices da

hiprbole.Fazendo y=0 na equao (2.12), temos

, onde x= a. Logo A1= (-a,0)

e A2=(a,0) so os nicos pontos da hiprboles sobre o eixo focal.

Analisando a equao da hiprbole

mostra que a equao pode ser escrita

como (

) (

) , onde os fatores devem ter necessariamente o mesmo sinal

,

No primeiro caso, os pontos da hiprbole satisfazem y <

e y >

, representando

na figura (2.8) como o ramo direito da hiprbole. No segundo caso, os pontos da

hiprbole satisfazem y >

e y <

, representando na figura (2.8) como o ramo

esquerdo da hiprbole.

O retngulo caracterizado pelas desigualdades e , chamado de

retngulo fundamental da hiprbole. As diagonais deste retngulo esto contidas nas retas

dadas por

(2.13)

que recebem o nome de assntotas da hiprbole.

18

Na figura (2.8) apresenta-se o esboo da hiprbole H e assntotas r1 e r2 a partir da anlise da

equao (2.12). O posicionamento da assntota r2 em relao curva H pode ser esclarecido

da seguinte maneira:

Se P =(x, y) um ponto pertencente hiprbole, isto , , e r2 :

,

ou seja uma assntota de H, ento,

( ) | |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

| | .

Logo, ( ) 0, quando x e y .

De modo anlogo, verificamos que ( ) 0, quando x e y , onde

P = (x, y) H e a outra assntota da hiprbole.

Figura 2.8: Caractersticas do esboo da hiprbole.

2.3.3 Elementos da hiprbole

Observe a figura (2.8) temos os seguintes elementos:

foco : os pontos F1 e F2 ;

distncia focal: distncia entre os focos F1F2 = 2c;

centro O : ponto mdio de segmento focal ;

vrtices A1 e A2 : interseo da hiprbole com a reta focal . O segmento A1A2

denominado eixo focal da hiprbole e seu comprimento d(A1,A2) =2a;

19

O segmento B1B2, perpendicular ao eixo focal que tem ponto mdio O e comprimento

2b, onde b2 = c

2 - a

2, denominado eixo no focal da hiprbole, e B1 e B2 so os

vrtices imaginrios da hiprbole.

A excentricidade da hiprbole H

. Note que e > 1, pois c > a.

2.3.4 Hiprbole com centro no ponto O = (xo, yo)

Procedendo da mesma forma que fizemos para a elipse, podemos obter uma equao, na

forma cannica, da hiprbole com centro O=(x0,y0 ) fora da origem do sistema OXYe cujo

eixo focal paralelo a um dos eixos cartesianos. Para isso basta transladarmos o sistema

OXYpara uma nova origem coincidindo com o centro O, obtendo-se um novo sistema

OXY. Assim, as equaes desta hiprbole se restringiro a um dos casos a seguir:

( )

( )

ou

( )

( )

. (2.14)

De fato, vamos considerar primeiro o caso em que a reta focal paralela ao eixo OX. Seja

OXY o sistema de eixos ortogonais obtido transladando o sistema OXY para a nova origem

O=(x0,y0). Seja F1=(x0 c,0) e F2=(x0+c,0) os focos da hiprbole e P=( x + x0 , y + y0 ) um

ponto pertencente hiprbole, onde x= x + x0 e y= y +y0 suas coordenadas no sistema OXY

e x, y so suas coordenadas no sistema OXY.Ento, P pertence a hiprbole se, somente

se,

| ( ) ( )|

| (( ) ( )) ((

) ( ))|

| (( ) ( )) (( ) ( ))|

( )

( )

.

Logo, a forma cannica da equao da hiprbole com centro no ponto (xo, yo) e reta focal

paralela ao eixo OX :

( )

( )

20

De modo anlogo, verifica-se que a forma cannica da equao da hiprbole com centro no

ponto (xo, yo) e reta focal paralela ao eixo OY :

( )

( )

Figura 2.9 : Grfico de H : ( )

( )

. Figura 2.10 : Grfico de H :

( )

( )

.

2.4 Parbola

Definio 2.3 : Sejam r uma reta e F um ponto do plano no pertencente a r. A parbola P de

foco F e diretriz r o conjunto de todos os pontos do plano cuja distncia a F igual sua

distncia a r. O nmero positivo p tal que d(F, r) = 2p chamado de parmetro da parbola,

onde d a distncia euclidiana.

P=* | ( ) ( )+.

21

Figura 2.11: Parbola de vrtice V, foco F e diretriz r.

Em uma parbola temos que :

A reta l chamada de reta focal da parbola P, a reta que contm o foco e

perpendicular diretriz.

O ponto V da parbola P que pertence reta focal o vrtice de P.

Chamamos de excentricidade e da parbola a razo entre as distncias de um ponto

arbitrrio P da curva ao foco e de P diretriz. Neste caso, teremos sempre e = 1.

2.4.1 Formas cannicas da parbola

Vamos obter as formas cannicas da parbola em relao a um sistema de coordenadas

OXY . Comeamos com os casos em que o vrtice da parbola a origem e a reta focal um

dos eixos coordenados. Depois trataremos dos casos em que o vrtice um ponto qualquer e a

reta focal paralela a um dos eixos coordenados.

Primeiramente, vamos determinar a equao da parbola no caso em V=(0,0), F = (p,0) e a

equao da reta diretriz r: x= -p, conforme o figura (2.12).

l

22

Figura (2.12): Ponto da parbola no sistema ortogonal de coordenadas.

Para cada ponto P = (x,y), o ponto P r o p da perpendicular passando por P, e

P = (-p,y). Sabe-se que d(P,r) = d(P,P) =| | e que d(P,F) = ( ) .

Pela definio (2.3), P pertence parbola se, e somente se,| | ( ) .

Elevando ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo o produto notvel obtm-se a

igualdade

que por sua vez simplificando equivale a

y2 = 4px (2.15)

Est a equao na forma cannica da parbola.

Vamos obter agora a equao da parbola em que V=(0,0) e o foco pertencente ao semi-eixo

negativo das abscissas, ento F = (-p,0) e a diretriz ter equao r : x = p.

Logo, se P=(x,y) pertence parbola se, e somente se,| | ( ) .

Elevando ao quadrado e simplificando obtm-se

y2

= -4xp (2.16)

que outra equao na forma cannica da parbola, onde o vrtice coincide com a origem do

sistema OXY e o foco F =( -p,0).

Observe na equao (2.15), como p > 0 e y2 0 para todo x , temos x =

0. Logo, os

pontos da parbola diferentes da origem esto acima do eixo y. E pela equao (2.16), sendo

-p < 0 e y2 0 para todo x , temos x =

0, o que mostra que os pontos da parbola

diferentes da origem esto abaixo do eixo y.

23

Se o vrtice da parbola coincide com a origem do sistema OXY e o foco pertencer ao semi-

eixo positivo ou ao semi-eixo negativo das ordenadas, as equaes obtidas sero,

respectivamente,

x2 =4py e x

2 = -4py (2.17)

tambm so designadas como equaes na forma cannica da parbola. Nas figuras abaixo

temos os esboos correspondentes as equaes (2.16) e (2.17).

Figura 2.13: Esboo da parbola.

2.4.2 A Equao na forma cannica da Parbola com o Vrtice V=(x0,y0) e

eixo de simetria paralelo a um dos eixos coordenados

Da mesma forma como fizemos para a elipse e a hiprbole, vamos obter a forma cannica

da parbola P de vrtice no ponto V = (xo,yo) e reta focal paralela ao eixo de simetria paralelo

a um dos eixos coordenados. Vamos considerar o sistema de eixos ortogonais OXY , com

origem O = V = (xo,yo) e eixos OX e OY que tm a mesma direo e mesmo sentido dos

eixos OX e OY , respectivamente. Assim, sabemos que, no sistema de coordenadas OXY,

as equaes destas parbolas se restringiro a um dos casos a seguir:

x2 = 4yp ou y2 = 4xp . (2.18)

Porm, pelas equaes de translao, temos que x = x x0 e y = y y0. Logo,

( ) ( ) ( )

( ) (2.19)

24

P:( ) ( ) P:( ) ( ) P:( ) ( )

Figura 2.14: Parbola.

2.5 Propriedades refletoras das cnicas

Desde a antiguidade, as cnicas atraem ateno de estudiosos que utilizam suas

propriedades para explicar diversas situaes do cotidiano. Sendo assim, reas do

conhecimento como Fsica, Engenharia, Astronomia, entre outras, utilizam estes estudos para

obter avanos tecnolgicos em suas reas.

Neste momento, apresentamos as propriedades de reflexo das cnicas : elipse, hiprbole

e parbola.

2.5.1 Propriedade refletora da elipse

Definio 2.4: Seja t uma reta e uma elipse, t tangente a se t contm apenas um

ponto P chamado ponto de tangncia.

25

Figura 2.15: Reta tangente elipse em P.

Definio 2.5: O ngulo entre uma reta e uma curva que se intersectam no ponto P o ngulo

entre essa reta e a tangente curva traada pelo ponto P.

Teorema 2.1 : Seja uma elipse de focos F1 e F2 e seja P um ponto de . Ento a reta

tangente a em P, forma ngulos iguais com as retas que unem P aos focos.

Demonstrao. Seja P e s a reta determinada por P e F1. Tomemos D s , de modo que = . Seja t a mediatriz do segmento F2D relativa ao vrtice P do tringulo PDF2. Vamos

mostrar que t tangente a elipse no ponto P. Para isto seja Q t , como t mediatriz do

segmento F2D temos: = . Logo, + = + , pela desigualdade

triangular aplicada ao tringulo DQF1. Por construo temos que = 2a, logo + >

2a, sendo assim Q , Q t e Q P. Portanto a reta t tangente a . Como o tringulo

PDF2 issceles de base DF2 temos que t bissetriz do ngulo D F2. Sendo os

ngulos representados na Figura 2.18 temos , pois t bissetriz do ngulo D F2. Como

so opostos pelo vrtice segue que .

26

Figura 2.16: Propriedade refletora da elipse.

Essa propriedade usada na construo de refletores odontolgicos, aparelhos de

emisso de certos raios usados em Medicina ou nas salas de sussurros existentes em certos

museus americanos de cincia.

Essa mesma propriedade explica o funcionamento de diversos aparelhos de emisso de

raios usados em tratamentos mdicos como, por exemplo, o de radioterapia, cujos raios

devem destruir os tecidos doentes sem afetar os tecidos sadios que se encontram ao redor.

As salas de sussurros so construdas de forma oval onde so marcados dois pontos no

cho. Duas pessoas em p, uma em cada um desses pontos, podem se comunicar em voz

sussurrada, inaudvel no restante da sala.

2.5.2 Propriedade refletora da hiprbole

Assim como a elipse, a propriedade de reflexo verificada tambm em hiprboles.

Definio 2.6: Seja t uma reta e H uma hiprbole, t tangente a H se no paralela a

nenhuma das assntotas e H contm apenas um ponto, P, chamado ponto de tangncia.

27

Figura 2.18: Reta tangente hiprbole.

Definio 2.7. Se t tangente a hiprbole H, em P, a reta que contm P e perpendicular a t

chama-se reta normal a H em P.

Teorema 2.2: Uma reta tangente hiprbole em um ponto P faz ngulos iguais com as retas

que unem P aos focos.

Demonstrao: Seja P um ponto pertencente a hiprbole H de focos F1 e F2 ,t a reta bissetriz

ao ngulo F2 F1 e um ponto B,tal que B t.

Figura 2.19: Propriedade refletora da hiprbole.

Consideremos a bissetriz do ngulo F2 F1 vamos mostrar que ela ao mesmo tempo a

tangente hiprbole em P. Sejam F1G BP e BP NP, e seja H o ponto de interseo de t

com F1G. Dessa maneira o tringulo PGF1 issceles, visto que o tringulo PHF1

congruente ao tringulo PHG pelo caso ALA. Em conseqncia, o tringulo BGF1 tambm

28

issceles, pois o ponto B pertence bissetriz BP que , neste caso, mediatriz de GF1. Logo,

com referncia figura acima, temos:

BF2< BG+GF2 ( pela desigualdade triangular),ento

BF2 BF1< BG+GF2 - BF1;

mas BG = BF1 e PG = PF1, ento

BF2 BF1< GF2.

Como GF2 = PF2 PG = PF2 PF1 , tem-se que BF2 BF1< PF2 PF1=2a. O que significa

que a bissetriz BP s toca a hiprbole em P, o que mostra que ela tangente em P, como

queramos demonstrar.

Pelas Leis da reflexo da luz tem-se que:

i) O raio incidente Ri, a reta normal n e o raio refletido Rr so coplanares;

ii) O ngulo de incidncia i igual ao ngulo de reflexo r .

Figura 2.20: Leis da reflexo da luz.

Com referncia figura (2.19) e pela demonstrao do teorema acima, vimos que NP e GF1

so retas paralelas e o tringulo PGF1 issceles, segue que os ngulos desse tringulo em G

e F1 so iguais. Mas o ngulo em F1 igual ao ngulo de incidncia A N, por serem

correspondentes, e o ngulo em G igual ao ngulo N F2 por serem alternos internos.

Portanto o ngulo de incidncia A N igual ao ngulo N F2. Acabamos de provar a seguinte

propriedade de reflexo da hiprbole que : qualquer segmento de reta dirigido a um dos focos

da hiprbole encontra o ramo correspondente e refletido em direo ao outro foco.

Essa propriedade muito aplicada nos telescpios de reflexo, os quais so constitudos

de dois espelhos, sendo um maior, que parablico e outro menor, que hiperblico. Esses

dois espelhos dispem-se de modo que os eixos da parbola e da hiprbole coincidam e que o

foco da parbola coincida com um dos focos da hiprbole.

29

Outra importante utilizao das hiprboles no sistema de localizao em navegao,

denominado de LORAN (Long Range Navigation - Navegao de Longa Distncia). Este

sistema permite a um navegante de um navio ou o piloto de um avio achar sua posio sem

confiar em marcos visveis. O LORAN utiliza hiprboles confocais, isto , hiprboles com

um dos focos em comum, onde esto os radares que emitem sinais. Cada par de radares d

uma hiprbole que contem a posio do navio ou do avio e, assim, a sua posio exata o

ponto onde as trs hiprboles interceptam-se. Essa posio pode ser determinada pela

plotagem das trs hiprboles em um mapa, obtendo a interseo em comum usando

coordenadas e computando algebricamente a interseo.

2.5.3 Propriedade refletora da parbola

Definio 2.8. Seja t uma reta e P uma parbola, t tangente a P se no paralela ao eixo da

parbola e t contm apenas um ponto, P, chamado ponto de tangncia.

Figura 2.21: Reta tangente parbola.

Teorema 2.4. A reta tangente a um ponto P da parbola faz ngulos iguais com a reta que

passa por P paralela ao eixo da parbola e com a reta que passa por P e o foco.

30

Figura 2.22: Bissetriz t do tringulo FPP.

Demontrao. Sejam P um ponto qualquer da parbola de foco F e diretriz r e P o p da

perpendicular a diretriz da parbola passando por P(veja figura 2.22). Mostraremos

primeiramente que a bissetriz t do ngulo F P a tangente parbola em P. Como =

, pois P pertence parbola, o tringulo FPP issceles e t mediatriz do lado

.Considere agora D como um ponto qualquer da reta t, distinto de P. Se D a projeo de

D sobre r, temos:

DF=DP > DD.

Portanto D no pertence parbola e todos os outros pontos de t no pertencem a ela. Logo, t

tangente parbola em P.

Prologando-se o segmento PP, obtm-se a semirreta PX( veja figura 2.24). Desse modo, o

ngulo formado pela semirreta PX e a reta t, congruente ao ngulo formado pelo segmento

PP e a reta t. Isso se deve ao fato de serem ngulos opostos pelo vrtice. E como t bissetriz

do ngulo F P , ento o ngulo formado pelo segmento PF e a reta t congruente ao ngulo

formado pelo segmento PX e a reta t, como queriamos demonstrar.

31

Figura 2.23: Propriedade refletora da Parbola, .

Se girarmos uma parbola em torno do seu eixo, ela vai gerar uma superfcie chamada

parabolide de revoluo, tambm conhecida como superfcie parablica. Esta superfcie

possui inmeras aplicaes interessantes, todas elas decorrentes da propriedade descrita

anteriormente. Um importante uso recente destas superfcies dado pelas antenas parablicas,

empregadas na rdio-astronomia, bem como no dia-a-dia dos aparelhos de televiso,

refletindo os dbeis sinais provenientes de um satlite sobre sua superfcie, fazendo-os

convergir para um nico ponto, o foco, deste modo reforando-os consideravelmente.

32

3 Cnicas em coordenadas polares

Nesta seo apresentaremos a definio geral das cnicas e suas equaes em coordenadas

polares.

3.1 Definio geral das cnicas

Uma definio geral das cnicas pode ser dada por:

Definio 3.1. Dados uma reta r e um ponto F no pertencente reta. A elipse, a hiprbole e a

parbola podem ser definidas como o lugar geomtrico dos pontos cuja razo das distncias

ao ponto F e a reta r uma constante real positiva que depende de cada curva. Esta constante

ser chamada de excentricidade. A reta r ser chamada de diretriz e o ponto F dado ser

chamado de foco.

Vamos agora encontrar uma expresso analtica das cnicas partindo-se da definio 3.1.

Seja o sistema de eixos ortogonais OXY tal que F = (0,0) e r : x = m, com m > 0, conforme

a figura 3.1.

Figura 3.1 : Definio foco-diretriz e plano cartesiano.

Seja P = (x, y) um ponto qualquer sobre qualquer uma das cnicas. Pela definio 3.1 tem-se

que

( )

( ) (3.1)

33

onde e a excentricidade da cnica. Tem-se que d(P,F)= e d(P,r)=| |.

Reescrevendo a equao 3.1 obtm-se

| |

Elevando ao quadrado ambos os membros e simplificando temos

( ) (3.2)

que a equao geral de uma cnica dada pela definio 3.1. Para determinar cada uma das

trs cnicas ser analisado os valores da excentricidade e , nos seguintes casos , e = 1 ,

0< e < 1 e e >1 .

Se , a equao 3.2 torna-se

.

Isolando y e simplificando,

(

) ( )

Seja OXY o sistema de eixos ortogonais obtido transladando o sistema OXY para a nova

origem O (

), pela equaes de translao temos x = x +

e y = y, logo substituindo

na equao 3.3 obtm-se

chamando m= 2p, com p>0 temos que

que a equao na forma cannica da parbola.

Aps a translao para o sistema OXY tem-se, coordenadas do foco F=(- p,0) e reta diretriz

r : x = 2p.

Figura 3.2 : Sistema OXY e cnica com excentricidade e = 1.

Se , ento . Dividindo a equao 3.2 por e completando

quadrados, tem-se

34

(

)

( )

Dividindo membro a membro por

( ) temos

(

)

( )

(3.4)

Efetuando a translao para o sistema OXY com origem O= (

) dada por

{

definindo e k =

a equao (3.4) pode ser escrita da como

(3.5)

Logo, se e > 1 temos a < 0 e k < 0, segue ento que a equao (3.5) uma hiprbole e se

e 0 e k > 0 e a equao (3.5) uma elipse.

3.2 Equao polar das cnicas

Partindo-se da definio 3.1 que caracteriza as cnicas pela propriedade foco-diretriz

possvel obter a equao geral destas curvas em coordenadas polares. Seja c uma cnica de

excentricidade e > 0. Consideremos um sistema de coordenadas polares em que um foco F da

cnica a origem O e o eixo polar est contido na reta focal de c.

Vamos considerar os casos onde a reta diretriz paralela ou perpendicular ao eixo focal.

Como o foco F est no plo, temos que d(P,F) = , em que ( , ) so as coordenadas polares

de P.

Primeiro vamos analisar o caso em que a reta diretriz perpendicular ao eixo focal.

Se a reta diretriz r est direita do plo, obtemos que d(P, r) = d - (veja figura 3.5),

onde d= d(F,r).

35

Figura 3.3: Cnicas em coordenadas polares

Assim a equao da cnica fica sendo

.

Isolando obtemos

(3.7)

Se a reta r est esquerda do plo, obtemos que d(P,r) = d + (veja figura 3.6).

Figura 3.4: reta diretriz esquerda do plo.

Assim a equao da cnica fica sendo

.

Novamente isolando obtemos

(3.8)

Ou seja, a equao polar de c, nesse sistema, O

c :

(3.9)

36

De modo anlogo, se o eixo polar , com origem O = F, for escolhido de modo a ser

paralelo diretriz r, podemos mostrar que a equao polar da cnica dada por

c :

(3.10)

A equao (3.10) ter sinal positivo se a reta diretriz correspondente a F paralela ao eixo

polar e est acima do plo, e ter o sinal negativo se estiver abaixo do plo.

37

4 Relato de execuo

As atividades que realizamos ocorreu na Escola Estadual de Ensino Mdio Benedito

Corra de Souza localizado na Av. Marechal Rondon Bairro Boa Esperana, municpio de

Itaituba Estado do Par.A instituio, na poca, contava com 1200 alunos distribudo em trs

turnos ( manh, tarde e noite).

A clientela da instituio composta por alunos de classe social mdia baixa, que

residem em sua maioria nos bairros adjacentes instituio que est localizada prximo ao

centro da cidade. No turno noturno, a clientela de filhos de populao assalariada,

trabalhadores assalariados, pais e mes.

A execuo desse trabalho teve a participao de trinta alunos com idade entre

dezessete a trinta anos, sendo estes alunos do 3 ano do ensino mdio do turno da noite.

O fato de trabalhar com esta turma facilitou bastante a realizao das atividades. Sendo

aplicado primeiramente aula terica onde foi feita a explanao das curvas cnicas: elipse,

hiprbole e parbola, com o objetivo de facilitar o entendimento dos alunos em relao a cada

uma das sees cnicas.

Na sequncia a turma foi dividida em trs grupos com dez alunos cada, onde cada grupo

foi designado a trabalhar com um recurso didtico diferente. O 1 grupo confeccionou o cone

e suas sees cnicas usando cartolina, cola, tesoura e m de geladeira. O 2 grupo construiu

as sees cnicas usando materiais concretos como tachinhas, rgua,cola,tesoura, fita adesiva,

papel carto, papel A4 e barbante.Por fim o 3 grupo usou o Geogebra para construir as

sees cnicas a partir das definies e lugar geomtrico.

A seguir estaremos relatando as atividades desenvolvidas com a turma em questo.

4.1 Aula terica

As aulas tericas que foram aplicadas na turma do 3 ano no perodo de 19 de novembro

a 27 de dezembro de 2012 no turno da noite com durao de 40 minutos cada aula. Sendo

ministradas quatro aulas por semana, ou seja, duas na segunda-feira e duas na quarta-feira, da

seguinte forma, primeira semana foi explorado o contedo seo cnica - parbola, na

segunda semana foi trabalhada o assunto seo cnica-elipse e por fim na terceira semana foi

explorada a seo cnica-hiprbole. Utilizando o livro didtico Matemtica Contexto e

Aplicaes volume nico de Luiz Roberto Dante.

38

As aulas iniciaram sempre nos dois primeiros horrios mais precisamente das 19h e 30

min s 20h e 50 min.

A aula da primeira semana (segunda- feira) teve inicio com a apresentao de um slide

no qual foi explorada a origem das seces cnicas. Que despertou um grande interesse por

parte dos alunos, devido os exemplos que foram expostos e relacionados ao cotidiano

existente na atualidade. Na sequncia foi dada a definio e elementos da seco cnica-

parbola com a utilizao do livro didtico.

A aula da quarta-feira iniciou com deduo da equao da parbola usando a definio

de parbola. Logo aps os alunos resolveram alguns exemplos para fixar o aprendizado,

destacando os principais elementos da parbola sendo: equao da parbola, coordenadas do

vrtice, foco e reta diretriz. Ao final da aula os alunos receberam uma lista de exerccios para

serem resolvidos em casa.

Na segunda semana (segunda- feira) a aula foi iniciada com a correo dos exerccios

da aula anterior, porm nem todos os alunos tentaram resolver as questes devido a falta de

tempo pelo simples fato de trabalhar o dia inteiro. Em seguida foi abordado o contedo da

seco cnica- elipse (definio e elementos)

Na quarta- feira a aula foi iniciada com a deduo da equao da elipse usando a

definio de elipse. Na sequncia os alunos resolveram alguns exemplos de fixao, onde

foram explorados: a equao da elipse dado os focos e os vrtices; dado os focos e a

excentricidade; dado as extremidades do eixo maior e um ponto pertencente elipse.

Finalizando a aula os alunos receberam uma lista de exerccios para serem resolvidos em casa.

Na terceira semana (segunda- feira) a aula foi iniciada com a correo dos exerccios da

aula anterior, dessa vez um nmero maior de alunos tentou resolver as questes. Em seguida

foi abordado o contedo da seco cnica- hiprbole (definio e elementos, equao da

hiprbole). Em seguida os alunos resolveram alguns exemplos com o auxlio do professor. Ao

final da aula os alunos receberam uma lista de exerccios para serem resolvidos em casa.

Na quarta- feira a aula iniciou com a correo dos exerccios da aula anterior. Os alunos

que terminavam a tarefa antecipadamente ajudavam os colegas com mais dificuldades. Dando

continuidade foi abordado o assunto assntotas da hiprbole. Em seguida os alunos resolveram

alguns exemplos com a ajuda do professor. E finalizando a aula os alunos receberam uma lista

de exerccios contendo todos os contedos abordados anteriormente com a finalidade de

preparar os mesmos para uma prova diagnostica ( prova diagnstica anexo 2).A prova era

composta de oito questes. Os alunos tiveram 80 minutos para responder as questes. Os

resultados e anlise da prova diagnstica so tratados no captulo 5.

39

4.2 Aula prtica

Neste captulo iremos descrever trs atividades prticas realizadas pelos alunos do 3

ano do ensino mdio com a utilizao de materiais concreto e o software Geogebra. Na

realizao dessas atividades a turma foi dividida em trs grupos com dez alunos cada, onde

cada grupo foi designado a trabalhar com um recurso didtico diferente. O 1 grupo

confeccionou o cone e sees cnicas usando cartolina, cola, tesoura e m de geladeira. O 2

grupo construiu as sees cnicas usando materiais concretos como tachinhas, rgua, cola,

tesoura, fita adesiva, papel carto, papel A4 e barbante.Por fim o 3 grupo usou o Geogebra

para construir as sees cnicas a partir das definies e lugar geomtrico.

4.2.1 Aula prtica 1 - Confeco de um Cone e suas seces

Esta atividade foi retirada do material didtico Parbola As curvas preciosas de

Mirtes Tamy Gomes Machado. Para a execuo desta aula foram necessrios os seguintes

materiais: dez cartolinas sendo cinco azul e cinco preta, im de geladeira, tesoura, cola e o

moldes das partes de um cone. Os moldes das partes de um cone esto no Anexo 1 .

Nesta aula tivemos participao de dez alunos, eles foram divididos em cinco grupos,

sendo dois alunos em cada grupo. Foi distribudo entres os grupos um conjunto de moldes das

partes de um cone, duas cartolinas de cores diferentes, im de geladeira, cola, tesoura e uma

foto de amostra dos cones j montados.

Figura 4.1 : Cone e suas sees.

40

No incio da aula o professor passou as instrues de como deve ser montado o cone,

atentando que o im deve ficar na parte de dentro do cone de modo que quando colocadas as

partes frente a frente, os pedaos de ms se encontrem, para que haja a atrao magntica.

A maioria dos grupos teve no incio muita dificuldade de montar o cone, apenas um

grupo no conseguiu terminar o trabalho sozinho, tiveram ajuda para completar a atividade.

Aps o trmino da construo do cone com suas seces, cada grupo apresentou seu

trabalho aos demais, explicando a relao que h entre cada seco e a geratriz considerada.

4.2.2 Aula prtica 2 Desenhando seces cnicas

A aula prtica e os materiais de apoio a seguir foram retirados de Contedos Digitais em

Matemtica para o Ensino Mdio Universidade Federal Fluminense site

www.uff.br/cdme/conicas/. Os materiais de apoio foram Prancheta de Apoio ou de Desenho,

um Aparelho para Desenhar Cnicas e uma Tira de Papel para Desenhar Cnicas. Para a

realizao das atividades necessrio um conjunto de recursos didticos que para serem

confeccionados utilizam os seguintes materiais: folha de papel-carto colorido; papelo

grosso de tamanho um pouco maior que uma folha de papel A4; plstico adesivo colorido;

rgua; esquadro; folhas de papel em branco do tamanho A4; furador de papel; estilete;

tesoura; caneta hidrocor; fita adesiva; cola instantnea.

Na execuo destas atividades os alunos foram divididos em duplas, sendo que cada

dupla recebeu uma cpia contendo uma gravura e os procedimentos necessrios para a

construo das mesmas. O tempo estipulado para esta atividade foi de 40 minutos. Veja os

procedimentos abaixo:

Procedimentos para a construo da Prancheta de Apoio ou de Desenho

Encape o papelo com o plstico adesivo.

Recorte 4 pequenos tringulos retngulos no papel-carto e cole-os com o plstico adesivo

pelas bordas nos cantos da placa de papelo, a fim de formar pequenas cantoneiras. Voc ter

uma prancheta na qual encaixar folhas de papel A4.

41

Ateno! Para que possa encaixar uma folha nas cantoneiras, no cole todo o tringulo de

papel-carto. Voc deve colar apenas as bordas que esto em contato com os cantos da placa

de papelo. Veja o esquema :

Figura 4.2 Prancheta de apoio. fonte: www.uff.br/cdme/conicas/

Aparelho para Desenhar Cnicas

Cole o cateto menor do esquadro (se for escaleno) na parte lateral e graduada da rgua como

mostra a figura abaixo.

Figura 4.3: Aparelho para desenhar cnica.

Fonte www.uff.br/cdme/conicas/

Tira de Papel para Desenhar Cnicas

Recorte duas tiras de papel-carto de tamanho 15 cm x 3 cm e cole-as uma na outra. Com o

furador de papel faa dois furos na tira, um em cada extremidade, como mostra o esquema.

Figura 4.4: Tira de papel para desenhar cnicas

Fonte: www.uff.br/cdme/conicas/

42

Ao termino da confeco dos materiais acima as grupos utilizaram estes materiais na

construo das seces cnicas (elipse, hiprbole e parbola) da seguinte forma:

Cada grupo desenhou a elipse utilizando a Prancheta de Apoio, barbante, lpis, percevejos e o

roteiro abaixo:

a)Tome um pedao de barbante com cerca de 15 cm. Coloque uma folha de papel em branco

na Prancheta de Apoio, fixe dois percevejos de forma que a distncia entre eles seja um pouco

menor que o comprimento barbante e prenda-o usando os percevejos. Coloque um lpis no

lao do barbante e desloque-o partindo de um ponto e retornando at ele, de modo a manter o

barbante bem esticado sobre o papel.

b)Observe a curva que foi desenhada, voc j viu a forma desta curva antes? Voc sabe qual o

nome dela?

c)Troque o pedao de barbante por um menor. Repita o procedimento anterior.

d)Qual curva foi formada? Esta forma curva parecida com a anterior? Em que so parecidas

e em que so diferentes essas formas?

Figura 4.5: Desenhando a curva elipse


Na construo da parbola os grupos utilizaram a Prancheta de Apoio, Aparelho para

desenhar Cnicas, barbante, fida adesiva, lpis, percevejos. Seguindo as instrues do roteiro

abaixo:

a) Coloque uma folha em branco na Prancheta de Apoio.

b) Com o lpis, marque um ponto e um segmento de reta, chame o ponto de F e o segmento

de d.

c) Coloque o esquadro do Aparelho para Desenhar Cnicas sobre o papel de maneira que este

fique do mesmo lado da reta d em que est o ponto F.

43

d) Com fita adesiva e sobre a ponta livre do esquadro prenda um pedao de barbante de

comprimento igual distncia dessa ponta reta d. Com o auxlio de um percevejo,prende o

barbante, no ponto F.

e) Com a ponta do lpis mantenha o barbante bem esticado e encostado no esquadro. Deslize

o Aparelho sobre a Prancheta de Apoio, mantendo sua borda sobre a reta d, e trace uma curva.

f) Voc j viu uma forma geomtrica como o desta curva antes? Voc sabe o nome dela?

Figura 4.6: Desenhando a curva parbola.


Na sequncia os grupos construram a hiprbole usando a Prancheta de Apoio, Tira de

papel para desenhar Cnicas, barbante, percevejo, lpis e o roteiro abaixo.

a)Coloque uma folha de papel em branco na Prancheta de Apoio.

b)Trace duas retas perpendiculares, tais que, o ponto de interseo esteja aproximadamente no

centro da folha. Nomeie-as de x e y.

c) Marque dois pontos na reta x de maneira que sejam simtricos em relao y. Chame-os de

F1 e F2.

d) Coloque um percevejo em um dos furos da Tira de Papel para Desenhar Cnicas e prenda-

o no ponto F1.

e) Pegue um pedao de barbante de comprimento menor que 15 cm e amarre-o no outro furo

da Tira de Papel para Desenhar Cnicas.

f) Amarre um percevejo na outra ponta do barbante e prenda-o no ponto F2.

g) Com o lpis, estique o barbante de modo a encost-lo na Tira de Papel e a movimente em

torno de F1, mantendo a ponta do lpis encostada na folha de papel e o barbante esticado. Pare

quando o lpis chegar ao final do barbante.

h) Repita o procedimento a partir do item f, colocando o barbante no ponto F1 e a Tira de

Papel em F2, girando-a agora em torno deste ponto.

44

i) O que voc pode observar? Voc j viu alguma curva parecida com esta? Voc sabe o nome

dela?

Figura 4.7: Desenhando a curva hiprbole.

Fonte do site www.uff.br/cdme/conicas/

Para a realizao desta atividade foi estipulado um tempo de 40 minutos. Os alunos

demonstraram entusiasmo e concentrao, principalmente no momento em que eles

construram as curvas utilizando os materiais que eles mesmos confeccionaram. Tornando

desta forma a aprendizagem mais significativa.

4.2.3 Aula prtica 3 Aprendendo seces cnicas com Geogebra

Para a execuo desta atividade utilizamos computadores com o Software Geogebra

instalado e projetor multimdia.

Essa aula estava programada para ser executada no Laboratrio de Informtica da

escola, mas devido a um problema tcnico no laboratrio essa atividade foi aplicada na sala

de aula com dez alunos, sendo estes divididos em duplas. O professor pediu a cada dupla que

na prxima aula trouxessem notebooks com o Software Geogebra instalado.

Na aula seguinte a sala esta equipada com projetor multimdia para que os alunos

acompanhassem as explicaes e manuseio do Software. A maioria das equipes trouxe seus

computadores, porm duas duplas tiveram problemas, uma no conseguiu instalar o programa

e a outra no trouxe computador. Ento o professor disponibilizou um notebook e instalou o

programa. Dando continuidade na atividade o professor, com auxilio do projetor multimdia,

apresentou as principais ferramentas do Geogebra e sua utilizao para a realizao da

atividade programada.

Alguns alunos apresentaram grande dificuldade no manuseio do computador, ento foi

destinado um tempo maior do que o programado para que eles conseguissem acompanhar

45

melhor as instrues dadas pelo professor. Pensando nessa deficincia, o professor props as

duplas uma atividade envolvendo a utilizao da Barra de Ferramentas do Geogebra

( anexo 5).Na sequncia as duplas resolveram a atividade proposta, tirando as duvidas que

surgiram.

Na aula seguinte cada dupla recebeu um roteiro contendo as instrues para a

construo das seces cnicas elipse, hiprbole e parbola.

Construindo a elipse:

1. Trace um segmento AB;

2. Marque um ponto C sobre o segmento AB;

3. Trace os segmentos AC e CB;

4. Trace os crculos de raios AC e CB, tal que a distncia seja menor que AB;

5. Marque o ponto, de interseo dos crculos;

6. Habilite o rastro do ponto de interseo;

7. Anime o ponto C.

Figura 4.8 Construo da elipse no Geogebra

Construindo a hiprbole :

1. Marque dois pontos F1 e F2;

2. Trace uma semirreta de origem em F1 e que passe por F2;

46

3. Marque um ponto A na semirreta F1F2 pertencente ao segmento F1F2;

4. Trace uma circunferncia de centro F1 e raio F1A;

5. Escolha um ponto D qualquer sobre a circunferncia e trace uma reta s passando pelos

pontos F1 e D;

6. Trace o segmento F2D;

7. Trace a mediatriz t do segmento F2D e chame de B a interseo entre eles;

8. Considere P a interseo da mediatriz t com a reta s. Essa interseo se dar no

prolongamento direita ou esquerda do segmento F1D dependendo da escolha de D.

9. Habilite o rastro do ponto P e anime o ponto D.

Figura 4.9: Construo da hiprbole no Geogebra.

Construindo a parbola:

1. Trace uma reta r e marque um ponto F no pertencente a r;

2. Trace uma reta s perpendicular reta r passando por um ponto D qualquer de r;

3. Trace o segmento FD;

4. Traces a mediatriz t do segmento FD;

5. Marque o ponto P da interseo das retas t e s.

6. Habilitar rastro do ponto P e animar o ponto D.

47

Figura 4.10 : Construo da parbola no Geogebra.

As duplas realizaram esta atividade com xito, pois ao manusear a ferramenta geogebra

fizeram descobertas interessantes na construo das seces cnicas.Sempre com a orientao

do professor demonstrando no quadro que as construes do lugar geomtrico das seces

cnicas elipse, hiprbole e parbola estavam voltada para suas definies.

48

5 Anlises dos resultados

Os resultados obtidos na aplicao do projeto Estudando curvas cnicas com

materiais concreto e Geogebra constituram na anlise de duas provas, sendo que a primeira

foi aplicada aps a aula terica e a segunda ao trmino do projeto (provas 1 e 2 Anexo 2).

5.1 Anlises da prova 1

Os 30 alunos participantes do projeto tiveram 80 minutos para resolver a primeira

prova, prova diagnostica, aplicada aps as aulas terica, que foi composta por 8 questes, de

forma sucinta, apresentamos a seguir.

A primeira questo versava sobre a definio de Seces Cnicas. Que teve um grande

nmero de erros e questes em branco.

A segunda, terceira e quarta questes versavam sobre elipse. Pedia-se para definir a

cnica elipse, identificar seus elementos e definir as equaes reduzidas da mesma de acordo

com a interpretao grfica apresentada na questo. Percebemos com auxilio da tabela e do

grfico que os resultados no foram bons nestas primeiras questes.

A quinta e sexta questo tratava de encontrar elementos das equaes da parbola e

hiprbole. Nestas questes percebemos que houve um baixo nmero de acertos totais.

A stima e oitava questes versavam sobre definio da cnica hiprbole e equao da

cnica parbola respectivamente.

Com auxilio da tabela 1, percebemos que o maior nmeros de erros foram nas questes

2, 5 , 7 e 8.

Na tabela 1 abaixo temos o resultado da prova diagnostica aplicada aos 30 alunos

participantes do projeto.

Tabela 1 : Avaliao das questes da prova diagnostica

Questes Acertos Totais Acertos Parciais Erros Brancos

1 08 (26,7%) 05 ( 16,7% ) 10 (33,3%) 07 (23,3%)

2 07 (23,3%) 08 ( 26,7%) 12 (40%) 03 (10,0%)

3 13 (43,4%) 04 ( 13,3 %) 10 (33,3%) 03 (10,0%)

4 11 (36,7%) 07 (23,3%) 08 (26,7%) 04 (13,3%)

5 04 (13,3%) 08 (26,7%) 13 (43,3%) 05 (16,7%)

6 02 (6,7%) 11 (36,7%) 11 (36,7%) 06 (20,0%)

7 07 (23,3%) 05 (16,7%) 12 (40%) 06 (20,0%)

8 09 ( 30%) 04 ( 13,3%) 13 (43,3%) 04 (13,3%)

49

Abaixo temos as tabelas 2, 3 e 4 com o desempenho dos alunos discriminados por

atividades realizada nas aulas prticas. Na tabela 2 temos o desempenho dos alunos que

participaram a aula prtica 1, na tabela 3 mostra o resultados da prova diagnostica realizada

pelas alunos que participaram da aula prtica 2 e por fim a tabela 4 temos o desempenho dos

alunos que participaram da aula prtica 3. Desta forma teremos como avaliar qual das trs

atividades teve um melhor aproveitamento por parte dos alunos.

Tabela 2 : Avaliao das questes da prova diagnostica dos 10 alunos que participaram da

aula prtica 1- Confeces de um cone e suas seces.


1 2 (20%) 2 (20%) 3 (30%) 3 (30%)

2 3 (30%) 3 (30%) 4 (40%) 0 (0%)

3 4 (40%) 2 (20%) 3 (30%) 1 (10%)

4 3 (30%) 3 (30%) 3 (30%) 1 (10%)

5 2 (20%) 1 (10%) 5 (50%) 2 (20%)

6 1 (10%) 3 (30%) 4 (40%) 2 (20%)

7 3 (30%) 0 (0%) 5 (50%) 2 (20%)

8 3 (30%) 1 (10%) 4 (40%) 2 (20%)


aula prtica 2- Desenhando seces cnicas


1 3 (30%) 2 (20%) 3 (30%) 2 (20%)

2 2 (20%) 2 (20%) 4 (40%) 2 (20%)

3 4 (40%) 1 (10%) 4 (40%) 1 (10%)

4 5 (50%) 2 (20%) 2 (20%) 1 (10%)

5 1 (10%) 3 (30%) 4 (40%) 2 (20%)

6 0 (0%) 4 (40%) 4 (40%) 2 (20%)

7 2 (20%) 2 (20%) 3 (30%) 3 (30%)

8 3 (30%) 2 (20%) 4 (40%) 1 (10%)

50


aula prtica 3- Aprendendo seces cnicas com Geogebra.


1 3 (30%) 1 (10%) 4 (40%) 2 (20%)

2 2 (20%) 3 (30%) 4 (40%) 1 (10%)

3 5 (50%) 1 (10%) 3 (30%) 1 (10%)

4 3 (30%) 2 (20%) 3 (30%) 2 (20%)

5 1 (10%) 4 (40%) 4 (40%) 1 (10%)

6 1 (10%) 4 (40%) 3 (30%) 2 (20%)

7 2 (20%) 3 (30%) 4 (40%) 1 (10%)

8 3 (30%) 1 (10%) 5 (50%) 1 (10%)

5.2 Anlises da prova 2

A segunda prova foi elaborada de acordo com a prova diagnstica, composta de oito

questes que no se diferenciaram muito da prova diagnstica. Os alunos tiveram 80 minutos

para responder as oito questes. A primeira avaliao mostrou que a maioria dos alunos no

compreendeu as definies das seces cnicas estudadas.

A primeira questo da prova 2 diferenciava-se da primeira questo da prova diagnstica,

perguntamos aos alunos se, com a participao no projeto facilitou a compreenso da

definio das seces cnicas? E se sim, como? E obtivemos um resultado bastante

significativo nesta questo, onde 73,3% consideram que a participao no projeto realmente

contribui muito na compreenso das seces cnicas, por apresentar uma forma dinmica e

diferente de aprender. As tabelas 5, 6 , 7 e 8 abaixo mostrados a seguir, evidenciam os bons

resultados que obtivemos em nosso projeto.

51

A tabela 5 abaixo temos o resultado da segunda avaliao aplicada aos 30 alunos

participantes do projeto.

Tabela 5 : Avaliao das questes da prova 2

Questes Acertos Totais Acertos parciais Erros Brancos

1 22 (73,3%) 0 (0%) 0 (0%) 8 (26,7%)

2 12 (40%) 11 (36,7%) 7 (23,3%) 0 (0%)

3 17 (56,7%) 7 (23,3%) 5 (16,7%) 1 (3,3%)

4 22 (73,3%) 3 (10%) 5 (16,7%) 0 (0%)

5 12 (40%) 6 (20%) 9 (30%) 3 (10%)

6 19 (63,3%) 4 (13,3%) 6 (20%) 1 (3,3%)

7 12 (40%) 9 (30%) 6 (20%) 3 (10%)

8 24 (80%) 3 (10%) 3 (10%) 0 (0%)

Nas tabelas 6, 7 e 8 temos os resultados da prova 2, discriminados por atividade realiza

pelos alunos, onde a tabela 6 apresenta o resultado da prova 2 dos alunos que participaram da

aula prtica 1, na tabela 7 temos o desempenho dos alunos que participaram da aula prtica 2

e por ltimo o tabela 8 temos o resultado dos alunos que participaram da aula prtica 3.

Tabela 6: Avaliao das questes da prova 2 dos 10 alunos que participaram da aula

prtica1- Confeces de um cone e suas seces.


1 3 (30%) 0 (0%) 0 (0%) 7 (70%)

2 3 (30%) 3 (30%) 4 (40%) 0 (0%)

3 4 (40%) 3 (30%) 3 (30%) 0 (0%)

4 5 (50%) 2 (20%) 3 (30%) 0 (0%)

5 3 (30%) 1 (10%) 5 (50%) 1 (10%)

6 2 (20%) 3 (30%) 4 (40%) 1 (10%)

7 1 (10%) 4 (40%) 3 (30%) 2 (20%)

8 6 (60%) 2 (20%) 2 (20%) 0 (0%)

Percebemos pela anlise da tabela 6 que apenas 30% dos alunos, que participara da aula

prtica 1 Confeces de um cone e suas seces, consideraram que o projeto proporcionou

uma melhor compreenso das definies das seces cnicas.

Pelo o que mostra as tabelas 7 e 8 abaixo temos 90 e 100% respectivamente de alunos que

considerou que sua participao no projeto ajudou a compreender melhor as definies das

seces cnicas.

52

Tabela 7: Avaliao das questes da prova 2 dos 10 alunos que participaram da aula

prtica 2- Desenhando seces cnicas.


1 9 (90%) 0 (0%) 0 (0%) 1 (10%)

2 5 (50%) 3 (30%) 2 (20%) 0 (0%)

3 7 (70%) 2 (20%) 1 (10%) 0 (0%)

4 9 (90%) 0 (0%) 1 (10%) 0 (0%)

5 4 (40%) 3 (30%) 2 (20%) 1 (10%)

6 8 (80%) 1 (10%) 1 (10%) 0 (0%)

7 6 (60%) 2 (20%) 2 (20%) 0 (0%)

8 9 (90%) 1 (10%) 0 (0%) 0 (0%)

Tabela 8 : Avaliao das questes da prova 2 dos 10 alunos que participaram da aula

prtica 3- Aprendendo seces cnicas com Geogebra.


1 10 (100%) 0 (0%) 0 (0%) 0 (0%)

2 4 (40%) 5 (50%) 1 (10%) 0 (0%)

3 6 (60%) 2 (20%) 1 (10%) 1 (10%)

4 8 (80%) 1 (10%) 1 (10%) 0 (0%)

5 5 (50%) 2 (20%) 2 (20%) 1 (10%)

6 9 (90 %) 0 (0%) 1 (10%) 0 (0%)

7 5 (50%) 3 (30%) 1 (10%) 1 (10%)

8 9 (90%) 0 (0%) 1 (10%) 0 (0%)

Os alunos que participaram da aula prtica 1- Confeces de um cone e suas seces,

no tiveram resultado muito diferente da primeira prova, mas os participantes dos demais

grupos tiveram um nmero de acertos bem maior que na primeira prova.

Ao voltarmos nossa ateno para os acertos totais mostrados nas tabelas 7 e 8, logo

acima percebemos que o ndice desse, referente a cada questo, foi bem maior na prova 2 de

que na prova 1.

Para facilitar a leitura dos dados das tabelas acima vamos observar os grficos abaixo,

onde veremos os acertos nas principais questes da prova 2, sendo questes de definio da

curva cnica e equao da curva sendo dados um ponto o vrtice e informaes sobre o eixo

de simetria.

53

Grfico 1 : Comparao entre os resultados dos grupos na questo : definio da elipse

Verificamos pela anlise do grfico acima que os participantes dos grupos 2 e 3 tiveram

um nmero maior de acertos nesta questo em comparao da prova 1 com a prova 2 . J o

grupo 1 teve um nmero menor de acertos nesta questo.

Vamos analisar agora a resultado dos grupos na questo que pedia a equao da

parbola.

Grfico 2: Comparao dos resultados dos grupos na questo : equao da parbola.

Verificamos novamente o bom desempenhos dos participantes dos grupos 2 e 3 tendo

demonstrado uma aprendizagem do contedo ministrado. O grupo 1 tem por sua vez um

resultado pior na prova dois, vale ressaltar que as questes das provas 1 e2 so parecidas mas

no so as mesmas questes .

Vamos agora comparar com ajuda de um grfico o resultado entre os grupos na questo

da prova 2 onde pedia a definio da curva cnica parbola.

0

2

4

6

8

10

acertou a questo naprova 1

acertou a questo naprova 2

Questo que pedia a definio de elipse.

grupo 1

grupo 2

grupo 3

01234567

Acertou aquesto na

prova 1

acertou aquesto na

prova 2

Questo que pedia a equao da parbola.

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

54

Grfico 3 : Comparao entre os resultados dos grupos na prova 2 na questo que pedia

a definio de parbola.

Temos mostrado nos grficos acima que o grupo 1 no teve sucesso nas questo apresentadas

tendo sempre uma quantidade de acertos menores que os do demais grupos.

0

2

4

6

8

acertou aquesto

Questo da prova 2 que pedia a

definio de parbola

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

55

6 Consideraes Finais

A partir de uma comparao entres as anlises realizadas nas provas 1 e 2 podemos

afirmar que, no so necessrios muitos esforos para percebermos que as atividades a qual

realizamos, proporcionou aos alunos um progresso na aprendizagem com relao ao estudo

das sees Cnicas abordadas.

importante ressaltarmos tambm que, o tempo que estivemos em contato com os alunos

foi extremamente importante, e que nos possibilitou de ir mais longe ao que concerne ao

desenvolvimento, pelos alunos, de habilidades como explorar, refletir, supor, para que , se

apoiando no professor quando necessrio o aluno aprenda a construir seu prprio

conhecimento.

Analisando os resultados do grupo 1, verificamos pelas notas da segunda prova, que esses

alunos tiveram um aumento pouco expressivo, tendo questes com quantidade de acerto at

menor do que da prova 1, quando comparado com questo do mesmo nvel. Os participantes

deste grupo eram em sua maioria formada por alunos mais velhos. Muitos tiveram grande

dificuldades de completar as atividades, pois as peas para montar o cone eram bem

pequenas. Desta forma muitos no se motivaram em completar as atividades que foram

aplicadas em duplas. Isso deve ter desmotivado a maioria em aprender os assuntos tratados

nas atividades. J os participantes dos grupos 2 e 3 eram mais novos, eram mais animados e

interessados em desenvolver as atividades apresentadas. Outro ponto a favor desses dois

grupos que as definies das curvas cnicas estavam mais presentes no decorrer das

atividades, e sempre aps cada etapa, seja nas atividades utilizando a pranche ou o Geogebra,

o professor demonstrava aos alunos que aquelas construes estavam de acordo com as

definies de sees cnicas apresentadas nas aulas tericas.

Com a aplicao das atividades foi possvel melhorar a aprendizagem dos alunos

tornando mais significativo o conhecimento abordado. A confeco e o uso dos materiais

didticos usado nas atividades fizeram com que os alunos compreendessem que possvel

aprender matemtica com a utilizao de materiais concretos e com uso de programa de

computao, neste caso o Geogebra que deixou os alunos fascinados ao aprender a manusear

o software na construo das cnicas, pois eles desconheciam esse programa, porm aps a

apresentao dessa ferramenta, entenderam que existe uma forma diferente de aprender

matemtica. Isso possibilitou uma aprendizagem atraente pela simples fato de ver suas

construes no Geogebra tomando forma.

56

Nesse sentido acreditamos que o trabalho contribuiu de forma significativa para a

melhoria do processo ensino-aprendizagem da matemtica, pois percebemos que o projeto

despertou nos alunos a curiosidade e o interesse para aprender contedos matemticos, em

especial da geometria analtica Sees Cnicas.

57

Referncias Bibliogrficas

[1] Aplicaes prticas das parbolas. Antenas parablicas.Disponvel em :

[2] As Cnicas e suas Aplicaes. A construo da parbola pelo mtodo da dobradura p.32.

Disponvel em http:/www.sato.prof.ufu.br/Conicas/Curso_Conicas

Aplicaes.pdf

[3] Boyer, Carl Benjamin, 1906- Histria da matemtica; traduo: Elza F. Gomide. So

Paulo, Edgadr Blcher, 1974.

[4] Contedos digitais em matemtica para o ensino mdio-Universidade Federal Fluminense-

UFF. Disponvel em em http://www.cdme.im-uff.mat.br/ .

[5] Dante,Luiz Roberto. Matemtica Contexto e Aplicaes, Volume nico-Ensino

Mdio,Editora tica 2010.

[6] EVES, Howard. (1997) Introduo histria da matemtica 2 ed. Campinas, SP.

Editora da Unicamp.

[7] GeoGebra. Manual do Usurio. http://www.geogebra.at/

[8] PCNs (Parmetros Curriculares Nacionais). Cincias da natureza Matemtica e suas

Tecnologias. Braslia: Ministrio da Educao Bsica, 2006.(Orientaes Curriculares para

oEnsino Mdio; Volume 2).

58

Anexos

Anexo 1 - Moldes das partes de um cone

61

Anexo 2 - Prova diagnostica

EEEM Benedito Correa de Souza

Professor Ademar Francisco do Nascimento

Aluno(a) : ........................................................................................................................

Questes

1) De acordo com o que estudamos defina seces cnicas.

2) Como podemos definir a elipse?

3) Cite alguns elementos da elipse.

4) De acordo com cada figura escreva ao lado a equao da elipse.

5) Determine o foco e a reta diretriz da parbola de equao y2= 5x.

6)Determine o centro, os focos e os vrtices da hiprbole de equao 5x2-4y

2-20y-8y-4=0.

7)Observe a figura abaixo, defina o que uma hiprbole.

8)Escreva a equao da parbola com diretriz d paralela ao eixo y e foco direita de d.

62

Anexo 3 - Prova 2

EEEM Benedito Correa de Souza

Professor Ademar Francisco do Nascimento

Aluno(a) : ........................................................................................................................

Questes

1)A participao no projeto contribuiu na compreenso da definio das seces cnicas?

2)Quais so as equaes da hiprbole quando os focos pertencem ao eixo OX e quando

pertencem ao eixo OY?

3)De acordo com o que foi visto no projeto defina parbola.

4)Cite os elementos da parbola.

5)Numa elipse, as extremidades do eixo maior so os pontos A1=(6,0) 2 A2=(-6,0). Sabendo

que a elipse passa pelo ponto P=(3,2) determine sua equao.

6)De acordo com o que foi visto no projeto defina elipse.

7)Determine a equao da parbola com eixo de simetria perpendicular ao eixo x, vrtice no

ponto V=(0,4) e que passa pelo ponto P=(2,1).

8) Quais os elementos da hiprbole?

63

Anexo 4- Alunos participantes do projeto

64

Anexo 5- Atividade

Objetivo: Apresentar o software GeoGebra aos alunos e trabalhar as principais ferramentas,

dando um pouco de prtica aos mesmos.

Para esta atividade inicial, iremos construir alguns elementos grficos com eles, tais como:

1) Ponto no plano cartesiano;

2) Reta no plano cartesiano;

3) Polgonos convexos;

4) Retas paralelas;

5) Retas perpendiculares;

6) Interseo de objetos;

7) Ponto mdio;

8) Mediatriz de um segmento;

9) ngulo;

10) circunferncia ;

Usando a barra de botes abaixo, construa os seguintes itens:

1) Insira os pontos A = (3 , -1), B = (-2 , -1) e C = (1 , 4) no plano ;

2) Traar as retas AB, AC e BC, usando o terceiro boto da barra acima;

3) Traar a reta r paralela reta AB e que passa pelo ponto C, usando o comando oculto

dentro do quarto boto da barra acima;

4) Inserir os pontos mdios M, N e P dos lados AB, AC e BC do tringulo ABC, usando o

comando oculto dentro do segundo boto da barra acima;

5) Traar a reta s perpendicular reta r e que passa pelo ponto A, usando o comando oculto

dentro do quarto boto da barra acima;

6) Traar o ponto D, interseo da reta s com a reta BC, usando o comando oculto dentro do

segundo boto da barra acima;

65

7) Traar a reta mediatriz t, do segmento BC, usando o comando oculto dentro do quarto

boto da barra acima;

8) Medir os ngulos do tringulo ABC, usando o comando oculto dentro do oitavo boto da

barra acima.

9) Construir uma circunferncia dado o centro e um de seus ponto, dado o raio e o centro.

nascimento ademarfdo profmat 2011 mestrado (1)

Documents