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Métodos Estatísticos
5 5 -- DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
Referencia: Estatística Aplicada às Ciências Sociais, Cap. 7
Pedro Alberto Barbetta. Ed. UFSC, 5ª Edição, 2002.
Distribuição deProbabilidades
A distribuição de probabilidades, ou modelo probabilístico, indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidadede cada resultado acontecer.
Exemplo(com var. discreta)
Um jogo de azar é realizado da seguinte forma: toma-se um círculo e divide-se-o em duas partes iguais, 1 e 2. Sobre o centro do círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado e anota-se o número do setor onde a ponta do ponteiro parou.
Exemplo
Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.
12
Distribuição deProbabilidades
1 2
0,50 0,50x p(x)
1 0,52 0,5
Total 1
Exemplo(com var. discreta)
Considerar a mesma situação, só que o círculo é dividido em quatro partes iguais. Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.
Exemplo
Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.
12
3 4
Distribuição deProbabilidades
x p(x)
1 0,252 0,253 0,25 4 0,25
Total 1 1 2 3 4
0,250,25
0,250,25
Exemplo 1: com variável aleatória
contínua
Sobre o centro de um círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado. Anota-se o ângulo formado pelo ponteiro com o eixo horizontal, como na figura a seguir.
Exemplo 1
Construir a distribuição de probabilidades para o ângulo (α) obtido nes-te experimento.
α
X = variável aleatória que indica o ângulo formado
f(x)
0o 360ox
Área = 1
1360
Exemplo 1
Qual é a probabilidade de se obter um ângulo entre 30o e 60o?
Exemplo 1
f(x)
0o 360ox
1360
= área = 0,0833
P(30o < X < 60o)
30o 60o
Exemplo 2
Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X a sua altura, em centímetros.
Apresenta-se, a seguir, uma possível distribuição de probabilidades para este caso.
Exemplo 2
130 140 150 160 170 180 190 200 210 x
f(x)
altura (em cm.)
Exemplo 2
Representar:
o evento: “o estudante selecionado ter 180 cm ou mais” (X ≥ 180) e
a probabilidade deste evento, isto é, P(X ≥ 180)
Exemplo 2
130 140 150 160 170 180 190 200 210 x
f(x)
altura (em cm.)X ≥ 180
P(X ≥ 180)
DistribuiçãoNormalf(x)
xµ
f x ex
( )( )
=−
−12
12
2
σ π
µσ
µ: médiaσ: desvio padrão
Características
xµ
Área = 1
Características
A variável aleatória pode assumir valores de - a + .8 8
µ x
Características
Identificada
pela média (µ)e pelo desvio
padrão (σ) .
µ
σ
x
Média e Desvio Padrão
xµ1
mesmo σ e diferentes µ
µ2
Média e Desvio Padrão
µ
σ = 2
σ = 4X
mesmo µ e diferentes σ
Características
Simetria em relação à média.
µ
50%
x
Características
A área sob a curva entre a média e um ponto qualquer é função da distância padronizada entre a média e aquele ponto.
Distância padronizada - distância expressa em função do número de desvios padrão (distância dividida pelo desvio padrão).
Exemplo
µ+σµ-σ µ
área = 68,3%
Exemplo
µ+2σµ-2σ µ
área = 95,4%
Exemplo
µ+3σµ-3σ µ
área = 99,7%
NormalPadronizada
z = x - µ
σ
z - variável normal padronizadax - variável normalµ - médiaσ - desvio padrão
NormalPadronizada
µ(µ-σ) (µ+σ)(µ-2σ) (µ+2σ)
σ
x
0 z-1 1-2 2
Exemplo
Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admita que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm. Qual o escore padronizado de um estudante com 190 cm?
Exemplo
x = 190 cm
z = x - µ
σ
190 - 17010
= = 2= 2010
Exemplo
2 z0
190
µ = 170σ = 10
x170
Exemplo
-1 1-3 32-2 z0
160 180140 200190150
µ = 170σ = 10
x170
σ
Exemplo
190 x170
P(X<190) = P(Z<2)
z20
Exercício 1:Uso da tabela
Com base na tabela da normal padronizada, calcular:
a) P(Z > 1)
z0 +1
0,1587 (tabela)
Exercício 1
Com base na tabela da normal padronizada, calcular:
b) P(Z > 1,23)
z0 1,23
0,1093 (tabela)
Exercício 1
c) P(-2 < Z < 2)
z0 2-2
0,0228 (tabela)
P(-2 < Z < 2) = 1 - 2.(0,0228) = 0,9554
Exercício 2
Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admitindo que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm, qual a probabilidade do estudante sorteado ter altura superior a 185 cm?
Exercício 2: resp.
x = 185 cm (µ = 170, σ = 10)
z = ?
z = x - µ
σ
185 - 17010
= = 1,5= 1510
Exercício 2: resp.
P(Z > 1,5)
z0 1,5
0,0668 (tabela)
Aproximaçãoda Binomialpela Normal
Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal com média n.π e variância n.π.(1- π).
Exemplo
Seja X o número de caras em 10 lançamentos de uma moeda perfeitamente equilibrada.
X é binomial com n = 10 e π = 0,5
Exemplo
0,001 0,01
0,246
0,01 0,001
0,117
0,0440,044
0,205
0,117
0,205
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
P(X)
número de caras (X)
Exemplo
Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 caras?
P(X>6) = P(7) + P(8) + P(9) + P(10)= 0,117 + 0,044 + 0,010 + 0,001 = 0,172
Exemplo
0,001 0,01
0,246
0,01 0,001
0,117
0,0440,044
0,205
0,117
0,205
P(X)
P(X>6) = 0,172
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Pela normal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
Exemplo
Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 caras? (usando a normal)
Exemplo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X>6,5)
x
Exemplo
x5 6,5
P(X>6,5)
Exemplo
µ = 5σ = 1,581139x = 6,5
z = x - µ
σ
6,5 - 5
1,581139= = 0,95
Exemplo
z0 0,95
0,1711
Lembrando:a probab. exata(pela binomial) era de 0,1720