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capitulo 1 - introducao a algebra linear; Hefez e Fernandez

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1Livro: Introduo lgebra Linear Ceclia de Souza Fernandez Autores: Abramo Hefez

Captulo 1: Sistemas Lineares e MatrizesSumrio1 O que lgebra Linear? . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1 1.2 1.32

Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de Equaes Lineares . . . . . . . . . . .

3 4 914

Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 2.2 2.3

A Denio de Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Operaes com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . 16 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1

2

CAPTULO 1.

SISTEMAS LINEARES E MATRIZES

1

O que lgebra Linear?Os espaos em que trabalharemos so os

Rn , com n 2, isto , o produto cartesiano de n cpias da reta real R. Para n 4, este espao generaliza 2 3 o espao R dos vetores do plano e o espao R dos vetores no espao. A diferena crucial entre os casos n = 2 e n = 3 e os casos em que n 4 que, para estes ltimos, no se dispe de uma representao geomtrica. O fato no diminui a importncia desses espaos, pois basta pensar que o

R4

o espao-tempo da Fsica, em que os pontos so quaternos

(x, y, z, t),

com as trs primeiras coordenadas representando a posio no espao de uma partcula ideal e a ltima representando o instante ocupa tal posio. pontos de

t

em que esta partcula

Por no existir uma representao geomtrica para os

Rn

com

n 4,

seremos obrigados a trat-los algebricamente, sem

o recurso da visualizao geomtrica, to fundamental em Portanto, trataremos os elementos de dois vetores

R2

e

R3 .

(x1 , x2 , . . . , xn )

e

Rn como vetores, (y1 , y2 , . . . , yn ) dada por

onde a soma de

(x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ),e a multiplicao do vetor escalar, denida por

(x1 , x2 , . . . , xn )

pelo nmero real

a,

chamado de

a(x1 , x2 , . . . , xn ) = (ax1 , ax2 , . . . , axn ).Os espaos

Rn

so utilizados de modo essencial em quase todos os ramos

do conhecimento e, por este motivo, so estudados em Matemtica sob os mais variados pontos de vista e com as mais diversas estruturas. Por exemplo, no Clculo Diferencial, so considerados como espaos normados; em Geometria, como espaos com produto interno.

Rn estudada em lgebra Linear a induzida pela estrutura de corpo da reta real R. Essa a estrutura mnima apropriada para se estudarA estrutura de sistemas de equaes lineares com vrias incgnitas. Alm disso, aquela sobre a qual se constroem o Clculo Diferencial e a Geometria Diferencial, entre outros.

1.

O QUE LGEBRA LINEAR?

3

Como a estrutura de corpo de

R desempenhar papel fundamental, vamos

denir formalmente este conceito.

1.1 CorposUm conjunto de adio a seguir.

K

ser chamado de

corpo

se for munido de uma operao

(+) e uma operao de multiplicao (), vericando as condies

A1 A adio associativa:(a + b) + c = a + (b + c),para todos

a, b, c K .

A2 A adio comutativa:a + b = b + a,existe para todos

a, b K .para todo

A3 A adio possui elemento neutro:0 K,tal que

a + 0 = a, a K

a K.

A4 A adio possui simtricos:para todo

a K,

existe

tal que

a + (a) = 0.

M1 A multiplicao associativa:(a b) c = a (b c), a b = b a,existe para todos para todos

a, b, c K .

M2 A multiplicao comutativa:a, b K . a 1 = a,para todo

M3 A multiplicao possui elemento neutro:1 K \ {0},tal que

a K.

M4 A multiplicao possui inversos:para todo

a K \ {0},

existe

a1 K

tal que

a a1 = 1.

AM A multiplicao distributiva com relao adio:a (b + c) = a b + a c,para todos

a, b, c K .e

Portanto, so corpos os conjuntos adies e multiplicaes.

Q, R

C,

com as suas respectivas

A operao de multiplicao em um corpo muitas vezes denotada por

(), escrevendo a b, ou mesmo ab, no lugar de a b, notao que adotaremosao longo deste livro.

4

CAPTULO 1.

SISTEMAS LINEARES E MATRIZES

Existem exemplos de corpos que primeira vista parecem exticos, como o corpo de Galois operaes:

1

F2 , que consiste dos dois elementos 0 e 1 com as seguintes

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

0 1

0 0 0

1 0 1

Note que este o corpo com o menor nmero possvel de elementos, pois todo corpo deve possuir os dois elementos distintos

0

e

1.

Apesar de

parecerem apenas curiosidades, os corpos com um nmero nito de elementos tm as mais variadas aplicaes em quase toda a Matemtica e so essenciais na tecnologia e na computao.

1.2 Espaos VetoriaisOs espaos

Rn ,

por serem constitudos por vetores que podem ser soma-

dos e multiplicados por escalares, como vimos antes, so chamados

espaos

vetoriais.Como os espaos vetoriais so os objetos principais de estudo da lgebra Linear, vamos deni-los formalmente a seguir. Um conjunto uma adio seja,

V

ser dito um

espao vetorial

sobre um corpo

K , se possui

(+)

com as mesmas propriedades da adio em um corpo; ou

A1 A adio associativa:(u + v) + w = u + (v + w),para todos

u, v, w V .

A2 A adio comutativa:u + v = v + u,existe para todos

u, v V .para todo

A3 A adio possui elemento neutro (elemento zero):0V,tal que

v + 0 = v,

v V.

1 Em homenagem a variste Galois (Frana, 1811-1832), considerado um dos grandesgnios da Matemtica.

1.

O QUE LGEBRA LINEAR?

5

A4 A adio possui simtricos:para todo

v V,

existe

v V

tal que

v + (v) = 0.

E alm disso, existe uma operao chamada de associa a um elemento tal que

multiplicao por escalar, quev V,um elemento

aK

e a um elemento

av V ,

ME1 a(u + v) = au + av , para todos a K e u, v V . ME2 (a1 + a2 )v = a1 v + a2 v , para todos a1 , a2 K e v V . ME3 (a1 a2 )v = a1 (a2 v), para todos a1 , a2 K e v V . ME4 1v = v , para todo v V .Os elementos de

V

sero chamados de

vetores

e os elementos de

K

de

escalares. Assim, o elemento 0 de V v de vetor oposto de v .

ser chamado de

vetor nulo e o elemento

O primeiro matemtico a dar uma denio abstrata para um espao vetorial foi Giuseppe Peano (Itlia, 1858 - 1932) em seu livro

Calcolo Geo-

metrico, de 1888. No Captulo IX, Peano d uma denio do que ele chama de um sistema linear. Para Peano, um sistema linear consistia de quantidadescom operaes de adio e multiplicao por escalar. A adio deveria satisfazer as leis comutativa e associativa, enquanto a multiplicao por escalar deveria satisfazer duas leis distributivas, uma lei associativa e a lei de que

1v = v

para toda quantidade

v.

Alm disso, Peano incluiu como parte de

seu sistema de axiomas a existncia de uma quantidade

v + 0 = v,

para todo

v,

assim como

0 (zero ) satisfazendo v + (1)v = 0 para todo v . Peano

tambm deniu a

dimenso

de um sistema linear como o mximo nmero de

quantidades linearmente independentes do sistema (veja esta noo na Seo 2 do Captulo 3). Peano vericou que o conjunto das funes polinomiais em uma varivel forma um sistema linear, mas no existia um tal nmero mximo de quantidades linearmente independentes, portanto, a dimenso deste sistema deveria ser innito.

O fato a seguir decorre da denio de espao vetorial.

Para

a K

e

6

CAPTULO 1.

SISTEMAS LINEARES E MATRIZES

v V,

tem-se que

a = 0 ou v = 0De fato, sejam segue-se que

av = 0.pela propriedade ME1,

a K

e

0 V.

Como

0 + 0 = 0,

a 0 = a(0 + 0) = a 0 + a 0.Somando o simtrico

a 0

de

a0

a ambos os lados da igualdade acima e

utilizando as propriedades A4, A1 e A3, temos que

0 = a 0 + (a 0) = (a 0 + a 0) + (a 0) = a 0 + [a 0 + (a 0)] = a 0 + 0 = a 0.De modo semelhante, mostra-se (faa-o) que para

0 K

e

v V

tem-se

0 v = 0,

onde o elemento

0

da direita o elemento zero de

V.

Reciprocamente, suponhamos que

av = 0

ambos os lados da igualdade acima pelo

a = 0, ento, multiplicando 1 escalar a , temos quee

0 = a1 0 = a1 (av) = (a1 a)v = 1v = v.Dois vetores

u

e

K tal que v = au. Portanto, so colineares os vetores u e au, para todo a K . Note que o vetor 0 colinear com qualquer vetor v , pois 0 = 0v .existir um elemento em um exerccio fcil mostrar que

v a

em um espao vetorial

V

sero ditos

colineares,

se

Rn

um espao vetorial sobre o corpo

R,

com as operaes de adio de vetores e a multiplicao por escalares

que denimos anteriormente, onde o elemento zero o vetor simtrico de

(0, 0, . . . , 0)

e o

(x1 , x2 , . . . , xn )

o vetor

(x1 , x2 , . . . , xn ) = (x1 , x2 , . . . , xn ).Observe que no h nada de especial sobre os reais, alm de sua estrutura de corpo para que

Rn

seja um espao vetorial sobre

R.

Mais geralmente,

dado um corpo qualquer

K,