1 - distribuições de probabilidade
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1 - Distribuições de Probabilidade Tipos de variáveis Variável Aleatória (V.A) Trata-se de variáveis que tem seus resultados ou valores tendendo a variar de uma observação para outra em razão de fatores relacionados com a chance, sem qualquer tipo de determinação prévia. Distribuição de probabilidades (D.P) Uma distribuição de probabilidades é uma distribuição de freqüência relativa para os resultados de um espaço amostral. Demonstra a proporção de vezes em que a V.A tende a assumir cada um dos diversos valores esperados. Alguns tipos de Distribuição de Probabilidade
Variável
Quantitativa
Qualitativa
Discreta
Contínua
Nominais
Ordinais
Distribuição de Probabilidade
Discretas
Contínuas
Binomial
Poisson
Geométrica
Hipergeométrica
Uniforme
Exponencial
Normal
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Representação Gráfica de uma Distribuição de Probabilidade Exemplo: (Vamos convencionar a letra “K” para cara e a letra “C” para coroa). 1) Ao lançarmos 2 moedas, obteremos os seguintes resultados possíveis.
Moeda M2 Moeda M1 C K
C CC CK KC K KC KK CC CK KK
2) Ao lançarmos 3 moedas, obteremos os seguintes resultados possíveis,
Moedas M1 e M2 Moeda M3 CC CK KC KK CCK CKK
C CCC CCK CKC CKK CKC KCK K KCC KCK KKC KKK CCC KCC KKC KKK
3) Ao lançarmos 4 moedas, obteremos os seguintes resultados possíveis. Moedas M1, M2 e M3
KCCK
KKCC
Moedas M1, M2 e M3 CKKK
CCKK
CCCK
Moeda M4 CCC
KCC
CCK
KCK
CKC
KKC
CKK
KKK
KCKK
CKCK
CCKC
C CCCC
CKCC
CCCK
CKCK
CCKC
CKKC
CCKK
CKKK
KKCK
KCKC
CKCC
K KCC
C KKCC
KCCK
KKCK
KCKC
KKKC
KCKK
KKKK
CCCC
KKKC
CKKC
KCCC
KKKK
Se continuarmos a aumentar o número de experimentos (n° de moedas), o gráfico tenderá a continuar a concentrar em seu interior o maior número de ocorrências, tendo assim, uma maior freqüência relativa. Enquanto nas extremidades continuaria com a menor freqüência relativa. O resultado disso seria que o gráfico iria tender a uma curva na forma de sino, ou aquilo que foi convencionado a dizer, a uma Curva Normal. Voltando aos exemplos anteriores e se introduzirmos a notação de potência, teremos: 1) C2 + 2CK + K2 ou (C + K)2 2) C3 + 3C2K + 3CK2 + K3 ou (C + K)3 3) C4 + 4C3K + 6C2K2 + 4CK3 +K4 ou (C +K)4 Neste caso, não importa a ordem CK ou KC, pois teremos 2CK, assim chegaremos ao Binômio de Newton. Não precisaria lançar 6 moedas para sabermos que o resultado seria (C + K)6.
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Voltando ainda aos exemplos anteriores e aplicando agora, a notação de probabilidades, teremos então, os seguintes resultados. X � Número de caras (K) x � É a variável observacional, ou a V.A (variável aleatória). 1)
X 0 1 2 P(x) 1/4 2/4 1/4
2)
X 0 1 2 3 P(x) 1/8 3/8 3/8 1/8
3)
X 0 1 2 3 4 P(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
Observem os NUMERADORES que representam os casos favoráveis se relacionarem ao Triângulo de Pascal, enquanto os DENOMINDORES representam os casos possíveis.
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1.1 – Distribuição de Probabilidades BINOMIAL (D.B) Pressupostos para a Distribuição Binomial
� Os valores de “x” são sempre inteiros (1 cara; 2 coroas; 1 máquina; 15 peças)
� Os eventos são independentes entre si (a realização de um evento não gera dependência no outro).
� As probabilidades pressupõem reposição. (nos exemplos anteriores o número de moedas não se alterou)
� A ordem em que aparecem os elementos em um grupo não tem importância. (nos exemplos anteriores: CK=KC; CCK = CKC = KCC)
A D.B possui 2 parâmetros fundamentais (n e p). Esses valores referem-se ao conjunto de elementos do experimento realizado. B(n,p) B � Binomial n � número de observações (ex: n° de peças defeituosas) p � probabilidade de favoráveis em cada observação. (ex: cara � 0,5; n° 2 em um dado � 1/6). Referência aos termos binomiais
P(sucesso) = p P(fracasso) = q Sucesso: ocorrência de um evento particular Fracasso: ocorrência de qualquer outro evento que não seja o convencionado como
sucesso. Situações: A) Se x = ocorrer 2 caras em 10 lançamentos de um dado, então: Ocorrer 2 caras � sucesso Não ocorrer 2 caras � fracasso Mesmo que ocorram 3 caras será considerado como fracasso. B) Se x = ocorrer o n° 5 em um lançamento de um dado,então: Ocorrer “5” � sucesso Não ocorrer “5” � Fracasso
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Exemplo1: Jogando uma moeda 5 vezes, qual é a probabilidade de termos: A) 5 “caras”; B) 3 “caras”; C) 2 “caras”; D) 1 “coroa”: Convencionando: K= cara; C= Coroa x = n° de “caras” (variável aleatória) n = n° de observações (são 5 lançamentos de moedas) P(K) = P(Sucesso) � 0,5 P(C) = P(Fracasso) � 0,5 Então: 1) Pelo Binômio de Newton: (q + p)n n = 5 (q + p)5 = q5 + 5q4p + 10q3p2 + 10q2p3 + 5qp4 +p5 P(x=0) P(x=1) P(x=2) P(x=3) P(x=4) P(x=5) Observem que “p” é a probabilidade de sucesso, portanto basta observamos os termos que possuem p = a probabilidade de “caras” que estamos procurando. Assim: A) Como P(C) = P(K) = 0,5; logo P(q)=0,5 e P(p)=0,5 P( x = 5 caras) � P(x=5) � p5 6° termo p5 = (0,5)5= 0,03125 ou 3,125% a chance de ocorrerem 5 caras. B) P(x = 3 caras) � P(x=3) � 10q2p3 4° termo 10q2p3 = 10(0,5)2 (0,5)2 � 10(0,5)5 � 0,3125 C) P(x =2 caras) � P(x=2) � 10q3p2 3° termo 10q3p2 � 10(0,5)3(0,5)2 � 10(0,5)5 � 0,3125 Observem que B e C possuem a mesma probabilidade.
“B” é representado pelo binômio 53� �� �� �
e “C” pelo binômio 52� �� �� �
. Como podem ver estes
binômios são complementares, logo possuem resultados iguais.
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D) P(x = 4 caras) � É o mesmo que achar 1 coroa. P(x = 4) = 5pq4 P(x = 4) � 5(0,5)(0,5)4 � 5(0,5)5 � 0,15625 ou 15,625% Se calcularmos P(x = 0) e P(x = 1), teremos: P(x = 0) = 0,03125 P(x = 1) = 0,15625 P(x = 2) = 0,31250 P(x = 3) = 0,31250 P(x = 4) = 0,15625 P(x = 5) = 0,03125
Total 1,00000 A curva demonstra a distribuição das probabilidades, no entanto, esta forma de sino simétrica, só é possível porque a probabilidade de sucesso(p) e de fracasso(q) é igual (0,5). Caso contrário, a curva tenderia para um dos lados, tornando-se assimétrica. Exemplo2: Calcular a probabilidade de ocorrer “3 caras” em 8 jogadas de uma moeda.
(n = 8; p=0,5; q=0,5; x=3) Pelo Termo:
P(x=3) = 56q5p3 � 56(0,5)5(0,5)3 � 56(0,5)8 P(x=3) = 0,2187472 ou 21,87%
D.P Binomial
0,03125
0,3125
0,15625
0,03125
0,15625
0,3125
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
P(x = 0) P(x = 1) P(x = 2) P(x = 3) P(x = 4) P(x = 5)
Variável Aleatória
Pro
babi
lidad
es
1n n x x
x xq pT
� � −= � �+� �
8 8 3 33 1 3 q pT
� � −= � �+� �
∴5 38 7 6
4 3 2 1x x
x x
q pT = 5 3564 q pT =∴
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Exemplo3: Veremos a solução do mesmo problema através de 3 modos: Suponhamos que p=0,80 seja a probabilidade de Sucesso, logo a probabilidade de Fracasso será q=0,20. Caso desejássemos calcular a probabilidade de 3 sucessos (S) e uma falha (F) em 4 observações, teremos: Pela Tabela de Probabilidades: Os resultados possíveis da combinação S e F estão representados na coluna Resultados. E sua probabilidade (S = p = 0,80) e (F = q = 0,20) estão na 2ª coluna, temos:
Resultados Probabilidades SSSF (0,80)x(0,80)x(0,80)x(0,20) = 0,1024 SSFS (0,80)x(0,80)x(0,20)x(0,80) = 0,1024 SFSS (0,80)x(0,20)x(0,80)x(0,80) = 0,1024 FSSS (0,20)x(0,80)x(0,80)x(0,80) = 0,1024
Total = 0,4096 Teremos então, a probabilidade de 40,96% de obtermos 3 sucessos em 4 observações: Pelo Binômio: n = 4; x =3 (q + p)4 = q4 + 4 q3 p + 6 q2 p2 + 4q p3 + p4 Termo = x + 1 Interessa-nos a probabilidade de 3 sucessos, assim optamos pelo 4° termo cujo p = p3. Assim: P(x=3) = 4 q p3 P(x=3) = 4 (0,20)x(0,80)3 P(x=3) = 0,4096 ou 40,96% Pelo Termo: Buscamos o 4° termo, quando x = 3, assim: (k + 1 = 4; logo: k = 3 = x) e n = 4
1
n x x
x
n
xq pT
−
+
� �= � �� �
4 3 3
4
43
q pT−� �
= � �� �
3
4
4 3 23 2 1
x xx x
q pT =
3
44q pT = assim: P(x=3) = 0,4096
Assim a Distribuição de Probabilidades Binomial pode ser dado por:
1° 2° 3° 4° 5° Termo
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( )( ) ( )( ) n x xn
P x P x Px
falha sucesso−� �
= � �� �
( )n x xn
P Xx
q p−� �
= � �� �
Exemplo: Suponha que a probabilidade de sucesso em uma operação seja de 30% e que desejamos saber a probabilidade de 3 sucessos em 5 operações:
n = 5; x = 3; p = 0,30 q = 0,70
P(S) = {sucesso em 3 operações} = 0,30 P(F) = {isto não ocorrer} = 0,70
( )n x xn
P Xx
q p−� �
= � �� �
( ) ( )5 3 35( 3)
30,70 0,30P X
−� �= = � �
� �
( ) ( )2 35 4 3( 3)
3 2 1 0,70 0,30x x
P Xx x
x= =
( 3) 10 0, 49 0,027P X x x= = ( 3) 0,1323P X = = ou 13,23%
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Exercícios: 1) Resolva: a) n = 8; x = 6; p = 0,20 (R = 0,0011) b) n = 9; x = 5; p = 0,45 (R = 0,2128) c) n = 10; x = 4; p = 0,85 (R = 0,0012) 2) Calcule: a) Um fabricante de mesas de bilhar suspeita que 5% de seu produto apresentam algum
defeito. Se tal suspeita estiver correta, determine a probabilidade de que, numa
amostra de 9 mesas:
I. Tenha uma defeituosa ......................................................(R = 0,2985) II. Não tenha nenhuma defeituosa........................................(R = 0,6302) III. Ocorra 6 mesas perfeitas .................................................(R = 0,0077)
b) Dos estudantes de um colégio, 40% são fumantes de cigarro. Escolhem-se 6 ao acaso
para darem o seu depoimento sobre o fumo. Determine a probabilidade de:
I. Nenhum dos 6 serem fumantes........................................(R = 0,0467) II. Todos os 6 serem fumantes .............................................(R = 0,0041) III. Metade destes serem fumantes........................................(R = 0,2765)
c) Daqueles que reservam lugar em um avião, 10% faltam ao embarque. Sabendo que o
avião comporta 15 passageiros:
I. Determine a probabilidade de todos os 15 que reservaram lugar em um determinado vôo, compareçam ao embarque ..................(R = 0,2059)
Se houvesse 16 pedidos de reserva, determine a probabilidade de:
II. De uma pessoa não poder embarcar. .............................(R = 0,1853) III. Todos embarcarem.
d) Uma concessionária de veículos constatou que 80% dos carros novos vendidos, de
um determinado modelo, retornam ao departamento mecânico para corrigir falhas de
montagem em até 30 dias após a venda. De 11 carros vendidos em um determinado
dia, qual é a probabilidade de que:
I. Todos voltem para reparos: .............................................(R = 0,0859) II. Somente 2 não voltem: ....................................................(R = 0,2953)
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Propriedades da Distribuição Binomial
• Média ( µµµµ ) A média de uma DB é a média em longo prazo, denominada também de Valor Esperado de uma variável aleatória.
onde: µµµµ (mi) = média n = n° de observações
p = probabilidade de sucesso
• Desvio padrão (σσσσ) O desvio padrão é dado por:
Onde: σσσσ(sigma) = desvio padrão n = n° de observações p = probabilidade de sucesso q = probabilidade de fracasso
Exemplo: Seja 50% a probabilidade de acontecer “cara” em um lançamento de uma moeda. Em 100 lançamentos, qual seria a média e o desvio padrão?
Assim, ao lançarmos 100 vezes uma moeda, esperamos que cerca de 50 deles aconteçam “caras”, embora aceitando um desvio padrão de 5 lançamentos.
.n pµ =
( ) µΕ Χ =
. .n p qσ =
.n pµ =100.(0,50)µ =50µ =
( ) 50Ε Χ =
. .n p qσ =
100.(0,50).(0,50)σ =
25σ =5σ =
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Distribuição de Probabilidade de POISSON A D.P. Poisson é útil para descrever as probabilidades do n° de ocorrências num
campo ou intervalo contínuo (espaço ou tempo). Como por exemplo: “defeitos por m2”,
“acidentes em um espaço de tempo”, “clientes por hora”, “chamadas telefônicas por
minuto”, dentre outros.
Observem que a unidade de medida (m2, hora, minutos) são unidades contínuas,
mas a variável aleatória (n° de ocorrências) é discreta.
Uma outra característica da DP Poisson é o fato de não ser possível contar os
elementos que não aconteceram, como por exemplo: “acidentes não ocorrido”, “falhas no
tecido que não aconteceram”.
Porção de um rolo de papel
= defeitos
Parâmetros:
Onde:
x = n° de ocorrências
µ = média
2,71828e ≅ ���������������� ����
���������������� �� ��
Amostra
( )!
P xx
eµ−
=( )
( )!
x
P xx
eµ µ−
=
λ (lambda) = taxa média por unidade t = n° de unidades λt = representa o n° médio de ocorrência no intervalo λt = µ
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Exemplos:
1) Uma máquina de tecer produz tecido para tapete, com uma média de dois defeitos por
metro linear. Determine a probabilidade de em 1 metro ter exatamente 1 defeito.
µ = 2
( e-µ ) = e-2 = 0,1353 (utiliza-se a calculadora ou tabelas apropriadas para chegar neste valor)
x =1
Assim:
2) (Aplicação envolvendo o tempo). Suponhamos que os navios cheguem a um porto à
razão de λ =2 navios/hora, e que essa razão seja aproximada por um processo
Poisson. Observando o processo durante um período de meia hora (t=1/2), determine
a probabilidade de (A) não chegar nenhum navio, (B) chegarem 3 navios.
Determinando a média:
µ = λt = 2(1/2) = 1
Determinado e:
e-1 = 0,3679
( )( 1)
!
x
P xx
eµ µ−
= =
( )1
0,1353( 1)
1!
2P x = =
( 1) (0,1353).2 0, 2706P x = = =
( 1) 27,06%P x = =
( )( 0)
!
x
P xx
eµ µ−
= =( )0
0,3679( 0)
0!
1P x = = ( 0) 0,3679p x = =
( )( 3)
!
x
P xx
eµ µ−
= =( )3
0,3679( 0)
3!
1P x = =
( 3) 0,0613P x = =
0,3679( 0)
3 2 1x xP x = =
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3) (Aplicação envolvendo espaço). Suponhamos que os defeitos em fios para tear,
possam ser aproximados por um processo de Poisson, com média de 0,2 defeitos por
metro (λ = 0,2). Inspecionando-se pedaços de fios de 6 metros de comprimento,
determine a probabilidade de menos de 2, isto é, P(x=0) mais P(x=1) defeitos.
Determinando µ:
µ = λt = 0,2(6) = 1,2
µ = 1,2
e-µ = e1,2 = 0,3012
Aplicando a fórmula:
P(x ≤ 1) = P(x = 0) + P(x = 1)
( ) ( )1,2 1,20 1
( 1) ( 0) ( 1)0! 1!
1,2 1,2P x P x P x
e e≤ = = + = = +
( 1) 0,3012 (0,3012 1, 2)xP x ≤ = +
( 1) 0,6623P x ≤ =
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Exercícios:
1) As chamadas de emergência chegam a um serviço de atendimento médico de
emergência, à razão de 4 por hora, no período de 1 as 6 da manhã, em dias úteis.
Determine:
a. Quantas chamadas de emergência são esperadas num período de 30
minutos?
b. Qual a probabilidade de nenhuma chamada num período de 30 minutos?
c. Qual a probabilidade de 2 chamadas ou menos ocorrerem neste mesmo
período?
d. Qual a probabilidade de ao menos 2 chamadas ocorrerem neste período de
30 minutos?
2) Os defeitos em rolos de filme colorido ocorrem à razão de 0,1 defeito/rolo.
Determine a probabilidade de um rolo em particular conter um ou mais defeitos.
3) Os clientes chegam a uma loja a razão de 6,5 / hora. Determine a probabilidade de
que, durante uma hora:
a. Não chegue nenhum cliente
b. Chegue 1 cliente
c. Mais de 1 cliente
d. Exatamente 6,5 clientes.
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Distribuição Contínua de Probabilidades
Distribuição Normal
As Curvas Normais apresentam algumas características bastante especiais em
termos de forma, características, parâmetros e de como são utilizadas para obtenção de
probabilidades. Trata-se da principal distribuição contínua de probabilidades.
Características
1. A curva normal tem a forma de sino (Curva de Gauss1); 2. É simétrica em relação à média; 3. Prolonga-se de -∞ a +∞, tornando-se uma curva assintótica; 4. Cada distribuição normal fica completamente especificada por sua média (µ). Há
uma distribuição normal distinta para cada combinação média e desvio padrão; 5. A área total sob a curva é considerada como 100%, para efeitos de cálculo, sendo
50% de cada lado. (Fig. A) 6. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável
normalmente distribuída tornar um valor entre esses pontos; 7. Como há um n° ilimitado de valores no intervalo de –∞ a +∞, a probabilidade de
uma variável aleatória distribuída normalmente tornar exatamente determinado valor é aproximadamente zero (c). Assim, as probabilidades se referem sempre a intervalos de valores (a - b); (Fig. B)
8. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do n° de desvios padrões entre a média e aquele ponto.
Fig. A
Fig. B
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Distribuição Normal Padronizada
A DP Normal constitui na verdade de uma família de distribuições, uma para cada
combinação de média e desvio-padrão. Para evitar uma quantidade enorme de tabelas, é
entendido que a forma específica da curva não interessa tanto, e sim, que sua área total
sob a curva é de 100%.
Desta forma, quando consideramos 2 desvios-padrões em relação à média, ou
seja, -1σ e +1σ, temos 68,26% de probabilidade que a variável aleatória (v.a) “x”, esteja
sob esta área, assim como, quando consideramos 6 desvios-padrões, ou seja, -3σ e +3σ,
temos 99,74% de probabilidade da v.a se encontrar dentro desta área.
Onde:
Z = n° de desvios padrões a contar da média; x = variável aleatória (v.a) µ = a média da distribuição normal σ = desvio padrão
1 Carl Friedrich GAUSS, nasceu em 1777 e viveu até 1855. É considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos
x µσ−Ζ =
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Exemplos:
1) Em uma empresa os funcionários se afastam das atividades em média 5 ( µ = 5 ) dias
por ano (não foram considerados férias e nem DSR). A distribuição apresenta também
um desvio padrão de 1,5 dias (σ = 1,5). Qual é a probabilidade do funcionário:
A) Se afastar entre 5 e 8 dias, inclusive:
Um dos intervalos coincide com a média (5) e o outro se encontra do lado direito da curva (8). Assim não há necessidade de encontrar o Z para o valor coincidente. µ = 5 σ = 1,5 P(5 ≤ x ≤ 8) = ?
A partir da aplicação da fórmula, encontramos o escore Z bruto (z=2). O qual se
deve utilizar para pesquisar na Tabela da Curva Normal Padronizada, a área
correspondente. Onde a média é zero e o Z indica o desvio padrão.
Z = 2 z = 0,47725
P(5 ≤ x ≤ 8) = (0,47725), ou seja, 47,72% de algum funcionário faltar entre 5 e 8 dias
durante o ano.
x µσ−Ζ = 8 5
1,5−Ζ = 2Ζ =
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B) Se afastar entre 3 e 5 dias, inclusive:
Um dos intervalos coincide com a média (5) e o outro se encontra do lado esquerdo da curva (3). Também não há necessidade de encontrar o Z para o valor coincidente. µ = 5 σ = 1,5 P(3 ≤ x ≤ 5) = ?
A partir da aplicação da fórmula, encontramos o escore z bruto (-1,33). Caso
esteja trabalhando com uma única Tabela Z, considere o valor em módulo, ou seja,
procure pelo Z = 1,33. Assim:
P(3 ≤ x ≤ 5) = (0,40824), ou seja, 40,82% de algum funcionário faltar entre 3 e 5 dias
durante o ano.
x µσ−Ζ = 3 5
1,5−Ζ = 1,33Ζ = −
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C) Se afastar entre 6 e 8 dias, inclusive:
Agora nenhum dos limites do intervalo coincide com a média (5). Assim devemos encontrar os dois limites do intervalo. µ = 5 σ = 1,5 P(6 ≤ x ≤ 8) = ?
P(6 ≤ x ≤ 8) = Z1 – Z2
Sabemos que área referente ao Z1 = 2 = 0,47725
Assim, vamos encontrar a área referente a Z2.
A área correspondente na Tabela Z é de 0,24857.
Substituindo:
P(6 ≤ x ≤ 8) = Z1 – Z2 P(6 ≤ x ≤ 8) = 0,47725 – 0,24857 P(6 ≤ x ≤ 8) = 0,22868 ou seja, existe a probabilidade de 22,87% de um
funcionário faltar entre 6 e 8 dias durante o ano.
1
x µσ−=Ζ 1
8 51,5−=Ζ 1
2=Ζ
2
x µσ−=Ζ 2
6 51,5−=Ζ 2
0,67=Ζ
20
D) Se afastar entre 2 e 4 dias, inclusive:
Assim como na letra ”C”, nenhum dos limites do intervalo coincide com a média (5). µ = 5 σ = 1,5 P(2 ≤ x ≤ 4) = ?
P(2 ≤ x ≤ 4) = Z1 – Z2
Se observarmos os valores, veremos que chegamos aos mesmos Escores Z do
exemplo da letra ”C”, porém com valores negativos. Se lembrarmos do item 2 das
características da Curva Normal, onde se diz que esta curva é simétrica em relação à
média, sendo assim, a área que encontrarmos do lado direito da curva, será a mesma
para o lado esquerdo. Portanto, basta ignorarmos o sinal e trabalhar com os valores em
módulo. Convém ressaltar que existem tabelas para o lado esquerdo da curva, no qual se
considera valores acumulados. Não é o caso desta que estamos utilizando.
Assim:
P(2 ≤ x ≤ 4) = 0,22868
1
x µσ−=Ζ 1
2 51,5−=Ζ 1
2= −Ζ
2
x µσ−=Ζ 2
4 51,5−=Ζ 2
0,67= −Ζ
21
E) Se afastar menos de 8 dias, inclusive:
Considere o acumulado até 8 dias, ou seja, de nenhum dia (0) até 8 dias, inclusive.
µ = 5 σ = 1,5 P(x ≤ 8) = ?
P(x ≤ 8) = Z1 + Z2 P(x ≤ 8) = 0,50 + 0,47725 (conforme visto no exemplo “A“) P(x ≤ 8) = 0,97725 ou 97,72% a probabilidade de algum funcionário
faltar até 8 dias.
F) Se afastar mais de 2 dias, inclusive:
Considere o acumulado a partir de 2 dias, inclusive.
µ = 5 σ = 1,5 P(x ≥ 2) = ?
P(x ≥ 2) = Z1 + Z2 P(x ≥ 2) = 0,50 + 0,47725 (conforme visto no exemplo “D“) P(x ≥ 2) = 0,97725 ou 97,72% a probabilidade de algum funcionário
faltar mais de 2 dias.
10,50=Ζ
2
x µσ−=Ζ 2
8 51,5−=Ζ 2
2=Ζ
10,50=Ζ
2
x µσ−=Ζ 2
2 51,5−=Ζ 2
2= −Ζ
22
G) Se afastar menos de 2 dias, inclusive.
Neste caso, devemos considerar a diferença entre a área encontrada na tabela (Z), e o que é sabido sobre um lado da curva (0,50), conforme item 5 das características da curva. Importante: atenção com a Tabela Z utilizada, algumas foram construídas especialmente para estes casos, e seus valores são diretos. µ = 5 σ = 1,5 P(x ≤ 2) = ?
P(x ≤ 2) = Z1 - Z2 P(x ≤ 2) = 0,50 - 0,47725 P(x ≤ 2) = 0,02275 ou 2,28% a probabilidade de algum funcionário faltar
menos de 2 dias. (!!!!!!)
H) Se afastar mais de 8 dias, inclusive.
Neste caso, devemos considerar a diferença entre a área encontrada na tabela (Z), e o que é sabido sobre um lado da curva (0,50), conforme item 5 das características da curva. µ = 5 σ = 1,5 P(x ≥ 8) = ?
P(x ≥ 8) = Z1 - Z2 P(x ≥ 8) = 0,50 - 0,47725 P(x ≥ 8) = 0,02275 ou 2,28% a probabilidade de algum funcionário faltar
mais de 8 dias.
10,50=Ζ
2
x µσ−=Ζ 2
2 51,5−=Ζ 2
2= −Ζ
10,50=Ζ
2
x µσ−=Ζ 2
8 51,5−=Ζ 2
2=Ζ
23
I ) Se afastar entre 2 e 8 dias, inclusive.
Quando se tem os dois limites distintos da média, devemos calcular tanto Z1 quanto Z2. µ = 5 σ = 1,5 P(2 ≤ x ≤ 8) = ?
P(2 ≤ x ≤ 8) = Z1 - Z2 P(2 ≤ x ≤ 8) = 0,47725 + 0,47725 P(2 ≤ x ≤ 8) =0,9545 ou 95,45% a probabilidade de algum funcionário
faltar entre 2 e 8 dias, inclusive. (!!!!!)
J ) Se afastar 7 dias.
µ = 5 σ = 1,5 P(x = 7) = ?
Conforme o item 7 das características da curva, a probabilidade de se encontrar um valor
pontual é próxima de zero. É desconsidera para efeitos de cálculo de probabilidades.
Assim:
P(x = 7) = 0
1
x µσ−=Ζ 1
8 51,5−=Ζ 1
2=Ζ
2
x µσ−=Ζ 2
2 51,5−=Ζ 2
2= −Ζ
24
2) JotaJota afirma que está entre os 5% maiores vendedores da empresa, pois seu total
de vendas no ano passado foi de $1.350.000. Considerando que as vendas de todos
os vendedores são dadas pela distribuição N($1.250.000, $100.000), ou seja,
distribuição normal (N), com média de $1.250.000 e desvio padrão de $100.000.
Verificar se a afirmação do vendedor JotaJota está correta.
Solução:
O exemplo fornece a média e o desvio padrão, porém não temos uma variável
aleatória (x) propriamente, e sim uma probabilidade de 5%, a qual deve ser transformada
em área para podermos utilizar a Tabela Normal.
Os 5% maiores vendedores da empresa estão localizados no final da cauda
superior da distribuição normalizada. Assim, devemos responder qual o valor Z1 que
verifica a relação P(x ≥ Z1) = 5%. Como a tabela não tem registrada essa parte da área da
curva, devemos procurar a probabilidade complementar 0,45 obtida como resultado da
diferença (0,50 - 0,05).
Procurando nos valores correspondes às áreas da Tabela Z verificamos que o
valor 0,45 não coincide com nenhum dos valores registrados nesta tabela, portanto, será
necessário realizar uma média entre os dois valores mais próximos.
Assim:
Z = (1,64 + 1,65) / 2
Z=1,645
Utilizando a fórmula, temos:
Conclui-se que, para pertencer ao grupo dos 5% maiores vendedores da
empresa, seria necessário vender pelo menos $1.414.500. Como o vendedor JotaJota
vendeu $1.350.000, ele ainda não pertence ao grupo dos 5% maiores vendedores.
x µσ−Ζ =
1.250.0001,645
100.000x −=
1,645 100.000 1.250.000xx = + 1.414.500x =
25
Exercícios:
1. Os registros históricos da loja mostram que a demanda mensal do sabonete especial
Alfa tem distribuição normal com média 2.400 e desvio padrão 230. Como o valor
médio do ticket de compra desses compradores é o mais alto da loja, o gerente quer
garantir que 99% dessas vendas sejam atendidas. Calcular o estoque que a loja deve
ter no início de cada mês.
2. Como costuma ocorrer, o diretor de novos projetos necessita, para ontem, a estimativa
preliminar do valor do investimento do lançamento do novo produto. Quando pergunta
ao gerente de novos projetos da empresa, que tem muita experiência na avaliação
desse tipo de projeto bastante freqüente na empresa, ele responde que a estimativa
do investimento se situa entre $1.500.000 e $2.000.000, com 50% de probabilidade de
acerto. Qual o valor dos parâmetros dessa distribuição considerando que a variável
investimento tem distribuição normal?
3. Para definir o preço unitário de um novo produto, o gerente do produto costuma
analisar dois cenários, um otimista e o outro pessimista. No caso do novo detergente
em cubos para máquina de lavar louças ele definiu: O preço do cenário otimista de
$25 por pacote, considerando que a probabilidade de aumentar esse valor seja de 5%.
O preço do cenário pessimista de $18 por pacote, considerando que a probabilidade
de reduzir esse valor seja de 5%. Considerando que o preço unitário tenha distribuição
normal, qual o valor dos parâmetros dessa distribuição.
4. O produto farmacêutico líquido é cheio em frascos por uma máquina automática que
pode ser ajustada em qualquer volume entre 10 e 20 centímetros cúbicos. O volume
do produto é uma variável aleatória com distribuição normal com desvio padrão 0,4
centímetros cúbicos. Para um produto com 16 cm cúbicos, a especificação do controle
de qualidade exige que pelo menos 98% dos frascos estejam com a medida mínima.
Em que volume a máquina deve ser ajustada?
26
Estimativas e Tamanhos Amostrais
A inferência estatística tem por objetivo tirar conclusões probabilísticas sobre
aspectos das populações, com base nas observações de amostras.
Os parâmetros ou medidas descritivas das populações, em geral são
desconhecidos. Os procedimentos empregados para obter informações sobre os valores
paramétricos constituem uma forma de inferência denominado estimação.
As estatísticas amostrais ou medidas descritivas das amostras, quando usadas
para fins de estimação são denominadas estimadores. Por exemplo, a estatística amostral
x , média da amostra, pode ser usada como um estimador do parâmetro µ , média da
população.
O valor numérico obtido no cálculo de um estimador é comumente chamado de
estimativa. Assim, por exemplo, X = 30 é uma estimativa da média populacional.
Há dois tipos de estimativas:
� Estimativa pontual.
Estimativa pontual de um parâmetro da população é o valor obtido por cálculo de
uma amostra retirada da população. Por exemplo, a média de uma amostra aleatória
retirada de uma população é uma estimativa pontual da média da população.
� Estimativa intervalar.
A estimativa está incluída num intervalo considerando um grau de acerto
denominado intervalo de confiança que contém a estimativa pontual. Portanto, a média
de uma amostra aleatória retirada de uma população é o valor inicial da média dessa
população.
27
Intervalo de Confiança – IC
O IC é um intervalo de valores usado para estimar o verdadeiro valor de um
parâmetro populacional.
Exemplos:
IC igual a 0,95 (Nível de Confiança de 95%)
IC igual a 0,99 (Nível de Confiança de 99%)
O IC tem como complemento, o valor de α (Alfa).
IC = 1 - α
Quando:
IC = 0,90 α = 0,10
IC = 0,95 α = 0,05
IC = 0,99 α = 0,01
Valores Críticos
É um número na fronteira que separam estatísticas amostrais que tem chance de
ocorrer daqueles que não têm.
-α / 2 = o valor de Z que se encontra na cauda esquerda
+α / 2 = o valor de Z que se encontra na cauda direita da curva normal.
Exemplo1:
Encontre o valor crítico para o IC no nível de confiança de 95%
IC = 0,95 α = 0,05
IC / 2 = 0,475 α / 2 = 0,025
Z = 1,96
O valor crítico para IC = 0,95 é ��/2 = 1,96
28
Exemplo2:
Encontre o valor crítico para o IC no nível de confiança de 99%
IC = 0,99 α = 0,01
IC / 2 = 0,495 α / 2 = 0,005
Z = 2,58
O valor crítico para IC = 0,99 é ��/2 = 2,58.
Resumo:
Nível de Confiança Intervalo de Confiança α Valor Crítico 90% 0,90 0,10 1,64 95% 0,95 0,05 1,96 99% 0,99 0,01 2,58
Margem de Erro
Quando os dados de uma amostra são usados para estimar uma proporção
populacional “p”, a Margem de Erro � representada por “E” � é a diferença máxima
provável entre a proporção observada (amostra) “ p̂ ” e o verdadeiro valor da população
“ p ”. Para uma estimativa intervalar, temos:
/
ˆ ˆ 2
p qnα
Ε = Ζ Assim:
ˆ ˆ ˆ + ou p p p p E− Ε < < Ε ±
29
Exemplos:
1. Em uma pesquisa sobre o uso de câmeras para aplicação de multas de trânsito,
foram entrevistadas 500 motoristas, sendo que 70% aprovam o uso das câmeras.
A) Ache a margem de erro “E” que corresponde ao Nível de Confiança de 95%.
IC = 0,95 α = 0,05 p̂ = 0,70 α / 2 = 1,96
q̂ = 1 - p̂ = 0,30 n = 500
B) Ache a estimativa do intervalo de confiança relativo ao nível de confiança de
95% da verdadeira proporção populacional “p”, considerando a margem de erro
encontrada.
0,70 – 0,04 < p < 0,70 + 0,04
0,66 < p < 0,74
Ou p = 0,70 ± 0,04
Estima-se que 70% dos motoristas aprovam o uso de câmeras no policiamento do
trânsito. Tendo uma margem de erro de ± 4 pontos percentuais e com um nível de
confiança de 95% que este seja o verdadeiro valor encontrado na população (motoristas).
( ) ( )0,70 . 0,301,96
500Ε =/
ˆ ˆ 2
p qnα
Ε = Ζ
1,96 0,00042Ε =x1,96 0,0205Ε =
0,04Ε =
∴
ˆ ˆ + p p p− Ε < < Ε
30
2. Suponha que para uma pesquisa sobre o uso de e-mails pelas famílias, se deseje
saber o tamanho da amostra necessária para se ter 95% de confiança em
encontrar o verdadeiro valor “p” na população, com uma margem de erro de 4
pontos percentuais.
A) Supondo que em uma pesquisa feita em 1997, constatou que 16,9% das famílias
usavam e-mails.
IC = 0,95 α = 0,05 p̂ = 0,169 α / 2 = 1,96
q̂ = 1 - p̂ = 0,831 n = ?
B) Supondo que desejamos descartar a pesquisa anterior, por ser muito antiga.
Passamos assim, considerar o valor de “p” em 50%.
Utiliza-se deste recurso quando desconhece os percentuais da população.
IC = 0,95 α = 0,05 p̂ = 0,50 α / 2 = 1,96
q̂ = 1 - p̂ = 0,50 n = ?
( )2
2
/2ˆ ˆ p.qα
η =Ζ
Ε0,53950,0016
η =
∴( )2
2
1,96 (0,168).(0,831)
(0,04)η =
337,19η =
338 famíliasη =
∴
( )2
2
/ 2ˆ ˆ p.qα
η =Ζ
Ε0,96040,0016
η =
∴( )2
2
1,96 (0,5).(0,5)
(0,04)η =
600, 25η =
601 famíliasη =
∴
31
Exercícios:
1. Ache o valor crítico para ��/2 que corresponde ao nível de confiança dado:
a. 98% b. 92%
c. 85% d. 80%
2. Expresse o IC na forma p̂ ± E
a. 0,220 < p < 0,280 b. 0,456 < p < 0,496
3. Mostre a margem de erro dos exercícios 2.a e 2.b
4. Ache a margem de erro E que corresponde às estatísticas e ao nível de confiança
dado:
N = 800; x = 200; nível de confiança = 95%
5. Encontre o tamanho da amostra para os dados abaixo:
Margem de erro: cindo pontos percentuais Nível de confiança: 95%
Conforme estudos anteriores, p̂ é estimado pelo equivalente decimal de 18,5%.
32
6. Em uma pesquisa do Gallup, 1025 adultos selecionados aleatoriamente foram
entrevistados e 29% deles disseram que usavam a Internet para compras, pelo menos
cinco vezes por ano.
Ache a estimativa intervalar do percentual de adultos que usam a Internet para
compras, ao nível de confiança de 99%.
7. Determine o tamanho da amostra necessária para estimar a verdadeira percentagem
populacional a 4% de erro, usando um nível de confiança de 90%. É razoável
suspeitar que o valor verdadeiro seja de 30%.
33
Teste de Hipótese
O Teste de Hipótese é uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base em elementos amostrais. Uma hipótese estatística é uma suposição acerca da distribuição de uma variável
aleatória. É aquilo que queremos validar através de testes estatísticos. Hipóteses
• Hipótese Nula (H0): É a hipótese inicialmente aceita. É aquela que vai ser testada. Devem-se obter evidências para rejeitá-la.
• Hipótese Alternativa (H1): É a hipótese contrária a hipótese nula. Devem-se obter evidências para aceitá-la.
Características
• A hipótese nula e a hipótese alternativa descrevem dois possíveis estados mutuamente excludentes, pois as duas hipóteses não podem ser aceitas ou rejeitadas ao mesmo tempo.
• A hipótese nula (H0) é o valor correntemente aceito até que se tenham evidências de que esse valor não é mais correto. A hipótese (H0) é uma afirmação ou ponto de partida do teste de hipóteses.
• A hipótese alternativa (H1) será somente aceita se surgirem evidências de que o valor da hipótese nula não é mais correto.
Exemplo: 1. O gerente financeiro de uma empresa administradora de cartões de crédito definiu a
renda média mensal dos associados de $2.500,00 para ser utilizada como premissa durante a preparação do orçamento do próximo ano. Este valor foi constestado pelo gerente de marketing, que acredita que a renda média mensal é superior a este valor. Como podemos formular o teste de hipótese?
Testes nas Caudas
� Os testes de hipóteses podem ser aplicados em uma das duas caudas ou nas duas caudas da distribuição de freqüências adotada.
� Um teste de hipótese numa cauda da distribuição é um teste em que a hipótese alternativa H1 define a mudança em alguma direção da hipótese nula H0, incluindo na especificação um dos símbolos "≤" ou "≥".
0
1
: $2.500,00
: $2.500,00
H
H
µµ
=≠
0
1
: $2.500,00
: $2.500,00
H
H
µµ
=<
0
1
: $2.500,00
: $2.500,00
H
H
µµ
=>
Ou ou
ainda
34
� Um teste de hipótese em duas caudas da distribuição é um teste em que a hipótese alternativa H1 define uma mudança da hipótese nula H0 sem especificar nenhuma direção, incluindo na especificação o símbolo "≠".
35
Testes bicaudais ou bilaterais: Consideram-se as duas extremidades como regiões de rejeição da hipótese. Testes unilaterais: São os que consideramos apenas uma extremidade da distribuição por amostragem como Região de Rejeição.
RR: significa a Região de Rejeição da hipótese nula (H0) e RA: significa a Região de Aceitação da hipótese nula (H0) Nível de significância (é a área de RR):
É a máxima probabilidade de rejeitar H0 sendo verdadeira. Esta probabilidade α (alfa) é especificada antes da extração da amostra de modo que os resultados não influenciam na escolha. Na prática usa-se α = 1% ou 5%.
Erros
• Erro tipo I: Quando a hipótese nula (H0) é rejeitada, sendo esta verdadeira. (É o risco do produtor, ver rejeitado um bom lote fornecido).
• Erro tipo II: Quando aceitamos uma hipótese nula (H0), sendo esta falsa. (É o risco do consumidor, ver aceito um lote fora das especificações).
Decisão Realidade Aceitar H0 Rejeitar H0
H0 (é verdadeira) Decisão correta Erro tipo I
α H0
(é falsa) Erro tipo II
β Decisão correta
0
1
2
3
-2 0 2 4 6 8 10 12 14
RR Ho
RA Ho
Valor tabelado
0
1
2
3
-2 0 2 4 6 8 10 12 14
RR Ho RR Ho
RA Ho
Valor tabelado Valor tabelado
0
1
2
3
-2 0 2 4 6 8 10 12 14
RR Ho
RA Ho
Valor tabelado
01 : µµ <H 01 : µµ >HH0: µ = 2.500 H1: µ < 2.500
H0: µ = 2.500 H1: µ > 2.500
H0: µ = $2.500 H1: µ � $2.500
α /2 α /2
α α
36
.:
;:
;:
;:
01
01
01
00
µµµµµµµµ
<>≠=
H
H
H
H
Pré-requisitos
Os dados necessários para a realização de um teste de hipóteses sobre a média de uma população são:
� A média µ da população estabelecida na hipótese nula H0. � O tamanho n e a médiaX da amostra retirada da população. � O desvio padrão σ da população. Se o desvio padrão σ da população não for
conhecido, ele deverá ser estimado com o desvio padrão S da amostra retirada da população.
Procedimentos para efetuar um teste de hipótese
1. Verificar a existência ou não do desvio padrão da população.
2. Enunciar as hipóteses H0 e H1;
3. Fixar o limite de erro α e identificar a variável do teste;
4. Determinar as regiões de aceitação (RA) e rejeição (RR) em função do nível α pelas tabelas estatísticas;
5. Por meio dos elementos amostrais avaliar o valor da variável do teste;
6. Concluir pela aceitação ou rejeição.
7. Elaborar uma conclusão em relação ao problema que está sendo testado. Teste para a média 1° Desvio padrão da população conhecido usa-se σ e se desconhecido usa-se S. 2° 3° Fixar o nível de significância de α 4° Escolher o teste: Distribuição Normal: n> 30 e desvio-padrão conhecido
Distribuição Normal: n> 30 e desvio-padrão é desconhecido
ocalc
X
n
µσ−
=Ζ
onde: X :média amostral µ : valor da hipótese nula σ : desvio-padrão n : tamanho da amostra
o
calc
Xsn
µ−=Ζ
37
Distribuição t-Student: n<30 (mesmo procedimento que a Distribuição Normal)
5° Calcular a estatística do teste. 6° Demonstrar o resultado do teste no gráfico 7° Decisão e conclusão
Graus de liberdade
Referem-se à liberdade de variação de um conjunto de escores, por exemplo: A média de 10 alunos é de 8 pontos. Podemos variar as médias de 9 alunos, mas a 10 será automaticamente determinada pela soma das demais, de tal forma que seja 80. Assim, podemos variar 9 médias e não as 10, temos então, 9 graus de liberdade, ou seja gl = (10 - 1). Utilizado pela Distribuição t-student. Exemplo: 1. A resistência à tração do aço inoxidável produzido numa usina permanecia estável,
com uma resistência média de 72 kg/mm2 e um desvio padrão de 2,0 kg/mm2. Recentemente, a máquina foi ajustada. A fim de determinar o efeito do ajuste, 40 amostras foram testadas.
Presuma que a média da amostra ficou em 73 kg/mm2 e o desvio padrão seja o mesmo que antes do ajuste. Podemos concluir que o ajuste mudou a resistência à tração de aço? Adote um nível de significância (α) de 5%.
Passo 1: Desvio-padrão da população conhecido: σ = 2,0 kg/mm2
. Passo 2: Definição da Hipótese:
H0: µµµµ = 72 kg/mm2 H1: µµµµ � 72 kg/mm2 S = σ = 2 kg/mm2
Passo 3: Fixar o nível de significância: α=0,05 Passo 4: Escolher o teste: Como o tamanho da amostra é n = 40 utilizaremos a D.Normal Passo 5: Calcular a estatística do Teste Sendo ( X = 73,0), (σ = 2 kg/mm2) e (µµµµ = 72 kg/mm2), temos:
o
calc
X
n
tµ
σ−=
1626,33162,01
402
7273 ==−=−
=n
XZ o
cal σµ
38
Passo 6: Demonstrando no gráfico: Isso significa que a média da amostra retirada aleatoriamente da produção está a 3,1626 desvios-padrão da média alegada em H0 que é 72. Passo 7: Como o valor crítico para 5% é 1,96 desvios (Z tabelado). Estamos na Região de Rejeição de H0, portanto, H0 é rejeitada e concluímos que existe forte indicação que a resistência à tração do aço mudou. Exemplo 2: Em uma indústria, no setor de expedição, ocorrem em média 7 encaminhamentos com formulários incorretamente preenchidos ao dia. O gerente de expedição acredita que este número aumentou após mudanças no formulário. Para verificar isso, o gerente inspecionou durante 10 dias os formulários e os resultados foram:
8, 9, 5, 7, 8, 12, 6, 9, 6, 10 Os dados trazem evidência de aumento nos erros? Passo 1: Desvio padrão da população desconhecido: usa-se S. Passo 2 : Definição da Hipótese: H0: µµµµ = 7 H1: µµµµ > 7 Passo 3: Fixar o nível de significância: não foi informado (adotamos α=0,05) Passo 4: Escolher o teste: Como o tamanho da amostra é n=10 utilizaremos a D.t-Student. Passo 5: Calcular a estatística do Teste
Temos X = 8. Não conhecendo �, estimamos por S (desvio-padrão da amostra), (S = 2,10). Isso significa que a média da amostra retirada aleatoriamente da produção está a 1,5 desvios-padrão da média alegada em H0 que é 7. O valor tabelado de t depende do nível de significância (5%) e dos graus de liberdade, que são função do tamanho da amostra: GL = n – 1 = 9. Nesse exemplo, t tabelado = 2,262
Zcal = 3,16
5,1666,01
1010,278 ==−=−=
nSX
t ocal
µ
39
Passo 6: Demonstrando no gráfico: Passo 7: O valor calculado de t está dentro da região de aceitação de H0. Portanto, existem fortes evidências para aceitarmos H0. Poderíamos concluir que não houve um aumento significativo no número de infrações. Veja que, apesar da média 8 ser maior que 7, a diferença não foi significativa para concluir que o número de erros aumentou. É como se não houvesse provas suficientes para condenar o réu. Exemplo 3: Um empresário desconfia que o tempo médio de espera para atendimento de seus clientes é superior a 20 minutos. Para testar essa hipótese ele entrevistou 20 pessoas e questionou quanto tempo demorou em ser atendido. O resultado dessa pesquisa aparece a seguir: (valores em minutos)
22 20 21 23 22 20 23 22 20 24 21 20 21 24 22 22 23 22 20 24
gl = 19 α=0.05 t = 1,729
Existem fortes indícios para se rejeitar H0. O que leva a nós acreditarmos que o empresário está correto em suas desconfianças.
min20 :
min20 :
1 >=
µµ
H
H o min 8,21=X min40,1=S
21,8 205,75
/ 1,40 / 20o
calc
Xt
S n
µ− −= = =
0 0,05,195,75 2,093t t= > =
tcal = 5,75 ttab = 2,093
40
Tabelas
41