Download - 2 Cálculo de Funções Por Séries de Potências
-
7/21/2019 2 Clculo de Funes Por Sries de Potncias
1/16
Clculo de Funes por Sries de Potncias 2-1
Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
Clculo de Funes por Sries de Potncias
O objetivo do clculo de funes por sries de potncias o de se obter expresses
simples para a avaliao de funes com grau de complexidade maior. Alm disso, veremos
que o desenvolvimento de funes por sries de Taylor forma o ncleo bsico de um curso de
Clculo Numrico, de modo que o entendimento desse assunto indispensvel para o
entendimento dos diversos mtodos numricos a serem abordados nos prximos captulos.
Definio
Uma Srie de Potnciasem x - x0 uma srie da forma
a a x x a x x a x x a x xnn
n
0 1 0 2 02
3 03
0
0
+ + + + = =
( ) ( ) ( ) ( )
O problema do clculo de uma funo por meio de sries de potncia consiste em se encontrar
os coeficientes ande uma srie infinita, tal que:
f x a x xnn
n
( ) ( )= =
00
Sries de Taylor
Definio: Uma funo y = f(x) analticanum ponto x0, se f(x) for a soma de uma srie de
potncias para todo x tal que |x - x0|< r, r> 0:
f x a x xnn
n
( ) ( )= =
00
(2.1)
Toda a funo analtica em x0, tambm o na vizinhana de x0. Lembrando: uma funo f(x)
analticanum ponto x0se ela satisfizer as seguintes condies: (1) a funo existe em x0e vale
f(x0); (2) a funo contnua em x0e (3) a funo diferencivel em x0e suas derivadas f(x),
f(x), ..., f(n)(x) existem nesse ponto.
Clculo dos coeficientes an:
Se f(x) analtica em x0, ento a funo vale f(x0) nesse ponto e tambm as suas derivadas
existem e valem f'(x0), f"(x0), ... , f(n)
(x0). Deste modo, podemos calcular o valor da funo e
de suas derivadas fazendo:
f x a x xnn
n
( ) ( )= =
00
=
=
f x na x xn
n
n( ) ( )0
1
1
-
7/21/2019 2 Clculo de Funes Por Sries de Potncias
2/16
Clculo de Funes por Sries de Potncias 2-2
Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
=
=
f x n n a x xn nn
( ) ( ) ( )1 02
2
=
=
f x n n n a x xn nn
( ) ( )( _ ( )1 2 03
3
f x n n n m a x xn nn m
n m
( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +
=
1 1 0
Substituindo x = x0, obtemos: f(x0) = a0, f '(x0) = a1, f "(x0) = 2!a2, f (x0) = 3!a3, ... ,f
(m)(x0) = m!am, de onde vem que:
a f x a f x af x
af x
af x
mm
m
0 0 1 0 20
30 0
2 3= = =
=
=( ), ( ),
( )
!,
( )
!, ,
( )
!
( )
que, substituindo na equao (2.1), resulta em:
f x f x f x x xf x
x xf x
x x
f x
n
x x
nn
n
( ) ( ) ( )( )( )
!( )
( )
!( )
( )
!
( )
( )
= + +
+
+
= =
0 0 00
02 0
03
00
0
2 3
(2.2)
A expresso (2.2) fornece o mtodo para o clculo dos coeficientes de uma srie de potncias
denominada sries de Taylor.
Exemplo 1:Expanso da funo f(x) = exem sries de Taylor em torno de x0= 0.
Clculo da funo e suas derivadas em x0= 0:
f(x) = ex, f(0) = e
0= 1
f'(x) = ex
f'(0) = 1
f"(x) = ex
f"(0) = 1
f(n)
(x) = ex, f
(n)(0) = 1
Substituindo na equao geral da srie de Taylor, resulta:
e xx x x
n
xn
n
= + + + + =
=
1
2 3
2 3
0! ! !
-
7/21/2019 2 Clculo de Funes Por Sries de Potncias
3/16
Clculo de Funes por Sries de Potncias 2-3
Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-20
0
20
40
60
80
Funo exponencial
ex
2 termos
3 termos
4 termos
5 termos
y
=
f(x)
x
Fig. 2.1 - Grfico comparativo entre a funo exexata e a srie de Taylor aproximada com
diferentes nmeros de termos da srie.
Exemplo 2:Expanso em sries de Taylor para a funo sen x em torno de x 0= 0.Clculo da funo e suas derivadas em x0= 0:
f(x) = sen x f(0) = sen 0 = 0
f'(x) = cos x f '(0) = cos 0 =1
f "(x) = sen x f"(0) = 0
f'''(x) = cos x f '''(0) = 1
f(4)
(x) = sen x f (4)
(0) = 0
As derivadas da funo sen x so cclicas, de modo que f(4)
(x) = f(x), f(5)
(x) = f(x), e assim
por diante. Substituindo na expresso geral para a srie de Taylor, resulta:
sen! ! !
( )( )!
x xx x x x
n
nn
n
= + + = +
+
=
3 5 7 2 1
03 5 7
12 1
-
7/21/2019 2 Clculo de Funes Por Sries de Potncias
4/16
Clculo de Funes por Sries de Potncias 2-4
Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Funo seno
sen x
2 termos
3 termos4 termos
5 termos
y
=
f(x)
x
Fig. 2.2 - Grfico comparativo entre a funo sen x exata e a srie de Taylor aproximada com
diferentes nmeros de termos da srie.
Exemplo 3:Expanso da funo cos x em sries de Taylor em torno de x0= 0.Clculo da funo e suas derivadas em x0= 0:
f(x) = cos x f(0) = cos 0 = 1
f'(x) = sen x f '(0) = sen 0 = 0
f "(x) = cos x f"(0) = 1
f'''(x) = sen x f '''(0) = 0
f(4)
(x) = cos x f (4)
(0) = 1
Observar que, como no caso da funo sen x, as derivadas da funo cos x so repetitivas a
partir da 4aderivada. Substituindo na expresso geral para a srie de Taylor, resulta:
cos! ! !
( )( )!
xx x x x
n
nn
n
= + + = =
12 4 6
12
2 4 6 2
0
-
7/21/2019 2 Clculo de Funes Por Sries de Potncias
5/16
Clculo de Funes por Sries de Potncias 2-5
Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-2
-1
0
1
2Funo cosseno
cos x
2 termos
3 termos
4 termos
5 termos
y
=
f(x)
x
Fig. 2.3 - Grfico comparativo entre a funo cos x exata e a srie de Taylor aproximada com
diferentes nmeros de termos da srie.
Exemplo 4:Seja f(x) = ln x.
Expandir em sries de Taylor em torno de x0= 0.
Clculo de f(0) e suas derivadas:
f(x) = ln x, = = =f xx
f xx
f xx
( ) , ( ) , ( ) , ,1 1 2
2 3
f xn
x
n nn
( ) ( ) ( )( )!
=
111 (n = 1, 2, 3, ...),
de modo que f(1) = 0, f'(1) = 1, f"(0) = -1, f'''(1) = 2, ..., f(n)
(1) = (-1)
n-1
(n-1)!.Substituindo em (2.2), vem que:
ln ( )( ) ( ) ( )
( )( )
x xx x x x
n
nn
n
=
+
+ =
=
1 121
3
1
41
12 3 4 1
1
-
7/21/2019 2 Clculo de Funes Por Sries de Potncias
6/16
Clculo de Funes por Sries de Potncias 2-6
Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0Funo logaritmo
ln x
2 termos
3 termos
4 termos
5 termos
y
=
f(x)
x
Fig. 2.4 - Grfico comparativo entre a funo ln x exata e a srie de Taylor aproximada com
diferentes nmeros de termos da srie.
Teorema da convergncia para sries de potncias: Seja a x xnn
n
( )=
00
uma srie de
potncias dada. Uma das seguintes condies vlida:
(i) a srie converge somente quando x = x0;(ii) a srie absolutamente convergente para todos os valores de x;(iii)existe um nmero R > 0, tal que a srie seja absolutamente convergente para todos os
valores de x, para os quais |x-x0|< R, e seja divergente para todos os valores de x, para osquais |x-x0|> R. A grandeza R denominada raio de convergnciada srie de potnciasdada.
Exemplo 5:Determinar o raio de convergncia da srie de Taylor para a funo ex.
Para determinarmos o raio de convergncia da funo ex, vamos aplicar o teste da razo:
lim lim( )!
!
limn
n
n n
n
nn
a
a
x
n
x
n
x
n
+
+
=
+=
+ =1
1
1
10, para qualquer valor de x
Como o critrio da razo estabelece que a srie convergente quando o limite acima menor
do que 1, conclui-se que o raio de convergncia da srie de Taylor da funo exponencial sotodos os valores de x, tal que x , ou seja, |x|< .
-
7/21/2019 2 Clculo de Funes Por Sries de Potncias
7/16
Clculo de Funes por Sries de Potncias 2-7
Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
Exemplo 6: Determinar o raio de convergncia da srie de Taylor para a funo ln x,
expandida em torno de x0= 1.
A srie de Taylor da funo ln x expressa como:
ln ( )( ) ( ) ( )
( )( )
x xx x x x
n
nn
n
=
+
+ =
=
1 121
3
1
41
12 3 4 1
1
Aplicando o teste da razo ao termo geral da srie:
lim lim
( )
( )lim ( ) lim
n
n
n n
n
nn n
a
a
x
n
x
n
xn
nx
n
nx
+
+
=
+
=
+ =
+ = 1
11
1
11
11
11
Como o critrio da razo estabelece que a srie convergente quando o limite menor do
que 1, resulta:
x x x < < < <
-
7/21/2019 2 Clculo de Funes Por Sries de Potncias
8/16
Clculo de Funes por Sries de Potncias 2-8
Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
Como a srie convergente para x = 1,5 observa-se que a funo fornece o resultado
correto com cinco casas decimais empregando 13 termos da srie. Os outros valores, para n e). Assim, podemos calcular n da frmula de Leibniz
como: R xn n
nn
n
( )! !
! .= = < >1 31 3
10 3106 6 . Esta desigualdade no tem soluo
analtica, de modo que vamos calcular o valor de n substituindo-se numericamente valores de nat encontrar um que satisfaa a condio de Leibniz. Se fizermos n = 9, teremos que
9! = 362.880 < 3.106. Se n = 10, vem que 10! = 9!x10 = 3.628.800 > 3.10
6. Portanto, para se
calcular e1com erro inferior a 10
-6so necessrios n = 10 termos na srie de potncias.
Exemplo 11:Determinar o nmero de termos necessrios para se avaliar o sen 5 por sries de
potncias com preciso de cinco casas decimais.
Soluo: Preciso de cinco casas decimais equivalente a calcular sen 5 com erro absoluto de
1 em 10-5
, ou seja, Rn(x) 10-5:
R x M xn
Mnn
n n
( )( )! ( )!= + = +
+ +
52 1
52 1
10
2 1 2 1
5 ,
-
7/21/2019 2 Clculo de Funes Por Sries de Potncias
10/16
Clculo de Funes por Sries de Potncias 2-10
Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
onde { }M max f n= =( ) ( ) 1, pois embora no saibamos qual ser a n-sima derivada de sen x,
sabemos que no mximo ela ser igual a 1. Assim,
15
2 110
2 1
510
2 15
2 15
n
nn
n+ ++
+
( )!
( )!
Novamente, calcularemos o valor de n por substituio numrica. A soluo vem para
(2n + 1) = 21, ou n = 10. Observar que a varivel contadora n se inicia em 0. Assim, sero
necessrios, no mximo, 11 (= n + 1) termos da srie de Taylor para o clculo de sen 5 com
preciso de cinco casas decimais.
Exemplo 12:Vamos verificar se o valor de n calculado no Exemplo 2 fornece o resultado comcinco casas decimais de preciso. Utilizando o programa de clculo FORTRAN seno.for ou a
verso em linguagem C, seno.c1, obtemos para n = 11, sen 5 = -0,9589238336 e erro absoluto
= 9,3.10-6
. Observar que o resultado obtido por sries de potncias est correto at a quinta
casa decimal em comparao ao resultado exato (-0,9589242762) com dez casas decimais.
Derivao de Sries de Potncias
Seja y = f(x) uma funo expandida em uma srie de potncias. O operador linear
derivada (ou diferenciao) pode ser aplicado com facilidade a uma srie de potncias devido associatividade da operao de derivao, i.e., a derivada de um somatrio igual ao
somatrio das derivadas:
( )dy
dx
d
dxa x
d
dxa x na xn
n
n n
nn
nn
n
=
= =
=
=
=
0 0
1
1
Observe que o primeiro ndice do ltimo somatrio vale n = 1 devido derivao da potncia
xnque reduziu em um termo a srie.
Exemplo 13:Seja f(x) = sen x, calcular a derivada da srie de Taylor desta funo.
( )sen
! ! !( )
)!x x
x x x x
n
nn
n
= + + = +
+
=
3 5 7 2 1
03 5 7
12 1
Derivando-se os dois lados da equao,
1Disponveis em http://www.demar.faenquil.br/programas
-
7/21/2019 2 Clculo de Funes Por Sries de Potncias
11/16
Clculo de Funes por Sries de Potncias 2-11
Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
( )d
dxx
d
dxx
x x x d
dx
x
n
x x x x x x
nn
n
(sen )! ! !
( ))!
! ! ! ! ! !
= + +
= +
= + + = + +
+
=
3 5 7 2 1
0
2 4 6 2 4 6
3 5 71
2 1
13
3
5
5
7
71
2 4 6
Mas, sabemos que
( )cos
! ! !( )
)!x
x x x x
n
nn
n
= + + = =
1 2 4 6 1 22 4 6 2
0
de modo qued
dx x x(sen ) cos= , verificado pela identidade entre as sries de potncias acima.
Exemplo 14:Seja f(x) = ln x, calcular a derivada da srie de Taylor desta funo expandida
em torno de x0= 1.
ln ( )( ) ( ) ( )
( )( )
x xx x x x
n
nn
n
=
+
+ =
=
1 121
3
1
41
12 3 4
1
1
Derivando esta srie, resulta:
d
dxx
x
d
dxx
x x x
x x x x xn n
n
n n
n
(ln ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
+
+
= + + = =
=
=
11
1
2
1
3
1
4
1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4
2 3 1 1
1 0
Observe a troca do ndice do somatrio de n = n - 1 para n = n na ltima expresso acima, de
modo que o primeiro ndice desse somatrio comea em n = 0.
Integrao de Sries de Potncias
A integrao de uma funo em srie de potncias pode ser feita termo a termo:
f x dx a x dx a x dxa x
n
a x
nnn
n
nn
n
nn
n
nn
n
( ) =
= =
+ =
=
=
+
=
=
0 0
1
0 11
Observe que, de forma anloga diferenciao, o primeiro ndice do ltimo somatrio vale
n = 1 devido adio de mais um termo srie de potncia xn
.
-
7/21/2019 2 Clculo de Funes Por Sries de Potncias
12/16
Clculo de Funes por Sries de Potncias 2-12
Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
Exemplo 15:Calcular cos .x dx por Sries de Potncias.A srie de potncias de cos x expressa como:
cos! ! !
( )( )!
xx x x x
n
nn
n
= + + = =
1 2 4 6 1 22 4 6 2
0
Integrando, obtm-se:
cos .! ! ! ! ! !
( )( )!
x dxx x x
dx xx x x x
n
nn
n = + +
= + + = +
+
=
12 4 6 3 5 7
12 1
2 4 6 3 5 7 2 1
0
que exatamente a srie de potncias da funo sen x.
Exemplo 16:A integralsenx
xdx bastante utilizada no Eletromagnetismo. Entretanto, o
integrando sen x/x no possui primitiva, de modo que a sua soluo obtida atravs da
expanso em sries de potncias. Vamos mostrar neste exemplo como relativamente simples
obter a expresso em sries de potncias dessa integral.
Consideremos, inicialmente, a srie de Taylor da funo sen x:
sen ! ! ! ( ) ( )!x x
x x x x
n
nn
n= + + = +
+
=
3 5 7 2 1
03 5 7 1 2 1
Dividimos termo a termo ambos os lados da equao por x:
sen
! ! !( )
( )!
x
x
x x x x
n
nn
n
= + + = +
=
1 3 5 7 1 2 12 4 6 2
0
Agora, integramos a equao e obtemos:
sen
! ! ! ! !5 !
( )
( )!( )
x
xdx
x x xdx x
x x x x
n n
n n
n
= + +
= + + =
+ +
+
=
13 5 7 3 3 5 7 7
1
2 1 2 1
2 4 6 3 5 7 2 1
0
Exemplo 17:Calcularsenx
x
dx
01
com cinco casas decimais de preciso.
-
7/21/2019 2 Clculo de Funes Por Sries de Potncias
13/16
Clculo de Funes por Sries de Potncias 2-13
Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
sen
! !5 ! ! !5 !
x
xdx x
x x x = + + = + +
0
13 5 7
3 3 5 7 71
1
3 3
1
5
1
7 70
1
+ =1 0 055556 0 001667 0 000028 0 946083, , , ,
Algumas Sries de MacLaurin (x0= 0)
Frmula geral da srie de MacLaurin, que um caso particular da srie de Taylor quando
x0= 0:
f x f f xf
xf
xf
nx
nn
n
( ) ( ) ( )( )
!
( )
!
( )
!
( )
= + +
+
+ ==
0 0
0
2
0
3
02 3
0
1. Srie geomtrica
( )1 1 11 2 3 4 5 = + + +
-
7/21/2019 2 Clculo de Funes Por Sries de Potncias
14/16
Clculo de Funes por Sries de Potncias 2-14
Clculo Numrico e Computacional C.Y. Shigue
7. Funo seno hiperblico
senh x = xx x x x
n
x
n
n
+ + + + =
+
< +
=
3 5 7 2 1
03 5 7 2 1! ! ! ( )!
8. Srie binomial
( )a x an
a xn
a xn
a x xn n n n n+ = +
+
+
+ <
1 2 31 2 2 3 3
9. Funo logaritmo
1
2
1
1 3 5 7 2 11
3 5 7 2 1
0
ln+
= + + + + = +