distribuições de probabilidade

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08/05/2014Elisete Aubin/Denise Botter Aula 10 – Distribuições de Probabilidade

Distribuições de Probabilidade

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Variável Aleatória

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Uma variável aleatória pode ser classificada em:

• Variável aleatória discreta• Variável aleatória contínua

Uma v.a. é discreta quando o conjunto de valores possíveis que ela assume for finito ou infinito enumerável.

Uma v.a. é contínua quando o conjunto de valores possíveis que ela assume for não enumerável.

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Variável Aleatória Contínua

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Exemplo:

Observa‐se o tempo de vida, em horas, de lâmpadas produzidas por uma fábrica.

Defina T: tempo de vida, em horas, da lâmpada escolhida, ao acaso, da fábrica.

→ Então, T é uma variável aleatória contínua que assume qualquer valor real não negativo.

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Exemplo: Observamos o peso, em toneladas, de 1500 cargas selecionadas, ao acaso, da população de cargas de um terminal. O histograma por densidade é o seguinte:

Distribuições contínuas

3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0

0 .0 0

0 .0 1

0 .0 2

0 .0 3

0 .0 4

P e s o

Den

sid

ade

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‐ a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70 kg;

A análise do histograma indica que:

‐ a maioria dos valores (88%) encontra‐se no intervalo (55; 85);

‐ existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48 kg (1,2%) e acima de 92 kg (1%).

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Vamos definir a variável aleatória

A curva contínua da figura denomina‐se curva Normal.

Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual é a distribuição de probabilidades de X ?

X: peso, em toneladas, de uma carga escolhida ao acaso da população.

3 0 40 50 6 0 70 80 90 10 0

0 .00 0

0 .01 5

0 .03 0

P es o

Den

sida

de

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Variável Aleatória NORMAL

A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuiçõescontínuas de probabilidade pois:

Muitos fenômenos aleatórios comportam‐se de forma próxima a essa distribuição.

Exemplos:

1. tempo do ciclo de um pedido;

2. nível de demanda;

3. volume de vendas de uma mercadoria (em alguma unidade monetária).

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A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica ‐grande proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequena proporção de valores acima de 1500 horas.

Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal.Exemplo:Y: Duração, em horas, de uma lâmpada de certa marca.

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Modelos Contínuos de Probabilidade

Variável Aleatória Contínua:

• Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.

• Assume valores num intervalo de números reais.

• Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores de uma v.a. contínua.

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Uma v.a. X contínua é caracterizada por sua função densidade de probabilidade f(x) com as propriedades:

(i) A área sob a curva de densidade é 1;

(ii) P(a ≤ X ≤ b) = área sob a curva da densidade f(x) e acima do eixo x, entre os pontos a e b;

(iii) f(x) ≥ 0, para todo x;

(iv) P(X = x0) = 0, para x0 fixo.

Propriedades dos Modelos Contínuos

Assim, P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b).

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O MODELO UNIFORMEÉ o modelo mais simples para variáveis aleatórias contínuas. Av.a. X tem distribuição Uniforme no intervalo (a,b) [X ~ U(a,b)],se sua função densidade de probabilidade é dada por:

Pode‐se mostrar que

µ = (b+a)/2 e que σ2 = (b-a)2/12,sendo µ, a média e σ2 a variância de X.

f(x) = 1/(b-a), se a ≤ x ≤ b.

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Variável Aleatória UNIFORME

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O gráfico da f.d.p da U(0,1).

1,00,80,60,40,20,0

1,50

1,25

1,00

0,75

0,50

Valores de X

Funç

ão d

ensi

dade

de

prob

abili

dade

de

X -

f(x

)

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A DISTRIBUIÇÃO NORMAL

2121( ) e

2

x

f x−μ⎛ ⎞− ⎜ ⎟σ⎝ ⎠=

σ π , – ∞ < x < ∞.

Pode ser mostrado que

1. μ é o valor esperado (média) de X ( ‐∞ < μ < ∞);

2. σ 2 é a variância de X (σ 2 > 0).

Notação : X ~ N(μ ; σ 2)

A v. a. X tem distribuição Normal com parâmetros μ e σ2 se sua função densidade de probabilidade é dada por

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Propriedades de X ~ N(μ ; σ2 )

• μ é o valor esperado (média) de X;

• σ 2 é a variância (e, portanto, σ é o desvio padrão);

• x = μ é ponto de máximo de f (x);

• f (x) → 0 quando x →±∞;

• μ ‐ σ e μ + σ são pontos de inflexão de f (x);

• a curva Normal é simétrica em torno da média μ.

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Curvas Normais com mesma variância σ2

mas médias diferentes (μ2 > μ1).

A distribuição Normal depende dos parâmetros μ e σ2

μ1 μ 2

N(μ1; σ2) N(μ2; σ2)

x

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Curvas Normais com mesma média μ,mas com variâncias diferentes (σ2

2 > σ12 ).

Influência de σ2 na curva Normal

N(μ;σ12)

N(μ; σ22)

σ22 > σ1

2

μ

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Cálculo de probabilidadesP(a < X < b)

a bμ

Área sob a curva e acima do eixo horizontal (x) entre a e b.

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Exemplo: O tempo gasto numa prova de estatística do curso de Logística tem distribuição Normal, com média 120 min e desvio padrão 15 min. a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que ele termine a prova antes de 100 minutos?

X: tempo gasto na prova ⇒ X ~ N(120; 152)

X

P(X < 100) = 0,0912.

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b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dos alunos terminem dentro do prazo estipulado?

P(X< x) = 0,95, ou seja, x = 144,67 min.

X: tempo gasto na prova ⇒ X ~ N(120; 152)

Z120 Xx

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O MODELO EXPONENCIAL

Outra distribuição contínua importante é a Exponencial. A v.a. X tem distribuição Exponencial com média µ>0, se sua função densidade de probabilidade é dada por:

0 1≥=

−x,e

μf(x) μ

x

Pode‐se mostrar queσ2 = µ2 e que P(X ≤ a) = 1 ‐ e ‐a/ µ , a ≥ 0.

Notação: X ~ Exp(µ)

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Variável Aleatória EXPONENCIAL

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Gráfico da f.d.p da Exp(1).

0

0 ,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1

1 ,2

x

f(x)

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Variável Aleatória EXPONENCIAL

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Exemplo :O tempo de vida útil (em horas) de um transistor pode ser considerado uma v.a. com distribuição exponencial, com µ = 500 h.

⇒ Segue‐se que a vida média do transistor é 500 horas .

Determinar a probabilidade de que ele dure menos do que a média.

A probabilidade desejada é dada por: P(X < 500)= 0,6321.

MINITAB

Calc → Probability distribution → Exponential → Scale:500 →Input constant: 500

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Um gráfico de probabilidades é um método simples e bastante utilizado para verificar se um conjunto de dados pode ter sido gerado a partir de uma distribuição de probabilidades específica .

Baseia‐se na comparação entre a amostra obtida e aquela que deveria ter sido obtida caso os dados realmente seguissem a distribuição de probabilidades em investigação.

Gráfico de Probabilidades

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1. Ordenar os dados xi;

2. Definir a função acumulada empírica, Fe.Esta função estima a proporção de observações menores ou iguais a cada valor xi observada na amostra ordenada. Assim, se temos uma amostra de tamanho n, e estamos diante do quinto valor ordenado, uma possível estimativa dessa proporção seria 5/n; por motivos teóricos vamos adotar (5‐0,5)/n. Logo, a função acumulada empírica é dada por

Fe(xi) =(i‐0,5)/n.

Construção do Gráfico de probabilidades:

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Construção do Gráfico:

3. Para cada valor de (i‐0,5)/n calculamos o valor esperado xie, tal que P(X < xie)=(i‐0,5)/n usando como distribuição de X aquela sob investigação.

4. O gráfico de probabilidades é um gráfico de dispersão dos pontos (xi , xie).Se a distribuição suposta for pertinente, espera‐se que os pontos estejam aleatoriamente dispostos ao redor de uma reta.


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Exemplo: Desejamos verificar se a amostra da Tabela A, no slide a seguir, segue uma distribuição exponencial.

Vamos utilizar a média amostral desses dados (1,094) como uma aproximação da média populacional da distribuição que os gerou.

Assim, vamos verificar se os dados podem ter sido gerados de uma distribuição exponencial com média 1,094.


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Tabela A. Dados (já ordenados)Observação Dado Observação Dado

1 0,03257 11 0,946612 0,09560 12 1,055343 0,14279 13 1,267314 0,20426 14 1,314195 0,21507 15 1,315546 0,25680 16 1,622197 0,61596 17 1,988498 0,68740 18 2,287089 0,76079 19 2,4811310 0,77090 20 3,81403


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Para a distribuição exponencial temos que

Assim, fazendo P(X ≤ xie) = (i – 0,5)/20 (2)

e igualando (1) e (2), segue que

xie = ‐ 1,094× ln[1‐(i – 0,5) / 20]


P(X ≤ xie) = 1 ‐ e – xie /1,094 (1)

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Tabela B. Amostra esperada sob a distribuição exponencialcom média 1,094

i xi (i-0,5)/20 xie1 0,03257 0,025 0,027702 0,09560 0,075 0,085293 0,14279 0,125 0,146084 0,20426 0,175 0,210455 0,21507 0,225 0,278856 0,25680 0,275 0,351817 0,61596 0,325 0,429998 0,68740 0,375 0,514189 0,76079 0,425 0,6054010 0,77090 0,475 0,70493

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Tabela B. (continuação)i xi (i-0,5)/20 xie

11 0,94661 0,525 0,8144212 1,05534 0,575 0,9361013 1,26731 0,625 1,0730314 1,31419 0,675 1,2295815 1,31554 0,725 1,4123416 1,62219 0,775 1,6318717 1,98849 0,825 1,9068118 2,28708 0,875 2,2749119 2,48113 0,925 2,8337520 3,81403 0,975 4,03563


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Gráfico de probabilidades exponencial para os dados da Tabela A - MINITAB (scatterplot)

43210

4

3

2

1

0

Valores observados

Val

ores

esp

erad

os


distribuições de probabilidade

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