probabilidade e estatÍstica distribuiÇÕes de...

Bruno Baierle

Maurício Furigo

Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora)

Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES

PARTE I

Variável Aleatória

Por definição uma variável aleatória pode ser entendida como

sendo uma variável quantitativa, cujo resultado depende de

fatores aleatórios.

Exemplos:

número de coroas obtidos no lançamento de moedas;

número de defeitos de azulejo que sai da linha de produção;

tempo de resposta de um sistema computacional;

resistência ao desgaste de um tipo de aço, num teste padrão;


Uma variável aleatória é uma função que associa elementos do

espaço amostral ao conjunto de números reais.

Exemplo 1. (BARBETTA, pg 117) No lançamento de 2 moedas, o

espaço amostral mais completo é Ω = {(cara, cara), (cara, coroa),

(coroa, cara), (coroa, coroa)}, enquanto que a variável aleatória

número de coroas assume valores no conjunto {0, 1, 2}.

A relação entre os dois conjuntos, é esquematizada a

seguir.


Uma variável aleatória pode ser:

Discreta: onde os possíveis resultados estão

contidos em um conjunto finito ou enumerável.

Exemplo:


Uma variável aleatória pode ser:

Contínua: onde os possíveis resultados abrangem

todo um intervalo de números reais.

Exemplo:

Variáveis Aleatórias Independentes

Variável aleatória independente, pode ser entendida quando o

conhecimento de uma variável não altera as distribuições de

probabilidade das demais variáveis (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛).

Para variáveis aleatórias independentes:

V X + Y = V X + V(Y)

V X − Y = V X + V(Y)


Exemplo 2. (MEYER), seja X e Y a duração da vida de doisdispositivos eletrônicos. Suponha que sua fdp conjunta sejadada por

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒆−(𝒙+𝒚), 𝒙 ≥ 𝟎, 𝒚 ≥ 𝟎,

por fatoração temos

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒆−𝒙𝒆−𝒚,

desta forma a independência de X e Y fica estabelecida.


Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória discreta

bidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatórias

independentes se, e somente se:

𝑃 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 = 𝑝(𝑥𝑖)𝑞(𝑦𝑗) para quaisquer 𝑖 e 𝑗.

Portanto,

P 𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 = 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗) para todo 𝑖 e 𝑗


Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória contínuabidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatóriasindependentes se, e somente se:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥 ℎ(𝑥) para todo 𝑥 e 𝑦,

onde 𝑓 é a fdp conjunta, e 𝑔 e ℎ são as fdp marginaisde X e Y, respectivamente.

Variável Aleatória Discreta


Teorema 1: Se X é uma variável aleatória discreta com

distribuição de probabilidade 𝑓 𝑥 . Definindo Y = 𝑢 𝑋 a

transformação um a um entre os valores de X e Y, então a

equação 𝑦 = 𝑢 𝑥 pode ser unicamente resolvida por 𝑥 em função

de 𝑦, digamos 𝑥 = 𝑤 𝑦 .

Então a distribuição de probabilidade de Y é

𝒈 𝒚 = 𝒇 𝒘(𝒚)


Teorema 2: Supondo que 𝑋1 e 𝑋2 são variáveis aleatórias

discretas com distribuição de probabilidade conjunta 𝑓 𝑥1, 𝑥2 ,definindo a transformação um a um entre os pontos 𝑥1, 𝑥2 e

𝑦1, 𝑦2 , então as equações

𝑦1 = 𝑢1 𝑥1, 𝑥2 e 𝑦2 = 𝑢2 𝑥1, 𝑥2 ,

podem ser unicamente solucionadas para 𝑥1 e 𝑥2 em função de 𝑦1e 𝑦2.


Onde:

𝑥1 = 𝑤1(𝑦1, 𝑦2) e 𝑥2 = 𝑤2(𝑦1, 𝑦2)

Portanto a distribuição de probabilidade conjunta 𝑌1 e 𝑌2é:

𝒈 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 = 𝒇[𝒘𝟏 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 , 𝒘𝟐 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 ]

Variável Aleatória Discreta – Função de

Probabilidade

Se X for discreta, com valores {𝑋1, 𝑋2, … }, então a distribuição de probabilidade de

X, pode ser apresentada pela função de probabilidade, a qual associa a cada

valor possível 𝑋𝑖 a sua probabilidade de ocorrência 𝑝(𝑋𝑖).

Ou seja

𝒑 𝒙𝒊 = 𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊)

Satisfazendo:

𝑝 𝑥𝑖 ≥ 0

𝑖

.

𝑝 𝑥𝑖 = 1

Variável Aleatória Discreta – Função

de Probabilidade

Representação gráfica da distribuição de probabilidade da variável

aleatória X, a qual representa o número obtido no lançamento de

um dado comum.


de Distribuição Acumulada

Por definição:𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 , ∀𝒙 ∊ ℜ

Assim, para todo 𝑥 ∊ ℜ, a função de distribuição acumulada

descreve a probabilidade de ocorrer um valor até 𝒙.

Exemplo:


de Distribuição Acumulada

X = número obtido no lançamento de um dado comum.

𝐹 𝑥

0 𝑠𝑒 𝑥 < 1 1 6 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≥ 2

2 6 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 ≥ 3

3 6 𝑠𝑒 3 ≤ 𝑥 ≥ 4

4 6 𝑠𝑒 4 ≤ 𝑥 ≥ 5

5 6 𝑠𝑒 4 ≤ 𝑥 ≥ 51 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 6

Variável Aleatória Discreta – Valor

Esperado e Variância

Valor esperado:

μ = 𝑬 𝑿 =

𝒋=𝟏

𝒌

𝒙𝒋𝒑𝒋

Variância:

σ𝟐 = 𝑽 𝑿 =

𝒋=𝟏

𝒌

(𝒙𝒋 − μ)𝟐𝒑𝒋

Ou

𝑽 𝑿 = 𝑬(𝑿𝟐) − μ𝟐

Variável Aleatória Discreta – Valor

Esperado e Variância

Propriedades:

a) 𝐸 𝑐 = 𝑐

b) 𝐸 𝑋 + 𝑐 = 𝐸 𝑋 + 𝑐

c) 𝐸 𝑐𝑋 = 𝑐𝐸(𝑋)

d) 𝐸 𝑋 + 𝑌 = 𝐸 𝑋 + 𝐸 𝑌

e) 𝐸 𝑋 − 𝑌 = 𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑌)

f) V 𝑐 = 0

g) V 𝑋 + 𝑐 = 𝑉 𝑋

h) V 𝑐𝑋 = 𝑐2𝑉(𝑋)

i) DP 𝑐𝑋 = |𝑐|𝐷𝑃(𝑋)

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Bernoulli

A distribuição de Bernoulli tem somente 2

resultados possíveis: sucesso e fracasso.

Onde:

𝟎 ≤ 𝒑 ≤ 𝟏



Função da probabilidade p(x)

X 𝑝 𝑥

0

1

1 − 𝑝𝑝

total 1



Função acumulada F(x)

𝑭 𝑿 = 𝟎

𝟏 − 𝒑𝟏

𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎𝒔𝒆 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟏



Esperança E(X)

𝑬 𝑿 = 𝒑

Variância V(X)

𝐕 𝑿 = 𝒑. 𝟏 − 𝒑



Exemplos.

Lançamento de uma moeda:

Caso obtenha-se uma cara: sucesso

Caso obtenha-se uma coroa: fracasso

A direção que segue um veículo em bifurcação (caminho A e B):

Se segue o caminho A: sucesso

Se segue o caminho B: fracasso



Exemplo 3. Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se umabola dessa urna. Seja X: nº de bolas verdes. Calcular E(X) e V(X).

Solução

X = {1 → p = 2050 = 2 5

E X = p = 𝟐 𝟓 = 𝟎, 𝟒 𝐛𝐨𝐥𝐚𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐞𝐬

V X = p ∙ 1 − p = 2 5 ∙ 1 − 2 5 𝟔 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟒 𝐛𝐨𝐥𝐚𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐞𝐬𝟐


Distribuição Binomial

Considere n experimentos independentes identicamente distribuídos,cada um com distribuição Bernoulli de parâmetro p. Se a variável deinteresse x corresponde ao número de sucessos obtidos nestes nexperimentos, então x é conhecida como uma variável aleatóriabinomial de parâmetros n e p.

Onde:

n é o número de ensaios independentes;

e P (sucesso) = p, constante para todo ensaio 0 < 𝑝 < 1




𝒑 𝒙 =𝒏𝒙

∙ 𝒑𝒙 ∙ (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒙 x = 0,1, 2, … , n

Onde:𝑛𝑥

=𝑛!

𝑛 − 𝑥 ! 𝑥!




𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙𝒊 =

𝒊=𝟏

𝒏𝒊

𝒇(𝒙𝒊)



Esperança E(x)

𝑬 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑

Variância V(X)

𝑽 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑(𝟏 − 𝒑)



Exemplos.

Lançar uma moeda 5 vezes e observar o número de

caras;

Verificar o número de bits que não estão afetados por

ruídos, em um pacote com n bits;



Representação gráfica com n = 5 e p = 0,5

E(X)=25

Modelos de Distribuição DiscretaDistribuição Binomial

Exemplo 4. (DÍAZ) Um médico aplica um teste em dez alunos de umcolégio, para detectar uma enfermidade cuja incidência sobre umapopulação de crianças é de 10%. A sensibilidade do teste é de 80% ea especificidade é de 75%. Qual a probabilidade de que 4 pessoasapresentem um resultado positivo?

Dados:

P E = 0,1

𝑃(𝑇+|𝐸) = 0,8

𝑃(𝑇−|𝐸) = 0,75



Solução:

Pelo Teorema da Probabilidade Total

𝑃(𝑇+) = 𝑃(𝑇+|𝐸) ∙ 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝑇+|𝐸) ∙ 𝑃 𝐸 = 𝑂, 8 ∙ 0,1 + 0,25 ∙ 0,9 = 0,305

seja 𝑋1 a v.a que contabiliza o número de resultados positivos ,

e chamando 𝑝1 = 𝑃(𝑇+), então X segue uma distribuição binomial.



Portanto

𝑋1 𝑛1 = 10, 𝑝1 = 0,305 ↔ 𝑃 𝑋1 = 𝑥 =𝑛1𝑥

𝑝1𝑥 (1 − 𝑝)𝑛1−𝑥

Logo a probabilidade de que o resultado do teste dê positivo para 4pessoas é de:

𝑃(𝑋1 = 4) =104

0,3054 ∙ 0,6956 = 0,2048 ≡ 𝟐𝟎, 𝟒𝟖%



Exemplo 5. (WALPOLE) A probabilidade de que um paciente serecupere de uma doença sanguínea rara é de 0,4. Se 15 pessoascontraíram essa doença, calcule:

a) A probabilidade de que pelo menos 10 pessoas sobrevivam.

b) A probabilidade de que 3 a 8 pessoas sobrevivam.

c) A probabilidade de que exatamente 5 pessoas sobrevivam.

d) A esperança.

e) A variância.



Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão

a)

P X ≥ 10 = P X = 10 + P X = 11 +⋯+ P X = 15

Onde:

𝑝 𝑥 =𝑛𝑥

∙ 𝑝𝑥 ∙ (1 − 𝑝)𝑛−𝑥


Portanto

P x = 10 →1510

∙ 0,410 ∙ (0,6)5 = 0,0245

P x = 11 →1511

∙ 0,411 ∙ (0,6)4 = 7,42X10−3

P x = 12 →1512

∙ 0,412 ∙ (0,6)3 = 1,65X10−3

P x = 13 →1513

∙ 0,413 ∙ (0,6)2 = 2,54X10−3

P x = 14 →1514

∙ 0,414 ∙ (0,6)1 = 2,42X10−5

P x = 15 →1515

∙ 0,415 ∙ (0,6)0 = 1,07X10−6

𝐩 𝐱 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟔𝟏 ≡ 𝟑, 𝟔𝟏%




b) 𝑃 3 ≤ 𝑋 ≤ 8 = 𝑃(𝑋 ≤ 8) − 𝑃(𝑋 ≤ 3) →

P X = 8 + P X = 7 +⋯+ P X = 3 + P X = 2 + P X = 1+P X = 0 − [P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 + P X = 0 ]


Portanto

𝑃 3 ≤ 𝑋 ≤ 8 = P X = 8 + P X = 7 + 𝑃 𝑋 = 6 + 𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃 𝑋 = 4

Onde:

P x = 8 →158

∙ 0,48 ∙ (0,6)7 = 0,12 P x = 7 →157

∙ 0,47 ∙ (0,6)8 = 0,18

P x = 6 →156

∙ 0,46 ∙ (0,6)9 = 0,21 P x = 5 →155

∙ 0,45 ∙ (0,6)10 = 0,19

P x = 4 →154

∙ 0,44 ∙ (0,6)11 = 0,13

𝐩 𝐱 = 𝟎, 𝟖𝟑 ≡ 𝟖𝟑%




c)

p x = P X = 5 →155

0,45 ∙ 0,610 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟔 ≡ 𝟏𝟖, 𝟔%



d)

𝐸 𝑋 = 𝑛 ∙ 𝑝 → 15 ∙ 0,4 = 𝟔 pessoas

e)

𝑉 𝑋 = 𝑛. 𝑝 1 − 𝑝 → 15 ∙ 0,4 1 − 0,4 = 𝟑, 𝟔 𝐩𝐞𝐬𝐬𝐨𝐚𝐬𝟐


Distribuição Hipergeométrica

A distribuição hipergeométrica não necessita de independência e

se baseia na amostragem feita sem reposição.

O número X de sucessos de um experimento hipergeométrico é

chamado de variável aleatória hipergeométrica.



A distribuição de probabilidade de uma variável hipergeométrica échamada de distribuição hipergeométrica, onde seus valores sãodenotados por (x, N, n, r).

Onde:

N: O número de itens na população.

r: O número de itens na população que são classificados como sucessos.

n: O número de itens na amostra.

X: O número de itens na amostra que são classificados como sucesso.




𝒑 𝒙 =

𝒓𝒙

∙𝑵 − 𝒓𝒏 − 𝒙𝑵𝒏

[𝑥 = 0,1,… ,min 𝑟, 𝑛 ]




𝑭 𝒙 =

𝒊=𝟎

𝒙 𝒓𝒙

𝑵 − 𝒓𝒏 − 𝒙𝑵𝒏



Esperança E(x)

𝑬 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑

Variância V(X)

𝑽 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑 ∙ (𝟏 − 𝒑) ∙𝑵− 𝒏

𝑵 − 𝟏

Onde:

𝒑 =𝒓

𝑵



Exemplo 6. (BARBETTA, pg 133) Placas de vidro são expedidas em lotesde 30 unidades. Antes que a remessa seja aprovada, um inspetor escolhealeatoriamente 5 placas do lote e as inspeciona. Se nenhuma das placasfor defeituosa, o lote é aprovado. Se uma ou mais forem defeituosas, todolote é inspecionado. Supondo que haja 3 placas defeituosas no lote:

a) Qual é a probabilidade de que o controle da qualidade aponte para ainspeção total?

b) Encontre a esperança e variância.

Modelos de Distribuição DiscretaDistribuição Hipergeométrica

Solução: Seja X o número de placas defeituosas na amostra.

𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 − 𝑃(𝑋 = 0),

então:

a) p X = p 0 →30∙30−35−0305

=80,730

142,506= 𝟎, 𝟓𝟔𝟔𝟓

Logo, P X ≥ 1 = 1 − 0,5665 = 𝟎, 𝟒𝟑𝟑𝟓 ≡ 𝟒𝟑, 𝟑𝟓%



b)

E X = n ∙ p → 5 ∙ 0,1 = 𝟎, 𝟓 𝐩𝐥𝐚𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐯í𝐝𝐞𝐨𝐬

V X = n ∙ p ∙ 1 − p ∙N−n

N−1→ 5 ∙ 0,1 ∙ 0,9 ∙ 0,86 𝟎, 𝟑𝟗 𝐩𝐥𝐚𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐯í𝐝𝐞𝐨𝐬𝟐



Exemplo 7. No fichário de um hospital, estão arquivados os prontuários

de 20 pacientes, que deram entrada no PS apresentando algum problema

cardíaco. Destes 5 sofreram infarto. Retirando‐se uma amostra ao acaso

de 3 destes prontuários, qual a probabilidade de que dois deles sejam de

pacientes que sofreram infarto?



Solução:

N = 20; r = 5; n = 3; x = 2

p X =

52

∙20 − 53 − 2203

=150

1140= 𝟎, 𝟏𝟑𝟏 ≡ 𝟏𝟑, 𝟏%


Distribuição de Poisson

Propriedades

1- O número de resultados que ocorrem em um intervalo de tempo

ou em uma região específica é independente do número de

resultados que ocorre em outro intervalo de tempo disjunto ou

região do espaço disjunta – Processo de Poisson não tem

memória.



Propriedades

2- A probabilidade de que um único resultado ocorrerá durante

um breve intervalo de tempo ou em uma região pequena é

proporcional à extensão do intervalo de tempo ou ao tamanho

da região, e não depende do número de resultados que ocorrem

fora desse intervalo de tempo ou dessa região.



Propriedades

3- A probabilidade de que mais de um resultado ocorrerá em um

intervalo de tempo muito breve ou em uma região muito pequena é

desprezível.



A distribuição de Poisson é empregada quando se estáinteressado no número de sucessos ocorridos durante umintervalo contínuo (tempo, espaço, etc...). Exemplos:

Carros que passam por um cruzamento por minuto, durantecerta hora do dia;

O número de suicídios ocorridos em uma cidade durante umano;

Número de chegadas a um caixa automático de um bancodurante um período de 15 minutos.

Modelos de Distribuição DiscretaDistribuição de Poisson

Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se:

1. X = 0, 1, 2, … (não tem limites)

2. P X = x =e−λλ

x

x!, x = 0, 1, 2, … n.

3. E X = μ = λ

4. V X = σ2 = λ

Modelos de Distribuição DiscretaDistribuição de Poisson – Uma justificativa

X= número de ocorrência em [t, t+1]

n = intervalos de amplitude 1/n

p = probabilidade de ocorrência em cada intervalo

𝑷 𝑿 = 𝒙 ≈𝒏𝒙

∙ 𝒑𝒙 ∙ 𝟏 − 𝒑 𝒏−𝒙

𝒏 → ∞𝒑 → 𝟎

𝒏 𝒑 → λ >0




𝒑 𝒙 =𝒆−λ λ𝒙

𝒙!𝑥 = 0, 1, 2…




𝑭 𝒙 =

𝒊=𝟎

𝒙λ𝒊 𝒆λ

𝒊!para x = 0,1,2…



Esperança E(x)

𝑬 X = λ

Variância V(X)

𝑽 X = λ

Onde:

𝑬 X = 𝑽 X = λ



Exemplo 8. (BARBETTA, pg. 135) Supondo que as consultas em

um banco de dados ocorrem de forma independentes e aleatórias,

com uma taxa média de 3 consultas por minuto. Calcule a

probabilidade de que no próximo minuto ocorram menos do que 3

consultas.



Solução: Seja X o número de consultas por minuto.

p x = P X < 3 = p 0 + p 1 + p(2) →

𝑒−3 30

0!+𝑒−3 31

1!+𝑒−3 32

2!= 𝟎, 𝟒𝟐𝟑𝟐 ≡ 𝟒𝟐, 𝟑𝟐%



Exemplo 9. (BARBETTA, pg. 136) Mensagens chegam a umservidor de acordo com uma distribuição de Poisson, com taxamédia de cinco chegadas por minuto.

a) Qual é a probabilidade de que duas chegadas ocorram em umminuto?

b) Qual é a probabilidade de que uma chegada ocorra em 30segundos?



Solução

a)

𝑝 𝑥 =𝑒−5 52

2!= 𝟎, 𝟎𝟖𝟒 ≡ 𝟖, 𝟒%

b)

𝑝 𝑥𝑒−2,5 2,51

1!= 𝟎, 𝟐𝟎𝟓𝟐 ≡ 𝟐𝟎, 𝟓𝟐%

Referências

BARBETTA, P. A. REIS, M. M. BORNIA, A. C. Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 3ª Edição. Atlas S.A. São Paulo - SP, 2010.

COLCHER, Sérgio. Algumas Distribuições Discretas. Disponível em:

<http://www.inf.pucrio.br/~inf2511/inf2511_files/menu/material/transparencias/07-Distribuicoes.pdf>. Acesso em: 17 de Outubro de 2013.

DÍAZ, F. R. LÓPEZ, F. J. B. Bioestatística. Thonson. São Paulo – SP, 2007.

MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicação à estatística. 2ª Edição. LTC. Rio de Janeiro – RJ, 2012.

WALPOLE, R. E. et. al. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. 8ª Edição. Pearson. São Paulo – SP, 2009.

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