Distribuições Contínuas de Probabilidade

Uma variável aleatória contínua é uma função definidasobre o espaço amostral, que associa valores em umintervalo de números reais.

Exemplos:

Espessura de um item

Tempo necessário para completar um teste

Tempo de espera numa fila

Peso

Para variáveis aleatórias contínuas introduzimos a funçãodensidade de probabilidade (fdp), tal que,

1f(x) dx(b)

0 (a) f(x)

-

=

A condição (a) implica que a densidade é uma função não negativa econdição (b) corresponde ao fato de que a soma (integral no caso devariáveis contínuas) das probabilidades é igual a um. A integração de±oo significa que devemos integrar sobre todos os valores de x emque f(x) é definida.

Qualquer função f(x) satisfazendo (a) e (b) é uma fdp.

Note que para variáveis contínuas as somas são substituídas porintegrais.

b.xlo ano interva valores

x assumir lidade de a probabirepresenta f(x) dx b)xP(a

b. xo a intervallores numssu mir vaade de x aprobabilid

rar a ue considea, temos qa), ou sejnto (xlor num pox ter o va

e bilidade der a probaodemos obtnuas não pveis contíPara variá

b

a

=

=

b)xP(ab)xP(ab)xP(ab)xque: P(ala, temos ponto é nu

um dadoir valor nel x assum da variávbabilidadecomo a pro Note que,

===

Geometricamente

X

f(x)

a

)bxP(a bxa intervalo no

x eixo o e f(x) fdp a entre Área

=

b

3

1 (3-2)

3

1

2

3 x

3

1 dx

3

13)x: P(2(b) Temos

é uma fdp.anto f(x) port

1 (4-1)3

1

1

4 x

3

1 dx

3

1f(x) dx0 e que f(x)(a) Temos

3x 2 intervalo vaores no x assumirilidade dee a probab(b) Calcul

p.) é uma fdque se f(x(a) verifi

valores0, outros

4x, 13

1

f(x)

ão ada a funçExemplo: D

3

2

4

1-

====

====

=

Do mesmo modo que para variáveis discretas, podemos definirpara variáveis contínuas a média, a variância e odesvio padrão. Lembando que introduzimos a fdp associada avariável aleatória considerada e substituímos as somas por

integrais.

Assim, para a variável aleatória X, temos:

2

-

222

-

σrão: σDesvio-pad

f(x) dxx-μ σ): (σVariância

x f(x) dx μ :)( Média

=

=

=m

2

3σ σe assim:

4

3

1

4

3

2

5x

3

1 dx)

2

5 (x

3

1 dx

3

1)

2

5(x f(x) dxμ)(x : σ(b) Temos

2

5

6

15)1(4

6

1

1

4

2

x

3

1 x dx

3

1 dx

3

1xx f(x) dx μ(a) Temos:

o de X.svio padrãcia e o dee a variân(b) Calcul

a X.l aleatórida variávee a média (a) Calcul

valores0, outros

4x, 13

1

f(x)

eriormentederada ant fdp consionsidere aExemplo: C

2

3

4

1

24

1

2

-

22

2224

1

4

1-

==

=

==

==

===

==

==

=

Função Distribuição Acumulada

==

ox

oo

o

dx f(x))xP(X)F(x

seja, ou ,xX que de

adeprobabilid a é F(x) (fda) acumulada ãodistribuiç função A

F(x) é análoga a distribuição de frequências relativas

acumuladas (ou % acumuladas) estudadas no início do curso

xoX

Área até xo =F(xo)=P(X ≤ xo)

Para a Distribuição Uniforme a fdp é dada por:

=

bX ou X a 0

bX a seab

1

f(X)

A Distribuição Uniforme

a b 12

(b-a)σ rão: desvio pad

2

baμmédia:

2

=

=

gráfico

Distribuição contínua que é assimétrica à direita e se estendede zero até o infinito positivo

Amplamente utilizada na teoria das filas para modelarintervalo do tempo decorrido entre chegadas em processos,tais como:

clientes em caixas eletrônicos de bancos

pacientes dando entrada em uma emergência de umhospital

pesquisas em um endereço da internet

A Distribuição Exponencial

=

0 x 0

0 xf(x)

:lexponencia ãodistribuiç a para

b

b

x

e

fdp

b=s

b=s

b=m

:padrão desvio

:iânciavar

:média22

Note que b representa o valor médio de x e 1/brepresenta uma frequência média. Em alguns livros usa-se l=1/b .

.a até 0 desde curva da abaixo área é

e-1a)P(x :aX até zero de acumulada adeprobabilidA β

a-

==

0 1 2 3 4

0.5

1.0

1.5

2.0

b = 1,0

b = 0,5

b = 2,0

b = 5,0

β de valores váriospara

0 x 0

0 xβ

ef(x) de gráfico

β

x

=

Exemplo: Cerca de 15 clientes utilizam o caixa eletrônico por hora.Supondo que a distribuição de tempos de chegada é exponencial,qual é a probabilidade de que o tempo de chegada entre clientesconsecutivos seja:

(a) Menor que três minutos?

(b) Maior que 3 minutos?

(c) Entre 2 e 4 minutos?

- A variável aleatória X= tempo

- Note que foi dada a frequência de chegada λ = 1/b = 15 /hora

-3 min = 0,05 horas

-2 min = 0,0333 horas

-4 min = 0,0666 horas

(a) P(t < 0,05) = 1 – e-λt = 1 – e-(15).(0,05) = 0,5276

(b) P(t ≥ 0,05) = 1 – P(t < 0,05) = 1 – 0,5276 = 0,4734

P(0,0333<t < 0,0666)= P(t<0,0666)- P(t<0,0333)= e-(15).(0,0666)) - e-(15).(0,0333))

0,0333

(c)

0,0666

Área de 0,0333 até 0,0666= (área de 0 até 0,0666) – (área de 0 até 0,033)

Distribuição Normal

curva em “Forma de sino”

Simétrica

Média, Mediana e Modasão iguais

A localização é determinada pela média, μ

A dispersão é determinado pelo desvio-padrão, σ

A variável aleatória tem uma amplitude teórica infinita: + até

Média = Mediana = Moda

X

f(X)

μ

σ

A fórmula para a fdp da distribuição normal é:

2

σ2

μx

πσ2

ef(x)

2

2

=

Notação:

N(m,s2) distribuição normal com média m e variância s2

Variando os parâmetros μ e σ, obtém-se diferentes distribuições normais

X

f(X)

μ

σ

Mudar a μ muda a distribuição para adireita ou para a esquerda

Mudar o σ aumenta ou diminuia dispersão

10 5 0 5 10

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Exemplo gráfico

Desvio padrão fixo: s=2

Mudar a média μ desloca a distribuição para a direita ou paraa esquerda

m=-5 m=0 m=5 m=10

Mudar o desvio padrão σ aumenta ou diminui a dispersão

5 0 5 10 15

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25Exemplo gráfico

Média fixa: m=5

m=5

s = 2

s = 4

s = 8

Distribuição Normal Padronizada( N(0,1)): distribuição normal com média zero e variância um.

2π

ef(Z)

2

Z2

=

Z

f(Z)

0

1

Valores acima da média possuem valor Z positivo

Valores abaixo da média possuem valor Z negativo

Transformação para a Distribuição Normal Padronizada

Transformação de X em normal padronizada (distribuição “Z”)mudando a variável

σ

μXZ

=

A distribuição Z sempre tem média zero e desvio-padrão 1

Exemplo

Se X é normalmente distribuído com média 100 e desvio padrão 50, o valor Z para X = 200 é

X = 200 está dois desvios-padrão acima da média

250

100200

σ

μXZ =

=

=

Comparando X e Z

Z

100

20

200 X

Note que a distribuição é a mesma, apenas a escala mudou.O problema pode ser expresso em unidades originais (X) ouem unidades padronizadas (Z)

(μ = 100, σ = 50)

(μ = 0, σ = 1)

Encontrando Probabilidades com a distribuição normal

Probability is the area under thecurve!

a b X

f(X) P a X b( )≤

A probabilidade é dada pela área abaixo da curva

≤

P a X b( )<<=

(Note que a probabilidade de qualquer valor individual é zero)

f(X)

X

0,50,5

A área total abaixo da curva é igual a 1 e a curva ésimétrica, então metade da curva está acima da média e aoutra metade está abaixo

1)XP( =

0,5)XP(μ =0,5μ)XP( =

68,26% dos valores estão dentro dos limites f(X)

Xμ μ+1σμ-1σ

Regras Gerais:

σσ

68,26%

μ ±1σ

95,44 % dos valores estão dentro dos limites

99,73% dos valores estão dentro dos limites

xμ

2σ 2σ

xμ

3σ 3σ

95,44% 99,73%

μ ± 2σ

μ ± 3σ

A Tabela da Normal Padronizada

A Tabela da Normal Padronizada fornece aprobabilidade menor do que um valor desejado paraZ (isto é, do infinito negativo até Z)

Z0 2,00

0,9772Exemplo:

P(Z < 2,00) = 0,9772

Esse valor é encontrado na tabela

0,9772

2,0P(Z < 2,00) = 0,9772

A linha fornece ovalor da primeiracasa decimal de Z

A coluna fornece o valor da segunda casa decimal de Z

2,0

,,,

Z 0,00 0,01 0,02 …

0,0

0,1

Encontrando o valor na tabela

O valor dentro da tabela representa a

probabilidade

Procedimentos Gerais para Encontrar Probabilidades

Desenhe a curva normal para o problema em termos de X

Transforme os valores X em valores Z

Use a Tabela da Normal Padronizada

Para encontrar P(a < X < b) quando X é normalmente distribuído:

Encontrando Probabilidades Normais

Suponha que X é normal com média igual a 8e desvio-padrão igual a 5

Encontre P(X < 8,6)

X

8,6

8,0

Encontrando o valor padronizado

Z0,120X8,68

μ = 8

σ = 10

μ = 0

σ = 1

0,125

88,6

σ

μXZ =

=

=

P(X < 8,6) P(Z < 0,12)

Z

0,12

Procurando P(Z < 0,12) na tabela

0,00

P(X < 8,6)= P(Z < 0,12)= 0,5478

Probabilidades Acima da Média

Suponha que X é normal com média igual a 8 e desvio-padrão igual a 5

Encontre P(X > 8,6)

X

8,6

8,0

Z

0,12

0Z

0,12

0,5478

0

1,000 1 - 0,5478 = 0,4522

P(X > 8,6) = P(Z > 0,12) = 1 - P(Z ≤ 0,12)

= 1 - 0,5478 = 0,4522

Probabilidades entre Dois Valores

Suponha que X é normal com média igual a 8 e desvio-padrão igual a 5. Encontre P(8 < X < 8,6).

P(8 < X < 8,6)

= P(0 < Z < 0,12)

Z0,120

X8,68

05

88

σ

μXZ =

=

=

0,125

88,6

σ

μXZ =

=

=

Cálculo do valor Z:

Z

0,12

0,0478

0,00

P(8 < X < 8,6) = P(0 < Z < 0,12)

= P(Z < 0,12) – P(Z ≤ 0)

= 0,5478 - 0,5000 = 0,0478

0,5000

Tabela da Probabilidade Normal Padronizada

Z

Suponha que X é normal com média igual a 8 e desvio-padrão igual a 5.

Encontre P(7,4 < X < 8)

Calculando os valores Z:

Probabilidades Abaixo da Média

X

7,48,0

05

88

σ

μXZ =

=

= 0,12-

5

87,4

σ

μXZ =

=

=

Temos:

P(7,4 < X < 8) = P(-0,12 < Z < 0)

= P(Z < 0) – P(Z ≤ -0,12)

= 0,5000 - 0,4522 = 0,0478

Lembre-se: A distribuição normal é simétricae a probabilidade é igual a P(0 < Z < 0,12)

X7,4 8,0

0,0478

0,4522

Z-0,12 0

Passos para encontrar o valor X para uma probabilidade conhecida:

1. Encontre o valor Z para a probabilidade conhecida

2. Converta o valor Z em X pela fórmula:

Encontrando o valor X para uma probabilidade conhecida

ZσμX =

Exemplo:

Suponha que X tem distribuição normal com médiaigual a 8 e desvio-padrão igual a 5

Encontre o valor X, considerando que apenas 20%dos valores são menores que esse valor X

X? 8,0

0,2000

Z? 0

Lembre-se a distribuição é simétrica

Tabela da Probabilidade Normal Padronizada: valores positivos

Como o valor 80% está entre dois valores, utilizamos o ponto médio: Temos aproximadamente P = 0,8009 dos valores ocorrem para x<0,845.

X?8,0

0,8009 ( aproximadamente 80%)

Z0,8450

X? 8,0

0,2005

Z-0,84 0

Por simetria, valores abaixo da média:

Z = -0,845

2. Converta o valor Z em X pela fórmula:

7753,

).550,84(8

ZσμX

=

=

=

Portanto: 20% dos valores da distribuição com média igual a 8e desvio-padrão igual a 5 são menores que 3,775

Exemplo:A média das ações de empresas que compoem as S&P500 é de US$ 30 e o desvio padrão é de US$8,20. Supoha que os preços das ações se distribuam normalmente.

(a) qual a probabilidade de uma empresa ter um preço de, no mínimo, US$ 40 para suas ações?

(b) Qual a probabilidade de uma empresa ter um preço não superior a US$ 20 para suas ações?

(c) qual o preço das ações para que a empresa seja incluída nas 10% maiores?

1112,0)40x(P1)40P(x portanto

0,88881,22)P(z40)P(x

1,22z :40 x para (a)

==

==

==

1112,08888,01)20P(x portanto

0,8888)22,1z(P1,22)P(z20)P(x

1,22z :20 x para )b(

==

===

==

40,50preço um tiver se maiores 10% as entre estara empresa a

40,50)8,2.(1,28530 x:então

médio) ponto o utilizando e (tabela

1,285z ecorrespondsuperior cauda na 10% de área )(

==

=c

Aproximação da Normal para a Distribuição Binomial

Quanto mais perto p estiver de 0,5, melhor será aaproximação da normal para a distribuição binomial

Quanto maior o tamanho da amostra, n, melhor seráa aproximação da normal para a distribuição binomial

Regra Geral:

A distribuição normal pode ser utilizada paraaproximar a distribuição binomial se

np ≥ 5 e n(1 – p) ≥ 5

Gráficos da distribuição binomial para p=0,7: note que amedida que n aumenta o gráfico fica mais próximo ao de umadistribuição normal.

A média e o desvio-padrão da distribuiçãobinomial são

μ = n.p

Transforme a binomial em normal utilizando afórmula:

p)np(1

npX

σ

μXZ

=

=

p)np(1σ =

Note que:

A distribuição Normal é uma distribuição contínua, enquanto quea distribuição Binomial é uma distribuição discreta.

Assim, para aproximar a distribuição Binomial (que é discreta)pela normal (que é contínua) fazemos uma correção decontinuidade ao valor discreto x na distribuição binomialrepresentando o valor x pelo intervalo de x – 0.5 a x + 0.5.

X

discreto contínuo

x – 0.5 x + 0.5

Correção de continuidade

Por exemplo:

X ≥ 120 X ≥ 119,5

X > 120 X > 120,5

X ≤ 120 X ≤ 120,5

X < 120 X < 119,5

Exemplo: Considere a distribuição binomial com n=1000 e p=0,02.Qual é P(X≤180)?

1,540,2)2).(1(1000).(0,

2)(1000).(0,180,5

p).(1pn.

pn.XZ =

=

=

X180,5 200-1,54 0 Z

Temos: np=1000.0,02=20>5 e n(1-p)=1000.0,98=980>5

Portanto, podemos aproximar a distribuição binomial pela normal.

Correção de continuidade: Aproximar P(X ≤ 180) para P(X ≤ 180,5)

Transformar a binomial em normal padronizada:

Consultando a tabela:P(Z ≤ -1,54) = 0,0618

Algumas propriedades

2

y

2

xyx

yxyx

yxyx

σσσ

padrãodesvio- e

μμμ

média com

normal ãodistribuiç tem YX aleatória variável a Então .menterespectiva

,σ e σ padrãodesvios- e μ e μ médias com ade,probabilid de normais

õesdistribuiç com tesindependen aleatórias variáveis Y e X Sejam

=

=

Verificando normalidade

Muitos procedimentos estatísticos requerem que a população tenha uma distribuição próxima da distribuição normal.

Espera-se que a amostra reflita a distribuição da população: histograma parecido, distribuição acumulada...

Outra maneira de verificar se normalidade é razoável: normal-score plot

Exemplo: considere os dados: 68, 42, 44, 75Para n=4, temos 5 faixas com probabilidade 1/5=0.2. Cada valor dos dados ordenados acumula 1/5=0.2

E corresponderiam, se fossem de uma distribuição normal, aos pontos:

normal-score plot

Score normal Dados ordenados

Score normal

Dado

s ord

en

ad

os

Um padrão retilineo indica proximidade com a distribuição normal.

Dados tabela D9 apendice do livro texto

24

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-2 -1 0 1 2

Tc

om

pri

me

nto

do

ca

niin

o (

mm

)

score-normal

Normal-score plot para notas de uma disciplina

Transformando dados para obter normalidade: