2 cálculo de funções por séries de potências

7/21/2019 2 Clculo de Funes Por Sries de Potncias

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Clculo de Funes por Sries de Potncias 2-1

Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue

Clculo de Funes por Sries de Potncias

O objetivo do clculo de funes por sries de potncias o de se obter expresses

simples para a avaliao de funes com grau de complexidade maior. Alm disso, veremos

que o desenvolvimento de funes por sries de Taylor forma o ncleo bsico de um curso de

Clculo Numrico, de modo que o entendimento desse assunto indispensvel para o

entendimento dos diversos mtodos numricos a serem abordados nos prximos captulos.

Definio

Uma Srie de Potnciasem x - x0 uma srie da forma

a a x x a x x a x x a x xnn

n

0 1 0 2 02

3 03

0

0

+ + + + = =

( ) ( ) ( ) ( )

O problema do clculo de uma funo por meio de sries de potncia consiste em se encontrar

os coeficientes ande uma srie infinita, tal que:

f x a x xnn

n

( ) ( )= =

00

Sries de Taylor

Definio: Uma funo y = f(x) analticanum ponto x0, se f(x) for a soma de uma srie de

potncias para todo x tal que |x - x0|< r, r> 0:

f x a x xnn

n

( ) ( )= =

00

(2.1)

Toda a funo analtica em x0, tambm o na vizinhana de x0. Lembrando: uma funo f(x)

analticanum ponto x0se ela satisfizer as seguintes condies: (1) a funo existe em x0e vale

f(x0); (2) a funo contnua em x0e (3) a funo diferencivel em x0e suas derivadas f(x),

f(x), ..., f(n)(x) existem nesse ponto.

Clculo dos coeficientes an:

Se f(x) analtica em x0, ento a funo vale f(x0) nesse ponto e tambm as suas derivadas

existem e valem f'(x0), f"(x0), ... , f(n)

(x0). Deste modo, podemos calcular o valor da funo e

de suas derivadas fazendo:

f x a x xnn

n

( ) ( )= =

00

=

=

f x na x xn

n

n( ) ( )0

1

1


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=

=

f x n n a x xn nn

( ) ( ) ( )1 02

2

=

=

f x n n n a x xn nn

( ) ( )( _ ( )1 2 03

3

f x n n n m a x xn nn m

n m

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +

=

1 1 0

Substituindo x = x0, obtemos: f(x0) = a0, f '(x0) = a1, f "(x0) = 2!a2, f (x0) = 3!a3, ... ,f

(m)(x0) = m!am, de onde vem que:

a f x a f x af x

af x

af x

mm

m

0 0 1 0 20

30 0

2 3= = =

=

=( ), ( ),

( )

!,

( )

!, ,

( )

!

( )

que, substituindo na equao (2.1), resulta em:

f x f x f x x xf x

x xf x

x x

f x

n

x x

nn

n

( ) ( ) ( )( )( )

!( )

( )

!( )

( )

!

( )

( )

= + +

+

+

= =

0 0 00

02 0

03

00

0

2 3

(2.2)

A expresso (2.2) fornece o mtodo para o clculo dos coeficientes de uma srie de potncias

denominada sries de Taylor.

Exemplo 1:Expanso da funo f(x) = exem sries de Taylor em torno de x0= 0.

Clculo da funo e suas derivadas em x0= 0:

f(x) = ex, f(0) = e

0= 1

f'(x) = ex

f'(0) = 1

f"(x) = ex

f"(0) = 1

f(n)

(x) = ex, f

(n)(0) = 1

Substituindo na equao geral da srie de Taylor, resulta:

e xx x x

n

xn

n

= + + + + =

=

1

2 3

2 3

0! ! !


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-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-20

0

20

40

60

80

Funo exponencial

ex

2 termos

3 termos

4 termos

5 termos

y

=

f(x)

x

Fig. 2.1 - Grfico comparativo entre a funo exexata e a srie de Taylor aproximada com

diferentes nmeros de termos da srie.

Exemplo 2:Expanso em sries de Taylor para a funo sen x em torno de x 0= 0.Clculo da funo e suas derivadas em x0= 0:

f(x) = sen x f(0) = sen 0 = 0

f'(x) = cos x f '(0) = cos 0 =1

f "(x) = sen x f"(0) = 0

f'''(x) = cos x f '''(0) = 1

f(4)

(x) = sen x f (4)

(0) = 0

As derivadas da funo sen x so cclicas, de modo que f(4)

(x) = f(x), f(5)

(x) = f(x), e assim

por diante. Substituindo na expresso geral para a srie de Taylor, resulta:

sen! ! !

( )( )!

x xx x x x

n

nn

n

= + + = +

+

=

3 5 7 2 1

03 5 7

12 1


4/16



-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0Funo seno

sen x

2 termos

3 termos4 termos

5 termos

y

=

f(x)

x

Fig. 2.2 - Grfico comparativo entre a funo sen x exata e a srie de Taylor aproximada com


Exemplo 3:Expanso da funo cos x em sries de Taylor em torno de x0= 0.Clculo da funo e suas derivadas em x0= 0:

f(x) = cos x f(0) = cos 0 = 1

f'(x) = sen x f '(0) = sen 0 = 0

f "(x) = cos x f"(0) = 1

f'''(x) = sen x f '''(0) = 0

f(4)

(x) = cos x f (4)

(0) = 1

Observar que, como no caso da funo sen x, as derivadas da funo cos x so repetitivas a

partir da 4aderivada. Substituindo na expresso geral para a srie de Taylor, resulta:

cos! ! !

( )( )!

xx x x x

n

nn

n

= + + = =

12 4 6

12

2 4 6 2

0


5/16



-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-2

-1

0

1

2Funo cosseno

cos x

2 termos

3 termos

4 termos

5 termos

y

=

f(x)

x

Fig. 2.3 - Grfico comparativo entre a funo cos x exata e a srie de Taylor aproximada com


Exemplo 4:Seja f(x) = ln x.

Expandir em sries de Taylor em torno de x0= 0.

Clculo de f(0) e suas derivadas:

f(x) = ln x, = = =f xx

f xx

f xx

( ) , ( ) , ( ) , ,1 1 2

2 3

f xn

x

n nn

( ) ( ) ( )( )!

=

111 (n = 1, 2, 3, ...),

de modo que f(1) = 0, f'(1) = 1, f"(0) = -1, f'''(1) = 2, ..., f(n)

(1) = (-1)

n-1

(n-1)!.Substituindo em (2.2), vem que:

ln ( )( ) ( ) ( )

( )( )

x xx x x x

n

nn

n

=

+

+ =

=

1 121

3

1

41

12 3 4 1

1


6/16



0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0Funo logaritmo

ln x

2 termos

3 termos

4 termos

5 termos

y

=

f(x)

x

Fig. 2.4 - Grfico comparativo entre a funo ln x exata e a srie de Taylor aproximada com


Teorema da convergncia para sries de potncias: Seja a x xnn

n

( )=

00

uma srie de

potncias dada. Uma das seguintes condies vlida:

(i) a srie converge somente quando x = x0;(ii) a srie absolutamente convergente para todos os valores de x;(iii)existe um nmero R > 0, tal que a srie seja absolutamente convergente para todos os

valores de x, para os quais |x-x0|< R, e seja divergente para todos os valores de x, para osquais |x-x0|> R. A grandeza R denominada raio de convergnciada srie de potnciasdada.

Exemplo 5:Determinar o raio de convergncia da srie de Taylor para a funo ex.

Para determinarmos o raio de convergncia da funo ex, vamos aplicar o teste da razo:

lim lim( )!

!

limn

n

n n

n

nn

a

a

x

n

x

n

x

n

+

+

=

+=

+ =1

1

1

10, para qualquer valor de x

Como o critrio da razo estabelece que a srie convergente quando o limite acima menor

do que 1, conclui-se que o raio de convergncia da srie de Taylor da funo exponencial sotodos os valores de x, tal que x , ou seja, |x|< .


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Exemplo 6: Determinar o raio de convergncia da srie de Taylor para a funo ln x,

expandida em torno de x0= 1.

A srie de Taylor da funo ln x expressa como:

ln ( )( ) ( ) ( )

( )( )

x xx x x x

n

nn

n

=

+

+ =

=

1 121

3

1

41

12 3 4 1

1

Aplicando o teste da razo ao termo geral da srie:

lim lim

( )

( )lim ( ) lim

n

n

n n

n

nn n

a

a

x

n

x

n

xn

nx

n

nx

+

+

=

+

=

+ =

+ = 1

11

1

11

11

11

Como o critrio da razo estabelece que a srie convergente quando o limite menor do

que 1, resulta:

x x x < < < <


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Como a srie convergente para x = 1,5 observa-se que a funo fornece o resultado

correto com cinco casas decimais empregando 13 termos da srie. Os outros valores, para n e). Assim, podemos calcular n da frmula de Leibniz

como: R xn n

nn

n

( )! !

! .= = < >1 31 3

10 3106 6 . Esta desigualdade no tem soluo

analtica, de modo que vamos calcular o valor de n substituindo-se numericamente valores de nat encontrar um que satisfaa a condio de Leibniz. Se fizermos n = 9, teremos que

9! = 362.880 < 3.106. Se n = 10, vem que 10! = 9!x10 = 3.628.800 > 3.10

6. Portanto, para se

calcular e1com erro inferior a 10

-6so necessrios n = 10 termos na srie de potncias.

Exemplo 11:Determinar o nmero de termos necessrios para se avaliar o sen 5 por sries de

potncias com preciso de cinco casas decimais.

Soluo: Preciso de cinco casas decimais equivalente a calcular sen 5 com erro absoluto de

1 em 10-5

, ou seja, Rn(x) 10-5:

R x M xn

Mnn

n n

( )( )! ( )!= + = +

+ +

52 1

52 1

10

2 1 2 1

5 ,


10/16



onde { }M max f n= =( ) ( ) 1, pois embora no saibamos qual ser a n-sima derivada de sen x,

sabemos que no mximo ela ser igual a 1. Assim,

15

2 110

2 1

510

2 15

2 15

n

nn

n+ ++

+

( )!

( )!

Novamente, calcularemos o valor de n por substituio numrica. A soluo vem para

(2n + 1) = 21, ou n = 10. Observar que a varivel contadora n se inicia em 0. Assim, sero

necessrios, no mximo, 11 (= n + 1) termos da srie de Taylor para o clculo de sen 5 com

preciso de cinco casas decimais.

Exemplo 12:Vamos verificar se o valor de n calculado no Exemplo 2 fornece o resultado comcinco casas decimais de preciso. Utilizando o programa de clculo FORTRAN seno.for ou a

verso em linguagem C, seno.c1, obtemos para n = 11, sen 5 = -0,9589238336 e erro absoluto

= 9,3.10-6

. Observar que o resultado obtido por sries de potncias est correto at a quinta

casa decimal em comparao ao resultado exato (-0,9589242762) com dez casas decimais.

Derivao de Sries de Potncias

Seja y = f(x) uma funo expandida em uma srie de potncias. O operador linear

derivada (ou diferenciao) pode ser aplicado com facilidade a uma srie de potncias devido associatividade da operao de derivao, i.e., a derivada de um somatrio igual ao

somatrio das derivadas:

( )dy

dx

d

dxa x

d

dxa x na xn

n

n n

nn

nn

n

=

= =

=

=

=

0 0

1

1

Observe que o primeiro ndice do ltimo somatrio vale n = 1 devido derivao da potncia

xnque reduziu em um termo a srie.

Exemplo 13:Seja f(x) = sen x, calcular a derivada da srie de Taylor desta funo.

( )sen

! ! !( )

)!x x

x x x x

n

nn

n

= + + = +

+

=

3 5 7 2 1

03 5 7

12 1

Derivando-se os dois lados da equao,

1Disponveis em http://www.demar.faenquil.br/programas


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( )d

dxx

d

dxx

x x x d

dx

x

n

x x x x x x

nn

n

(sen )! ! !

( ))!

! ! ! ! ! !

= + +

= +

= + + = + +

+

=

3 5 7 2 1

0

2 4 6 2 4 6

3 5 71

2 1

13

3

5

5

7

71

2 4 6

Mas, sabemos que

( )cos

! ! !( )

)!x

x x x x

n

nn

n

= + + = =

1 2 4 6 1 22 4 6 2

0

de modo qued

dx x x(sen ) cos= , verificado pela identidade entre as sries de potncias acima.

Exemplo 14:Seja f(x) = ln x, calcular a derivada da srie de Taylor desta funo expandida

em torno de x0= 1.

ln ( )( ) ( ) ( )

( )( )

x xx x x x

n

nn

n

=

+

+ =

=

1 121

3

1

41

12 3 4

1

1

Derivando esta srie, resulta:

d

dxx

x

d

dxx

x x x

x x x x xn n

n

n n

n

(ln ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

+

+

= + + = =

=

=

11

1

2

1

3

1

4

1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4

2 3 1 1

1 0

Observe a troca do ndice do somatrio de n = n - 1 para n = n na ltima expresso acima, de

modo que o primeiro ndice desse somatrio comea em n = 0.

Integrao de Sries de Potncias

A integrao de uma funo em srie de potncias pode ser feita termo a termo:

f x dx a x dx a x dxa x

n

a x

nnn

n

nn

n

nn

n

nn

n

( ) =

= =

+ =

=

=

+

=

=

0 0

1

0 11

Observe que, de forma anloga diferenciao, o primeiro ndice do ltimo somatrio vale

n = 1 devido adio de mais um termo srie de potncia xn

.


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Exemplo 15:Calcular cos .x dx por Sries de Potncias.A srie de potncias de cos x expressa como:

cos! ! !

( )( )!

xx x x x

n

nn

n

= + + = =

1 2 4 6 1 22 4 6 2

0

Integrando, obtm-se:

cos .! ! ! ! ! !

( )( )!

x dxx x x

dx xx x x x

n

nn

n = + +

= + + = +

+

=

12 4 6 3 5 7

12 1

2 4 6 3 5 7 2 1

0

que exatamente a srie de potncias da funo sen x.

Exemplo 16:A integralsenx

xdx bastante utilizada no Eletromagnetismo. Entretanto, o

integrando sen x/x no possui primitiva, de modo que a sua soluo obtida atravs da

expanso em sries de potncias. Vamos mostrar neste exemplo como relativamente simples

obter a expresso em sries de potncias dessa integral.

Consideremos, inicialmente, a srie de Taylor da funo sen x:

sen ! ! ! ( ) ( )!x x

x x x x

n

nn

n= + + = +

+

=

3 5 7 2 1

03 5 7 1 2 1

Dividimos termo a termo ambos os lados da equao por x:

sen

! ! !( )

( )!

x

x

x x x x

n

nn

n

= + + = +

=

1 3 5 7 1 2 12 4 6 2

0

Agora, integramos a equao e obtemos:

sen

! ! ! ! !5 !

( )

( )!( )

x

xdx

x x xdx x

x x x x

n n

n n

n

= + +

= + + =

+ +

+

=

13 5 7 3 3 5 7 7

1

2 1 2 1

2 4 6 3 5 7 2 1

0

Exemplo 17:Calcularsenx

x

dx

01

com cinco casas decimais de preciso.


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sen

! !5 ! ! !5 !

x

xdx x

x x x = + + = + +

0

13 5 7

3 3 5 7 71

1

3 3

1

5

1

7 70

1

+ =1 0 055556 0 001667 0 000028 0 946083, , , ,

Algumas Sries de MacLaurin (x0= 0)

Frmula geral da srie de MacLaurin, que um caso particular da srie de Taylor quando

x0= 0:

f x f f xf

xf

xf

nx

nn

n

( ) ( ) ( )( )

!

( )

!

( )

!

( )

= + +

+

+ ==

0 0

0

2

0

3

02 3

0

1. Srie geomtrica

( )1 1 11 2 3 4 5 = + + +


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7. Funo seno hiperblico

senh x = xx x x x

n

x

n

n

+ + + + =

+

< +

=

3 5 7 2 1

03 5 7 2 1! ! ! ( )!

8. Srie binomial

( )a x an

a xn

a xn

a x xn n n n n+ = +

+

+

+ <

1 2 31 2 2 3 3

9. Funo logaritmo

1

2

1

1 3 5 7 2 11

3 5 7 2 1

0

ln+

= + + + + = +

2 cálculo de funções por séries de potências

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