arcos trigonométricos notáveis
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Arcos trigonométricos notáveis
Os arcos trigonométricos com extremidades nos pontos A, B, A’ e B’ merecem uma atenção especial. Eles são chamados arcos notáveis.
Vamos analisar a expressão geral desses arcos. Para isso, usaremos a variável k, ou seja, k ∈ {0, ±1, ±2, ±3, …}.
Arco de extremidade A
O A
B
A’
B’
Equivale a um número inteiro de voltas. Como uma volta equivale a 2π (ou 360º), sua expressão geral é:
2kπ ou k.360º
Arco de extremidade B
O A
B
A’
B’
Equivale a um número inteiro de voltas (2kπ ou k.360º) mais 1 quadrante (π/2 ou 90º). sua expressão geral é:
2kπ + π/2 ou k.360º + 90º
Arco de extremidade A’
O A
B
A’
B’
Equivale a um número inteiro de voltas (2kπ ou k.360º) mais meia–volta (π ou 180º). sua expressão geral é:
2kπ + π ou k.360º + 180º
Arco de extremidade B’
O A
B
A’
B’
Equivale a um número inteiro de voltas (2kπ ou k.360º) mais 3 quadrantes (3π/2 ou 270º). sua expressão geral é:
2kπ + 3π/2 ou k.360º + 270º
Arco de extremidade A ou A’
O A
B
A’
B’
Equivale a um número inteiro de meias–voltas. Como meia–volta equivale a π (ou 180º). sua expressão geral é:
kπ ou k.180º
Arco de extremidade B ou B’
O A
B
A’
B’
Equivale a um número inteiro de meias–voltas (kπ ou k.180º), mais 1 quadrante (π/2 ou 90º). sua expressão geral é:
kπ + π/2 ou k.180º + 90º
Arco de extremidade A, B, A’ ou B’
O A
B
A’
B’
Equivale a um número inteiro de quadrantes. Como um quadrante equivale a π/2 (ou 90º). sua expressão geral é:
kπ/2 ou k.90º
Observação
Nas expressões gerais dos arcos notáveis, é importante observar:
2kπ (ou k.360º) indica um número inteiro de voltas (origem A);
kπ (ou k.180º) indica um número inteiro de meias–voltas (pontos A ou A’);
kπ/2 (ou k.90º) indica um número inteiro de quadrantes (pontos A, B, A’ ou B’).
Exemplos
Localizar, no ciclo trigonométrico, a(s) extremidade(s) do(s) arco(s) cuja expressão geral é 2kπ – π/3.
O A
B
A’
B’ P
60º
–
2kπ indica um número inteiro de voltas.
Partimos do ponto A, percorremos 60º no sentido negativo.
P
Exemplos
Localizar, no ciclo trigonométrico, a(s) extremidade(s) do(s) arco(s) cuja expressão geral é k.90º + 30º.
A
B
A’
B’
30º
+
K.90º indica um número inteiro de quadrantes.
Partimos dos pontos A, B, A’ e B’, percorremos 30º no sentido positivo.
30º
30º
30º
+
+
+
Q
R
S
Exemplos
Na figura, P e Q estão alinhados com o ponto O. Obter, em graus e radianos, a expressão geral dos arcos de extremidades P ou Q.
P
A
B
A’
B’
+
70º
70º
+Q
O
Partimos dos pontos A ou A’, giramos 70º (ou 7π/18) no sentido positivo.
A expressão geral dos arcos em P ou Q é
k.180º + 70º ou kπ + 7π/18