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  • Cálculo 2

    Aula 02

    A Integral Definida

    Prof. Gabriel Bádue

  • Motivação

    No Cálculo Integral, qual o significado dessas somas?

  •  Teoria

    𝑎

    𝑏

    𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑛→∞

    𝑖=1

    𝑛

    𝑓 𝑥𝑖 ∗ ∆𝑥

    Soma de Riemann

    Integral definida de f de a a b

    Integrando

    Limites de Integração

  •  Teoria

     Propriedades

     𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑎

    𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

     𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0

     𝑎 𝑏 𝑐𝑑𝑥 = 𝑐(𝑏 − 𝑎), onde 𝑐 é uma constante

     𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎

    𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑎

    𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

     𝑎 𝑏 𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑎

    𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, onde 𝑐 é uma constante

     𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎

    𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑎

    𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

     𝑎 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐

    𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

    𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

  •  Teoria

     Propriedades

     Se 𝑓(𝑥) ≥ 0 para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, então 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0

     Se 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, então 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 𝑏

    𝑎 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

     Se 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, então

    𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑎

    𝑏

    𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)

  •  Exemplo 1

    É dado o gráfico de f. Calcule cada integral interpretando-a em termos das

    áreas.

    a) 0 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

    b) 0 5 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

    c) 5 7 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

    d) 0 9 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

  •  Exemplo 2

    Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas.

    a) −1 2 (1 − 𝑥)𝑑𝑥

    b) −3 0 (1 + 9 − 𝑥2)𝑑𝑥

  •  Teoria

     Teorema Fundamental do Cálculo

    𝑔′ 𝑥 = ?

  •  Teoria

     Teorema Fundamental do Cálculo

  •  Exemplo 3

    Calcule a derivada da função.

    a) 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 1

    𝑡3+1 𝑑𝑡

    b)ℎ 𝑥 = 1 𝑒𝑥 ln 𝑡 𝑑𝑡

  •  Teoria

     Teorema Fundamental do Cálculo

  •  Exemplo 4

    Calcule a integral.

    a) −1 2 𝑥3 − 2𝑥 𝑑𝑥

    b) 0 2 𝑥 2 + 𝑥5 𝑑𝑥

  •  Aplicação

     Trabalho

    a) Quanto trabalho é exercido ao se levanter um livro de 1,2 kg do chão até uma carteira de altura 0,7 m? Considere que a aceleração da gravidade é g = 9,8 m/s2.

    b) Quanto trabalho é feito levantando-se um peso de 20 lb a uma altura de 6 pés do chão?

    Quando uma partícula está localizada a uma distância de 𝑥 metros da origem, uma força de 𝑥2 + 2𝑥 newtons age sobre ela. Quanto trabalho é realizado movendo-se de 𝑥 = 1 para 𝑥 = 3?

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