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Cálculo 2 Aula 02 A Integral Definida Prof. Gabriel Bádue

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Cálculo 2

Aula 02

A Integral Definida

Prof. Gabriel Bádue

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Motivação

No Cálculo Integral, qual o significado dessas somas?

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Teoria

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim𝑛→∞

𝑖=1

𝑛

𝑓 𝑥𝑖∗ ∆𝑥

Soma de Riemann

Integral definida de f de a a b

Integrando

Limites de Integração

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Teoria

Propriedades

𝑏𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑎𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0

𝑎𝑏𝑐𝑑𝑥 = 𝑐(𝑏 − 𝑎), onde 𝑐 é uma constante

𝑎𝑏𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑎

𝑏𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑎𝑏𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥, onde 𝑐 é uma constante

𝑎𝑏𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑎

𝑏𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑎𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥

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Teoria

Propriedades

Se 𝑓(𝑥) ≥ 0 para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, então 𝑏𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0

Se 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, então 𝑏𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 𝑏

𝑎𝑔 𝑥 𝑑𝑥

Se 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, então

𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)

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Exemplo 1

É dado o gráfico de f. Calcule cada integral interpretando-a em termos das

áreas.

a) 02𝑓 𝑥 𝑑𝑥

b) 05𝑓 𝑥 𝑑𝑥

c) 57𝑓 𝑥 𝑑𝑥

d) 09𝑓 𝑥 𝑑𝑥

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Exemplo 2

Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas.

a) −12(1 − 𝑥)𝑑𝑥

b) −30(1 + 9 − 𝑥2)𝑑𝑥

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Teoria

Teorema Fundamental do Cálculo

𝑔′ 𝑥 = ?

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Teoria

Teorema Fundamental do Cálculo

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Exemplo 3

Calcule a derivada da função.

a) 𝑔 𝑥 = 1𝑥 1

𝑡3+1𝑑𝑡

b)ℎ 𝑥 = 1𝑒𝑥ln 𝑡 𝑑𝑡

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Teoria

Teorema Fundamental do Cálculo

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Exemplo 4

Calcule a integral.

a) −12𝑥3 − 2𝑥 𝑑𝑥

b) 02𝑥 2 + 𝑥5 𝑑𝑥

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Aplicação

Trabalho

a) Quanto trabalho é exercido ao se levanter um livro de 1,2 kg do chão até umacarteira de altura 0,7 m? Considere que a aceleração da gravidade é g = 9,8m/s2.

b) Quanto trabalho é feito levantando-se um peso de 20 lb a uma altura de 6 pésdo chão?

Quando uma partícula está localizada a uma distância de 𝑥 metros da origem, uma força de 𝑥2 + 2𝑥 newtons age sobre ela. Quanto trabalho é realizado movendo-se de 𝑥 = 1 para 𝑥 = 3?