frações contínuas que correspondem a séries de potências

7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias

1/82

Fraes Contnuas que correspondem a sries de

potncias em dois pontos

Manuella Aparecida Felix de Lima

Dissertao de Mestrado

Ps-Graduao em Matemtica


2/82

Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias

em dois pontos


Dissertao apresentada ao Instituto de Biocincias,

Letras e Cincias Exatas da Universidade Estadual

Paulista "Julio de Mesquita Filho", Campus de So

Jos do Rio Preto, So Paulo, para a obteno do

ttulo de Mestre em Matemtica.

Orientadora: Profa. Dra. Eliana Xavier Linhares de

Andrade.

So Jos do Rio Preto

2010


3/82

Lima, Manuella Aparecida Felix de.Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias em dois

pontos/ Manuella Aparecida Felix de Lima. So Jos do Rio Preto:

[s.n.], 2010.

71 f.: il. ; 30 cm.

Orientadora: Eliana Xavier Linhares de Andrade.

Dissertao (mestrado) - Universidade Estadual Paulista "Julio

de Mesquita Filho", Instituto de Biocincias, Letras e Cincias Exatas.

1. Polinmios ortogonais. 2. Fraes contnuas. 3. Sries de po-

tncias. 4. Pad, Aproximante de. I. Andrade, Eliana Xavier Linhares

de II. Instituto de Biocincias, Letras e Cincias Exatas III. Ttulo.

CDU - 517.587


4/82


Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias em doispontos

Dissertao apresentada para obteno do ttulo de

Mestre em Matemtica, rea de Anlise Aplicada,

junto ao Instituto de Biocincias, Letras e Cincias

Exatas da Universidade Estadual Paulista "Julio

de Mesquita Filho", Campus de So Jos do Rio

Preto.

Banca Examinadora

Profa. Dra. Eliana Xavier Linhares de Andrade

Professor Adjunto

UNESP - So Jos do Rio Preto

Orientadora

Profa. Dra. Vanessa Avansini Botta Pirani

Professor Assistente Doutor

UNESP - Presidente Prudente

Profa. Dra. Cleonice Ftima Bracciali

Professor Adjunto

UNESP - So Jos do Rio Preto

So Jos do Rio Preto, 19 de Fevereiro de 2010.


5/82

i

Aos meus pais, Helena e Laerci.

Dedico.


6/82

ii

AgradecimentosPrimeiramente a Deus, que me deu a vida e a oportunidade de conhecer pessoas

maravilhosas com as quais muito aprendi.

Um agradecimento mais que especial Profa. Dra. Eliana Xavier Linhares de

Andrade, pelos incontveis esforos, carinho e apoio na orientao deste trabalho.

Aos professores de graduao e ps-graduao, em especial Profa. Dra. Cleonice

Ftima Bracciali e ao Prof. Dr. Alagacone Sri Ranga, e Profa. Dra. Vanessa Avansini

Botta Pirani, membro da banca, pelo auxlio e contribuio intelectual.

minha famlia, que sempre me apoiou e torceu por mim.

Ao Leandro, pela compreenso, carinho e apoio principalmente nos momentos di-

fceis.

Ao Coral Ibilce, em especial querida regente Zuleica e aos amigos coralistas

Alexandre, Ana Cludia, Ana Paula, Andresa, Antoniana, Carolina, Fabola, Fernanda,

Guilherme, Lilian, Marcos, Nara, Paulo, Renato, Rodrigo, Sara, Tati, Zelo e a todos

os outros coralistas e ex-coralistas que, mesmo no tendo seus nomes aqui mencionados,

sabem que esto guardados no meu corao por proporcionarem os momentos mais felizes

e mgicos dos ltimos 5 anos.

Aos amigos de graduao Alyne, Ana Cludia, Ana Paula, Antoniana, Cristiane,

Fernanda, Inai, ris, Josy, Juliana, Marcos, Marjory, Renata, Vanessa, Viviane, Wallace,

Yen e a todos os outros colegas, pelos 4 anos que passamos juntos, pelos incontveis dias

de estudo na biblioteca, pelas aventuras no bosque e pela amizade.

Aos amigos de ps-graduao Alyne, Cintya, Cristiane, Fbio, Fernando, Heron,

Jos Augusto, Jucilene, Junior, Marcos, Mirela, Regina, Wallace e a todos os outros

colegas, pelas risadas, pelas lgrimas, pelo auxlio na dissertao e por tudo que passamos

juntos nesses 2 anos.

A todas as pessoas e funcionrios do IBILCE que, direta ou indiretamente, contri-buram para a elaborao deste trabalho.

Capes, pelo auxlio financeiro.


7/82

iii

Resumo

O principal objetivo deste trabalho estudar mtodos para construir os numera-

dores e denominadores parciais da frao contnua que corresponde a duas expanses em

srie de potncias de uma funo analtica f(z), em z = 0 e em z = . Alm disso,consideramos casos em que h coeficientes nulos nas expanses e, tambm, quando os co-

eficientes apresentam simetria. Alguns exemplos numricos so apresentados para ilustrar

dois dos algoritmos estudados, o Q-D e o Q-D modificado.

Palavras-chave: funes analticas, aproximantes de Pad, fraes contnuas, polinmios

ortogonais.


8/82

iv

Abstract

The main purpose of this work is to study some methods for deriving a continued

fraction that corresponds to two series expansions of an analytic function f(z), in z = 0

and z = simultaneously. Furthermore we considered the case when there are zerocoefficients in the series and also when there is symmetry in the coefficients of the two

series. Some examples are given.

Keywords: analytic functions, Pad approximants, continued fractions, orthogonal poly-

nomials.


9/82

v

Sumrio

Introduo 1

1 Preliminares 3

1.1 Aspectos histricos das fraes contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Convergncia de fraes contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Polinmios ortogonais e similares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Polinmios ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Polinmios similares aos ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.3 Conexo com fraes contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Aproximantes de Pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1 Conexo com fraes contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.2 Tabela de Pad de dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Fraes contnuas que correspondem a expanses em sries de potncias

em dois pontos 30

2.1 Construo de fraes contnuas pelos determinantes de Hankel . . . . . . 322.1.1 Caso i = j = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.2 Caso i = j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Construo de fraes contnuas pelo algoritmo Q-D . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1 Caso em que as sries de potncias apresentam coeficientes nulos . . 49

2.3 Sries de potncias que apresentam simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3.1 Caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3.2 Caso s = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.3 Caso s = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


10/82

Sumrio vi

2.3.4 Caso s = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 Erros nas aproximaes e resultados computacionais 59

3.1 Erros nas aproximaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Resultados computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.1 A funo F(z) =1

1 + z2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.2 A funo F(z) = arccot(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Referncias Bibliogrficas 69


11/82

1

Introduo

As fraes contnuas, assim como os aproximantes de Pad, tm vasta aplicao em

muitos problemas da Matemtica Pura e Cincias Aplicadas. So ferramentas essenciais

para a soluo de muitos problemas relacionados aproximao de nmeros irracionais eracionais, aproximao de funes, aplicaes na fsica terica, soluo de equaes diofan-

tinas e equaes integrais de Volterra no lineares, resoluo de problemas de momento,

entre outras. Essa grande variedade de aplicaes foi a motivao para esse trabalho.

Seja f(z) uma funo analtica que possui expanses em sries de potncias em

z = 0 e em z = dadas, respectivamente, por

f(z) = a0 + a1z + a2z2 + a3z

3 +

(1)

e

f(z) = a1z

a2z2

a3z3

a4z4

. (2)

Suponhamos que f(z) seja aproximada por funes racionais da forma

Pm(z)

Qm(z)=

m,0 + m,1z + + m,m1zm11 + m,1z + + m,mzm , m = 0, 1, 2, . . . , (3)

em que os coeficientes m,i e m,i+1, i = 0, 1, . . . , m 1, so independentes de z. Esses 2m

coeficientes podem ser determinados de tal forma que, quando a funo racional em (3) expandida para |z| pequeno e para |z| grande, haja coincidncia com i termos de (1) e jtermos de (2), respectivamente, totalizando i + j = 2m termos ao todo.

Assim,

f(z) Pm(z)Qm(z)

= O

zi, z(j+1)

, (4)

em que o smbolo no lado direito significa que o lado esquerdo da ordem de zi para |z|pequeno e da ordem de z(j+1) para |z| grande.

Seja a frao contnua

p1(z)

q1(z) +p2(z)

q2(z) +p3(z)

q3(z) + . . . +pm(z)

qm(z) + . . .


12/82

Introduo 2

cujo m-simo convergente exatamente a funo racionalPm(z)

Qm(z). bem conhecido que

os polinmios Pm(z) e Qm(z) satisfazem as relaes de recorrncia (ver, por exemplo,

Chihara [6])

Pm+1(z) = qm+1(z)Pm(z) + pm+1(z)Pm1(z)

e (5)

Qm+1(z) = qm+1(z)Qm(z) + pm+1(z)Qm1(z),

para m = 0, 1, 2, . . . , com valores iniciais P0(z) = 0, P1(z) = p1(z), Q0(z) = 1 e Q1(z) =

q1(z).

O principal objetivo deste trabalho estudar mtodos para, a partir dos polinmios

Pm(z) e Qm(z), determinar os elementos da frao contnua correspondente s duas sries

(1) e (2). Murphy (1966) mostrou que ela da forma

n11 + d1z +

n2z

1 + d2z +n3z

1 + d3z + . . . +nmz

1 + dmz + . . .(6)

em que nm e dm so constantes independentes de z. Essa frao contnua chamada

M-frao.

Para realizarmos o estudo proposto, organizamos a presente dissertao da seguinte

forma.

No Captulo 1, introduzimos alguns conceitos bsicos sobre fraes contnuas,

polinmios ortogonais e aproximantes de Pad, onde, tambm, relacionamos tais tpicos.

Os conceitos dados neste captulo so fundamentais para o entendimento e desenvolvi-

mento dos demais captulos.

No Captulo 2, apresentamos os mtodos para a obteno da frao contnua corres-pondente s sries de potncias, em z = 0 e z = , de uma funo f(z) dada. Taismtodos so construdos a partir dos determinantes de Hankel e do algoritmo Q-D. Apre-

sentamos, ainda, o caso em que h coeficientes nulos em uma ou em ambas as sries de

potncias e, tambm, quando os coeficientes das sries apresentam simetria.

Por fim, no Captulo 3, fizemos um breve estudo sobre erros nas aproximaes por

funes racionais, alm de dois exemplos computacionais utilizando os algoritmos obtidos

no Captulo 2.


13/82

3

Captulo 1

Preliminares

Neste captulo, faremos um estudo sucinto, porm consistente, sobre fraes cont-

nuas, polinmios ortogonais e similares e aproximantes de Pad. Sobre fraes contnuas,

comearemos por uma breve introduo histrica, passando por suas definies e pro-

priedades e, por fim, mostraremos alguns resultados sobre convergncia. Quanto aos

polinmios ortogonais e similares, daremos suas definies, algumas propriedades e a co-

nexo dos mesmos com fraes contnuas. Finalmente, sobre os aproximantes de Pad,

apresentamos a definio da tabela de Pad em um ponto, sua conexo com fraes con-tnuas e a definio de tabela de Pad em dois pontos. Embora esses assuntos sejam bem

conhecidos, a apresentao necessria pois fundamentam os prximos captulos. Muitos

textos podem ser utilizados para o estudo de tais tpicos como, por exemplo, [5], [6], [8],

[14], [21], [23].

1.1 Aspectos histricos das fraes contnuas

Para se fazer matemtica, isto , a fim de compreender e fazer contribuies a esta

cincia, importante estudar sua histria. A matemtica est sendo construda constan-

temente atravs de descobertas. Aqueles que desejam estudar um campo particular da

matemtica, seja estatstica, lgebra abstrata ou fraes contnuas, necessitaro primei-

ramente estudar seu passado. Assim, podem-se fazer melhorias em resultados j obtidos,

sem repet-los.

A origem das fraes contnuas difcil de se precisar. Isto devido ao fato de que

podemos encontrar exemplos dessas fraes por toda a matemtica nos ltimos 2000 anos,


14/82

1.1. Aspectos histricos das fraes contnuas 4

mas seus verdadeiros fundamentos no foram colocados at o final de 1600, incio de 1700.

Sua origem tradicionalmente atribuda ao desenvolvimento do Algoritmo de Euclides.

O Algoritmo de Euclides, entretanto, usado para encontrar o mximo divisor comum

(mdc) entre dois nmeros. Porm, manipulando algebricamente o algoritmo, pode-se

obter a frao contnua simples de um nmero racional p/q. H dvida se Euclides ou

seus antecessores usaram realmente este algoritmo dessa maneira. Mas, devido a seu

estreito relacionamento com fraes contnuas, o Algoritmo de Euclides significou o incio

de seu desenvolvimento.

Por mais de mil anos, todo trabalho que usava fraes contnuas era restrito a

exemplos especficos. O matemtico indiano Aryabhata (476-550) utilizou-as para resolverequaes lineares diofantinas. Entretanto, no desenvolveu um mtodo geral; particular-

mente, usou fraes contnuas somente em exemplos especficos. Durante toda a escrita

matemtica grega e rabe, podemos encontrar exemplos e sinais de fraes contnuas.

Mas, novamente, seu uso era limitado a aplicaes especficas.

Dois cientistas da cidade de Bolonha, Itlia, Rafael Bombelli (1526-1572) e Pietro

Cataldi (1548-1626), contriburam tambm neste campo, embora apenas fornecendo mais

exemplos. Bombelli expressou a raiz quadrada de 13 como uma frao contnua dada por

13 3 + 46 +

4

6

=18

5,

que um caso especial da frmula

a2 + b a + b

2a +b

2a +b

2a +b

2a + . . ..

No sculo XV I j se conhecia a aproximao

a2 + b a + b

2a +b

2a.

Cataldi fez o mesmo para a raiz quadrada de 18:

18 4& 2

8&2

8&2

8& . . .

= 4 +2

8 +2

8 +2

8 + . . .

,

que ele abreviou como

4&2

8&

2

8&

2

8. . . .


15/82


Ambos os matemticos forneceram somente estes exemplos, mas no foram alm.

As fraes contnuas transformaram-se num campo de estudos atravs do trabalho

de John Wallis (1616-1703). Em seu livro "Arithmetica Infinitorium"(1655), desenvolveu

e apresentou a identidade:

4

=

3 3 5 5 7 7 9 . . .2 4 4 6 6 8 9 . . . .

O primeiro presidente da Royal Society of London, Lord Brouncker (1620-1684),

transformou esta identidade em

4

= 1 +12

2 + 3

2

2 +52

2 +72

2 +92

2 + . . .

= 1 +12

2 +

32

2 +

52

2 +

72

2 +

92

2 + . . .

.

Essa descoberta foi um passo importante na histria de = 3, 14159 . . . .

Embora Brouncker no tenha enfatizado a frao contnua, Wallis tomou a inicia-

tiva e introduziu as primeiras etapas para generalizar essa teoria.

Em seu livro "Opera Mathematica"(1695), Wallis colocou alguns dos fundamentos

bsicos das fraes contnuas. Explicou como calcular o n-simo convergente e descobriu

algumas das propriedades, agora familiares, dos convergentes. Foi tambm neste trabalho

que o termo "frao contnua" foi usado pela primeira vez.

O matemtico e astrnomo holands Christiaan Huygens (1629-1695) foi o primeiro

a demonstrar uma aplicao prtica de fraes contnuas. Escreveu um artigo explicando

como usar os convergentes de uma frao contnua para encontrar as melhores aproxi-

maes racionais para as relaes entre as engrenagens. Essas aproximaes permitiram-

lhe escolher as engrenagens com o nmero correto de dentes. Seu trabalho foi motivado

pelo desejo de construir um planetrio mecnico.

Embora Wallis e Huygens trabalhassem com fraes contnuas, esse campo de pes-

quisa s comeou a florescer quando Leonard Euler (1707-1783), Johan Heinrich Lambert

(1728-1777) e Joseph Louis Lagrange (1736-1813) abraaram o tpico.

Muito da teoria moderna foi desenvolvida por Euler em seu trabalho de 1737, "De

Fractionlous Continious". Ele Mostrou que cada racional pode ser expresso como uma

frao contnua simples finita, e forneceu, tambm, uma expresso para o nmero e na


16/82


forma de frao contnua:

e= 2 +1

1 +

1

2 + 1

1 +1

1 +1

4 +1

1 +1

1 + . . .

ou

e= 2 +1

1 +1

2 +1

1 +1

1 +1

4 +1

1 +1

1 +1

6 +1

1 +1

1 +1

8 + . . ..

Usou esta expresso para mostrar que e e e2 so irracionais. Demonstrou, tambm, como

representar uma srie como frao contnua, e vice-versa.

Lambert generalizou o trabalho de Euler sobre o nmero e. Em 1766, ele mostrou

queex 1ex + 1

=1

2

x+ 16

x+ 1

10

x

+ 1

14x+ ...

.

Em 1768, ele encontrou expanses em fraes contnuas para as funes log(1 + x),

arctg(x) e tg(x). Para tg(x), ele encontrou

tg(x) =1

1

x 13

x 1

5

x

1

7

x

...

,

e usou essas expresses para mostrar que ex e tg(x) so irracionais se x for racional.

Lagrange usou fraes contnuas para encontrar o valor de razes irracionais. Pro-

vou tambm que os nmeros quadrticos irracionais so dados por uma frao contnua

peridica.

O sculo XIX provavelmente pode ser considerado como a idade dourada das

fraes contnuas. Como Claude Brezinski escreveu em "History of Continued Fractions

and Pad Approximants", "o sculo dezenove pode ser considerado o perodo popular

das fraes contnuas". Foi uma poca em que "o assunto era conhecido por todos os


17/82

1.2. Conceitos bsicos 7

matemticos". Como consequncia, houve uma exploso no crescimento deste campo. A

teoria de fraes contnuas foi desenvolvida significativamente, especialmente com respeito

aos convergentes. Tambm eram estudadas as fraes contnuas com variveis comple-

xas como termos. Alguns dos matemticos mais proeminentes que contriburam para

este campo foram Karl Jacobi (1804-51), Oskar Perron (1880-1975), Charles Hermite

(1822-1901), Karl Friedrich Gauss (1777-1855), Augustin Cauchy (1789-1857) e Thomas

Stieltjes (1856-94). No princpio do sculo XX, a teoria tinha avanado muito alm do

trabalho inicial de Wallis.

Desde o comeo do sculo XX, o uso das fraes contnuas tem aparecido em outros

campos. Para dar um exemplo de sua versatilidade, uma publicao recente de RobertM. Corless [7] examinou a conexo entre fraes contnuas e a teoria do caos. As fraes

contnuas foram utilizadas, tambm, em algoritmos para computador calculando aproxi-

maes racionais para os nmeros reais, bem como para resolver equaes diofantinas.

Este breve resumo do passado das fraes contnuas fornece uma viso geral do

desenvolvimento deste campo. Embora seu desenvolvimento inicial parea ter levado um

longo tempo, uma vez iniciado, o campo e sua anlise cresceram rapidamente. Mesmo

hoje, o fato de as fraes contnuas ainda estarem sendo usadas significa que o assuntoest longe de se esgotar.

1.2 Conceitos bsicos

Veremos, nesta seo, os conceitos bsicos sobre fraes contnuas que sero neces-

srios para o bom entendimento deste trabalho.

Uma frao contnua uma expresso da forma

b0 +a1

b1 +a2

b2 +a3

b3 + . . .

,

onde {an}n=1 e {bn}n=0 so sequncias de nmeros complexos ou funes complexas sim-ples com an = 0. Uma frao contnua pode, tambm, ser denotada das seguintes formas:

b0 +a1

b1 +

a2

b2 + . . .

(1.1)

ou

b0 + Kn=1

anbn

.


18/82


Outra maneira de definir fraes contnuas, segundo Henrici e Pfluger [11], uti-

lizando transformaes lineares fracionais, conhecidas tambm como transformaes de

Mebius.

Definio 1.1. Uma transformao linear fracional (t.l.f.) definida por

t(w) =a + cw

b + dw,

onde a,b,c,d e w so nmeros complexos e ad bc = 0.

Definio 1.2. Uma frao contnua um par ordenado

(({an} , {bn}) , {fn}) ,

onde {an}n=1 e {bn}n=0 so sequncias de nmeros complexos ou, ainda, funes com-plexas simples com an = 0 e {fn} uma sequncia em C, o plano complexo estendido(C ), dada por

fn = Sn(0), n = 0, 1, 2, . . . ,

onde Sn(w), para n = 1, 2, . . . , so t.l.f. definidas por

Sn(w) = Sn1(sn(w)), sn(w) =an

bn + w(1.2)

com

S0(w) = s0(w) e s0(w) = b0 + w.

Os nmeros an e bn so chamados, respectivamente, n-simos numeradores e deno-

minadores parciais. Esses nmeros tambm so chamados de elementos da frao cont-

nua. O valor

fn = Sn(0) = b0 +a1

b1 +a2

b2 +a3

b3 + . . . +anbn

chamado de n-simo convergente ou aproximante da frao contnua. Podemos usar as

seguintes notaes

fn = b0 +a1b1 +

a2b2 + . . . +

anbn

ou fn = b0 + Knj=1

ajbj

.

Correspondentes a cada frao contnua da forma (1.1), existem sequncias de

nmeros ou funes complexas{

An}

e{

Bn}

definidas por A1

B1

=

1

0

,

A0

B0

=

b0

1


19/82


e

An

Bn

= bn

An1

Bn1

+ an

An2

Bn2

, n = 1, 2, . . . . (1.3)

Os nmeros An e Bn, n = 1, 2, . . . , so chamados de n-simos numeradores e

denominadores de (1.1), respectivamente (tambm so chamados de numeradores e de-

nominadores cannicos). O resultado (1.3) facilmente verificado por induo (veja, por

exemplo, Chihara [6]). A importncia desses nmeros mostrada no teorema a seguir.

Teorema 1.1. Se An, Bn e fn denotam os n-simos numerador, denominador e conver-

gente da frao contnua (1.1), respectivamente, e se {Sn} a sequncia de t.l.f. (1.2),

entoSn(w) =

An + An1w

Bn + Bn1w, fn = Sn(0) =

AnBn

n = 0, 1, 2, . . . e

fn1 = Sn() = An1Bn1

, n = 1, 2, . . . .

Alm disso,

AnBn1 An1Bn = (1)n1n

k=1

ak = 0, n = 1, 2, . . . .

A ltima equao pode ser escrita como

AnBn

An1Bn1

= (1)n1n

k=1 akBn1Bn

. (1.4)

Sejam An e Bn os numeradores e denominadores de

b0 +a1b1 +

a2b2 +

a3b3 + . . .

, (1.5)

respectivamente, e Cn e Dn os numeradores e denominadores de

d0 +c1d1 +

c2d2 +

c3d3 + . . .

, (1.6)

respectivamente.

Definio 1.3. A frao contnua (1.6), com

Ck = A2k, Dk = B2k, k = 0, 1, 2, . . . ,

chamada contrao par (ou parte par) da frao contnua (1.5).

Definio 1.4. A frao contnua (1.6), com

Ck = A2k+1, Dk = B2k+1, k = 1, 2, 3, . . . ,

chamada contrao mpar (ou parte mpar) da frao contnua (1.5).


20/82

1.3. Convergncia de fraes contnuas 10

Teorema 1.2. A parte par de (1.5) existe se, e somente se, b2k = 0 para k = 1, 2, 3, . . . ,e dada por

b0 + b2a1b2b1 + a2 a2a3b4/b2a4 + b3b4 + a3b4/b2

a4a5b6/b4a6 + b5b6 + a5b6/b4 . . ..

Teorema 1.3. A parte mpar de (1.5) existe se, e somente se, b2k+1 = 0 para k =0, 1, 2, . . . , e dada por

b0b1 + a1b1

a1a2b3/b1b1(a3 + b2b3) + a2b3

a3a4b5b1/b3a5 + b4b5 + a4b5/b3

a5a6b7/b5

a7 + b6b7 + a6b7/b5 a7a8b9/b7

a9 + b8b9 + a8b9/b7 . . ..

1.3 Convergncia de fraes contnuas

Nesta seo, trataremos da convergncia de fraes contnuas. Daremos sua defi-

nio e um resultado importante.

Definio 1.5. Convergncia clssica de uma frao contnua da forma (1.5) para um

nmero f C

significa a convergncia da sequncia de convergentes{fn} para f e, nestecaso, o valor da frao contnua o limite da sequncia {fn}. Ento, podemos escrever

f = b0 +a1b1 +

a2b2 +

a3b3 + . . .

.

Como existe uma correspondncia biunvoca entre os pontos do plano complexo

estendido e a esfera de Riemann, aceitamos tambm o conceito de convergncia para o

infinito. Assim, dizemos que uma frao contnua diverge se a sequncia {fn} converge

para mais de um valor ou quando no converge para nenhum valor.

Teorema 1.4. Se an+1 > 0 e bn > 0, n = 0, 1, 2, . . . , ento os convergentes de ordem

par, f2n, da frao contnua (1.5) formam uma sequncia numrica crescente, enquanto

que os convergentes de ordem mpar, f2n+1, formam uma sequncia decrescente e todo

convergente de ordem par menor do que qualquer convergente de ordem mpar. Alm

disso, cada convergente fn, n 2, est entre os convergentes fn1 e fn2. Os termos dasequncia

{fn

}satisfazem

f0 < f2 < f4 < < f2n < < f2n+1 < < f5 < f3 < f1. (1.7)


21/82

1.4. Polinmios ortogonais e similares 11

Demonstrao: De (1.3) e (1.4), encontramos que

fn fn2 = bn(1)n

n1k=1 ak

BnBn2, n 2. (1.8)

Desta equao, obtemos

f2n f2n2 = b2n(1)2n2n1

k=1 akB2nB2n2

> 0 = f2n2 < f2n, (1.9)

e

f2n+1 f2n1 = b2n+1(1)2n+1

2nk=1 ak

B2n+1B2n1< 0 = f2n+1 < f2n1. (1.10)

Alm disso, de (1.4), temos

f2n f2n1 = (1)2n12nk=1 akB2nB2n1

< 0 = f2n < f2n1, (1.11)

e

f2n+1 f2n = (1)2n2n+1

k=1 akB2n+1B2n

> 0 = f2n < f2n+1. (1.12)

De (1.9) e (1.10) conclumos que {f2n} uma sequncia crescente e que {f2n+1} umasequncia decrescente. De (1.9), (1.12) e (1.10) podemos escrever

f2n2 < f2n < f2n+1 < f2n1. (1.13)

Portanto, fn est entre fn1 e fn2. Em (1.13), fazendo

n = 1, obtemos f0 < f2 < f3 < f1.

n = 2, temosf2 < f4 < f5 < f3. Portanto, f0 < f2 < f4 < f5 < f3 < f1.

n = 3, obtemos f4 < f6 < f7 < f5. Logo, f0 < f2 < f4 < f6 < f7 < f5 < f3 < f1.

Continuando desta forma, obtemos

f0 < f2 < < f2n2 < f2n < < f2n+1 < f2n1 < < f3 < f1,

concluindo, assim, a demonstrao do teorema.

1.4 Polinmios ortogonais e similares

Faremos, nesta seo, um breve estudo sobre os polinmios ortogonais e os similaresaos ortogonais e suas conexes com as fraes contnuas. Para maiores detalhes veja [4],

[6], [8], [21].


22/82


Definio 1.6. Seja uma funo real, no decrescente, definida em [a, b]. Um ponto

[a, b] chamado de ponto de aumento de se ( + ) ( ) > 0, para todo > 0.

Seja (x) uma funo real, no decrescente e com infinitos pontos de aumento emum intervalo (a, b), a < b . Se os momentos

m =

ba

xmd(x)

existem para m = 0, 1, 2, . . . , d(x) chamada uma distribuio em (a, b). Se os momentos

existem para todo m inteiro, d(x) uma distribuio forte. Se, alm disso, (a, b) (0, ), d(x) uma distribuio forte de Stieltjes.

Definio 1.7. Os determinantes definidos por

H(m)n =

m m+1 m+n1m+1 m+2 m+n

......

. . ....

m+n1 m+n m+2n2

, n 1, m = 0, 1, 2, . . . , (1.14)

so chamados determinantes de Hankel, onde H(m)1 = 0 e H(m)0 = 1.

Esses determinantes possuem a importante propriedade dada abaixo, cuja demons-

trao pode ser encontrada em [10]:

H(m)n

2 H(m1)n H(m+1)n + H(m1)n+1 H(m+1)n1 = 0, n, m Z, n 1. (1.15)1.4.1 Polinmios ortogonais

Entre os polinmios que satisfazem uma relao de recorrncia de trs termos,

esto os polinmios ortogonais. As aplicaes desses polinmios na Anlise Aplicada so

muitas e novas aplicaes surgem a cada dia.

Definio 1.8. Uma sequncia{Pn (x)}n=0 de polinmios ortogonais relativamente a umadistribuio d(x) em um intervalo (a, b), a < b , pode ser definida por

(i) Pn (x) um polinmio de grau exatamente n, n 0,(ii) xm, Pn (x) =

ba

xmPn (x)d(x) = 0, m = 0, 1, . . . , n 1.


23/82


A existncia dessa sequncia de polinmios depende da condio

H(0)n = 0, n = 0, 1, 2, . . . .

Do item (i) da definio anterior, temos que {P0 (x), P1 (x), . . . , P n (x)} um con-junto linearmente independente, portanto, formam uma base para Pn, o espao vetorial

dos polinmios de grau n.Os polinmios ortogonais possuem muitas propriedades interessantes. Vejamos

algumas delas.

Teorema 1.5 (Relao de recorrncia de trs termos). Seja{Pn (x)}n=0 uma sequn-cia de polinmios ortogonais em (a, b) relativamente distribuio d(x). Ento,

Pn+1(x) = (n+1x n+1)Pn (x) n+1Pn1(x), n 0, (1.16)

comP0 (x) = 1, P1(x) = 0,

n+1,

n ,

n R, n 1, e

n+1 =an+1,n+1

an,n= 0, n+1 = n+1

xPn , P

n

Pn , P

n

, n 0e n+1 =

n+1n

Pn , Pn Pn1, P

n1

= 0 n 1.(1.17)

Demonstrao: Usaremos a notao Pn (x) =ni=0

an,ixi, an,n = 0.

Como xPn (x) um polinmio de grau n + 1, podemos escrever

xPn (x) =n+1i=0

biPi (x).

Igualando os coeficientes dos termos de maior grau em ambos os membros da

igualdade acima, obtemos

an,n = bn+1an+1,n+1.

Logo,

bn+1 =an,n

an+1,n+1= 0.

Porm, das relaes de ortogonalidade,

xPn , P

j

=ba

Pn (x)xPj (x)d(x) = 0 para 0 j n 2.


24/82


Assim,

xPn , P

j =

n+1

i=0bi P

i , P

j = bj P

j , P

j = 0 bj = 0 para 0 j n 2.

Logo,

xPn (x) = bn+1Pn+1(x) + bnP

n (x) + bn1P

n1(x),

que pode ser escrito como

Pn+1(x) = (n+1x n+1)Pn (x) n+1Pn1(x), (1.18)

com

n+1 = 1bn+1= an+1,n+1an,n

, n+1 = bnbn+1e n+1 = bn1bn+1

.

Calculemos, agora, os valores de n+1 e n+1. De (1.18), obtemos

0 =

Pn+1, Pn

= n+1

xPn , P

n

n+1 Pn , Pn n+1 Pn1, Pn .Da,

n+1 = n+1

xPn , P

n

P

n , P

n

.

Analogamente,

0 =

Pn+1, Pn1

= n+1

xPn , P

n1

n+1

Pn , P

n1

n+1

Pn1, P

n1

.

Logo,

n+1 = n+1

xPn , P

n1

Pn1, Pn1

.Mas, como

Pn (x) = (nx n)Pn1(x) nPn2(x),

obtemos

xPn1(x) =1

nPn (x) +

n

nPn1(x) +

n

nPn2(x).

Ento,xPn , P

n1

=

ba

Pn (x)xPn1(x)d(x)

=1

nba

Pn (x)Pn (x)d(x) +n

nba

Pn (x)Pn1(x)d(x)

+n

n

ba

Pn (x)Pn2(x)d(x) =

1

n

Pn , P

n

.


25/82


Portanto,

n+1 =n+1

n

Pn , P

n

P

n1, P

n1

.

Para construirmos a sequncia de polinmios ortogonais mnicos

Pn (x)n=0

com

relao distribuio d(x), basta dividirmos cada polinmio pelo correspondente coefi-

ciente do termo de maior grau, ou seja,

Pn (x) =Pn (x)

an,n, n 1.

Dividindo a relao de recorrncia (1.16) por an+1,n+1 e fazendo os ajustes neces-

srios, obtemos

Pn+1(x) = (x n+1)Pn (x) n+1Pn1(x), n 0, (1.19)

onde

n+1 =

xPn , P

n

Pn , Pn

, n+1 =

Pn , Pn

Pn1, Pn1

, (1.20)

com

P

0 (x) = 1 e

P

1 (x) = x

1 .

Teorema 1.6. Seja Pn (x), n 1, uma sequncia de polinmios ortogonais no intervalo(a, b) com relao distribuio d(x). Ento, as razes de Pn (x) so reais, distintas e

pertencem ao intervalo (a, b).

Demonstrao: Suponhamos que Pn (x) no mude de sinal em (a, b). Ento, Pn (x) 0

(ou Pn (x) 0), mas no identicamente nulo, em (a, b). Logo,ba

Pn (x)d(x) > 0 (ou

ba

Pn (x)d(x) < 0), o que contradiz a propriedade de ortogonalidade dos polinmios Pn,

pois ba

Pn (x)w(x)dx =

ba

x0Pn (x)d(x) = 0. (1.21)

Assim, Pn (x) deve mudar de sinal em (a, b) pelo menos uma vez. Logo, existe pelo menos

uma raiz real de Pn (x) de multiplicidade mpar em (a, b).

Suponhamos que xn,1, xn,2, . . . , xn,r (r < n) sejam as razes distintas de multiplici-

dade mpar de Pn

(x) em (a, b). Ento,

Pn (x) = (x xn,1)(x xn,2) . . . (x xn,r)Qnr(x) = qr(x)Qnr(x),


26/82


onde Qnr(x) um polinmio de grau (n r) que tem somente razes complexas ou razesde multiplicidade par em (a, b) ou razes fora de (a, b). Logo, Qnr(x) no muda de sinal

em (a, b). Porm, pela relao de ortogonalidade,ba

qr(x)Pn (x)d(x) = 0. (1.22)

Mas, ba

qr(x)Pn (x)d(x) =

ba

q2r (x)Qnr(x)d(x) = 0. (1.23)

Por (1.22) e (1.23) temos um absurdo. Assim, Pn (x) tem r n razes de multipli-

cidade mpar em (a, b). Mas, como Pn (x) um polinmio de grau n, ento r = n. Deste

modo, Pn (x) tem n razes de multiplicidade mpar em (a, b), da seguinte forma

Pn (x) = (x xn,1)i1(x xn,2)i2 . . . (x xn,n)in.

Como i1, i2, . . . , in so potncias positivas e mpares e i1 + i2 + . . . + in = n, temos que

i1 = i2 = = in = 1.Outra propriedade muito interessante a do entrelaamento dos zeros, cuja de-

monstrao pode ser encontrada, por exemplo, em Chihara [6].

Teorema 1.7. Seja

Pj (x)j=0

uma sequncia de polinmios ortogonais. Ento, entre

dois zeros consecutivos do polinmio de grau n 1, Pn1(x), existe somente um zero dePn (x).

Podemos definir uma segunda sequncia de polinmios, {Qn(x)}n=0, do seguintemodo:

Qn(x) =ba

Pn (x) P

n (y)

x y d(y), n 0.

Esses so os polinmios associados que aparecem na teoria dos polinmios ortogo-

nais. Podemos mostrar que esses polinmios satisfazem a mesma relao de recorrncia

dos polinmios ortogonais, mas com condies iniciais diferentes, ou seja,

Qn+1(x) = (n+1x n+1)Qn(x) n+1Qn1(x),

para n 1, com as condies iniciais Q

0(x) = 0, Q

1(x) =

1

0 . Logo, Q

n+1(x) tem graun, n 0.


27/82


claro que os polinmios associados aos polinmios ortogonais mnicos Pn (x)

satisfazem a mesma relao de recorrncia dos mnicos,

Qn+1(x) = (x n+1)Qn(x) n+1Qn1(x), (1.24)

com as condies iniciais Q0(x) = 0, Q1(x) =

0 . Portanto, no so mnicos e todos tm

o coeficiente do termo de maior grau igual a 0 .

1.4.2 Polinmios similares aos ortogonais

A introduo do problema forte de momento, veja [13], abriu caminho para o estudo

de polinmios que apresentam propriedades semelhantes s dos polinmios ortogonais.

Este problema pode ser expresso por:

Dada uma sequncia {m}m= de nmeros reais, sob que condies existe umamedida no negativa d(t) tal que

m = m =

ba

tmd(t), m = 0, 1, 2, . . .?

Jones, Thron e Waadeland [13] resolveram este problema quando (a, b) (0, ).Sri Ranga [20], usando conceitos de fraes contnuas, resolveu o problema forte de mo-

mento de Hamburger, isto , quando a < b .Vamos, aqui, definir uma sequncia de polinmios similares aos ortogonais ou,

simplesmente, polinmios similares,

Bn (z)n=0

, por

(i) Bn (z) um polinmio mnico de grau exatamente n, n 0,

(ii)

ba

zn+mBn (z)d(z) = 0, m = 0, 1, . . . , n 1,

onde d(z) uma distribuio forte de Stieltjes em (a, b).

Uma condio necessria e suficiente para a existncia dessa sequncia de polin-

mios que os determinantes de Hankel definidos por (1.14) satisfaam

H(m)n = 0, n 0, m = 0, 1, 2, . . . .

Na verdade, podemos demonstrar que, para uma distribuio forte de Stieltjes,

H(m)n > 0, n 0, m = 0, 1, 2, . . . .


28/82


Esses polinmios satisfazem, por exemplo, a relao de recorrncia de trs termos

Bn+1(z) = (z n+1)Bn (z) n+1zBn2(z), n 0, (1.25)

com B1(z) = 0 e B0 (z) = 1. Os coeficientes

n e

n+1, n 1, podem ser dados em

termos dos determinantes de Hankel por

n+1 =H

(n)n+1 H

(n+1)n1

H(n)n H

(n+1)n

e n =H

(n1)n H

(n1)n1

H(n)n1 H

(n2)n

n 1. (1.26)

Do mesmo modo que fizemos para os polinmios ortogonais, podemos definir os

polinmios associados de grau n 1 por

An(z) =ba

Bn (t) Bn (z)t z d(t), n 0, (1.27)

com A0 (z) = 0 e A1 (z) =

0 .

fcil ver que o coeficiente do termo de maior grau desses polinmios 0 . Como

Bn (t) Bn (z) = (tn zn) + bn,n1(tn1 zn1) + + bn,1(t z),

temos

Bn (t) Bn (z)t z =

n1j=0

tn1jzj + bn,n1

n2j=0

tn2jzj + + bn,2(t + z) + bn,1

= zn1 + (t + bn,n1)zn2 + + (tn2 + bn,n1tn3 + + bn,2)z

+(tn1 + bn,n1tn2 + + bn,1).

Portanto, integrando ambos os lados no intervalo (a, b) relativamente distribuio ,

obtemos

An(z) = 0 z

n1 + (1 + bn,n10 )z

n2 + + (n2 + bn,n1n3 + + bn,20 )z+(n1 + bn,n1

n2 + + bn,10 ). (1.28)

Os polinmios An(z) tambm satisfazem a mesma relao de recorrncia dos po-

linmios similares, ou seja,

An+1(z) = (z n+1)An(z) n+1zAn1(z), n 1, (1.29)

com as condies iniciais A0 (z) = 0, A1 (z) =

0 .


29/82


Alm disso, o quocienteAn(z)

Bn (z)satisfaz

An(z)Bn (z)

=

0z +

1z2 + +

n1zn + O 1zn+1 ,

1 2z nzn1 + O(zn).(1.30)

De fato, fazendo a diviso de An(z), dado em (1.28), por Bn (z) encontramos

An(z)

Bn (z)=

0z

+1z2

+ + n1

zn+ O

1

zn+1

Para a segunda srie, sabendo que

1

t z =1

t

1 zt

= 1t + zt2 + + zn1

tn +

zn

tn+1 + , (1.31)

obtemosba

1

t

1 zt

d(t) = 1 + 2z + + nzn1 + n1zn + . (1.32)De (1.31) e da definio de polinmios similares, temos que

b

a

Bn (t)

t1 ztd(t) =

b

a

Bn (t) 1

t

+z

t2

+

+

zn1

tn

+zn

tn+1

+

d(t)=

ba

Bn (t)

zn

tn+1+

zn+1

tn+2+

d(t) = O(zn). (1.33)

Logo, como

An(z)

Bn (z)=

1

Bn (z)

ba

Bn (t)

t

1 zt

d(t) ba

1

t

1 zt

d(t),de (1.32) e (1.33), obtemos que

An(z)

Bn (z)= 1 2z nzn1 + O(zn).

Veja Andrade [3] e Ranga [20] para outras propriedades sobre esses polinmios.

1.4.3 Conexo com fraes contnuas

Faremos, agora, a associao dos polinmios ortogonais e similares aos ortogonais

com as fraes contnuas. As frmulas de Wallis (1.3) levam-nos diretamente a isso. Se,

em (1.1), tomarmos

b0 = 0, a1 = 0 = 0, an+1 = n+1 = 0, bn = x n , n 1,


30/82

1.5. Aproximantes de Pad 20

obtemos a frao contnua

0

x

1 2

x

2 3

x

3 . . . n

x

n . . ., (1.34)

cujo n-simo denominador parcial, Bn, o polinmio ortogonal Pn (x) que satisfaz a

relao de recorrncia (1.19). A frao contnua (1.34) conhecida como frao contnua

do tipo Jacobi ou, simplesmente, J-frao, devido sua relao com certos tipos de

matrizes conhecidas por matrizes de Jacobi, cujos autovalores so os zeros dos polinmios

ortogonais a elas associados.

Retornando s frmulas de Wallis, vemos que An = Qn(x), e, ento, satisfazem

a relao de recorrncia (1.24). Observe, tambm, que o n-simo convergente a razoentre o polinmio associado de grau n 1 e o ortogonal de grau n.

Vamos obter, agora, a conexo entre os polinmios similares e fraes contnuas.

Retornemos s frmulas de Wallis. Tomando, em (1.1),

b0 = 0, a1 = 0 = 0, an+1 = n+1z = 0, bn = z n , n 1,

obtemos a frao contnua,

0z 1

2 z

z 2 3 z

z 3 . . . nz

z n . . ., (1.35)

conhecida como T-frao, cuja forma geral ser definida mais adiante.

Observe que os n-simos numerador e denominador parciais so, respectivamente,

o polinmio associado de grau n 1, An(z), e o polinmio similar de grau n, Bn (z).Portanto, satisfazem as relaes de recorrncia (1.29) e (1.25).

Conhecendo-se, pois, as relaes de recorrncia dos polinmios ortogonais ou si-

milares, possvel construir as correspondentes fraes contnuas a partir dos coeficientes

dessas relaes.

1.5 Aproximantes de Pad

A classe Pdas sries de potncias formais sobre C consiste de todas as expressesda forma

C(z) c0 + c1z + c2z2 +

m=0

cmzm

com coeficientes cm C.


31/82


Seja C(z) Pe sejam m e n inteiros no negativos. A forma racional complexau(z)

v(z)=

u0 + u1z + + umzmv0 + v1z +

+ vnzn

uma forma de Pad do tipo (m, n) para C(z) se v = 0 e

C(z)v(z) u(z) = O(zm+n+1). (1.36)

O smbolo O indica que o lado direito uma srie de potncias da forma

j=m+n+1 cjzj+k,

0 k +; onde k = + significa que C(z)v(z) u(z) = 0.A equao (1.36) equivalente ao sistema linear de m+n+1 equaes nas m+n+2

incgnitas u0, . . . , um, v0, . . . , vn :

Smn =n

j=0

cijvj =

ui, i = 0, 1, . . . , m , (S

umn)

0, i = m + 1, . . . , m + n, (Svmn)

ou seja,

Smn =

c0v0 = u0

c1v0 + c0v1 = u1...

......

cmv0 + cm1v1 + cm2v2 + + cmnvn = um

Sumn

cm+1v0 + cmv1 + cm1v2 + + cm+1nvn = 0cm+2v0 + cm+1v1 + cmv2 + + cm+2nvn = 0...

......

......

...

cm+nv0 + cm+n1v1 + cm+n2v2 + + cmvn = 0

Svmn

.

Observe que se m < n, cmk = 0, k = m + 1, m + 2, . . . , n .

Teorema 1.8. [Frobenius]. Sempre existem formas de Pad do tipo (m, n) para C(z).

Cada forma uma representao da mesma funo racional Rmn(z). A representao

reduzida

Rmn(z) =Pmn(z)

Qmn(z)

possvel com Pmn(z) e Qmn(z) relativamente primos e Pmn(0) = c0, Qmn(0) = 1.

Demonstrao: Sempre existem solues no triviais (u0, . . . , um, v0, . . . , vn)T de Smn.

De fato, basta tomar uma soluo v = 0, pois, caso contrrio, Su

mn implicaria em u = 0.Da mesma forma, se v(z) = O(z), temos v = 0 e, ento, u(z) = O(z), u = c0v.Portanto, a representao reduzida de

u

vpode ser normalizada como desejado.


32/82


Seu

ve

u

vso duas formas de Pad do tipo (m, n) para C(z), ento

Cv u = O(zm+n+1), Cv u = O(zm+n+1) e

uv uv = (Cv u)v (Cv u)v = O(zm+n+1).

O lado esquerdo um polinmio de grau no mximo m + n e o lado direito uma

srie de potncias comeando com a potncia zm+n+k+1, k 0. Portanto, ambos os ladosse anulam e as funes racionais determinadas por

u

ve

u

vso idnticas. Isso completa a

demonstrao.

Definio 1.9. A funo racional unicamente determinada Rmn

(z) =Pmn(z)

Qmn(z) chamada

frao de Pad do tipo (m, n) para C(z).

Definio 1.10. A tabela de Pad (estendida) para C(z) definida por:

R00 R01 R02 R03 R10 R11 R12 R13 R20 R21 R22 R23 R30 R31 R32 R33

... ... ... ... . . .

(1.37)

A primeira coluna desta tabela contm as somas parciais Cm(z) =m

k=0 ckzk de

C(z). Tambm associadas com C(z) esto as matrizes

Cmn =

cm cm1 cmn+2 cmn+1cm+1 cm cmn+3 cmn+2

......

. . ....

...

cm+n2 cm+n3 cm cm1cm+n1 cm+n2 cm+1 cm

, n

1.

Definio 1.11. Sejacmn = det Cmn, cm0 = 1. A c-tabela (estendida) paraC(z) definida

por:

c00 c01 c02 c03 c10 c11 c12 c13 c20 c21 c22 c23

c30 c31 c32 c33

......

......

. . .


33/82


Evidentemente cm0 = 1, cm1 = cm, c0n = cn0 .

Fraes de Pad iguais ocorrem em blocos quadrados na tabela de Pad. A c-tabela

tem uma estrutura de blocos correspondente, com grupos de determinantes cij ocorrendo

em blocos quadrados maximais da forma:

O prximo resultado uma extenso de um teorema de Pad. Ele caracteriza as formas

de Pad do tipo (i, j) para C(z) e d uma frmula para os postos dos sistemas lineares

Sij e Svij.

Teorema 1.9. SejaP(z)

Q(z)

uma frao de Pad para a srie de potncias C(z)

P,

c0 = 0. Sejam m e n os graus de P e Q, respectivamente, e suponha que a srie de potn-cias C(z)Q(z) P(z) comece exatamente com a potncia zm+n+k+1. Ento, as seguintesafirmaes so verdadeiras:

(a) k 0;

(b) R(z) =P(z)

Q(z)se, e somente se,

m m + k e n n + k. (1.38)Se (, ) satisfaz (1.38), ento:

(c)u(z)

v(z) uma forma de Pad do tipo (, ) para C(z) se, e somente se,

u(z) = zd(z)P(z), v(z) = zd(z)Q(z),

com = max{0, ( m) + ( n) k} e d(z) = 0 de grau no mximo

=

k

2

max m k2 , n k2 , k < ,min { m, n} , k = .


34/82


(d) + posto (S) = posto (Sv) = .

(e)

cn = 0, m m + k,cm = 0, n n + k,c = 0, m < m + k e n < n + k.

Demonstrao: Sejamu(z)

v(z)uma forma de Pad do tipo (, ) e R(z) =

P(z)

Q(z). Ento,

grau(u) , grau(v) , C(z)v(z) u(z) = O(z++1). (1.39)

Desde que c0 = 0 e (u0, . . . , um, v0, . . . , vn)T

= 0, segue, da forma de S, que v = 0 eu = 0. Colocando em evidncia o mximo divisor comum entre u e v, obtemos

u(z) = z(d0 + d1z + + dz)P(z)

v(z) = z(d0 + d1z + + dz)Q(z)(1.40)

com d0d = 0. Ento, de (1.39),

C(z)[z(d0 + d1z +

+ dz)Q(z)]

z(d0 + d1z +

+ dz

)P(z) = O(z++1).

Logo,

z(d0 + d1z + + dz)[C(z)Q(z) P(z)] = O(z++1)

e, assim,

z [C(z)Q(z) P(z)] = O(z++1). (1.41)

Como e so graus de polinmios, ento

0 e 0. (1.42)

De (1.39) e (1.40), segue que

+ + m e + + n . (1.43)

Por hiptese, a srie C(z)Q(z) P(z) comea exatamente na potncia zm+n+k+1. Logo,de (1.41),

+ m + n + k + . (1.44)


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As desigualdades (1.42), (1.43) e (1.44) so equivalentes a

0,

max{0, ( m) + ( n) k}, + min{ m, n}.

(1.45)

Reciprocamente, sejam os inteiros e tais que existem inteiros e satisfazendo (1.45).

Para d(z) = d0 + d1z + + dz = 0 arbitrrio, definimos u e v por (1.40). Ento, (1.39)vale em razo das desigualdades (1.45),

u

v uma forma de Pad do tipo (, ) e R =

P

Q.

Desde queP

Q uma frao de Pad para C(z), existem inteiros ,, e satisfa-

zendo (1.45). Ento,

k ( m) +

+ ( n) +

2 + 2 = 2 + 0,

o que demonstra (a).

Alm disso, R =P

Qse, e somente se, existe uma soluo (, ) de (1.45). Isto

possvel se, e somente se,

max{0, ( m) + ( n) k} min{ m, n} min{ m, n}.

Isto , se, e somente se,

0 mu m e ( m) + ( n) k n m m + k,0 n e ( m) + ( n) k m n n + k,

(1.46)

ou seja, (1.38) vale, provando, assim, (b).

Figura 1.1: Regio factvel para encontrar e .


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A forma de Pad mais geral do tipo (, ) obtida quando minimizado e

maximizado, sujeitos s desigualdades (1.45). Clculos simples de otimizao mostram

que os valores timos so = e = (veja a Figura 1.1). Isto prova (c). Isso

significa que o grau do polinmio d(z) na forma de Pad mais geral do tipo (, ) .

A afirmao (d) segue uma vez que as solues gerais de S e Sv contm + 1

parmetros.

Agora, c = 0 se, e somente se, Sv tem uma soluo no trivial com v0 = 0. Mas,

segue de (1.45) que

+ = min{ m, n},

e o inteiro maximal para o qual v(z) = O(z) em alguma forma de Pad do tipo(, ). Logo, c = 0 se, e somente se, > 0 e, portanto, min{ m, n} > 0. Ouseja,

m > 0 > m e n > 0 > n.

Isto, junto com (1.46), prova (e), completando a demonstrao do teorema.

Os blocos quadrados descritos no teorema anterior, R-bloco e c-bloco, so chamados

de blocos de ordem k.

Definio 1.12. A frao de Pad Rmn normal se o R-bloco que a contm de ordem

k = 0, isto , Rmn ocorre apenas uma vez na tabela de Pad.

Definio 1.13. A srie de potncias C(z) normal se todas as suas fraes de Pad

so normais. Isto , no h duas fraes de Pad iguais.

Corolrio 1.1. Uma frao de Pad Rmn normal se, e somente se, os determinantes

cmn, cm,n+1, cm+1,n ecm+1,n+1

no se anulam. A srie de potncias C(z) normal se, e somente se,

cmn = 0, m 0, n 0.

Em particular, os coeficientes cm1 = cm, m 0, no devem se anular.

1.5.1 Conexo com fraes contnuas

O resultado abaixo nos mostra como as sries de potncias, ou os aproximantes de

Pad, esto relacionadas a fraes contnuas, conhecidas como C-fraes.


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Definio 1.14. Uma C-frao uma frao contnua da forma

c0 +a1z

i1

1 +a2z

i2

1 +a3z

i3

1 + . . .

comc0 C, an C e in N, n 1.

A frao contnua

c0

1 +a1z

i1

1 +a2z

i2

1 +a3z

i3

1 + . . .

tambm chamada C-frao.

Teorema 1.10. Seja

1 + c1z + c2z2 + c3z

3 + (1.47)

uma srie de potncias formal tal que seus aproximantes de Pad

R00(z), R10(z), R11(z), R21(z), R22(z), R32(z), . . .

so normais. Ento, srie de potncias (1.47), corresponde uma C-frao regular

1 + a1z1 + a2z1 + a

3z1 + . . . + anz1 + . . . , (1.48)

cujos aproximantes Cn satisfazem

C2m = Rmm, C2m+1 = Rm+1,m, m = 0, 1, 2, . . . . (1.49)

Para a demonstrao referimo-nos a Jones e Thron [12], pg. 191. Vale, tambm,

a recproca desse resultado.

Podemos observar que aproximantes consecutivos Cn e Cn+1 da C-frao formamdegraus na tabela de Pad (1.37) da srie (1.47).

1.5.2 Tabela de Pad de dois pontos

A tabela de Pad usual interpola apenas uma srie de potncias formal em um

ponto, normalmente z = 0, e est relacionada a fraes contnuas do tipo C-frao regular.

Vimos que, neste caso, os aproximantes formam degraus na tabela de Pad.

As T-fraes

z

1 + d1z +z

1 + d2z +z

1 + d3z + . . . +z

1 + dnz + . . ., (1.50)


38/82


introduzidas em 1948 por Thron [22] e minuciosamente estudadas por ele, tm uma es-

trutura simples e tambm correspondem a sries de potncias. Entretanto, nenhum dos

aproximantes esto na tabela de Pad (exceto o caso dn = 0 para todo n). Muito mais

tarde descobriu-se que, alm da correspondncia com a srie de potncias

c0 + c1z + c3z2 + ckzk1 + , (correspondncia em 0), (1.51)

a T-frao geral

c0 +F1z

1 + G1z +F2z

1 + G2z +F3z

1 + G3z + . . . +Fnz

1 + Gnz + . . ., Fn = 0, (1.52)

corresponde, tambm, srie de potncias

c0z

+c1z2

+c2z3

+ + ck

zk+1+ (correspondncia no ), (1.53)

se Gn = 0 para todo n. Sob determinadas condies sobre os coeficientes, tambm valea recproca, isto , para cada par de sries de potncias (1.51) e (1.53) corresponde uma

T-frao geral (1.52). A interpolao fornecida pela T-frao geral dividida entre inter-

polao em 0 e .A tabela de Pad de dois pontos (em 0 e ) construda a partir de um par de

sries (1.51) e (1.53) de maneira semelhante ao caso de apenas um ponto. Nesta tabela,

encontram-se os aproximantes da T-frao geral (1.52). Esta surpreendente propriedade

das T-fraes gerais (a de corresponderem a duas sries de potncias simultaneamente,

uma em z = 0 e uma em z = ) foi primeiramente observada por McCabe e Murphy[17]. Eles chamaram sua frao contnua de M-frao, dada por

n11 + d1z +

n2z

1 + d2z +

n3z

1 + d3z + . . . +

nmz

1 + dmz + . . . . (1.54)

Mas, M-fraes so, essencialmente, T-fraes.

Denotemos por F(z) e F(z) as duas sries (1.51) e (1.53), respectivamente. Ento,

o aproximante de Pad de dois pontospm,n(z)

qm,n(z)de (F, F) obtido de modo a ajustar,

simultaneamente, um determinado nmero de termos (os primeiros) de cada srie. Isto

pode ser feito de diversas maneiras. Podemos exigir, por exemplo, que

pm,n(z)F(z) qm,n(z) = O z(m+n+1)/2 e pm,n(z)F(z) qm,n(z) = O 1z(m+n+3)/2se m + n + 1 par.


39/82


Logo, podemos escrever

qm,n(z)

pm,n(z)=

c0 + c1z + c2z2 + + c(m+n1)/2 z(m+n1)/2 + O

z(m+n+1)/2

,

c0z

+ c1

z2+ + c(m+n+1)/2

z(m+n+1)/2+ O

z(m+n+3)/2

.

Analogamente para o caso m + n + 1 mpar.

No prximo captulo, veremos mais detalhes sobre a tabela de Pad de dois pontos.

Veja, por exemplo, [15] para uma definio mais precisa e propriedades sobre essa tabela.


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30

Captulo 2

Fraes contnuas que correspondem a

expanses em sries de potncias em

dois pontos

Neste captulo, baseado nos artigos [1], [2], [9], [16] e [17], apresentamos os mtodos,

construdos a partir dos determinantes de Hankel e do algoritmo Q-D, para a obteno

da frao contnua correspondente s sries de potncias, em z = 0 e z = , de umafuno f(z) dada. Apresentamos, ainda, o caso em que h coeficientes nulos em uma ou

em ambas as sries de potncias e, tambm, quando os coeficientes das sries apresentam

simetria.

Uma funo f : U C C chamada analtica em U se, para todo ponto z0 Uexiste uma vizinhana Vz0 U tal que f(z) pode ser expressa como uma srie de potnciasde centro z0 para todo z

Vz0.

Seja f(z) uma funo analtica que possui expanses em sries de potncias em

z = 0 e em z = . Resultados anlogos podem ser obtidos para dois pontos finitosaplicando-se uma transformao bilinear varivel z.

Assim, consideremos o caso em que, para |z| pequeno, temos

f(z) = a0 + a1z + a2z2 + a3z

3 + (2.1)

e, para|z|

grande,

f(z) = a1z

a2z2

a3z3

a4z4

. (2.2)

Suponhamos que a0, a1 = 0 e explicaremos a razo desta restrio mais adiante.


41/82

31

Os coeficientes ai, i Z, podem ser complexos, mas para muitas aplicaes os tomamosreais. A razo para a notao em (2.2) ficar clara posteriormente.

Suponhamos, ainda, que f(z) seja injetora e que no tenha singularidades no eixo

real positivo, salvo, possivelmente, em z = 0 e z = . Os sinais de igual em (2.1) eem (2.2) no so estritamente necessrios, as expanses podem ser consideradas como em

carter assinttico, valendo para alguns intervalos de valores de argz que contm argz = 0.

Aproximemos f(z) por funes racionais da forma

m,0 + m,1z + + m,m1zm11 + m,1z + + m,mzm := fi,j(z), m = 0, 1, 2, . . . , (2.3)

em que os coeficientes m,i e m,i+1, i = 0, 1, . . . , m

1, so independentes de z. Esses 2m

coeficientes podem ser escolhidos de tal forma que, quando a funo racional em (2.3)

expandida para |z| pequeno e para |z| grande, haja coincidncia com i termos de (2.1) ej termos de (2.2), totalizando i + j = 2m termos ao todo. Portanto, esta a razo de

denotarmos a aproximao por fi,j(z).

Assim,

f(z) fi,j(z) = O

zi, z(j+1)

, (2.4)

em que o smbolo no lado direito significa que o lado esquerdo da ordem de zi para |z|pequeno e da ordem de z(j+1) para |z| grande.

Seja a frao contnua

p1q1 +

p2q2 +

p3q3 + . . . +

pmqm + . . .

com m-simo convergentePmQm

, em que Pm e Qm satisfazem as relaes de recorrncia

Pm+1 = qm+1Pm + pm+1Pm1 e Qm+1 = qm+1Qm + pm+1Qm1, (2.5)

para m = 0, 1, 2, . . . , com valores iniciais P0 = 0, P1 = p1, Q0 = 1 e Q1 = q1.

Definindo r,s por

r,s := PrQs PsQr,

de (2.5) encontramos que

pm+1 = m,m+1m1,m

e qm+1 =m1,m+1

m1,m, (2.6)

para m = 1, 2, 3, . . . . Tomando Pm(z) e Qm(z) das formas

Pm(z) = m,0 + m,1z + + m,m1zm1 e Qm(z) = 1 + m,1z + + m,mzm,


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2.1. Construo de fraes contnuas pelos determinantes de Hankel 32

temos

fi,j(z) Pm(z)Qm(z)

, i + j = 2m, m = 1, 2, 3, . . . .

Assim, a partir dos polinmios Pm(z) e Qm(z) podemos determinar os elementosda frao contnua. Como j mencionamos, Murphy, em (1966), mostrou que a frao

contnua desejada da forma

n11 + d1z +

n2z

1 + d2z +n3z

1 + d3z + . . . +nmz

1 + dmz + . . .(2.7)

em que nm e dm so constantes independentes de z. De fato, mostraremos que as fraes

contnuas so dessa forma. Vamos supor que nm, m 1, sejam no nulos, mas que dm,

m 1, podem ser iguais a zero.

2.1 Construo de fraes contnuas pelos determinan-

tes de Hankel

2.1.1 Caso i = j = m

Consideremos a sequncia de funes racionais

f1,1, f2,2, f3,3, . . . , f m,m, . . . ,

que aproximam f(z).

Temos, de (2.4), que

fm,m(z) f(z) = O

zm, z(m+1)

(2.8)

e, tambm, que

m,m+1(z)

Qm(z)Qm+1(z)= fm,m(z) fm+1,m+1(z) =

Pm(z)

Qm(z) f(z)

Pm+1(z)

Qm+1(z) f(z)

.

Os termos entre parnteses so, respectivamente, de ordens O(zm, z(m+1)) e

O(zm+1, z(m+2)). Logo,

Pm(z) Qm(z)f(z) = O(zm, z1) e Pm+1(z) Qm+1(z)f(z) = O(zm+1, z1)

e, ento,

m,m+1(z) = Qm+1(z) [Pm(z) Qm(z)f(z)] Qm(z) [Pm+1(z) Qm+1(z)f(z)]= O(zm, zm),


43/82


uma vez que a primeira parcela de ordem O(zm, zm) e a segunda, de ordem O(zm+1, zm1).

Portanto, como m,m+1(z) um polinmio de grau no mximo 2m, ele ter um

nico termo em zm. Esse termo facilmente determinado considerando-se o termo em zm

de Qm+1(z) {Pm(z) Qm(z)f(z)} , isto , de

Qm(z)f(z) = (1 + m,1z + . . . + m,mzm)

a0 + a1z + a2z2 + . . .

.

Portanto,

m,m+1(z) = mzm, (2.9)

com

m = (am + am1m,1 + + a0m,m) . (2.10)Usando as expanses (2.1) e (2.2) para f(z) junto com (2.8), obtemos as 2m equa-

es lineares

m,0 = a0

m,1 = a1 + a0m,1

m,2 = a2 + a1m,1 + a0m,2...

.

.....

.

.... .

m,m1 = am1 + am2m,1 + + a0m,m1

(2.11)

e

m,m1 = a1m,mm,m2 = a2m,m + a1m,m1m,m3 = a3m,m + a2m,m1 + a1m,m2

......

......

. . .

m,0 = amm,m + am+1m,m1 + + a1m,1

. (2.12)

Substituindo os valores dos m,i, i = 0, 1, . . . , m 1, dados em (2.11), em (2.12),chegamos ao sistema linear de m equaes com m + 1 incgnitas

a0 + a1m,1 + a2m,2 + + amm,m = 0a1 + a0m,1 + a1m,2 + + am+1m,m = 0a2 + a1m,1 + a0m,2 +

+ am+2m,m = 0

... ... ... ... ... ...

am1 + am2m,1 + am3m,2 + + a1m,m = 0

. (2.13)


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Sejam os determinantes Dr,s definidos por:

Dr,s :=

ar ar+1 ar+s

ar1 ar ar+s1...

.... . .

...

ars ars+1 ar

para r = 0, 1, 2, . . . , s = 0, 1, 2, . . . e Dr,s 1 para s < 0. Note que estes determinantesso bastante similares aos determinantes de Hankel definidos no Captulo 1. Na verdade,

a relao entre os determinantes a seguinte:

Dr,s = (1)s12

H(rs)

s+1 . (2.14)

Portanto, a diferena, se houver, apenas no sinal.

Acrescentando a equao (2.10) ao sistema (2.13), obtemos

a0 a1 a2 ama1 a0 a1 am+1...

......

. . ....

am1 am2 am3 a1am am1 am2 a0

1

m,1...

m,m1m,m

=

0

0...

0m

.

Resolvendo o sistema linear acima pela regra de Cramer, pelo Teorema de Laplace

encontramos m = (1)m+1 D0,mD1,m1

e, assim, de (2.9),

m,m+1(z) = (1)m+1 D0,mD1,m1

zm.

Temos, ainda, que m,m+2(z) um polinmio de grau no mximo 2m + 1 e que

m,m+2(z)

Qm(z)Qm+2(z)= fm,m(z) fm+2,m+2(z) =

Pm(z)

Qm(z) f(z)

Pm+2(z)

Qm+2(z) f(z)

.

Como, na equao anterior, o primeiro termo entre parnteses de ordem

O(zm, z(m+1)) e o segundo de ordem O(zm+2, z(m+3)), ento,

Pm(z) Qm(z)f(z) = O(zm, z1) e Pm+2(z) Qm+2(z)f(z) = O(zm+2, z1).

Assim,

m,m+2(z) = Qm+2(z) [Pm(z) Qm(z)f(z)] Qm(z) [Pm+2(z) Qm+2(z)f(z)]= O(zm, zm+1),


45/82


uma vez que a primeira parcela O(zm, zm+1) e a segunda de O(zm+2, zm1).

Portanto, m,m+2 consiste de apenas dois termos e da forma mzm + m+1zm+1,

onde os k, k = m, m+1, so constantes. Claramente mzm exatamente m,m+1 e o outro

termo calculado considerando-se o termo em zm+1 de Qm+2(z) {Pm(z) Qm(z)f(z)}para |z| grande, ou seja, o termo em zm+1 de

(1 + m+2,1z + . . . + m+2,m+2zm+2)

(m,0 + a1m,1 + . . . + amm,m)

+

m,1 + a1m,2 + . . . + a(m1)m,m

z + . . . + (m,m1 + a1m,m) zm1

+

a1 + a2m,1 + . . . + a(m+1)m,m

z1 + O (z2)

.

(2.15)

Lembrando que Pm(z) Qm(z)f(z) = O(z1) para |z| grande, ento o termo entrecolchetes na expresso (2.15) nulo.

Portanto, o termo em zm+1 de m,m+2(z) da forma

m+2,m+2Cmzm+1,

onde

Cm = a1 + a2m,1 + + a(m+1)m,m.

Agora, usando a equao acima e (2.13), obtemos o sistema linear

a1 a2 a3 am1a0 a1 a2 am...

......

. . ....

am2 am3 am4 a2am1 am2 am3 a1

1

m,1...

m,m1

m,m

=

Cm

0...

0

0

. (2.16)

Novamente, usando Cramer e Laplace, obtemos

Cm =D1,m

D1,m1, m = 0, 1, 2, . . . .

Resolvendo, agora, (2.16) para m,m e substituindo o valor de Cm, encontramos

m,m = (1)m D0,m1D1,m1

m = 1, 2, 3, . . . .

Assim, temos

m,m+2(z) = m,m+1(z) + (1)m D1,mD0,m+1D1,m1D1,m+1

zm+1.


46/82


Portanto, de (2.6), obtemos

pm+1 =D0,mD1,m2

D1,m1D0,m1z e qm+1 = 1 D0,mD1,m1

D1,mD0,m1z,

para m = 1, 2, 3, . . . .

Para m = 0 encontramos que a frmula ainda vale, desde que p1 independente

de z. Assim, a frao contnua (2.7), que tem convergentes f1,1(z), f2,2(z), f3,3(z), . . . , tem

coeficientes

nm =D0,m1D1,m3D1,m2D0,m2

e dm = D0,m1D1,m2D1,m1D0,m2

, m = 1, 2, 3, . . . . (2.17)

2.1.2 Caso i= j

No caso em que i = j, podemos construir a frao contnua usando praticamente omesmo mtodo anterior, ainda que pequenas diferenas ocorram. Como, nas aproximaes

pelas funes racionais, apenas um nmero par de parmetros est disponvel, vamos

considerar as aproximaes da forma fm+2r,m(z), r = 0, 1, 2, . . . . Para obter uma frao

contnua cujos elementos podem ser expressos de maneira simples, para r = 1, 2, 3, . . . ,

tomamos, primeiramente, a sequncia

f1,1(z), f2,2(z), . . . , f m,m(z), fm+1,m1(z), fm+2,m(z), . . . , f m+2r1,m1(z), fm+2r,m(z), . . . .

(2.18)

Essa sequncia de funes racionais so os sucessivos convergentes da frao con-

tnua

n11 + d1z +

n2z

1 + d2 +n3z

1 + d3z + . . . +nmz

1 + dmz +nm+1z

1 +nm+2z

1 + . . .. (2.19)

De fato, nr e dr, r = 1, 2, . . . , m , so dados por (2.17) e para calcular os demais coeficientes

nr, dr, r m + 1, notemos quefm+2r2,m(z) =

Pm+2r2(z)

Qm+2r2(z) i + j = 2m + 2r 2 = 2(m + r 1),

ou seja, Pm+2r2 tem grau m + r 2 e Qm+2r2 tem grau m + r 1. Da mesma forma,

fm+2r1,m1(z) =Pm+2r1(z)

Qm+2r1(z) i + j = 2m + 2r 2 = 2(m + r 1),

ou seja, Pm+2r1 tem grau m + r 2 e Qm+2r1 tem grau m + r 1. Lembremos que

fm+2r,m(z)

f(z) = O(zm+2r, z(m+1)),

fm+2r1,m1(z) f(z) = O(zm+2r1, zm),fm+2r2,m(z) f(z) = O(zm+2r2, z(m+1)). (2.20)


47/82


Assim,

m+2r2,m+2r1(z)

Qm+2r2(z)Qm+2r1(z)= fm+2r2,m(z) fm+2r1,m1(z)

=Pm+2r2(z)

Qm+2r2(z) f(z)

Pm+2r1(z)

Qm+2r1(z) f(z)

= O(zm+2r2, zm).

Logo,

m+2r2,m+2r1(z) = Qm+2r1(z) [Pm+2r2(z) Qm+2r2(z)f(z)]

O(zm+2r2,zr2)

Q

m+2r2(z) [P

m+2r1(z)

Q

m+2r1(z)f(z)]

O(zm+2r1,zr1)

= O(zm+2r2, zm+2r2).

Portanto, m+2r2,m+2r1 consiste de um nico termo em zm+2r2, que facilmente deter-

minado considerando-se o termo em zm+2r2 de Qm+2r1(z) {Pm+2r2(z) Qm+2r2(z)f(z)} ,isto , de Qm+2r2(z)f(z). Logo,

m+2r2,m+2r1(z) = m+2r2zm+2r2,

com

m+2r2 = (am+2r2 + am+2r3m+2r2,1 + + ar1m+2r2,m+r1) . (2.21)

De (2.20), obtemos o seguinte sistema:

ar1 + ar2m+2r2,1 + + amm+2r2,m+r1 = 0ar + ar1m+2r2,1 + + am+1m+2r2,m+r1 = 0

ar+1 + arm+2r2,1 + + am+2m+2r2,m+r1 = 0...

......

......

am+2r3 + am+2r4m+2r2,1 + + ar2m+2r2,m+r1 = 0

. (2.22)

Acrescentando a equao (2.21) ao sistema linear (2.22), obtemos

ar1 ar2 ar3 amar ar1 ar2 am+1.

..

.

..

.

.... .

.

..am+2r3 am+2r4 am+2r5 ar2am+2r2 am+2r3 am+2r4 ar1

1

m+2r2,1.

..m+2r2,m+r2

m+2r2,m+r1

=

0

0.

..0

m+2r2

.


48/82


Novamente, resolvendo pela regra de Cramer e usando o Teorema de Laplace,

encontramos

m+2r2,m+2r1(z) = (

1)m+r+1Dr1,m+r1

Dr2,m+r2zm+2r2.

Fazendo os mesmos clculos para m+2r3,m+2r2(z), obtemos

m+2r3,m+2r2(z) = (1)m+r Dr1,m+r2Dr2,m+r3

zm+2r3.

Temos, ainda, que

m+2r2,m+2r(z)

Qm+2r2(z)Qm+2r(z)= fm+2r2,m(z) fm+2r,m(z)

= Pm+2r2(z)Qm+2r2(z)

f(z) O(zm+2r2,z(m+1))

Pm+2r(z)Qm+2r(z)

f(z) O(zm+2r,z(m+1))

.

Logo,

m+2r2,m+2r(z) = Qm+2r(z) [Pm+2r2(z) Qm+2r2(z)f(z)]Qm+2r2(z) [Pm+2r(z) Qm+2r(z)f(z)]

= O(zm+2r2, zm+2r2).

Portanto, m+2r2,m+2r consiste de apenas um termo em zm+2r2, que calculado

considerando-se o termo em zm+2r2 de Qm+2r(z) {Pm+2r2(z) Qm+2r2(z)f(z)} ou deQm+2r2(z)f(z). Encontramos, ento,

m+2r2,m+2r(z) m+2r2zm+2r2 = 0,

onde

m+2r2 = am+2r2 + am+2r3m+2r2,1 + + ar1m+2r2,m+r1. (2.23)

De (2.20), obtemos o sistema linear:

ar1 + ar2m+2r2,1 + + amm+2r2,m+r = 0ar + ar1m+2r2,1 + + am+1m+2r2,m+r = 0

ar+1 + arm+2r2,1 + + am+2m+2r2,m+r = 0...

.

.....

.

.....

am+2r3 + am+2r4m+2r2,1 + + ar2m+2r2,m+r = 0

. (2.24)


49/82


Acrescentando (2.23) a (2.24), obtemos

ar1 ar2 ar3 amar ar1 ar2 am+1...

......

. . ....

am+2r3 am+2r4 am+2r5 ar2am+2r2 am+2r3 am+2r4 ar1

1

m+2r2,1...

m+2r2,m+r2

m+2r2,m+r1

=

0

0...

0

m+2r2

.

Por Cramer e Laplace, encontramos

m+2r2,m+2r(z) = (1)m+r+1Dr1,m+r1Dr2,m+r2

zm+2r2.

Fazendo os mesmos clculos para m+2r3,m+2r1(z), obtemos

m+2r3,m+2r1(z) = (1)m+r Dr1,m+r2Dr2,m+r3

zm+2r3.

Portanto, de (2.6),

pm+2r1 = m+2r2,m+2r1m+2r3,m+2r2

=Dr1,m+r1Dr2,m+r3Dr2,m+r2Dr1,m+r2

z,

qm+2r1 =m+2r3,m+2r1m+2r3,m+2r2 = 1,

r = 1, 2, 3, . . .

e

pm+2r = m+2r1,m+2rm+2r2,m+2r1

= Dr,m+r1Dr2,m+r2Dr1,m+r2Dr1,m+r1

z,

qm+2r =m+2r2,m+2r

m+2r2,m+2r1= 1,

r = 1, 2, 3, . . . .

Ou seja,

nm+2r1 =Dr1,m+r1Dr2,m+r3Dr2,m+r2Dr1,m+r2

, dm+2r1 = 0,

nm+2r = Dr,m+r1Dr2,m+r2Dr1,m+r2Dr1,m+r1

, dm+2r = 0,

r = 1, 2, 3 . . . . (2.25)

Um caso particular de (2.19) obtido quando m = 0. Exceto para um mltiplo

de z, encontramos a frao contnua que corresponde a (2.1) apenas. As equaes (2.25)

tornam-se as expresses convencionais para os coeficientes dessa frao contnua.

Considerando a aproximao fm+2r,m, podemos, tambm, tomar a sequncia

f1,0(z), f2,0(z), f3,0(z) . . . , f 2r,0(z), f2r+1,1(z), . . . , f 2r+m,m(z), . . . .


50/82


Vamos mostrar que essa sequncia nos leva frao contnua

n11 +

n2z

1 +n3z

1 + . . . +n2rz

1 +n2r+1z

1 + d2r+1z + . . . +n2r+mz

1 + d2r+mz + . . .. (2.26)

Assim como para (2.18), usando o mesmo raciocnio encontramos que

n2r+m =Dr,r+m1Dr1,r+m3Dr1,r+m2Dr,r+m2

e d2r+m = Dr,r+m1Dr1,r+m2Dr1,r+m1Dr,r+m2

,

para m = 1, 2, 3, . . . .

Agora, vamos calcular os coeficientes nm e dm, m = 1, 2, . . . , 2r. Observando o com-

portamento dos graus dos polinmios P2s, P2s1, Q2s e Q2s1, s = 1, 2, . . . , r , encontramos

que P2s, P2s1 e Q2s1 tm graus s 1 e que Q2s tem grau s.Note que no utilizaremos a srie para |z| grande, pois temos j = 0. Alm disso,

f2s,0(z) f(z) = O(z2s),f2s1,0(z) f(z) = O(z2s1), (2.27)f2s3,0(z) f(z) = O(z2s3). (2.28)

Como 2s1,2s(z) tem grau 2s 1, ento2s1,2s(z)

Q2s1(z)Q2s(z)= f2s1,0(z)

f2s,0(z) = P2s1(z)Q2s1(z) f(z)

O(z2s1)

P2s(z)

Q2s(z) f(z)

O(z2s)

.

Logo,

2s1,2s(z) = Q2s(z) [P2s1(z) Q2s1(z)f(z)] Q2s1(z) [P2s(z) Q2s(z)f(z)]= O(z2s1).

Portanto, 2s1,2s consiste de apenas um termo em z2s1, que calculado considerando-

se o termo em z2s1

de Q2s(z) {P2s1(z) Q2s1(z)f(z)} , isto , de Q2s1(z)f(z). En-contramos, ento, 2s1,2s(z) = 2s1z2s1, com

2s1 = a2s1 + a2s22s1,1 + + as+12s1,s2. (2.29)

De (2.27) e (2.29), obtemos

as as1 as2 a1as+1 as as1 a2

.

..

.

..

.

.... .

.

..a2s2 a2s3 a2s4 as1a2s1 a2s2 a2s3 as

1

2s1,1.

..2s1,s2

2s1,s1

=

0

0.

..0

2s1

.


51/82


Resolvendo o sistema usando Cramer e Laplace, encontramos

2s1,2s(z) = (1)s+1 Ds,s1Ds1,s2

z2s1.

Fazendo os mesmos clculos para 2s2,2s1(z), obtemos

2s2,2s1(z) = (1)s+1Ds1,s1Ds2,s2

z2s2.

Temos, ainda, que 2s3,2s1(z) tem grau 2s 3. Assim,2s3,2s1(z)

Q2s3(z)Q2s1(z)= f2s3,0(z) f2s1,0(z)

= P2s3(z)Q2s3(z) f(z) O(z2s3)

P2s1(z)

Q2s1(z) f(z)

O(z2s1)

.

Logo,

2s3,2s1(z) = Q2s1(z) [P2s3(z) Q2s3(z)f(z)] Q2s3(z) [P2s1(z) Q2s1(z)f(z)]= O(z2s3).

Portanto, 2s3,2s1 consiste de apenas um termo em z2s3, que facilmente cal-

culado considerando-se o termo em z2s3 de Q2s3(z)f(z). Encontramos, ento,

2s3,2s1(z) + {a2s3 + a2s42s3,1 + + as12s3,s2} z2s3 = 0.

Seja

2s3 = a2s3 + a2s42s3,1 + + as12s3,s2. (2.30)

De (2.28) e (2.30), obtemos

as1 as2 as3

a1

as as1 as2 a2...

......

. . ....

a2s4 a2s5 a2s6 as2a2s3 a2s4 a2s5 as1

1

2s3,1...

2s3,s3

2s3,s2

=

0

0...

0

2s3

.

Logo,

2s3,2s1(z) = (1)s Ds1,s2Ds2,s3

z2s3.

Fazendo os mesmos clculos para 2s2,2s(z), encontramos

2s2,2s(z) = (1)s+1Ds1,s1Ds2,s2

z2s2.


52/82


Portanto, de (2.6),

p2s1 = 2s2,2s12s3,2s2

=Ds1,s1Ds2,s3Ds2,s2Ds1,s2

z,

q2s1 =2s3,2s12s3,2s2

= 1

e

p2s = 2s1,2s2s2,2s1

= Ds,s1Ds2,s2Ds1,s2Ds1,s1

z,

q2s =2s2,2s

2s2,2s1= 1,

para s = 1, 2, . . . , r . Ou seja,

n2s1 =Ds1,s1Ds2,s3Ds2,s2Ds1,s2

, d2s1 = 0,

n2s = Ds,s1Ds2,s2Ds1,s2Ds1,s1

, d2s = 0,

s = 1, 2, . . . , r .

Assumindo que a expanso (2.1) conhecida, a frao contnua (2.19) til quando

apenas um nmero finito de termos de (2.2) est disponvel ou facilmente determinado,

ou se h uma boa razo para se usar apenas um nmero finito de termos, como no caso

em que a srie assinttica.

O resultado (2.26) pode ser til quando a0 ou a1 zero. At aqui assumimos que

ambos so no nulos. Assim, n1 = a0 e d1 = a0/a1 so no nulos. Se essa condiono satisfeita, pequenas modificaes podem ser feitas. Por exemplo, se a0 = 0, mas

a1, a2 = 0, podemos considerar a funo g(z) = {f(z) a1z}/z2. As expanses para g(z)para |z| pequeno e para |z| grande possuem termos lderes a2 e a1/z, respectivamente.Podemos, ento, proceder da mesma forma que para g(z). Por outro lado, podemos formar

uma frao contnua da forma (2.26) para a funo f(z)/z no caso em que a0 = 0, mas

a1, a2 = 0. Assim, temosn11 +

n2z

1 +n3z

1 + d3z +n4z

1 + d4z + . . .

onde os dois primeiros termos da srie

f(z)

z= a1 + a2z + a3z

2 + a4z3 +

so ajustados antes de qualquer termo de

f(z)

z=

a1z2

+a2z3

+a3z4

+

.


53/82

2.2. Construo de fraes contnuas pelo algoritmo Q-D 43

2.2 Construo de fraes contnuas pelo algoritmo Q-

D

Uma das muitas aplicaes em Anlise Numrica do algoritmo Q-D de Rutishauser

[19], transformar uma nica expanso em srie de potncias na frao contnua corres-

pondente. Mesmo no caso em que as fraes contnuas correspondem a sries de potncias

em dois pontos, podemos construir um algoritmo, que essencialmente o Algoritmo Q-D.

Comeamos supondo que, em (2.1) e (2.2), ar = 0, r = 0, 1, 2, . . . , e definindo

f(r)(z) :=f(z) (a0 + a1z + + ar1zr1)

zr,

f(r)(z) :=

f(z) +a1

z+

a2z2

+ + arzr

zr,

(2.31)

para r = 1, 2, 3, . . . , onde f(0)(z) f(z).Temos que f(r)(z) possui as expanses

f(r)(z) = ar + ar+1z + ar+2z2 + ar+3z

3 + , |z| pequeno,

f(r)(z) =

ar1

z+

ar2

z2+

ar3

z3+

ar4

z4+

, |z| grande,e que f(r)(z) possui as expanses

f(r)(z) = ar + ar+1z + ar+2z2 + ar+3z

3 + , |z| pequeno,

f(r)(z) = ar1

z+

ar2z2

+ar3

z3+

ar4z4

+

, |z| grande,

para r = 1, 2, 3, . . . .

Assim, f(r)

(z), r = 0, 1, 2, . . . , corresponde frao contnuaar

1 + d(r)1 z +

n(r)2 z

1 + d(r)2 z +

n(r)3 z

1 + d(r)3 z +

n(r)4 z

1 + d(r)4 z + . . .

. (2.32)

Agora, a frao contnua (2.32) pode ser considerada como a parte par (Teorema

1.2) dear1 +

d(r)1 z

1 l(r)2

1 +m

(r)2 z

1 l(r)3

1 +m

(r)3 z

1 . . ., (2.33)

onde

l(r)i =

n(r)i

n(r)i + d

(r)i1

e m(r)i =d(r)i d(r)i1

n(r)i + d

(r)i1

,

para r = 0, 1, 2, . . . e i = 2, 3, 4, . . . .


54/82


A parte mpar (Teorema 1.3), de (2.33) dada por

ar ard(r)1 z

1 l(r)

2 + d

(r)

1 z +

l(r)2 m

(r)2 z

1 l(r)

3 + m

(r)

2 z +

l(r)3 m

(r)3 z

1 l(r)

4 + m

(r)

3 z +. . .

. (2.34)

SejamP(r)m (z)

Q(r)m (z)

,R(r)m (z)

S(r)m (z)

eU(r)m (z)

V(r)m (z)

os m-simos convergentes das fraes contnuas

(2.32), (2.33) e (2.34), respectivamente.

Temos que R(r)2m+2(z) e S(r)2m+1(z) tm grau m, R

(r)2m+1(z) tem grau m 1 e S(r)2m+2(z)

tem grau m + 1. Assim, por (1.4),

R(r)2m+2(z)

S

(r)

2m+2(z)

R(r)2m+1(z)

S

(r)

2m+1(z)

=m+1z

m+1

S

(r)

2m+2(z)S

(r)

2m+1(z)

= O(zm+1, zm),

onde m+1 o produto dos numeradores parciais de (2.33).

Portanto, devemos terR(r)2m+2(z)

S(r)2m+2(z) f(r)(z)

R(r)2m+1(z)

S(r)2m+1(z) f(r)(z)

= O(zm+1, zm). (2.35)

ComoR(r)2m+2(z)

S(r)2m+2(z)=

P(r)m+1(z)

Q(r)m+1(z), ento

R(r)2m+2(z)

S(r)2m+2(z) f(r)(z)

= O(zm+1, zm2).

Assim, de (2.35), R(r)2m+1(z)

S(r)2m+1(z)

f(r)(z)

= O(zm+1, zm).

Logo, comoR(r)

2m+1(z)

S(r)2m+1(z)

=U(r)

m(z)

V(r)m (z)

, obtemos

U(r)m (z)

V(r)m (z)

arz

f(r)(z) ar

z= O(zm, zm1). (2.36)

Portanto, de (2.34) e (2.36), temos quef(r)(z) ar

zgera a frao contnua

ard

(r)

11 l(r)2 + d(r)1 z +

l(r)

2

m(r)

2

z

1 l(r)3 + m(r)2 z +l(r)

3

m(r)

3

z

1 l(r)4 + m(r)3 z + . . . . (2.37)


55/82


Dividindo o numerador e o denominador do primeiro quociente parcial da frao

contnua (2.37) por (1 l(r)2 ), o numerador e o denominador do segundo quociente parcialpor (1

l(r)3 ) e, assim, sucessivamente, obtemos a frao contnua equivalente

ard(r)1 /(1 l(r)2 )1 + d(r)1 z/(1 l(r)2 ) +

l(r)2 m(r)2 z/[(1 l(r)2 )(1 l(r)3 )]1 + m(r)2 z/(1 l(r)3 ) +

l(r)3 m(r)3 z/[(1 l(r)3 )(1 l(r)4 )]1 + m(r)3 z/(1 l(r)4 ) + . . .

.

(2.38)

Mas, comof(r)(z) ar

z= f(r+1)(z), de (2.32) ela gera a frao contnua

ar+1

1 + d(r+1)1 z +

n(r+1)2 z

1 + d(r+1)2 z +

n(r+1)3 z

1 + d(r+1)3 z +

n(r+1)4 z

1 + d(r+1)4 z + . . .

. (2.39)

Comparando (2.38) e (2.39), para r = 0,

1,

2, . . . , obtemos

d(r+1)1 z =

d(r)1 z

1 l(r)2 d(r+1)1 =

d(r)1

1 n(r)2

n(r)2 + d

(r)1

d(r+1)1 = n(r)2 + d(r)1 .

Ento,

ar+1 = ard(r)1

1 l(r)2 ar+1 = ar(n(r)2 + d(r)1 ) d(r+1)1 =

ar+1ar

, (2.40)

para r = 0,

1,

2, . . . .

Temos, ainda, que

l(r)i

1 l(r)i=

n(r)i

n(r)i + d

(r)i1

1

1 n(r)i /(n(r)i + d(r)i1)

=n(r)i

n(r)i + d

(r)i1

1

d(r)i1/(n

(r)i + d

(r)i1)

=n(r)i

d(r)i1

e

m(r)i

1 l(r)i+1= d

(r)

i d(r)

i1

n(r)i + d

(r)i1

11 n(r)i+1/(n(r)i+1 + d(r)i )

=d(r)i d

(r)i1

n(r)i + d

(r)i1

1

d(r)i /(n

(r)i+1 + d

(r)i )

= d(r)i1

n(r)i+1 + d(r)i

n(r)i + d

(r)i1

.

Assim,

n(r+1)i =l(r)i m

(r)i

(1 l(r)

i )(1 l(r)

i+1)

=n(r)i

d

(r)

i1

d(r)i1n(r)i+1 + d

(r)i

n

(r)

i + d

(r)

i1

, (2.41)

d(r+1)i =

m(r)i

1 l(r)i+1= d

(r)i1

n(r)i+1 + d(r)i

n(r)i + d

(r)i1

, (2.42)


56/82


para i = 2, 3, . . . e r = 0, 1, 2, . . . .Substituindo (2.42) em (2.41), obtemos

n(r+1)i = n(r)

i

d(r)i1

d(r+1)i n(r+1)i d(r)i1 = n(r)i d(r+1)i .

Agora, somando (2.41) e (2.42), encontramos

n(r+1)i + d

(r+1)i =

n(r)i + d

(r)i1

n(r)i+1 + d(r)in(r)i + d

(r)i1

n(r+1)i + d(r+1)i = n(r)i+1 + d(r)i .

Portanto,

n(r+1)i+1 d(r)i = n(r)i+1 d(r+1)i+1

n(r+1)i + d(r+1)i = n

(r)i+1 + d

(r)i

, (2.43)

para i = 2, 3, . . . e r = 0, 1, 2, . . . .Ento, se definirmos n(r)1 0 e calcularmos d(r)1 por (2.40), as equaes em (2.43)

podem ser usadas para calcularmos n(r)i e d(r)i , para i = 2, 3, . . . e r = 0, 1, 2, . . . . As

regras de formulao seguem a caracterstica padro do algoritmo Q-D.

Referimo-nos tabela abaixo como tabela n-d.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.0 d(4)1 n

(4)2 d

(4)2 n

(4)3 d

(4)3 n

(4)4 d

(4)4

0 d(3)1 n(3)2 d

(3)2 n

(3)3 d

(3)3 n

(3)4 d

(3)4

0 d(2)1 n(2)2 d

(2)2 n

(2)3 d

(2)3 n

(2)4 d

(2)4

0 d(1)1 n(1)2 d

(1)2 n

(1)3 d

(1)3 n

(1)4 d

(1)4

0 d(0)1 n(0)2 d

(0)2 n

(0)3 d

(0)3 n

(0)4 d

(0)4

0 d(1)1 n(1)2 d

(1)2 n

(1)3 d

(1)3 n

(1)4 d

(1)4

0 d(2)1 n

(2)2 d

(2)2 n

(2)3 d

(2)3 n

(2)4 d

(2)4

0 d(3)1 n(3)2 d

(3)2 n

(3)3 d

(3)3 n

(3)4 d

(3)4

0 d(4)1 n(4)2 d

(4)2 n

(4)3 d

(4)3 n

(4)4 d

(4)4

......

......

......

......

O bloco interno mostra como os n e d subsequentes so calculados a partir de n(r)1

e d(r)1 . A frao contnua que ajusta um nmero igual de termos de (2.1) e (2.2) , ento,

a0

1 + d(0)1 z +

n(0)2 z

1 + d(0)2 z +

n(0)3 z

1 + d(0)3 z + . . .

(2.44)


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e seus coeficientes esto na linha central da tabela n-d. Por exemplo, dados os quatro

primeiros termos de (2.1) e (2.2), isto , ar, para r = 4, 3, . . . , 3, calculamos os coe-ficientes que esto no bloco externo na tabela n-d. Esses coeficientes incluem os quatro

primeiros quocientes parciais da frao contnua (2.44).

fcil ver que podemos obter as fraes contnuas correspondentes a todas as

funes f(r)(z) que possuem as sries

ar + ar+1z + ar+2z2 + ar+3z

3 + , |z| pequeno (2.45)

e

ar1

z ar2

z2 ar3

z3 ar4

z4 , |z| grande, (2.46)que geram a frao contnua

ar

1 + d(r)1 z +

n(r)2 z

1 + d(r)2 z +

n(r)3 z

1 + d(r)3 z +

n(r)4 z

1 + d(r)4 z + . . .. (2.47)

Alm disso, desde que em (2.43) as equaes so lineares, os elementos da tabela

n-d podem ser gerados a partir de condies iniciais diferentes das dadas em (2.40). Por

exemplo, se f(z) possui apenas uma expanso em sries de potncias, digamos (2.1),

podemos construir (na nossa notao) a frao contnua correspondente

a01 +

n(0)2 z

1 +n(0)3 z

1 + . . ..

Esse problema resolvido, convencionalmente, pela aplicao direta do algoritmo Q-D.

Aqui, o problema pode ser resolvido se tomarmos

d(r)1 = ar

ar1, r = 1, 2, 3, . . . e d(0)i = 0, i = 1, 2, 3, . . . .

Ento, a equao (2.43) permite que os elementos da tabela n-d sejam completados

da maneira usual na linha n(0) d(0) e abaixo dela. Se necessrio, os elementos das linhasabaixo da linha n(0) d(0) podem ser obtidos isolando-se n(r)i+1 e d(r)i na primeira equaode (2.43) e substituindo-os na segunda. Obtemos, ento,

n(r+1)i+1 + d

(r+1)i+1

d(r)i =

n(r+1)i + d

(r+1)i

d(r+1)i+1 ,

n(r+1)i+1 + d(r+1)i+1 n(r)i+1 = n(r+1)i + d(r+1)i n(r+1)i+1 .Podemos, tambm, usar (2.43) para construir a frao contnua que ajusta um

nmero finito de termos de, digamos, (2.2) e todos os termos de (2.1). Nesse problema,


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conhecemos ar para r = m, (m 1), (m 2), . . . , e fazemos

d(r)1 =

arar1

, r = (m 1), (m 2), . . .

d(0)i = 0, i = (m + 1), (m + 2), . . . .

Na frao contnua resultante, o (m + 2r)-simo conve

frações contínuas que correspondem a séries de potências

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