cÁlculo iii aula 1 – funÇÕes com valores vetoriais

CÁLCULO III

AULA 1 – FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS

FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1

CÁLCULO III

Conteúdo Programático1. Introdução

2. Aplicações

3. Definição

4. Operações com as funções vetoriais

5. Limite e Continuidade

6. Derivada

7. Curvas Parametrizadas

8. Reta Tangente


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INTRODUÇÃO

Função vetorial → domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores

FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS

funções vetoriais de uma variável

Função f(t), onde t é uma variável real


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APLICAÇÃOMovimento de uma partícula no EspaçoPodemos associar uma partícula no espaço como sendo um ponto no espaço.Observe que o deslocamento deste ponto em cada instante de tempo t descreverá uma curva.

x = x(t), y = y(t) e z = z(t)

σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), definidos no intervalo I, I , com valores em 3, t I.Exemplo:(t) = (t2 , cos t, t3) então x(t) = t2 , y(t) = cos t e z(t) = t3


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APLICAÇÃO


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DEFINIÇÃO

Função vetorial de uma variável real t é definida num intervalo I, onde para cada t I associamos um vetor do espaço.

Notação:

f

)(tff

ktfjtfitftf 321)(

Uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores é chamada função vetorial.


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Se considerarmos um ponto P(x,y,z) qualquer no espaço, o vetor

kzjyixvÉ chamado vetor posição do ponto P.

x

y

z

P(x,y,z)

v


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1. Movimento de uma partícula sobre uma circunferênciaEXEMPLOS

jsentittf cos


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2. Função vetorial preço

Podemos considerar 3 produtos onde o primeiro tem preço t2 , o segundo tem preço t + 5 e o terceiro tem preço dado pela soma dos preços das duas primeiras.

EXEMPLOS

5,5, 22

tttttP


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OPERAÇÕES COM FUNÇÕES VETORIAIS

Itktgjtgitg

ektfjtfitf

tg

tf

,321

321

) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( )

a h t f t g t

b w t f t g t

c v t p t f t p t é uma função escalar

d ht f t g t função escalar


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LIMITE E CONTINUIDADE

Definição:

tztytxtf

tttttttt 1111

lim,lim,limlim

Ou seja, o limite de um vetor f(t) quando t se aproxima de t1 é definido por:

atf

tt 1

lim

Se os limites individuais existirem


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1. Considere a função vetorial

EXEMPLOS

2 3( ,cos , )f t t t t

Veja que o limite da função será determinado do seguinte modo:

0,1,0lim,coslim,limlim 3

00

2

00

ttt

tttttf


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EXEMPLOS

2. Considere a função vetorial

3

28( ,cos , )4

tf t t tt

Vamos analisar o valor do limite da função quando t → 2.

2

3

2222 48lim,coslim,limlimtttt

tttttf

Podemos usar a regra de L’Hospital para resolver esse limite


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Usando a regra de L’Hospital

3223

23

23

48lim

2

2

3

2

ttt

tt

t

Outro modo de resolver esse limite

34

1222

2224224

22222

22

48lim

22

22

22

33

2

3

2

ttt

ttttt

tt

tt

t


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CONCLUSÃO

2

3

2222 48lim,coslim,limlimtttt

tttttf

3,2cos,2lim2

tf

t


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EXEMPLOS

3. Vamos calcular o

kjtit

t2)1(lim 22

2

kji

kjtitkjtittttt

232

2lim1limlim2)1(lim2

2

2

2

2

22

2


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CONTINUIDADE

Definição:

A função vetorial é contínua em t I se, e somente se x(t), y(t) e z(t) são contínuas em t.

Segundo o critério de continuidade de uma função, a função será contínua, caso o limite e a função no ponto em estudo existam e sejam iguais, isto é,

11

lim tftftt

f t


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EXEMPLOS

1. Vamos analisar a continuidade da vetorial dada, no ponto indicado.

cos , 0f t sent i t j k t

0lim cos 0, 1,1

0 cos 0, 1,1t

sent i t j k j k ou

f sent i t j k j k ou

Veja:

Portanto a função é contínua no ponto t = 0.


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EXEMPLOS

2. Vamos analisar a continuidade da vetorial dada, no ponto t1 = 0.

, 0

2 , 0

sent i j ttg ti j t

Veja que o

0

limt

sent i j i jt e

0 2g i j

Portanto a função dada não é contínua no ponto indicado.


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DERIVADADefinição:

A derivada da função vetorial , t I, é a função vetorial denotada por e definida por:

f t

`f t

` lim

t t

f t t f tf tt

Para todo t, tal que o limite existe. Se a derivada da função existe em todos os pontos do intervalo I, então podemos dizer que a função é derivável em I.


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Considere a função vetorial

ktfjtfitftf 321)(

Ela é derivável em um ponto t se, e somente se, as três funções escalares tftftf 321 ,, São deriváveis em t.

Logo podemos escrever

1 2 3` ` ` `f t f t i f t j f t k


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EXEMPLOS

Vamos determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:

2) cos (5 1)

` 2 5

a f t t i t j k k

f t t i sent j k


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EXEMPLOS

3 5

2 5

2 5

) 2 3` 3 2 3 .2 .( 5)

6 2 3 5

t

t

t

b h t t i e j

h t t i e j

t i e j


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Observação: A interpretação geométrica de derivada continua valendo para função vetorial, portanto será o vetor tangente à curva no ponto P.

`f t


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Determinar o vetor tangente da seguinte função, no ponto indicado.

EXEMPLO

)1,1,1(),,,()( 32

Pttttf

Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t que satisfaz a curva.

11

1,11

1

33

2

ttz

tconsiderarvamostty

ttx


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Agora calculamos a derivada.

)3,2,1()1´(

1),3,2,1()´( 02

f

f tttt


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INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA DERIVADA

Considere uma partícula em movimento no espaço. Vamos supor que no tempo t, representa o vetor posição da partícula. A medida que t varia, a extremidade livre do vetor descreve a trajetória C da partícula.

s t

s t

Quando

's t v t

é derivável, a velocidade instantânea dapartícula é dada

por

s t

Quando v t é derivável, a aceleração da

partícula épartícula é dada por

'v t a t


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CURVAS PARAMETRIZADAS

Foi visto anteriormente que um ponto P do vetor descreverá uma curva C em 3 quando for contínua para todo t no intervalo I.

Portanto definimos a equação = (x(t),y(t),z(t)) como a parametrização da curva C e as componentes

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

são chamadas de equações paramétricas da curva C e t é chamado parâmetro.

f t

f t

f t


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Observação:

Chamamos CURVA o conjunto de todos os pontos (x, y, z) determinados por estas equações.

Exemplos

1. A equação vetorial

ktjtittfRepresenta uma reta, cujas equações paramétricas são

x(t) = ty(t) = tz(t) = t


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2. As equações paramétricas

x = 2costy = 2sentz = 3t

Representam uma curva no espaço chamada hélice circular. A equação vetorial é representada por

ktjsentittf 32cos2


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Parametrização para a hélice circular - curva descrita por um ponto P = (x,y,z) que se move em torno do eixo z mantendo uma distância constante a > 0 desse eixo.

Simultaneamente o ponto P se move paralelamente ao eixo z de modo que sua terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b≠ 0. Consideramos o início do movimento em P = (0,0,0).

f(t) = (r cos , r sen , b) , onde .


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REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA DE ALGUMAS CURVAS

Parametrização Natural

Será a parametrização do tipo f(t) = (t , f( t)).

Exemplo

A equação da reta y = 6x + 9 pode ser parametrizada considerando a parametrização natural → f(t) = (t ,6t+9).


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Podemos também determinar a equação cartesiana correspondente a equação paramétrica de uma curva.

Exemplo

Seja x = 3t – 4 e y = 6 – 2t . Vamos determinar a equação da reta.

Procedimento → isolar em uma das equações o parâmetro t e depois substituir na outra, ou isolar o parâmetro t em ambas e igualar as equações.


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Veja:

13

443 xttx

Agora vamos substituir (1) em y = 6 – 2t

)(3

1023

4.2626 reduzidaequaçãoxyxyty

)(010233

102 retadageralequaçãoxyxy


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Parametrização de uma reta

Equação vetorial da reta → , onde v é o vetor direção, t o parâmetro real e P é um ponto que pertence a reta.

ptvtr

tr

= (vx, vy,vz)t + (x0, y0,z0), t

=(vxt + x0, vyt + y0, vzt + z0)

tr


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EXEMPLOS

1. Determinar uma representação paramétrica da reta

que passa pelo ponto A(2,1,-1) na direção do vetor

kjitr 32

Temos

ktjtittr )1()31()22(


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EXEMPLOS2. Determinar uma representação paramétrica da

reta que passa pelo ponto A(2,0,1) e B(-1, 3,0).

O vetor v será dado por: v = (-1, 3,0) - (2,0,1) = (-3, 3, -1)

Portanto, o vetor r(t) = (2,0,1) + t(-3, 3,-1)

ktjtittr )1(3)32(


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EXEMPLOS

3. Determinar o vetor direção da reta para a curva

3 2( , , )r t t t t

Nesse caso verificamos que o ponto P = (0,0,0) e a direção v = (1,1,1).

A reta r será representada por r(t) = (1,1,1) t + (0, 0,0)


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Parametrização da circunferência

Seja C a circunferência no plano xy de centro (a, b) e raio r, definimos a parametrização de C como:

Circunferência com centro na origem (0,0):


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EXEMPLO

Vamos obter as equações paramétricas da circunferência x2 + y2 – 6x – 4y + 4 = 0 no plano z = 3.

Completando os quadrados da equação

x2 + y2 – 6x + 9 – 4y + 4 = 9x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 9(x – 3)2 + (y – 2)2 = 9

x(t) = 3 + 3costy(t) = 2 + 3sentz(t) = 3 0 ≤ t ≤ 2π


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Parametrização da ciclóide

curva plana descrita por um ponto P sobre uma circunferência quando esta gira ao longo de uma reta.

r (t) = (r ( – sen ), r (1 – cos )) ,


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Reta Tangente a trajetória de f(t) no ponto f(t0 )

Exemplo

Calcular a reta tangente para a curva

Identificando o valor do parâmetro t que satisfaz a curva observamos que o único valor é t = 1.

Derivamos a função vetorial dada.

)1,1,1(),,,()( 23 Pttttf


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1),1,2,3()´( 02

ttttfEsta função nos leva ao vetor diretor (vetor tangente a curva), ou seja, o vetor v = (3,2,1).

A reta tangente será:


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RESUMINDO


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