Objetivas – 2012

1 Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7?

A) 1/2

B) 2/3

C) 3/4

D) 4/5

E) 5/7 *

2 Considere três números, a, b e c. A média aritmética entre a e b é 17 e a média

aritmética entre a, b e c é 15. O valor de c é:

A) 9

B) 10

C) 11 *

D) 12

E) 15

3 O número total de divisores positivos de 10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 é igual a:

A) 15

B) 270 *

C) 320

D) 1024

E) 10!

4 A figura mostra um pentágono regular estrelado

inscrito em uma circunferência.

O ângulo x mede:

A) 108º *

B)120º

C) 136º

D)144º

E) 150º

x

5 No plano cartesiano, a reta que passa pelos pontos )3,4(A e )4,6(B corta os

eixos nos pontos P e Q. O comprimento do segmento PQ é:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 5 *

E) 2

6

O gráfico ao lado mostra o número de

atendimentos de pacientes com uma certa doença

num ambulatório no primeiro semestre de 2010.

Quando houve o maior decréscimo percentual no

número de atendimentos?

A) Entre janeiro e fevereiro.

B) Entre fevereiro e março.

C) Entre março e abril.

D) Entre abril e maio. *

E) Entre maio e junho.

7 Meninas formaram uma roda. Maria é a quinta garota à esquerda de Denise e é a sexta

garota à direita de Denise. Quantas meninas estão na roda?

A) 10

B) 11 *

C) 12

D) 13

E) 17

8

Se a medida do diâmetro de um círculo aumenta em 100%, então a medida de sua área

aumenta em:

A) 300% *

B) 100%

C) 200%

D) 400%

E) 314%

9 Seu João precisa pesar uma pera em uma balança de dois pratos. Ele possui 5 pesos

distintos, de 1g, 3g, 9g, 27g e 81g. Seu João, equilibrando a pera com os pesos,

descobriu que a pera pesa 61g. Quais pesos estavam no mesmo prato que a pera?

A) 1, 9 e 27

B) 3 e 27 *

C) 9 e 27

D) 1 e 9

E) 3 e 9

10 A figura abaixo apresenta o gráfico da função

234 18163)( xxxxf no intervalo

[ 1, 4].

Quantas soluções reais distintas possui a equação 1018163 234 xxx no intervalo

[ 1, 4]?

A) 0

B) 1

C) 2 *

D) 3

E) 4

11 Dado que todos os A´s são B´s, mas apenas alguns B´s são C´s, qual das alternativas

abaixo é certamente correta?

A) Nenhum A é C.

B) Se algo é C então ele também é B.

C) Todo A é C.

D) Ou nenhum A é C ou nenhum C é B.

E) Se algo não é B então ele não é A. *

12 Os pontos da figura abaixo estão igualmente espaçados.

Quantos retângulos podemos traçar com vértices nesses pontos?

A) 6

B) 12

C) 16

D)18

E) 20 *

13 Na figura ao lado, o quadrilátero grande é formado por 4

trapézios congruentes ao trapézio isósceles sombreado.

O perímetro do quadrilátero grande é 36 cm.

Qual é o perímetro do trapézio sombreado?

A) 9 cm

B) 12 cm

C) 18 cm *

D) 36 cm

E) 72 cm

14 Considere as funções reais 32)( 2 xxxf e 43)( 2 xxxg . Assinale a

alternativa falsa.

A) Se 2x então 3)(xf .

B) Se 21 x então )()( xgxf .

C) Se )()( xgxf então 30 x . *

D) Se 1x então 0)()( xgxf .

E) 271 x se, e somente se, )()( xgxf .

15 Ana, Beatriz, Carlos e Daniel pescaram 11 peixes. Cada um deles conseguiu pescar pelo

menos um peixe, mas nenhum deles pescou o mesmo número de peixes que outro. Ana

foi a que pescou mais peixes e Beatriz foi a que pescou menos peixes. Quantos peixes

os meninos pescaram juntos?

A) 3

B) 4

C) 5 *

D) 6

E) 7

16 Na figura ao lado os segmentos AB, CD e EF são

perpendiculares à reta AE e medem,

respectivamente, 40m, 82m e 100m.

Se o segmento CE mede 27m, o comprimento do

segmento AC é:

A) 52m

B) 56m

C) 60m

D) 63m *

E) 66m

A

B

C

D

E

F

17 Um número natural é chamado de estranho se seus algarismos são todos distintos e

nenhum deles é 0 e é chamado de belo se todos os seus algarismos são pares. Quantos

são os números de quatro algarismos que são estranhos ou belos?

A) 24

B) 500

C) 3024

D) 3500 *

E) 3548

18

Considere os números reais 821

2a , 2)31(b ,

24

7)21( 3

c .

A opção verdadeira é:

A) a e b são ambos irracionais e c é racional.

B) a e b são ambos inteiros e c é racional.

C) a e c são ambos racionais e b é irracional. *

D) a é inteiro, b é racional e c é irracional.

E) a é racional e b e c são ambos irracionais.

19 Na figura ao lado, ABC é um triângulo equilátero, M é

o ponto médio do lado AB, o segmento MN é

perpendicular ao lado BC e o segmento NP é

perpendicular ao lado AC.

Sabendo que AP 12 unidades, a medida do lado do

triângulo ABC nessa mesma unidade é:

A) 15,2

B) 16,4

C) 17,5

D) 18,6

E) 19,2 *

A

B C

M

N

P

20 Uma amostra de água salgada apresenta 18% de salinidade. Isto significa que em 100

gramas da amostra teremos 18 gramas de sais e 82 gramas de água. Qual a melhor

aproximação do percentual de água da amostra a ser evaporado se quisermos obter 30%

de salinidade?

A) 30 %

B) 36 %

C) 42 %

D) 49% *

E) 58%

21 Assinale a alternativa verdadeira:

A) Se x é um número real positivo, então 46 xx .

B) Se x é um número real e xx2 , então 1x .

C) Se 200x e 4y então 50y

x.

D) Se x é um número real então xx2 .

E) Se 0)12( 2 xxx então 0x ou 1x ou 2x . *

22 De quantas maneiras é possível escolher três números inteiros distintos, de 1 a 20, de

forma que a soma seja par?

A) 1620

B) 810

C) 570 *

D) 720

E)120

23 Sejam 70002a , 30005b e 200013c . Assinale a alternativa correta:

A) cab *

B) cba

C) abc

D) bca

E) acb

24 O gráfico que melhor representa a função 21)( xxf é:

A) B) * C)

D) E)

25 Quantos múltiplos de 5 existem com 4 algarismos diferentes?

A) 448

B) 504

C) 546

D) 952 *

E) 1008

26 Em Eletrostática, o módulo E do campo elétrico gerado por uma única carga elétrica

pontual de carga q em um ponto a uma distância d da carga é diretamente proporcional a

q e inversamente proporcional ao quadrado de d. Considere uma carga elétrica com

carga q constante e seja )(dfE , com 0d , a função que descreve o módulo E do

campo elétrico em um ponto a uma distância d dessa carga. Dessa forma, é correto

afirmar que )2( df é igual a:

A) 4

)(df * B) )(4 df C) )(df

D) 2

)(df E) )(2 df

27 Observe o desenho ao lado com as quatro

circunferências de raio 1 dentro da

circunferência de raio 2. A área sombreada é

igual a:

A) 22

B) 3/

C) 42 *

D) 2/

E)

28 Um grupo de pessoas gastou 120 reais em uma lanchonete. Quando foram pagar a

conta, dividindo-a igualmente, notaram que duas pessoas foram embora sem deixar

dinheiro e as pessoas que ficaram tiveram que pagar cinco reais a mais que pagariam se

a conta fosse dividida igualmente entre todos os membros do grupo inicial.

Quantas pessoas pagaram a conta?

A) 4

B) 6 *

C) 7

D)9

E) 10

29 Na figura ao lado, os hexágonos regulares

ABCDEF e ´ ´ ´ ´ ´ ´A B C D E F estão,

respectivamente, inscrito e circunscrito à uma

circunferência de centro O.

A razão área( ´ ´ ´ ´ ´ )

área( )

A B C D E F

ABCDEF vale:

A) 2

3

B) 3

4 *

C) 2

D) 3

E) 2

30 Dona Ana distribuiu 300 balas entre seus sobrinhos Beatriz, Caio, Daniela e Eduardo da

seguinte maneira: deu uma bala para Beatriz, duas balas para Caio, 3 balas para Daniela,

4 balas para Eduardo, 5 balas para Beatriz, 6 balas para Caio e assim sucessivamente.

Quantas balas Daniela recebeu de sua tia Ana?

A) 66

B) 72

C) 78 *

D) 84

E) 88

31

Considere o sistema 0

023

22

yxyxx

yyx e as 3 afirmações abaixo.

I) Existem infinitos pares ),( yx de números reais que são soluções do sistema.

II) Todas as soluções do sistema são da forma )0,(x , para algum x real.

III) Não hé nenhuma solução do sistema da forma )8,(x , com x real.

São verdadeiras:

A) Somente I.

B) Somente II.

C) Somente III.

D) Somente I e II.

E) Somente I e III. *

32 Pedro recorta em uma folha de papel um setor circular OAB de raio 12cm e ângulo de 120

o .

Juntando e colando os raios OA e OB ele faz um cone como mostra a figura abaixo.

A altura desse cone é, aproximadamente:

A) 9,6cm

B) 10,4cm

C) 10,8cm

D) 11,3cm *

E) 11,7cm

12

120o

O A

B O

A = B

33 Um grupo de agricultores trabalha no corte da cana em duas glebas de terra. Admita que

todos possuem a mesma velocidade de trabalho (medida em área cortada por unidade de

tempo) e que uma das glebas tenha o dobro da área da outra. Até a metade do dia todos

trabalham juntos na gleba maior e, na outra metade do dia, metade dos trabalhadores

passa a cortar a cana da gleba menor, enquanto a outra metade continua cortando grama

na gleba maior. No final deste dia, os trabalhadores terminaram de cortar toda a cana da

gleba maior, mas um trabalhador demorou mais um dia inteiro para terminar de cortar a

cana da gleba menor. Quantos trabalhadores havia no grupo?

A) 4

B) 6

C) 8 *

D) 10

E) 12

34 Considere todos os números inteiros positivos escritos com exatamente cinco

algarismos ímpares distintos. Qual é o valor da soma desses números?

A) 6666600 *

B) 6666000

C) 6660000

D) 6600000

E) 6000000

35 Sejam x e y números inteiros tais que yx10 seja um múltiplo de 7.

Assinale a resposta correta.

A) yx 2 será certamente um múltiplo de 7 *

B) yx2 será certamente um múltiplo de 7

C) yx será certamente um múltiplo de 7

D) yx2 será certamente um múltiplo de 7

E) yx 22 será certamente um múltiplo de 7

Discursivas 12

Discursiva 1 Um fazendeiro deseja delimitar uma área retangular utilizando 40m de cerca e aproveitando um muro (de mais de

40m) que já está construído. Determine as dimensões do retângulo de maior área que o fazendeiro consegue delimitar.

Discursiva 2 As figuras a seguir mostram duas circunferências distintas, com centros 1C e 2C que se intersectam nos pontos A e B.

Uma reta r passa por A, corta a circunferência da esquerda em P e a circunferência da direita em Q e é tal que A está

entre P e Q.

a) Mostre que se r é paralela à reta 21CC o segmento PQ é o dobro do

segmento 21CC .

Atenção: a figura deve ser feita no caderno de respostas

b) Mostre que se r não é paralela à reta 21CC o segmento PQ é menor

que o dobro do segmento 21CC .

Atenção: a figura deve ser feita no caderno de respostas

Discursiva 3 Um engenheiro fará uma passarela de 10 metros de comprimento, ligando a porta da casa ao portão da rua. A

passarela terá 1 metro de largura e ele, para revesti-la, dispõe de 10 pedras quadradas de lado 1 metro e 5 pedras

retangulares de 1 metro por 2 metros.

Todas as pedras são da mesma cor, as pedras de mesmo tamanho são indistinguíveis umas das outras e o rejunte ficará

aparente, embora com espessura desprezível. De

quantas maneiras ele pode revestir a passarela?

cerca muro

B

1C 2C

r A P Q

A

B

1C 2C r

P

Q

PROFMAT – Exame de Acesso 2012

Questoes objetivas

Q1. 1/2 = 0, 5 e |0, 7− 1/2| = 0, 2; 2/3 = 0, 666... e |0, 7− 2/3| > 0, 03; 3/4 = 0, 75 e |0, 7− 0, 75| = 0, 05; 4/5 = 0, 8

e |0, 7 − 0, 8| = 0, 1; 5/7 = 0, 71... e |0, 7 − 5/7| < 0, 02. Entao 5/7 esta a menor distancia de 0,7 entre os numeros

apresentados.

Resposta: E.

Q2. Se a media aritmetica entre a e b e 17, entao

a+ b

2= 17 ,

isto e, a+ b = 34. Se a media aritmetica entre a, b e c e 15 entao

a+ b+ c

3= 15 ,

isto e, a+ b+ c = 45. Logo c = 45− (a+ b) = 45− 34 = 11.

Resposta: C.

Q3. Para contar o numero de divisores, o melhor procedimento e escrever a decomposicao do numero em fatores

primos. Tem-se

10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= (2 · 5) · 32 · 23 · 7 · (2 · 3) · 5 · 22 · 3 · 2

= 28 · 34 · 52 · 71 .

Os divisores de 10! sao todos os produtos possıveis usando esses fatores. Dito de outro modo, sao todos os produtos

da forma

2i · 3j · 5k · 7m

em que 0 ≤ i ≤ 8, 0 ≤ j ≤ 4, 0 ≤ k ≤ 2 e 0 ≤ m ≤ 1 (isso inclui o 1 e o 10! como divisores). Como ha nove

possibilidades para i, cinco para j, tres para k e duas para m, ha um total de 9 · 5 · 3 · 2 = 270 possibilidades. Nao

ha possibilidade de contarmos duas vezes o mesmo numero porque a decomposicao em fatores primos e unica.

Resposta: B.

1

Q4. O angulo pedido e igual ao angulo interno do pentagono regular da regiao central, que vale 108o.

Resposta: A.

Q5. Pela hipotese, a cada acrescimo positivo na primeira coordenada de 2 unidades corresponde o acrescimo positivo

na segunda coordenada de 1 unidade. Portanto P = (0, 1) esta sobre a reta (subtraindo-se 4 unidades da primeira

coordenada de A obriga a subtrair 2 unidades da segunda coordenada); e Q = (−2, 0) esta sobre a reta (subtraindo-se

3 unidades da segunda coordenada de A obriga a subtrair 6 unidades da primeira coordenada). Pelo Teorema de

Pitagoras, a distancia entre esses pontos e√

22 + 12 =√

5.

Resposta: D.

Q6. De janeiro a fevereiro nao houve decrescimo, entao nao e preciso considerar esse caso. Fevereiro a marco:

(200− 160)/200 = 1/5, decrescimo de 20%. Marco a abril: (160− 120)/160 = 1/4, decrescimo de 25%. Abril a maio:

(120−84)/120 = 3/10, decrescimo de 30%. Maio a junho: (84−63)/84 = 1/4, decrescimo de 25%. Portanto o maior

decrescimo ocorreu entre abril e maio.

Resposta: D.

Q7. Como Maria e a quinta garota a esquerda de Denise, ha 4 meninas entre elas pelo lado esquerdo de Denise. E

como Maria e a sexta garota a direita de Denise, ha 5 meninas entre elas pelo lado direito de Denise. Entao sao 1

(Denise) + 1 (Maria) + 4 (entre elas pela esquerda) + 5 (entre elas pela direita) = 11 garotas.

Resposta: B.

Q8. Aumentar o diametro de um cırculo em 100% significa duplica-lo. Com isso, sua area e multiplicada por 4. Isso

significa somar 3 vezes a area original a area original, o que, em porcentagem, significa aumentar 300%.

Resposta: A.

Q9. O peso de 81g nao podia estar com a pera, pois a soma dos outros pesos seria incapaz de equilibrar as 142g

resultantes. E ele tinha que estar no outro prato, pois a soma dos outros pesos (40g) tambem seria incapaz de

equilibrar a pera. Entao peso de 81g e pera estavam certamente em pratos distintos.

O peso de 27g, se estivesse junto com o peso de 81g, obrigaria a ter ao menos 27+81-61=47g alem da pera no

prato da pera, mas isso nao pode ser conseguido com os pesos restantes. Ao mesmo tempo, o prato da pera precisa

de pelo menos 20g para contrabalancar o peso de 81g, o que tambem nao pode ser conseguido sem o peso de 27g.

Entao o peso de 27g tinha que estar no prato da pera, que por isso certamente tinha, pelo menos, 27+61=88g.

Pelo mesmo raciocınio, o peso de 9g nao pode estar no prato da pera e tem que estar no outro prato, que agora

soma 81+9=90g. Analogamente, o peso de 3g tinha que estar no prato da pera e o peso de 1g no outro prato.

Concluindo, o prato da pera tinha os pesos de 27g e de 3g (somando 91g), enquanto o outro prato tinha os pesos

de 81g, 9g e 1g (tambem somando 91g). E nenhuma outra maneira de equilibrar os pratos com esses pesos e a pera

de 61g e possıvel.

Resposta: B.

2

Q10. As solucoes de f(x) = −10 correspondem aos valores da abscissa dos cruzamentos do grafico de f com a

horizontal na altura −10. Pela figura, ocorrem dois cruzamentos, portanto sao duas solucoes.

Resposta: C.

Q11. Formulando em termos de conjuntos, a hipotese diz que A ⊂ B, que C ∩ B 6= ∅ sem que B ⊂ C. Apenas

A ⊂ B ja implica que se algo nao e B entao nao e A, entao (E) e correta.

Sobre as outras alternativas, um unico exemplo serve para mostrar que nao podem ser sempre verdadeiras. Sejam

A = {1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e C = {2, 3, 4} tres subconjuntos dos numeros inteiros. Esses 3 conjuntos satisfazem as

hipoteses: todos os A’s sao B’s e apenas alguns B’s sao C’s. (A) “Nenhum A e C”: falsa, pois 2 ∈ A e 2 ∈ C; (B)

“Se algo e C entao ele tambem e B”: falsa, pois 4 ∈ C mas 4 6∈ B; (C) “Todo A e C”: falsa, pois 1 ∈ A e 1 6∈ C; (D)

“Ou nenhum A e C ou nenhum C e B”: falsa, pois 2 pertence a A e C e, ao mesmo tempo, 2 e 3 pertencem a C e a

B.

Resposta: E.

Q12. E bom lembrar que quadrados tambem sao retangulos. Exceto 2 quadrados com lados inclinados em 45o, os

demais retangulos tem lados paralelos aos eixos, e podem ser contados de acordo com suas dimensoes n×m.

n = 1,m = 1: 6

n = 1,m = 2: 4

n = 1,m = 3: 2

n = 2,m = 1: 3

n = 2,m = 2: 2

n = 2,m = 3: 1

Portanto, sao os dois mencionados mais os 18 listados, totalizando 20.

Resposta: E.

Q13. Pelo encaixe no quadrilatero grande, o trapezio sombreado (e suas copias) tem um lado maior (digamos de

tamanho `) e 3 lados menores iguais (digamos de tamanho m). Alem disso, o encaixe tambem mostra que os angulos

agudos do trapezio sao de 60o e os obtusos sao de 120o. Por trigonometria, isso implica que ` = 2m. Entao o

perımetro do trapezio sombreado e igual a ` + 3m = 5m. Por outro lado, por inspecao da figura, o perımetro do

quadrilatero maior e 4` + 2m = 8m + 2m = 10m, ou seja, duas vezes maior que o do trapezio sombreado. Entao o

perımetro do trapezio sombreado e igual a 18 cm.

Resposta: C.

Q14. Para analisar as alternativas, e preciso saber os sinais e as raızes de f , g, g − f e f + 3. A funcao f se anula

em −1 e +3, e negativa entre esses valores e positiva nos demais pontos; a funcao g se anula em −1 e 4, e positiva

entre esses dois valores e negativa nos demais pontos; a funcao g − f (dada por g(x) − f(x) = −2x2 + 5x + 7) se

anula em −1 e +7/2, e positiva entre esses dois valores e negativa nos demais pontos; e f(x) + 3 = x2 − 2x se anula

em 0 e 2, e negativa entre esses dois valores e positiva nos demais pontos.

3

(A) f(x) > −3 se e somente se f(x) + 3 > 0; como visto acima, e VERDADEIRO que x > 2 implica f(x) + 3 > 0.

(B) f(x) ≤ g(x) se e somente se g(x) − f(x) ≥ 0, o que ocorre se e somente se −1 ≤ x ≤ 3, 5, como visto acima.

Entao, em particular, −1 < x < 2 implica f(x) ≤ g(x). VERDADEIRA.

(C) Como vimos, f(x) ≤ g(x) se e somente se −1 ≤ x ≤ 3, 5. Entao para x = 0 vale f(x) ≤ g(x) mas nao vale

0 < x < 3. FALSA.

(D) Como vimos acima, f e positiva para x < −1 e g e negativa para x < −1. Conclui-se que se x < −1 entao o

produto das duas e negativo. VERDADEIRA.

(E) VERDADEIRA (exatamente o que constatamos acima sobre o sinal e as raızes de g(x)− f(x)).

Resposta: C.

Q15. Chamemos de A, B, C e D as quantidades pescadas por Ana, Beatriz, Carlos e Daniel, respectivamente.

Queremos descobrir C+D. O enunciado diz que A,B,C,D ≥ 1, que B < C,D < A, que C 6= D e que A+B+C+D =

11. Se B = 2 entao C + D ≥ 3 + 4 e A ≥ 5 (pois A e o maior e as quantidades nao se repetem), de forma que

A + B + C + D ≥ 14, contradizendo o total de 11 peixes. Entao B = 1, C + D ≥ 2 + 3 = 5 e A ≥ 4. Por outro

lado, isso implica A + B ≥ 5 e, portanto, C + D = 11 − (A + B) ≤ 11 − 5 = 6. Como 5 ≤ C + D ≤ 6 entao

C + D e igual a 5 ou a 6. Se for igual a 6, como C 6= D, entao um deles e 2 e o outro e 4, e A ≥ 5. Daı que

B + (C +D) +A ≥ 1 + 6 + 5 = 12, contradizendo o total estipulado. Portanto C +D = 5 (um deles vale 2 e o outro

vale 3, e A tem que valer 5).

Resposta: C.

Q16. Basta trabalhar com a semelhanca de triangulos usando a linha paralela a AE que passa por B. Sejam G e

H os pontos de cruzamento dessa linha com CD e EF . Entao BGD e semelhante a BHF . Portanto BGGD = BH

HF , ou

seja, x82−40 = x+27

100−40 . Resolvendo essa equacao, chega-se em x = 63.

Resposta: D.

Q17. Estranhos. Se nao entra o algarismo zero, todos os quatro algarismos devem ser dıgitos entre 1 e 9, sem

repeticao. Ha 9 possibilidades para o primeiro, apos o qual ficam 8 possibilidades, depois 7 e depois 6. Entao sao

9 · 8 · 7 · 6 = 3024 numeros estranhos de quatro algarismos. Belos. O primeiro algarismo nao pode ser zero, entao so

pode ser 2, 4, 6 ou 8. Os demais podem ser 0, 2, 4, 6, 8. Como pode haver repeticao, entao sao 4 · 5 · 5 · 5 = 500

numeros belos de quatro algarismos.

Pede-se o numero de numeros de quatro algarismos belos ou estranhos. Se somarmos 3024 com 500 (=3524)

teremos somado duas vezes aqueles que sao ao mesmo tempo belos e estranhos. Portanto temos que calcular quantos

sao e subtrair de 3524 a quantidade de numeros ao mesmo tempo belos e estranhos. Os que sao belos e estranhos

so usam os algarismos 2, 4, 6 e 8 em cada uma das posicoes (pois numeros estranhos nao tem zero como algarismo)

e ainda sem repeticoes. Entao sao 4 · 3 · 2 = 24 possibilidades. Portanto sao belos OU estranhos 3524 − 24 = 3500

numeros de quatro algarismos.

Resposta: D.

4

Q18. E preciso simplificar as expressoes para responder.

a =2

1−√

2+√

8 =2(1 +

√2)

1− 2+√

8 = −2− 2√

2 + 2√

2 = −2

b = (1 +√

3)2 = 1 + 2√

3 + 3 = 4 + 2√

3

c =(1 +

√2)3 − 7

4√

2=

1 + 3√

2 + 3 · 2 + 2√

2− 7

4√

2=

5

4

Entao: a e inteiro e tambem e racional; b e irracional; c e racional. A unica alternativa correta e C)“a e c sao ambos

racionais e b e irracional”.

Resposta: C.

Q19. Chame de R o ponto medio de BC e de S o ponto medio de AC. Como BNM e semelhante a BRA, e BM

e metade de BA, entao BN e metade de BR, isto e, vale x4 . Assim, NC = 3x

4 . Como CPN e semelhante a CSB,

entao CP = 34CS = 3x

8 . Por outro lado, AP = 12 implica CP = x− 12. Entao

CP =3x

8= x− 12 ,

de onde resulta x = 965 = 19, 2.

Resposta: E.

Q20. Como estamos trabalhando com proporcoes, podemos supor a quantidade de 100 gramas total, sendo 18g de

sal e 82g de agua. Para que os mesmos 18g de sal representem 30% do novo peso P apos a evaporacao, e preciso

que 18P = 0, 3, isto e, P = 60g. Portanto a quantidade de agua restante apos a evaporacao tem que ser 42g. Isto

significa uma perda de 40g de agua dentro das 82g originais, isto e, a fracao perdida e 4082 = 20

41 , que representa uma

porcentagem pouco menor do que 50%.

Resposta: D.

Q21.

(A) FALSA. Tome x = 1: 16 = 1 nao e maior do que 14 = 1.

(B) FALSA. x = 0 tambem satisfaz x2 = x.

(C) FALSA. Tome y = x.

(D) FALSA. Tome x = −1/2. Entao x2 = 1/4 e −x = 1/2, e nao vale x2 ≥ −x.

(E) VERDADEIRA. A equacao e equivalente a x(x − 1)2 = 0, o que implica x = 0 ou x = 1. Mas e logicamente

correto afirmar que x = 0 ou x = 1 ou x = 2.

Resposta: E.

A resposta a esta questao tem suscitado duvidas, devido ao mau entendimento das regras da logica. Existe consenso

de que as quatro primeiras alternativas sao falsas, mas e contestado se a quinta alternativa e verdadeira. Analisemos

este assunto.

5

A afirmacao da resposta (E) e: “se x(x2 − 2x+ 1) = 0 entao x = 0 ou x = 1 ou x = 2”. Isto e realmente verdade,

ja que existem apenas dois numeros que satisfazem x(x2 − 2x + 1) = 0, a saber 0 e 1, e qualquer dos dois tambem

satisfaz a conclusao “x = 0 ou x = 1 ou x = 2”.

O erro por tras da maioria dos questionamentos esta em confundir (E) com a sua recıproca, que seria afirmar que

todo numero que satisfaz “x = 0 ou x = 1 ou x = 2” tambem satisfaz x(x2 − 2x + 1) = 0. Isso e falso, realmente,

mas nao esta afirmado em lugar algum.

Q22. Para que a soma seja par, ou (a) os 3 numeros sao pares ou (b) um deles e par e os outros dois sao ımpares.

Ha 10 numeros pares e 10 numeros ımpares entre os inteiros de 1 a 20. Os casos (a) seriam, portanto, 10 · 9 · 8 = 720,

se importasse a ordem, mas como a ordem nao importa dividimos por 3! = 6, o que da 120. Os casos (b): temos

10 escolhas para o numero par; depois 10 · 9 escolhas para os dois numeros ımpares, mas devemos dividir por 2

porque a ordem nao importa, perfazendo 45; entao sao 10 · 45 = 450 possibilidades. Somando os dois casos, sao

120 + 450 = 570.

Resposta: C.

Q23. Podemos escrever a = (27)1000 = 1281000, b = (53)1000 = 1251000 e c = (132)1000 = 1691000. Como 125 < 128 <

169, entao b < a < c.

Resposta: A

Q24. Como |1−x2| ≥ 0 para qualquer x real, entao f(x) ≤ 0 para qualquer x real. Apenas o grafico em (B) respeita

isso.

(E de fato esta correto: 1−x2 se anula em −1 e +1. Entre −1 e +1 e positiva, logo |1−x2| = 1−x2 nessa regiao, e

f(x) = −(1−x2) = x2−1. Quando |x| > 1 aı 1−x2 < 0 e |1−x2| = −(1−x2). Portanto f(x) = −(−(1−x2)) = 1−x2

nessa regiao. Resumindo, f(x) = x2 − 1 para |x| ≤ 1 e f(x) = 1− x2 para |x| > 1.)

Resposta: B.

Q25. Se e multiplo de 5 entao termina ou com o algarismo zero ou com o algarismo 5. Vamos conta-los separadamente.

Se termina com zero, significa que so ha os algarismos de 1 a 9 disponıveis para as tres primeiras posicoes. Isso da

9 · 8 · 7 = 504 possibilidades. Se termina com 5, entao a primeira posicao nao pode nem ser 5, nem ser zero, o que da

8 possibilidades. Escolhido esse algarismo, a segunda posicao tem a disposicao os algarismos de 0 a 9, exceto o 5 e

aquele escolhido na primeira, ou seja, tem 8 possibilidades. Para a terceira posicao, restam 7 possibilidades. Entao

sao 8 · 8 · 7 = 448 possibilidades. Somando as duas, sao 448 + 504 = 952 possibilidades.

Resposta: D.

6

Q26. O enunciado diz que f(d) = c · qd2 . Entao

f(2d) = cq

(2d)2=

1

4· c · q

d2=

1

4f(d) .

Resposta: A.

Q27. Na figura ha 4 petalas sombreadas, todas identicas. Podemos dividi-las em “semipetalas”, tracando em cada

petala um segmento de reta entre os dois vertices da petala. Sao, portanto, 8 semipetalas. Observe que (1, 1) e

vertice da petala do primeiro quadrante. Portanto a area da semipetala superior do primeiro quadrante e um quarto

da area do cırculo unitario (isto e, π4 ) menos a area do triangulo-retangulo de catetos unitarios (isto e, 1/2). Ou seja,

cada semipetala tem area π4 −

12 . Como sao 8, a area total sombreada e 2π − 4.

Resposta: C.

Q28. Seja n o numero de pessoas que pagaram a conta. Como havia n + 2 pessoas, o rateio inicial era de 120n+2 .

Saindo as duas pessoas, o rateio passou a ser de 120n . Como o rateio aumentou em 5 reais, isso leva a equacao

120

n+ 2+ 5 =

120

n.

Multiplicando-se os dois lados por n(n+ 2), resulta a equacao de segundo grau

5n2 + 10n− 240 = 0 .

A solucao positiva dessa equacao e n = 6.

Resposta: B.

Q29. Como OA′

OA e a razao de semelhanca entre os hexagonos, a razao entre as areas sera o quadrado dessa razao,

isto e, (OA′)2

(OA)2 .

Notemos que OA e o tamanho da apotema do hexagono externo, o que pode ser visto ao girar-se o hexagono

interno ate que A coincida com o ponto medio de A′F ′. Nessa nova posicao, OAA′ e triangulo-retangulo, OA′ e sua

hipotenusa e AA′ = 12A′F ′ = 1

2OA′. Entao (OA)2 = (OA′)2 − 1

4 (OA′)2 = 34 (OA′)2. Portanto a razao procurada e

igual a 43 .

Resposta: B.

Q30. A primeira rodada completa de distribuicao de balas totaliza N1 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 balas. Em cada rodada,

cada um recebe 4 balas a mais do que na rodada anterior. Cada rodada inteira tera, portanto, 16 balas a mais que

a anterior. Portanto o numero Nj de balas distribuıdas na rodada j e dado por

Nj = 10 + 16(j − 1) .

O total Tj de balas distribuıdas ate o final da j-esima rodada e a soma N1 + N2 + . . . + Nj , que e a soma de uma

progressao aritmetica, e vale

j · N1 +Nj2

= 8j2 + 2j .

7

Se k e o maior numero de rodadas completas dentro do limite de 300 balas entao k e o maior dentre os valores de j

que satisfazem 8j2 + 2j ≤ 300, ou ainda

4j2 + j − 150 ≤ 0 .

Ou seja, k e o maior inteiro localizado entre as raızes do polinomio quadratico 4x2+x−150. Esse polinomio tem uma

raiz negativa e outra positiva, inteira e igual a 6. Entao a 6a rodada e a ultima completa e, de fato, apos terminada,

terao sido distribuıdas exatamente 300 balas, pois

8 · 62 + 2 · 6 = 300 .

Agora sabemos que Daniela recebeu balas em 6 rodadas, segundo a progressao aritmetica: 3, 7, 11, 15, 19, 23. No

total, recebeu a soma dos valores dessa progressao, ou seja,

6 · 3 + 23

2= 78 .

Resposta: C.

Q31. A primeira equacao e equivalente a y(x2 − y) = 0 e suas solucoes sao os pontos (x, y) que satisfazem y = 0

ou y = x2, isto e, sao os pontos da uniao da abscissa com o grafico de x2. A segunda equacao e equivalente a

(x2 − y)(x + 1) = 0 e suas solucoes sao os pontos do conjunto que e a uniao do grafico de x2 com a reta vertical

definida por x = −1. Logo, as solucoes do sistema sao os pontos na intersecao desses dois conjuntos, que e a uniao

do ponto (−1, 0) com o grafico de x2.

Isto mostra que existem infinitas solucoes para o sistema: (I) e VERDADEIRA. Tambem mostra que ha solucoes

fora da abscissa: (II) e FALSA. E nao ha nenhuma solucao com segunda coordenada negativa, em particular (III) e

VERDADEIRA.

Resposta: E.

Q32. O perımetro do cırculo da base do cone e o mesmo perımetro do arco de cırculo na borda do papel que liga A

a B. Esse perımetro e igual a 13 do perımetro total do cırculo de raio 12, ou seja, 1

3 · 2π · 12 = 8π.

Seja r o raio do cırculo da base do cone. Como 2πr = 8π entao r = 4. Se h e a altura do cone, entao, examinando-se

a intersecao do plano vertical que passa pelo vertice do cone, deduz-se, pelo Teorema de Pitagoras, que h2 +r2 = 122.

Portanto

h =√

144− 42 =√

128 ' 11, 3 .

Obs. Como 112 = 121 entao√

128 > 11, deixando apenas as respostas (D) e (E) como possıveis. Para decidir

entre elas, pode-se escrever

(11, 3)2 = (11 + 0, 3)2 = 121 + 2 · 11 · 0, 3 + 0, 32

(11, 7)2 = (11 + 0, 7)2 = 121 + 2 · 11 · 0, 7 + 0, 72

Os termos 0, 32 e 0, 72 nao superam 0, 5. O acrescimo mais importante em 121 e o termo do meio: 22 · 0, 3 = 6, 6 e

22 · 0, 7 = 15, 4, respectivamente. Daı fica claro que 11, 3 e a melhor aproximacao.

Resposta: D.

8

Q33. Seja F a fracao da gleba menor que um trabalhador pode cortar em um dia. Se sao N trabalhadores, entao

eles, no primeiro dia, cortaram NF e, no segundo dia, um deles ainda cortou F , totalizando (N +1)F . Como a gleba

maior e o dobro da menor, isso deu 3 vezes o tamanho da gleba menor, portanto (N + 1)F = 3.

Por outro lado, a gleba maior foi toda cortada em um dia. Na primeira metade do dia foram N trabalhadores,

que contribuıram com 12 ·N ·F , e na segunda metade do dia foram N

2 trabalhadores, que contribuıram com 12 ·

N2 ·F .

Entao 12 ·

3N2 · F = 2 (pois o corte da gleba maior foi equivalente a 2 vezes a gleba menor).

Essa segunda equacao implica que NF = 83 . Colocando esse valor de NF na primeira, resulta F = 1

3 . Logo N = 8.

Resposta: C.

Q34. Os algarismos ımpares sao cinco: 1, 3, 5, 7, 9. O total de numeros que podem ser escritos com 5 algarismos

ımpares distintos e, portanto, 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Para cada algarismo possıvel, ha 24 deles que terminam com esse

algarismo. Entao a soma das unidades desses numeros e igual a

24 · (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 24 · 25 = 600 .

Pela mesma razao, a soma das dezenas tem o mesmo valor, mas sendo dezenas elas somam 600 · 10 = 6000. As

centenas somam 60000, os milhares somam 600000 e as dezenas de milhares somam 6000000. A soma total da

6666600.

Resposta: A.

Q35. Como 7x+ 7y e certamente multiplo de 7, podemos subtraı-lo de 10x+ y e teremos que 3x− 6y e certamente

multiplo de 7. Dividindo esse numero por 3, teremos x− 2y e esse numero continua sendo multiplo de 7. Entao (A)

esta correta.

Podemos ver que as demais nem sempre sao verdadeiras apresentando contraexemplos. Por exemplo, para (B)

basta encontrar x e y tais que 10x+ y seja multiplo de 7 mas 2x+ y nao seja. Ora, tomando (x, y) = (1, 4) ficamos

com 10x+ y = 14 e 2x+ y = 6. Esse mesmo contraexemplo tambem serve para (C), (D) e (E).

Resposta: A.

9

Questoes dissertativas

Q1.

Seja x o comprimento dos lados do retangulo perpendiculares ao muro e y o comprimento do lado do retangulo

paralelo ao muro. A metragem utilizada de cerca e, portanto, de 2x+ y, e isso deve ser igual a 40 m.

Primeira solucao. Daı segue que y = 40 − 2x. Como a area do retangulo e dada por xy, o fazendeiro quer

maximizar xy = x(40−2x), que e um polinomio quadratico com coeficiente do termo de grau 2 negativo e com raızes

em x = 0 e x = 20. Seu valor maximo ocorre no ponto medio entre as raızes, isto e, em x = 10. Disso decorre que

y = 40− 2 · 10 = 20.

Comentario 1. Tambem e verdade que 2x + y = 40, de onde segue que x = 20 − y2 . Entao a area do retangulo e

igual a (20 − y2 )y, que tambem e uma funcao quadratica com coeficiente do termo de grau 2 negativo e com raızes

em y = 0 e y = 40. Logo seu maximo ocorre em y = 20, e daı sai automaticamente x = 10.

Comentario 2. Observe que a area do retangulo e igual a 200 m2.

Segunda solucao. Observamos que 2x+y = 40 e tambem uma maneira de escrever que a media aritmetica simples

entre 4x e 2y e igual a 40:

2x+ y =4x+ 2y

2= 40 .

A media aritmetica de dois numeros positivos e sempre maior do que ou igual a sua media geometrica, logo

40 =1

2(4x+ 2y) ≥

√(4x) · (2y) =

√8 · √xy ,

isto e,

8xy ≤ 402 .

Isso mostra que a area xy e limitada por 402/8 = 200 m2. Mas a igualdade entre a media aritmetica e a media

geometrica e alcancada se, e somente se, os dois termos sao iguais. Ou seja xy atinge o valor maximo de 200 m2

se, e somente, se 4x = 2y, isto e, y = 2x. A solucao e encontrada apos resolver-se o sistema constituıdo pelas duas

equacoes y = 2x e 2x+ y = 40, que tem unica solucao (x, y) = (10, 20).

Q2.

(a) Seja M o ponto medio do segmento PA e N o ponto medio do segmento AQ. Como PA e uma corda da

circunferencia a esquerda, de centro C1, entao C1M e perpendicular a PA. Da mesma forma, C2N e perpendicular

a AQ. Alem disso, sendo C1C2 paralelo a reta r, segue que C1C2 e perpendicular aos segmentos C1M e C2N . Entao

C1C2NM e um retangulo. Disso decorre que NM = C1C2.

Entao PQ = PM +MA+AN +NQ. Como PM = MA e AN = NQ, segue que PQ = 2(MA+AN) = 2MN =

2C1C2, como se queria demonstrar.

(b) Sejam M e N como no item (a). Seja `M a reta contendo C1M e `N a reta contendo C2N . As duas retas sao

perpendiculares a PQ e paralelas entre si. A distancia mınima entre dois pontos que estejam cada um em uma dessas

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retas ocorre quando o segmento por esses pontos e perpendicular a ambas as retas, como e o caso de MN . Em outras

palavras, quando o segmento pelos dois pontos e paralelo a r. Entao, como C1C2 nao e paralelo a r, por hipotese,

C1C2 > MN .

Daı segue, como no item anterior, que PQ = 2(MA+AN) = 2MN > 2C1C2, como se queria demonstrar.

Q3.

Seja n o numero de pedras 1× 1 e m o numero de pedras 2× 1. Em primeiro lugar, o engenheiro pode usar algum

e apenas algum dos seguintes valores para (n,m): (10, 0), (8, 1), (6, 2), (4, 3), (2, 4) e (0, 5).

Em cada um dos casos (10, 0) e (0, 5) so ha 1 maneira de revestir a passarela, ja que todas as pedras sao iguais.

No caso (8, 1) ha 9 possibilidades de se colocar a unica pedra de 2 m junto com as 8 pedras de 1 m. Note que

nenhuma dessas disposicoes e equivalente entre si, pois as duas pontas da passarela sao distinguıveis entre si. A

mesma observacao vale para a analise dos casos restantes.

De fato, os casos restantes e os anteriores podem ser analisados sempre da mesma forma. De um total de n + m

pedras, basta escolher asm posicoes dasm pedras de 2 m. Para isso, ha(n+mm

)= (n+m)!

n!m! escolhas. Para (n,m) = (6, 2)

isso da 8!2!6! = 28, para (n,m) = (4, 3) da 7!

3!4! = 35 e para (n,m) = (2, 4) da 6!2!4! = 15.

O total e, portanto, igual a 1 + 9 + 28 + 35 + 15 + 1 = 89.

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