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MATEMÁTICA I

AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES

Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi

Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

Parte 1

• Conjuntos numéricos

• A reta real

• Intervalos Numéricos

• Valor absoluto de um número

• Potências

• Produtos notáveis e binômio de Newton

Parte 2

• Função

• Variáveis

• Traçando Gráficos

• Domínio e Imagem

• Família de Funções

• Funções Polinomiais

• Funções Exponenciais e Logarítmicas

• Funções Trigonométricas

CONJUNTOS NUMÉRICOS

São, em geral, subconjuntos de ℝ, o conjunto dos números reais.

Números naturais ℕ: São os números empregados em processos de contagem.

Exemplos: 0,1, 2, 3, 4,...

Números Inteiros ℤ : São os números empregados em processos de contagem,

acrescidos de seus opostos.

Exemplos: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...

Números racionais ℚ : É o conjunto de todos os números que podem ser

escritos como quocientes 𝑎

𝑏, 𝒃 ≠ 𝟎.

Exemplos:−1

4, −

1

18,1

2,

7

10, 10

50, 20

20, ...

Números irracionais ℚ′ ou I : Todos os números reais que não são racionais

Exemplos: 𝜋 = 3,141592653589793…, 2 = 1,414213562373095… ,

Exemplo 1.1 Verifique a qual ou quais conjuntos numéricos os

números abaixo pertencem

a) −7 b) 0,7 c) 7 d) 𝟕

𝟎 e) −7 f)

0

7

OBS.: 7 = 2,645751311064591

ℂ

ℝ ℚ

I

ℤ ℕ

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Números reais podem ser representados por pontos em

uma reta 𝑟, tal que

a cada número real 𝑎 corresponda exatamente a um ponto

sobre a reta 𝑟, e reciprocamente.

Exemplo. Represente o conjunto 3; −5;

2

3 ; 5; −1,5; −𝜋 sobre uma reta

real.

ℝ

A RETA REAL

O intervalo fechado 𝑎, 𝑏 é o conjunto de todos números

reais 𝑥 tais que 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

Costumamos simplificar a notação acima como {x : a ≤ x ≤ b},

𝑎, 𝑏 = 𝑥: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

ficando entendido que 𝑥 ∈ ℝ.

INTERVALOS NUMÉRICOS

O intervalo aberto e os intervalos semi-abertos são os conjuntos:

O intervalo infinito −∞,∞ é toda a reta real ℝ.

Um intervalo semi-infinito pode ser aberto ou fechado.


Os intervalos abertos e fechados são descritos por desigualdades.

Representação:

Generalizando, para todo 𝑐 ∈ ℝ,

Representação:

Nesse caso o intervalo 𝑎, 𝑏 = 𝑐 − 𝑟, 𝑐 + 𝑟 , onde 𝑐 =𝑎+𝑏

2 e 𝑟 =

𝑏−𝑎

2


Exemplo 2.2 (Descrevendo desigualdade com intervalo)

Descreva o conjunto 𝑆 = 𝑥:1

2𝑥 − 3 > 4 em termos de intervalos.

Solução. É mais fácil considerar primeiro a desigualdade oposta

1

2𝑥 − 3 ≤ 4, assim

1

2𝑥 − 3 ≤ 4 ⇒ −4 ≤

1

2𝑥 − 3 ≤ 4 ⇒ −4 + 3 ≤

1

2𝑥 − 3 + 3 ≤ 4 + 3

−1 ≤1

2𝑥 ≤ 7 ⇒ −1 ∙ 2 ≤

1

2𝑥 ∙ 2 ≤ 7 ∙ 2 ⇒ −2 ≤ 𝑥 ≤ 14

Note que 1

2𝑥 − 3 ≤ 4 está satisfeito quando 𝑥 ∈ −2, 14 .

O conjunto S é o complementar, consistindo em todos números x que não

estão em −2, 14 , ou seja, 𝑺 = −∞,−𝟐 ∪ 𝟏𝟒,∞

Representação.


O valor absoluto de um número real 𝑥, denotado por 𝑥 ,

é definido por:

𝒙 = 𝐝𝐢𝐬𝐭â𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐚 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐞𝐦 = 𝒙, 𝐬𝐞 𝒙 ≥ 𝟎−𝒙, 𝐬𝐞 𝒙 < 𝟎

Representação

Distância entre dois números reais

A distância entre dois números reais 𝑎 e b é |b − 𝑎 |, que é o

comprimento do segmento de reta que liga 𝑎 a b

|𝑥|

𝑥

VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO

Observação. 𝑎 + 𝑏 não é igual a 𝑎 + 𝑏

A menos que 𝑎 e 𝑏 tenham o mesmo sinal ou pelo menos

um dos dois for zero.

Se a e b tiverem sinais opostos, então

𝑎 + 𝑏 < 𝑎 + 𝑏

• Por exemplo,

|2 + 5| = |2| + |5|

|−2 + 5| = 3 < 7 =|−2| + |5| .

• Em todo caso, |a + b| nunca é maior do que |a| + |b|

e assim temos a importante desigualdade triangular:

VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO

Definição. Se 𝑎 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ , então a expressão 𝑎𝑛 é

chamada de potência na base 𝑎 e expoente 𝑛.

Note que: 𝒂𝟎 = 𝟏

𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂 ∙ 𝒂𝒏

Exemplo:

100 = 1

101 = 10 ∙ 100 = 10

102 = 10 ∙ 101 = 100

103 = 10 ∙ 102 = 1.000

104 = 10 ∙ 103 = 10.000

POTÊNCIAS

Propriedades: Se 𝑎 ≠ 0

e 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ então:

i) 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

ii)𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

iii) 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛

iv) 𝑎 ∙ 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛

POTÊNCIAS

Potência com expoente negativo

Se 𝑎 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ , então 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

Exemplo: 10−1 =1

10= 0,1; 10−2 =

1

10∙101 =1

100= 0,01

10−3 =1

10∙102 =1

1.000= 0,001; ...

Potência fracionária

Se 𝑎 > 0 e 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ , então 𝑎𝑛

𝑚 = 𝑎𝑛𝑚

Exemplo: 103 2 = 1023

𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 𝑎2

𝑥 + 𝑎 2 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2

𝑥 − 𝑎 2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2

𝑥 + 𝑎 3 = 𝑥3 + 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 + 𝑎3

𝑥 − 𝑎 3 = 𝑥3 − 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 − 𝑎3

𝑥 + 𝑎 𝑛 = 𝑥𝑛 +𝑛

1!𝑎𝑥𝑛−1 +

𝑛 𝑛 − 1

2!𝑎2𝑥𝑛−2 +

𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2

3!𝑎3𝑥𝑛−3 + ⋯

+𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 …2

𝑛 − 1 !𝑎 𝑛−1 𝑥1 + 𝑎𝑛, 𝑛 > 1 inteiro.

PRODUTOS NOTÁVEIS

BINÔMIO DE NEWTON

Parte 1

• Conjuntos numéricos

• A reta real

• Intervalos Numéricos

• Valor absoluto de um número

• Potências

• Produtos notáveis e binômio de Newton

Parte 2

• Função

• Variáveis

• Traçando Gráficos

• Domínio e Imagem

• Família de Funções

• Funções Polinomiais

• Funções Exponenciais e Logarítmicas

• Funções Trigonométricas

Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem

como uma quantidade depende de outra.

• Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz, que cunhou o

termo função para indicar a dependência de uma quantidade em

relação a uma outra, conforme a definição a seguir.

DEFINIÇÃO 2.1. Se uma variável y depende de uma variável x

de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor

de y, então dizemos que y é uma função de x.

• Três maneiras usuais de representar funções são:

• Numericamente com tabelas

• Geometricamente com gráficos

• Algebricamente com fórmulas

FUNÇÕES

Na metade do século XVIII, o matemático suíço Leohnard Euler concebeu a

ideia de denotar funções pelas letras do alfabeto, tornando possível, desse modo,

trabalhar com funções sem apresentar fórmulas específicas, gráficos ou tabelas.

• Para entender a ideia de Euler, pense em um sistema de nutrição em que

estamos interessados na relação entre um determinado tratamento com a

matéria seca

Tratamento 𝑥 Matéria Seca 𝑦 (adição de nitrogênio na ração)

Tratamento 𝑥 Matéria Seca 𝑦 (adição de nitrogênio no solo)

Desta forma, existe um mecanismo de causa-efeito para o animal ou planta que

atua no processo do substrato

DEFINIÇÃO 2.2. Uma função ƒ é uma regra que associa uma única

saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por x, então a saída é

denotada por ƒ(x) (leia-se “ƒ de x”).

FUNÇÕES

• Para uma dada entrada x, a saída de uma função f é denominada

valor de f em x, ou imagem de x por f.

• Muitas vezes denotamos a saída de uma função por uma letra,

digamos y, e escrevemos

y = f(x)

• A variável x é denominada variável independente ou

argumento de f

• A variável y é denominada variável dependente de f.

• Essa terminologia tem o objetivo de sugerir que x está livre

para variar, mas, uma vez dado um valor específico para x, o

valor correspondente de y está determinado.

FUNÇÕES - VARIÁVEIS

Se ƒ for uma função de uma variável real a valores reais,

então o gráfico de ƒ no plano xy é definido como sendo o

gráfico da equação y = ƒ(x).

• Por exemplo, o gráfico da função ƒ(x)= x é o gráfico da

equação y = x


Os gráficos podem fornecer informação visual importante sobre uma

função.

• Por exemplo, como o gráfico de uma função f no plano xy é o

gráfico da equação y = f(x), os pontos do gráfico são da forma

(x, f(x))

• ou seja, a coordenada y de um ponto do gráfico de f é o

valor de f na coordenada x correspondente


Os valores de x para os quais 𝑓(𝑥) = 0 são as

coordenadas x dos pontos nos quais o gráfico de f

intercepta o eixo x.

• Esses valores são denominados

• zeros de f

• raízes de f(x) = 0

• pontos de corte de y = f(x) com o eixo x.


O traçado de gráficos é uma ferramenta básica no

Cálculo, assim como na Álgebra e na Trigonometria.

• As coordenadas retangulares (ou cartesianas) no plano são

definidas pela escolha de dois eixos perpendiculares, o eixo x e o

eixo y.

𝒙

𝒚

FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS

A um par (a, b) de números associamos o ponto P localizado na interseção

da reta perpendicular ao eixo x em a e a reta perpendicular ao eixo y em b.

• Os números a e b são as coordenadas x e y de P.

• A origem é o ponto de coordenadas (0, 0).


Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, etiquetados de I a

IV, determinados pelos sinais das coordenadas.

• Por exemplo, o quadrante III consiste nos pontos (x, y) tais que

x < 0 e y < 0.


Se x e y estão relacionados pela equação y = f(x), então

• o conjunto de todas as entradas permitidas (os valores de x)

é denominado domínio de f.

• o conjunto de todas as saídas (os valores de y) que resultam

quando x varia sobre o domínio é denominado imagem de f.

Exemplo. Se f é a função definida pela tabela ao lado abaixo,

então:

• o domínio é o conjunto 𝐷𝑓 ={0, 1, 2, 3}

• a imagem é o conjunto 𝐼𝑚 𝑓 ={3, 4, −1, 6}.

FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM

Às vezes, considerações físicas ou geométricas impõem

restrições sobre as entradas permissíveis de uma função.

• Por exemplo, se y denota a área de um quadrado de lado

x, então essas variáveis estão relacionadas pela equação

𝑦 = 𝑥2.

• Embora essa equação produza um único valor de y para

cada número real x, o fato de que os comprimentos devem

ser números não-negativos impõe a exigência que x ≥ 0.

𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0


Quando uma função está definida por uma fórmula

matemática, a fórmula em si pode impor restrições sobre as

entradas permissíveis.

• Por exemplo:

• se 𝑦 =1

𝑥, então x = 0 não é uma entrada válida

• pois divisão por zero não está definida.

𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≠ 0

• se 𝑦 = 𝑥, então valores negativos de x não são entradas

válidas, pois produzem valores imaginários de y.

𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0


O domínio e a imagem de uma função f podem ser

identificados projetando o gráfico de y = f(x) sobre os

eixos coordenados


Em alguns casos explicitamos o domínio ao definir uma função.

• Por exemplo, se 𝑓 𝑥 = 𝑥2 é a área de um quadrado de lado x,

então podemos escrever

𝑓 𝑥 = 𝑥2 , 𝑥 ≥ 0

para indicar que tomamos o domínio de f como sendo o

conjunto dos números reais não-negativos


FAMÍLIA DE FUNÇÕES

As funções são, frequentemente, agrupadas em famílias

de acordo com a forma das fórmulas que as definem ou

outras características comuns.

O gráfico de uma função constante

ƒ(x) = c

é o gráfico da equação y = c, que é a

reta horizontal.

Se variarmos c, obteremos um

conjunto ou uma família de retas

horizontais.

FUNÇÕES – FAMÍLIA DE CURVAS

Uma função linear é uma função do tipo

𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, sendo 𝑚 e 𝑏 constantes reais

O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma reta de inclinação 𝑚 e, como 𝑓 0 = 𝑏, o gráfico

intersecta o eixo y no ponto (0, b).

Usamos os símbolos Δ𝑥 e Δ𝑦

para denotar a variação (ou

incremento) em 𝑥 e 𝑦 = 𝑓 𝑥

ao longo do intervalo 𝑥1, 𝑥2 .

FUNÇÃO LINEAR

FUNÇÃO LINEAR

Uma função linear se caracteriza por representar um

crescimento ou decrescimento constantes.

• Qualquer mudança na variável independente causa

uma mudança proporcional na variável dependente.

FUNÇÃO LINEAR

Dada uma função linear 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏,

• se 𝑚 > 0, o gráfico será inclinado para a direita,

ou seja, será uma função crescente;

• se 𝑚 < 0, o gráfico será inclinado para a

esquerda, ou seja, será uma função decrescente;

• se 𝑚 = 0, o gráfico não terá inclinação, ou seja,

será uma função constante;

𝑓 𝑥

𝑥

𝑦

𝑓 𝑥

𝑓 𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

FUNÇÃO LINEAR

Observações

• Se mantivermos b fixo e tratarmos m

como um parâmetro, obteremos uma

família de retas cujos membros têm,

todos, o mesmo corte em b com o eixo y.

• Se mantivermos m fixo e tratarmos b

como um parâmetro, obteremos uma

família de retas paralelas cujos

membros têm, todos, a mesma

declividade m.

FUNÇÃO LINEAR

FUNÇÕES QUADRÁTICAS

Uma função quadrática é uma função definida por um polinômio

quadrático

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

sendo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes, com 𝑎 ≠ 0.

O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma parábola

A parábola tem concavidade para cima se o coeficiente dominante 𝑎 for

positivo 𝑎 > 0 .

A parábola tem concavidade para baixo se 𝑎 for negativo 𝑎 < 0 .

O discriminante de 𝑓 𝑥 é a quantidade Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , as raízes de 𝑓 𝑥 são dadas pela fórmula

quadrática ou de Bhaskara.

O sinal de Δ determina se 𝑓 𝑥 tem ou não tem raízes reais

Quando 𝑓 𝑥 tem duas raízes reais e 𝑟1 e 𝑟2 , então 𝑓 𝑥 pode ser fatorado

como

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − 𝑟1 𝑥 − 𝑟2

𝑎 > 0 e Δ > 0 𝑎 > 0 e Δ = 0 𝑎 > 0 e Δ < 0 𝑎 < 0 e Δ > 0

−𝑏 ± Δ

2𝑎

FUNÇÃO QUADRÁTICA

FUNÇÕES POLINOMIAIS

Para todo número real 𝑛, a função

𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛

é denominada função potência de expoente 𝑛.

Um polinômio é a soma de múltiplos de funções potência

de expoentes naturais.

Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥

OBS.: A função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥−1 não é um polinômio,

pois inclui uma função potência 𝑥−1 de expoente

negativo.

Gráfico da função

𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥


O polinômio geral na variável 𝑥 pode ser escrito

𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + ⋯+ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

e é denominado função polinomial de grau 𝑛.

Os números 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 são denominados coeficientes.

O grau de 𝑃 𝑥 é 𝑛 (supondo que 𝑎𝑛 ≠ 0).

O coeficiente 𝑎𝑛 é denominado coeficiente dominante.

O domínio de 𝑃 𝑥 é ℝ.


Note que:

A função

𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏

é uma função polinomial de grau 1, sendo:

𝑎1 = 𝑚 ≠ 0 e 𝑎0 = 𝑏, com 𝑚 e 𝑏 constantes.

A função

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

é uma função polinomial de grau 2, sendo:

𝑎2 = 𝑎 ≠ 0, 𝑎1 = 𝑏 e 𝑎0 = 𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes.


OBSERVAÇÃO A RESPEITO DAS

FUNÇÕES LINEARES

Não confunda 𝒎 com 𝜽:

Considere o gráfico abaixo:

𝜃

𝑀

O ângulo 𝜃 é formado pela reta 𝑦 e pelo ponto 𝑃.

• Esse ângulo 𝜃 é a inclinação da reta

tangente e é o valor do seu coeficiente

angular. Assim,

𝑚 = tg 𝜃

• Exemplo. Se 𝜃 = 60° então o coeficiente

angular da reta é:

𝑚 = tg 60° = 3

𝑃

𝑦

FUNÇÕES EXPONENCIAIS

A função

𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥

onde 𝑏 > 0, é denominada função exponencial de base 𝑏.

Alguns exemplos são

A função 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 é crescente se 𝑏 > 1 e decrescente se 𝑏 < 1.

1 1


Considere 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 0, assim a função logarítmica com base

𝑎 é:

denotada por 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 ou 𝑦 = log𝑎 𝑥

a relação inversa da função exponencial 𝑎𝑦 = 𝑥

Os gráficos de 𝑦 = log𝑎 𝑥 quando variamos os valores da base

𝑎 > 1 são:

Note que sempre que 𝑥 = 1 log𝑎 𝑥 = 0, assim o gráfico de todas as

funções logarítmicas passam pelo ponto 1,0 .

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Propriedades. Se 𝑥 e 𝑦 forem números positivos, então:

Exemplo:


Logaritmos Naturais. De todas as possíveis bases 𝑎 para os

logaritmos, uma escolha conveniente para uma base é 𝑒.

O logaritmo na base 𝑒 é chamado logaritmo

natural e tem uma notação especial:

𝒍𝒐𝒈𝒆 𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙

Propriedades

1) ln 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑒𝑦 = 𝑥

2) ln 𝑒𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 ∈ ℝ

3) 𝑒ln 𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 > 0

4) ln 𝑒 = 1

5) Para todo número positivo a ≠ 1, 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 =ln 𝑥

ln 𝑎


CONTEÚDO

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Começamos nossa revisão de Trigonometria recordando os dois

sistemas de medição de ângulos: radianos e graus.

Esses sistemas são melhor descritos usando a relação entre

ângulos e rotação.

Utilizamos a letra grega minúscula teta (𝜃), para denotar ângulos

e rotação.


• Cada ângulo tem uma medida em

radianos única satisfazendo 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.

• Com essa escolha, o ângulo 𝜃 subentende

um arco de comprimento 𝜃 ∙ 𝑟 num

círculo de raio r.


• Para converter:

• Radianos em graus: multiplique por 180

𝜋

• Graus em radianos: multiplique por 𝜋

180

• Exemplo 1. Converta:

(a) 55𝑜 em radianos.

Solução: 55o ×𝜋

180≅ 0,9599 rad

(b) 0,5 rad em graus.

Solução: 0,5 rad ×180

𝜋≅ 28,648o

Radianos Graus

0 0o

𝜋

6 30o

𝜋

4 45o

𝜋

3 60o

𝜋

2 90o


As funções trigonométricas sen 𝜃 e cos 𝜃 são definidas em termos de

triângulos retângulos.

Seja um ângulo agudo num triângulo retângulo e denotemos os

lados

então


Seja P = (x, y) um ponto no círculo unitário correspondente ao ângulo 𝜃

então

cos 𝜃 = coordenada x de P

sen 𝜃 = coordenada y de P

Note que:


Quatro ângulos padrão: as coordenadas x e y dos pontos são cos 𝜃 e

sen 𝜃.

Tabulando esses dados, temos que:


Função Seno: 𝑓 𝜃 = sen 𝜃

O gráfico de 𝑦 = sen𝜃 é gerado quando o ponto percorre o círculo

unitário.

O gráfico de 𝑦 = sen𝜃 é a conhecida “onda senoidal”

ou, simplesmente, “senóide”


Função Cosseno: 𝑓 𝜃 = cos 𝜃

O gráfico de 𝑦 = cos 𝜃 tem o mesmo formato do gráfico da seno,

mas é transladado 𝜋

2 unidades para a esquerda.

Os sinais de sen 𝜃 e cos 𝜃 variam quando o ponto

P = (cos 𝜃 , sen 𝜃 )

do círculo unitário muda de quadrante


Função Periódica

Uma função 𝑓 𝑥 é dita periódica de período T se 𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥

(para cada 𝑥 ) e 𝑇 é o menor número positivo com essa

propriedade.

As funções seno e cosseno são periódicas com período 𝑇 = 2𝜋

Pois os ângulos que diferem por um múltiplo inteiro de 2𝜋𝑘

correspondem ao mesmo ponto do círculo unitário


Identidades Trigonométricas


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