prof. roberto cristóvão [email protected] aula 17 séries de potências e...
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Série de Potências
Uma série de potências é uma série da forma
onde é uma variável e são constantes chamadas coeficientes da série.
Observação
Para cada fixado, a série de potências é uma série de constantes que podemos testar quanto a convergência ou divergência.
Uma série de potências pode convergir para alguns valores de e divergir para outros valores de .
Observação
A soma da série é uma função
cujo domínio é o conjunto de todos os para os quais a série converge.
Note que se assemelha a um polinômio. A única diferença é que tem infinitos termos.
Observação
Se tomarmos , a série de
potências se torna a série geométrica
que converge quando e
diverge quando .
1nc n
Série de Potências em (x-a)A série da forma
é denominada série de potências em ou série de potências centrada
em ou série de potências em torno
de .
Observação
Adotamos a convenção de quemesmo quando
Note também que, quando , todos os termos são 0 para e assim a série de potências sempre converge.
Exemplo 1
Para que valores de a série é convergente?Solução:Usando o teste da Razão para temos
a série diverge quando 0. Então a série dada converge
apenas quando 0.
x
x
Exemplo 2
Para quais valores a série converge? Solução: Seja Então,
quando n
Teste de Comparação no Limite
Exemplo 2
Pelo Teste da Razão, a série dada é absolutamente convergente, e portanto convergente quando e é divergente quandoNote que,
de modo que a série converge quando e diverge quando ou
Observação
O Teste da Razão não fornece informaçãoquando ; assim, devemos Considerar e separadamente. Para a série se tornará a série harmônica que é divergente.Para a série é que converge pelo teste da série alternada. Então a série dada converge para
Exemplo 3
Encontre o domínio da função de Bessel de ordem 0 definida por
Solução: Seja
Então,
Exemplo 4
Então, pelo Teste da Razão, a série converge para todos os valores de
( , ) .fD
x
Teorema
Seja uma série de
potências. Existem apenas três possibilidades:(i)A série converge apenas quando(ii)A série converge para todo(iii)Existe um número positivo tal que a série
converge se e diverge se
Raio de Convergência
Em (iii) é chamado raio de convergência da série de potências.
Por convenção, o raio de convergência é:
no caso (i); no caso (ii).
Intervalo de Convergência
No caso (i) o intervalo consiste em apenas um único ponto;No caso (ii) o intervalo éNo caso (iii) existem quatro possibilidades:
Resumo
Série Raio de convergência
Intervalo de convergência
Série geométrica
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Solução:
Seja Então,
Exemplo 4
quando n
Exemplo 4
Pelo Teste da Razão, a série dada converge se e diverge seIsso significa que o raio de convergência é A série converge em . Se
diverge!
Exemplo 4
Se
converge pelo Teste da série alternada. Logo, o intervalo de convergência da série é
Exemplo 5
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Solução:
Se então,
Exemplo 5
Assim a série converge see diverge se Então, o raio de convergência é
quando n
Exemplo 5
Para
Para
(divergente!)
(divergente!)
( o intervalo de
convergência
é (-5,1) )
Representações de Funções
( )I
Exemplo 1
Expresse como a soma de uma série de potências e encontre o intervalo de convergência.Solução: Trocando por em , temos
( )I
Exemplo 1
Como essa é uma série geométrica, ela converge quando isto é,ou
Logo, o intervalo de convergência é (-1,1).
Exemplo 2
Encontre uma representação em série de potências paraSolução: Note que
Exemplo 2
A série converge quando isto é,
Logo, o intervalo de convergência é (-2,2).
Exemplo 3
Encontre uma representação em série de potências paraSolução: Note que
Exemplo 3
Outra maneira de escrever essa série é a Seguinte:
Como no Exemplo 2, o intervalo de convergência é (-2,2).
Derivação e Integração de Séries de Potências
Teorema. Se tiver raio de convergência então definida por
é diferenciável em e
Em (i) e (ii) os raios de convergência são ambos iguais a .R
Observação
As equações (i) e (ii) podem ser reescritas na forma
Exemplo 4
Função de Bessel
Exemplo 5
Expresse como uma série de potências pela derivaçao de . Qual o raio de convergência?Solução: Derivando cada lado da equação:
obtemos
( )I
( )I
o raio de convergência da série dada é o mesmo da série original, 1.R
Exemplo 5
Podemos trocar por e escrever a resposta como
Exemplo 6
Encontre uma representação em série de potências para e seu o raio de convergência?Solução: Integrando ambos lados de temos:
( )I
Exemplo 6
Para achar o valor de , colocamos na equação anterior e obtemosEntão e
o raio de convergência da série dada é o mesmo da série original, 1.R
Observação
Note que quando colocamos , como vemos que
Exemplo 7
Encontre uma representação em série de potências para Solução: Note que
logo
1( .)f x tg x
1tg x
Exemplo 7
Para achar o valor de , colocamos na equação anterior e obtemosPortanto,
1tg 0 0.C
1tg x
2
1
Como o raio de convergência da série para 1/ (1 )é 1,
o raio de convergência dessa série para tg ( ) é també .m 1
x
x
Exemplo 8
(a) Calcule (b) Use a parte (a) para aproximar com precisão de Solução: (a)
Exemplo 8
Integrando termo a termo:
7Essa série convege para <1, isto é, <1.x x
Exemplo 8
(b) Ao aplicar o T.F.C. podemos considerar
0.C
Exemplo 8
Se pararmos de somar depois do termo com o erro é menor que o termo com
Assim, temos,
