sÉries de potÊncias definição: séries de potências é uma...

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1 MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2 SÉRIES DE POTÊNCIAS Definição: Séries de Potências é uma série infinita de termos variáveis. Elas podem ser usadas em várias aplicações, como por exemplo, encontrar aproximações de números irracionais como e também para encontrar valores de integrais que não podem ser integrados na forma analítica (ex: e são importantes para auxiliarem na resolução de equações diferenciais. Um série de potências em : onde: - as constantes , são os coeficientes da série. - a constante é o centro da série. Para temos : que é a ideia de um polinômio. A série pode convergir para alguns valores de mas pode divergir para outros valores de . Quando , a série converge com soma . O teste da razão é usado para se determinar os valores de para os quais a série de potências converge. Exemplos: Encontre os valores de para os quais a série de potências converge. para , a série converge para 0. E para ? Usar o teste da razão: De acordo com o teste da razão, a série converge se : Assim, a série converge para . E diverge para , para , ou seja para e para .

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MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2

SÉRIES DE POTÊNCIAS

Definição: Séries de Potências é uma série infinita de termos variáveis. Elas podem ser usadas em várias aplicações, como por exemplo, encontrar aproximações de números

irracionais como e também para encontrar valores de integrais que não podem ser

integrados na forma analítica (ex:

e são importantes para auxiliarem na resolução de

equações diferenciais. Um série de potências em :

onde: - as constantes , são os coeficientes da série. - a constante é o centro da série. Para temos :

que é a ideia de um polinômio. A série pode convergir para alguns valores de mas pode divergir para outros valores de . Quando , a série converge com soma . O teste da razão é usado para se determinar os valores de para os quais a série de potências converge. Exemplos: Encontre os valores de para os quais a série de potências converge.

para , a série converge para 0. E para ? Usar o teste da razão:

De acordo com o teste da razão, a série converge se :

Assim, a série converge para . E diverge para , para , ou seja para e para .

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Para , que equivale a , o teste da razão é inconclusivo.

A série é divergente de acordo com a propriedade:

A série também é divergente de acordo com a propriedade:

Portanto, a série converge apenas para valores de no intervalo aberto .

Teste da razão:

Teste da razão:

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Exercícios: Encontre os valores de para os quais a série de potências converge.

1-

2-

Resposta: a) Converge para todos os valores de . b) Converge apenas para .

Intervalo de convergência:

O conjunto de todos os números para os quais uma série de potências converge.

do Exemplo 1) do Exemplo 2) do Exemplo 3) é o "intervalo" contendo unicamente o número 0. Para qualquer série de potências, assume uma das três formas: Caso 1: é um intervalo limitado com centro e pontos extremos e , onde é um número real positivo. é chamado de Raio de convergência da série de potências. Caso 2: é infinito. Caso 3: consiste apenas em um único número . . Caso 1: A série diverge para

? ?

Converge Absolutamente para Nota: os pontos extremos e do intervalo de convergência podem ou não pertencer a . No exemplo 1, é um intervalo aberto. Em geral, a série pode divergir, convergir absolutamente ou convergir condicionalmente num ponto extremo de . Assim, o intervalo de convergência pode assumir uma das formas: , , , ) (neste caso, a série de potência sempre converge absolutamente). Teorema 1: Raio de convergência de uma série de potências Seja uma série de potências

com raio de convergência

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Suponha que

, onde L é um número real não negativo ou .

Verificar uma das três condições para se encontrar o raio :

(i) Se é um número real positivo, então

.

(ii) Se , então . (iii) Se , então . Observações:

1- A razão

é a razão entre os coeficientes e não entre os termos da série de potência.

2- O Teorema 1 não se aplica a séries de potência da forma , para . Nesse

caso, o raio de convergência pode ser encontrado aplicando-se o teste da razão. 3- O Teorema 1 é válido para

, para . Exercícios: Encontre o Centro a, o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências. Confira também a divergência, convergência absoluta ou convergência condicional da série de potências nos pontos extremos de

1-

Solução: Centro ; Teorema 1:

e

.

Assim,

Logo,

.

Portanto, a série converge Absolutamente para valores de no intervalo aberto e diverge para valores de fora do intervalo fechado . E para os valores (pontos extremos) ?

Para na série, obtém-se a série harmônica

que diverge.

Para na série, obtém-se a série harmônica alternada

que converge pelo teste

das séries alternadas (vistas em séries infinitas) e diverge pela soma do módulo (convergência condicional). Conclusão: Divergência no ponto extremo 1 e convergência condicional no ponto extremo -1. -1 0 1

2-

Solução: Centro ; Teorema 1:

e

.

Assim,

Logo, . (Teorema 1 (i)).

Portanto, a série converge Absolutamente para valores de no intervalo aberto e diverge para valores de fora do intervalo fechado . E para os valores (pontos extremos) ? Para na série, obtém-se a série alternada

que diverge (o termo geral não tende a zero). Para na série, obtém-se a série

que também diverge. Conclusão: Divergência nos dois pontos extremos: -6 e 0.

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-6 -3 0

3-

Solução: Centro ; Teorema 1:

e

.

Assim,

Logo,

(Teorema 1 (ii)).

Portanto, 4-

Solução: Centro ; Teorema 1: e .

Assim,

Assim

(Teorema 1 (iii)).

consiste no único número 0.

5-

Solução: Centro ; Podemos usar o teorema 1? NÃO!! (Conforme visto na observação (2) do Teorema 1).

Pois

não é o coeficiente da n-ésima potência de .

Neste caso, aplica-se o teste da razão original (usa-se o n-ésimo) termo, e NÃO o coeficiente da série.

.

Logo,

A série converge Absolutamente quando , ou seja, quando

E diverge para

Logo,

E para os valores

(pontos extremos) ?

Para os dois valores

e

a série fica:

que é a

série-p convergente.

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Assim, a série converge absolutamente em todo o seu intervalo de convergência:

Os exercícios abaixo foram extraídos do Munem, página 658.

6- 7-

8-

9-

10-

11-

12-

13-

14-

15-

16-

Respostas:

6)

7)

8) 9)

10) 11)

12) 13) 14) 15) 16) .

Integração e Diferenciação de Séries de Potências

Seja onde

é a série de potências dada. Domínio de : intervalo de convergência da série de potências. +..... Derivada da (Diferenciação termo a termo): + + + Integração de (Integração termo a termo):

Apenas para , onde R é o raio de convergência da série de potências.

Propriedades de e

1) A função é contínua no intervalo aberto . 2) As três séries de potências abaixo possuem o mesmo raio de convergência R.

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3) Para ,

4) Para ,

5) Para ,

Exemplos:

1) Encontre

Solução: Pelo Teorema 1, o raio de convergência da série de potências é :

Pelas propriedades 2 e 3, isto é,

para

2) Encontre para Solução: Pela propriedade 4:

isto é,

, para .

3) Use a fórmula

, que dá a soma da série geométrica para

, para escrever a expressão dada como a soma de uma série infinita.

a)

Solução:

para .

b)

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Solução: substituindo por em

, obtém-se:

para , ou seja, para .

c)

Obs: a função logarítmica natural, denotada por , é definida por:

Dessa

forma, a solução deve ser alcançada considerando esta definição (diferente do teorema que diz que,

para

).

Solução: Usando o resultado anterior e a propriedade 5,

para .

d)

Solução: substituindo por em

, obtém-se:

para .

Obs: a convergência da série ocorre quando Mas se verifica exatamente quando .

e) Solução: Usando o resultado anterior e a propriedade 5,

para .

f)

Solução:

Substituindo por em

obtemos:

para .

g)

Solução: Divide por frações parciais, depois resolve cada uma (encontra um série de potências para cada uma) e depois efetua a soma.

Divisão por frações parciais:

Analisando cada série separadamente:

(do enunciado) e

(do exemplo f)

Usando o resultado anterior, temos:

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para Obs: Verificar o raio de convergência pelo Teorema 1.

4) Seja

para (Teorema 1, R=1).

Represente como uma série infinita.

Solução: Para ,

Obs: Conferir se o resultado está correto (ou seja, através da resolução da derivada)

5) Seja

Represente

como uma série infinita.

Solução: Como a série de potências está elevado a e não apenas a , devemos usar o teste da razão. Primeiro: obter o raio de convergência da série de potências:

Ou seja, o raio de convergência . Assim, é definida para todos os valores de . Segundo: Representar a integral fornecida como uma série infinita.

Exercícios:

Use a fórmula

, para , para escrever a expressão dada como a soma de uma

série infinita que represente cada expressão. Especifique os valores de para os quais a representação é correta.

1)

2)

3)

4)

5) obs:

6)

7)

Respostas: 1) 2)

3)

4)

5) -

6) -

7)

Escreva uma série de potências para e encontre o raio de convergência.

1) 2)

Respostas: 1) 2)

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Série de Taylor

A partir de uma função f, tentar encontrar uma série de potências que convirja para ela, ou seja, tentar

expandir f como uma série de potências.

Função infinitamente diferenciável:

Definição: Uma função f definida em um intervalo aberto J é dita ser infinitamente diferenciável em J

se ela possui derivadas de todas as ordens k.

Seja f uma função infinitamente diferenciável em um intervalo aberto J e seja 'a' um número em J.

Então, a série de Taylor para f em 'a' é a série de potências:

onde

para

OBS: a série de MacLaurin é a série de Taylor para em .

Exemplos (encontrar as séries de Taylor e o intervalo de convergência de cada série):

1) Encontre a série de Taylor para

.

Solução:

... ...

Coeficientes da série de Taylor:

(onde os sinais alternar em pares)

Logo, a série de Taylor

para

é dada por:

2) Encontre a série de MacLaurin para .

Solução: ...

Logo,

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A série de MacLaurin é dada por:

OBS: embora uma função infinitamente diferenciável tenha uma série de Taylor, essa série não

precisa convergir para a função.

3) Encontre a série de MacLaurin para .

Solução:

... A série de MacLaurin

é dada por:

,

4) Encontre a série de MacLaurin para . Solução: ... A série de MacLaurin

é dada por:

,

Esta série de potências pode ser obtida diretamente diferenciando-se a série de potências para o seno,

já que

5) Encontre a série de MacLaurin para .

,

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OBS: séries de potências adicionais podem ser obtidas através desses exemplos por várias

substituições: Exemplo:

, substituindo-se por na série de

potências para .

Exercícios: Encontre as séries de Taylor para as funções abaixo:

a)

b) . c)

.

d) . e) .

f)

. (sugestão: usar o resultado da expansão de e resolver primeiro o

numerador)

g)

h)

i)

j)

Respostas: a)

, b)

c)

, d)

,

e)

, f)

g) , h)

,

i)

, j)

,

Série Binomial

Teorema 1: Expansão de uma série binomial Se tivermos o problema para encontrar o desenvolvimento em série de MacLaurin da função f definida

por , onde p é um número real qualquer e usaremos a expansão em série

binomial para encontrar um desenvolvimento em série de MacLaurin.

A série binomial é a série de potências definida da forma:

onde p uma constante qualquer positiva diferente de zero e não pode ser um inteiro positivo. n fatores

Define-se , e para cada inteiro positivo n,

Assim:

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.

e assim por diante.

A série binomial

tem raio de convergência . Para ,

Exemplos:

1) Encontre uma expansão em série de MacLaurin para

, Solução: Do Teorema 1, . Assim,

...

em geral:

E, portanto,

2) Use os primeiros três termos da expansão obtida no exemplo 1 para aproximar

Solução:

=

Fazendo

na expansão do exemplo 1:

Assim,

Valor real de

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3) Encontre uma expansão em série de MacLaurin para

,

Solução:

Do Teorema 1, . Assim,

...

E, portanto,

4) Estime o valor de

considerando os três primeiros termos da série.

Solução:

Pelo Exemplo 1, para , temos:

Substituindo por , obtemos:

Portanto,

Considerando então os três primeiros termos da série, obtemos:

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Exercícios:

1- Usar a expansão em série binomial para encontrar um desenvolvimento em série de MacLaurin.

a)

b)

c)

Resposta: a) 1+

b) 1+

c)

2- Use os três primeiros termos de uma série binomial apropriada para estimar cada número.

a)

( ) b) ( )

c)

( ...) d) ( )

e)

( ...)

Bibliografia:

1- Cálculo com geometria analítica. Vol.2 Swokowski. 2- Cálculo. Vol. 2. Munem - Foulis 3- Cálculo. Vol. 2. James Stewart.