profmat-prova 2011 resolvida

8/3/2019 PROFMAT-PROVA 2011 RESOLVIDA

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Grupo PET-MATEMTICA | UFCG www.dme.ufcg.edu.br/pet/

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE CINCIAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA E ESTATSTICA(UNIDADE ACADMICA DE MATEMTICA E ESTATSTICA)

PROGRAMA DE EDUCAO TUTORIALTUTOR: PROF. DR. DANIEL CORDEIRO DE MORAIS FILHO

RESOLUO DAS QUESTES OBJETIVASDO

EXAME NACIONAL DE SELEO PARA

OPROFMAT

EQUIPE DE BOLSISTAS QUE RESOLVERAM A PROVA:

Alan de Arajo Guimares

Andr Felipe Arajo Ramalho

Arthur Cavalcante Cunha

Jogli Gidel da Silva ArajoLorena Brizza Soares Freitas

Mrio Srgio Alves Ferreira

Matheus Cunha Motta

Michell Lucena Dias

Ygor Dias A. Torquato.

CAMPINA GRANDE, 2011


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APRESENTAO

Campina Grande, 28 de fevereiro de 2011

com satisfao que o Grupo PET-Matemtica-UFCG disponibiliza para nossos colegasde todo o pas a resoluo das questes objetivas do Exame Nacional de Admisso doPROFMAT, ao qual se submeteram milhares de professores.

Sob nossa orientao e superviso, nossos bolsistas PET resolveram a prova e redigiram as

solues da maneira mais natural, sem procurar solues geniais ou mirabolantes. Os parabeni-zo por aceitarem mais esse desafio, realizado em um curto intervalo de tempo.

Ficamos disposio e agradecemos se nos mandarem dvidas, nos apontarem erros e en-viarem sugestes.

Esperamos estar colaborando com a melhoria do ensino em nosso pas.

Abrao fraterno,

Daniel Cordeiro

Tutor PET-Matemtica-UFCG

Contato: [email protected]

BIBLIOGRAFIA:Manual de Redao Matemtica: Com um dicionrio etimolgico-explicativo de pala-vras usadas na Matemtica e um captulo especial sobre como se escreve uma disserta-o.

www.fabricadeensino.com.br.
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Questo 1

O nmero igual a:

a) b) c) d) e)Resoluo:

Temos,

Resposta: alternativa C.

Questo 2

Um pacote de biscoitos tem biscoitos e pesa gramas. dada a informao de quegramas de biscoito correspondem a . Quantas quilocalorias tm cada biscoito?


Se biscoitos pesam gramas, ento cada biscoito pesa gramas. Se de biscoitocorrespondem a , ento um grama corresponde a

Logo, cada biscoito temResposta correta: alternativa D.

Questo 3

No dia do aniversrio de Joo em , uma pessoa perguntou a idade dele. Joo respondeu:se eu no contasse os sbados e os domingos da minha vida, eu teria anos de idade. Joo

nasceu no ano de:

a) b) c) d) e)


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Resoluo:Vamos supor que todos os anos passadosat , a partir do ano do nascimento de Joo,tenham tido dias.Da, o nmero de dias que Joo viveu do seu nascimento at :

)2010(365 x

Mas, por outro lado, levando em considerao as hipteses da questo, ele viveu a quantidadede dias que tem 40 anos, somada quantidade de dias de sbados, somada quantidade de diasde domingo:

)2010(7

240365

7

)2010(365

7

)2010(36540365 x

xx

Note que essa expresso decorre da suposio de que a quantidade de dias a mesma nos)2010(365 x dias passados desde o nascimento de Joo.

Estabelecendo a igualdade entre as duas expresses acima, temos:

1954

5

97709770402013790524020713790

)2010(2)1970(7)2010(7

2)1970(

)2010(7

240)2010()2010(

7

240365)2010(365

xxxx

xxxx

xxxx

Logo, Joo nasceu em .Resposta correta: alternativa B.

Questo 4

Numa papelaria, pacotes contendo folhas de papel so armazenados em pilhas. Cada folhade papel tem espessura de . Ignorando a espessura do papel utilizado para embrulhar ospacotes, podemos afirmar que a altura de uma pilha de pacotes aproximadamente igual altura de

a) Um gatob) Uma mesa comumc) Uma pessoa adultad) Uma sala de aulae) Um prdio de andaresResoluo:

Como um pacote tem de altura, ento pacotes empilhados tm, portan-

to, de altura. Veja que das alternativas, a nica altura coerentecom a de uma sala de aula.


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Resposta correta: alternativa D

Questo 5

O valor exato de :

a)b)c)d)e)Resoluo:

Usando produtos notveis, observe que

Resposta: alternativa A.

Questo 6

Na figura ao lado, as retas e so paralelas a uma distnciauma da outra. um segmento unitrio contido em , X o

ponto de com e o p da perpendicular baixada desobre .O comprimento de :


Chame e .Dos dados da questo e, como os tringulos e so retngulos, temos:

Resposta correta: alternativa C.


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Resoluo:Considere o nmero de jovens que alugaram o transporte e o valor que deveria ser pago porcada um deles. Do enunciado, obtemos o seguinte sistema:

De ( ), temos:

34257319342)19).(3( xNNxxN Isolando em ( ) e substituindo em ( ), temos:

57102619

571026

190571026

1934257342.3.19

3422

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

192N 0102657N 05432 NN

Agora vamos encontrar o discriminante dessa equao:

2252169)54.(1.4)3(422

acb Da,

abN2

oua

bN2

Como, em nosso caso,a

bN

2, ento esse no serve para o nosso problema, pois

a quantidade de alunos, assim devemos considerara

bN

2( ).

Substituindo os dados em ( ), temos:

.9

2

18

2

153

1.2

225)3(N

De acordo com os resultados obtidos, conclumos que o nmero de jovens .

Resposta correta: alternativa B.

Questo 9

Um campeonato com clubes disputado num ano, com um nico turno, pelo sistema depontos corridos (cada clube joga uma vez com cada um dos outros). Em cada semana h sempre

o mesmo nmero de jogos e no h jogos na semana do Natal nem na do Carnaval. O nmerode jogos que devem ser disputados em cada semana :


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Como cada clube joga uma vez com cada um dos outros clubes, temos que o nmero de jogos

no campeonato ser:

Caso no deseje (ou no se lembre de) usar combinatria, basta aplicar diretamente o PrincpioFundamental da Contagem.Alm disso, como durante um ano temos dias, o nmero de semanas num ano :

Sabemos que no h jogos em duas semanas do ano, logo s haver jogos em semanas doano, assim, o nmero de jogos que sero disputados em cada semana ser:

Resposta correta: alternativa D.

Questo 10

Um fazendeiro possui rao suficiente para alimentar suas vacas durante dias. Apsdias, ele vendeu vacas. Passando mais dias ele compra vacas. Depois desta ltima com-pra, a reserva de rao foi suficiente para alimentar as vacas por mais:

a) dias b) dias c) dias d) dias e) diasResoluo:

Observemos que as grandezas nmero de vacas e dias de reserva de rao so inversamen-

te proporcionais.Inicialmente, temos:

Passados dias, existe rao para:

Aps esses 14 dias, o fazendeiro vende vacas, ficando com 12 vacas. Como se trata de uma

proporo inversa, passamos a ter a seguinte situao:


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Assim, aps 15 dias, existe rao para:

Passados mais 15 dias, o fazendeiro compra mais 9 vacas, ficando com 21 vacas. Por raciocnioanlogo ao usado anteriormente, teremos:

Portanto, as vacas teriam rao suficiente para dias.

Resposta correta: alternativa E.

Questo 11

Quando x e y assumem quaisquer valores positivos, das expresses abaixo, a nica que nomuda de sinal :

a)b)c)d)e)Resoluo:

Vamos estudar o sinal de cada expresso numrica apresentada nas alternativas:

Estudo da expresso 22 2 yyx :

Escolhendo 0ayx , temos 022 22 ayyx

Escolhendo 1x e 3y , temos 2961222

yyx .

Logo, a alternativa A no a correta.

Estudo da expresso :52 xx

Escolhendo ,50 x temos: 055 22 xxxx . Por outro lado, escolhendo ,5x temos

05522 xxxx .

Logo, a alternativa B no a correta.

Estudo da expresso :xx

Escolhendo ,10 x temos: 02 xxxxxx . Semelhantemente, escolhendo

,1x vemos que 0xx .


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Logo, a alternativa C no a correta.

Estudo da expresso :22 yxyx

Notemos as desigualdades abaixo:

0,,0)(222222

yxyxyxyxyxyx

Com isso, conclumos que essa expresso no muda de sinal e, portanto, essa alternativa estcorreta.


Questo 12

A base do tringulo mede e est situada sobre

a reta . O segmento DE, tambm sobre , mede . Pelospontos e traamos paralelas a e respectivamente,as quais se cortam no ponto formando o tringulo .

A razo vale:

a) 1,25 b) 1,60 c) 3,20 d) 2,32 e) 2,56Resoluo:

Seja h a altura do tringulo ABCe h'a altura do tringulo . Tem-se,

Por semelhana de tringulos, a razo a mesma que a da base dos tringulos, ou seja,. Isto ,

Logo,


Questo 13

Na loja , um aparelho custa reais mais uma taxa de manuteno mensal de reais. Naloja , o mesmo aparelho custa reais, porm a taxa de manuteno de reais por ms.A partir de quantos meses de uso a compra na loja se torna mais vantajosa que a da loja ?

a) b) c) d) e)


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Resoluo:Os valores a serem pagos pelo produto nas lojas e podem ser obtidos respectivamente pelasexpresses e , onde representa a quantidade de meses de uso. Que-remos que seja satisfeita a seguinte relao:

De onde vm, , ou seja, .


Questo 14

Dividindo por o algarismo da expanso decimais que aparece aps a vrgula :


Ao realizarmos a diviso de por ,obtemos ... Verificamos que se trata deum nmero decimal peridico de perodo . Como queremos o algarismo dessaexpanso decimal e o perodo do nmero tem 6 algarismos, basta efetuarmos a diviso por

. Com isso, teremos uma diviso no-exata:

.

Ou seja, de em algarismos, teremos posies avanadas, aps efetuarmos esse processode pular seis algarismos(realizando 16 pulos). Sendo assim, ainda necessitamos de alga-rismos para chegarmos ao centsimo. Com isto, bastaria comear uma nova contagem nos alga-rismos do perodo, e pararamos no algarismo .

Resposta correta: alternativa A.

Questo 15

Segundo informaes do ltimo censo do IBGE, a populao brasileira cresceu cerca de ,entre os anos de a . Nesse perodo, a populao urbana passou de cerca de paracerca de da populao total. A partir dessas informaes, podemos concluir que a popula-o no urbana no perodo:

a) decresceu aproximadamenteb) decresceu aproximadamentec) permaneceu aproximadamente a mesmad) cresceu aproximadamentee) cresceu aproximadamente


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ResoluoSeja o nmero de habitantes do Brasil. Do enunciado, podemos construir a seguinte tabela:

Total de habitantesPopulao urbanaPopulao rural

Logo, a populao no urbana decresceu . Calculemos esse valorem porcentagem:

Assim, .


Questo 16

Uma sequncia de nmeros naturais definida por , para todo eO valor de :


Encontremos o valor de 9a :

3.2 01 aa = 735.2 , logo 1a 25

1137.23.2 12 aa , logo2

2225a

19311.23.223

aa , logo 323 2225a

E da, podemos inferir que o termo geral da sequncia :

n

na 2...222532

de onde resulta

.10272...225 929a


OBS: A validao do termo geral da sequncia pode ser provada pelo Princpio de Induo Fini-ta.


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Questo 17

Se a expresso , com , assume um mximo no ponto ,ento o mdulo de igual a:


Sabemos que a abscissa onde o a expresso assume um mximo dado por:

Por outro lado, dado por:


Questo 18

A soma das razes da equao igual a:


Observe:

Temos, portanto, . Logo, e

Contudo, . Assim no raiz da equao irracional.

A resposta correta pelo fato de ser a nica raiz da equao irracional.

Resposta correta: alternativa D


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Questo 19

Maria foi trabalhar e deixou dinheiro para seus trs filhos, com este bilhete: Dividam igual-

mente o dinheiro. Beijos. O primeiro filho chegou, pegou a tera parte do dinheiro e saiu. O segundo chegou e no viu ningum. Pensando que era o primeiro, pegou a tera parte do di-

nheiro que tinha e saiu. O terceiro encontrou notas de reais. Achou que era o ltimo, pegoutudo e saiu. Quanto em dinheiro a me deixou?

a) reais b) reais c) reais d) reais e) reaisResoluo:

Vamos denotar porx o valor deixado por Maria. Temos a seguinte situao:

Quantia que o primeiro filho pegou:3

x

Quantia que o segundo filho pegou:9

2

3

2

3

1

33

1 xxxx

Quantia que o terceiro filho pegou: 20 reais.

Com essas observaes, segue-se a igualdade:

.454

180

51809

523)20(9

9

2

320

209

2

3

x

xx

xxxx

xxx

xxx

Com isso, conclumos que Maria havia deixado reais para seus filhos.


Questo 20

Permutam-se de todas as formas possveis os algarismos e escrevem-se os nmerosformados em ordem crescente. O nmero que ocupa a posio :


Observe que em ordem crescente, a permutao na primeira posio . Ento, fixando oalgarismo , pelo princpio fundamental da contagem, h possibilida-des nas permutaes do tipo 1 _ _ _ _ (isto , as primeiras 24 permutaes em ordem crescente

tem o algarismo 1 na dezena de milhar).


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Resolvendo o sistema, descobriremos o nmero de crianas.

Substituindo a primeira equao na segunda obtemos:

3

Logo, o nmero de crianas igual a nove.


Questo 23

A figura ao lado formada por cinco pequenos quadrados e, dentro de cadaquadrado, esconde-se um nmero inteiro.O nmero que aparece abaixo de cada um dos desenhos a seguir a soma dosnmeros que esto escondidos nos quadrados pintados.

O nmero do quadrinho central :


Seja a figura:

Do enunciado, formamos o sistema:


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Fazendo,

.

Substituindo os resultados acima em , obtemos:


Questo 24 ANULADA!

Considere que O valor de tal que :

a)b)c)d)e)

Questo 25

Numa cidade existe uma pessoa X que sempre mente teras, quintas e sbados e completa-

mente sincera o resto dos dias da semana. Felipe chega um certo dia na cidade e mantm o se-guinte dilogo com a pessoa X:

- Felipe: Que dia hoje?- X: Sbado.- Felipe: Que dia ser amanh?- X: Quarta-feira.

Em que dia da semana foi mantido este dilogo?

a) Sbado.b) Quinta-feira.c) Segunda-feira.d) Tera-feira.e) Sexta-feira.Resoluo:

Segundo a primeira resposta, o dia que o dilogo foi mantido no pode ser sbado, pois X mentenesse dia. Alm disso, o dia do dilogo no pode ser segunda, quarta, sexta ou domingo, j quenesses dias a pessoa X fala a verdade.

De acordo com a segunda resposta, o dia do dilogo no pode ser tera, uma vez que nesse dia apessoa X mente.


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Logo, por excluso, o dia que foi mantido o dilogo quinta.


Questo 26

O nmero possui dgitos em ordem crescente. Os nmeros e no possuemdgitos em ordem crescente. Quantos so os nmeros naturais entre e que possuemseus dgitos em ordem crescente?

a) b) c) d) e)Resoluo

Observe primeiramente que dados dgitos que vo compor nosso nmero, h somente uma

forma de dispor esses dgitos de tal modo que eles fiquem em ordem crescente.

Fixando o nmero como primeiro dgito temos possibilidades para escolhermos os

outros dgitos que iro compor nosso nmero, ou seja, temos nmeros

que possuem dgitos em ordem crescente entre e .Fixando o nmero como primeiro dgito temos possibilidades para escolhermos os








que possuem dgitos em ordem crescente entre e .Fixando o nmero como primeiro dgito temos possibilidades para escolhermos osoutros dgitos que iro compor nosso nmero, ou seja, temos nmero quepossui dgitos em ordem crescente, esse nmero e o ltimo nmero possvel.

Logo, somando todas as possibilidades, o nmero n de nmeros naturais entre e quepossuem seus dgitos em ordem crescente :

OBS: Caso no deseje (ou no se lembre de) usar combinatria, basta aplicar o Princpio Fun-damental da Contagem.

Resposta: alternativa A.


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Questo 27

Se espremermos um crculo de raio entre duas retas paralelas que distam entre si ,obteremos uma figura de rea menor, mas de mesmo permetro que o crculo original.

Se as partes curvas desta figura obtida so semicircunferncias, a razo da rea da figura espre-mida pela rea do crculo inicial


Primeiramente, vamos calcular a rea e o permetro do crculo inicial.

Observe que a nova figura possui mesmo permetro do que o crculo inicial. Alm disso, as duassemicircunferncias juntas nos do uma circunferncia de raio igual a (j que as retas dis-tam entre si ). Seja a medida de cada segmento que a interseo entre a figura e asretas paralelas, da o permetro do crculo achatado :

A rea do crculo achatado a soma da rea do retngulo com a rea dos semicrculos:

A razo da rea da figura espremida pela rea do crculo inicial , portanto,


Questo 28

Em uma festa h casais. Cada homem cumprimenta com um aperto de mo os outros convi-dados, exceto sua prpria esposa. As mulheres recebem apertos de mo, mas no procuram nin-gum para cumprimentar.Quantos apertos de mo so dados pelos participantes?

a) b) c) d) e)


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ResoluoPrimeiramente, vamos contar o nmero de apertos de mo de homem para mulher. Como so

homens e cada um deles cumprimenta com um aperto de mo cada mulher (exceto a prpria

esposa), vemos que o nmero de apertos de mo entre homem e mulher .Agora vamos contar o nmero de apertos de mo entre homens. Para tanto, fixemos um doshomens e o chamemos homem 1. Sabemos que ele apertar a mo dos outros homens. Fixe-mos, agora, outro homem, chamado de homem 2. Notemos que ele s apertar a mo de 11 ho-mens, uma vez que j foi cumprimentado pelo homem 1 no passo anterior. Da mesma forma,fixado mais um homem, digamos homem 3, ele j ter sido cumprimentado pelo homem 1 e pelohomem 2. Assim, ter que dar mais apertos de mo. Aplicando esse raciocnio para os de-mais homens, decorre que a quantidade de apertos de mo entre homens

78123...101112 .

Portanto, o total de apertos de mo .


Questo 29

O mximo divisor comum entre dois nmeros naturais e o mnimo mltiplo comum dessesmesmos nmeros .Podemos garantir que:

a) Os dois nmeros so maiores queb) O produto dos dois nmeros maior quec) Os dois nmeros so mltiplos ded) Os dois nmeros so divisores dee) Um dos nmeros mltiplo do outroResoluo:

Sejam e tais nmeros. Sabemos que

Logo, donde podemos concluir que o produto de maior do que.



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Questo 30

Um terreno triangular foi dividido em trs terrenos menores conforme a figura.

Ento:

a) A rea do terreno a metade da rea do terrenob) A rea do terreno maior do que a rea do terrenoc) A rea do terreno da rea do terrenod) A rea do terreno igual a rea do terrenoe) A rea do terreno maior do que a rea do terrenoResoluo:

Observe que os tringulos que representam os terrenos e so semelhantes, pois os seus n-gulos possuem a mesma medida. Seja a altura do tringulo do terreno , e , a do terreno .

Da, por semelhana de tringulos, podemos concluir que , ou seja, , de onde vem

que a rea do terreno A igual a rea do terreno , pois,


Questo 31

Os grficos das funes reais e possuem um nico ponto em co-

mum. O valor de :


Faa . Logo,

.


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De agora em diante calcularemos o discriminante da equao acima. Observando que estedeve assumir valor zero, pois, se for maior que zero, resultar em duas razes reais e dois valoresde comum a e No pode ocorrer, tambm, que , pois no seria possvel existir umvalor comum a e .

Portanto,

Como = 0, temos:

Resposta certa: alternativa E.

Questo 32

Quando Joozinho tirou em uma prova, sua mdia subiu . Na prova seguinte, ele tiroue sua mdia caiu .

Quantas provas ele realizou, incluindo estas duas ltimas?


Sejam a mdia, a soma inicial das notas e o nmero inicial de provas, temos:

Do enunciado, vem:

Substituindo,

em

em


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Resolvendo o sistema formado por (IV) e (V), temos:

Substituindo em (IV), obtemos:

Assim, o nmero total de provas

Resposta certa: alternativa A.

Questo 33

Os nmeros , e so termos de uma progresso aritmtica de nmeros inteiros positi-

vos, de razo mxima. Assinale o termo seguinte ao termo :


Note que esses trs nmeros no so termos consecutivos de uma P.A.Suponha que exista um nico nmero entre e tal que , e seja parte de uma pro-gresso aritmtica. Da,

Observe que esse valor no serve, pois no um nmero inteiro. Logo existem mais de umnmero entre e .Agora suponha que exista um nico nmero entre e tal que , e faamparte de uma progresso aritmtica. Se isso ocorresse teramos:

Note que e so termos da Progresso Aritmtica, com razo

Verifiquemos se 5 faz parte tambm dessa P.A:Como

Conclumos que os trs termos , e fazem parte da P.A. anterior.Ento o prximo termo aps


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O nmero a razo mxima. De fato, suponha que exista uma razo maior .Dessa forma, existe um nmero natural tal que e . Donde

, mas dessa forma, os nmeros e no estariam na P.A. Portanto, 117 a mai-or razo.Resposta correta: alternativa D.

Questo 34

Eduardo pensou em dois nmeros naturais e . Sabe-se que apenas uma das cinco afirmaesabaixo verdadeira. Assinale-a.

a) um nmero parb) ec) ed)e) Pelo menos um dos dois nmeros ou parResoluo:

Suponha que a alternativa A seja a verdadeira e note que, se isso acontecesse, a alternativa Etambm seria, mas afirmado no enunciado do texto APENAS UMA das afirmaes verda-deira, logo nem a A e nem a E so alternativas corretas.Se B fosse verdadeira teramos:

Mas e so nmeros naturais, deste modo a no pode ser negativo, logo a alternativa B falsa.Suponha agora que C seja verdadeira, da teramos:

Note que , assim se C for verdadeira a alternativa D tambm ser, o que

contraria o enunciado da questo, logo a alternativa C tambm falsa.


Questo 35

Os jogadores e tm, cada um, trs cartas na mo, e sabem as cartas do oponente. Jogaroem rodadas depositando uma carta na mesa em cada rodada, um aps o outro. O vencedor darodada ser aquele que jogar a carta mais alta. O jogador ser o primeiro a jogar a carta naprimeira rodada, e nas outras duas rodadas o primeiro a jogar ser o vencedor da rodada anteri-

or. Vence o jogo quem ganhar mais rodadas. Suponha que tenha as cartas com nmeros , e, e que B tenha as cartas e . So feitas as seguintes afirmativas:


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I. Entre todos os possveis pares formados por uma carta de e uma carta de , hmais pares em que ganha.

II. A melhor estratgia para sempre jogar a carta mais alta.III. Se A jogar ou na primeira rodada, poder ganhar com qualquer resposta de B.

Assinale a alternativa correta, com respeito s afirmaes I, II e III (nesta ordem):

a) FALSA, VERDADEIRA, FALSAb) VERDADEIRA, VERDADEIRA, FALSAc) VERDADEIRA, FALSA, VERDADEIRAd) FALSA, FALSA, VERDADEIRAe) VERDADEIRA, FALSA, FALSAResoluo:

Um par de cartas ser uma rodada.Como o jogador A joga a primeira carta da primeira rodada, analisemos os possveis pares for-mados pelas cartas dos jogadores e na primeira rodada:

Observe que, entre os possveis casos, ganha em cinco dos nove, a saber:

Logo, I est correta, eliminando, assim, as alternativas A e D.

Para provar que II falsa, basta conseguir um contra-exemplo. Considere a seguinte sequnciade jogadas:

O jogador comea a jogar com sua carta de valor mais alto, no entanto, ele perde o jogo, poisna segunda rodada a carta de maior valor que ele pode jogar 6 e da o jogador B pode ganharas duas rodadas subsequentes.Segue que II falsa e, portanto, a alternativa tambm falsa. Restam as alternativas C e E.

Por fim, nos voltemos para a afirmativa III. Por construo de possibilidades de sequncias dejogadas, chegamos s seguintes rodadas. Lembre-se: quem ganha aquele que joga na prximarodada.

A ganhou mais rodadasA ganhou mais rodadasA ganhou mais rodadasA ganhou mais rodadasA ganhou mais rodadasA ganhou mais rodadas

...etc.


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Dessa forma, se analisa os outros possveis casos.Logo, III verdadeira.


profmat-prova 2011 resolvida

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