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Daila Silva Seabra de Moura Fonseca CONVERGÊNCIA DE SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS NO CÁLCULO: UM TRABALHO VISANDO A CORPORIFICAÇÃO DOS CONCEITOS OURO PRETO 2012

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Daila Silva Seabra de Moura Fonseca

CONVERGÊNCIA DE SEQUÊNCIAS E SÉRIES

NUMÉRICAS NO CÁLCULO: UM TRABALHO VISANDO A

CORPORIFICAÇÃO DOS CONCEITOS

OURO PRETO

2012

ii

iii

Daila Silva Seabra de Moura Fonseca

CONVERGÊNCIA DE SEQUÊNCIAS E SÉRIES

NUMÉRICAS NO CÁLCULO: UM TRABALHO VISANDO A

CORPORIFICAÇÃO DOS CONCEITOS

Dissertação apresentada à Banca Examinadora, como exigência parcial à obtenção do Título de Mestre em Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto, sob orientação da Profa. Dra. Regina Helena de Oliveira Lino Franchi.

OURO PRETO

2012

iv

Catalogação: [email protected]

F676c Fonseca, Daila Silva Seabra de Moura

Convergência de sequências numéricas no Cálculo [manuscrito] : um trabalho visando a corporificação dos conceitos / Daila Silva Seabra de Moura Fonseca – 2012.

xx, 208 f.: il. color.; grafs.; tabs. Orientadora: Profª Drª Regina Helena de Oliveira Lino Franchi. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de Ciências Exatas e Biológicas. Departamento de Matemática. Mestrado

Profissional em Educação Matemática. Área de concentração: Educação Matemática.

1. Matemática - Estudo e ensino - Teses. 2. Séries (Matemática) - Teses. 3. Sequências (Matemática) - Teses. 4. Ciência cognitiva - Corporificação - Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto. II. Título.

CDU: 517.521:165.194

v

vi

vii

Dedico este trabalho ao meu

marido e aos meus pais, por

todo amor a mim dedicado.

viii

ix

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a DEUS, por toda força para perseverar, por toda luz nos momentos de

escuridão e por estar ao meu lado em todos os dias da minha vida possibilitando a

realização dos meus sonhos.

Ao meu marido ALLAN, por todo amor, carinho e incentivo; por ser um grande

companheiro de vida e de estrada, por me ensinar a enxergar todas as grandes dificuldades

como pequenas pedras e por todos os momentos de alegria ao longo desses anos juntos.

Aos meus pais, IVANI e GERALDO, por se preocuparem com minha educação ao longo

de todos os anos da minha vida, por todo amor que me deram fazendo com que eu me

tornasse a pessoa que sou hoje e pelas orações feitas todos os dias pela manhã.

À professora REGINA, por aceitar me orientar depois de quase um ano do começo do

mestrado, por me ensinar a ser pesquisadora, por acreditar no meu potencial, pela

dedicação ao nosso trabalho e por ser muito mais que orientadora, sendo também um

pouco psicóloga e mãe.

Ao professor FREDERICO, pelas sugestões e orientações dadas em momentos de

importantes decisões feitas ao longo do mestrado e pelas contribuições neste trabalho.

À professora MÁRCIA, por aceitar nosso convite e pelas considerações feitas após ter

passado seu “pente fino”, enriquecendo o trabalho.

À professora ADRIANA TONINI, pela orientação inicial.

Aos PROFESSORES do programa que se dedicam ao nosso crescimento intelectual e

possibilitam um ensino de qualidade. Em especial, à professora ANA CRISTINA, por sua

dedicação ao programa, pelo apoio e orientação desde o começo da minha caminhada no

mestrado.

Aos meus irmãos, RÔNIA e DAVIDSON, por estarem todos os dias ao meu lado, mesmo

que somente em pensamento.

À minha FAMÍLIA, de sangue e de coração, por mostrar a força de uma família unida, por

me acolher sempre com muito amor e carinho e por entender os momentos em que não

pude estar presente.

x

Aos meus sobrinhos, GABRIEL, NATHAN, ALICE, SAMUEL, CAIO, YURI, MARIA

EDUARDA e CADU, pelos momentos de fantasia em meio ao caos.

Aos meus “afilhadrinhos”, KELLY e CÉLIO, que me acolheram em sua casa no primeiro

ano do mestrado, pela amizade sincera, por cuidarem de mim e pelo consolo e orientações

nos momentos de desespero.

Ao grande amigo DAVIDSON, por todos os conselhos e risadas até a madrugada.

À POLLYANNA, amiga que ganhei e conselheira durante as madrugadas em Ouro Preto.

A DÉBORA, NEWTON, LUCIENE, MAÍRA, IVAN, DANIELE, FERNANDA,

ROBERTO, MÁRCIA, MARIA ISABEL, WELLINGTON e GUTO, pelo

companheirismo neste longo caminho que é o mestrado.

À SULAMITA, amiga que surgiu durante a caminhada, por cuidar de mim.

Aos amigos de Belo Horizonte, Itabira e Congonhas, pelo apoio constante e por

compreenderem minhas ausências.

Aos meus alunos da Engenharia de Produção, por aceitarem e se dedicarem à participação

na pesquisa.

A coordenação do Instituto Federal em que a pesquisa foi realizada, pela confiança.

A todos vocês, MUITO OBRIGADA!

xi

RESUMO

A presente pesquisa buscou verificar se a aplicação de atividades, com o auxílio do

software GeoGebra, favoreceu a corporificação dos conceitos de convergência de

sequências e séries e a transição entre os mundo corporificado e simbólico, levando a uma

compreensão desses conceitos. Também teve por objetivo investigar se a transição entre os

mundos corporificado e simbólico contribuiu para a construção da base do mundo formal,

levando à passagem do pensamento matemático elementar para o avançado. A metodologia

de pesquisa utilizada foi a qualitativa. Como instrumentos de coleta de dados foram

utilizados: registros dos alunos das resoluções das atividades; gravação de áudio;

gravações das telas dos computadores; notas de campo da pesquisadora. Para alcançarmos

nosso objetivo, utilizamos como referência dois quadros teóricos – Pensamento

Matemático Avançado e Três Mundos da Matemática –, para dar oportunidade ao aluno de

experimentar aspectos diversos de um conceito, antes de apresentar sua definição formal.

As atividades estão separadas em: atividade introdutória, atividades exploratórias e

atividades de avaliação. A pesquisa foi realizada com um grupo de alunos do curso de

Engenharia de Produção de um Instituto Federal de Ensino que cursava a disciplina de

Cálculo II, sob a responsabilidade da pesquisadora. Foram realizadas aulas de laboratório,

com a aplicação das atividades exploratórias, para os alunos trabalharem a corporificação

por meio da experimentação e formulação de conjecturas que foram discutidas, refutadas

e/ou confirmadas nas aulas teóricas. Os dados coletados nos levam a crer que as atividades

promoveram a corporificação do conceito de convergência na maioria dos alunos. Além

disso, as atividades possuem potencial para a transição entre os três mundos da

Matemática, proporcionando ao aluno a passagem do pensamento matemático elementar

para o avançado. Por fim, foi elaborado um produto educacional intitulado “Estudo da

convergência de sequências e séries numéricas no Cálculo: um proposta utilizando o

software GeoGebra”, que está disponível na página do programa e tem por objetivo

auxiliar professores que desejam trabalhar o conteúdo de sequências e séries de maneira

diferenciada.

Palavras-chave: Educação Matemática. Três Mundos da Matemática. Pensamento

Matemático Avançado. Corporificação. Convergência. Sequências e séries numéricas.

xii

xiii

ABSTRACT

This study aimed to verify whether the implementation of activities, with the help of

software GeoGebra, favored the embodiment of convergence concepts of sequences and

series and the transition between the embodied and symbolic world, leading to an

understanding of these concepts. It also aimed to investigate if the transition between the

embodied and symbolic worlds contributed to build the base of the formal world, leading

to the changeover of mathematical thinking from elementary to advanced. The research

methodology was the qualitative one. Student records of their activities resolutions; audio

recording of some classes; recordings of computer screens and researcher’s field notes

were used as instruments of data collection. In order to achieve our goal, we used two

theoretical frameworks – Advanced Mathematical Thinking and Three Worlds of

Mathematics – as reference, to give the student an opportunity to experience different

aspects of a concept, before submitting its formal definition. The activities are organized

into: introductory activity, exploratory activities and assessment activities. The survey was

conducted with a group of Production Engineering students from a Federal Education

Institute who was studying the subject Calculus II, under the responsibility of the

researcher. Laboratory classes were held, with the application of exploratory activities, for

students to work the embodiment through experimentation and conjectures which have

been discussed, refuted, and / or confirmed in the lectures. The collected data lead us to

believe the activities promoted the embodiment of the convergence concept in the majority

of students. Moreover, the activities have the potential for the transition between the three

worlds of Mathematics, providing the student with the changeover of mathematical

thinking from elementary to advanced. Finally, it was designed an educational product

titled "Study of numerical sequences and series convergence in Calculus: a proposal using

the software GeoGebra", which is available on the program site and aims to help teachers

who want to work content and sequence series in a different way.

Keywords: Mathematics Education. Three Worlds of Mathematics. Advanced

Mathematical Thinking. Embodiment. Convergence. Sequences and infinite series.

xiv

xv

LISTA DE FIGURAS

Figura 01: Números triangulares ...................................................................................... 34

Figura 02: Números quadrados ........................................................................................ 34

Figura 03: Visualização geométrica da convergência da série geométrica de razão 2

1 ... 47

Figura 04: Igualdade de integrais de uma função, e seu intervalo de integração,

transladados ...................................................................................................... 53

Figura 05: Prova corporificada da soma do n primeiros inteiros positivos ....................... 58

Figura 06: Os três modos de representação de Bruner ..................................................... 60

Figura 07: Três mundos de representação e suas ligações com outros pontos de vista .... 61

Figura 08: Desenvolvimento cognitivo da argumentação ................................................. 65

Figura 09: Arrastando a janela de visualização ao longo de um gráfico para ver a

inclinação mudando e a linearidade local ........................................................ 67

Figura 10: Exploração do conceito de derivada por meio de retas secantes ..................... 70

Figura 11: Tela inicial do GeoGebra contendo as janelas de álgebra, visualização

gráfica e planilha .............................................................................................. 86

Figura 12: Representação da sequência n

an

5= , com n variando de 1 até 12, como uma

função discreta. ................................................................................................ 93

Figura 13: Representação da sequência n

an

5= , com n variando de 1 até 40, como uma

função discreta. ................................................................................................ 94

Figura 14: Representação da sequência n

an

5= , com n variando de 1 até 15, como uma

função discreta e como pontos de uma reta ..................................................... 95

Figura 15: Distância entre termos consecutivos da sequência 1+

=

n

nan .......................... 96

Figura 16: Sequências do termo geral e das somas parciais da série ∑ −12

1n

................... 99

Figura 17: Resposta do aluno A12 às questões 1.b e 1.c da atividade introdutória ........ 101

Figura 18: Resposta do aluno A08 às questões 1.b e 1.c da atividade introdutória ........ 102

Figura 19: Resposta do aluno A12 à questão 1.a da atividade introdutória .................... 102

Figura 20: Resposta do aluno A13 à questão 1.a da atividade introdutória .................... 102

xvi

Figura 21: Resposta do aluno A13 à questão 5 da atividade introdutória ....................... 103

Figura 22: Resposta do aluno A12 à questão 5 da atividade introdutória ....................... 103

Figura 23: Resposta da aluna A14 à questão 5 da atividade introdutória ........................ 103

Figura 24: Resposta do aluno A12 à questão 7 da atividade introdutória ....................... 104

Figura 25: Resposta das alunas A11 e A14 à atividade 01 .............................................. 106

Figura 26: Gráfico da função f (n) = 2n, com n ϵ *+

Z ....................................................... 106

Figura 27: Resposta dos alunos A05 e A12 à atividade 02 ............................................. 108

Figura 28: Resposta das alunas A11 e A14 à atividade 02 .............................................. 108

Figura 29: Resposta dos alunos A10 e A13 à atividade 02 ............................................. 108

Figura 30: Resposta da aluna A11 à prova de sequências ............................................... 109

Figura 31: Resposta do aluno A22 à prova de sequências ............................................... 110

Figura 32: Resposta do aluno A12 à prova de sequências ............................................... 110

Figura 33: Resposta dos alunos A03 e A04 ao item 4.1.a da atividade 04 ...................... 111

Figura 34: Resposta dos alunos A22 e A29 ao item 4.1.a da atividade 04 ...................... 111

Figura 35: Resposta das alunas A27 e A30 ao item 4.1.a da atividade 04 ...................... 111

Figura 36: Resposta dos alunos A10 e A13 ao item 4.1.b da atividade 04 ..................... 111

Figura 37: Resposta das alunas A07 e A20 ao item 4.1.b da atividade 04 ...................... 111

Figura 38: Resposta dos alunos A02, A08 e A17 ao item 4.1.c da atividade 04 ............. 112

Figura 39: Resposta dos alunos A03e A04 ao item 4.2.a da atividade 04 ....................... 113

Figura 40: Resposta da aluna A11 ao item 4.2.b da atividade 04 .................................... 113

Figura 41: Resposta dos alunos A15 e A25 ao item 4.2.c da atividade 04 ...................... 113

Figura 42: Resposta da aluna A11 ao item 4.2.c da atividade 04 .................................... 114

Figura 43: Resposta dos alunos A02, A08 e A17 ao item 4.2.c da atividade 04 ............. 114

Figura 44: Resposta dos alunos A25 e A32 à atividade 05 ............................................. 115

Figura 45: Resposta dos alunos A06 e A23 à atividade 05 ............................................. 115

Figura 46: Resposta dos alunos A10 e A13 à atividade 06 ............................................. 116

Figura 47: Resposta das alunas A27 e A30 à atividade 06 .............................................. 116

Figura 48: Resposta da aluna A11 à atividade 06 ............................................................ 118

Figura 49: Resposta das alunas A27 e A30 à atividade 07 .............................................. 119

Figura 50: Resposta da aluna A11 à atividade 07 ............................................................ 121

Figura 51: Resposta dos alunos A10 e A13 aos itens 8.1a e 8.1b da atividade 08 .......... 122

Figura 52: Resposta dos alunos A10 e A13 aos itens 8.1.c da atividade 08 .................... 122

Figura 53: Teorema do confronto para sequências no GeoGebra ................................... 123

xvii

Figura 54: Resposta da aluna A20 à questão 1 da atividade de séries ............................ 126

Figura 55: Resposta do aluno A09 à questão 2 da atividade de séries ............................ 126

Figura 56: Resposta das alunas A21 e A31 à questão 3.a da atividade de séries ............ 128

Figura 57: Resposta da aluna A02 à questão 3.c da atividade de séries .......................... 129

Figura 58: Tela do computador da aluna A30 durante a resolução da questão 3.d da

atividade de séries .......................................................................................... 129

Figura 59: Resposta da aluna A30 à questão 3.d da atividade de séries ......................... 130

Figura 60: Resolução do aluno A12 à série harmônica na atividade de séries ................ 131

Figura 61: Resolução da aluna A20 à série harmônica na atividade de séries ................ 131

Figura 62: Conclusão do aluno A12 sobre a convergência de séries .............................. 131

Figura 63: Conclusão da aluna A20 sobre a convergência de séries ............................... 132

Figura 64: Conclusão da aluna A02 sobre a convergência de séries ............................... 132

Figura 65: Conclusão da aluna A21 sobre a convergência de séries ............................... 132

Figura 66: Corporificação da convergência da sequência n

nan

34 −= ............................ 135

Figura 67: Duas representações gráficas da sequência da atividade 04 .......................... 139

Figura 68: Resposta dos alunos A15 e A25 para a questão 4.2.a da atividade 04........... 141

Figura 69: Resposta dos alunos A15 e A25 para a questão 4.2.b da atividade 04 .......... 142

Figura 70: Tela da resolução da atividade 04 dos alunos A05 e A12 ............................. 144

Figura 71: Resposta da dupla A05 e A12 à questão 4.1.b da atividade 04 ..................... 145

Figura 72: Resposta da dupla A05 e A12 à questão 4.1.c da atividade 04 ...................... 146

Figura 73: Resposta das alunas A27 e A30 à atividade 05 .............................................. 148

Figura 74: Resposta do aluno A29 à questão 2 da atividade de séries ............................ 149

Figura 75: Resposta da aluna A11 à questão 1.b da atividade avaliativa de séries ......... 149

Figura 76: Resposta do aluno A25 à questão 1.b da atividade avaliativa de séries ........ 150

Figura 77: Resposta do aluno A25 sobre a convergência de três sequências na atividade

avaliativa ........................................................................................................ 151

Figura 78: Resposta do aluno A15 sobre a convergência de uma sequência na atividade

avaliativa ........................................................................................................ 151

Figura 79: Resposta do aluno A01 à questão 5.a da atividade avaliativa de séries ......... 152

Figura 80: Resposta do aluno A25 às questões 2.b e 3.a da atividade avaliativa

de séries .......................................................................................................... 153

Figura 81: Resposta do aluno A29 sobre a definição formal da convergência de

sequência na atividade avaliativa ................................................................... 156

xviii

Figura 82: Resposta da aluna A02 sobre a definição formal da convergência de

sequência na atividade avaliativa ................................................................... 157

Figura 83: Resposta do aluno A13 sobre a divergência de uma sequência na atividade

avaliativa ........................................................................................................ 157

Figura 84: Resposta da aluna A20 à questão 3.a da atividade avaliativa de séries ......... 161

Figura 85: Resposta dos alunos A15 e A25 ao item 4.1.a da atividade 04 ...................... 163

Figura 86: Resposta dos alunos A09 e A16 ao item 4.1.a da atividade 04 ...................... 163

Figura 87: Resposta dos alunos A02, A08 e A17 ao item 4.1.b da atividade 04............. 163

Figura 88: Resposta dos alunos A03 e A04 ao item 4.1.c da atividade 04 ...................... 163

Figura 89: Representação da sequência n

an

5= , com n variando de 1 até 15, como uma

função discreta e como pontos sobre o eixo dos x’s ...................................... 165

Figura 90: Resposta da aluna A14 para a questão 4.2.a da atividade 04 ......................... 166

Figura 91: Resposta dos alunos A03 e A04 para a questão 4.2.b da atividade 04 .......... 166

Figura 92: Resposta dos alunos A03 e A04 para a questão 4.2.c da atividade 04 ........... 167

Figura 93: Resposta do aluno A01 à questão 2 da atividade de séries ............................ 168

Figura 94: Resposta da aluna A14 à questão 2 da atividade de séries ............................. 169

Figura 95: Resposta do aluno A24 à questão 3.a da atividade de séries ......................... 169

xix

LISTA DE QUADROS

Quadro 01: Enunciado da primeira questão da atividade introdutória .............................. 88

Quadro 02: Enunciado da segunda questão da atividade introdutória .............................. 88

Quadro 03: Enunciado da terceira questão da atividade introdutória ............................... 88

Quadro 04: Enunciado da quarta questão da atividade introdutória ................................. 88

Quadro 05: Enunciado da quinta questão da atividade introdutória ................................. 89

Quadro 06: Enunciado da sexta questão da atividade introdutória ................................... 89

Quadro 07: Enunciado da sétima questão da atividade introdutória ................................. 90

LISTA DE TABELAS

Tabela 01: Descrição do cronograma das aulas Sequências e Séries ................................ 84

xx

21

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 25

Questão e objetivos da pesquisa ................................................................................... 29

Estrutura ........................................................................................................................ 29

1 SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS: DA HISTÓRIA AO ENSINO ......................... 31

1.1 Sequências e séries infinitas - um pouco de história .............................................. 32

1.2 O ensino de Cálculo e, em especial, o ensino de sequências e séries: situando o

contexto brasileiro ........................................................................................................ 42

2 BUSCANDO A FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ......................................................... 49

2.1 O Pensamento Matemático Avançado .................................................................... 52

2.2 Os Três Mundos da Matemática ............................................................................. 59

2.2.1 Os Três Mundos da Matemática no Cálculo .............................................. 65

2.2.2 O uso de computadores como apoio para a corporificação e para a

relação entre os três mundos ...................................................................... 68

3 METODOLOGIA ............................................................................................................. 73

3.1 Onde? ...................................................................................................................... 77

3.2 Com quem? ............................................................................................................. 77

3.3 Que tipo de atividade? ............................................................................................ 78

3.4 O que utilizar na coleta de dados? .......................................................................... 79

3.5 Análise dos dados ................................................................................................... 80

4 APRESENTAÇÃO DA PESQUISA ................................................................................ 83

4.1 A concepção da proposta pedagógica ..................................................................... 83

4.1.1 O software GeoGebra................................................................................. 85

4.1.2 Atividade introdutória ................................................................................ 87

4.1.3 Atividades exploratórias ............................................................................ 90

4.1.4 Atividades de avaliação sobre sequências e séries ..................................... 99

4.2 O desenvolvimento das atividades: resultados parciais e interpretações .............. 100

4.2.1 Atividade Introdutória .............................................................................. 101

22

23

4.2.2 Atividades Exploratórias .......................................................................... 105

Atividades de 01 a 03 ................................................................................. 105

Atividade 04 ............................................................................................... 110

Atividade 05 ............................................................................................... 114

Atividade 06 ............................................................................................... 115

Atividades 07 e 08 ..................................................................................... 118

Atividade de séries ..................................................................................... 124

5 ANALISANDO OS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA E O PENSAMENTO

MATEMÁTICO AVANÇADO NO CONCEITO DE CONVERGÊNCIA ...................... 133

5.1 A corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a

proceitualização e a axiomatização ............................................................................ 133

5.1.1 A convergência no mundo corporificado e na interseção entre os

mundos corporificado e simbólico ........................................................... 137

5.1.2 A convergência no mundo simbólico ....................................................... 150

5.1.3 A convergência de sequências na base do mundo formal ........................ 153

5.1.4 Convergência de séries na base do mundo formal ................................. 1588

5.2 Passagem do pensamento matemático elementar para o avançado ...................... 162

CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................ 173

REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 181

APÊNDICE ........................................................................................................................ 187

APÊNDICE A – ATIVIDADE INTRODUTÓRIA ................................................... 187

APÊNDICE B – ATIVIDADES EXPLORATÓRIAS ............................................... 191

APÊNDICE C – MINIMANUAL DE GEOGEBRA ................................................. 203

APÊNDICE D – PROVA SOBRE SEQUÊNCIAS ................................................... 205

APÊNDICE E – PROVA SOBRE SÉRIES ............................................................... 206

APÊNDICE F – TRABALHO SOBRE SÉRIES ....................................................... 207

24

25

INTRODUÇÃO

Meu interesse pelo ensino da Matemática surgiu quando eu ainda era adolescente,

aos 13 anos, enquanto ajudava os colegas de classe a entender melhor o conteúdo

explicado pela professora. Como resultado, ingressei, em 2003, no curso de Licenciatura

em Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) e tive o primeiro

contato com os conteúdos de sequências e séries infinitas, apresentando dificuldade para

entender a matéria. Não conseguia compreender a finalidade de uma série e, no momento

de resolver os exercícios, não era capaz de caracterizar com que tipo de série estava

trabalhando para, então, escolher o teste de convergência.

Concluí a graduação no ano de 2006 e passei a lecionar para turmas de ensino

médio e de ensino superior. Em agosto de 2009, comecei a trabalhar em uma faculdade

particular em Belo Horizonte, ministrando a disciplina Cálculo Diferencial e Integral II

para alunos do segundo período do curso de Engenharia Mecânica. Durante aquele

semestre, pude acompanhar de perto as dificuldades dos alunos para entender alguns

conteúdos do curso. Surgiu, assim, uma preocupação: como ensinar o conteúdo de séries

sem adotar o método tradicional, com aulas expositivas e resolução de exercícios

semelhantes aos dados como exemplo? Encontrei muita dificuldade para lecionar a

matéria, pois intencionava relacioná-la com a prática, enfatizar a compreensão dos

conceitos e utilizar outros métodos de ensino, como a investigação e o uso de tecnologia.

Não consegui e isso foi uma grande decepção. Considero que não obtive sucesso no ensino

de séries, uma vez que as notas obtidas pelos alunos na prova sobre esse conteúdo foram

inferiores aos resultados nas demais avaliações.

Ao mesmo tempo em que ensinava Cálculo Diferencial e Integral II, cursei a

disciplina Educação Matemática Superior no Programa de Mestrado Profissional em

Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto (Ufop), como aluna especial.

Matriculei-me na disciplina em busca de uma base teórica para os conhecimentos que

adquiria com a prática e apoio para aprimorar a prática docente. Como previ, o convívio

com o meio científico e as discussões entre pesquisadores influenciou, positivamente,

minha prática docente, pois percebi que havia situações em que era melhor explicar o

conteúdo utilizando rigor e outras em que a melhor opção era a intuição. Também passei a

empregar mais intensivamente a tecnologia nas aulas, com calculadoras e computadores,

por acreditar que o uso das ferramentas poderia abrir possibilidade para a transposição do

26

saber, descrita por Balacheff (1994 apud ZUCHI, 2009, p. 240) como “o trabalho sobre o

conhecimento que permite uma representação simbólica e a aplicação dessa representação

por um dispositivo informático”. Para Zuchi (2009, p. 240) no “contexto de ensino, essa

transposição assume uma importância particular. Ela significa, de fato, uma

contextualização do conhecimento que pode ter consequências importantes sobre o

resultado da aprendizagem”. Nessa mesma disciplina tive o primeiro contato com os textos

do Advanced Mathematical Thinking, traduzido como Pensamento Matemático Avançado,

que apresenta ramificações para estudar o pensamento matemático avançado: natureza,

teoria cognitiva e pesquisas relacionadas ao ensino e à aprendizagem em diferentes áreas.

No início de 2010 ingressei, como aluna regular, no Programa de Mestrado

Profissional em Educação Matemática da Ufop e comecei a lecionar para três turmas em

uma universidade federal: na primeira, Cálculo Diferencial e Integral I; na segunda,

Cálculo Diferencial e Integral A; na última, Geometria Analítica. Nas duas primeiras

turmas, lancei mão de alguns recursos, principalmente os visuais como softwares gráficos,

para melhorar a aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral1. Ainda assim, os alunos

apresentaram dificuldades para assimilar o conteúdo da disciplina. Uma das dificuldades

sinalizada por eles era identificar qual técnica de integração deveriam usar para conseguir

resolver uma integral. Os alunos pediam que fosse feita uma relação entre o conteúdo de

integral e a prática e, sempre que possível, tentei estabelecer essa conexão. Outras

dificuldades dos alunos também têm sido apontadas por pesquisadores que discutem o

ensino de Cálculo. Entre eles, citamos Barbosa (2004, p. 83), para quem as maiores

dificuldades encontradas pelos alunos que estudam Cálculo I são “memorização de

fórmulas, provas com questões extensas e difíceis e incompreensão dos métodos de

resolução dos exercícios”. Problemas semelhantes aos apontados anteriormente também

aparecem em Cálculo II, em cujo programa estão os conteúdos de sequências e séries

infinitas.

Em virtude dessas experiências com Cálculo, como discente e docente, interessei-

me, inicialmente, por pesquisar o ensino de séries infinitas, a fim de encontrar alternativas

que facilitassem o processo de aprendizagem. A partir daí, iniciei a busca por referenciais

teóricos. Um desses referenciais foi um texto de Bagni (2005) em que ele afirma que, ao

introduzirmos o conteúdo de séries em sala de aula, devemos nos lembrar de que os alunos

costumam considerar que a soma de infinitos termos tende a se tornar cada vez maior.

1 Passaremos a chamar o Cálculo Diferencial e Integral apenas por Cálculo.

27

Imediatamente, me lembrei das minhas dificuldades como discente e das dúvidas

apresentadas pelos meus antigos alunos que, de certa forma, comprovam o que Bagni

aponta. Assim, juntamente com minha orientadora, procurei entender como se dá a

compreensão dos conceitos envolvidos nas questões de convergência e nos aparentes

paradoxos relacionados a eles, como, por exemplo, o fato de uma soma com infinitas

parcelas poder resultar em um valor finito.

Entendemos naquele momento que deveríamos procurar alternativas para tornar

os resultados mais “palpáveis” aos alunos, termo aqui usado no sentido de tentar trabalhar

com entes abstratos de uma forma mais concreta. Nessa procura, surgiram algumas

indagações como: será que uma representação visual e/ou numérica dos termos de uma

sequência pode ajudar na compreensão da convergência da sequência ou da série

correspondente? Os softwares podem contribuir? Afinal, eles possibilitam ao professor

trabalhar o conteúdo sem recorrer às aulas extremamente expositivas nem somente

reproduzir o que está publicada nos livros didáticos. Mas como utilizá-los?

As leituras revelaram que as questões relativas à compreensão dos conceitos de

Cálculo envolviam um jeito de pensar peculiar, diferente de outros conceitos elementares

de álgebra ou geometria. As bases estavam em processos que iam além de manipulações

“concretas”, como se pode fazer, por exemplo, com sólidos geométricos para geometria ou

com barrinhas Cuisenaire para frações. Poderíamos manipular “entes abstratos” com uso

de software?

Voltamos nossa pesquisa para um conjunto de referenciais teóricos sobre o ensino

de Matemática na educação superior, que já havia nos despertado interesse: o do

Pensamento Matemático Avançado. Esses referenciais vêm sendo trabalhados desde os

anos 1970, sendo David Orme Tall o seu principal organizador. Alguns dos autores

discutem como se dá o pensamento matemático avançado e quais os problemas enfrentados

na transição do pensamento matemático elementar para o pensamento matemático

avançado. Para Tall (1991), no ensino da Matemática não existe uma diferença muito

grande entre os dois processos de pensamento, mas a passagem de um para o outro

acontece quando o aluno passa do descrever para o definir e do convencer para o provar.

Esses aspectos a respeito da transição levaram-nos a refletir sobre o ensino de Cálculo.

Alguns de nossos questionamentos foram: espera-se que um aluno de Cálculo faça a

transição do pensamento matemático elementar para o avançado? É propósito do ensino de

Cálculo trabalhar demonstrações? O professor deve fazer as demonstrações? Por que fazê-

28

las se, em geral, os alunos não conseguem entender? E aqueles poucos que conseguem, o

que aproveitam disso? Seriam capazes de fazer, eles próprios, outras demonstrações?

Nas leituras que fizemos sobre o Pensamento Matemático Avançado conhecemos

os estudos teóricos de Tall sobre os Três Mundos da Matemática. Nesse quadro teórico,

Tall (2004), ao referir-se a estudos realizados conjuntamente com Ana Poyter a respeito da

conceitualização dos alunos sobre vetores diz: “percebemos que havia não só três tipos de

conceitos matemáticos (geométrico, simbólico e axiomático), havia na verdade três tipos

muito diferentes de desenvolvimento cognitivo que habitavam três diferentes mundos da

Matemática”2 (p. 2), sendo eles o corporificado, o proceitual/simbólico e o

axiomático/formal. O mundo corporificado está na base do pensamento matemático e é

fundamentado nas nossas percepções e ações sobre o mundo. O mundo proceitual é o

mundo dos símbolos e processamentos que utilizamos para o cálculo e manipulações

algébrica, aritméticas, entre outros. O mundo axiomático está baseado em propriedades

expressas em definições formais. Esses três mundos interagem entre si e cada um deles

possui maneiras diferenciadas de argumentação e prova3.

Nos Três Mundos da Matemática temos a possibilidade de desenvolver atividades

visando à corporificação dos conceitos e, assim, desenvolver as bases para a compreensão

de conceitos que demandam processos de pensamento matemático avançado.

A proposta desta pesquisa foi desenvolver um conjunto de atividades que

possibilitasse ao aluno construir os conceitos de convergência de sequências e séries

numéricas infinitas, com base na corporificação do conceito de convergência, tendo como

estratégia a utilização de um software de geometria dinâmica. O uso do software tem por

objetivo a visualização, buscando as percepções no mundo corporificado e, por meio da

experimentação, possibilitar a passagem para o mundo simbólico.

Para o trabalho com os conceitos, propusemos aulas de laboratório a fim de que a

corporificação desses conceitos pelos alunos acontecesse por meio da experimentação e

formulação de conjecturas, que seriam discutidas em aulas teóricas, nas quais também

aconteceria a formalização dos conceitos matemáticos.

2 Tradução nossa para: “We realised that there were not only three distinct types of mathematical concept (geometric, symbolic and axiomatic), there were actually three very different types of cognitive development which inhabited three distinct mathematical worlds.” 3 Esses temas serão abordados de forma mais detalhada na seção 2.2.

29

Questão e objetivos da pesquisa

Segundo Bogdan e Biklen (1991, p. 16), a questão de uma pesquisa é formulada

com o objetivo de investigar os fenômenos em toda a sua complexidade. A investigação

não é feita para responder questões prévias ou testar hipóteses, mas para compreender o

comportamento dos sujeitos a partir de suas perspectivas. Sendo assim, para nortear a

pesquisa formulamos a seguinte questão de investigação:

Que contribuições uma proposta pedagógica baseada na corporificação

de conceitos pode trazer para a compreensão do conceito de

convergência de sequências e séries em uma turma de Cálculo?

Nosso objetivo geral é verificar se o desenvolvimento de atividades baseadas na

corporificação dos conceitos, buscando a transição entre os mundos corporificado e

simbólico, com a utilização de software de geometria dinâmica, favorece a compreensão da

convergência de sequências e séries.

Nossos objetivos específicos são:

- investigar se (ou de que maneira) a utilização das diferentes formas de

representação (algébrica, gráfica, numérica e verbal) favorece a compreensão do conceito

de convergência;

- investigar se atividades que visam a propiciar transições entre os mundos

corporificado e simbólico podem contribuir para a construção de uma base para o mundo

formal, favorecendo a transição do pensamento matemático elementar para o avançado.

Estrutura

O presente trabalho está estruturado em cinco capítulos, que descrevem o

desenvolvimento da nossa pesquisa.

No primeiro capítulo, abordamos a importância histórica das sequências e das

séries no desenvolvimento da Matemática, com enfoque principal na criação do Cálculo.

Aproveitamos para discutir a importância e os problemas encontrados no ensino do

Cálculo, em especial no ensino de sequências e séries. Também apresentamos algumas

30

sugestões para a melhoria do ensino, de acordo com pesquisadores que se dedicam a essa

temática.

No segundo capítulo, abordamos dois quadros teóricos relativos à aprendizagem

da Matemática no ensino superior: o Pensamento Matemático Avançado e os Três Mundos

da Matemática. O primeiro quadro teórico discute possibilidades de ações para que o aluno

tenha sucesso durante a passagem do pensamento matemático elementar para o

pensamento matemático avançado, enquanto a segunda teoria descreve o desenvolvimento

do conhecimento matemático em três mundos: corporificado, proceitual e axiomático.

A metodologia, as escolhas para o desenvolvimento das atividades e a seleção dos

instrumentos utilizados para a coleta dos dados estão justificadas no terceiro capítulo.

Apresentamos, no quarto capítulo, a concepção e os objetivos das atividades de

acordo com o referencial descrito no segundo capítulo. Também descrevemos a aplicação

de cada atividade e trazemos nossa interpretação inicial dos resultados a partir dos dados

coletados.

No quinto capítulo fazemos a análise dos dados, de acordo com dois eixos

identificados a partir de nossos dois principais quadros teóricos: os Três Mundos da

Matemática e o Pensamento Matemático Avançado. Os dois eixos de análise foram

intitulados por: a corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a

proceitualização e a axiomatização; e a transição do pensamento matemático elementar

para o avançado.

Por fim, nas considerações finais, retomamos a questão de investigação

analisando a proposta pedagógica desenvolvida no que diz respeito à compreensão do

conceito de convergência. Analisamos também a contribuição do software GeoGebra para

desenvolvimento das atividades e ainda em que medida as atividades contribuíram para a

construção de uma base para o mundo formal e favoreceram a transição do pensamento

matemático elementar para o avançado. Ainda é feita uma explanação sobre o produto

educacional, que é um resultado desta pesquisa e está intitulado “Estudo da convergência

de sequências e séries numéricas no Cálculo: um proposta utilizando o software

GeoGebra”.

31

CAPÍTULO 1

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS: DA HISTÓRIA AO ENSINO

A matemática é uma forma de raciocínio, e não uma coleção de truques.

Boyer

O conhecimento matemático tem importância histórica na evolução da

humanidade. Segundo D’Ambrósio (1999) em “todos os momentos da história e em todas

as civilizações, as ideias matemáticas estão presentes em todas as formas de fazer e de

saber” (p. 97). Ele ainda ressalta que a Matemática é “a espinha dorsal do conhecimento

científico, tecnológico e sociológico” (p. 106).

Comparável à importância da Matemática como ciência está a importância de se

pensar em como a humanidade pode se apropriar desse conhecimento matemático e fazer

uso dele. A escola tem papel relevante nesse sentido, pois é no ambiente escolar que o

saber sistematizado é discutido.

A Matemática aparece nos currículos desde os níveis iniciais da escolarização.

Barufi (1999) a considera como uma das áreas do conhecimento “mais aptas a

desempenhar um papel interdisciplinar e básico, comparável talvez somente à língua

materna” (p. 26).

Para Onuchic e Allevato (2009), nos dias atuais, a Matemática tem um papel de

extrema importância, sendo que a “necessidade de se ‘entender’ e de ‘ser capaz’ de usar a

Matemática na vida diária e nos locais de trabalho nunca foi tão grande” (p. 213), ou seja, a

Matemática é importante e necessária para se entender o mundo e viver nele. Ainda

segundo as pesquisadoras, vários têm sido os esforços para tornar o ensino de Matemática

mais eficiente. Durante o século XX, ocorreram muitos movimentos relacionados a

mudanças na Educação Matemática, fazendo com que esse assunto passasse a ter grande

importância em debates.

Igliori (2009, p. 11) conta que a Educação Matemática é um campo de pesquisa

que desenvolve investigações em diversos ramos da Matemática na sociedade, tendo

grande destaque as discussões sobre seu ensino e aprendizagem. Nas pesquisas dos anos

1960 o interesse estava voltado para o ensino fundamental. Em seguida, o ensino médio e a

formação de professores passaram a ser estudados. Por volta das décadas de 1980 e 1990,

32

passou-se a pesquisar também o ensino superior. O interesse pela pesquisa resulta do papel

da Matemática no desenvolvimento cognitivo das pessoas desde os níveis iniciais, bem

como pelas dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos estudantes. Para Igliori é alto

o “percentual de estudantes do nível superior cujo desempenho na aprendizagem da

Matemática, em especial de Cálculo, tem deixado muito a desejar” (IGLIORI, 2009, p. 12).

A autora caracteriza a pesquisa sobre o processo de ensino e aprendizagem da Matemática

no ensino superior como:

a investigação de fenômenos relacionados à formação do pensamento avançado; investigar fatores que dificultam a aquisição de conceitos da Matemática avançada; expandir a faixa etária das teorias da aprendizagem para a aquisição de conceitos complexos da Matemática; investigar abordagens de ensino que favoreçam a apreensão dos conceitos, entre outros temas. (IGLIORI, 2009, p. 12)

Como podemos ver nas palavras de D’Ambrósio anteriormente citadas, a

Matemática tem um papel histórico importante no desenvolvimento da sociedade. O

Cálculo, cujo ensino tem sido bastante discutido, é um dos atores desse processo. Neste

capítulo, apresentamos alguns aspectos relativos ao surgimento do Cálculo Diferencial e

Integral, com especial destaque para os conceitos de convergência de sequências e de

séries infinitas. Resgatando o desenvolvimento histórico desses conteúdos buscamos

entender as ideias subjacentes ao processo de construção dos conceitos. Com isso,

pretendemos ressaltar a importância do assunto para o desenvolvimento da matemática e

em especial para as ideias básicas do Cálculo. Situando o campo em que está inserida esta

pesquisa, que é a do ensino de Cálculo, fazemos também considerações sobre o ensino de

Sequências e Séries e sobre o ensino de Cálculo no Brasil.

1.1 Sequências e séries infinitas - um pouco de história

Nosso intuito nesta seção é contextualizar o surgimento das ideias de

convergência das sequências e das séries infinitas e mostrar sua importância no

desenvolvimento da Matemática, com o cuidado de não restringir a história da Matemática

a um referencial teórico para o desenvolvimento da pesquisa.

A aparição de uma sequência na história da humanidade é muito antiga. Um dos

primeiros registros aparece no conhecido Papiro de Rhind. O Papiro de Rhind (ou Ahmes),

33

aproximadamente 1650 a.C., é um texto matemático na forma de um manual prático que

contém 85 problemas, sendo uma fonte primária rica sobre a Matemática egípcia antiga

(EVES, 2004, p. 69). Em seu 79º problema, cuja interpretação não é tão precisa, aparecem

os seguintes dados:

Bens Casas 7 Gatos 49 Ratos 343 Espigas de trigo 2401 Hecates de grãos 16807 19607

Esse conjunto de dados foi interpretado por um historiador da Matemática, o

alemão Moritz Cantor, em 1907, como sendo a formulação de algo do tipo: “Uma relação

de bens consistia em sete casas; cada casa tinha sete gatos; cada gato comeu sete ratos;

cada rato comeu sete espigas de trigo; cada espiga de trigo produzia sete hecates de grãos.

Casas, gatos, ratos, espigas de trigo e hecates de grãos, quanto havia disso tudo?” (EVES,

2004, p. 76). Podemos perceber que esses números caracterizam uma sequência finita que,

com a notação de sequência que utilizamos atualmente, se escreve como an = 7n, em que n

representa a ordem dos fatos ocorridos no problema. A pergunta “quanto havia disso

tudo?” nos permite estabelecer uma relação com a soma dos termos da sequência, ou seja,

com a série de finitos termos.

Na obra de Arquimedes (287-212 a.C) encontramos estudos relacionados às ideias

de sequências. Boyer (2012, p.s 99 – 110) relata que um deles buscou determinar a razão

entre a circunferência e o diâmetro de um círculo para obtenção do valor de π. O processo

usado por Arquimedes foi inscrever e circunscrever polígonos regulares no círculo,

calculando seus perímetros. Iniciando com o hexágono, Arquimedes foi dobrando

sucessivamente o número de lados dos polígonos, até chegar a noventa e seis lados. Nesse

processo iterativo chegou ao algoritmo de Arquimedes escrevendo a sequência Pn, pn, P2n,

p2n, P4n, p4n, ... em que Pn e pn são, respectivamente, os perímetros dos polígonos regulares

circunscritos e inscritos de n lados. Com isso, Arquimedes chegou a uma aproximação para

o valor de π expressa na desigualdade 223/71 < π < 220/70. No entanto, ele não falava de

processos infinitos, pois os mesmos eram mal vistos em seu tempo. Embora Boyer não fale

em convergência das sequências, interpretamos que no caso descrito esse conceito está

implícito.

34

Outro exemplo de sequência na História são os números triangulares e os números

quadrados, que são atribuídos aos membros mais antigos da escola pitagórica, por volta

dos anos 500 a.C. a 400 a.C.. Podemos ver suas construções na figura 01 e na figura 02,

respectivamente.

Figura 01: Números triangulares

Fonte: Elaborada pela autora.

Figura 02: Números quadrados Fonte: Elaborada pela autora.

Esses números, “que expressam o número de pontos em certas configurações

geométricas, representam um elo entre a geometria e a aritmética” (EVES, 2004, p. 100).

Com eles, conseguimos dois tipos de sequências infinitas4: nos números triangulares temos

uma sequência recursiva do tipo an = an–1 + n e nos números quadrados temos a sequência

an = n2, sendo an o número de pontos em cada figura e n a ordem da figura.

As sequências também aparecem na obra de Leonardo de Pisa (1180-1250), mais

conhecido como Fibonacci. Segundo Boyer (2012, p.s 181 – 183), Fibonacci escreveu um

livro em 1202, intitulado Liver abaci (ou Livro do Ábaco). Esse livro trata de métodos e

problemas algébricos em que o uso de numerais indoarábicos é recomendado. Nesse livro

são apresentados problemas dos quais um é muito semelhante ao problema do papiro

Ahmes, citado anteriormente. Outro, talvez um dos mais conhecidos, era: “Quantos pares

de coelhos serão produzidos num ano, começando com um só par, se em cada mês cada par

gera um novo par que se torna produtivo a partir do segundo mês?” (BOYER, 2012, p.

182). Esse problema deu origem à sequência de Fibonacci, {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., an, ...}

4 Trataremos as sequências infinitas apenas por sequências.

35

em que an = an-1 + an-2. Sobre essa sequência pode-se provar que dois termos consecutivos

quaisquer são primos entre si e que n

n

n a

a 1lim −

∞→é a razão da seção áurea

2

15 −.

O matemático escocês James Gregory (1638-1675) estendeu o algoritmo de

Arquimedes à quadratura da elipse e da hipérbole. Para isso, ele tomou um triângulo

inscrito de área a0 e um quadrilátero circunscrito de área A0, duplicando sucessivamente os

lados dessas figuras e formando a sequência a0, A0, a1, A1, a2, A2, a3, A3, a4, A4 ... . Assim,

ele passava a ter duas sequências – das áreas inscritas e das áreas circunscritas – que

convergiam para a área da cônica. Essa foi a primeira vez que Gregory usou a palavra

“convergir” com essa acepção (BOYER, 2012, p. 268).

Com relação às séries infinitas5, Boyer (2012, p. 103) relata que há registros de

estudos na Antiguidade. Arquimedes discutiu a quadratura da parábola através da soma de

uma progressão geométrica infinita. Arquimedes não falava de infinito, mas ele provou a

quadratura por meio de reductio ad absurdum, nos moldes do método da exaustão 6.

No século XIV, alguns matemáticos como Richard Suiseth (mais conhecido como

Calculator, que viveu por volta de 1350) e Oresmes (1323?-1382), o maior matemático

daquele século, resolveram o seguinte problema que envolve séries:

Se, durante a primeira metade de um tempo dado, uma variação continua com uma certa intensidade, durante a quarta parte seguinte do intervalo continua com o dobro da intensidade, durante a oitava parte seguinte com o triplo da intensidade e assim ad infinitum; então a intensidade média para o intervalo todo será a intensidade da variação durante o segundo subintervalo (ou o dobro da intensidade inicial). (BOYER, 2012, p. 189)

Mostrar o que está enunciado acima é o mesmo que mostrar a convergência para 2

da série LL +++++n

n

28

3

4

2

2

1. Calculator fez uma longa demonstração analítica

enquanto Oresme utilizou um processo gráfico e provou o teorema com mais facilidade.

Oresme foi o primeiro a demonstrar a divergência da série harmônica, apesar de a

demonstração ser geralmente atribuída a Jacques Bernoulli (1654-1705), outro grande 5 Trataremos as séries infinitas apenas por séries. 6 Segundo Boyer (2012) do axioma de Eudoxo (ou Arquimedes) é fácil provar uma proposição que era a base do método da exaustão, pelo seguinte: “Se de uma grandeza qualquer subtrairmos uma parte não menor que sua metade e do resto novamente subtrai-se não menos que a metade e se esse processo de subtração é continuado, finalmente restará uma grandeza menor que qualquer grandeza de mesma espécie”. Essa propriedade equivale à formulação moderna de limite, pois é dito o seguinte: “se M é uma grandeza dada, ε uma grandeza prefixada de mesma espécie e r é uma razão tal que 1/2 ≤ r < 1, então podemos achar um inteiro N tal que M(1 – r)n < ε para todo inteiro n > N”, ou seja, 0)1(lim =−

∞→

n

nrM (BOYER, 2012, p. 81).

36

matemático que se interessava pelas séries. A prova dada por Oresme para a divergência da

série harmônica é uma conhecida prova em que se separa o primeiro termo e depois são

feitos agrupamentos do segundo com o terceiro termo (2 termos), do quarto ao sétimo

termo (4 termos) e, assim, sucessivamente, de forma que o n-ésimo grupo tenha 2n–1

termos. Dessa forma tem-se uma infinidade de grupos; para cada um deles a soma dos

termos é superior a 2

1, o que permite concluir que a soma de todos os termos supera

qualquer número dado (BOYER, 2012, p. 189).

Segundo Eves (2004, p. 403) enquanto os matemáticos tentavam obter melhores

aproximações para o valor de π, Gregory, em 1668, obtinha a série de potências para a

função arctg(x):

)11(9753

)(9753

≤≤−−+−+−= xxxxx

xxarctg L .

Gregory não percebeu que, para x = 1, a série tornava possível obter uma

aproximação para o valor de π:

L−+−+−=9

1

7

1

5

1

3

11

4

π

Essa série é associada a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), constituindo-se

uma de suas primeiras descobertas matemáticas (BOYER, 2012, p. 290). Falaremos mais

sobre Leibniz adiante.9

Nicolaus Mercartor (1620-1687) interessava-se muito pelos estudos de

logaritmos. Em 1668, publicou um resultado muito parecido com o de Gregory, baseado no

método da divisão de Gregory e na obra de Gregório de St. Vincent, sobre a área abaixo da

hipérbole x

y+

=1

1, de x = 0 à x = x ser igual a ln(1 + x). Chegou à seguinte integração7

LL −+−+−=+=+−+−=+∫ ∫ 5432

)1ln()1(1

5432

0 0

32 xxxxxxdxxxx

x

dxx x

7 A equação definida pela integral é uma escrita recente abordada por Boyer para explicar o resultado encontrado por Mercartor.

37

(BOYER, 2012, p. 269).

Segundo Eves (2004, p. 403), Gregory foi o primeiro matemático a fazer distinção

entre séries convergentes e séries divergentes. Para Boyer (2012, p. 269) se Gregory

tivesse expressado sua obra analítica, ao invés de geometricamente, teria sido o precursor

na invenção do Cálculo, pois tinha muito conhecimento sobre vários elementos

fundamentais da matéria.

Em 1672, foi publicada pelo italiano Pietro Mengoli (1625-1686) mais uma obra

que tratava da quadratura do círculo, a II problema della quadratura del circolo.

Influenciado pelas obras de Cavalieri, de Torricelli e de Gregório de St. Vincent, Mengoli

estudava indivisíveis e áreas sob as hipérboles e passou a trabalhar com um processo “cuja

utilidade começou a tornar-se evidente quase pela primeira vez – o uso de séries infinitas”

(BOYER, 2012, p. 257). Ele provou a seguinte igualdade da série alternada

2ln)1(

4

1

3

1

2

1

1

1 1

=+−

++−+−

+

LLn

n

.

E também redescobriu que a série harmônica não converge. Mengoli se preocupava com

somas e produtos infinitos, o que era importante para o desenvolvimento da Matemática

(BOYER, 2012, p. 257).

Encontramos na obra de Isaac Newton (1642-1727), a quem se atribui a

descoberta do Cálculo, muitos resultados relativos a processos e somas infinitas. Newton

foi sucessor de Jonh Wallis (1616-1703) e de Isaac Barrow (1630-1766), matemáticos que

trabalhavam com o infinito e cujas obras já apresentavam alguns resultados relativos aos

processos hoje conhecidos como derivação e integração.

Wallis, em 1655, escreveu sua obra Arithmetica infinitorum que continha grandes

contribuições à Matemática, dentre elas estavam a escrita das cônicas como curvas de

segundo grau (em vez de seções cônicas) e as extensões dos métodos de Descartes e

Cavaliere. Ao estudar as razões entre os quadrados dos indivisíveis no triângulo com o

quadrado dos indivisíveis no retângulo, Wallis concluiu que

nnnnnn

nn

6

1

3

1)1(21022222

22222

+=+++++

+−++++

L

L, quando n tende ao infinito, a razão tende a 1/3.

A razão anterior é equivalente à 3

11

0

2=∫ dxx . Por meio de indução incompleta Wallis

38

chegou à afirmação da fórmula que hoje8 equivale à 1

11

0 +=∫ m

dxxm , em que m é um valor

inteiro, ou um fracionário ou negativo, desde que seja diferente de –1 (BOYER, 2012, p.

266).

Wallis estava empenhado em determinar o valor de 4

π por meio da área de um

quadrante do círculo x2 + y2 = 1, que é equivalente à ∫ −

1

0

2/12 )1( dxx . Entretanto, Wallis

desconhecia o teorema geral do binômio, o que o impedia de encontrar o valor da integral

anterior. Com isso, ele calculou diversas áreas, trocando 1/2 por 0, 1, 2, 3,... e obtendo a

sequência 1, 2/3, 8/15, 16/35, ... . Wallis só foi conseguir uma aproximação para π depois

de um processo longo e complicado, resultando no seguinte produto infinito

K

K

7755331

8664422

2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

π.

Como foi dito, outro predecessor de Newton foi Isaac Barrow. Em 1669 ele

publicou seu trabalho mais importante o Lectiones opticae et geometricae, que contava

com a ajuda de Newton na parte referente à ótica e no qual “se encontra uma abordagem

muito próxima do processo moderno de diferenciação, mediante o uso do chamado

triângulo diferencial, que ainda se encontra nos textos atuais de Cálculo” (EVES, 2004, p.

434). Barrow, em 1670, escreve em uma conferência sobre o método das tangentes,

Em suplemento a isso acrescentamos, sob forma de apêndices, um método para encontrar tangentes por cálculo frequentemente usado por nós, embora eu não saiba, depois de tantos métodos bem conhecidos e usados dados acima, se há alguma vantagem em fazê-los. No entanto, eu o faço por conselho de um amigo [que mais tarde se mostrou ter sido Newton]; e com tanto maior boa vontade por parecer ser mais proveitoso e geral que os que já discuti. (BOYER, 2012, p. 270)

Nas Lectiones de Barrow está enunciado e demonstrado, por meios geométricos,

que a diferenciação e a integração são operações inversas, o que hoje conhecemos como

Teorema Fundamental do Cálculo (EVES, 2004, p. 435).

8 Nenhum dos dois autores, Eves ou Boyer, dão indícios de como era a escrita desenvolvida por Wallis antes de Newton e Leibniz.

39

Por volta de 1665, Newton começou a exprimir funções em termos de séries e a

trabalhar com taxa de variação, fazendo uma ligação entre esses dois métodos (BOYER,

2012, p. 272). No começo, Newton estudou o trabalho de Wallis “sobre a determinação da

área (de x = 0 a x = x) sob curvas, cujas ordenadas são da forma (1 – x2)n” (BOYER, 2012,

p. 273), experimentando para n = 0, 1, 2, 3 e assim por diante. Ao trabalhar com o

expoente n = 2

1 concluiu que (1 – x2)n poderia ser expresso pela série

L−−−−−8642

128

5

16

1

8

1

2

11 xxxx .

Boyer (2012, p. 270) conta-nos que, em 13 de junho de 1676, Newton escreveu

uma carta que foi enviada a Oldenburg, mas que estava destinada a Leibniz, com o

seguinte teorema sobre divisões e radicais envolvendo quantidades algébricas:

As extrações de Raízes são muito abreviadas pelo Teorema

etcCQn

nmBQ

n

nmAQ

n

m

n

mP

n

mPQP +

−+

−++=+

3

2

2

onde P + PQ representa uma Quantidade cuja Raiz ou Potência ou cuja Raiz de uma Potência se quer achar, P sendo o primeiro termo dessa quantidade, Q sendo os termos restantes divididos por essa primeira e m/n o índice numérico das potências de P + PQ... Finalmente, em lugar dos termos que ocorrem durante o trabalho do Quociente, eu usarei A, B, C, etc. Assim A representa o primeiro termo P(m/n); B o segundo termo (m/n) AQ e assim por diante. (BOYER, 2012, p. 272 e 273)

Em 24 de outubro de 1676, enviou outra carta explicando detalhadamente como havia

chegado a essa série binomial.

Para Newton, tornou-se claro que era possível trabalhar com séries de maneira

semelhante à usada para expressões polinomiais finitas. Newton verificou que a análise por

séries estava sujeita às mesmas leis da álgebra finita. Boyer (2012, p. 273) reapresenta o

que Newton anunciou sobre séries infinitas e séries convergentes: “indicam a designação

de alguma quantidade particular por uma Progressão regular de quantidades que,

continuamente se aproximam dela e que, se prolongada infinitamente, devem ser iguais a

ela”.

Em 1711, Newton publicou um artigo intitulado De analysi per aequationes

numero terminorum infinitas, escrito em 1669, que dizia:

40

E tudo que a análise comum [isto é, a álgebra] executa por Meio de Equações com número finito de Termos (desde que possa ser feito) esse novo método sempre pode executar por Meio de Equações infinitas. Por isso não hesitei em dar a isso o nome de Análise também. Pois os raciocínios aqui não são menos certos que na outra; nem as Equações, menos exatas; embora nós Mortais cujos Poderes de raciocínio estão restritos a Limites estreitos, não possamos nem exprimir nem conceber todos os termos dessas Equações de modo a saber exatamente delas as Quantidades que queremos. Para concluir, podemos merecidamente considerar como pertencente às Áreas e Comprimentos etc. das Curvas podem ser exata e geometricamente determinados. (BOYER, 2012, p. 273, grifo do autor)

A obra De Analysi é de grande importância por apresentar o trabalho de Newton

sobre séries, constituindo-se em sua primeira exposição de maneira sistemática de sua

principal descoberta, o Cálculo (BOYER, 2012, p. 274).

As séries também tiveram papel importante no desenvolvimento das ideias

matemáticas de Leibniz, a quem também se atribui a descoberta do Cálculo.

Em 1673, Leibniz, ao ler a carta de Amos Dettonville sobre Traité dês sinus du

quart de cercle percebeu resultados sobre a determinação de tangentes e sobre as

quadraturas. Na linguagem de hoje, podemos dizer que Leibniz percebeu que a

determinação da tangente a uma curva dependia da razão das diferenças das ordenadas

pelas diferenças das abscissas, quando essas se tornavam infinitamente pequenas e que a

quadratura dependia da soma das áreas dos retângulos que possuíam altura na curva e cujas

bases, no eixo das abscissas, se tornavam infinitamente pequenas, determinando assim a

área sob a curva (BOYER, 2012, p. 288). Levando em consideração a quadratura de

Gregory e Mercator, Leibniz chegou à série para o arco seno de x. Newton já havia

encontrado a série por método semelhante.

Em 1676, foi proposto a Leibniz encontrar a soma dos recíprocos dos números

triangulares, ou seja, a soma dos termos da sequência cujo termo geral é )1(

2

+nn.

Sabiamente ele reescreveu esse termo geral como

+−

1

112

nn, chegando à conclusão de

que o valor da soma para infinitos termos é 2.

Ainda em 1676, Leibniz, assim como Newton, havia concluído que possuía um

método muito importante nas mãos, pois com ele era possível trabalhar com funções

racionais, irracionais, algébricas ou transcendentes (palavra inventada por Leibniz). Passou

a utilizar as notações dx e dy para os diferenciais em x e y e também o símbolo ∫ , como

41

uma letra s, para representar a soma das áreas dos retângulos formados abaixo da curva.

Utilizava também os nomes calculus differentialis para achar tangentes e calculus

integralis para achar a quadratura (BOYER, 2012, p. 289). Essas notações e expressões são

ainda hoje utilizadas nos cursos de Cálculo.

Os irmãos Jacques Bernoulli e Jean Bernoulli (1667-1748) entusiasmaram-se com

a Matemática ao lerem os artigos de Leibniz em Acta eruditorum e passaram a ter contato

com Leibniz (BOYER, 2012, p.s 291 – 296). Jacques Bernoulli interessou-se muito por

séries infinitas e, em seu primeiro artigo publicado sobre o assunto, em 1698, apresentou a

conhecida “desigualdade de Bernoulli”, expressa por ( ) nxx n+>+ 11 , em que x é real e

x > – 1 e x ≠ 0 e n é um inteiro maior do que um, mas que já havia sido publicado por

Barrow em 1670. Também mostrou que a série dos recíprocos dos quadrados perfeitos

LL ++++++2222

1

4

1

3

1

2

1

1

1

n

é convergente ao comparar, termo a termo, com a série

LL +−

++⋅

+⋅

+⋅

+nn )1(

1

43

1

32

1

21

1

1

1

que possui os termos maiores ou iguais aos da primeira, que ele já conhecia e sabia que

convergia para 2 (BOYER, 2012, p. 293).

À Jean Bernoulli é geralmente atribuído o cálculo com exponenciais, pois o

mesmo estudou as curvas exponenciais simples y = ax e também as gerais y = xx. A área

sob a curva y = xx de x = 0 a x = 1 foi determinada pelo suíço através da convergência da

série

L+−+−4321 4

1

3

1

2

1

1

1.

O matemático mais conhecido pelos estudos de séries de potências é Brook Taylor

(1638-1731). É informado por Eves (2004, p. 469), que Taylor publicou em 1715 a

chamada série de Taylor, que é a aproximação de uma função em um determinado ponto

por meio de uma série de potências da forma

42

LL +++++=+ )(!

)(''!2

)(')()( )(2

afn

haf

hahfafhaf n

n

.

Em 1717, Taylor substituiu o valor de a + h por x encontrando a seguinte

expressão:

LL +−++−+−+=n

n

axn

afax

afax

afafxf )(

!

)()(

!2

)('')(

!1

)(')()(

)(2 .

A série que leva o nome de Colin Maclaurin (1698-1746), publicada em 1742,

apresenta um caso particular da série de Taylor no qual o valor de a é substituído por zero

(Eves, 2004, p. 469).

Interessante destacar que Gregory tinha descoberto a série, que hoje recebe o

nome de série de Taylor, aproximadamente quarenta anos antes de Taylor, mas não a

publicou. Gregory também tinha conhecimento antecipado das séries de Maclaurin para

tangente, secante, arco tangente e arco secante de x, mas somente a série para arctg x leva o

seu nome (BOYER, 2012, p. 269).

É possível observar, por meio de toda história relatada, que ideias relativas a

sequências e séries estão presentes na história da Matemática por mais de três mil anos e

que esses dois conteúdos foram ferramentas importantes para o desenvolvimento do

Cálculo. A aprendizagem desses conceitos nos cursos superiores é de extrema importância,

uma vez que conceitos relacionados aos processos infinitos e convergência constituem

fundamentos para os conteúdos de Cálculo.

1.2 O ensino de Cálculo e, em especial, o ensino de sequências e séries: situando o

contexto brasileiro

A disciplina de Cálculo está presente no currículo da maioria dos cursos da área

de exatas e em alguns cursos de outras áreas. O Cálculo é lecionado com mais ou menos

profundidade de acordo com os objetivos do curso.

Encontramos vários autores que falam da importância do ensino de Cálculo. Para

Barufi (1999), o Cálculo é um curso “básico, amplo e integrador, de caráter fundamental”

(p. 3), pois serve para o estudo de funções de uma ou mais variáveis, taxas de variação de

43

grandezas e aproximação local de funções. Esses conteúdos constituem fundamentos para

vários cursos. Lachini (2001) diz que o ensino-aprendizagem de Cálculo tem dois objetivos

principais, “um deles é habituar o estudante a pensar de maneira organizada e com

mobilidade; o outro, estabelecer condições para que o estudante aprenda a utilizar as ideias

do Cálculo como regras e procedimentos na resolução de problemas em situações

concretas” (LACHINI, 2001, p. 147). Ao citar Willcox9 et al, sobre a relação do Cálculo

com o mundo real, Rezende (2003) concorda com Lachini ao dizer que o Cálculo é

“imprescindível para a formação do cidadão” (p. 37, grifo do autor) e também é

integrador do próprio conhecimento matemático, pois é “imprescindível para o

desenvolvimento e organização interna da matemática e de suas diversas áreas” (p. 37). A

pesquisadora Catapani (2001) considera que a disciplina de Cálculo tem por objetivo servir

de base para as carreiras diversas, devido à sua grande aplicabilidade. Franchi (1993)

destaca o importante papel do Cálculo como linguagem na representação dos fenômenos

da realidade e como instrumento para a resolução de problemas. Essas manifestações nos

mostram a importância da disciplina de Cálculo em cursos superiores, tanto para o

desenvolvimento pessoal do aluno quanto como base para as demais disciplinas.

É fato que, apesar da reconhecida importância da disciplina de Cálculo nos

currículos, muitos são os problemas com o seu ensino: aulas extremamente expositivas e

formais; apresentação de uma Matemática pronta, levando os alunos à memorização de

fórmulas; resolução de múltiplos exercícios, resultando em um processo mecânico de

aprendizagem; alunos com defasagem na aprendizagem dos ensinos fundamental e médio,

comprometendo a habilidade de abstração; dificuldade de operações com o infinito; pouco

entendimento do conceito de limite e de convergência.

Segundo Igliori (2009, p. 13) tanto o insucesso dos alunos no Cálculo quanto a

condição privilegiada da disciplina na formação do pensamento matemático avançado têm

motivado muitos estudos sobre o ensino de Cálculo, constituindo a maior parte das

pesquisas no ensino superior. Catapani (2001) considera que o ensino de Cálculo tem sido

amplamente discutido devido aos problemas que enfrenta, como altos índices de evasão e

reprovação.

Diversas questões têm sido apontadas por estudiosos da área como causa do problema, desde a forma tradicional de ministrar a disciplina até a falta de motivação por parte de professores e alunos envolvidos com o

9 Willcox et al (1971) diz que a importância do Cálculo deriva da potência e beleza intrínsecas de suas ideias e dos muitos e variados contatos entre essas ideias e o “mundo real”.

44

Cálculo. Dessa forma, ao invés de desempenhar importante papel no desenvolvimento da sociedade científica e tecnológica em que vivemos, o Cálculo tem-se colocado como barreira ao acesso profissional a muitos estudantes que conseguiram ingressar nas universidades. (CATAPANI, 2001, p. 49)

Há ainda o problema de o aluno desenvolver uma dependência do professor e não

uma autonomia com os conceitos matemáticos e encontrar dificuldades em sua aplicação

na vida profissional. Isso, segundo Soares e Sauer (2004), decorre da forma como são

ensinados:

tradicionalmente, têm sido baseados em atividades, operações, técnicas, manipulação de softwares e outros procedimentos realizados pelos alunos, por solicitação de seus professores. O conhecimento matemático é apresentado sob a forma de regras e fórmulas, execução de algoritmos, informações sobre definições, teoremas (resultados) e linguagem simbólica. (SOARES e SAUER, 2004, p. 245)

Soares e Sauer (2004) afirmam que, com isso, o aluno passa a ser passivo,

inseguro e dependente do professor para decidir se os resultados encontrados estão corretos

ou não. Acrescentam ainda que o aprender passa a ser “assistir a aulas, observar o que é

apresentado, copiar, repetir e apresentar respostas às questões, mais ou menos próximas do

que foi planejado” (p. 245).

Um dos problemas apontados no ensino de Cálculo por Rezende (2003) está em

um conflito pedagógico entre o que o professor pede para o aluno e o que o professor de

fato faz em sala de aula: “Se nas aulas propriamente ditas o que prevalece são as

demonstrações, nas avaliações o que se pede em geral é a técnica, os cálculos de limites, de

derivadas, de antiderivadas e integrais” (REZENDE, 2003, p. 13).

Ainda para Rezende (2003, p. 324), as dificuldades de aprendizagem em um curso

inicial de Cálculo vão desde “problemas de fundo emocional”, como medo de ser

reprovado na disciplina, até “problemas de base” na formação Matemática do estudante.

Para ele grande parte das dificuldades de aprendizagem é de natureza epistemológica, que

foi por ele dividida em cinco macroespaços: discreto/contínuo, finito/infinito,

variabilidade/permanência, local/global e sistematização/construção. A principal fonte de

obstáculos epistemológicos seria a falta das ideias e problemas essenciais do Cálculo no

ensino básico de Matemática.

São muitas as causas apontadas por Lachini (2001) para o insucesso de

professores e alunos no trabalho com Cálculo.

45

Elas varrem um leque de explicações que vão desde o despreparo do aluno e a incompetência de professores até fatores institucionais, política implementada pelo governo e dependência de capital internacional. Sem perder de vista o contexto em que a escola está inserida, vem como os múltiplos fatores intervenientes na ação pedagógica, o pressuposto [...] é que, tanto o sucesso quanto o insucesso podem ser explicados também nas relações instituídas por professores e alunos, em torno do trabalho com o conteúdo de Cálculo. (LACHINI, 2001, p. 149, grifos do autor)

Alguns autores tecem considerações sobre como devem ser as aulas em um curso

de Cálculo. De acordo com Barufi (1999), as aulas não devem ter como foco principal um

“universo rigoroso e distante” (p. 150) no qual o aluno não consegue exercer qualquer tipo

de crítica.

Para amenizar as dificuldades de natureza epistemológicas, Rezende (2003)

sugere que “se permita às ideias básicas do Cálculo participar efetivamente da tecedura do

conhecimento matemático no ensino básico” (p. 442). Isso sendo feito, “as dificuldades do

ensino superior de Cálculo serão, em grande parte, superadas, tanto quanto as do próprio

ensino de Matemática” (REZENDE, 2003, p. 442).

Ainda com relação à sala de aula, Lachini (2001) sugere algumas modificações

para as faculdades: redefinir a sala de aula como um espaço de trabalho e não meramente

um local de repasse de uma mercadoria; no caso do Cálculo, sendo o professor o

entregador e o aluno o consumidor, assim, seriam modificadas também as relações entre os

agentes. Sugere outras modificações que, para ele, são pequenas, mas significativas:

passar do dar e do assistir aula para o fazer aula; passar da presença-assinatura para a presença ativa em sala de aula; passar da avaliação através de provas para a avaliação através do trabalho efetivamente realizado ao longo do ano letivo; passar de um processo de memorização para um processo de incorporação. (LACHINI, 2001, p. 188)

A importância das sequências e séries, inseridas nas disciplinas básicas de cursos

superiores, também tem sido destacada por diversos autores pelas possibilidades de

utilização desses conceitos em diferentes contextos. James Stewart, um renomado autor de

livros didáticos tenta, na introdução de um dos capítulos de seu livro Cálculo, volume 2,

mostrar aos alunos a importância do conteúdo:

Muitas das funções que surgem em física-matemática e química, tais como funções de Bessel, são definidas como somas de séries assim, é importante nos familiarizarmos com os conceitos básicos de

46

convergência de sequências e séries infinitas. [...] Os físicos também usam séries de outra maneira [...]. Em áreas de estudo tão diversas quanto óptica, relatividade especial e eletromagnetismo, eles analisam fenômenos trocando uma função pelos principais termos da série que a representa. (STEWART, 2009, p. 640).

Na dissertação de Nunes (2001) sobre convergência de sequências numéricas, é

feita referência à pesquisa da francesa Aline Robert (1982) que diz que “a convergência

das sequências numéricas faz parte de um campo essencial nos fundamentos da análise

matemática, campo que concerne às funções numéricas, aos limites de funções, à

convergência, aos números reais” (NUNES, 2001, p. 9).

A introdução do conteúdo de sequências e séries em sala de aula não é simples.

Bagni (2005, p.8) ressalta diferentes aspectos relativos aos processos cognitivos

envolvidos. Na fase inicial, os alunos abordam os conceitos de uma maneira intuitiva sem

uma compreensão completa do problema. Essa fase é principalmente operacional. Depois

os alunos passam para uma fase de maturidade, na qual o aprendizado melhora

gradativamente. O professor tem que ter profunda habilidade epistemológica para ajudar os

alunos nessa transposição didática. Bagni aponta que, ao considerar uma abordagem que

passa primeiro por uma concepção operacional, para então passar por uma concepção

estrutural, algumas dificuldades podem ocorrer, como por exemplo, na medida em que

uma série está sendo ensinada, a passagem da concepção operacional para a estrutural tem

sido muito árdua por causa da necessidade de algumas noções básicas, como o conceito de

limite. Outro problema apontado é a passagem de operações finitas para o infinito

(BAGNI, 2005, p. 9).

Para o ensino de séries, Bagni (2005, p. 2) apresenta algumas sugestões. Segundo

ele, ao introduzirmos séries em sala de aula devemos saber que os alunos geralmente

consideram que uma soma de infinitos termos terá como resultado um valor infinitamente

grande. Podemos tentar sanar esse tipo de pré-conceito utilizando recursos visuais.

Tomemos como exemplo a série L+++++32

1

16

1

8

1

4

1

2

1 . É fácil ver, por meio da figura

3, que a mesma é convergente.

47

Figura 3: Visualização geométrica da convergência da série geométrica de razão

2

1

Fonte: Elaborada pela autora.

Esse exemplo pode ser muito útil, pois mostra uma soma de infinitos termos que

não possui um resultado infinito. Porém, Bagni (2005) observa que é necessário cautela,

pois os alunos poderiam perceber que os termos da série se tornam “indefinidamente

pequenos e essa condição pode ser considerada erradamente como suficiente para a

convergência de uma série infinita”10 (p. 3). A série harmônica seria uma alternativa para

superar esse equívoco. Devemos tomar o cuidado, também, para que os alunos não

procurem resolver todas as séries infinitas através de recursos visuais.

Ainda sobre o ensino de sequências e séries, Nunes (2001) apoia-se em Aline

Robert para dizer que a aprendizagem desses conteúdos deve partir da ação. Ressalta que,

para afastar certas representações erradas, devem ser usadas sequências didáticas bem

escolhidas.

As questões relativas às dificuldades no ensino de sequências e séries, bem como

do ensino de Cálculo, têm sido debatidas em âmbito internacional. Rezende (2003, p. 3)

relata que o fracasso no ensino do Cálculo não é uma questão apenas nacional, pois vários

trabalhos sobre o ensino e a aprendizagem de Cálculo têm sido publicados em outros

países. Um exemplo é o texto de Bagni (2005) já citado anteriormente nesse capítulo. Um

referencial usado em muitos desses trabalhos é o do Pensamento Matemático Avançado,

cujas “questões giram em torno das dificuldades encontradas nas aprendizagens dos

conceitos básicos do Cálculo, tendo a psicologia cognitiva como pano de fundo para suas

análises epistemológicas” (REZENDE, 2003, p. 4).

No Capítulo 2 veremos um pouco mais sobre o Pensamento Matemático

Avançado e sobre a teoria dos Três Mundos da Matemática que têm como um dos seus

principais articuladores o pesquisador David Orme Tall.

10 Tradução nossa para “indefinitely small and this condition can be considered wrongly as a sufficient one for the convergence of an infinite series”.

48

49

CAPÍTULO 2

BUSCANDO A FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

É fato que muitos alunos que tinham facilidade com a Matemática nos ensinos

fundamental e médio passam a ter dificuldade ao ingressarem no ensino superior.

Na Matemática trabalhada nos cursos de Cálculo, apesar de não haver

formalização como nos cursos de Análise, faz-se um movimento em direção à

apresentação dos conceitos por meio de suas definições e à dedução ou demonstração de

resultados. O aluno que vem do fundamental e médio provavelmente não vivenciou esse

tipo de abordagem.

Segundo Tall (1991, p. 3), muitas vezes no ensino de Matemática na graduação, é

apresentada a forma final da teoria ao invés de o aluno participar do ciclo de criação da

mesma. Ele ainda cita Skemp (1971) dizendo que “as atuais abordagens do ensino na

graduação tendem a dar aos alunos o produto do pensamento matemático, em vez de o

processo do pensamento matemático”11. Concordamos com essas ideias e entendemos que

não conhecer o processo pode dificultar o desenvolvimento dessa nova forma de pensar

exigida para a Matemática avançada.

Dreyfus (1991) coloca que, geralmente, em um curso de Cálculo (e outros cursos),

são informados inicialmente ao professor o livro que deverá utilizar e o conteúdo que

deverá ministrar dentro de um prazo determinado. Isso dificulta o trabalho do professor,

que não consegue se afastar das aulas teóricas típicas, em que são apresentados vários

teoremas a serem provados e suas aplicações, tratando a Matemática de modo formal e

acabado. Apesar de esse professor saber que a Matemática não foi desenvolvida como é

apresentada nos livros didáticos, ou seja, de saber que a Matemática foi, e ainda é

desenvolvida através de formulações intuitivas, tentativa e erro, desenhos que tentam

expressar as estruturas do pensamento matemático, entre outras estratégias, muitas vezes

ele a ensina como um produto acabado: apresenta apenas o resultado final, seguindo a

sequência teorema, prova e aplicação. Essa maneira de ensinar, muitas vezes, se torna

conveniente, pois “permite uma estrutura bem planejada do curso, bem como o progresso

previsto pelo material, chegando, assim, a uma garantia quase certa de que a maioria do

11 Tradução nossa para: “current approaches to undergraduate teaching tend to give students the product of mathematical thought rather than the process of mathematical thinking”.

50

material no currículo pode ser coberto”12 (DREYFUS, 1991, p. 27). Todavia, essa

metodologia apresenta, pelo menos, uma desvantagem muito séria: ela é inflexível em

termos de adaptabilidade para os alunos.

Ainda nos é colocado por Dreyfus (1991) que o tipo de aula apresentada

anteriormente pode funcionar para alunos que têm grande facilidade com a Matemática,

que já possuem uma “atitude matemática”. Entretanto, ela não funciona com a maioria dos

alunos formados em cursos que possuem a Matemática como disciplina básica. Dreyfus

(1991), embasado na pesquisa de Davis (1988), aponta que os alunos aprendem a

Matemática como se fosse um ritual, ou seja,

o que a maioria dos alunos aprende em seus cursos de matemática é executar um grande número de procedimentos padronizados, moldados precisamente em formalismos, para obter respostas para uma classe de exercícios claramente delimitada. [...] Eles acabam com uma quantidade considerável de conhecimento matemático, mas sem a metodologia de trabalho dos matemáticos, de maneira que falta o know-how que lhes permite utilizar os seus conhecimentos de maneira flexível para resolver problemas de um tipo desconhecido para eles.13 (DREYFUS, 1991, p. 28).

Esses alunos aprendem a forma final da Matemática e não adquirem o

conhecimento do desenvolvimento dos processos matemáticos. Alguns professores acham

que apresentar a Matemática para os alunos em uma ordem lógica irá facilitar o

entendimento dos mesmos. Contudo, para o aluno, essa formalidade inicial pode apresentar

dificuldade no aprendizado. O essencial para o aluno é uma Matemática que cresce

juntamente com ele, ou seja, que apresenta o “desenvolvimento de sua estrutura de

conhecimento e os processos do pensamento” (TALL, 1991, p. 7).

Domingos (2001), em uma investigação teórica sobre o aprendizado de

Matemática, concluiu que

há uma evidência bastante acentuada que suporta a importância de aprender com compreensão desde o início, por contraposição a uma aprendizagem que assenta na aquisição de determinadas habilidades

12 Tradução nossa para: “it allows for a well-planned structure of the course, as well as for predictable progress through the material, and thus for a fairly certain guarantee that most of the material in the syllabus can be covered.” 13 Tradução nossa para: “what most students learn in their mathematics courses is, to carry out a large number of standardized procedures, cast in precisely defied formalisms, for obtaining answers to clearly delimited classes of exercise questions.[…] They end up with a considerable amount of mathematical knowledge but without the working methodology of the mathematician, that is they lack the know-how that allows them to use their knowledge in a flexible manner to solve problems of a type unknown to them.”.

51

isoladas para as quais só a posteriori é desenvolvida uma compreensão de como é que estas funcionam formando um todo. Quando os alunos aprendem com compreensão eles são capazes de aplicar esses conhecimentos para aprender novos tópicos e para resolver novos problemas. (DOMINGOS, 2001, p. 113)

Segundo Dreyfus (1991), os processos mentais que o professor espera provocar no

aluno para que ocorra a aprendizagem nem sempre acontecem por si sós e, mesmo quando

acontecem, o aluno pode não ter consciência disso. Para esse autor, não basta definir e

exemplificar um determinado conceito abstrato. Devem-se desenvolver atividades nas

quais as propriedades possam ser obtidas a partir da definição. Isso é feito com o objetivo

de levar o aluno à abstração e ele deve saber que esse é o objetivo da atividade.

Entre vários quadros teóricos que tratam do ensino e da aprendizagem da

Matemática no ensino superior, alguns se destacam no que diz respeito aos processos

cognitivos característicos dessa etapa e também à transição entre o tipo de pensamento

exigido no ensino secundário para o exigido no superior.

No ano de 1985 um grupo de pesquisadores se organizou para escrever artigos

relacionados a tal assunto. Estes artigos foram compilados em um livro, intitulado

Advanced Mathematical Thinking, que foi lançado em 1991, tendo David Tall como editor.

A publicação traz os textos agrupados em três categorias, sendo elas: a natureza do

pensamento matemático avançado; teoria cognitiva; e análise dos processos da pesquisa

cognitiva em diferentes áreas da matemática avançada.

Dentre os autores desse grupo destacamos em nossa pesquisa as perspectivas de

Tommy Dreyfus, David Tall, John Mason e Gila Hanna para descrever os processos

envolvidos na construção do conhecimento matemático e a noção de prova em diferentes

níveis de ensino. De Dreyfus utilizamos as ideias relativas ao conjunto de processos que

constituem o pensamento matemático avançado, o que nos deu subsídios para a análise dos

dados no que diz respeito à transição entre o pensamento matemático elementar e o

avançado. De Tall nos apropriamos principalmente do quadro teórico sobre o

desenvolvimento cognitivo em Matemática, denominado Três Mundos da Matemática, que

foi usado para concepção das atividades e análise dos dados no que diz respeito à

corporificação dos conceitos.

Esse mesmo aporte teórico é utilizado em outras pesquisas correlatas.

No cenário internacional destacamos as pesquisas de Anna Poynter (2004), que

analisou a compreensão do conceito de vetor por meio de uma abordagem experimental, e

de Juan Pablo Mejia-Ramos (2008) que estudou os meios utilizados pelos alunos de

52

graduação para construir argumentos matemáticos válidos para provar conjecturas em

matemática. Tanto Poynter, quanto Mejia-Ramos, foram orientados por Tall.

No cenário brasileiro destacamos as pesquisas de Lima (2007) e outras por ela

orientadas. Lima (2007) utiliza o quadro dos Três Mundos da Matemática para analisar

questões relativas às concepções de equações apresentadas por alunos do Ensino Médio.

Outros exemplos são as pesquisas de Badaró (2010), Freire (2011), Koch (2011), Santos

(2011), todas orientadas por Lima. Ainda encontramos dissertações, orientadas por outros

pesquisadores, relacionando os Três Mundos da Matemática com: a Modelagem (Sousa,

2010) e o conceito de função (Angelini, 2010).

Dedicamos este capítulo à discussão dos dois quadros teóricos: o Pensamento

Matemático Avançado e os Três Mundos da Matemática.

2.1 O Pensamento Matemático Avançado

Não vamos dar uma definição para o termo “pensamento matemático avançado”,

mas sim um sentido para ele por meio de alguns de seus aspectos. Dreyfus (1991)

considera o pensamento matemático avançado como um processo que consiste em uma

grande variedade de componentes que podem ser vistos como processos de aprendizagem

que interagem entre si, como representar, visualizar, generalizar, também outros como,

classificar, conjecturar, induzir, analisar, sintetizar, abstrair ou formalizar.

Para um melhor entendimento da interação que ocorre entre esses processos,

utilizaremos um exemplo dado por Dreyfus (1991) sobre os processos que um professor

pode utilizar ao tratar da seguinte igualdade:

dxkxgdxxgkb

ka

b

a ∫∫+

+−= )()( .

Uma maneira de pensar sobre a igualdade é considerar a função g como um objeto que

pode ser trabalhado de forma a integrar a função de a até b para resultar em um número e,

em seguida, visualizar e comparar com o valor resultante da integral, ao longo do intervalo

transladado, da função transladada para a direita. De acordo com Dreyfus (1991), no tipo

de pensamento anterior estão inseridos processos mentais que, para um especialista em

Matemática, podem ocorrer em alguns segundos, sendo eles: representando (a função,

53

talvez graficamente), transformando (pela translação), visualizando (a função, a função

transladada e as respectivas áreas sob os gráficos), verificando (que as duas translações vão

para a mesma direção) e deduzindo (que os números resultantes são iguais, pois

representam a mesma área) (Figura 04).

Figura 04: Igualdade de integrais de uma função, e seu intervalo de integração, transladados

Fonte: Elaborada pela autora.

Também pode estar envolvido o processo de particularizar (por exemplo, apenas para

funções positivas, como a figura acima) e depois o processo de generalizar. Esses

processos mentais que podem ser naturais para um especialista em Matemática nem

sempre são imediatos para o aluno. Dreyfus (1991, p. 29), a partir do exemplo anterior,

coloca que o pensamento matemático avançado é um processo extremamente complexo, no

qual vários processos componentes, também complexos, interagem entre si.

Ainda que a Matemática avançada seja centrada em abstrações de definições e de

deduções e que não haja distinção nítida entre muitos dos processos do pensamento

matemático elementar e avançado, Dreyfus (1991) diz que uma característica distintiva

entre esses dois tipos de pensamento está na complexidade do conceito matemático e na

forma como ele é tratado.

Em relação à distinção entre o pensamento matemático elementar e o avançado,

Dreyfus (1991, p. 26) descreve que é possível passar de um nível para o outro por meio de

representação e abstração, pois, com esses dois processos, é possível gerenciar a

complexidade da Matemática.

A representação tem um importante papel na Matemática. Ela pode ser separada

em dois tipos: representação simbólica e representação mental. A primeira é externada na

forma escrita ou falada, geralmente com o objetivo de tornar a comunicação sobre um

conceito mais fácil; já a segunda refere-se aos esquemas internos ou quadros de referência

que uma pessoa usa ao interagir com o mundo exterior (DREYFUS, 1991, p. 31). Para

Dreyfus (1991, p. 32), para uma pessoa ser bem sucedida em Matemática, é desejável que

54

ela tenha ricas representações mentais dos conceitos matemáticos. Essas representações

são ricas quando possibilitam o tratamento de vários aspectos ligados a um mesmo

conceito, podendo haver interação entre elas e são pobres se tiverem poucos elementos que

permitam flexibilidade na resolução de problemas. Para que as várias representações

tragam sucesso na resolução de problemas é necessário que elas estejam forte e

corretamente ligadas.

Na mente de um indivíduo podem coexistir vários componentes de representações

mentais de um mesmo conceito, e esses podem ser aproveitados de maneiras distintas ao

serem consideradas diferentes situações matemáticas. Em casos favoráveis, várias

representações mentais de um mesmo conceito podem se completar e, eventualmente,

podem se integrar em uma única representação do conceito (essa integração está

relacionada com a abstração). Entretanto, diferentes representações mentais também

podem entrar em conflito (DREYFUS, 1991, p. 32).

De acordo com Dreyfus (1991), dentre os processos envolvidos no

desenvolvimento do pensamento matemático avançado, o mais importante é a abstração,

pois

se um estudante desenvolve a habilidade de, conscientemente, fazer abstrações a partir de situações matemáticas, ele alcançou um nível avançado do pensamento matemático. Alcançar essa habilidade de abstrair pode muito bem ser o mais importante objetivo da educação matemática avançada14 (DREYFUS, 1991, p. 34)

Como foi dito anteriormente, a integração entre diferentes representações mentais

de um conceito está relacionada com a abstração. Mas, além desse processo, outros dois

são pré-requisitos para alcançar a abstração, sendo eles os processos de generalização e de

sintetização (DREYFUS, 1991, p. 34). Generalizar é “deduzir ou induzir a partir de

particularidades, para identificar pontos em comum, para expandir domínios de validade”15

(DREYFUS, 1991, p. 35). Já sintetizar significa “combinar ou compor peças de tal

maneira que elas formem um todo, uma entidade”16 (DREYFUS, 1991, p. 35).

14 Tradução nossa para: “if a student develops the ability to consciously make abstractions from mathematical situations, he has achieved level of mathematical thinking. Achieving this capability to abstract may well be the single most important goal of advanced mathematical education.” 15 Tradução nossa para: “To generalize is to derive or induce from particulars, to identify commonalities, to expand domains of validity.” 16 Tradução nossa para: “To synthesize means to combine or compose parts in such a way that they form a whole, an entity.”

55

Segundo Dreyfus (1991, p. 37), abstrair é um processo construtivo que está ligado

à construção de estruturas mentais a partir de estruturas matemáticas, isto é, com base em

propriedades e em relações entre objetos matemáticos. Para esse processo, é necessário o

isolamento de adequadas propriedades e relações de objetos matemáticos requerendo a

capacidade de desviar a atenção do objeto matemático para focar em suas estruturas e

propriedades.

Dreyfus (1991, p. 38) diz que representação e abstração são processos

complementares que possuem direções opostas. Pois, se por um lado, um conceito muitas

vezes é abstraído de suas representações variadas, por outro, as representações advêm de

um conceito abstrato.

As complementariedades entre abstração e representação e entre representações

matemáticas simbólica e mental podem ser, e têm sido, objeto de uso didático nos

processos de aprendizagem. Esses processos podem ser vistos em quatro fases:

• usar uma representação única;

• usar mais de uma representação em paralelo;

• fazer ligações entre as representações paralelas e

• integrar as representações e a troca flexível entre elas (DREYFUS, 1991, p.

39).

Na primeira fase, os processos iniciam-se a partir de um caso concreto, de uma

única representação. No segundo estágio, várias representações de um mesmo objeto

matemático são utilizadas em paralelo. A terceira etapa constitui-se em fazer fortes

relações entre as diferentes representações formadas que permitem ao aluno transitar entre

as diferentes representações, tornando-o consciente do conceito subjacente e apto a chegar

à abstração. Por fim, na quarta fase, as ligações, as relações, as propriedades comuns

permanecem para formar o conceito abstrato, enquanto os aspectos específicos ficam

guardados sem serem utilizados. Quando o aluno passa por essas quatro fases, ele forma

uma noção abstrata do conceito dado e se torna “dono” desse conceito; passa a controlar as

diferentes representações sendo capaz de acioná-las quando necessário (DREYFUS, 1991,

p. 39).

Dreyfus (1991, p. 40) volta a enfatizar que os processos de abstração e

representação estão entre os mais importantes para o pensamento matemático avançado,

mas que outros processos também estão relacionados a esse pensamento, como intuir,

descobrir, verificar, provar, definir, entre outros.

56

Para Tall (1995, p. 163), o pensamento matemático avançado envolve o uso de

estruturas cognitivas produzidas por uma grande variedade de atividades matemáticas para

o desenvolvimento de novas ideias que fundamentam e ampliam o crescente sistema de

teoremas demonstrados. Esse pesquisador apresenta como hipótese que o desenvolvimento

cognitivo do pensamento matemático elementar para o avançado em um indivíduo parte

das “percepções de” e “ações sobre” objetos em um mundo exterior, construído através de

dois desenvolvimentos paralelos: um do visual-espacial para o formal-dedutivo; e outro de

sucessivas encapsulações do processo para o conceito usando a manipulação simbólica.

Esses dois desenvolvimentos inspiram o pensamento criativo baseado em objetos

formalmente definidos e em provas sistemáticas.

Tall (1991) diz que muitas das atividades que ocorrem no pensamento matemático

avançado também ocorrem no pensamento matemático elementar, mas a possibilidade de

definição formal e de dedução é um fator que os diferencia. Segundo Tall, a passagem do

pensamento matemático elementar para o pensamento matemático avançado envolve a

transição:

do descrever para o definir, do convencer para o provar de uma maneira lógica com base nas definições. [...] É a transição da coerência da matemática elementar para a consequência da matemática avançada, com base em entidades abstratas que o indivíduo precisa construir através de deduções das definições formais. (TALL, 1991, p. 20, grifos do autor)17

O ciclo completo para termos uma atividade para se pensar a Matemática

avançada parte “do ato criativo de considerar o contexto de um problema em investigação

matemática que leva à formulação criativa de conjecturas e à fase final de refinamento e

prova”18 (Tall, 1991, p. 3). Tall destaca nesse ciclo a necessidade de começar com

conjecturas e debates para construir significado, para refletir sobre definições formais e,

assim, construir o objeto abstrato cujas propriedades são aquelas e somente aquelas que

podem ser deduzidas da definição.

Ao interagir com o meio, o ser humano consegue desenvolver conceitos

matemáticos, sendo que esse desenvolvimento começa com a capacidade de perceber

coisas e agir sobre elas desenvolvendo uma Matemática simbólica. Ao refletir sobre essas 17 Tradução nossa para: “that from describing to defining, from convincing to proving in a logical manner based on those definitions. […] It is the transition from the coherence of elementary mathematics to the consequence of advanced mathematics, based on abstract entities which the individual must construct through deductions from formal definitions.” 18 Tradução nossa para: “from the creative act of considering a problem context in mathematical research that leads to the creative formulation of conjectures and on to the final stage of refinement and proof”.

57

ações o indivíduo desenvolve um caminho em direção à Matemática axiomática

(DOMINGOS, 2003; TALL, 1995).

Aspectos relativos às provas matemáticas têm sido considerados no quadro teórico

do pensamento matemático avançado. A prova desenvolve-se à medida que a Matemática é

construída. Tall utiliza Mason et al. (1982) para descrever o processo de verificação

matemática em três níveis:

- convencer a si mesmo: envolve compreender porque algumas afirmações são

verdadeiras;

- convencer a um amigo: requer a organização dos argumentos de uma maneira

coerente;

- convencer a um inimigo: necessita de argumentos que devem ser analisados e

refinados para resistir ao teste da crítica.

O último nível é o mais próximo da prova contida no pensamento matemático

avançado, faltando definições e deduções formais. Já no pensamento matemático elementar

há um nível de justificação, mas que não passa pela abstração e pela escrita formal.

Outras categorias de provas são dadas por Hanna (1989). Ela as diferencia em

dois tipos sendo as “provas que provam” e as “provas que explicam”. As provas que

provam mostram apenas que o teorema é verdadeiro e referenciam-se na indução

matemática ou em considerações sintáticas. As provas que explicam, além de mostrar que

um teorema é verdadeiro, também mostram o porquê de ele ser verdadeiro e oferecem um

raciocínio que está baseado nas propriedades matemáticas que motivaram o teorema.

Ressalta que as provas que provam e as provas que explicam são legítimas, preenchem

todas as exigências de uma prova matemática e são reconhecidas pela comunidade

matemática como provas válidas, embora possa haver diferenças de opinião sobre o grau

de rigor de cada uma.

Para ilustrar os dois tipos de prova, Hanna (1989) exemplifica com a soma dos n

primeiros inteiros positivos, 2

)1()(

+=

nnnS , obtida de três modos distintos:

1º) Prova por indução matemática, ou seja, mostra que é válido quando n = 1,

assume que é verdadeira para n igual a um k arbitrário e por fim mostra que é

verdadeira para k + 1, se for verdadeira para k, concluindo que é válido para

todo n.

58

2º) Demonstração de Gauss:

2

)1(

)1()1()1(2

1)1(

321+

=⇔

++++++=

+−+=

++++=nn

S

nnnS

nnS

nS

vezesn44444 344444 21

L

L

L

3º) Por meio de representação geométrica dos n primeiros termos por um

triângulo isósceles de pontos.

Para ilustrar o terceiro modo apresentamos uma imagem desenvolvida por Tall

(2002, p. 8, tradução nossa),

Figura 05: Prova corporificada da soma dos n primeiros inteiros positivos

Fonte: Tall, 2002, tradução nossa.

O cálculo do número de discos no triângulo do primeiro estágio é a metade do

número de discos no retângulo mostrado no segundo estágio, no qual o número de discos

pode ser obtido considerando que possui n colunas com n + 1 discos cada uma, ou seja,

n(n + 1).

O primeiro modo é o tipo de prova que prova, pois ela apenas demonstra que uma

afirmativa matemática é verdadeira, sem mostrar o porquê. O segundo e o terceiro modo

são provas que explicam, pois o segundo utiliza a propriedade de simetria para mostrar

porque a afirmativa é válida e o terceiro mostra visualmente essa veracidade.

Tall (2002) caracteriza esses três modos de prova dentro da teoria dos Três

Mundos da Matemática, como sendo o primeiro do mundo axiomático, o segundo do

59

mundo proceitual e o terceiro do mundo corporificado. Esse quadro teórico será abordado

na próxima seção.

Hanna (1989) defende uma abordagem explanatória para prova em sala de aula,

argumentando que dessa forma não há necessariamente um afastamento da prova

matemática legítima. Enfatiza: “O que é necessário é a substituição de um tipo de prova,

do tipo não exploratório, por uma outra igualmente legítima que tem poder de explicação,

o poder de fazer emergir a mensagem do teorema”19. E argumenta que o mecanismo da

prova é o aspecto menos significante da Matemática (embora os matemáticos o vejam

como necessário) e que “a significância do que é provado tem mais peso do que a exatidão

da prova”.20

Um referencial teórico que pode contribuir para o tratamento de aspectos relativos

ao pensamento matemático avançado e às provas matemáticas no Cálculo é o dos Três

Mundos da Matemática, que abordaremos a seguir.

2.2 Os Três Mundos da Matemática

Um novo quadro teórico sobre o desenvolvimento cognitivo em Matemática tem

sido desenvolvido desde 2002, inicialmente trabalhado por David Tall e Anna Watson

(atualmente conhecida como Ana Poynter) e intitulado os Três Mundos da Matemática.

Como parte do fundamento dessa nova teoria, Tall (2002) cita o ensaio “Patterns of

Growth” de Bruner (1966) no qual ele assinala três modos de representação mental: o

sensório-motor21, que se constitui através da ação; o icônico22, que depende do visual e de

uma organização sensorial do uso de imagens e síntese; e o simbólico23, que é a

representação do pensamento pelo uso de palavras (linguagem em sua forma natural) ou

linguagem (linguagem artificial de número e lógica). Bruner chama de encenado24 o

primeiro modo de representação, de icônico o segundo e de simbólico o terceiro. A figura

06 esquematiza os três modos de representação de Bruner e suas características.

19 Tradução de Márcia Fusaro Pinto do texto original de Hanna (1989). 20 Tradução de Márcia Fusaro Pinto do texto original de Hanna (1989). 21 No original: sensori-motor. 22 No original: iconic. 23 No original: symbolic. 24 O termo encenado é a tradução feita por Lima (2007) para termo enactive.

60

Figura 06: Os três modos de representação de Bruner

Fonte: Bruner 1966 (apud Tall, 2002, p. 2, tradução nossa)

Bruner considera que essas representações acontecem em sequência no

desenvolvimento cognitivo do indivíduo: primeiro, o modo encenado; em seguida, o

icônico e, por fim, o modo simbólico. Lima (2007) refere-se a essa forma hierárquica de

desenvolvimento iniciando

pelo sistema encenado, em que os indivíduos precisam das ações para compreender uma situação. Em seguida, o sistema icônico, em que imagens resumem as ações efetuadas sobre os objetos e, por fim, o sistema simbólico, para comunicação e raciocínio. Ainda, os três sistemas podem coexistir, isto é, um indivíduo pode fazer uso dos três sistemas para armazenar informações. (LIMA, 2007, p. 72 e 73).

Tall utiliza a teoria de Bruner, analisa a reforma do Cálculo25, a Regra de Três e a

passagem para a Regra de Quatro26, para categorizar os modos de representação mental em

três diferentes maneiras de ação sobre o objeto:

Corporificado: baseado em percepções e ações humanas em um contexto do mundo real, incluindo, mas não limitando, os aspectos encenado e icônico. Simbólico-proceitual: combinando o papel de símbolos na aritmética, álgebra e cálculo simbólico, baseado na teoria desses símbolos atuando duplamente como processo e conceito (proceito). Formal-axiomático: uma abordagem formal a partir de axiomas selecionados e com deduções lógicas para provar teoremas. (TALL, 2002, p. 3)27

25 A reforma do Cálculo tem com um de seus princípios a Regra de Três que diz que, sempre que possível, os temas devem ser ensinados de três maneiras: gráfica, numérica e analiticamente (simbolicamente). 26 A Regra de Quatro é a inclusão da representação verbal à Regra de Três. 27 Tradução nossa para: “Embodied: based on human perceptions and actions in a real-world context including but not limited to enactive and visual aspects. Symbolic-proceptual: combining the role of

61

Cada categoria possui seu próprio mundo de significados e maneiras distintas de

justificação embora também exista relação entre elas.

A figura 07 nos dá uma visualização da comparação dos mundos de representação

desenvolvidos por Tall, os modos de representação designados por Bruner e, por fim, a

Regra de Quatro.

Figura 07: Três mundos de representação e suas ligações com outros pontos de vista

Fonte: Tall, 2002, p. 4, tradução nossa.

A linguagem opera nos três mundos de Tall, diferentemente dos outros modos, nos quais a

linguagem está explicitada como uma categoria ou uma subcategoria. No modo de Bruner,

a linguagem é subdivisão apenas do simbolismo e na Regra de Quatro a linguagem é vista

como uma categoria à parte. Para Tall (2002), a linguagem permite que concepções cada

vez mais sofisticadas possam ser desenvolvidas em cada um dos mundos, sendo

ingrediente fundamental subjacente aos diferentes modos de operação. Adiante veremos a

importância da linguagem no desenvolvimento cognitivo dos indivíduos.

Antes de falarmos com detalhe sobre cada um dos três mundos, é necessária uma

ressalva. Tall utiliza o termo corporificado para se referir ao pensamento construído,

fundamentalmente, a partir de percepções sensoriais, ações e experiências de pensamento

(Tall, 2008); ou seja, no sentido de ‘dar um corpo’ a uma ideia abstrata.

symbols in arithmetic, algebra and symbolic calculus, based on the theory of these symbols acting dually as both process and concept (procept). Formal-axiomatic: a formal approach starting from selected axioms and making logical deductions to prove theorems.”

62

O primeiro mundo, denominado por Tall (2002, 2007) mundo conceitual-

corporificado ou somente mundo corporificado, está na base do pensamento matemático e

está fundamentado na percepção e na ação. Ele “se desenvolve a partir de nossas

percepções do mundo e é composto de nosso pensamento sobre as coisas que percebemos

e sentimos, não só no mundo físico, mas em nosso próprio mundo de significados

mentais”28 (TALL, 2004, p. 2). Assim, o mundo corporificado se baseia “na percepção e

reflexão sobre propriedades de objetos, inicialmente vistos e percebidos no mundo real,

mas depois imaginados na mente”29 (TALL, 2008, p.3)

Para focalizar nossa atenção nas ações que realizamos com os objetos é necessário

que pensemos sobre o que fazemos e não apenas sobre o que percebemos. Uma forma de

tornar isso viável é a introdução de símbolos que representem, ao mesmo tempo, as ações e

os conceitos que formamos em nossa mente (TALL e MEJIA-RAMOS, 2004, p.s 2-3).

Assim se constitui o segundo mundo: “é o mundo dos símbolos que usamos para o cálculo

e manipulação na aritmética, álgebra, cálculo e assim por diante”30 (TALL, 2004, p. 3).

Esse mundo inicia-se com ações que são encapsuladas em conceitos “usando símbolos que

nos permitem alternar facilmente de processos de fazer matemática para conceitos de

pensar sobre”31 (TALL, 2004, p. 3). Esse segundo mundo é chamado de mundo proceitual-

simbólico ou simplesmente mundo proceitual32. A palavra “proceito” foi formulada por

Gray e Tall (1994) para representar a dualidade entre o processo (ação) e o conceito que

constitui os símbolos da Matemática. De acordo com Lima,

conceitos matemáticos são representados por símbolos que podem ser manipulados. Essa manipulação sintetiza as ações exercidas sobre os conceitos matemáticos. Assim, os símbolos representam não só os conceitos, mas também as ações exercidas sobre os objetos e o produto dessas ações. (LIMA, 2007, p. 57)

Tall (2004, p. 3) exemplifica o ato de encapsular as ações em conceitos a partir de

uma análise de símbolos usados em aritmética. O símbolo 3 + 2 tem dupla conotação:

como processo da adição de três com dois e como conceito da soma que se refere ao

28 Tradução nossa para: “grows out of our perceptions of the world and consists of our thinking about things that we perceive and sense, not only in the physical world, but in our own mental world of meaning”. 29 Tradução nossa para: “perception of and reflection on properties of objects, initially seen and sensed in the real world but then imagined in the mind” 30 Tradução nossa para: “is the world of symbols that we use for calculation and manipulation in arithmetic, algebra, calculus and so on”. 31 Tradução nossa para: “using symbols that allow us to switch effortlessly from processes to do mathematics to concepts to think about”. 32 No original: proceptual-simbolic world ou proceptual world.

63

número 5. Lima (2007) destaca que pode haver diferentes proceitos de um mesmo processo

(como, por exemplo, 1 + 4, 2 + 3) resultando num mesmo conceito (o número 5).

O terceiro mundo é “baseado em propriedades, expressas em termos de definições

formais, que são usadas como axiomas para especificar estruturas matemáticas (tais como

‘grupo’, ‘corpo’, ‘espaço vetorial’, ‘espaço topológico’ e assim por diante)”33 (TALL,

2004, p. 3). Esse é chamado de mundo formal-axiomático ou mundo formal34.

O mundo formal é caracterizado pelo uso de definições formais para os conceitos,

a partir das quais deduções são feitas, e pressupõe a construção de um sistema axiomático

como, por exemplo, teoria de grupo, análise e topologia (TALL, 2002, p. 7).

O mundo formal surge de uma combinação de concepções corporificadas e

manipulação simbólica; no entanto, o contrário pode, ou não, acontecer (TALL, 2004,

p. 4).

Cada um dos mundos anteriores possui maneiras diferenciadas para justificar e

provar, sendo essas muito bem estruturadas dentro de cada mundo. O mundo corporificado

começa com coisas que são verdadeiras, porque são visíveis. A prova no mundo

corporificado é feita através da realização de um experimento para verificar se o resultado

esperado ocorre e, assim, a verdade fica estabelecida, pois é possível ver essa verdade

acontecer (TALL, 2004, p. 5). Esse tipo de prova proporciona uma base humana35

fundamental para dar significado à Matemática (TALL, 2002). No mundo proceitual, a

verdade é estabelecida por meio do cálculo com números e da manipulação de símbolos

algébricos e a utilização desses símbolos para generalizar ideias (TALL, 2002, 2004).

Segundo Tall (2002), as provas corporificada e proceitual “têm significado humano claro, a

primeira traduz-se, naturalmente, para a segunda” (p. 8).

No mundo formal, a verdade é constituída por meio de prova formal a partir da

utilização de axiomas e de definições formais para que as deduções sejam feitas. Muitas

vezes, o elaborar uma prova formal (axiomática) corresponde a uma quebra na transição da

noção de prova nos dois primeiros modos para esta.

Para exemplificar a passagem natural da prova corporificada para a prova

proceitual e a quebra na transição da noção de prova no mundo formal, retomaremos o

33 Tradução nossa para: “is based on properties, expressed in terms of formal definitions that are used as axioms to specify mathematical structures (such as ‘group’, ‘field’, ‘vector space’, ‘topological space’ and so on)”. 34 No original: formal-axiomatic world ou formal world. 35 Em muitos de seus textos Tall usa a palavra “humano” ao referir-se às bases estabelecidas no mundo corporificado e simbólico. Interpretamos que o uso da palavra busca enfatizar as características sensoriais, de percepção e de ação predominantes nesses mundos.

64

exemplo abordado por Hanna na seção anterior (página 58). Para provar que a soma dos n

primeiros números inteiros positivos é 2

)1( +nn, pelo modo corporificado, podemos dispor

discos em n linhas, sendo que, na primeira, se coloca um disco; na segunda, dois discos, e

assim até a n-ésima com n discos (estágio 1 da figura 07). Um layout igual de discos pode

ser girado e encaixado no estágio 1, gerando o estágio 2. Podemos observar que cada linha

do estágio 2 possui n discos num total de n + 1 linhas. Logo, o estágio 1 contém a metade

dos discos do estágio 2. Sendo assim, o número de discos é 2

)1( +nn. A validade dessa

prova está na imagem visual.

Já na prova simbólica, escrevemos a soma 1 + 2 + 3 + ... + n e reescrevemos essa

mesma soma, só que de trás para frente, n + ... + 3 + 2 + 1. Ao adicionar as duas somas

obtemos (1 + n) + (2 + n – 1) + ... + (n + 1), que pode ser escrito como n fatores de n + 1,

isto é, n(n + 1). Então, novamente a soma é a metade disso, ou seja, 2

)1( +nn (TALL,

2002, p. 8). Podemos interpretar que, na prova simbólica, cada parcela da soma (1 + n) +

(2 + n – 1) + ... + (n + 1) representa uma coluna do estágio 2 da figura 07, havendo, assim,

uma ligação entre os dois tipos de demonstração. Por fim, a prova formal seria feita por

meio de indução, que não possui nenhum tipo de ligação com as duas primeiras.

As provas corporificada e simbólica geralmente são vistas pelos alunos como

significativas, pois elas mostram por que o argumento é significativo. Já uma prova formal,

como, por exemplo, a de indução, parece confusa para muitos alunos (TALL, 2007, p. 8),

uma vez que utiliza o resultado para provar o resultado.

Na figura a seguir podemos visualizar como os critérios de verdade em cada um

dos Três Mundos da Matemática interagem, em uma sequência de desenvolvimento

cognitivo como proposta em TALL (2007).

65

Figura 08: Desenvolvimento cognitivo da argumentação

Fonte: Tall, 2007, p. 10 (tradução nossa)

A esquematização da figura 08 nos mostra que, no mundo corporificado, há uma

construção das definições e deduções dos objetos devido ao uso cada vez mais sofisticado

da linguagem, o que pode levar a gerar uma teoria dedutiva. Já o desenvolvimento

cognitivo no mundo simbólico envolve uma compreensão cada vez mais sofisticada das

ações sobre a manipulação dos símbolos. Existe uma interface comum a esses dois

mundos, que permite tanto corporificar o simbolismo como simbolizar as corporificações.

Ao utilizar uma linguagem cada vez mais sofisticada, níveis mais avançados de

corporificação e simbolismo são desenvolvidos, surgindo definições e deduções que

interferem na fase de transição dos argumentos baseados na experiência para um sistema

cada vez mais axiomático, presente na prova formal.

2.2.1 Os Três Mundos da Matemática no Cálculo

O Cálculo tem relação com o mundo real. Podemos ver isso ao trabalharmos

mesmo com os primeiros conceitos, como os de taxa de variação e área. Eles foram

desenvolvidos de forma a permitir que sejam trabalhados operacionalmente tanto no

mundo físico quanto no mundo simbólico. Portanto, o Cálculo pode ser visto como uma

combinação dos mundos corporificado e proceitual, “embora os aspectos do mundo

66

corporificado geralmente sejam representados por imagens estáticas, em vez de movimento

dinâmico” (TALL, 2002, p. 9). Para sanar essa falta de movimento, é possível utilizar um

software de geometria dinâmica. Falaremos mais sobre isso na subseção sobre o uso dos

computadores como apoio para a corporificação.

Tall (1991 e 2002) argumenta que um curso de Cálculo não precisa ter como

objetivo o tratamento formal, característico da última fase do desenvolvimento cognitivo,

devendo esse tratamento ser feito na Análise. Para aquele pesquisador, os mundos

corporificado e proceitual são considerados uma base para melhor entendimento da

Análise, quando esta vier a ser trabalhada.

Ao analisar uma abordagem corporificada para o Cálculo, Tall nos diz que essa

abordagem

[...] incide sobre as ideias fundamentais de percepção antes de introduzir qualquer simbolismo. [...] atua melhor quando se liga ao mundo do simbolismo relacionado, com seus cálculos numéricos e manipulações algébricas para dar os procedimentos simbólicos de diferenciação [...]36 (TALL, 2002, p.11)

Ainda para Tall cada um dos três mundos de significados possui diferentes

critérios de verdade no Cálculo:

O mundo corporificado é um mundo de significado sensorial. Seu fundamento da verdade é que as coisas se comportam previsivelmente, de uma maneira esperada. O mundo proceitual é o mundo familiar tradicional do Cálculo em que os cálculos podem ser feitos (ambos aritméticos e algébricos). Um gráfico tem uma inclinação (derivada) ou uma área (integral), pois você pode calcular isso. O mundo axiomático é um mundo em que axiomas explícitos são assumidos para dar suporte e definições são dadas formalmente, em termos de quantificado conjunto de declarações teóricas. A função tem derivada ou integral, porque você pode provar isso. (TALL, 2002, p. 10)37

36 Tradução nossa para: “focuses on fundamental perceptual ideas before introducing any symbolism. […] is at its best when it links into the related world of symbolism, with its numeric calculations and algebraic manipulations to give the symbolic procedures of differentiation […]”. 37 Tradução nossa para: “The embodied world is a world of sensory meaning. Its warrant for truth is that things behave predictably in an expected way. The proceptual world is the familiar traditional world of calculus where calculations can be made (both arithmetic and algebraic). A graph has a slope (derivative) or an area (integral) because you can calculate it. The axiomatic world is a world where explicit axioms are assumed to hold and definitions are given formally in terms of quantified set-theoretic statements. A function has derivative or integral because you can prove it.”

67

O modo corporificado não prova a verdade matemática, mas dá uma base para a

construção do significado maior do que a do cálculo simbólico tradicional.

Para melhor entender sua perspectiva, retomamos Tall (2002) quando nos dá um

exemplo de corporificação no Cálculo, relacionado ao conceito de derivada. Com a

utilização de um computador, o usuário pode ampliar a imagem do gráfico de uma função,

e ver que ele é localmente uma linha reta, e mover uma janela ao longo desse gráfico de

forma a sentir a mudança da inclinação do gráfico. Isto é permitido quando se utiliza o

software Visual Calculus, programado pela pesquisadora Teresinha Kawasaki (Figura 09)

e inspirado do Graphic Calculus, desenvolvido por Tall nos anos 1980.

Figura 09: Arrastando a janela de visualização ao longo de um gráfico para ver a inclinação

mudando e a linearidade local Fonte: Tall, 2002, p. 10, tradução nossa.

Entendemos que no Cálculo deve haver uma interação entre os três mundos. Para

tanto, é importante que seja estabelecido um ambiente que propicie o desenvolvimento da

linguagem e permita a escrita simbólica do que foi corporificado, bem como a

corporificação do simbolismo e a constituição de uma base para a formalização a partir de

definições e deduções fundamentadas na corporificação e no simbolismo.

Tall (2002) relata que a ideia central para uma abordagem corporificada na

aprendizagem de derivadas, baseia-se na interação do indivíduo com a imagem “física” do

gráfico de uma função. Uma das alternativas que consideramos para a abordagem

corporificada no Cálculo é o uso de tecnologias. Passamos a discutir agora como elas

68

podem ser úteis na corporificação de conceitos e no processo do desenvolvimento

cognitivo demandado por sua formalização.

2.2.2 O uso de computadores como apoio para a corporificação e para a

relação entre os três mundos

As publicações relativas ao uso de tecnologias em educação matemática indicam a

possibilidade de construção de ambientes virtuais que permitem ao indivíduo indagar e/ou

investigar objetos da Matemática. As situações colocadas podem estimular a indagação,

experimentação e formação de conjecturas, com participação ativa do estudante em todo o

processo (FRANCHI, 2002; BORBA e PENTEADO, 2001).

Segundo Kawasaki (2008) é comum encontrarmos em pesquisas que

uma das principais vantagens, ao incorporar as tecnologias computacionais nos processos de ensinar/aprender matemática, é a possibilidade de visualizar e manipular as ideias matemáticas (objetos virtuais matemáticos). Tal possibilidade decorre do fato de alguns softwares (ou aplicativos) matemáticos serem capazes de transformar situações algébrico-simbólica em situações espaço-geométricas. Parece haver consenso entre educadores matemáticos sobre o valor pedagógico da visualização no ensinar, no aprender e, até mesmo, no ‘fazer’ matemática. Dessa forma, recursos visuais (não necessariamente, os computacionais) sempre foram utilizados, por professores, para introduzir ideias matemáticas abstratas e complexas. No caso do ensino de Cálculo, alguns educadores exaltam, no uso do computador, a possibilidade de visualizar e alterar uma representação gráfica, simultânea e continuamente articulando-a, de forma dinâmica, às suas representações numérica e algébrica. (KAWASAKI, 2008, p. 43, grifos da autora)

A mesma autora ainda nos conscientiza de que, ao utilizarmos o computador, é

possível admitir que a Matemática esteja sendo produzida de uma maneira diferenciada à

Matemática produzida através da utilização do lápis-e-papel. Isso ocorre porque, em geral,

as propostas educacionais para a construção da Matemática por meio do uso do

computador “não assumem a ideia tradicional de uma matemática ‘pronta’ ou ‘acabada’ a

ser ensinada, mas admitem também a possibilidade de se ‘fazer’ matemática em uma

atividade de aprendizagem” (KAWASAKI, 2008, p. 49). Isso vai ao encontro do que foi

colocado por Tall ao incentivar uma abordagem corporificada do Cálculo, em que

69

trabalhamos as ideias a partir da percepção, antes de introduzirmos qualquer simbolismo

(TALL, 2002, p. 11).

O ambiente informatizado parece-nos oferecer um possível local para o

desenvolvimento de atividades que visam a transitar pelos Três Mundos da Matemática.

De fato, muitas pesquisas indicam que o uso de tecnologias é um meio favorável para o

aluno desenvolver hipóteses e/ou conjecturas. Conforme nos diz Franchi (2007),

a Informática facilita as visualizações, possibilita testar mudanças relacionadas a características algébricas de conceitos matemáticos e observar as variações resultantes no aspecto gráfico. A comparação entre as representações gráficas, algébricas e numéricas, a observação e a reflexão sobre o observado podem levar à elaboração de conjecturas. Borba e Penteado (2001, p.39) afirmam que as conjecturas surgem com frequência em aulas utilizando tecnologias como o computador ou as calculadoras e que, se debatidas com a classe, podem levar a descobertas. (FRANCHI, 2007, p. 184)

Kawasaki (2008) faz referência a Tikhomirov (1981) para explicar que a atividade

humana, quando mediada pelo computador, “altera de forma qualitativa a estrutura da

atividade intelectual humana, reorganizando a memória, as formas com que passamos a

armazenar a informação e com que organizamos a sua busca” (p. 48).

Para dar ao Cálculo um significado humano devemos tirar vantagens de softwares

de manipulação (TALL, 2002, p. 9). Os alunos podem manipular diferentes tipos de

gráficos, desde aqueles mais simples até os que possuem irregularidades, que exigiriam um

tratamento matemático em um sentido formal. Dessa forma, pode-se criar uma abordagem

corporificada, que pode dar fundamento significativo para as mais refinadas ideias da

Análise (TALL, 2002, p. 10).

A utilização de tecnologia pode ajudar as percepções de ideias matemáticas,

favorecendo uma abordagem corporificada.

Um exemplo de corporificação no Cálculo, segundo Tall (2002), é a verificação

de que a derivada em relação a x, de cos(x) é igual a –sen(x), pois o gráfico da derivada de

cos(x) é o gráfico da função sen(x) de “cabeça para baixo”. Essa não é uma prova formal,

mas é considerada aceita no mundo corporificado: a verdade está estabelecida, pois é

possível “ver acontecer” a partir da comparação entre os gráficos.

O uso do computador com o software adequado pode ser um auxiliar para

trabalharmos o mundo corporificado no Cálculo, uma vez que possibilita o trabalho com o

70

modo de representação encenado (através da ação) e icônico (visual), enquanto os livros

trazem apenas a parte icônica.

Os softwares de geometria dinâmica, por exemplo, dão ao aluno a possibilidade

de explorar conceitos a partir da mudança imediata em um gráfico quando os dados são

modificados. Existem alguns softwares que possibilitam a visualização, ao mesmo tempo,

dos dados de maneira algébrica e geométrica, sem deixar de lado a possibilidade de

explorar o gráfico em uma planilha, tudo em uma mesma interface.

Um exemplo do uso dos recursos dos softwares de geometria dinâmica (como o

GeoGebra, por exemplo) é a construção de retas secantes a uma curva para explorar o

conceito de derivada. Dada uma função f(x), um ponto P(x, f (x)) sobre o gráfico de f (x),

determina-se um ponto ))(,( xxfxxQ ∆+∆+ e uma reta secante à curva passando pelos

pontos P e Q. Utilizando o Controle Deslizante38 é possível fazer x∆ tender a zero e

observar as mudanças na inclinação da reta secante, tendendo a se tornar tangente à curva

no ponto P (Figura 10).

Figura 10: Exploração do conceito de derivada por meio de retas secantes

Fonte: Elaborada pela autora.

Interpretamos que, por meio de uma atividade desse tipo, seria possível não

apenas a corporificação como também a proceitualização a partir da reflexão sobre a ação

realizada e do uso da simbologia adequada.

38 Explicaremos a ferramenta Controle Deslizante, do GeoGebra, na seção 4.1.1, página 85.

71

Concordamos com Tall (2002), que o uso adequado de um software nos permite

organizar várias atividades que podem levar o aluno a realizar experiências de pensamento,

favorecendo a corporificação de conceitos de Cálculo.

Observemos que o uso do computador não é o único meio para corporificação em

Matemática. Para Lima (2007), a corporificação também acontece por meio de

experiências mentais em que o indivíduo pode manipular um objeto “em seu pensamento,

de forma a analisa-lo e levantar conjecturas sobre propriedades do objeto ou de uma

situação” (p. 74).

Ao falar sobre a construção de abordagens corporificadas para conceitos

matemáticos, Tall (2002) destaca dois conceitos básicos a serem considerados, o de

organizador genérico e o de raiz cognitiva:

um organizador genérico é um ambiente (ou micromundo), que permite ao aluno manipular exemplos e (se possível) não-exemplos de um conceito matemático específico ou um sistema de conceitos relacionados. uma raiz cognitiva é um conceito que é (potencialmente) significativo para o aluno no momento, embora contenha as sementes da expansão cognitiva para definições formais e posterior desenvolvimento teórico. (TALL, 2002, p. 12)39

Comumente, uma raiz cognitiva é um conceito corporificado. Por exemplo, a

noção de retidão local é uma raiz cognitiva para a diferenciação e o software Visual

Cálculo pode ser o seu organizador genérico.

Tall (2012) se refere aos organizadores genéricos como ambientes (ou

micromundos) que permitem a manipulação e usa o termo “genérico” para indicar que a

atenção do aluno é dirigida a certos aspectos que possibilitam a corporificação do conceito,

mesmo o mais abstrato.

Os softwares de geometria dinâmica, mais especificamente o GeoGebra, embora

não tenham sido projetados para trabalhar um conceito matemático específico, ou uma

determinada raiz cognitiva, possuem recursos que possibilitam manipular exemplos e não

exemplos (exemplos em que a intuição é falha, sendo necessário a utilização da

Matemática formal) de conceitos matemáticos, fundamentados em raízes cognitivas, com

vistas a um posterior desenvolvimento teórico.

39 Tradução nossa para: “• a generic organiser is an environment (or microworld) which enables the learner to manipulate examples and (if possible) non-examples of a specific mathematical concept or a related system of concepts (Tall, 1989.). • a cognitive root (Tall,1989) is a concept which is (potentially) meaningful to the student at the time, yet contain the seeds of cognitive expansion to formal definitions and later theoretical development.”

72

Com o uso de diferentes recursos do GeoGebra, como por exemplo as

possibilidades de representação algébrica, gráfica, numérica, o uso do Zoom e do controle

deslizante, é possível organizar ambientes nos quais as propostas de atividades dirijam a

atenção do aluno para um determinado aspecto, possibilitando a corporificação,

trabalhando raízes cognitivas e, consequentemente, lançando bases para futuras definições

formais. Nesse sentido interpretamos que o ambiente construído pode ser um organizador

genérico.

No próximo capítulo apresentamos o processo de construção de nossa

investigação, levando em conta os fundamentos teóricos aqui discutidos.

73

CAPÍTULO 3

METODOLOGIA

Apresentamos neste capítulo o caminho que construímos para a nossa

investigação sobre a formação do conceito de convergência de sequências e séries

numéricas, em um grupo de alunos cursando a disciplina de Cálculo II.

A metodologia qualitativa foi a escolhida para a pesquisa e as razões decorrem

das características de todo o trabalho realizado. Procuramos apresentar e justificar as

escolhas feitas na trajetória.

Como dito anteriormente, nosso interesse inicial pela aprendizagem de séries

infinitas decorre de nossas experiências como discente e docente. Definir o interesse de

pesquisa a partir de sua vivência é, segundo Bogdan e Biklen (1994, p. 84) uma

característica de um investigador qualitativo. Os autores indicam que esse investigador

parte para a pesquisa com algumas hipóteses formuladas, que funcionam como estímulo

inicial, mas que podem ser modificadas e reformuladas à medida que os estudos avançam.

De fato, nosso foco de pesquisa construiu-se e se delimitou à medida que os

estudos teóricos foram sendo realizados. Inicialmente, procuramos entender o que poderia

contribuir para a aprendizagem de séries e buscamos construir atividades com esse fim.

Tínhamos a ideia de que a dificuldade dos alunos na aprendizagem estava na passagem do

pensamento matemático elementar para o pensamento matemático avançado e

pretendíamos desenvolver um ambiente no qual essa passagem ocorresse de maneira

tranquila. Para isso, estudamos os referenciais relacionados ao Pensamento Matemático

Avançado.

Um dos principais aspectos identificados nos estudos realizados foi a transição do

pensamento matemático elementar para o avançado que, de acordo com Dreyfus (1991),

ocorre ao se gerenciar a complexidade da Matemática, principalmente por meio dos

processos de representação e abstração, e que a transição também está relacionada com os

processos de intuir, descobrir, verificar, definir, provar, entre outros. Costa (2002, p. 259)

indica a importância de construir atividades que propiciem a formulação de conjecturas

para, posteriormente, buscar refinamento e prova. Nossa proposta é que ambientes

informatizados podem ser construídos de modo a estimular a formulação criativa de

conjecturas pelo estudante. Determinados softwares, em especial os de geometria

74

dinâmica, dão ao aluno a possibilidade de manipular a Matemática de uma maneira que

não seria possível apenas com lápis e papel como, por exemplo, utilizar o zoom em locais

determinados de gráficos ou figuras, visualizar a variação dos gráficos das funções quando

são variados os valores dos parâmetros, plotar uma quantidade grande de pontos em um

tempo curto, realizar vários cálculos de difícil manipulação ao mesmo tempo, entre outros.

Há ainda a possibilidade de manipular interfaces gráficas, algébricas e numéricas.

Consideramos que esses recursos podem ser usados em atividades exploratórias relativas

aos conceitos matemáticos estudados, que estimulem os alunos a observar determinadas

características e propriedades e, principalmente, a levantar questionamentos e usar os

recursos do software para testar suas hipóteses e caminhar em busca das soluções.

Com relação aos conceitos matemáticos, identificamos a convergência como

conceito fundamental para os estudos das séries infinitas. Identificamos também a

importância do conceito de convergência de sequências nos estudos de convergência de

séries. A partir daí, direcionamos nossa atenção para a construção de atividades que

explorassem aspectos da convergência, estimulando a formação de conjecturas; porém,

visando às provas formais. Não estava claro para nós como trabalhar essa formalização, se

realmente deveríamos chegar às demonstrações dos teoremas ou se nesse nível seria

aceitável algum outro tipo de prova ou verificação. Também tínhamos dúvidas sobre como

os conceitos identificados como importantes poderiam ser construídos pelos estudantes.

Um aprofundamento nos estudos permitiu-nos conhecer um quadro teórico

elaborado por Tall (2002) para explicar o desenvolvimento cognitivo da Matemática dos

indivíduos, enfocando três maneiras distintas de pensar sobre a Matemática e

caracterizando os Três Mundos da Matemática: o corporificado, o simbólico e o formal.

Interpretamos que a corporificação poderia ser a base, o fundamento para o caminho

cognitivo a ser percorrido pelos estudantes rumo ao formalismo, no momento adequado.

Delimitado nosso foco de pesquisa, elaboramos a seguinte questão norteadora

para a pesquisa:

Que contribuições uma proposta pedagógica baseado na corporificação

de conceitos pode trazer para a compreensão do conceito de

convergência de sequências e séries em uma turma de Cálculo?

Tendo essa questão como referência, nos propusemos as seguintes tarefas: (1)

aprofundar os estudos teóricos sobre o Pensamento Matemático Avançado e sobre os Três

75

Mundos da Matemática; (2) explorar os recursos do software de geometria dinâmica

GeoGebra, com vistas à sua utilização como ambiente para realização de atividades

relativas à pesquisa; (3) elaborar atividades para exploração do conceito de convergência

de sequências e séries infinitas; (4) implementar as atividades em sala de aula e registrar o

processo de desenvolvimento; (5) analisar a implementação tendo como referencial para tal

análise os quadros teóricos: Pensamento Matemático Avançado e Três Mundos da

Matemática.

Nosso objetivo principal era verificar em que medida o desenvolvimento de

atividades baseadas na corporificação dos conceitos, buscando a transição entre os mundos

corporificado e simbólico, com utilização do GeoGebra, favorece a compreensão da

convergência de sequências e séries. Nesse sentido, a metodologia qualitativa se mostrou

adequada, pois, segundo Fernandes (1991), ela busca a compreensão mais profunda dos

problemas, a fim de “investigar o que está ‘por trás’ de certos comportamentos, atitudes ou

convicções” (p.3).

Decidimos aplicar as atividades elaboradas em um contexto natural de sala de

aula. Para tanto, escolhemos classes de Cálculo Diferencial e Integral II, sob

responsabilidade da pesquisadora.

Bogdan e Biklen (1994) afirmam que a investigação qualitativa possui cinco

características principais:

1. Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural, consistindo o investigador o instrumento principal. [...] 2. A investigação qualitativa é descritiva. [...] 3. Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos. [...] 4. Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma indutiva. [...] 5. O significado é de importância vital na abordagem qualitativa. [...]

(BOGDAN e BIKLEN, 1994, p.s 47 – 51)

Entendemos que nossas escolhas estão de acordo com as características acima. A

primeira característica coloca o ambiente natural como fonte direta de coleta de dados e

trata da importância do investigador que deve se introduzir no ambiente a ser pesquisado e

recolher dados, por meio de um bloco de anotações ou com o auxílio de equipamentos de

vídeo e áudio, que terão importante papel na análise. É o pesquisador quem revê os

materiais registrados, sendo o seu entendimento o principal instrumento de análise. No

caso da nossa pesquisa, o ambiente foi o da sala de aula da pesquisadora. Desse modo a

76

pesquisadora, atuando como docente na condução das atividades da pesquisa, estava

naturalmente inserida no ambiente a ser pesquisado e pôde coletar os dados, usando

diferentes modos de registro das atividades que conduziu.

A investigação qualitativa é descritiva, pois seus dados são expressos por palavras

e figuras, ao invés de números. Os resultados obtidos são baseados nos dados registrados e

são enunciados para ilustrar e substanciar a apresentação. Eles são analisados usando toda

a sua riqueza e respeitando a forma em que foram transcritos ou registrados. No caso da

nossa pesquisa, os instrumentos utilizados permitiram uma detalhada descrição da forma

como as atividades se desenvolveram em sala de aula, constituindo importante material

para a análise.

O processo é mais atraente que o resultado para o pesquisador qualitativo, pois ele

está mais interessado em saber como as pessoas negociam os significados, como começam

a utilizar determinados termos, ou ainda, como determinadas noções passam a fazer parte

do senso comum. De fato, embora nos interessássemos pelos resultados finais em termos

da aprendizagem de convergência de sequências e séries, nos preocupamos em

acompanhar o processo de formação desses conceitos em cada etapa das atividades

propostas.

A quarta característica nos diz que o pesquisador não recolhe os dados com o

objetivo de confirmar as hipóteses previamente definidas, mas que as abstrações são

construídas à medida que os dados recolhidos vão sendo agrupados. A forma de analisar os

dados começa de uma maneira mais geral e se torna mais fechada, vai afunilando, com o

passar do tempo. O investigador utilizará parte do estudo para perceber quais são as

questões mais importantes. No caso da nossa pesquisa, não tínhamos uma hipótese

previamente estabelecida a ser provada. Buscamos identificar as possíveis contribuições

das atividades para a formação do conceito de convergência.

Por fim, é dito que o significado é de vital importância na abordagem qualitativa.

Os investigadores estão interessados no modo como os participantes da pesquisa

interpretam os dados coletados e fazem questão de se certificarem de que estão a aprender

as diferentes perspectivas adequadamente. Ainda estabelecem estratégias e procedimentos

que os permitem dar considerações do ponto de vista do investigado. Das cinco

características citadas anteriormente, esta quinta não nos parece estar presente em nossa

pesquisa.

Apresentamos a seguir o contexto e as características gerais da pesquisa de campo

realizada.

77

3.1 Onde?

Para Bogdan e Biklen (1994), o pesquisador qualitativo deve, sempre que

possível, ir a campo e preocupar-se com o contexto no qual os sujeitos da pesquisa

pertencem. Com isso em mente, entendemos que o melhor local para o desenvolvimento da

pesquisa seria a Instituição na qual a pesquisadora já estava trabalhando. Assim, a pesquisa

foi realizada em uma Instituição de ensino técnico federal.

Esse Instituto se tornou um campus no ano de 2009, tendo iniciado suas atividades

em 2006 como uma unidade de ensino de outro campus. Está situado em uma região

composta por 23 municípios e a sua cidade de instalação tem a economia voltada

principalmente para a indústria, em grande parte, a mineração. Com isso, o Instituto criou

os seguintes cursos para atender às necessidades locais:

• Nível Técnico Integrado

- Edificações

- Mecânica

- Mineração

• Nível Técnico Subsequente

- Edificações

- Mecânica

• Nível Técnico – Modalidade PROEJA

- Manutenção e Suporte à Informática

• Nível Superior

- Engenharia de Produção

- Licenciatura em Física

3.2 Com quem?

Decidimos trabalhar com a turma de Engenharia de Produção cujos alunos

entraram no Instituto no primeiro semestre de 2011. Essa escolha se deu por dois motivos:

a disciplina de Cálculo II dessa turma seria lecionada no segundo semestre de 2011 e seria

a segunda disciplina que a pesquisadora lecionaria para a turma (a primeira havia sido

78

Geometria Analítica). O semestre mostrava-se adequado à etapa de desenvolvimento da

pesquisa e o fato de a pesquisadora já conhecer os participantes poderia facilitar a

observação durante a implementação das atividades.

Inicialmente, a turma era composta por quarenta e um alunos. Na época da

pesquisa havia trinta e cinco alunos matriculados, sendo trinta e dois frequentes.

Praticamente a metade dos alunos trabalhava no regime de turno. Acreditamos

que isso possa ter comprometido a aprendizagem desses alunos, pois eles não têm uma

rotina a ser seguida, inclusive no que se refere aos estudos. Também não frequentavam

todas as aulas, pois alguns horários de trabalho coincidiam com os horários de aula.

3.3 Que tipo de atividade?

Resolvemos que os conteúdos seriam trabalhados de duas maneiras: aulas práticas

e aulas teóricas. As práticas seriam aulas nas quais o aluno teria o contato inicial com os

conceitos. Seriam propostas atividades visando à exploração de conceitos e estimulando a

formulação de conjecturas que seriam discutidas nas aulas teóricas seguintes. Decidimos

que as aulas práticas seriam realizadas em um ambiente computacional, utilizando o

software GeoGebra, enquanto as aulas teóricas seriam usadas para a formalização do

conteúdo e discussão sobre as conjecturas formuladas.

As atividades desenvolvidas para as aulas práticas foram elaboradas para explorar

os conceitos no contexto dos Três Mundos da Matemática: iniciando pelo mundo

corporificado, passando pelo simbólico e alcançando a interseção dos três mundos da

Matemática. Nosso objetivo foi fazer com que os alunos desenvolvessem o conhecimento

matemático, inicialmente por meio das percepções e sentimentos vindos da visualização e

manipulação com o auxílio do software GeoGebra. Buscamos também estimular a

formulação de conjecturas e, posteriormente, a busca da validação auxiliada por testes e

visualizações com o GeoGebra. Ao solicitar aos alunos que escrevessem as conjecturas por

eles elaboradas, justificando-as, buscamos fazer com que a passagem do mundo

corporificado para o proceitual ocorresse de forma natural. As definições formais e as

provas das conjecturas seriam feitas nas aulas teóricas.

As aulas teóricas foram conduzidas de maneira a fazer com que os conceitos

adquiridos nos mundos corporificado e proceitual fossem evocados para serem uma

introdução ao mundo axiomático.

79

Visamos a todo o momento passar pelos Três Mundos da Matemática, conforme

exposto anteriormente, mas também nos preocupamos em desenvolver o pensamento

matemático avançado na medida em que as provas características de cada mundo

ocorressem.

3.4 O que utilizar na coleta de dados?

Os dados referem-se aos “materiais em bruto que os investigadores recolhem do

mundo que se encontram a estudar; são elementos que formam a base da análise”

(BOGDAN e BIKLEN, 1994, p. 149). Com eles, é possível aprofundar nos aspectos a

serem explorados. Esses dados podem ser recolhidos por meio de entrevista, notas de

campo, fotografias, documentos oficiais, entre outros. Mas quais utilizar em nossa

pesquisa?

Optamos pelos seguintes instrumentos:

• Uma atividade introdutória que teve por objetivo evocar os conhecimentos

prévios dos alunos sobre sequências numéricas, bem como suas percepções

iniciais sobre características, termo geral e convergência, para posterior

introdução dos conceitos teóricos correspondentes.

• Gravação de áudio com o objetivo de registrar as explicações dadas pela

professora durante as aulas teóricas e práticas. Gravação de áudio dos alunos

para análise dos diálogos e interações entre os mesmos.

• Gravações das telas dos computadores, utilizando o software TipCam, com o

objetivo de registrar as construções realizadas e recolher informações sobre

possíveis corporificações dos alunos quanto aos conceitos discutidos durante as

atividades.

• Registros feitos pelos alunos nas folhas de atividades. Por meio desses registros

foi possível analisar as conjecturas formuladas pelos estudantes, a compreensão

de determinados conceitos, bem como as formas utilizadas por eles para

comunicar as suas ideias.

80

• Resoluções de questões de provas que serviram para a análise dos

conhecimentos adquiridos pelos alunos, bem como dados para indícios de

passagem pelos três mundos da matemática.

• Notas de campo da pesquisadora, que serviram para registro do

desenvolvimento das atividades, de impressões iniciais sobre dúvidas e formas

de expressão dos alunos e igualmente para registro de possíveis problemas

ocorridos durante as aulas.

As descrições das atividades, das provas e das aplicações das mesmas estão no

Capítulo 4 – Apresentação da Pesquisa.

3.5 Análise dos dados

Inicialmente fizemos um exame cuidadoso dos dados, com o intuito de termos

uma visão geral do desenvolvimento da pesquisa e de todas as informações que puderam

ser obtidas.

Em seguida buscamos estabelecer relações entre os dados, identificar erros e

acertos dos alunos, identificar o raciocínio utilizado por eles, as conjecturas elaboradas,

bem como as diferentes formas de manifestação de compreensão dos conceitos

trabalhados. Buscamos também inserir nossas impressões iniciais sobre a contribuição das

atividades para o conceito de convergência. Essa primeira análise foi feita por atividade, e

está apresentada, juntamente com a descrição do desenvolvimento da pesquisa, no

capítulo 4.

Fizemos também, no capítulo 5, uma análise dos dados segundo dois eixos

derivados dos principais quadros teóricos utilizados: os Três Mundos da Matemática e o

Pensamento Matemático Avançado. Intitulamos os dois eixos de análise por: a

corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a proceitualização e a

axiomatização; e a transição do pensamento matemático elementar para o avançado.

Esses dois eixos, que foram considerados na concepção das atividades, estão

indicados como possibilidades de organização das evidências encontradas nos dados.

Dessa forma apontam caminhos para a análise, auxiliando no entendimento do fenômeno

que buscamos compreender. Não os entendemos como categorias excludentes, uma vez

81

que muitos dos dados evidenciaram simultaneamente aspectos considerados pertinentes a

ambos os eixos.

Nas considerações finais, iniciamos recapitulando brevemente o que foi feito em

toda dissertação. Trazemos uma análise da contribuição do software GeoGebra no

desenvolvimento das atividades e da forma como, juntamente com as atividades,

possibilitou a criação de um micromundo tornando-se um organizador genérico.

Discutimos a corporificação do conceito de convergência e a possível ocorrência das

transições entre os Três Mundos da Matemática e do pensamento matemático elementar

para o avançado. Ainda fazemos considerações sobre as potencialidades das atividades

para a formação de raízes cognitivas no que se refere ao conceito de convergência. Além

disso, discutimos uma forma desejável para o ensino de Cálculo, dando importância à

participação ativa dos alunos na construção do conhecimento. Finalizamos com algumas

considerações sobre o produto educacional desenvolvido como resultado desta pesquisa.

82

83

CAPÍTULO 4

APRESENTAÇÃO DA PESQUISA

Neste capítulo apresentamos a concepção das atividades com base nos Três

Mundos da Matemática, os objetivos de cada uma delas e relatamos seu desenvolvimento.

Trazemos também nossa reflexão sobre os erros e os acertos dos alunos, o raciocínio

utilizado durante a realização das atividades, as conjecturas formuladas pelos alunos, bem

como nossa interpretação sobre a importância das atividades para o conceito de

convergência tanto de sequências como de séries, por meio das somas parciais.

4.1 A concepção da proposta pedagógica

A proposta foi concebida com base no referencial teórico anteriormente

apresentado, a fim de se alcançar os objetivos da pesquisa, mas, principalmente, de forma a

poder ser implementada no contexto do curso regular de Cálculo sob responsabilidade da

pesquisadora. Foi considerado o cronograma previsto para o desenvolvimento de todo o

programa da disciplina, não apenas o relativo aos conteúdos de sequências e séries.

Compõem a proposta: uma atividade introdutória, atividades exploratórias com

utilização do software GeoGebra, aulas teóricas, uma prova com questões sobre sequências

e uma prova sobre séries. Todas as atividades estão no Apêndice na sua forma integral e o

desenvolvimento das aulas aparece no item 4.2.2.

Essas atividades e as aulas foram sendo desenvolvidas de acordo com a evolução

da turma. Inicialmente foram selecionadas: uma aula de 50 minutos para a aplicação da

atividade introdutória; duas aulas práticas (cada uma com duração de 1h30min) para a

aplicação das atividades de sequência; duas aulas práticas, de uma hora e trinta minutos

cada, para a aplicação da atividade de séries em laboratório; duas aulas (cada uma com

duração de 1h30min) para a aplicação das duas atividades de avaliação, desenvolvidas

como provas; e nove aulas, tendo cada uma duração de uma hora e meia, para as aulas

teóricas, incluindo aulas de dúvidas. Sendo assim, o cronograma inicial contava com um

total de 16 aulas para as aplicações das atividades e aulas teóricas sobre sequências e

séries.

84

Na Tabela 01 veremos o cronograma inicial das atividades:

Aulas Conteúdo Desenvolvimento

1ª aula - Sequências finitas; - Sequências infinitas e - Convergência

Aplicação da Atividade Introdutória para evocar o conhecimento prévio dos alunos quanto aos conteúdos listados e posterior introdução dos conceitos teóricos.

2ª aula - Definição de sequências e - Convergência de sequências

Introdução à definição de sequências, bem como ao termo geral, por meio das Atividades 01 a 03. Manipulação de software para conjecturar a convergência de sequência através da Atividade 04.

3ª aula

- Divergência de sequências; - Convergência de sequências alternadas e - Convergência de sequências por meio de definição formal de limite.

Manipulação de software para conjecturar a divergência de sequência, através da Atividade 05; a convergência de sequências para valores diferentes de zero, com a Atividade 06; a convergência de sequências alternadas, por meio da Atividade 07; a convergência de uma sequência considerando a distância entre termos consecutivos da sequência e a distância entre os termos de uma sequência ao ponto de aderência, para sequências convergentes, com o auxílio da Atividade 08.

4ª aula - Formalização da convergência de sequências.

Aula teórica para discussão das conjecturas formuladas nas atividades e formalização da convergência e da divergência de sequências.

5ª aula - Propriedades de uma sequência. Aula teórica para a discussão das propriedades de uma sequência, dentre elas ser limitada e/ou ser monótona.

6ª aula - Todo o conteúdo de sequências Aula de dúvidas sobre a matéria e os exercícios selecionados.

7ª aula - Prova de sequências Prova aplicada à turma com conteúdo relativo a sequências.

8ª aula - Definição de séries

Aula expositiva para definição de séries. Aplicação da Atividade de séries, com o auxílio do software, para possível conjectura de quando uma série deve ou não ser convergente.

9ª aula

- Série geométrica; - Série harmônica; - Teste da divergência e - Propriedades.

Aula teórica para discussão das conjecturas formuladas, definições e propriedades com o auxílio visual do software.

10ª aula - Teste da integral e - Teste da comparação

Aula teórica sobre o teste da integral e teste da comparação, com o auxílio visual do software.

11ª aula - Série alternada Aula teórica sobre séries alternadas e a utilização do software para a visualização da convergência.

12ª aula - Teste da Razão e da Raiz Aula teórica sobre os testes da razão e da raiz. 13ª aula - Séries de Potência Aula teórica sobre séries de potência

14ª aula - Séries de Taylor de Maclaurin Aplicação da Atividade de séries de potência para visualização do intervalo de convergência, com o auxílio do software.

85

Sistematização do conteúdo.

15ª aula - Todo o conteúdo de séries. Aula de dúvidas sobre a matéria e dos exercícios selecionados.

16ª aula - Prova de séries Prova aplicada à turma com conteúdo relativo a séries.

Tabela 01: Descrição do cronograma das aulas Sequências e Séries.

O desenvolvimento das atividades, respeitando o ritmo dos alunos, implicou o não

cumprimento do cronograma inicial. Os conteúdos de séries de potência não puderam ser

trabalhos em sala de aula, sendo estudados por meio de um estudo dirigido que os alunos

fizeram em grupo. Esse estudo encontra-se no Apêndice F.

Veremos nas próximas subseções como cada uma das atividades citadas

anteriormente foi elaborada. Algumas atividades foram elaboradas para serem realizadas

com a ajuda do software de geometria dinâmica GeoGebra; portanto, antes de iniciarmos

as descrições das atividades, tecemos algumas considerações a respeito das potencialidades

do GeoGebra e das razões para a escolha deste software na presente pesquisa.

4.1.1 O software GeoGebra

Escolhemos trabalhar com o GeoGebra40 por ser um software livre de matemática

dinâmica e de fácil interação. Devido ao seu dinamismo, torna-se uma estratégia de ensino,

da qual professores e alunos podem fazer uso para explorar, conjecturar, testar hipóteses e

investigar conteúdos diversos na Matemática. Está disponível em 55 línguas diferentes e é

multiplataforma, o que torna possível instalá-lo em computadores com Windows, Linux,

Mac OS, ou XO.

O GeoGebra foi criado em 2001 como resultado da tese de Markus Hohenwarter,

como um recurso de ensino e aprendizagem de Matemática em vários níveis (do básico ao

universitário). Ele reúne Geometria, Álgebra, Cálculo e Estatística. Em sua interface temos

disponíveis para utilização a janela algébrica, janela geométrica, planilha e janela CAS

(Computer Algebric System). O que nos deixou imensamente interessadas nesse software é

o fato das partes gráfica, algébrica e de planilha estarem interconectadas, o que permite

apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto e, ao

fazermos à modificação em uma delas, as demais acompanham à modificação realizada.

40 Disponível para download na versão 4.0 em http://www.geogebra.org/cms/en/installers. Para a utilização do software é necessário que esteja instalado o plugin Java, disponível em http://www.java.com.

86

Figura 11: Tela inicial do GeoGebra contendo as janelas de álgebra, visualização gráfica e planilha

No Campo de Entrada podemos inserir comandos com expressões algébricas ou

pontos que, após se pressionar a tecla Enter, seus respectivos são criados na Janela de

Álgebra e na Janela de Visualização. No botão do canto inferior direito é possível

encontrar uma lista de comandos que podem ser inseridos no Campo de Entrada.

O GeoGebra possui várias ferramentas, dentre elas a de Controle Deslizante. Essa

ferramenta cria um intervalo de números livres (ou ângulos livres) de forma que quem a

estiver executando pode definir seu nome, valor mínimo e máximo do intervalo e o

tamanho de seu passo. Com essa ferramenta é possível verificar o que ocorre com alguma

função ou expressão algébrica, desde que relacionada ao Controle Deslizante, quando

fazemos o seu valor variar.

Pensando em nossas atividades, vimos que o Controle Deslizante seria uma

possível ferramenta para o auxílio da corporificação da convergência de uma sequência,

pois poderíamos associar o valor de n de uma sequência ao Controle Deslizante e fazer o

seu valor máximo aumentar o tanto quanto fosse desejado. Com isso, o aluno passaria a ter

autonomia para conjecturar e testar sua conjectura com relação aos valores dos termos da

sequência ou série, à medida que o valor de n aumenta.

Outra importante ligação que o GeoGebra permite é a dos Rastros deixados pelos

pontos e funções (caso assim se deseje) com a planilha. Os rastros nada mais são do que os

valores assumidos pelos pontos ou funções para cada valor dos números livres do Controle

Deslizante. Funcionam como uma memória dos cálculos e assim se pode analisar não

apenas o resultado final, como também o processo para se chegar àquele resultado. Vimos

87

que seria possível representar graficamente os termos de uma sequência (ou série) e

colocar todas as coordenadas dos pontos na planilha para uma visualização numérica da

convergência.

Havendo a interação entre as três janelas – algébrica, gráfica e planilha – é

possível fazer uma relação entre o que foi visualizado no gráfico e a parte numérica que

está na planilha e na janela algébrica.

Ao elaborarmos as atividades exploratórias no software GeoGebra, focamos

principalmente nos mundos corporificado e proceitual, tentando uma possível abertura para

a exploração do mundo formal.

Na descrição das atividades exploratórias poderemos ver a importante

participação do GeoGebra no trabalho de busca da corporificação da noção de

convergência de sequências e séries.

4.1.2 Atividade introdutória

A atividade introdutória41 teve por objetivo verificar o que os alunos possuíam de

conhecimento prévio sobre sequências e suas concepções sobre as palavras convergência e

divergência, bem como constituir uma base para a futura formalização dos conceitos e

introdução das definições.

Tal atividade possuía sete questões, sendo que cada uma delas ocupava meia

página e foi desenvolvida de forma que os alunos teriam acesso a uma pergunta de cada

vez. Essa maneira de aplicação foi definida após a leitura de Lima (2007), que a utilizou

em seu trabalho. Optamos por essa forma de aplicação para tentar captar as primeiras

ideias de cada aluno sobre os assuntos perguntados sem correr o risco de que perguntas

posteriores pudessem influenciar essas ideias e provocar alterações, por parte dos alunos,

em respostas anteriores.

A seguir, iremos expor as sete questões que compunham o questionário e nossos

objetivos para cada uma delas.

A primeira questão teve por objetivo verificar quais os conceitos iniciais que os

alunos já possuíam sobre os termos sequência, converge e diverge. Esses conceitos

poderiam ser do cotidiano do aluno, não necessariamente relacionados à Matemática.

41

Pode ser vista em seu formato original no Apêndice A.

88

1. Explique o seu entendimento sobre os termos:

a) Sequência

b) Converge

c) Diverge

Quadro 01: Enunciado da primeira questão da atividade introdutória

Com a segunda questão buscamos fazer o aluno avançar em direção ao conceito

de sequências. Caso o aluno não conseguisse explicar o que é uma sequência numérica,

poderíamos analisar o seu conceito por meio dos exemplos dados.

2. O que você entende por sequências numéricas? Dê no mínimo 5 (cinco) exemplos de

sequências numéricas.

Quadro 02: Enunciado da segunda questão da atividade introdutória

A terceira questão serviu para verificar se os alunos conseguiam identificar as

características das sequências numéricas e se, de alguma forma, conseguiam defini-las

como um conjunto de valores numéricos que possuem uma ordem e obedecem a uma

determinada relação.

3. O que caracteriza uma sequência numérica?

Quadro 03: Enunciado da terceira questão da atividade introdutória

A quarta questão tinha o objetivo de fazer com que os alunos observassem os

termos das sequências e identificassem algumas características e propriedades.

Esperávamos que os alunos montassem grupos de sequências com algumas características

comuns, como, por exemplo: finita, infinita, inteiros, fracionários, sinais alternados entre

outros.

4. Observe as seguintes sequências numéricas:

{1, 3, 5, 7, 9, 11} {2, 4, 6, 8, 10, 12, ... }

L,5

1,

4

1,

3

1,

2

1,1 { }L,0,1,0,1,0 −−

{ }L,5,4,3,2,1 −−−

−− L,32

5,

16

4,

8

3,

4

2,

2

1

89

L,5

6,

4

5,

3

4,

2

3,2 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21}

Agrupe essas sequências segundo características comuns que você encontre nelas.

Explique como foi feito o agrupamento. (Se necessário, utilize o verso da folha).

Quadro 04: Enunciado da quarta questão da atividade introdutória

A questão número cinco tinha por objetivo verificar o tipo de raciocínio utilizado

pelo aluno para encontrar a regra de formação da sequência e também como um possível

passo para a obtenção do termo geral de uma sequência.

5. Para cada uma das sequências a seguir, tente escrever quais são os dois termos

seguintes. Explique como você obteve esses números.

{1, 3, 5, 7, 9, 11, , , ...}

L,,,15

1,

12

1,

9

1,

6

1,

3

1

−− L,,,32

5,

16

4,

8

3,

4

2,

2

1

L,,,5

6,

4

5,

3

4,

2

3,2

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, , , ...}

Quadro 05: Enunciado da quinta questão da atividade introdutória

Nosso objetivo na questão seis foi fazer com que os alunos encontrassem uma

expressão para o termo geral da sequência, explicando o raciocínio empregado para chegar

a esse termo geral.

6. Dadas as sequências a seguir, encontre o 50º termo de cada uma. Como você o obteve?

{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

−− L,10

1,

8

1,

6

1,

4

1,

2

1

L,5

6,

4

5,

3

4,

2

3,2

Quadro 06: Enunciado da sexta questão da atividade introdutória

90

A sétima questão foi desenvolvida com a intenção de buscar relacionar a ideia

intuitiva de convergência (ou divergência) ao conceito de limite, estudado anteriormente

pelos participantes.

7. Observe as seguintes sequências com infinitos termos. O que acontece com o valor do

termo de posição n, quando n tende ao infinito? Explique.

{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

L,5

1,

4

1,

3

1,

2

1,1

{1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}

L,6

5,

5

4,

4

3,

3

2,

2

1

{1, –1, 1, –1, 1, –1, ...}

L,32

5,

16

4,

8

3,

4

2,

2

1

Quadro 07: Enunciado da sétima questão da atividade introdutória

Depois da aplicação dessa atividade introdutória, demos continuidade ao trabalho

com as aulas teóricas e com as atividades exploratórias usando o GeoGebra, conforme

cronograma descrito na Tabela 01.

4.1.3 Atividades exploratórias

Elaboramos dois grupos de atividades as quais denominamos Atividades

Exploratórias para serem desenvolvidas em laboratório, com utilização do software

GeoGebra. Fundamentadas nas ideias de Tall para construção de uma abordagem

corporificada com utilização de tecnologia, escolhemos o software GeoGebra para

constituir ambientes nos quais aspectos relativos à convergência pudessem ser

manipulados e percebidos pelos participantes, buscando a corporificação da ideia de

convergência. Além disso, buscamos usar o conceito corporificado para trabalhar o que

identificamos, a priori, como raiz cognitiva para convergência, a saber: as distâncias entre

91

os pontos das sequências. Entendemos que assim estaríamos lançando as sementes da

expansão cognitiva para definições formais e posterior desenvolvimento teórico.

Consideramos que seria importante que os participantes tivessem um contato

inicial com o software GeoGebra antes do desenvolvimento das atividades exploratórias a

serem consideradas para a pesquisa. Isso porque entendemos naquele momento que

possíveis dificuldades com o software poderiam prejudicar a interpretação de resultados

relativos ao desenvolvimento das atividades exploratórias. Desenvolvemos atividades

usando o GeoGebra para trabalhar o conteúdo de Coordenadas Polares, constante do

programa da disciplina, previsto para ser trabalhado antes do conteúdo de sequências.

Dessa forma o GeoGebra foi apresentado aos participantes e eles tiveram a oportunidade

de desenvolver atividades em que tiveram que explorar conceitos matemáticos, antes que

os mesmos fossem apresentados de modo teórico, na sua forma final.

O primeiro grupo de atividades considerado na pesquisa refere-se ao conteúdo de

sequências e é composto de oito atividades. O objetivo principal das atividades foi a

corporificação das ideias básicas de convergência de sequências, com vistas a criar

condições para uma passagem sutil para o mundo proceitual e posterior formalização.

Antes de aplicarmos as atividades em sala de aula, fizemos um teste inicial com

os mestrandos, alunos da disciplina Seminários Temáticos IV do programa do Mestrado

Profissional em Educação Matemática da Ufop, sob responsabilidade da orientadora. Esse

teste foi importante, pois tivemos a oportunidade de identificar possíveis dificuldades dos

participantes relativas às instruções dadas e, principalmente, nos fez enxergar que a forma

como estavam descritas, com passos para todos os caminhos que deveriam ser seguidos

pelos alunos, estavam direcionando demais as ações dos participantes, não dando liberdade

a eles para conjecturarem ou testarem suas hipóteses. Isso foi considerado para

reformulação e elaboração da versão final aplicada (apresentadas na íntegra no Apêndice

B – Atividades Exploratórias).

Nas três primeiras atividades (de números 1, 2 e 3) buscamos resgatar as ideias

intuitivas dos alunos sobre a formação das sequências e, ao mesmo tempo, dar as

definições formais correspondentes, sempre partindo das respostas e colocações dos

participantes a respeito do que estava sendo perguntado nas atividades. Trabalhamos a

definição de sequência numérica, a expressão do termo geral e a obtenção dos termos de

uma sequência a partir do termo geral.

A partir da atividade de número 4, buscamos desenvolver uma abordagem

corporificada para a convergência de sequências. Elaboramos as atividades de modo que os

92

alunos pudessem construir sequências numéricas, termo a termo, e representá-las de

diferentes formas, com os recursos do GeoGebra. Assim, para cada sequência trabalhada

pudemos comparar a expressão algébrica do termo geral, duas visualizações gráficas de

seus termos através de representações de pontos (descritas na Atividade 4 a seguir), bem

como os valores numéricos de cada um de seus termos. Valorizamos o processo de

obtenção de cada termo. Para isso, exploramos as características dinâmicas do software,

através do Controle Deslizante e da habilitação do Rastro. Dessa forma, as imagens

obtidas tinham um certo “dinamismo”, diferentes das imagens estáticas apresentadas nos

livros didáticos. Estimulamos a variação do número de termos da sequência para associar a

convergência à ideia de limite.

Descreveremos em detalhes a Atividade 04 para exemplificar os aspectos acima

mencionados. Com a atividade 04 buscamos explorar diferentes possibilidades de

representação dos termos de uma sequência e isso foi anunciado aos alunos. A partir da

expressão do termo geral, trabalhamos a visualização dos termos da sequência como

pontos do gráfico de uma função, como pontos sobre uma reta e como sequência de valores

numéricos em uma planilha.

Tivemos a preocupação de elaborá-la de forma que o conhecimento do aluno

fosse sendo construído aos poucos. Buscamos, a partir da visualização dos termos da

sequência, como pontos do gráfico de uma função representados no plano cartesiano, levá-

los a observar que ela pode ser representada como uma função discreta com domínio nos

inteiros positivos e imagem nos reais. Observar também o comportamento de seus termos

iniciais, para então, depois de conjecturar uma possível convergência, observar o que

acontece com a sequência quando a quantidade de termos aumenta. Só então inserimos

uma nova visualização, como pontos de uma reta, que teve por objetivo observar se os

valores da sequência estão se aproximando ou se afastando uns dos outros. Acreditamos

que, baseados nas visualizações gráficas e nos valores numéricos obtidos na planilha, os

participantes poderiam elaborar conjecturas e testar hipóteses para obter respostas às

perguntas a eles apresentadas no roteiro da atividade.

Para subsidiar o desenvolvimento da atividade no que diz respeito aos recursos do

GeoGebra, foi elaborado um Minimanual de utilização com orientações a respeito da

forma de realizar as construções sugeridas. O Minimanual está disponível no Apêndice C.

A sequência explorada na Atividade 04 foi a de termo geral n

an

5= . Ela foi

escolhida, pois, ao utilizarmos os doze primeiros termos, a sua convergência para zero não

93

é tão intuitiva ou imediata. Inicialmente, havíamos pensado em 1/n, mas essa sequência

converge muito rapidamente. A mudança para 5/n foi uma das sugestões apresentadas

pelos nossos colegas de mestrado na aplicação-teste, para que a convergência fosse mais

lenta nos primeiros termos.

A primeira visualização gráfica explorada foi a dos termos da sequência como

pontos do gráfico de uma função com domínio nos inteiros positivos. Para isso, pedimos

aos alunos que representassem no plano os pontos P = (n, 5/n), enfatizando que da forma

como definimos P, o valor da primeira coordenada representa a posição n do termo da

sequência e o valor da segunda coordenada representa o valor numérico do termo de

posição n da sequência. O domínio da função nos inteiros positivos foi garantido pelo

intervalo e passo sugeridos para o Controle Deslizante. A ideia de convergência foi

explorada ao sugerirmos mudanças no intervalo do Controle Deslizante, deixando ao aluno

a escolha do valor máximo a ser colocado e a manipulação desse controle (garantindo a

visualização dinâmica do processo). Vejamos uma possível resolução dessa parte da

Atividade 04, nas figuras 12 e 13.

Figura 12: Representação da sequência

nan

5= , com n variando de 1 até 12, como uma função discreta

Fonte: Elaborada pela autora.

94

Figura 13: Representação da sequência

nan

5= , com n variando de 1 até 40, como uma função discreta

Fonte: Elaborada pela autora.

Interessante observar a possibilidade de comparação entre a expressão algébrica

do termo geral, a representação gráfica e os valores numéricos na planilha, todos na mesma

tela do GeoGebra.

A outra forma de visualização, como pontos de uma reta, foi explorada quando

pedimos aos alunos que criassem o ponto Q = (0, 5/n). Entendemos que essa forma seria

interessante, pois, através dela, poderíamos explorar a ideia de convergência pela

aproximação dos pontos da sequência de um ponto fixo, ideia essa que poderia remeter ao

conceito formal de limite. Também a achamos interessante para explorar a diferença entre

dois valores consecutivos da sequência, visualizada pela distância entre dois pontos

consecutivos na reta. Os mesmos recursos do Controle Deslizante foram sugeridos nesse

caso. Vejamos uma possível resolução dessa parte da Atividade 04, sendo o ponto P

representado em azul, o ponto Q representado em vermelho e as coordenadas dos dois

pontos dispostas na planilha (figura 14).

95

Figura 14: Representação da sequência

nan

5= , com n variando de 1 até 15, como uma função discreta e

como pontos sobre uma reta Fonte: Elaborada pela autora.

As Atividades 05, 06 e 07 foram desenvolvidas com os mesmos objetivos da

Atividade 04; porém, cada sequência escolhida possui uma justificativa que será explicada

a seguir. Vale ressaltar que o enunciado é simples e direto para a visualização tanto como

uma função discreta quanto como um conjunto de pontos sobre uma reta.

Na Atividade 05 utilizamos a sequência de termo geral 2nan = que diverge muito

rapidamente. Com essa sequência buscamos a fácil visualização de que os valores não se

aproximam de um valor fixo e, por isso, a sequência não converge.

Já para a Atividade 06 escolhemos a sequência 1+

=n

nan para que os alunos

vissem que as sequências podem convergir para outros valores reais, não deixando margem

para um entendimento errôneo de que, para uma sequência se aproximar de um valor, tem

que ser para zero.

Para a Atividade 07 a sequência escolhida foi a de termo geral n

nn

na

2)1(

2

−= .

Essa nos ajuda a explorar o fato de que uma sequência alternada também pode convergir.

Também tínhamos o objetivo futuro de, ao discutirmos sequências alternadas, mostrar que

ela só pode ser convergente se for para zero.

A Atividade 08 teve por objetivo explorar a convergência de uma sequência por

meio da distância entre dois termos consecutivos, observando que essa distância pode ser

vista por meio da distribuição dos pontos sobre o eixo das ordenadas e medida pelo valor

96

absoluto da diferença entre dois valores consecutivos das ordenadas explorados na

planilha. Esse modo de trabalhar a convergência poderia servir de base para os estudos do

critério de Cauchy.

Para a exploração da Atividade 08 foram escolhidas três sequências. A primeira:

1+=

n

nan foi escolhida porque converge para um e, com isso, os alunos poderiam

visualizar, tanto pela disposição dos pontos no gráfico quanto pelos valores da planilha,

que, apesar de a sequência convergir para um, o valor absoluto da diferença, ou seja, a

distância entre dois pontos consecutivos da sequência converge para zero (figura 15).

Figura 15: Distância entre termos consecutivos da sequência

1+=

n

nan

Fonte: Elaborada pela autora.

A sequência de termo geral n

an

n 3

2= foi a segunda a ser selecionada com o

objetivo de tentar uma visualização de uma sequência que diverge. Também buscamos

uma comparação entre o limite do termo geral (nesse caso infinito) e o valor absoluto das

diferenças entre dois termos consecutivos (que nesse caso aumenta quando n aumenta).

Por fim, optamos pela sequência de termo geral 1

)1( 1

+−=

+

n

na n

n , por ser uma

sequência alternada que diverge. Nesse caso, o limite do termo geral não existe e a

97

distância entre os dois termos consecutivos da sequência tende para um valor diferente de

zero.

O segundo grupo de atividades considerado na pesquisa refere-se ao conteúdo de

séries. O objetivo principal foi a corporificação das ideias básicas de convergência de

séries com vistas a facilitar a exploração teórica da condição de convergência e dos

critérios de convergência de séries. A possível convergência de uma série seria explorada

com base na possível convergência da sequência das somas parciais dos termos da série.

Para tanto, o software GeoGebra seria usado para representar as duas sequências como

gráficos de funções de domínio discreto, em um mesmo sistema de eixos, possibilitando a

comparação entre as duas sequências. Também seriam calculados os valores numéricos dos

termos das duas sequências, representados em uma planilha.

Foram utilizadas séries que podem levar a uma conclusão de possível

convergência e outras com o intuito de a convergência não ser conclusiva, sendo necessária

a utilização da teoria para a comprovação. O principal objetivo foi verificar que uma série

só será convergente se a sequência do termo geral convergir para zero, mas que isso não é

suficiente e não garante a convergência da série. A seguir, apresentamos as séries

escolhidas, suas características e uma forma possível de trabalho teórico a partir delas:

- ∑ −12

1n

: é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a sequência

do termo geral aparenta convergir para zero e que a série pode convergir para um. A

convergência da sequência pode ser verificada pelo cálculo do limite e a convergência da

série pelo uso do teste de série geométrica ou do teste da razão;

- ∑+2

2 1

n

n: é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a sequência

do termo geral aparenta convergir para um, no entanto, a série é divergente. A divergência

da série pode ser verificada com o uso do teste da divergência;

- ∑+ )1(

1

nn: a visualização gráfica e da tabela pode levar à conclusão de que a

sequência do termo geral parece convergir para zero, enquanto que a série aparenta

convergir para um. A comprovação da convergência da sequência pode ser verificada com

o cálculo do limite e a convergência da série é comprovada utilizando série telescópica e o

valor de convergência pelo cálculo do limite do termo geral das somas parciais;

98

- ∑

+

n

n 1

1: por meio da visualização gráfica ou da tabela é possível perceber

que a sequência do termo geral converge para zero e que a série é convergente; entretanto,

não é possível saber o valor para o qual a série converge. O software é limitado a quinze

casas decimais, por isso, a partir de um certo termo o valor do termo geral na planilha

aparece como sendo zero e, consequentemente, não ocorre alteração no valor da soma

parcial. No entanto, é possível, a partir da expressão do termo geral, saber que ele não pode

assumir o valor zero; logo, não é possível saber o valor para o qual a série converge. A

convergência da sequência pode ser calculada pelo limite e a convergência da série pode

ser comprovada com o uso do teste da raiz;

- ∑ +−

21 1

)1(n

n : é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a

sequência do termo geral aparenta convergir para zero e que a série pode ser convergente.

A convergência da sequência pode ser calculada pelo limite do valor absoluto do termo

geral e a convergência da série pode ser comprovada com o uso do teste da série alternada;

- ∑n

1: utilizando apenas os primeiros trinta termos da série harmônica para

construção do gráfico e da tabela, o aluno poderia concluir que a série é divergente ou que

a série converge para quatro. Essa série foi colocada para servir de contra exemplo, pois

não basta a sequência do termo geral convergir para zero para que a série seja convergente.

O que acontece com essa série é contrário à ideia intuitiva que se tem dela. É possível

provar a divergência utilizado o teste da integral ou p-série. Vale ressaltar a possibilidade

de uma prova que explica, como a feita pelo matemático Oresme, nos moldes sugeridos

por Hanna.

A figura 16 nos mostra como seria a visualização das sequências formadas pela

série ∑ −12

1n

. Os pontos representados em azul são os termos da série e os pontos em

vermelho são os termos da sequência de somas parciais. Tanto os gráficos como os valores

numéricos apresentados na planilha permitem uma visualização de que a sequência de

valores do termo geral aparenta tender a zero e a sequência de valores das somas parciais

parece tender a dois.

99

Figura 16: Sequências do termo geral e das somas parciais da série ∑ −12

1n

Fonte: Elaborada pela autora.

Concluímos aqui as atividades a serem realizadas no laboratório de informática42.

A seguinte seção tratará sobre a concepção das atividades avaliativas.

4.1.4 Atividades de avaliação sobre sequências e séries

Como não seria aplicado um questionário final (ou atividade final de avaliação

geral), resolvemos utilizar, como instrumento de coleta de dados, as avaliações individuais

previstas no plano da disciplina, que incluíram os conteúdos de sequências e séries. Com

essas provas não tivemos o intuito de fazer uma comparação do conhecimento inicial

(utilizando a atividade introdutória) com o conhecimento final, mas o de um instrumento

buscando interpretar a possível transição entre os Três Mundos da Matemática sobre o

conceito de convergência de sequências e séries numéricas.

A prova sobre sequências também continha questões sobre coordenadas polares,

já que fazia parte do plano de curso. As questões sobre sequências foram formuladas com o

intuito de verificar o que foi apreendido pelos alunos sobre a definição de sequência como

um conjunto numérico que possui uma ordem, e/ou uma função discreta com domínio nos

42 Não colocamos a atividade sobre séries de potência, pois como enunciando no início deste capítulo, não foi possível estudar esse conteúdo em sala de aula e, portanto, não foi utilizado como dado de pesquisa.

100

inteiros positivos. Também tiveram o objetivo de verificar o que os alunos entendem pela

convergência de sequência, por definição formal de limite ou não e, no caso da

convergência de sequências, o valor para o qual a sequência converge. Havia uma questão

que buscava verificar o que foi aprendido sobre sequência monótona e/ou limitada. Como

esses conteúdos não são de interesse da nossa pesquisa não iremos analisá-los.

A prova sobre séries foi elaborada vinte dias após o fim das aulas sobre o assunto.

Esse fato ocorreu devido ao recesso de fim de ano do Instituto no qual a pesquisa foi

aplicada. É importante ressaltar que não foi possível lecionar todo o conteúdo de séries

dentro do tempo inicialmente previsto, sendo estudados apenas os seguintes tópicos:

definição de séries, somas parciais, série geométrica, série telescópica, série harmônica, p-

série, teste da divergência, teste da integral, teste da série alternada, convergência absoluta,

teste da razão e teste da raiz. Todos os testes de convergência foram estudados de forma

diferente do previsto inicialmente, sem que os alunos fossem agentes do processo, isto é,

os testes de convergência foram trabalhados de forma mais expositiva. Entretanto,

construções feitas no software GeoGebra foram utilizadas para a visualização durante a

explicação de exemplos. A prova de séries abordou, portanto, os assuntos listados

anteriormente, por meio de definições de séries, convergência e divergência e por questões

para verificar a capacidade de os alunos identificarem uma série para aplicação de um

teste.

As provas sobre o conteúdo de sequências e a prova sobre o conteúdo de séries se

encontram nos Apêndices D e E, respectivamente.

4.2 O desenvolvimento das atividades: resultados parciais e interpretações

Tendo explicado na seção anterior como as atividades foram concebidas, bem

como os objetivos de cada uma delas, apresentamos nesta seção o seu desenvolvimento

durante as aulas. Apresentamos também nossa interpretação para algumas respostas

apresentadas pelos alunos e para os diálogos estabelecidos e as argumentações utilizadas.

Procuramos ainda identificar dificuldades e indicativos de atendimento (ou não) aos

objetivos propostos. No capítulo cinco as atividades serão retomadas para a análise a partir

de eixos identificados com base nos referenciais teóricos escolhidos. Temos, portanto, dois

momentos de apresentação dos dados da pesquisa: neste capítulo onde são apresentados

dados que possibilitam a análise das atividades com relação principalmente aos objetivos

101

de cada uma delas no que diz respeito às questões de convergência e no próximo capítulo

onde são apresentados dados que permitem a análise no que diz respeito à corporificação

dos conceitos e à transição entre o pensamento matemático elementar e o avançado.

Algumas respostas ou diálogos de alunos são emblemáticos em mais de um aspecto

analisado e, portanto, são discutidos nos dois capítulos.

No dia 24 de outubro de 2011, foram entregues aos alunos os termos de ciência e

a autorização para utilização de dados na pesquisa. Dos 32 alunos frequentes, 28 aceitaram

participar da pesquisa. Os alunos serão identificados como A01 (aluno 1), A02 (aluno 2) e

assim por diante.

4.2.1 Atividade Introdutória

A atividade introdutória foi aplicada no dia 27 de outubro de 2011, com duração

aproximada de uma hora, contando com a participação de vinte alunos. Embora tivesse o

objetivo principal de se constituir numa sondagem sobre os conhecimentos prévios dos

alunos relativos aos conceitos de sequência, sequência numérica, convergência e

divergência, também foi usada para levar os alunos a observarem características de

sequências numéricas, preparando-os para definições e formalizações posteriores.

Na primeira questão pedia-se que os alunos explicassem seu entendimento sobre

os termos sequência, converge e diverge. Os alunos manifestaram dificuldade em

expressar, com palavras, esse entendimento. Alguns optaram por responder por meio de

exemplos ou com formas de explicação nem sempre relacionadas à Matemática.

As respostas do aluno A12 (figura 17) e do aluno A08 (figura 18) ilustram essa

compreensão inicial não necessariamente ligada à Matemática:

Figura 17: Resposta do aluno A12 às questões 1.b e 1.c da atividade introdutória

102

Figura 18: Resposta do aluno A08 às questões 1.b e 1.c da atividade introdutória

No entanto, é possível identificar a presença de algumas ideias matemáticas, como

exemplificam as respostas dos alunos A12 (figura 19) e A13 (figura 20), caracterizando as

sequências como conjuntos com certas propriedades:

Figura 19: Resposta do aluno A12 à questão 1.a da atividade introdutória

Figura 20: Resposta do aluno A13 à questão 1.a da atividade introdutória

Na segunda questão, em que se pediam a definição e exemplos de sequências

numéricas, a maioria dos alunos apresentou a definição relacionando a sequência numérica

às propriedades matemáticas, como leis de formação e ordem. Foram colocados por eles

exemplos de sequências numéricas finitas e infinitas, sendo que alguns descreveram as

características dos termos (por exemplo: sequência de números pares).

As questões três e quatro referiam-se às características das sequências numéricas.

Os alunos conseguiram agrupar as sequências de acordo com o número de termos (finita ou

infinita), o tipo de número (inteiro, fracionário), a alternância de sinal dos termos ou,

ainda, indicando aquelas cujos termos tendem a zero.

Na quinta questão pedia-se para escrever os três termos seguintes das sequências,

explicando como os termos foram obtidos. Pretendíamos com essa questão levar os alunos

103

a observarem a lei de formação da sequência e alguns deles conseguiram explicar como os

valores foram encontrados, como podemos ver na resposta do aluno A13 (figura 21).

Figura 21: Resposta do aluno A13 à questão 5 da atividade introdutória

Outros alunos tentaram explicar a relação existente entre os termos. Isso está

exemplificado nas respostas dadas pelo aluno A12 (figura 22) e pela aluna A14 (figura 23)

à sequência de Fibonacci.

Figura 22: Resposta do aluno A12 à questão 5 da atividade introdutória

Figura 23: Resposta da aluna A14 à questão 5 da atividade introdutória

Os erros mais comuns na escrita dos três termos pedidos referem-se à alternância

do sinal da sequência

−− L,32

5,

16

4,

8

3,

4

2,

2

1 e à determinação dos termos da sequência de

Fibonacci.

Na sexta questão, pedindo o quinquagésimo termo das sequências, pretendíamos

estimular os alunos a pensarem na expressão do termo geral de cada uma delas. Os alunos

mostraram ter percebido a lei de formação de cada sequência, uma vez que encontraram o

termo pedido. No entanto, não conseguiram explicar como o haviam encontrado,

ressaltando a dificuldade com a escrita ou simbologia.

104

Por fim, na sétima questão, perguntando sobre o que aconteceria com o valor do

termo de posição n quando n tende ao infinito, buscamos trabalhar as noções intuitivas de

convergência e divergência. Os alunos tiveram dificuldade na interpretação do enunciado.

Para as respostas alguns utilizaram linguagem não matemática e outros tentaram escrever

regras de formação das sequências. Apareceram muitos erros nas respostas como, por

exemplo, os que responderam que todas as sequências apresentadas tendem ao infinito.

Embora sem fazer nenhuma referência à convergência ou divergência, um pequeno grupo

de alunos conseguiu perceber o comportamento das sequências, como exemplificado pelas

respostas do aluno A12 mostradas na figura 24.

Figura 24: Resposta do aluno A12 à questão 7 da atividade introdutória

As respostas dos alunos ao conjunto de questões dessa atividade levam-nos a crer

que as questões fizeram os alunos evocarem noções de sequências numéricas, advindas,

provavelmente, dos estudos anteriores de Progressões Aritméticas e Geométricas. Também

foi possível identificar que eles conseguiram perceber as leis de formação de sequências

mais simples, embora poucos tivessem conseguido explicar suas ideias com palavras ou

linguagem matemática adequada. Entretanto, os alunos não manifestaram boa

compreensão nas questões relativas à convergência e divergência de sequências.

105

4.2.2 Atividades Exploratórias

Esse conjunto de atividades foi desenvolvido no período de 7 a 18 de novembro

de 2011 e no dia 12 de dezembro de 2011, sendo utilizadas quatro aulas de uma hora e

meia cada. Os alunos trabalharam em duplas, mantidas fixas na maior parte das atividades.

Isso foi pensado para que as duplas criassem intimidade, melhorando as discussões e o

trabalho. Apesar de o trabalho ter sido realizado em pares, cada aluno utilizava um

computador.

Para documentação das atividades realizadas no computador foi utilizado o

software TipCam, que possibilita a gravação das telas dos computadores e do áudio dos

alunos. Por problemas técnicos, não foi possível a gravação de algumas telas e dos áudios

pelo TipCam. Alguns áudios foram gravados com aparelhos de telefone celular.

Atividades de 01 a 03

Como apresentado na subseção 4.1.3, esse conjunto de atividades teve o objetivo

de resgatar as ideias intuitivas dos alunos sobre sequências numéricas para, posteriormente,

serem feitas as definições. Descreveremos, portanto, paralelamente ao desenvolvimento

das atividades, a forma como os conceitos foram sistematizados com base nos exemplos e

nas respostas dos alunos. Observamos que não tivemos por objetivo a corporificação do

conceito de sequências, já que pela atividade introdutória foi possível perceber que os

alunos possuíam ideias intuitivas relativas a esse conceito. Com isso as atividades de 01 a

03 resgataram essas ideias direcionando-as para as sequências numéricas e, ao mesmo

tempo, buscando levar os estudantes a perceberem a lei de formação das sequências e seu

termo geral. Essa seria a base para posterior trabalho com a corporificação, abrindo

possibilidades para a proceitualização do conceito de convergência.

Na atividade 01 os alunos deveriam encontrar os quatro termos seguintes de cada

uma das sequências apresentadas. Apenas para a sequência do item b, formada por

quadrados perfeitos, os alunos apresentaram dificuldade para encontrar os termos

seguintes. Embora não tivesse sido pedido, alguns tentaram explicar o raciocínio utilizado

para obtenção dos termos. Na figura 25, apresentamos a tentativa de escrita das alunas A11

e A14 para a regra de formação das sequências.

106

Figura 25: Resposta das alunas A11 e A14 à atividade 01

Foi dito aos alunos que os conjuntos apresentados na atividade 01 são exemplos

de sequências numéricas. Perguntamos novamente o que eles entendiam por sequência e

eles responderam com base no que haviam dito na atividade introdutória, ou seja, fazendo

referência a um conjunto de números ordenados que possui uma relação. Aproveitando a

resposta dos alunos, definimos sequências numéricas de duas formas: como um conjunto

de números ordenados que possui uma lei de formação e também como uma função com

domínio nos inteiros positivos. Como exemplo foi utilizada a sequência formada pelas

potências de 2, que também foi descrita como a função f (n) = 2n, com n ϵ *+

Z , cujo gráfico

é (figura 26):

Figura 26: Gráfico da função f (n) = 2n, com n ϵ *

+Z Fonte: Elaborada pela autora.

Observamos que os pontos do gráfico que representam os termos da sequência

não podem ser ligados por se tratar de uma função discreta.

Em seguida, foram trabalhados outros exemplos de sequências numéricas. Em

discussões conjuntas com os alunos, tendo como base as argumentações apresentadas por

eles, foram determinadas as expressões do termo geral da sequência de números pares {2,

4, 6, 8, ...} e do termo geral da sequência de números ímpares {1, 3, 5, 7, ...}. Utilizamos

uma tabela para conferir se o termo geral encontrado era válido.

107

Na atividade 02, os alunos deveriam encontrar a expressão do termo geral para

cada uma das sequências apresentadas. Descreveremos alguns dos diálogos entre os

participantes para caracterizar diferentes formas de raciocínio utilizadas por eles, no

caminho percorrido entre a percepção da lei de formação e a escrita de forma simbólica.

A discussão entre as alunas A11 e A14 exemplifica a dificuldade de alguns alunos

para encontrar o termo geral n

an

5= de modo que a expressão contemplasse todos os

termos da sequência. Elas começaram com o termo geral sendo 1

5

+=

nan . Acreditamos

que elas dividiram por n + 1 para seguir algum tipo de padrão que precise somar ou

subtrair algum valor no termo geral, como foi o caso da sequência de números ímpares,

que havíamos discutido em sala anteriormente. Ao fazerem a verificação, perceberam que

o primeiro termo, a1 = 5, não estava sendo contemplado pelo termo geral desenvolvido por

elas, por isso perguntaram à pesquisadora se o primeiro termo deveria mesmo aparecer ou

não e também se o n poderia começar de zero ao invés de começar de 1. Discutimos essas

possibilidades, mas sugerimos que elas tentassem encontrar o termo geral com n

começando de 1. A aluna A14 disse que ficaria 12

5

−=

nan . Novamente, testaram o novo

termo geral e viram que ele não contemplava os termos da sequência. A aluna A14 teve um

insight dizendo que no denominador poderia ficar apenas o n, mas sua companheira, A11,

não concordou por achar que no denominador o número ficaria constante na forma 1

5. A

aluna A14 a fez perceber que o valor de n era variável; logo, os termos iriam se modificar,

constituindo, assim, a sequência.

Outra dificuldade percebida foi para encontrar o termo geral da sequência na

expectativa de elas serem progressões aritméticas ou geométricas. Alguns alunos tentaram

encontrar uma razão para as sequências.

Alguns alunos tentaram escrever a sequência dos quadrados perfeitos por meio de

recorrência. Percebemos isso ao participar da discussão entre os alunos A03 e A04. Eles

disseram que, para encontrar os termos seguintes, perceberam que o termo desejado era a

soma do anterior com algum número ímpar, ou seja, a1 = 1, a2 = 1 + 3 = 4, a3 = 4 + 5 = 9,

a4 = 9 + 7 e assim por diante. Como não havíamos pensado/visto esse exemplo como uma

sequência recursiva, os instigamos a observar outra relação entre os números. O aluno A03

disse que os números possuíam raiz quadrada inteira e completou dizendo que os números

108

eram da forma “ele vezes ele mesmo”. Ao serem perguntados sobre a expressão geral

desses números, disseram que deveria ser escrita com nn. Solicitamos que testassem para

verificar o resultado. Para eles, estava claro que a expressão era válida, pois era verdadeiro

quando n valia 1 e 2. Pedimos, então, que testassem para n = 3. Como o resultado foi

diferente, o aluno A04 pensou um pouco mais e chegou ao resultado n2. Os dois alunos

sentiam a necessidade de validação do seu novo resultado, mas deixamos que eles

conferissem com a sequência original.

Outras duplas também tentaram encontrar o termo geral por meio de

recursividade. Uma delas foi a dos alunos A05 e A12, que desenvolveu o termo mostrado

na figura 27:

Figura 27: Resposta dos alunos A05 e A12 à atividade 02

Observamos que o aluno A12, desde a aplicação da atividade introdutória, tentava

escrever o termo geral da sequência como sendo algum tipo de progressão aritmética ou

geométrica. Já outros alunos escreveram o termo geral como sendo n2, como a resposta

dada pelas alunas A11 e A14 e mostrada na figura 28, ou nn, ou n.n, como a resposta dada

pelos alunos A10 e A13 e mostrada na figura 29.

Figura 28: Resposta das alunas A11 e A14 à atividade 02

Figura 29: Resposta dos alunos A10 e A13 à atividade 02

Nenhum aluno apresentou dificuldade para encontrar os termos da sequência a

partir do termo geral, na atividade 03. Todos apresentaram resultados corretos, sendo que

alguns deixaram os cálculos explicitados e outros não.

Nessas atividades não foram utilizados os recursos do software. Ainda assim, os

alunos trabalharam manipulando as informações apresentadas para tentar encontrar

respostas às questões colocadas.

109

Em aula teórica posterior, discutimos novamente a definição de sequência

numérica, bem como as respostas apresentadas pelos alunos para as atividades 01 e 02.

Com relação à sequência formada pelos quadrados perfeitos, discutimos tanto a resolução

do termo geral por meio de recorrência, )12(1 −+=−

naa nn , com 11 =a , como na forma do

quadrado de n, 2n . Ainda discutimos como seria o termo geral da sequência

−− L,5

1,

4

1,

3

1,

2

1. Algumas das respostas não contemplavam a mudança de sinal, o que

foi discutido para obtenção da expressão 1

1)1(

+−=

na n

n . Na sequência { }L,2,2,2,2 −− a

discussão também ocorreu em torno do expoente de –1, sendo dito inicialmente que seria

n, depois trocado por 2n, já que o primeiro valor da sequência é positivo e, por fim,

concluíram que seria n + 1.

Com o intuito de verificar a compreensão dos alunos sobre a definição de

sequências, incluímos na prova bimestral uma questão perguntando o que eles entendiam

por sequência. Não percebemos uma mudança significativa no conjunto dos alunos.

Grande parte continuou expressando de maneira não formalizada, como na atividade

introdutória. No entanto, alguns passaram a usar a simbologia trabalhada em sala para

expressão do termo geral an. É o caso da resposta da aluna A11 na figura 30.

Figura 30: Resposta da aluna A11 à prova de sequências

Outros alunos fizeram a relação entre sequência e função discreta43. O aluno A22,

na figura 31, fez uma relação mais simples, enquanto o aluno A12 apresentou essa relação

de maneira elaborada (figura 32).

43 Lembremos que a avaliação ocorreu após a aplicação das oito atividades de sequência e que por isso a utilização do software GeoGebra pode ter influenciado na respostas dos alunos que apresentaram a resposta da sequência como sendo uma função discreta.

110

Figura 31: Resposta do aluno A22 à prova de sequências

Figura 32: Resposta do aluno A12 à prova de sequências

A seguir, apresentamos o desenvolvimento das atividades de 04 a 07, nas quais

utilizamos os recursos do software para trabalhar diferentes representações das sequências,

de maneira integrada.

Atividade 04

Da atividade 04, que teve por objetivo introduzir e relacionar as diferentes

representações de uma sequência convergente, participaram 28 alunos. Essa foi a primeira

atividade da pesquisa com uso do software GeoGebra. Alguns alunos tiveram dúvidas

relativas ao uso dos recursos do software. A intervenção da pesquisadora e o Mini Manual

do GeoGebra (apêndice C) deram suporte para a realização das atividades.

No item 4.1.a, pedimos que os alunos representassem os doze primeiros termos da

sequência n

an

5= por meio do ponto P = (n, 5/n) e por meio dos valores numéricos na

planilha. A representação por meio do ponto P relacionava-se à ideia da sequência como

função de domínio discreto. Pensamos que os alunos poderiam conjecturar que a sequência

tenderia a outro valor diferente de zero (pela quantidade de pontos representados); porém,

nenhum aluno chegou a essa conclusão. A maior parte deles disse que os termos da

sequência tenderiam (figura 33) ou se aproximariam (figura 34) de zero à medida que o

valor de n fosse aumentado. Entendemos que a utilização das palavras “tende” e

“aproxima” está ligada a uma noção prévia que os alunos possuem sobre limite de função.

111

Figura 33: Resposta dos alunos A03 e A04 ao item 4.1.a da atividade 04

Figura 34: Resposta dos alunos A22 e A29 ao item 4.1.a da atividade 04

Os demais alunos concluíram que os valores estavam variando ou estavam

diminuindo, sem fazer referência à aproximação de zero. A título de exemplo,

apresentamos na figura 35 a resposta dada pelas alunas A27 e A30.

Figura 35: Resposta das alunas A27 e A30 ao item 4.1.a da atividade 04

O item 4.1.b pedia a alteração do valor máximo do controle deslizante e, a partir

de sua variação, a observação do comportamento do ponto P e dos valores da abscissa

representados na coluna B da planilha. Alguns alunos, que haviam dito no item anterior

que os valores estavam diminuindo, continuaram com esse pensamento. Entretanto, grande

parte dos alunos conseguiu perceber o comportamento da sequência de modo particular,

sendo que alguns observaram que o ponto P estava se aproximando do eixo dos x’s (figura

36) e os outros, que os valores na coluna B tendiam ou se aproximavam de zero (figura

37).

Figura 36: Resposta dos alunos A10 e A13 ao item 4.1.b da atividade 04

Figura 37: Resposta das alunas A07 e A20 ao item 4.1.b da atividade 04

112

Com o item 4.1.c buscou-se verificar o que acontece com o valor de an quando n

se torna muito grande. Acompanhamos a discussão entre os alunos A02, A08 e A17. O

aluno A08 não concordava com a explicação da aluna A02 de que os valores dos termos da

sequência n

an

5= estavam diminuindo e que nunca seriam iguais a zero. Para justificar,

A02 modificou o valor máximo do controle deslizante para 100. A08, ainda insatisfeito,

mudou o valor máximo para um milhão; dessa forma; ele se convenceu de que a sequência

se aproximava de zero sem se tornar zero. Vemos nessa situação dois níveis do processo de

verificação matemática descritos por Tall (1991), sendo eles o convencer a si mesmo, que

envolve compreender que algumas afirmações são verdadeiras, e o convencer a um amigo,

que requer a organização dos argumentos de uma maneira coerente. Apresentamos a

resposta dada pelo trio ao item em questão na figura 38.

Figura 38: Resposta dos alunos A02, A08 e A17 ao item 4.1.c da atividade 04

De forma parecida ao exemplificado, outros alunos também aumentaram

consideravelmente o valor do controle deslizante para chegar a uma conclusão sobre o

comportamento da sequência, afirmando que o valor se aproximaria de zero, mas que

nunca seria igual a zero.

No item 4.2.a exploramos outra representação dos pontos da sequência: a

representação como pontos de uma reta. Na discussão sobre o ponto Q(0, 5/n), que é a

projeção do ponto P sobre o eixo das ordenadas, há respostas em que foi observado

somente que no ponto Q o valor da abscissa era constante e igual a zero. Também

observamos respostas que apresentavam alguma relação entre os pontos P e Q, sendo: os

dois pontos tenderem a zero e/ou os dois pontos terem o mesmo valor da ordenada.

Consideramos que nesta última relação os alunos perceberam que o ponto Q era a projeção

do ponto P sobre o eixo das ordenadas, como a conclusão dos alunos A03 e A04,

apresentada na figura 39.

113

Figura 39: Resposta dos alunos A03e A04 ao item 4.2.a da atividade 04

Ao serem perguntados no item 4.2.b sobre o que estava acontecendo com a

posição do ponto Q no eixo vertical à medida que era aumentada a quantidade de termos,

os alunos conseguiram observar a possível convergência da sequência para zero, pois

disseram que os termos estavam tendendo a zero (figura 40), ou que estavam se

aproximando do eixo das abscissas, ou ainda que estavam se aproximando da origem do

sistema de eixos cartesianos. Poucos foram os alunos que chegaram a outra conclusão mais

vaga, como o ponto Q estar decrescendo.

Figura 40: Resposta da aluna A11 ao item 4.2.b da atividade 04

Uma conclusão final sobre o comportamento da sequência quando n assume

valores cada vez maiores foi pedida no item 4.2.c. Grande parte dos alunos concluiu que os

valores tendiam a zero (ou se aproximavam de zero). Essa conclusão partiu tanto da

observação das representações visuais da sequência quanto da observação dos valores

numéricos da tabela. Na resposta dada pelos alunos A15 e A25, na figura 41, podemos

perceber que os dados da tabela foram analisados ao dizerem que “Os valores numéricos

vão diminuindo” e que os dados também foram analisados pela observação do gráfico ao

dizerem que “[...] a diferença entre os pontos formados é cada vez menor [...]”.

Figura 41: Resposta dos alunos A15 e A25 ao item 4.2.c da atividade 04

114

A resposta da aluna A11 (figura 42) exemplifica a percepção de alunos que

concluíram que os termos da sequência diminuíam conforme o valor de n aumentava, sem

fazer referência à aproximação de zero.

Figura 42: Resposta da aluna A11 ao item 4.2.c da atividade 04

Houve alunos que conjecturaram sobre a distância entre os pontos que

representavam os termos da sequência. Na figura 43, temos um exemplo desse tipo de

resposta, dada pelos alunos A02, A08 e A17. Ao planejarmos a representação do ponto Q,

entendemos que ela poderia favorecer a observação da distância entre os pontos que

representam os termos da sequência e que isso poderia ser considerado nas conjecturas

sobre a possível convergência ou divergência da sequência. No entanto, isso não foi pedido

nesta etapa (apenas posteriormente na atividade 08). Entendemos que a percepção dos

alunos, de certa forma, comprovou a eficácia da representação como fundamentação para

trabalhos posteriores de formalização.

Figura 43: Resposta dos alunos A02, A08 e A17 ao item 4.2.c da atividade 04

Entendemos que a convergência da sequência para zero foi percebida pelos alunos

que utilizaram, ao longo da atividade, os termos “tende”, “aproxima de zero” e “é igual a

zero”. Para os demais alunos acreditamos que a noção de convergência ainda não estava

clara.

Atividade 05

Considerando que havíamos explorado a relação entre as diferentes representações

de uma sequência na atividade 04, a atividade 05 teve por objetivo tratar essas diferentes

representações em sequências divergentes.

115

A maioria dos alunos fez as atividade 04 e 05 em uma mesma aula, tendo

facilidade na execução da atividade 05 que, basicamente, utilizava os mesmos

procedimentos da atividade 04. Apenas algumas dificuldades foram observadas, como a

de escrever as coordenadas dos pontos P e Q na linguagem necessária para a construção

(n2 deveria ser escrito como n^2) e a de fazer com que os novos dados da planilha

aparecessem na primeira linha (o que exigia apagar os anteriores e pedir a reinicialização

da coluna). Vinte e cinco alunos realizaram a atividade 05. Praticamente metade deles

observou que os valores da sequência estavam aumentando e tendendo ao infinito, como

respondido pelos alunos A25 e A32 (figura 44).

Figura 44: Resposta dos alunos A25 e A32 à atividade 05

A outra metade dos alunos observou que a imagem dos pontos P e Q aumentava

ou crescia sem fazer referência ao infinito, como podemos observar na resposta dada pelos

alunos A06 e A23, apresentada na figura 45.

Figura 45: Resposta dos alunos A06 e A23 à atividade 05

Mesmo esses alunos não tendo feito referência ao infinito, os dados nos levam a

crer que visualizaram que os pontos não se aproximavam de um valor fixo e que, por isso,

a sequência seria divergente.

Atividade 06

A atividade 06, que contou com a participação de vinte e quatro alunos, teve por

objetivo verificar, por meio das diferentes representações, que uma sequência pode ser

convergente para um valor diferente de zero. No caso dessa atividade, a convergência era

para um.

116

A maior parte dos alunos concluiu que a sequência, de termo geral 1+

=n

nan , se

aproximava de um, sem que seus termos assumissem este valor. Os alunos A10 e A13, na

sua conclusão (na figura 46), chegaram a se referir ao limite sem, no entanto, terem feito os

cálculos.

Figura 46: Resposta dos alunos A10 e A13 à atividade 06

Os demais alunos concluíram que os valores das ordenadas dos pontos P e Q

aumentavam, sem se referirem ao valor 1, e que a abscissa do ponto Q era constante. Como

exemplo, utilizamos, na figura 47, a resposta dada pelas alunas A27 e A30.

Figura 47: Resposta das alunas A27 e A30 à atividade 06

Durante a realização da atividade, a aluna A11 solicitou a presença da

pesquisadora para discutir algumas de suas dúvidas. Ela estava confundindo o que

representavam os valores de x e y dos pontos e também se mostrava preocupada com a

constatação de que, à medida que ela variava o valor de n, os valores da sequência

aumentavam, mas não se tornavam iguais a 1. O máximo que era possível verificar no

GeoGebra era o valor 0,99999. Para verificar se o software não estava com problema, a

aluna calculou os três primeiros termos no papel e depois fez a comparação. A11 percebeu

que os valores eram os mesmos, mas não conseguia compreender o motivo da sequência

não ser igual a 1, apesar de ter utilizado o controle deslizante com o valor máximo de 100.

Foi perguntado a ela o motivo dos termos da sequência não se tornarem iguais a 1 em

algum momento. A resposta foi que não seriam iguais a 1, pois o numerador nunca seria

igual ao denominador, concluindo, assim, que a sequência tendia a 1. No excerto 1,

apresentamos a discussão mencionada.

117

Aluna A11: Quando começa com zero o an fica zero. Aí, quando o n passa pra um ele passa pra meio. Ele vai mudando aqui ((valores da coluna A)), mas aqui ((valores da coluna B)) ele nunca chega a... o máximo que ele vai é 0,99.. 0,9999. Quer ver?

Pesquisadora: E o que você acha que está acontecendo com ele?

Aluna A11: Mas o que eu não entendi, esse eixo aqui está falando de eixo x e eixo y quando olho na tabela aqui.

Pesquisadora: Olha para os valores de y.

Aluna A11: É aqui... isso aqui está aumentando de acordo com esse daqui ((referindo-se aos

valores das colunas A e B)). Esse aqui...

Pesquisadora: É porque o valor do x de P é n. O y do P é o an.

Aluna A11: Pois é, o an é o valor do y aqui ((referindo-se a coluna B da planilha)).

Pesquisadora: Isso! Eu quero saber o que acontece com o valor de an. O que acontece com o y quando o x fica cada vez maior?

((Afastamo-nos da aluna para discutir algumas dúvidas com outros alunos sobre o uso do

software.))

Aluna A11: ((Pensando sozinha e falando em voz alta)) Quanto maior o valor de n aqui, o valor do an...

Pesquisadora: Você percebeu o que tá acontecendo?

Aluna A11: Ah... eu tô escrevendo mais ou menos aqui. Mas a conta que o programa faz aqui tá errada.

Pesquisadora: Como assim?

Aluna A11: Porque ele faz assim, quando o n valer zero, vai ser zero dividido por zero mais um. Aí vai ser zero dividido por um, vai ser meio.

Pesquisadora: Não. Zero dividido por qualquer coisa é sempre zero.

A11: Então, aí quando o n valer um, vai ficar um sobre um mais um, vai ficar um sobre dois que é meio, que é o que eu vi ali ((referindo-se a coluna B da planilha)).

Pesquisadora: Isso.

Aluna A11: Aí aqui quando eu aumentar o n para dois, aqui vai virar três. Aí o valor vai diminuir.

Pesquisadora: Que é 0,666.. Não, o valor aumenta.

Aluna A11: Ah é! Vai ficar 0,6 nã nã nã... Só que eu fiz até chegar em cem e ele nunca chegou a um. Eu até tentei aqui ((referindo-se aos valores da coluna B)), mas o máximo que ele chegou foi 0,99999.

Pesquisadora: E por que você acha que isso está acontecendo? Por que ele não chegou a um?

Aluna A11: Porque o número aqui, nunca vai ser um igual ao outro. Só vai dar um quando for divisão, tipo assim, o número de cima for igual ao número de baixo. Por isso nunca vai dar um.

Pesquisadora: Nunca vai chegar a um, mas o que está acontecendo com ele? Ele nunca chega a um, mas ele está...

Aluna A11: Tendendo a um.

118

Pesquisadora: Isso mesmo, tendendo a um.

Aluna A11: É isso que eu vou escrever aqui. Eu tenho que falar do ponto Q também?

Pesquisadora: Não, é a mesma coisa, é porque aqui você tem a sequência como uma função ((referindo-se aos rastros do ponto P)) e aqui você tem a sequência como os termos em cima de uma reta ((referindo-se aos rastros do ponto Q)).

Excerto 1 – Transcrição da atividade 05

Trazemos na figura 48, a resposta dada pela aluna A11 à atividade 06.

Figura 48: Resposta da aluna A11 à atividade 06

Concluímos que a maioria dos alunos observou a convergência da sequência

para 1. Outros apenas observaram que a sequência era crescente sem observarem a

convergência.

Atividades 07 e 08

As atividades 07 e 08 foram aplicadas no terceiro dia de aula de laboratório. O

ritmo de trabalho e envolvimento na atividade não foi o mesmo para todos os alunos.

Alguns mostraram certo desinteresse e percebemos que estava chegando o momento de

retomar a condução para sistematizar os conceitos de modo teórico. Decidimos que isso

seria feito após essa aula, mesmo que a totalidade dos alunos não chegasse ao final das

119

atividades propostas. Aquelas atividades que não fossem concluídas no laboratório seriam

retomadas e trabalhadas em sala de aula por meio de uma discussão com os alunos,

conduzida pela professora, com o auxílio do software.

Apresentaremos a seguir os objetivos das atividades e algumas das respostas

dadas por alunos que as concluíram.

A atividade 07 teve por objetivo explorar a convergência de uma sequência

alternada com termo geral n

nn

na

2)1(

2

−= .

Ao todo, quinze alunos concluíram a atividade 07. Quase todos disseram que os

termos da sequência alternavam entre números positivos e negativos até serem iguais a

zero, como pode ser visto na resposta dada pelas alunas A27 e A30, na figura 49.

Figura 49: Resposta das alunas A27 e A30 à atividade 07

Outros alunos chegaram à mesma conclusão, observando a rápida convergência

da sequência, a partir do vigésimo oitavo termo. Quando exibidas apenas cinco casas

decimais, os valores dos termos da sequência apresentados na tela se tornavam iguais a

zero. Uma das alunas colocou em dúvida aquilo que via na tela, fazendo reflexões e

conjecturando sobre a convergência. Acompanharemos a discussão dessa aluna (A11) com

a pesquisadora.

A aluna A11 estava pensando em voz alta sobre o sinal dos termos da sequência:

“se for par, o sinal é positivo, se for ímpar o sinal é negativo”. Não conformada com o

resultado informado pelo GeoGebra, quando n = 28, A11 resolveu fazer as contas no papel

e também utilizando o software Microsoft Excel.

Aluna A11: Como que eu faço essa conta aqui ((228)) no Excel? Tem jeito no Excel?

Pesquisadora: Tem, você vai colocar igual, dois elevado, usando o circunflexo, e o vinte e oito.

Aluna A11: Fica esse número aqui? Eu tinha feito aqui pela tabela, fui vendo aqui que o valor foi diminuindo, quando chegou no vinte e oito ele zerou. Aí dali pra frente tudo foi zero. Aí eu fiz a continha aqui oh ((no Excel)), e vai dar aquele valor grandão lá.

Pesquisadora: Qualquer coisa, vem aqui de novo ((referindo-se a aba Opções)) manda

120

aumentar as casas decimais. Passa pra dez casas.

Aluna A11: Pois é, ele zerou.

Pesquisadora: Não, agora aumenta a largura da coluna.

Aluna A11: Oh véi, não zerou não. Oh professora, mas na conta aqui deu que zerou! ((falando

novamente dos valores apresentados na coluna B da planilha))

((A aluna então resolveu aumentar ainda mais a largura da coluna B.))

Aluna A11: Caraca véi, o trem não zerou não! Me enganou!

((Depois de algum tempo.))

Aluna A11: Professora, mas teve um aqui que zerou. Vou colocar quinze casas, não é possível! Oh, o trem não zera não! Aqui parece que zera ((mostrando que na coluna parecia o

número 0, 00000000...)), tá vendo?

Pesquisadora: Sim.

Aluna A11: Aí eu achei que zerava, mas não zera não. Não apareceu o rastro não! Ah... é porque tá lá no cantinho e eu não tinha visto. Eu hein, minha teoria não deu certo não.

Pesquisadora: Qual que é a sua teoria?

Aluna A11: Não, é que eu estava jogando os valores aqui e olhando pela tabela, aí na hora que ela zerou aqui, na minha cabeça ela zerou no vinte e oito, eu joguei aqui e fiz a conta ((falando do Excel)) e também deu zero, mas na hora que você veio aqui e mandou trocar o decimal, o zero foi pro beleleu... ((Risos da professora e da aluna))

((Depois de olhar novamente para os dados.))

Aluna A11: Professora, é a mesma explicação que eu dei pra você aquela hora, não é não? É a mesma explicação!

((A aluna estava se referindo à análise dos valores possíveis de serem assumidos pela fração

que representa o termo geral, que ela havia feito em atividade anterior.))

Pesquisadora: Da atividade seis?

Aluna A11: É u é! Se um não for igual ao outro não vai zerar não! Vou colocar aqui.

((Pensando sozinha, depois de escrever que até incremento 100 não havia zerado.))

Aluna A11: Só vai ser zero quando o n for zero? É, só zera quando o n for zero. Professora?

Pesquisadora: Sim.

Aluna A11: Qual a condição pra uma divisão ser zero? Só quando o numerador for zero?

Pesquisadora: Sim.

Aluna A11: Somente assim?

Pesquisadora: Só.

Aluna A11: Então está respondido.

((Nesse momento a aluna tinha se convencido que embora os termos se aproximassem de

zero quando n assumia valores numéricos altos, nenhum termo da sequência assumiria o

valor zero, pois o numerador da expressão do termo geral não era zero. Depois de ter

respondido, a aluna A11 foi discutir com os colegas que estavam próximos, explicando o seu

raciocínio e tentando convencê-los da conclusão a que havia chegado.))

Excerto 2 – Transcrição da atividade 06

121

Colocamos na figura 50, a resposta escrita pela aluna A11:

Figura 50: Resposta da aluna A11 à atividade 07

Ressaltamos a importância de retomar as atividades e discutir com os alunos os

dados exibidos pelo software. Discussões como a apresentada anteriormente, que levaram

a aluna a concluir que nenhum termo da sequência poderia ser igual a zero porque o

numerador da fração não era zero, estimulam a reflexão sobre aspectos que vão além “das

aparências” das respostas, utilizando linguagens e simbologias adequadas, enfocando

aspectos teóricos e formais.

Poucas duplas chegaram a realizar a atividade 08, que tinha por objetivo explorar

a convergência e a divergência de sequências por meio do valor absoluto da diferença entre

termos consecutivos. Apenas três duplas fizeram a parte inicial do item 8.1, abordando a

sequência de termo geral 1+

=n

nan . Inicialmente era perguntado o que estava acontecendo

com os valores do termo geral à medida que se aumentava o valor de n. Também era

perguntado o que acontecia com a distância entre dois pontos consecutivos, considerando

para isso a representação gráfica do ponto

+1,0n

nQ . Duas duplas disseram que os termos

122

da sequência estavam tendendo a um, enquanto a outra dupla disse que os valores

aumentavam no eixo y (numa alusão ao fato de a sequência ser crescente). Todos os alunos

concluíram que a distância entre os pontos consecutivos estava diminuindo (figura 51).

Uma dupla disse que a distância nunca seria igual a zero.

Figura 51: Resposta dos alunos A10 e A13 aos itens 8.1a e 8.1b da atividade 08

Uma dupla calculou os valores absolutos das diferenças entre dois termos

consecutivos (figura 52), utilizando a planilha e chegaram à seguinte conclusão:

Figura 52: Resposta dos alunos A10 e A13 aos itens 8.1.c da atividade 08

Como informado anteriormente, não foi possível que todos os alunos

trabalhassem a atividade 08 na aula de laboratório. Por essa razão, a atividade foi

posteriormente explorada e discutida em conjunto com a classe, com a condução da

professora.

Ao final, todas as atividades foram retomadas para a sistematização dos conceitos.

Foram levantadas as conjecturas formuladas pelos alunos para cada uma das sequências,

que foram novamente construídas no GeoGebra, pela professora, para que pudesse ser

discutido o comportamento de cada uma delas. As sequências n

an

5= e

1+=

n

nan , foram

usadas como exemplos de sequências convergentes e a sequência 2nan = , como exemplo

de sequência divergente. Discutimos o motivo dos termos da sequência 1+

=n

nan não

assumirem o valor um e dos termos da sequência n

nn

na

2)1(

2

−= não assumirem o valor

zero. Aproveitamos a atividade 08 para discutirmos a distância entre os pontos que

123

representam os termos das sequências n

an

5= e

1+=

n

nan , e seus respectivos pontos de

acumulação. Ao expressar a distância entre os pontos pelo valor absoluto da diferença

entre os termos, os alunos se confundiram e tiveram dificuldades de entender o porquê de

se trabalhar com a diferença e não com a soma. Posteriormente perceberam que, como a

distância estava diminuindo e tendendo a zero, essas sequências seriam convergentes. Ao

trabalharmos com a definição formal de limite para a convergência de sequências, os

alunos apresentaram muita dificuldade, pois, segundo eles, era a primeira vez que estavam

estudando alguma definição com ε’s de δ’s. Também chamamos a atenção dos alunos para

a distância entre dois termos consecutivos da sequência, usada como exemplo de sequência

divergente. Apenas neste momento trabalhamos e definimos a convergência e a

divergência de sequência por meio do cálculo do limite do termo geral com n tendendo ao

infinito.

Também trabalhamos em sala o critério de convergência de sequências alternadas

e o teorema do confronto, sendo que este último não havia sido abordado nas atividades

anteriores. Utilizamos então o GeoGebra (figura 53) para discutir o teorema do confronto

para a sequência n

nsenbn

)(= (em azul na figura), sendo limitada inferiormente pela

sequência n

an

1−= (em vermelho na figura) e superiormente pela sequência

ncn

1= (em

verde na figura).

Figura 53: Teorema do confronto para sequências no GeoGebra

Fonte: Elaborada pela autora.

124

A partir dessas discussões embasadas nas explorações das sequências por meio do

GeoGebra, concluímos que as sequências alternadas só seriam convergentes se o valor

absoluto do termo geral tender a zero.

Todo conteúdo de sequência foi trabalhado também em aulas teóricas; sempre que

possível, com referência às atividades desenvolvidas no laboratório.

Atividade de séries

A atividade de séries foi aplicada no dia 12 de dezembro de 2011, tendo a

participação de 25 alunos. O tempo de mais de 30 dias decorridos entre o final da aplicação

das atividades de sequências e a aplicação da atividade de séries dificultou o

desenvolvimento, principalmente com relação aos recursos do software de que os alunos

não se lembravam mais.

A atividade foi aplicada depois das definições e dos conceitos iniciais terem sido

trabalhados de modo teórico, em uma discussão conjunta com a turma. Nessa aula teórica,

que aconteceu no dia 05 de dezembro de 2011, foram dadas a definição de série infinita

(como a soma dos termos da sequência de mesmo termo geral) e a de somas parciais. O

primeiro exemplo analisado foi a série de termo geral nna

2

1= . Antes de falar sobre a

convergência, discutimos, por meio do Paradoxo de Zenão, a possibilidade da soma de

infinitos termos ser um número real. Os alunos ficaram perturbados com essa ideia, que era

contrária à intuição de que uma soma de infinitos termos iria aumentar tendendo para o

infinito. Houve também alguma confusão entre série e sequência, como pode ser percebido

pelo comentário da aluna A05, que chegou a dizer que a soma da série de termo geral

nna2

1= , seria zero. Também discutimos a possibilidade de a soma de infinitos termos se

tornar cada vez maior, exemplificando com a soma dos números naturais.

Para falarmos de convergência e divergência de uma série trabalhamos com as

somas parciais. Dissemos que uma forma de verificar a convergência ou divergência de

uma série é verificar a convergência da sequência formada pelas somas parciais, por meio

do cálculo do limite do termo geral.

125

Para mostrar a convergência utilizando as somas parciais foram trabalhados

detalhadamente dois exemplos: ∑∞

=1 2

1

nn

e ∑∞

=

+−

1 1

22

n nn. Em cada um dos exemplos foi

determinada a expressão da n-ésima soma parcial. Buscamos, em conjunto com os alunos,

encontrar o termo geral da sequência das somas parciais. As sugestões apresentadas foram

testadas e discutidas.

No primeiro exemplo, obtivemos a expressão n

n

ns2

12 −= . Pelo cálculo do limite

os alunos concluíram que a soma da série era igual a 1. Vale destacar que houve neste

momento uma discussão sobre o valor tender a 1 ou ser igual a 1, questão, de certa forma,

recorrente nos cálculos de limites. Como uma das argumentações para a convergência

dessa série, apresentamos o exemplo dado por Bagni (2005) desenhando um quadrado de

lado um, repartindo-o ao meio e, repartindo novamente ao meio um dos quadriláteros

obtidos, construindo assim uma sequência de quadriláteros, cuja soma das áreas vale um

(área do quadrado original). Foi feita a ressalva de que nem sempre é possível mostrar a

convergência por meio de desenhos.

Também foram discutidos, a partir do questionamento de um dos alunos, casos de

séries alternadas.

Ao resolver o segundo exemplo, ∑∞

=

+−

1 1

22

n nn, introduzimos a definição de série

telescópica. Na terceira soma parcial alguns alunos já conseguiam dizer qual seria o termo

geral. Os alunos não apresentaram dificuldade para calcular o valor do limite da sequência

das somas parciais, chegando ao valor dois e dizendo que a série convergia para dois.

Em aula posterior, aplicamos a atividade de séries44, que teve por objetivo geral

buscar a corporificação das ideias básicas da convergência de séries, visando a facilitar a

exploração teórica da convergência e dos critérios de convergência de séries. Buscamos

também fazer com que os alunos conjecturassem a respeito da condição necessária para a

convergência de séries.

A questão 1 tinha como objetivo fazer uma análise do comportamento das

sequências do termo geral e das somas parciais da série ∑ −12

1n

a partir do cálculo de seus

valores representados na planilha. Quase todos os alunos concluíram que na tende a zero e

44 Nessa aula nenhum aluno colocou o áudio para gravar no celular; portanto, temos apenas o áudio das discussões de que a pesquisadora participou.

126

ns tende a dois. De forma geral, as respostas foram apresentadas de maneira sucinta, como

pode ser visto na figura 54 a resposta dada pela aluna A20.

Figura 54: Resposta da aluna A20 à questão 1 da atividade de séries

A questão 2 tinha o mesmo objetivo da primeira questão; porém, o foco estava na

interpretação gráfica da convergência. Também pedia para dizer se a resposta encontrada

era coerente com a dada na questão um. Apenas o aluno A09 disse que a resposta da

questão dois não estava coerente com a primeira, pois, para ele, as duas sequências eram

crescentes (figura 55). Buscamos entender a resposta dada pelo aluno assistindo ao vídeo

da tela do computador que ele havia manipulado. Descobrimos que, ao modificar as

propriedades das células D1 e E1, que criavam os pontos da sequência do termo geral e da

sequência das somas parciais, respectivamente, o referido aluno selecionou a célula D1 e

sobrepôs a célula E1, fazendo com que os pontos tivessem na abscissa os valores do termo

geral e na ordenada os valores das somas parciais. Percebendo que o gráfico das somas

parciais não estava aparecendo corretamente, ele reescreveu a coluna E1 encontrando o

gráfico real. Não conseguimos compreender a resposta dada pelo aluno, já que no final do

vídeo os gráficos das duas sequências estavam apresentados corretamente.

Figura 55: Resposta do aluno A09 à questão 2 da atividade de séries

Algumas dificuldades relativas ao uso do software foram observadas. Uma delas

foi a de escrever o termo geral das séries na linguagem computacional. Outra foi a de

entender que, ao modificarem a primeira célula da coluna B para trabalharem com uma

série diferente, deveriam arrastar a fórmula para o restante das linhas. Ainda, alguns alunos

não tinham clareza sobre o que cada coluna da planilha representava, embora isso estivesse

explicado no enunciado da atividade. Para esses alunos, a interpretação dos resultados

obtidos ficou comprometida.

Na questão três foram dadas várias séries e, para cada uma delas, era pedido que

os alunos analisassem a convergência ou divergência da sequência correspondente de

127

mesmo termo geral e da sequência de somas parciais. Nosso objetivo era fazer com que os

alunos estabelecessem uma relação entre o valor de convergência da sequência (igual ou

diferente de zero) e a convergência ou divergência da série. Percebemos durante a

aplicação da atividade que isso não estava acontecendo. Os alunos estavam respondendo

diretamente ao que se perguntava, como pode ser visto pela resposta da aluna A20

apresentada anteriormente na figura 54.

Buscando estimular a reflexão, acrescentamos duas questões à atividade:

4) Classifique cada uma das séries como convergente ou divergente.

5) Podemos chegar a alguma conclusão para a convergência da série?

Os resultados observados nas respostas dos alunos não permitiram concluir se

houve boa compreensão da convergência de séries ao final da atividade. Algumas

dificuldades com o software, anteriormente apontadas, e outras decorrentes do próprio

enunciado da atividade, ou dos passos indicados para construção da planilha e dos gráficos

podem ter prejudicado os resultados ou confundido os alunos. Foi o caso das alunas que

tiveram dúvidas sobre quais colunas analisar para verificar a convergência das séries (havia

valores alocados nas colunas de A até E). Explicamos que algumas colunas eram auxiliares

à construção dos gráficos relativos às sequências geradas nas colunas C e D. Observamos

também que, para fazerem a análise, elas poderiam usar o gráfico de pontos ou os valores

das colunas C e D. Ainda assim a aluna A11 não conseguia entender o que fazer com tanta

informação. Esclarecemos que ela poderia escolher só o gráfico ou só a planilha para fazer

a análise e que colocamos os dois jeitos, pois alguns alunos percebiam melhor a

convergência/divergência por meio da visualização gráfica, enquanto outros preferiam

analisar numericamente com o auxílio da planilha.

Apesar das dificuldades apontadas, muitos dos diálogos e das percepções dos

alunos propiciaram ricas discussões entre eles próprios, entre eles e a docente e também

discussões conjuntas com a turma nas sistematizações da teoria.

As descrições a seguir exemplificam alguns desses diálogos e interpretações dos

alunos em cada uma das séries apresentadas.

A convergência da série ∑+2

2 1

n

n foi discutida pelas alunas A21, A31 e a

docente. As alunas observaram que, ao aumentar o valor de n, os termos da coluna B (na

qual eram calculados os termos da sequência de mesmo termo geral) estavam se

aproximando de um e, com isso, concluíam que a convergência da série era para um. Foi

128

preciso lembrar que, para analisar a convergência da série, elas deveriam olhar a sequência

formada pelas somas parciais na coluna C. Elas contra-argumentaram que esse valor estava

aumentando cada vez mais e que essa sequência era crescente e limitada inferiormente,

portanto ela convergia. Retrucamos reforçando questões teóricas relativas às sequências

monótonas e limitadas. No caso em questão, a sequência das somas parciais sn parecia ser

monótona, mas não parecia possuir limite superior. A aluna A21 perguntou se quando ela

não tinha limite superior se seria divergente. Dissemos que o teorema só fala da

convergência para o caso das sequências que são monótonas e limitadas, para os outros

casos nada pode ser afirmado. As alunas chegaram à conclusão colocada na figura 56.

Figura 56: Resposta das alunas A21 e A31 à questão 3.a da atividade de séries

O item 3.b, que continha a série∑+ )1(

1

nn, apresentou respostas variadas.

Poucos alunos chegaram à conclusão de que an tende a zero e sn tende a um. Os demais

alunos concluíram ou que a série era convergente para outros valores, ou que ela era

divergente. Acreditamos que isso tenha ocorrido devido aos alunos não terem mudado

todos os valores referentes à sequência do termo geral na coluna B, pois a maioria dos

respondentes disse que a sequência do termo geral tendia a um, que era o valor da

sequência do item anterior.

No item 3.c, sobre a série ∑

+

n

n 1

1, apareceram respostas diferenciadas. Um

pouco mais da metade dos alunos concluiu que a série era convergente, indicando os

valores 0,62 ou 1 para a soma. O valor 1 provavelmente foi inferido a partir da imagem

gráfica. O valor aproximado de 0,62 pôde ser explicado, pois, a partir do décimo quarto

termo, o valor apresentado na planilha era zero devido à limitação de quinze casas

decimais do software GeoGebra e, portanto, os valores das somas parciais ficaram

constantes próximos a 0,62. Uma discussão interessante ocorreu com a aluna A02. Ela

estranhou o valor do décimo quarto termo da sequência n

n

+1

1ser igual a zero.

129

Argumentou que a sequência tenderia a zero mas que não poderia ser zero já que o

numerador era igual a um. Discutimos que de fato não poderia ocorrer o valor zero e que o

valor zero apresentado decorria das limitações de casas decimais do software GeoGebra.

Figura 57: Resposta da aluna A02 à questão 3.c da atividade de séries

Novamente chamamos a atenção para esses casos, que devem ser discutidos

devido às limitações do software e ressaltamos a necessidade de uma validação

matemática.

Para a série ∑ +−

21 1

)1(n

n , do item 3.d, a maioria dos alunos concluiu que a

sequência das somas parciais era convergente para aproximadamente 0,82, valor este que

fica visível na planilha, mesmo para uma quantidade muito grande de termos. Outros

concluíram que convergiria para um, valor possível de se observar ao olhar somente os

primeiros pontos do gráfico. Vejamos abaixo, na figura 58, a tela do computador da aluna

A30 e na figura 59 a resposta dada pela mesma.

Figura 58: Tela do computador da aluna A30 durante a resolução da questão 3.d da atividade de séries

130

Figura 59: Resposta da aluna A30 à questão 3.d da atividade de séries

Pela tela do computador da aluna A30 observamos que não é possível concluir o

valor da convergência da sequência formada pelas somas parciais (em verde) olhando

apenas para o gráfico, pois, devido à escala, vemos apenas que os valores estão próximas

de 1.

Na discussão da série harmônica no item 3.e, parte dos alunos observou que a

sequência do termo geral converge para zero e a série diverge, tendendo para o infinito

positivo. Outros alunos disseram que an tende a zero e sn tende a quatro, conclusão a que

prevíamos que alguns chegariam, uma vez que, ao serem considerados apenas trinta

termos, os três últimos termos modificam apenas da segunda casa decimal em diante, isto

é, os números apresentados do 28º termo ao 30º termos são, respectivamente, 3.92717;

3.96165 e 3.99499.

Interessante ressaltar o diálogo estabelecido entre o aluno A12 e a aluna A20

sobre a série harmônica. O aluno A12 não concordava muito com o resultado do

computador para a série ∑ n

1. Ele havia intuído que os valores de an tenderiam a zero e os

valores de sn tenderiam a um, mas observou que isso não estava acontecendo pois o gráfico

mostrava que a série parecia convergir para quatro. Nesse momento, a aluna A20 interferiu

dizendo que ela havia feito o valor de n chegar a cem e que, com isso, o valor da sequência

estava cada vez mais próximo de zero, mas que a série estava “toda vida crescendo”.

Indagamos o que poderia ser dito sobre essa série, sendo respondido pela A20 “Mas ela vai

divergir tão devagar assim?”. Dissemos que isso não era problema. Em tom de surpresa ela

disse “Nossa, ela diverge? Ah...”. Trazemos a solução dada pelo aluno A12 na figura 60 e

pela aluna A20 na figura 61.

131

Figura 60: Resolução do aluno A12 à série harmônica na atividade de séries

Figura 61: Resolução da aluna A20 à série harmônica na atividade de séries

O aluno A12 e a aluna A20 resolveram discutir sobre a convergência de séries de

modo geral. Indagamos a eles quais eram as séries que convergiam, quais eram as que

divergiam e o que elas possuíam em comum. Eles responderam que não viam nada, mas

depois observaram que, quando a sequência do termo geral converge para um número

diferente de zero ou diverge, a série diverge e quando a sequência converge para zero, a

série também converge, mas, no caso da série ∑ n

1, não estava dando certo. A12 chegou a

dizer que essa série tinha que ir para algum número. Pedimos que eles escrevessem a

conclusão a que haviam chegado. Voltaram então a discutir e resolveram que deveriam

apenas escrever que, se a sequência tendesse a um valor diferente de zero, então a série

seria divergente, caso contrário, eles não poderiam concluir nada, porque a última série

fugia à regra anteriormente definida por eles. A conclusão final, dita pela aluna A20, foi:

“Se a sequência é diferente de zero, então a série diverge, agora se a sequência for igual a

zero aí nós vamos olhar as somas parciais; se ela der um número, então a série converge, se

as somas parciais divergir então a série diverge”. A figura 62 mostra a resposta do aluno

A12 que, na verdade, não corresponde exatamente à discussão realizada. A figura 63

apresenta a conclusão da aluna A20 sobre a convergência de séries.

Figura 62: Conclusão do aluno A12 sobre a convergência de séries

132

Figura 63: Conclusão da aluna A20 sobre a convergência de séries

Outros alunos escreveram suas percepções sobre a convergência ou divergência

das séries, como as apresentadas nas figuras 64 e 65.

Figura 64: Conclusão da aluna A02 sobre a convergência de séries

Figura 65: Conclusão da aluna A21 sobre a convergência de séries

Posteriormente, as conjecturas sobre a convergência ou divergência das séries

foram discutidas na aula teórica. A conclusão da aluna A20 sobre a convergência foi

enunciada como o critério de divergência de séries. Devido ao tempo de que dispúnhamos

para concluir as atividades do semestre, optamos por apresentar os testes de convergência

de séries de modo tradicional. No entanto, utilizamos os testes para comprovar as

conjecturas sobre as séries trabalhadas nas atividades com o auxílio do GeoGebra.

No próximo capítulo retomaremos as atividades para uma análise dos dados

segundo eixos identificados nos quadros teóricos dos Três Mundos da Matemática e do

Pensamento Matemático Avançado.

133

CAPÍTULO 5

ANALISANDO OS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA E O PENSAMENTO

MATEMÁTICO AVANÇADO NO CONCEITO DE CONVERGÊNCIA

Neste capítulo analisaremos se os nossos objetivos foram alcançados, para tanto

os retomaremos. O nosso objetivo geral é verificar se o desenvolvimento das atividades

baseadas na corporificação dos conceitos e buscando a transição entre os mundos

corporificado e simbólico, com a utilização do GeoGebra, favoreceu a compreensão da

convergência de sequências e séries. Os nossos objetivos específicos são: investigar se, ou

de que maneira, as diferentes formas de representação favoreceram a compreensão do

conceito de convergência; e investigar se as atividades que visavam propiciar transições

entre os mundos corporificado e simbólico puderam contribuir para a construção de uma

base para o mundo formal, favorecendo a transição do pensamento matemático elementar

para o avançado.

Diante de nossos objetivos basearemos em dois quadros teóricos para verifica-los,

sendo o primeiro os Três Mundos da Matemática e o segundo o Pensamento Matemático

Avançado. Portanto temos dois eixos de análise:

- primeiro eixo: a corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a

proceitualização e a axiomatização;

- segundo eixo: a transição do pensamento matemático elementar para o

avançado.

Nas próximas seções analisaremos os dados de acordo com os dois eixos de

análise. Como dissemos anteriormente, os eixos nos auxiliam no entendimento daquilo que

buscamos compreender e não os entendemos como categorias excludentes, uma vez que

muitos dos dados evidenciaram simultaneamente aspectos considerados pertinentes a

ambos os eixos.

5.1 A corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a

proceitualização e a axiomatização

Este eixo de análise tem como referência o quadro teórico elaborado por Tall

(2002) para explicar o desenvolvimento cognitivo da Matemática dos indivíduos,

134

enfocando três maneiras distintas de pensar a Matemática e caracterizando os Três Mundos

da Matemática: o corporificado, o simbólico e o formal. Esse quadro foi amplamente

utilizado no desenvolvimento desta pesquisa. Ao elaborarmos as atividades, demos

especial atenção à corporificação dos conceitos por entendermos que ela poderia ser a base,

o fundamento para o caminho cognitivo a ser percorrido pelos estudantes em direção à

simbologia e/ou ao formalismo, no momento adequado. Dessa forma, buscamos analisar

qual a relação entre a corporificação dos conceitos (mundo corporificado) e a

proceitualização (mundo simbólico) e a axiomatização (mundo formal).

A literatura, apresentada e discutida no capítulo dois, apresenta a caracterização

feita por Tall (2002, 2004, 2007 e 2008) e Tall e Mejia-Ramos (2004) para os Três Mundos

da Matemática. Para efeito de análise, julgamos importante trazer também o nosso

entendimento sobre os Três Mundos da Matemática, de modo a podermos interpretar os

dados da pesquisa. Entendemos que:

O mundo corporificado é o mundo composto dos modos encenado e icônico de

Bruner. Dessa forma a corporificação ocorre a partir da visualização, da ação

sobre objetos matemáticos e experiências de pensamento.

O mundo simbólico é o mundo composto do modo simbólico de Bruner. O que

foi entendido nas ações é transformado em símbolos que permitem a manipulação

numérica, algébrica, entre outras. Um símbolo, neste mundo, pode ser utilizado

tanto para representar um processo quanto para representar um conceito, ou seja,

ele é um proceito.

O mundo formal é o mundo onde se constrói uma teoria com base em definições

formais e propriedades provadas formalmente.

Como vimos nos textos de Tall, cada mundo possui a sua maneira de prova. Para

contextualização na pesquisa apresentamos o nosso entendimento sobre as verdades nos

Três Mundos da Matemática, com relação à convergência de sequências. Exemplificamos

essas verdades por meio da convergência da sequência n

nan

34 −= . No mundo

corporificado a convergência pode ser provada por meio da visualização dos termos da

sequência, nas duas formas de representação: como pontos em uma reta e como gráfico de

uma função de domínio discreto. A figura 66 exemplifica essas representações, sendo que

135

os pontos no eixo vertical (pontos em uma reta) são as projeções ortogonais dos pontos do

gráfico da função sobre o referido eixo:

Figura 66: Corporificação da convergência da sequência

n

nan

34 −=

Fonte: Elaborada pela autora.

A figura anterior pode ser aceita como uma prova corporificada de que a

sequência n

nan

34 −= converge e que o valor de convergência parece ser quatro, pois, é

possível visualizar e perceber que à medida que aumentamos o valor de n, com o auxílio

do Controle Deslizante do software GeoGebra, o valor de an também aumenta e se torna

cada vez mais próximo de quatro, sem dar a entender que irá ultrapassá-lo.

Para verificarmos a mesma convergência no mundo simbólico, basta calcular o

limite de an quando n tende ao infinito e analisar o resultado final, ou seja,

( ).4

34lim

34lim

34lim =

−=

−=

∞→∞→∞→ nnnn

n

nnnn

Por fim, a verdade no mundo formal é verificada ao mostramos que para cada

ε > 0 existe um inteiro correspondente N tal que, se n > N então ε<−−

434

n

n.

Focalizaremos nossa análise no conceito de convergência, procurando identificar

como ele se forma a partir do desenvolvimento das atividades e também caracterizar os

processos relativos aos três mundos nos quais ele se mostra. Ao tratar da convergência não

faremos distinção entre a forma de tratar a convergência de sequências e a convergência de

séries, uma vez que, as atividades buscando a corporificação da convergência de séries

exploraram a convergência da sequência das somas parciais. Embora tenha sido previsto

136

inicialmente um trabalho buscando a corporificação da convergência de séries com base

nos critérios de convergência, isso não foi possível por conta das exigências do

cronograma do semestre. Apesar de ter sido feita uma discussão conjunta com os alunos

sobre cada um dos critérios de convergência, procurando, de alguma forma, apresentar

argumentos que os explicassem e utilizando-os para comprovar resultados sobre

convergência obtidos nas atividades que utilizaram as sequências das somas parciais, a

análise não abordará a convergência a partir dos critérios por considerar que não foram

desenvolvidas, pelos estudantes, atividades exploratórias com esse objetivo.

Apesar das dificuldades observadas no desenvolvimento das atividades de séries e

dos resultados não totalmente satisfatórios, entendemos que as atividades têm potencial

para desenvolver a corporificação da convergência de séries por meio das somas parciais.

Optamos por incluir a convergência de séries na análise, pois foi possível identificar casos

em que parece ter ocorrido a corporificação e também situações em que aspectos do mundo

simbólico e formal apareceram nas manifestações dos alunos sobre a convergência.

Para analisar a corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a

proceitualização e a axiomatização, retomamos o quadro (figura 08) em que Tall (2007)

trata do desenvolvimento cognitivo da argumentação, caracterizando como se dá esse

desenvolvimento em cada um dos três mundos. Destacamos a importância das

caracterizações feitas por Tall para as intersecções entre os mundos que, a nosso ver,

podem auxiliar a identificação da transição entre eles.

Figura 08: Desenvolvimento cognitivo da argumentação

Fonte: Tall, 2007, p. 10 (tradução nossa)

137

Lembramos que não existe um único caminho para a transição entre os Três

Mundos da Matemática. Entretanto, nossas atividades foram desenvolvidas na expectativa

de possibilitar ao aluno transitar pelos três mundos e por suas interseções, iniciando pelo

mundo corporificado; em seguida, simbolizando o que foi corporificado; passando pelo

mundo simbólico e objetivando alcançar as intersecções entre o mundo formal e/ou os

mundos corporificado e/ou simbólico, que chamaremos de base do mundo formal. De

acordo com o quadro de Tall, na base do mundo formal as definições e deduções de

propriedades são feitas com base em experiências corporificadas e simbólicas.

Nossa expectativa para um curso de Cálculo é alcançar a base do mundo formal.

Entendemos que as experiências corporificadas e simbólicas podem estabelecer raízes

cognitivas que contém as sementes para expansão posterior. Definições e deduções de

propriedades feitas com base em experiências corporificadas e simbólicas podem indicar o

início de um processo de expansão cognitiva, construídos em bases fortes o suficiente para

possibilitar desenvolvimentos teóricos posteriores. No mundo formal devem ocorrer

definições formais dos sistemas axiomáticos e construção de propriedades por meio de

provas formais o que, em nosso entendimento, deve ser feito em um curso de Análise.

Explicitaremos, a partir do esquema do desenvolvimento cognitivo da

argumentação, o nosso entendimento a respeito do aluno estar em cada um dos Três

Mundos da Matemática e nas suas intersecções, em relação à convergência de sequências e

à convergência de séries. Não definiremos o que significa estar no mundo formal por meio

de conceitos isolados, pois entendemos que esse mundo pressupõe a construção de uma

teoria axiomática.

5.1.1 A convergência no mundo corporificado e na interseção entre os

mundos corporificado e simbólico

Analisaremos as manifestações dos alunos durante a realização das atividades,

procurando identificar indícios de corporificação do conceito de convergência e também de

possíveis simbolizações daquilo que foi corporificado. Consideraremos as manifestações

orais, escritas e as ações no ambiente do software. Assim estaremos abordando, de modo

conjunto, a convergência no mundo corporificado e na intersecção entre os mundos

corporificado e simbólico.

138

Consideraremos, para efeito de análise, que o aluno estará no mundo

corporificado, ou seja, que ele terá corporificado o conceito de convergência, a partir do

momento em que, por meio da manipulação no GeoGebra, ele conseguir ver e perceber

(em uma, ou nas diferentes representações) que os termos da sequência se aproximam de

um determinado valor. A manipulação no GeoGebra é possível pela alteração do valor

máximo do Controle Deslizante, o que corresponde a aumentar o número de termos da

sequência. De modo análogo, o aluno terá corporificado o conceito de divergência quando

visualizar que os termos da sequência não se aproximam de um valor fixo.

Consideraremos também que o aluno estará na interseção dos mundos

corporificado e simbólico, ou seja, que haverá a simbolização do que foi corporificado,

quando utilizar uma linguagem simbólica ou oral para comunicar sua compreensão sobre a

convergência da sequência. Essa comunicação pode ser feita pelo uso de palavras que

remetam ao conceito de limite, como “tende”, “aproxima” ou “vai para”.

Lembramos que os termos converge e diverge só foram trabalhados com os alunos

após a realização de todas as atividades exploratórias sobre sequência; portanto, não

esperávamos que os alunos os utilizassem nas atividades iniciais.

Para analisar a corporificação do conceito de convergência vamos resgatar os

diálogos dos alunos, procurando acompanhar o raciocínio empregado por eles, as

conjecturas formuladas e as argumentações utilizadas durante a realização das atividades.

Identificamos duas possibilidades de percepção da convergência a partir da ação sobre os

termos da sequência, decorrente da possibilidade de aumentar a quantidade de termos

através dos recursos do software. A percepção acontece por meio da visualização do

comportamento da sequência com o aumento do número de termos. Uma possibilidade é a

visualização gráfica dos termos da sequência na Janela de Visualização do GeoGebra.

Outra é a visualização numérica dos termos da sequência na planilha desse mesmo

software. Cada uma das formas de visualização pode ser utilizada pelo aluno de modo

isolado, como também podem ser relacionadas. Interpretamos que a visualização do

comportamento da sequência é a corporificação do conceito. Entendemos que visualizar o

comportamento é mais do que enxergar os termos que se apresentam, mas é realizar

experiências de pensamento tentando interpretar o que enxergam para além do número

finito de termos apresentados.

Para exemplificar a corporificação do conceito de convergência através da

visualização gráfica, trazemos nossa interpretação da discussão entre os alunos A15 e A25

139

durante a realização da segunda parte da atividade 0445. Em seguida, trazemos a figura 67,

para auxiliar o entendimento da discussão entre esses alunos, sendo o ponto P o ponto de

cor azul, o ponto Q o ponto de cor vermelha e os rastros são as marcações deixadas por

esses pontos ao variar o valor de n.

Figura 67: Duas representações gráficas da sequência da atividade 04

Fonte: Elaborada pela autora.

Logo após a construção do ponto Q, o aluno A15 expressou dúvidas sobre o que

representavam os pontos P e Q. O aluno A25 explicou que no ponto P o valor da abscissa é

n e o valor da ordenada é an e no ponto Q o valor da abscissa seria sempre zero, concluindo

que o ponto Q ficaria sempre sobre o eixo das ordenadas. Eles começaram, então, a variar

o valor de n para ver o que ocorreria com os pontos. O aluno A15 visualizou que os rastros

deixados pelo ponto Q estavam cada vez mais próximos. Vejamos essa discussão e

também a discussão sobre a relação entre os pontos P e Q, no excerto 3.

Aluno A15: Tá vendo? Aqui vai começar a variar pouquinho.

Aluno A25: Ah, ele começou igual aqui ((referindo-se ao fato de os dois pontos iniciarem na

mesma altura)) e está descendo.

45 A segunda parte da atividade 04 envolve a representação dos termos da sequência de termo geral

nan

5=

como uma função com domínio discreto (ponto P), como pontos sobre um eixo (ponto Q) e como valores numéricos na planilha. Nessa parte estavam incluídas as questões: 4.2 a) Você percebe alguma relação entre os pontos P e Q ? 4.2 b) O que está acontecendo com a posição do ponto Q no eixo vertical? 4.2 c) Com base em suas observações e respostas nos itens 4.1 e 4.2, o que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que acontece com o valor de an quando n assume valores cada vez maiores?

140

Aluno A15: Isso. Está descendo, mas esse ((referindo-se ao ponto Q)) está descendo menos.

Aluno A25: Mas por quê? Tá no oito, né!? Vai pegar... cinco dividido por oito, aí vai ser o valor que vai te dar aqui na vertical.

Aluno A15: O Q vai ficando cada vez mais perto, né!?

((A25 ao ler a pergunta 4.2.a, sobre a relação entre os pontos P e Q, responde

instantaneamente.))

Aluno A25: Sim, ambos tendem a zero.

((A15 questiona algo sobre aumentar o valor de n e o ponto P se afastar do eixo y.))

Aluno A25: Sim, mas é a mesma proporção que anda aqui...

Aluno A15: Mas ele tá andando pouquinho ((falando do ponto Q)).

Aluno A25: Mas aqui, o ponto é n e 5/n, e esse aqui, é zero, 5/n. Aqui essa distância... veja bem...

Aluno A15: Ah... aqui o x é zero e você tá variando só o y.

Aluno A25: Mas olha aqui, se você pegar aqui tá na mesma altura, não tá!? Aí você pega esse ponto, tá na mesma altura, não tá!?

Aluno A15: Estão.

Aluno A25: Todos esses pontos aqui estão sempre na mesma altura ((dizendo que um ponto

de P sempre terá a mesma altura de um ponto de Q)). Só que aqui ((ponto P)), ele parece que tá...

Aluno A15: Aqui tá a mesma coisa.

Aluno A25: Pelo movimento em x também, ou em n. Aqui não, aqui é só na vertical. Aí parece que tá... é igual a...

Aluno A15: Então, olhar esse aqui é igual olhar esse daqui. ((Falando dos pontos P e Q))

((A25 concorda com a última afirmação de A15 e eles se voltam para a pergunta 4.2.a.))

Aluno A25: Sim, qual? Tem aqui na altura, eles estão na mesma altura em y, em an. Isso daqui... não é an que tá aqui? ((Faz a pergunta para que A15 possa refletir sobre uma

percepção a que ele chegou)) Ambos tendem a zero.. eh... como é que a gente vai falar aqui?

Aluno A15: A mesma altura.

Aluno A25: A mesma altura?

Aluno A15: O valor em y.

Aluno A25: É uh é! Eles já têm o mesmo valor, que é a imagem, né!?

Aluno A15: É! O ponto P tem a mesma imagem do ponto Q.

Aluno A25: Como é que a gente vai falar isso daqui, porque aqui oh... quando n é igual a um, an é igual a cinco, aqui o n sempre vai ser zero. ((Pensa um pouco)) Na verdade aqui não é n, aqui ela pegou uma constante,.. sempre vai ser zero. O valor... ((e ficam mais um tempo

pensando))

Aluno A15: de y ...

Aluno A25: na imagem...

Aluno A15: Coloca no ponto P, no ponto Q...

141

Aluno A25: Os valores obtidos no ponto Q...

Aluno A15: com imagem... obtidos da imagem do ponto P...

Aluno A25: os valores obtidos na coordenada y....eh... são iguais para... P igual ao Q...

Excerto 3 – Transcrição da atividade 04 dos alunos A15 e A25 (parte 1)

Depois dessa discussão, A15 terminou de escrever a reposta para a questão, como

podemos ver na figura 68.

Figura 68: Resposta dos alunos A15 e A25 para a questão 4.2.a da atividade 04

É possível perceber a dificuldade dos dois alunos expressarem em palavras as

conclusões a que chegaram, uma vez que gastam alguns minutos pensando e discutindo

como escrever a conclusão. Também percebemos a importância da interação entre eles para

a construção do conhecimento: discutem a percepção que cada um teve do gráfico e, assim,

desenvolvem conjuntamente a Matemática.

Continuaremos observando a discussão entre os dois alunos para a resolução do

restante da atividade 04. Na questão 4.2.b, sobre o comportamento do ponto Q no eixo

vertical, ocorre a discussão do excerto 4.

Aluno A25: Ele está tendendo... tendendo a zero... se aproximando do eixo x... o quê? ((Querendo saber mais conclusões sobre o ponto Q.))

Aluno A15: Vai isso tudo aí! Ele tá aproximando do zero... ele tá... eh... ele tá.. eh... a cada... eh... valor dele diminui pela metade.

Aluno A25: Pela metade? ((Interrogando para o outro pensar.))

Aluno A15: É ((sem muita convicção)).

Aluno A25: Não, aqui oh! 5/n. Diminui...

Aluno A15: Mas...

Aluno A25: Sim, mas com o incremento, né!? Para valores de n.

Aluno A15: Dividido por dois... três... Dããã... Caindo gradativamente!

Aluno A25: Vamos colocar.... pera aí! ((Lê novamente a pergunta.))

((Começa a responder a questão de maneira escrita.))

Aluno A25: Está se aproximando do eixo x. Ele não está aproximando do eixo x? Logo...

142

Aluno A15: Tende a zero.

Aluno A25: Está tendendo à zero. E.... a última que eu falei... Está diminuindo.

Aluno A15: O valor... a medida que a curva decai...

Aluno A25: Está diminuindo a medida que n cresce?

Aluno A15: Cresce.

Excerto 4 – Transcrição da atividade 04 dos alunos A15 e A25 (parte 2)

Na figura 69, temos a resposta escrita dos alunos A15 e A25 para o que foi

discutido anteriormente.

Figura 69: Resposta dos alunos A15 e A25 para a questão 4.2.b da atividade 04

Em seguida, os alunos trabalharam com o item 4.2.c. A25 leu toda a pergunta, não

compreendeu muito bem o que queria dizer “valores numéricos dos termos dessa

sequência” e releu a questão.

Aluno A25: ((Lendo a pergunta.)) O que você pode dizer sobre os valores numéricos dos

termos dessa sequência? Como assim??? Eles diminuem!? ((Volta a ler a pergunta.)) Eles

estão diminuindo... Então a primeira resposta... Os valores numéricos...

Aluno A15: Vão diminuindo. Cada vez menos, né!? Eles diminuem... um pouco menos...

Aluno A25: Entendi!!! Porque...

Aluno A15: Variam pouco, a cada... aqui variam menos ainda ((Provavelmente falando da

parte em que os rastros começam a ficar muito juntos na representação ponto Q, sem ser

possível distinguir os pontos.))

Aluno A25: Aqui vai aumentando as casas decimais depois da vírgula.

Aluno A15: É.

Aluno A25: Os valores numéricos vão diminuindo... Agora quer colocar isso daqui também?

Aluno A15: Não...

((A25 volta a ler a segunda parte da questão))

143

Aluno A25: Ahhh... Vai diminuindo...

Aluno A15: Diminui cada vez mais...

Aluno A25: Entendi! an diminui, porém, contudo, entretanto, para tanto... eh... a diferença

entre os pontos...

Aluno A15: é cada vez menor... a diferença.

Aluno A25: aí faz o quê? Tornando os pontos cada vez...

Alunos A15 e A25: mais próximos.

Aluno A25: um do outro. E tende a zero né!?

Aluno A15: zero.

Aluno A25: E também tende a zero. Você gostou de falar que tende a zero, né!?

Aluno A15: Bom de mais!

Excerto 5 – Transcrição da atividade 04 dos alunos A15 e A25 (parte 3)

A seguir, retomamos a figura 41 com a resposta dos alunos A15 e A25 sobre a

questão 4.2c, que refere-se ao diálogo acima transcrito.

Figura 41: Resposta dos alunos A15 e A25 ao item 4.2.c da atividade 04

Entendemos que a convergência foi percebida pelos alunos ao discutirem que os

pontos P e Q tendem a zero e também, durante a discussão, de que os rastros deixados pelo

ponto Q estariam cada vez mais próximos, o que poderia ser interpretado como outra

forma de corporificação da convergência da sequência. Interpretamos também que a

questão das distâncias pode ser uma raiz cognitiva na medida em que, nas palavras de Tall

(2002, p.12), sendo significativa para os alunos, contém as sementes da expansão cognitiva

para definições formais e posterior desenvolvimento teórico. A expansão teórica, de certa

forma natural no caso das distâncias, seria o Critério de Cauchy46 para convergência de

46 Diz-se que uma sequência de números reais (xn) é uma sequência de Cauchy quando dado qualquer ε > 0, existe um n0 ϵ N tal que n > n0 e m > n0 implica |xm – xn| < ε.

144

sequências, começando com o caso particular da distância entre dois termos consecutivos e

posteriormente expandindo para o caso geral.

Também vislumbramos a transição do mundo corporificado para a intersecção

entre os mundos corporificado e simbólico, no momento em que os alunos discutem como

deveriam escrever a conclusão. Podemos perceber nessa discussão que eles se preocupam

em escrever a conclusão com uma linguagem elaborada. As respostas dadas na forma

escrita (figuras 68, 69 e 41) estão na intersecção dos dois mundos, pois os alunos utilizam

o simbolismo (linguagem escrita) para dar sentido ao que foi corporificado.

A segunda possibilidade de corporificação do conceito de convergência é a

visualização numérica, ou seja, a visualização realizada a partir dos valores dos termos da

sequência expressos na planilha. Um exemplo para esse caso pode ser visto no vídeo da

dupla dos alunos A05 e A12, durante a realização da primeira parte da atividade 0447.

Esses alunos não se preocuparam em acompanhar as imagens gráficas do ponto P,

enquanto variavam os valores de n, como podemos ver na figura 70, na qual a planilha com

os valores numéricos da sequência está representada até a posição 10000, enquanto que na

janela de visualização gráfica aparecem apenas os primeiros pontos.

Figura 70: Tela da resolução da atividade 04 dos alunos A05 e A12

47 Na primeira parte é pedida apenas a construção do ponto P = (n, 5/n), começando com a variação de n até 12 e sendo depois pedido o aumento do valor de n sem que o valor máximo seja dado. Esta parte possuía as seguintes questões: 4.1.a) O que está acontecendo com os valores numéricos da sequência? (Considerando n no máximo 12.) 4.1.b) O que acontece com a posição do ponto P no plano cartesiano? E com os valores de an = 5/n representados na coluna B da planilha? 4.1.c) É possível prever o que acontecerá com o valor do termo an da sequência quando n (posição do termo) for muito grande? Explique.

145

Descreveremos o processo de resolução da primeira parte da atividade 04 dos

alunos A05 e A12, baseadas no vídeo da tela do computador e no áudio gravado pela

dupla. Ao serem considerados apenas os doze primeiros termos da sequência, para

resolução da questão 4.1.a, a dupla observou apenas que os valores estavam diminuindo

sem fazer referência ao valor zero para o qual tendiam os termos. Na resposta escrevem

apenas: “Diminuindo”.

Sobre o pedido para aumentar a quantidade de termos, eles estranharam que não

havia sido colocado qual deveria ser o valor, como podemos ver na fala da aluna A05:

“Mas o máximo é quanto? Vai ser o tanto que a gente quiser?”. Inicialmente eles decidiram

trocar o valor máximo para quinze e depois para 30, entendendo o que se pedia. O diálogo

que se segue entre eles é o apresentado no excerto 6.

Aluna A05: Ele sempre tende a zero?

Aluno A12: Tende a zero. Ah... por isso que ela pediu para aumentar um pouco mais... ((Novamente aumentou o valor máximo, porém agora para 10000.))

Aluna A05: Aí você apelou. Não vai dar zero!!! ((Conclui olhando apenas para a planilha,

como vimos na figura 72.))

Aluno A12: Noh... Eu vou aumentar mais. ((Passa o valor máximo para 90000)). Não deu zero, mas tende a zero.

((Aumentam o valor máximo para 10000000.))

Aluno A12: Tende a zero mesmo!!!

((A dupla começa a ler a questão 4.1.b e somente neste momento se preocupa com o gráfico

e procura pelo ponto P.))

Aluno A12: Tende a zero o ponto P. E com os valores? Ele aproxima do eixo x.

Aluna A05: É, ele aproxima do eixo x.

Aluno A12: Escreve aí.

Aluna A05: Ele aproxima do eixo x, tendendo a zero?

Aluno A12: Ele aproxima do eixo x e os valores da coluna B tendem a zero.

Excerto 6 – Transcrição da atividade 04 dos alunos A05 e A12 (parte 1)

Na figura 71, trazemos a resposta escrita da dupla A05 e A12 para a questão 4.1.b.

Figura 71: Resposta da dupla A05 e A12 à questão 4.1.b da atividade 04

146

Sobre a questão 4.1.c, ocorreu a seguinte discussão entre a dupla:

Aluna A05: A gente pode colocar aqui que depois dum certo ponto ele se torna zero constante?

Aluno A12: Eu acho que não, porque ele... é um número muito significativo.

Aluna A05: E o que vai acontecer com o P?

Aluno A12: Quando o n for muito grande, ele tende a zero.

Aluna A05: Ele aproxima o máximo de zero. Eu posso falar que ele chega a zero, porque ele fica 0,0000...

Aluno A12: É porque a casa decimal que a gente coloca aqui... se eu colocar aqui... ((muda

para 15 casas decimais)) nunca vai ser zero, tá vendo? ((Volta na planilha e mostra que onde

tinha zerado antes, não é mais zero. Para que apareça o número completo, a coluna é

alargada.)) Ele vai tender a zero, porque é cinco dividido por n. Quanto maior o valor de n, mais... mais ele aproxima do eixo x.

Aluna A05: É isso mesmo!

Aluno A12: Menor o número fica.

Aluna A05: Menor o número fica.

Aluno A12: Coloca aí, como n está no denominador...

Aluna A05: Quanto maior... não é!? Menor será o an?

Aluno A12: O número. Eh... an.

Excerto 7 – Transcrição da atividade 04 dos alunos A05 e A12 (parte 2)

Trazemos na figura 72 a resposta final dada pela dupla à questão 4.1.c da

atividade 04.

Figura 72: Resposta da dupla A05 e A12 à questão 4.1.c da atividade 04

Assim como no primeiro exemplo, acreditamos que ocorreu a corporificação do

conceito de convergência de sequência, quando os alunos observam que a sequência tende

a zero. A dupla formada pelos alunos A05 e A12, mostrou ter facilidade para a escrita, o

que evidencia uma passagem para a interseção entre os mundos corporificado e simbólico

mais tranquila do que a realizada pela dupla A15 e A25.

147

Percebemos que os alunos corporificaram o conceito de convergência nas

atividades 04, 0648 e 0749 mesmo quando a convergência era para um valor diferente do

zero. Chegamos a tal conclusão, pois, em todas as atividades, grande parte dos alunos

percebeu o comportamento da convergência da sequência, seja pelos pontos P e Q ou pelos

valores numéricos na planilha. No entanto, houve casos de alunos que apenas observaram

que a sequência era crescente, decrescente ou alternada.

Nas atividades 06 e 07 encontramos exemplos de alunos que apresentaram um

maior desenvolvimento cognitivo da argumentação dentro da intersecção dos mundos

corporificado e simbólico. Na atividade 06, temos a resposta da dupla formada pelos

alunos A10 e A13 que utilizaram o termo limite, sem calculá-lo, para comunicar sua

conclusão sobre a convergência da sequência para o valor um, como vimos na figura 46

retomada a seguir.

Figura 46: Resposta dos alunos A10 e A13 à atividade 06

A aluna A11 também demonstrou desenvolvimento cognitivo da argumentação ao

fazer, nas atividades 06 e 07, uma análise focada na interpretação dos valores que o termo

geral podia ou não assumir, aumentando consideravelmente o número de termos das

sequências. Vimos na seção 4.2.2 do capítulo anterior que essa aluna iniciou o raciocínio

observando o comportamento dos valores numéricos da sequência apresentados na planilha

do GeoGebra; porém, ela incorporou informações, além das fornecidas pelo software, para

chegar a uma conclusão. Ela analisou o termo geral e verificou se era possível algum termo

da sequência assumir o valor para o qual aparentava ser convergente. As respostas podem

ser vistas nas figuras 48 (página 118) e 50 (página 121) que exemplificam sua conclusão

final sobre a convergência das sequências das atividades 06 e 07, respectivamente.

48 A atividade 06 visava a avaliar a convergência da sequência de termo geral

1+=

n

nan

.

49 A atividade 07 visava a avaliar a convergência da sequência de termo geral n

nn

na

2)1(

2

−= .

148

Relacionado à divergência de sequências, observamos, pelos resultados da

atividade 0550, que os alunos tiveram mais dificuldade em expressar a compreensão da

divergência, pois várias respostas tinham algum tipo de erro conceitual como, por

exemplo, dizer que os termos crescem exponencialmente ou aumentam com o dobro do

valor anterior, ou ainda, que os valores de an crescem proporcionalmente aos valores de n.

Por mais que esses alunos tenha explicado erroneamente o crescimento da sequência, a

ideia de divergência ficou implícita. Ao analisarmos os vídeos, percebemos que os alunos

chegaram rapidamente à conclusão de que os termos da sequência aumentavam tendendo

ao infinito, geralmente com vinte termos ou menos, não havendo muita discussão para a

escrita da conclusão da divergência. Exemplificamos com a resposta dada pela dupla A27 e

A30 na figura 73.

Figura 73: Resposta das alunas A27 e A30 à atividade 05

Analisando de maneira geral, concluímos que as diferentes representações

colaboraram para a corporificação do conceito de convergência e divergência de

sequências e possibilitaram a passagem para a interseção dos mundos corporificado e

simbólico.

Com relação à convergência de séries, lembramos que a análise da convergência

da sequência das somas parciais foi previamente discutida com os alunos em aula teórica,

antes da aplicação da atividade exploratória de séries, como foi narrado na seção 4.2.2. Ao

resolverem a atividade exploratória de séries51 alguns alunos utilizaram a convergência

50 A atividade 05 visava a avaliar a divergência da sequência de termo geral 2nan = .

51 Nesta atividade inicialmente é pedida uma análise da convergência das sequências do termo geral e das

somas parciais da série ∑ −12

1n

, sendo feitas as perguntas:

1) Analisando a planilha, o que está acontecendo com o termo geral an? O que está acontecendo com os valores sn das somas parciais? 2) Observando os gráficos, o que acontece com o termo geral an e com os valores sn das somas parciais? Isso é coerente com o que você havia concluído na questão 1? Na terceira questão foi pedida a análise de outras cinco séries, como se segue: 3) Vamos fazer agora um estudo semelhante para outras séries. Em cada item responda o que acontece com o termo geral an e com os valores sn das somas parciais (para fazer esse estudo basta trocar a equação da coluna B).

a) ∑+2

2 1

n

n b) ∑+ )1(

1

nn c) ∑

+

n

n 1

1 d) ∑ +−

21 1

)1(n

n e) ∑ n

1

Durante a aplicação da atividade foram inseridas as questões: 4) Classifique cada uma das séries como convergente ou divergente.

149

para explicar o comportamento das sequências formadas pelo termo geral e pelas somas

parciais, assim como mostrado na figura 74 na resposta do aluno A29.

Figura 74: Resposta do aluno A29 à questão 2 da atividade de séries

Alguns alunos conseguiram observar o comportamento das duas sequências em

todas as séries da atividade; porém, ao responderem a quarta questão, classificando a série

como convergente ou divergente, grande parte deles analisou a convergência da sequência

do termo geral e não a da sequência das somas parciais, concluindo erroneamente sobre a

convergência da série. Ao realizarmos a análise dos dados dessa atividade percebemos que

deveríamos ter discutido com a turma as duas primeiras questões antes que eles iniciassem

a terceira, pois assim entenderiam melhor o objetivo da atividade e qual sequência deveria

ser considerada para analisar a convergência. Como já foi narrado na seção 4.2.2, cada uma

das séries foi discutida posteriormente nas aulas teóricas. Sendo assim, para analisar o

entendimento dos alunos sobre convergência e divergência de séries, analisaremos as

respostas dadas na primeira questão da atividade avaliativa de séries. Essa primeira questão

perguntava o que era uma série, o que era uma série convergente e o que era uma série

divergente. Nela é possível verificar que alguns alunos corporificaram o conceito de

convergência de séries por meio da convergência da sequência das somas parciais, como é

o caso da aluna A11, na figura 75.

Figura 75: Resposta da aluna A11 à questão 1.b da atividade avaliativa de séries

A aluna A11 expressou, por meio de linguagem oral, o que corporificou da

convergência de séries. Foi possível verificar a corporificação, pois a aluna utilizou

gráficos de pontos para exemplificar o seu entendimento. Entretanto, não foi possível

analisar a corporificação para todos os alunos, pois assim como o aluno A25 (figura 76),

5) Podemos chegar a alguma conclusão para a convergência da série?

150

que não participou da atividade exploratória, alguns outros explicaram a

convergência/divergência por meio da sistematização trabalhada posteriormente em sala.

Figura 76: Resposta do aluno A25 à questão 1.b da atividade avaliativa de séries

Consideramos que poucos alunos corporificaram o conceito de convergência da

série por meio da atividade exploratória. Porém, entendemos que a atividade tem potencial

para tratar do tema e que poucas alterações nos enunciados e na maneira de conduzi-la

podem levar a resultados positivos no que diz respeito à corporificação da convergência de

séries.

5.1.2 A convergência no mundo simbólico

Consideraremos que o aluno estará no mundo simbólico quando calcular o limite

do termo geral e conseguir interpretar o resultado final para dizer se a sequência converge

ou não. O valor L, resultado do cálculo do limite Lann

=∞→

lim (ou Lan → quando ∞→n )

pode ser entendido como um processo (o cálculo do limite) ou como um conceito (o valor

para o qual a sequência converge).

Não tínhamos a expectativa de que algum aluno chegasse ao mundo puramente

simbólico apenas com as atividades exploratórias de sequência. Portanto, para a análise,

consideraremos as repostas dadas pelos alunos nas atividades avaliativas.

Para a convergência de sequência buscamos verificar se os alunos souberam

calcular o limite do termo geral e se souberam interpretá-lo com base na corporificação

ocorrida durante as atividades e/ou na sistematização do conteúdo que ocorreu em aulas

posteriores às de laboratório. A título de exemplo utilizaremos a resposta dada pelo aluno

A25 (figura 77).

151

Figura 77: Resposta do aluno A25 sobre a convergência de três sequências na atividade avaliativa

Apesar de não ter demonstrado rigor na escrita do cálculo do limite, interpretamos

que o aluno A25 está no mundo simbólico, pois ele compreendeu que a convergência da

sequência está relacionada com o símbolo do limite e, além de calculá-lo, consegue

interpretar o resultado encontrado.

Contudo, a maior parte dos alunos não calculou corretamente o limite do termo

geral. Muitos aplicaram a regra de L’Hospital mesmo quando não havia indeterminação,

chegando a respostas incorretas, a exemplo do que escreveu o aluno A15, na figura 78.

Figura 78: Resposta do aluno A15 sobre a convergência de uma sequência na atividade avaliativa

Trazemos esse tipo de resposta por entendermos que alunos, assim como A15, que

interpretaram corretamente o resultado do limite possuem o conceito de convergência. No

entanto, o processo de cálculo do limite deve ser retomado para solucionar os problemas

tanto da escrita como da aplicação da regra de L’Hospital. Interpretamos que, apesar

desses problemas apontados, os alunos alcançaram em maior ou menor escala o mundo

simbólico, pois utilizaram o limite como um processo ao efetuarem o cálculo, e como um

conceito, ao analisarem o resultado final para inferir a convergência ou divergência.

152

Para avaliarmos se algum aluno alcançou o mundo simbólico para a convergência

da série, iremos analisar as questões 252, 3.a53 e 5.a54, da atividade avaliativa, pois estas

questões estão ligadas ao teste de divergência. Analisaremos somente este caso, pois foi o

único critério trabalhado de maneira corporificada nas atividades exploratórias.

Os dados nos levam a crer que alguns alunos chegaram ao mundo simbólico. Um

exemplo é o caso do aluno A01, que soube interpretar que a série é divergente quando o

limite do termo geral é diferente de zero. Consideramos que esse aluno primeiro passou

pelo mundo corporificado, uma vez que, ao resolver a questão 5.a, fez o cálculo do limite

do termo geral, mas também calculou alguns valores para o termo geral e construiu um

gráfico de pontos, mostrando que a sequência do termo geral não tende a zero (figura 79).

Figura 79: Resposta do aluno A01 à questão 5.a da atividade avaliativa de séries

Outro exemplo de aluno que se encontra no mundo simbólico é o A25. Como foi

dito anteriormente, ele não participou da atividade exploratória de séries. Apesar disso,

demonstrou ter entendido o critério da divergência e soube aplicá-lo para concluir sobre a

divergência da série. Ainda mostrou conhecer que esse critério não garante a convergência

da série. Na figura 80, temos a resolução do aluno A25 da questão 2.b e da questão 3.a.

52 Questão 02: Seja

13

2

+=

n

nan

.

a) Determine se {an} é convergente. b) Determine se ∑∞

=1nna é convergente.

53 Questão 03: Classifique as sentenças a seguir como verdadeira ou falsa. Justifique.

a) ( ) Dada a série ∑∞

=1nna , se 0lim =

∞→n

na então a série é convergente.

54 Questão 05: Determine se as séries convergem ou divergem: a) ∑∞

= +12

2

45n n

n

153

Figura 80: Resposta do aluno A25 às questões 2.b e 3.a da atividade avaliativa de séries

Observamos que cada um dos três mundos pode operar individualmente e, por

isso, casos como o do aluno A25 acontecem, principalmente nas aulas de Cálculo

ministradas de modo tradicional. Apesar de alguns alunos, como o caso de A25,

manifestarem compreensão de conceitos trabalhados apenas de modo simbólico, isso nem

sempre acontece para a maioria dos alunos. Os resultados obtidos nessa pesquisa nos

levam a crer que atividades visando à corporificação podem contribuir para atribuição de

significado aos conceitos trabalhados e podem facilitar a inserção no mundo formal.

5.1.3 A convergência de sequências na base do mundo formal

Pelo esquema de Tall, apresentado na figura 08, na intersecção entre os mundos,

que chamamos de base do mundo formal, as definições e deduções de propriedades são

feitas com base em experiências corporificadas e simbólicas. Assim, tomando como

referência as experiências de visualização gráfica e numérica, que entendemos como

corporificação da convergência, e também as simbologias utilizadas, procuramos

identificar quais propriedades foram possíveis de se deduzir. Identificamos como

possibilidade as propriedades relativas às distâncias entre os pontos e o possível ponto para

o qual a sequência converge e também as relativas às distâncias entre os pontos da

sequência (ou diferenças entre termos). Com base nessas propriedades temos duas

interpretações possíveis para a convergência de sequências na base do mundo formal. No

primeiro caso, consideraremos que o aluno estará na base do mundo formal quando

observar que as diferenças entre os termos da sequência e o possível valor de convergência

estão diminuindo para as sequências convergentes ou que não existe um valor para o qual a

sequência converge e concluir que ela é divergente. No segundo caso, consideraremos que

o aluno estará na base do mundo formal quando observar que as diferenças entre os

154

termos da sequência deverão diminuir para que ela seja convergente ou que as diferenças

deverão aumentar ou tenderem a um valor constante e diferente de zero, para que ela seja

divergente. Em ambos os casos o aluno também deverá ser capaz de expressar

simbolicamente o que foi deduzido.

Não aplicamos qualquer atividade que se relacionasse com a primeira

interpretação, pois, ao as elaborarmos, achamos que teríamos que indicar o valor para o

qual a sequência convergiria para poder observar as diferenças e, dessa forma, estaríamos

direcionando demais a atividade. Não vimos outra possibilidade naquele momento.

Entretanto, depois que as atividades já haviam sido aplicadas, percebemos que poderíamos

fazer o aluno conjecturar um possível valor para o qual a sequência poderia convergir,

inclusive colocando situações em que a conclusão sobre o valor de convergência não fosse

imediata, como por exemplo, a sequência de termo geral n

nan 5

20+= . Em seguida,

poderíamos pedir o cálculo das diferenças entre os termos da sequência e o valor por eles

conjecturado. Consideramos que esse caminho seria interessante para condução das

atividades exploratórias uma vez que, além de possibilitar a corporificação do conceito,

facilitaria a transição para o mundo simbólico e a definição da convergência pelo limite do

termo geral quando n tende a infinito. A percepção de que as diferenças entre os termos da

sequência e o possível ponto de convergência diminuem seria uma raiz cognitiva para a

expansão teórica posterior, nesse caso por meio limite do termo geral. Com base nessas

experiências corporificadas seria possível que alguns alunos chegassem à base do mundo

formal, conforme a primeira interpretação acima indicada.

Vamos discutir o segundo caso tendo como base a sequência de termo geral

nan

5=

trabalhada na atividade 04. Como descrito anteriormente, vários alunos

observaram que as diferenças entre os termos diminuíam à medida que n aumentava. Nas

palavras de uma dupla de alunos: “À medida que o valor de n aumenta, os pontos na vão

ficando mais próximos um do outro, (a diferença entre eles é cada vez menor!)”. No

entanto, até aquele momento, não havia sido dito o que eram sequências convergentes.

Dessa forma, não se pode dizer que essa seja uma propriedade deduzida para as sequências

convergentes, de modo geral. No entanto, foi uma propriedade deduzida para uma

sequência em particular (a sequência de termo geral n

an

5= ), com base na experiência

corporificada de representar os termos da sequência como pontos de uma reta (ponto

155

Q(0, na )). Ainda, a frase da dupla expressa, embora não de maneira totalmente simbólica,

aquilo que foi deduzido. Interessante observar que essa dupla, além de perceber a

propriedade, estabeleceu a relação entre distância de pontos (nas representações gráficas) e

diferença de valores (na representação numérica da planilha), o que evidencia a

compreensão das representações utilizadas. Vemos nessas percepções e expressões dos

alunos indícios de que é possível chegar à base do mundo formal a partir das experiências

corporificadas como as realizadas na atividade 04. Uma forma de fazer isso seria, após a

sistematização dos conceitos com base nas atividades exploratórias, apresentar outros

exemplos de sequências convergentes e divergentes, pedir as representações de seus termos

como pontos de uma reta e perguntar o que eles observam com relação aos termos das

sequências convergentes e o que observam com relação aos termos das sequências

divergentes.

Ressaltamos que na atividade 0855 tentamos trabalhar as distâncias entre pontos

consecutivos da sequência. A percepção de que nas sequências convergentes as diferenças

entre os termos da sequência diminuem seria uma raiz cognitiva para a expansão teórica

posterior, nesse caso por meio do Critério de Cauchy. Importante destacar que o fato dos

pontos das sequências convergentes se tornarem cada vez mais próximos, a medida que o

número de termos aumenta, foi percebido por alguns alunos nas primeiras atividades

exploratórias, mesmo antes de pedirmos para observarem as distâncias. Isso reforça a

possibilidade dessa experiência corporificada ser raiz cognitiva para expansões teóricas

futuras. No caso específico da atividade 08 ao viabilizar a atividade com o GeoGebra, de

certo modo caminhamos na direção da formalização, uma vez que essas distâncias entre os

pontos foram expressas como o valor absoluto das diferenças entre os termos. Embora

sendo um caso particular, uma vez que solicitou a observação das distâncias entre termos

consecutivos, entendemos que essa atividade poderia lançar bases para exploração futura

do critério de Cauchy. É claro que para o uso do critério deveriam ser consideradas as

diferenças entre termos quaisquer da sequência, a partir de um determinado termo e isso

seria difícil de trabalhar de maneira corporificada utilizando software.

Como já dissemos na seção 4.2.2, apenas três duplas começaram a atividade 08.

Essa atividade foi retomada nas aulas teóricas. Nesse desenvolvimento, feito de forma

teórica pela professora, a representação de distâncias entre pontos como valor absoluto das

55 Nesta atividade trabalharíamos a diferença entre os termos consecutivos de três sequências para tentar fazer o aluno inferir que nas sequências convergentes essas diferenças tenderiam a zero, e que nas sequências divergentes as diferenças tenderiam a um valor constante diferente de zero ou aumentariam.

156

diferenças dos valores numéricos correspondentes, explorada com uso do GeoGebra, foi

utilizada como base para trabalhar a convergência a partir do limite. Retomando aquilo que

era possível ver e calcular com os recursos do GeoGebra, primeiramente a professora

trabalhou a distância entre dois pontos, em seguida a distância entre vários pontos e o

possível valor de convergência e por fim a distância entre qualquer ponto da sequência e o

possível valor de convergência. Isso foi feito como uma tentativa de levar os alunos a

fazerem a passagem do mundo simbólico para a base do mundo formal e também para

ocorrer uma relação entre o que foi trabalhado nas atividades exploratórias com uso do

software e a definição formal apresentada nos livros de Cálculo, indicados para a

disciplina. Reconhecemos que isso de certa forma pode contrariar o que indicamos como

nossas expectativas para o Cálculo, de não ter que necessariamente atingir o mundo

formal. No entanto entendemos que é difícil conciliar atividades diferenciadas, como as

que realizamos, com a estrutura formal dos cursos, calcada em princípios da chamada aula

tradicional que tem como base de apoio o livro didático. Tendo essas atividades sido feitas

pela professora, quase que de forma expositiva, com poucas ações efetivas dos alunos, não

foram conseguidos bons resultados. Chegamos a tal conclusão ao observar que na questão

5 da atividade avaliativa de sequência nenhum aluno conseguiu perceber que dizer que

“para cada ε > 0, existe um inteiro correspondente N tal que se n > N então ε<−+

113

3

n

n ” é

o mesmo que dizer que a sequência de termo geral 13

3

+=

n

nan converge para um, ou

mesmo reescrever a expressão utilizando limite. Na resposta do aluno A29 (figura 81),

vemos que ele tem a noção de que se trata de limite, mas não sabe como reescrevê-la.

Vemos também que ele compreende que a sequência tende a um, mas não expressa

corretamente qual é a sequência que tende a um.

Figura 81: Resposta do aluno A29 sobre a definição formal da convergência de sequência na

atividade avaliativa

157

Alguns alunos conseguiram expressar seu entendimento sobre as abordagens

teóricas realizadas em aula. É o caso da aluna A02 (figura 82), que utilizou um exemplo

discutido em sala para tentar explicar o que ela entendeu sobre a definição formal

apresentada na avaliação.

Figura 82: Resposta da aluna A02 sobre a definição formal da convergência de sequência na

atividade avaliativa

Trazemos ainda a resposta do aluno A13 (figura 83) sobre a divergência de uma

sequência na atividade avaliativa. Esse aluno foi um dos seis que iniciou a atividade 08.

Figura 83: Resposta do aluno A13 sobre a divergência de uma sequência na atividade avaliativa

Por mais que o aluno A13 tenha feito o cálculo apenas para três valores

consecutivos e não tenha utilizado de rigor para a conclusão final, ele observou que, como

a diferença entre os termos consecutivos estava aumentando, a sequência era divergente.

Posteriormente poderíamos levar esse aluno a pensar se a utilização de apenas alguns

termos da sequência seria suficiente para garantir a conclusão a que ele chegou.

Poderíamos utilizar um contra exemplo em que a diferença entre os primeiros termos dá a

entender que a sequência é divergente, mas que ela na verdade é convergente. Entendemos

que a atividade 08, se trabalhada após as sistematizações das atividades anteriores, tem

grande potencial de fazer o aluno chegar à base do mundo formal.

158

5.1.4 Convergência de séries na base do mundo formal

Tomando como referência o esquema de Tall, apresentado na figura 08, as

experiências de visualização gráfica e numérica, que entendemos como corporificação da

convergência, e também as representações simultâneas das sequências do termo geral e das

somas parciais das séries, procuramos identificar quais propriedades foram possíveis de

deduzir. Identificamos que o critério de divergência de séries seria uma possibilidade de

dedução a partir das experiências corporificadas acima citadas. Consideraremos que o

aluno estará na base do mundo formal ao chegar à conclusão de que é necessário que a

sequência do termo geral tenda a zero para a série ser convergente. Consideraremos que ele

estará com o desenvolvimento cognitivo da argumentação mais avançado dentro da base

do mundo formal caso ainda diga que essa condição é necessária, mas que não é suficiente

para garantir a convergência. Também estará na base do mundo formal o aluno que

observar que, se o limite do termo geral for diferente de zero, então a série será divergente.

De acordo com a caracterização acima, os dados da atividade exploratória de

séries indicam que a aluna A20 chegou a base mundo formal. Na seção 4.2.2 trouxemos

trechos da discussão da aluna A20 com o aluno A12 sobre a divergência da série

harmônica. Essa aluna, durante a atividade exploratória, intuiu que a séria harmônica seria

convergente; porém, ao aumentar os valores de n, percebeu que a série era divergente, mas

não concordava com os dados gerados no GeoGebra, por isso refez toda a construção para

ver se não tinha feito algum passo errado. O aluno A12 chamou a pesquisadora, pois, para

ele, a série tenderia a um, mas não foi isso que aconteceu. Acompanhemos a discussão

entre os alunos A20, A12 e a pesquisadora no excerto 8.

Aluno A12: Aqui... pra mim essa daqui ((falando da série harmônica)) tenderia a um e o an a zero.

Pesquisadora: Isso daí é uma coisa que você acha que iria acontecer.

Aluno A12: Sim...((risos)) só que não aconteceu nada disso.

Pesquisadora: Escreve isso pra mim.

Aluno A12: Ela tendeu para três ((achando estranho)).

Aluna A20: Eu já fiz até o cento e vinte.

Aluno A12: E ela continua andando, né!?

Aluna A20: Aqui eu estou vendo que está indo para zero ((referindo a sequência do termo

159

geral)), quanto mais eu vou, mais ela pra zero ele vai.

Pesquisadora: Isso é qual série? A um sobre n?

Aluna A20: O somatório tá toda vida crescendo. Ele vai crescer tão pouco?

Pesquisadora: E aí!? O que acontece com essa série?

Aluna A20: Mas ela pode divergir tão devagar assim?

Pesquisadora: Uai, qual o problema?

Aluno A12: É... aqui... o tanto de zero que apareceu no seu lá, apareceu no meu.

Aluna A20: Isso mesmo. Tá certo então que ela vai divergir?

Pesquisadora: Amanhã a gente vai ver porque ela diverge.

Aluna A20: Devagarzinho?

((A20 dá um suspiro de espanto de ter sido confirmado que a série diverge.))

Pesquisadora: Ela vai devagarzinho, mas ela vai para o infinito.

Aluna A20: Eu não sei responder aquilo dali não ((falando da questão 5)).

Aluno A12: Eu... não entendi nada!

Pesquisadora: Olha, quais são as que convergem?

Aluno A12: Eu não vi relação entre elas.

Aluna A20: Todas que o somatório vai tender a um número.

Pesquisadora: Sim, mas além disso, tem uma outra coisa. Se vocês não virem não tem problema, amanhã eu falo.

Aluna A20: an está tendendo a um?

Pesquisadora: Não me pergunta... se você não viu, não viu...

Aluna A20: Eu não vi.

Pesquisadora: Não tem problema.

((A pesquisadora se afasta para atender a outros alunos, portanto não dá para saber o que foi

discutido somente entre os dois alunos.))

Aluna A20: Pensamos uma coisa. Olha só! Aqui an tende a dar um número e o sn dá infinito, aí ela diverge. Aí o sn aqui deu um valor e o an deu zero, então ela converge. Aí a gente pensou, se o limite do an for diferente de zero a série vai divergir, mas aqui não está dando certo, aqui o an tem que...

Aluno A12: O an tem que ir para algum número.

Aluna A20: E ele está indo para zero.

Pesquisadora: Então escreve isso. Está quase certo, vocês chegaram muito, muito, muito perto. Já alcançaram a minha expectativa.

((A pesquisadora espera eles escreverem e lê o que A12 escreveu.))

Pesquisadora: Se an tende a zero, o sn é divergente... não foi isso que vocês me disseram. Não foi isso que você me disse aqui, agora.

Aluno A12: Se an...

Aluna A20: Se for diferente de zero...

160

Aluno A12: se o an tende a zero...

Aluna A20: é convergente.

Aluno A12: o sn é divergente...

Aluna A20: Não. Você não pode falar que o sn é convergente. Você tem que falar... que o an... não... que o sn... é convergente

Aluno A12: É convergente.

Aluna A20: Não... tem que falar que ele é diferente de zero... você não pode falar que ele é zero e converge, você tem que falar que ele é diferente de zero.

Aluno A12: Não... se ele for zero... converge. ((depois de uma pequena pausa)). Não, não é isso. Porque aqui deu errado, então se o an for diferente de zero é que a gente pode falar que ele diverge, caso contrário a gente não pode falar nada. Aqui deu errado.

Aluna A20: Pois é, aqui deu errado. Se ele der zero, a gente não pode falar nada.... Se ele der zero, aí tem que olhar as somas parciais. Se a soma parcial der infinito, aí ela diverge, se a soma parcial der algum número... se o an for zero, aí você olha as somas parciais, se a soma parcial for infinita ele vai divergir, se a soma parcial der algum número aí ele vai convergir.

Pesquisadora: Escreve isso pra mim.

Aluno A12: Nossa, agora foi difícil.

((Depois que a pesquisadora saiu de perto, os alunos continuaram a discutir como seria o

critério. O aluno A12 ainda se mostra confuso sobre a conclusão final, por isso a aluna A20

continua explicando a conclusão discutida anteriormente.)) ((A gravação não está totalmente

clara, mas é possível escutar que A20 continua tentando convencer A12 de que só há

conclusão quando a sequência do termo geral tende a um valor diferente de zero.))

Aluna A20: Olha aqui a conclusão, só para ver se está coerente. Se meu an tende a um... ele está chegando em um, igual você falou dos tracinhos ali. Então ele sempre vai estar somando nem que seja um tiquitito de nada, e vai para o infinito mas bem devagarinho.

Pesquisadora: Isso.

Aluna A20: Quando o meu an ele vai tender a zero, ele vai para um número, mas vai dar um número muito pequeno, dependendo dessa série aqui, mas ele vai para alguma coisa, o somatório de tudo uma hora ele vai chegar a esse número daqui. Igual você falou do 0,99999.. é um. Eu vou te entregar a atividade e você me fala o que é?

((Depois que a aluna A20 entrega a atividade a pesquisadora lhe explica o teste da

divergência e que de fato o limite tender a zero é uma condição necessária para a série ser

convergente mas não suficiente. A aluna fica feliz em saber que chegou à conclusão

correta.))

Excerto 8 – Transcrição da atividade de séries

Novamente trazemos as figuras 62 e 63, com a resposta dos alunos A12 e A20,

respectivamente.

161

Figura 62: Conclusão do aluno A12 sobre a convergência de séries

Figura 63: Conclusão da aluna A20 sobre a convergência de séries

Para nós, a aluna A20 chegou à base do mundo formal, pois foi capaz de deduzir

uma propriedade com base no que foi corporificado. Esse aprendizado passa a ter raízes

profundas no conhecimento e leva a aluna a discutir a questão 3.a da atividade avaliativa

de séries (figura 84) que a condição é necessária, mas não suficiente. Já para o aluno A12

faltou apenas discutir mais tranquilamente as deduções que fez, para que conseguisse

simbolizá-las de maneira correta e chegasse à base do mundo formal.

Figura 84: Resposta da aluna A20 à questão 3.a da atividade avaliativa de séries

Inferimos que nos demais casos não aconteceu a passagem para a base do mundo

formal e que um dos motivos foram falhas na atividade exploratória de séries, por isso

sugerimos que, após a questão 4, sejam acrescentadas perguntas para selecionar as séries

que são convergentes e propostas ao aluno para que verifique uma possível relação entre

elas e da mesma forma sugerimos para as séries divergentes.

Por fim, concluímos que as atividades baseadas na corporificação podem

promover a transição para o mundo simbólico, chegando até a base do mundo formal.

Infelizmente nem todos os alunos passaram por alguma transição entre os mundos, mas, de

acordo com Tall (2004, p. 4), os indivíduos percorrem diferentes caminhos através dos

mundos em seus conhecimentos matemáticos individuais, com isso “ocorrem vários

162

obstáculos no caminho que exigem ideias anteriores para serem reconsideradas e

construídas, de modo que a viagem não é a mesma para cada viajante”56.

5.2 Passagem do pensamento matemático elementar para o avançado

Para este eixo de análise usaremos as caracterizações descritas por Dreyfus (1991)

para o pensamento matemático avançado. Esse autor considera o pensamento matemático

avançado como um processo que consiste em uma grande variedade de componentes que

podem ser vistos como processos de aprendizagem que interagem entre si, como

representar, visualizar, classificar, conjecturar, induzir, analisar, sintetizar, generalizar,

abstrair ou formalizar. Com relação à passagem do pensamento matemático elementar para

o avançado, Dreyfus (1991, p. 26) descreve que é possível passar de um nível para o outro

por meio de representação e abstração.

Nossas atividades foram desenvolvidas de forma a permitir ao aluno participar do

processo de desenvolvimento dos conceitos matemáticos de convergência de sequências e

de convergência de séries. A convergência seria o conceito a ser abstraído. Para tanto,

procuramos criar condições para que os alunos tivessem contato com variadas situações

matemáticas que possibilitassem diferentes representações mentais do conceito, de forma

que essas representações se complementassem e se integrassem, permitido a abstração do

conceito.

Para as sequências, trabalhamos as representações em três manifestações: como

conjunto ordenado de números com uma lei de formação; como imagem de uma função de

domínio discreto e como conjunto de pontos sobre uma reta. Utilizando os recursos do

GeoGebra, exploramos sequências convergentes empregando essas diferentes

representações. Em cada situação, procuramos levar os alunos a observarem as

características da sequência, aumentando o número de termos. Buscamos, também,

estimular os processos de aprendizagem anteriormente mencionados.

Para análise, usaremos os dados da atividade 4, na qual foi trabalhada a sequência

convergente de termo geral .

56 Tradução nossa para: “various obstacles occur on the way that require earlier ideas to be reconsidered and reconstructed, so that the journey is not the same for each traveller”.

nan

5=

163

A tela apresentada na figura 14 (página 95) exemplifica as representações

exploradas na atividade: ponto P(n, an) e ponto Q(0, an). A planilha apresenta os valores

numéricos dos termos da sequência, obtidos pelas ordenadas de P ou de Q. Trabalhando inicialmente com a representação do ponto P, solicitamos que os

alunos aumentassem o valor de n e observassem o que acontecia com os valores numéricos

dos termos da sequência e com a posição do ponto P no plano cartesiano. Nas figuras 85,

86 e 87 temos exemplos de algumas das respostas dos alunos a essas perguntas.

Figura 85: Resposta dos alunos A15 e A25 ao item 4.1.a da atividade 04

Figura 86: Resposta dos alunos A09 e A16 ao item 4.1.a da atividade 04

Figura 87: Resposta dos alunos A02, A08 e A17 ao item 4.1.b da atividade 04

Os dados indicam que os alunos conseguiram representar os termos da sequência

dada, visualizar as características da sequência a partir das representações e conjecturar

sobre o comportamento para um número muito grande de termos, provavelmente

construindo representações mentais de sequências convergentes. É o que nos leva a crer a

resposta dos alunos A03 e A04 (figura 88) para a pergunta: “É possível prever o que

acontecerá com o valor do termo da sequência quando o n (posição do termo) for muito

grande? Explique.”

Figura 88: Resposta dos alunos A03 e A04 ao item 4.1.c da atividade 04

A representação mental da convergência construída nesse caso seria a de que os

termos de uma sequência convergente vão se aproximando cada vez mais de um valor fixo

na

164

à medida que n aumenta, o que remete ao conceito de limite. No exemplo em questão, esse

valor seria zero. Outras sequências convergindo para valores diferentes também foram

trabalhadas.

De acordo com Dreyfus (1991), o processo de abstração é o mais importante para

se alcançar o pensamento matemático avançado e, para que a pessoa seja bem sucedida em

Matemática, é desejável que ela tenha ricas representações mentais. As representações são

consideradas ricas quando possuem muitos aspectos ligados ao conceito. Ao solicitarmos

aos alunos que trabalhassem com as diferentes representações de sequência, pretendíamos

que desenvolvessem essas ricas representações mentais e pudessem abstrair com base na

integração entre elas, tornando-se “donos” do conceito de convergência,

independentemente da maneira com que a sequência estivesse representada.

Dreyfus (1991) diz que os processos de representação e abstração são

complementares e estão diretamente envolvidos com os processos de aprendizagem.

Define quatro fases dos processos de aprendizagem, a saber:

• usar uma representação única;

• usar mais de uma representação em paralelo;

• fazer ligações entre as representações paralelas e

• representações integradas e troca flexível entre elas (DREYFUS, 1991, p. 39).

Para possibilitar a passagem pela primeira fase (usar uma representação única),

iniciamos com as atividades que representavam a sequência como um conjunto numérico

que possui uma ordem e uma lei de formação.

Para a segunda fase (usar mais de uma representação em paralelo) utilizamos o

GeoGebra, que nos permitiu apresentar a sequência em quatro diferentes tipos de

representação: na planilha, representação da sequência na forma numérica; na janela

algébrica, aparecia apenas um termo por vez, mas possibilitava ver cada termo da

sequência como um par ordenado no qual o valor da abscissa era o valor da posição do

termo e o valor da ordenada era o valor do termo da sequência; e na janela gráfica, que

permitiu a visualização gráfica da sequência de duas maneiras, sendo a primeira a

representação como pontos de uma função discreta e, em seguida, como pontos sobre uma

reta.

Para a terceira fase (fazer ligações entre as representações paralelas), tentamos,

por meio das perguntas sobre as representações dos dados no GeoGebra, estimular os

165

alunos a estabelecerem relações entre as diferentes representações. É o caso da pergunta:

“O que acontece com a posição do ponto P no plano cartesiano? E com os valores de

representados na coluna B da planilha?”. A resposta dos alunos A02, A08 e A17,

apresentada na figura 87, nos indica que a relação entre essas duas representações foi

estabelecida. Outro exemplo é a resposta das alunas A07 e A20 apresentada na figura 37,

na página 111.

A outra representação, como pontos sobre uma reta, foi explorada por meio das

representações do ponto Q(0, an). Escolhemos representar os pontos da sequência sobre o

eixo y pois entendemos que essa forma facilitaria o estabelecimento da relação entre essa

representação e a da função de domínio discreto, caracterizada pelo ponto P(n, an). Dreyfus

(1991, p. 32) nos alerta que diferentes representações mentais podem entrar em conflito.

Entendemos que a representação dos pontos no eixo x, que aparece em alguns livros

didáticos, como Stewart (2009), poderia gerar conflito. A imagem da figura 89, com a

representação dos pontos no eixo x, ilustra este parágrafo.

Figura 89: Representação da sequência

nan

5= , com n variando de 1 até 15, como uma função discreta e

como pontos sobre o eixo dos x’s Fonte: Elaborada pela autora.

Perceber que a sequência converge para zero pela representação do ponto P é

percorrer as representações do ponto no sentido crescente do eixo x. Já perceber a

convergência pela representação do ponto R é percorrer as representações no mesmo eixo x

em sentido contrário, uma vez que a sequência é decrescente. As imagens podem entrar em

nan5=

166

conflito, ficando difícil perceber a relação entre elas. Esse conflito é evitado fazendo a

representação dos pontos no eixo y, através do ponto Q. Pelas imagens nessa forma de

representação, é possível ver que, para cada n, os pontos P e Q estão na mesma altura. As

alturas são, na verdade, os valores dos termos da sequência, uma vez que tanto para o

ponto P como para Q a ordenada é an. As respostas à questão: “Você percebe alguma

relação entre os pontos P e Q? Explique.” nos indicam que essa relação foi percebida pelos

alunos. Para exemplificar, trazemos as respostas da aluna A14 (figura 90) e dos alunos A15

e A25 (figura 68).

Figura 90: Resposta da aluna A14 para a questão 4.2.a da atividade 04

Figura 68: Resposta dos alunos A15 e A25 para a questão 4.2.a da atividade 04

Essa última resposta é a expressão da compreensão possível a partir das

observações, reflexões e diálogo estabelecido entre os alunos A15 e A25 sobre a relação

entre os pontos P e Q, apresentada na íntegra na seção 5.1.1: “Então, olhar esse aqui é

igual olhar esse daqui”. Após essa conclusão, para responder perguntas sobre as

atividades, os alunos passaram sempre a analisar as duas representações gráficas.

Entendemos que esses alunos alcançaram a terceira fase dos processos de aprendizagem,

ou seja, eles representaram, visualizaram, analisaram, deduziram e passaram a ter uma

forte ligação entre as diferentes representações de uma sequência.

Outros alunos também mostraram ter conseguido estabelecer essa ligação entre

representações, característica da terceira fase do processo de aprendizagem. É o que nos

indica a resposta dos alunos A03 e A04 à pergunta: “O que está acontecendo com a

posição do ponto Q no eixo vertical?”, apresentada na figura 91.

Figura 91: Resposta dos alunos A03 e A04 para a questão 4.2.b da atividade 04

167

A resposta dessa dupla sobre o ponto Q, fazendo referência ao ponto P sem que

isso tenha sido pergundado, pode ser um indício de que esses alunos tenham chegado à

quarta fase do processo de aprendizagem (Dreyfus, 1991, p. 39), na qual as representações

são integradas, havendo troca flexível entre elas.

A representação da sequência como pontos de uma reta (ponto Q) favoreceu outra

possível representação mental de convergência, identificada na resposta dos alunos A15 e

A25 (figura 41, página 113): a de que os pontos de uma sequência convergente se

aproximam cada vez mais uns dos outros à medida que o número de termos aumenta.

Vemos em tal resposta a integração entre representações e a troca flexível entre elas,

característica da quarta fase do processo de aprendizagem. Estimulamos os alunos a

promoverem essa integração e a abstrair a convergência. Ao final da atividade, as seguintes

questões foram colocadas: “Com base em suas observações e respostas aos itens anteriores,

o que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que

acontece com o valor de an quando n assume valores cada vez maiores?”. A figura 92

exemplifica as respostas obtidas:

Figura 92: Resposta dos alunos A03 e A04 para a questão 4.2.c da atividade 04

Por meio das atividades que se seguiram à atividade 04 e que apresentaram

outros exemplos de sequências convergentes e divergentes, estimulamos os alunos a

observarem as diferentes representações e conjecturarem a respeito das características de

cada uma das sequências apresentadas. Embora não tenha sido feita, acreditamos que

uma atividade que comparasse várias sequências convergentes e várias sequências

divergentes estimularia a criação de imagens mentais de sequências convergentes e

divergentes, favorecendo a generalização e a abstração do conceito de convergência.

Destacamos a atividade 08, que objetivava relacionar as representações gráfica e

numérica. Ela teve por expectativa fazer o aluno alcançar a ideia abstrata de que uma

sequência só será convergente se os seus termos se tornarem cada vez mais próximos uns

dos outros, ou que ela será divergente se a diferença entre os termos consecutivos aumentar

168

ou tender a se tornar constante para valores diferentes de zero (caso das sequências

alternadas).

Nas atividades de séries, os processos componentes do pensamento matemático

avançado, descritos por Dreyfus (1991) também se mostraram presentes. Inicialmente, foi

considerada a série de termo geral e construídas as sequências formadas pelo

termo geral e pelas somas parciais usando a planilha, sendo solicitada a observação do

comportamento dessas duas sequências. Em seguida, pedimos a construção dos gráficos

das duas sequências, a análise do comportamento dos termos delas e, por fim, uma

comparação entre os dois resultados. Nas figuras 93 e 74 (apresentada em 5.1.1 e que

trazemos novamente), podemos observar que a atividade permitiu ao aluno representar as

sequências de duas maneiras, visualizar o comportamento delas, comparar as

representações, classificar e analisar a convergência da série.

Figura 93: Resposta do aluno A01 à questão 2 da atividade de séries

Figura 74: Resposta do aluno A29 à questão 2 da atividade de séries

Percebemos que, ao perguntar na questão dois se a conclusão a que os alunos

chegaram observando o gráfico era coerente com a resposta dada considerando as

informações da planilha, eles alcançaram a terceira fase: fizeram a ligação entre diferentes

representações. Para ilustrar, chamamos a atenção à resposta dada pelo aluno A01 na

figura 93 e trazemos também a resposta da aluna A14 na figura 94.

12

1−

=nna

169

Figura 94: Resposta da aluna A14 à questão 2 da atividade de séries

Na resposta dada pelo aluno A24 (figura 95) sobre o comportamento da série

, também é possível perceber os processos da aprendizagem descritos

anteriormente; neste caso, para uma série divergente.

Figura 95: Resposta do aluno A24 à questão 3.a da atividade de séries

Entendemos que a maior parte dos alunos conseguiu fazer ligações entre as

diferentes representações, tanto no caso das séries convergentes quanto no das séries

divergentes.

Na discussão descrita no excerto 8, página 158 (na qual os alunos dialogam sobre

a divergência da série harmônica), temos indícios de que os alunos passaram pelos

processos de: analisar quais séries eram convergentes e quais eram divergentes;

generalizar, ao dizerem que se a sequência do termo geral tender a um valor diferente de

zero a série é divergente; e sintetizar, ao utilizar das representações mentais e verbal para

expressar o entendimento. Dessa forma, inferimos que as relações e as propriedades

comuns permaneceram para formar o conceito abstrato; neste caso, a divergência da série,

levando tais alunos à quarta fase.

Interpretamos que a aluna A20 ainda passou pelo processo de abstração ao

enunciar o que podemos considerar como o critério de divergência e, além disso, escrever

uma condição para a convergência da série, que é a sequência do termo geral tender a zero,

como vimos na figura 63.

∑+2

2 1

n

n

170

Figura 63: Conclusão da aluna A20 sobre a convergência de séries

Para nós, a aluna A20 passou do pensamento matemático elementar para o

avançado. Observamos que o aluno A12 também passou por quase todos os processos que

a aluna A20, porém, não conseguiu a abstração.

Percebemos que as atividades de sequências e de séries possibilitaram que muitos

alunos passassem por vários processos de aprendizagem que compõem o pensamento

matemático avançado, como representar, visualizar, conjecturar, classificar, entre outros.

Acreditamos que, se forem feitas alterações como algumas das sugeridas ao longo deste

capítulo para as atividades, mais alunos poderão alcançar os processos de generalização e

abstração.

Finalizamos esta análise retomando um dos nossos objetivos de pesquisa:

“investigar se as atividades que visavam propiciar transições entre os mundos

corporificado e simbólico puderam contribuir para a construção de uma base para o mundo

formal, favorecendo a transição do pensamento matemático elementar para o avançado”. A

forma como esse objetivo foi redigido deixa evidente nossa percepção de como os dois

eixos considerados nesta análise se mostram interligados. No primeiro deles, em que

analisamos a corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a

proceitualização e a axiomatização, estamos olhando para um processo: o de construção de

uma base para o mundo formal por meio das transições entre os Três Mundos da

Matemática. No segundo deles, em que analisamos a transição do pensamento matemático

elementar para o avançado, também estamos olhando para um processo: o de construção

do pensamento matemático avançado. Mais do que compreender cada um desses processos

separadamente, buscamos também entender se o primeiro favorece o segundo, ou seja, se

as transições entre os Três Mundos da Matemática favorecem a transição do pensamento

matemático elementar para o avançado.

Como já discutido em outros momentos nessa dissertação, Dreyfus (1991)

considera o pensamento matemático avançado como um processo que consiste em uma

grande variedade de componentes que interagem entre si. Estes são, segundo Dreyfus

(1991), necessários para a transição do pensamento matemático elementar para o avançado

e, de certa forma, a caracterizam. Podemos considerá-los como indícios da transição.

171

É possível identificar a presença desses processos nos Três Mundos da

Matemática. Pode-se dizer que o primeiro deles, o de representar, aparece com diferentes

enfoques em todos os três mundos. No mundo corporificado buscamos “dar corpo” aos

objetos matemáticos e para tanto construímos representações desses objetos. Na

corporificação se fazem presentes os processos de representar, visualizar, classificar e

conjecturar. Com base em experiências corporificadas podemos buscar estabelecer relações

entre diferentes representações, construindo representações simbólicas e mentais dos

objetos matemáticos, que se mostram presentes no mundo simbólico. Encontramos aí

processos como os de sistematizar e analisar. As variadas representações e a troca flexível

entre elas podem favorecer a percepção de propriedades e relações entre os objetos

matemáticos levando à construção de estruturas mentais e decorrente abstração,

caracterizando assim o pensamento matemático avançado. Alcançar o pensamento

matemático avançado está, no nosso entendimento, próximo ao que Tall (2007) caracteriza

com alto desenvolvimento cognitivo da argumentação, chegando ao mundo formal.

Identificamos neste mundo e também na sua intersecção com o mundo corporificado e

simbólico (que chamamos de base do mundo formal) os processos de generalização e

sintetização, que Dreyfus (1991) aponta como pré-requisitos para a abstração.

Pelo exposto são visíveis as relações entre os dois quadros teóricos e,

consequentemente, as intersecções entre os dois eixos considerados na análise. Nos dados

apresentados, muitas vezes encontramos respostas de alunos que são representativas de

aspectos de ambos os eixos considerados. Percebemos também que os dados que dão

indícios da transição entre os mundos também dão indícios da transição entre o

pensamento matemático elementar e o avançado, o que nos leva a crer que a transição entre

os Três Mundos da Matemática favoreceu a transição do pensamento matemático

elementar para o avançado.

172

173

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Esta pesquisa está inserida no grande campo de pesquisas sobre as dificuldades de

ensino e aprendizagem do Cálculo. O interesse por esse assunto se deu por nossas

inquietações como discente e docente, mais especificamente, o interesse surgiu das nossas

dúvidas sobre o ensino e a aprendizagem de convergência de sequências e séries

numéricas.

Buscamos mostrar, no capítulo 1, a importância das sequências e das séries

numéricas no desenvolvimento do Cálculo e também a importância do Cálculo nos cursos

de graduação, as dificuldades encontradas no seu ensino e aprendizagem, bem como

algumas propostas de aprimoramento desses processos.

Interessadas em tornar os alunos agentes no processo de aprendizagem da

convergência de sequências e séries, buscamos referenciais que nos apoiassem na

construção de uma proposta pedagógica. Deparamo-nos com dois importantes quadros

teóricos: o Pensamento Matemático Avançado e os Três Mundos da Matemática. Nossos

estudos sobre esses dois quadros teóricos foram apresentados no capítulo 2.

Vimos que o Pensamento Matemático Avançado, segundo Dreyfus (1991),

consiste em vários processos de aprendizagem que interagem entre si, como os processos

de representar, visualizar, classificar, conjecturar, analisar, sintetizar, generalizar, abstrair,

entre outros. Também vimos que a distinção entre o pensamento matemático elementar e o

pensamento matemático avançado está na complexidade do conceito matemático e na

forma como ele é tratado.

No quadro teórico dos Três Mundos da Matemática de Tall (2002, 2004, 2007 e

2008), como o próprio nome antecipa, o desenvolvimento cognitivo da Matemática está

dividido em três mundos. O primeiro é o mundo corporificado, que está fundamentado na

percepção e na ação. O segundo mundo é o simbólico, em que as ações e os conceitos são

transformados em símbolos matemáticos sobre os quais podemos agir. O terceiro mundo é

o formal, no qual as teorias são construídas com base em axiomas e definições formais.

Apoiadas nos dois quadros teóricos, desenvolvemos atividades exploratórias com

o objetivo de propiciar ao aluno a corporificação do conceito de convergência e também

proporcionar a passagem pelo mundo simbólico visando a alcançar o que chamamos de

base do mundo formal. A transição entre os três mundos, para nós, também proporcionaria

174

a transição entre o pensamento matemático elementar e o avançado, caso o aluno atingisse

a base do mundo formal.

Retomamos pela última vez a questão de investigação – que contribuições uma

proposta pedagógica baseada na corporificação de conceitos pode trazer para a formação

do conceito de convergência de sequências e séries em uma turma de Cálculo? – que nos

orientou no desenvolvimento da pesquisa, para fazermos algumas considerações a respeito.

A resposta para essa questão de investigação constitui-se em um conjunto de

fatores e ferramentas, que pode contribuir para o ensino e a aprendizagem do conceito de

convergência tanto de sequências quanto de séries.

Uma ferramenta utilizada nesta pesquisa, que influenciou a construção das

atividades e contribuiu significativamente para a corporificação dos conceitos e para a

exploração dos mesmos a partir de diferentes representações, foi o software GeoGebra.

Entendemos que os recursos do software GeoGebra utilizados nas atividades

tiveram influência decisiva no processo de corporificação do conceito de convergência e

nos processos de visualização que contribuíram para a formação desse conceito. Esse

software possibilitou aos alunos a visualização da sequência como gráfico de uma função

de domínio discreto, como conjunto de pontos sobre uma reta e como sequência de valores

numéricos. Sabemos que os livros didáticos, que tratam dos conceitos de convergência de

sequências e séries numéricas, também mostram as diferentes representações de uma

sequência, mas não é clara a relação existente entre elas. Já o GeoGebra possibilitou

trabalhar com essas três representações de maneira integrada; ou seja, ao fazer a

modificação em uma das representações, essa mesma modificação ocorre simultaneamente

nas demais representações, bem como a visualização de que a sequência como pontos

sobre uma reta é a projeção das imagens dos pontos da sequência como uma função

discreta sobre um eixo.

Além da integração entre as diferentes representações, o GeoGebra também

possibilitou a exploração do conceito do ponto de vista dinâmico, da sequência em

construção. Os recursos do software possibilitaram aos alunos manipular, experimentar e

formular conjecturas sobre o comportamento das sequências e das somas parciais de uma

série. Essas conjecturas eram verificadas pelo aluno ao aumentar a quantidade de termos da

sequência, redefinindo o valor máximo do controle deslizante. Quando essa prova não

ficava clara para algum dos alunos ou quando havia dúvidas sobre as conjecturas, iniciava-

se uma discussão entre os alunos que formavam a dupla, de forma que cada um

desenvolvia melhor sua argumentação para convencer o outro a respeito do que havia

175

observado. No capítulo 5 temos alguns exemplos de fatos como esses, mas o que mais nos

chamou a atenção foi a discussão entre os alunos A05 e A12 sobre a convergência da

sequência de termo geral n

an

5= , em que o aluno A05 tentava convencer a aluna A12 de

que a sequência nunca poderia assumir o valor nulo. Para mostrar que sua argumentação

era verdadeira, primeiramente o aluno aumentou o número de termos da sequência; em

seguida, aumentou o número de casas decimais e alargou a coluna em que os valores

estavam apresentados para que a aluna A12 pudesse ver que os termos apresentados na

planilha do GeoGebra eram diferentes de zero. Por fim, para chegarem a uma resposta,

esses alunos observaram na forma algébrica que nenhum termo da sequência poderia ser

igual a zero, pois o numerador era sempre diferente de zero, chegando à conclusão de que a

sequência tendia a zero.

Os resultados apresentados pelo GeoGebra permitiram aos alunos analisar e

discutir os valores que os termos da sequência podem, ou não, assumir, como vimos

anteriormente. Outro exemplo que nos chamou a atenção foi o desenvolvimento do

raciocínio da aluna A11 sobre a convergência da sequência nn

n

na

2)1(

21+

−= . Nesse evento, a

aluna não concordava com o GeoGebra quando era mostrado que, a partir de um

determinado valor, a sequência se tornava constante e igual a zero. A aluna, então,

procurou outros meios de calcular os termos da sequência. Inicialmente, fez a conta no

papel e depois utilizou o software Excel. Depois que ela aumentou a quantidade de casas

decimais e alargou a coluna que apresentava os valores numéricos, percebeu que a

sequência nunca teria valor nulo e analisou se esse fato era verdadeiro ao discutir os

valores que a equação algébrica poderia assumir. Ao final da disciplina a aluna declarou

que, se não tivesse feito as atividades e visto os pontos da sequência e os valores

numéricos se aproximarem de um determinado valor, não entenderia o significado de

convergência. Para ela, esse entendimento não seria fácil caso fosse utilizado um gráfico

estático como exemplo em sala de aula.

Portanto, as ferramentas do GeoGebra, como o controle deslizante, o rastro, a

possiblidade de aumentar a quantidade de casas decimais e a integração entre a janela de

visualização gráfica e a planilha, tiveram destaque na corporificação dos conceitos de

convergência. Os valores do controle deslizante, que assumiam os valores das posições dos

termos da sequência, trouxeram o dinamismo para as atividades e permitiram que os alunos

criassem a sequência termo a termo, tanto na forma gráfica (pelos rastros deixados pelos

176

pontos cujo valor da ordenada era igual ao termo da sequência) quanto na forma numérica

(pelos valores assumidos pelo rastro e transportados para a planilha).

Acreditamos que, da forma como as atividades foram concebidas e posteriormente

desenvolvidas pelos alunos, explorando os conceitos matemáticos por meio dos recursos

do GeoGebra, foi possível a criação de um micromundo em que foram manipulados

exemplos e não-exemplos relacionados à convergência de sequências e de séries,

estabelecendo-se assim esse ambiente como um organizador genérico.

Os dados analisados apontam que as atividades, construídas buscando a

corporificação dos conceitos, exigiram uma postura mais ativa dos alunos, contribuindo

para que se tornassem agentes do processo de desenvolvimento cognitivo da Matemática,

estimulando a observação e ação sobre o observado, possibilitando a visualização e a

construção de imagens mentais dos conceitos, permitindo a formação do conceito de

convergência. Os dados nos levam a crer que, grande parte dos alunos, com suas

experiências de pensamento, formou a imagem mental de que a convergência de uma

sequência ocorre quando os termos da sequência se tornam cada vez mais próximos de um

valor, tendo assim corporificado o conceito de convergência e estabelecido uma raiz

cognitiva para definição formal da convergência pelo limite e posterior desenvolvimento

teórico.

Os dados nos levam a inferir que a proposta também contribuiu para uma

transição mais tranquila entre os mundos corporificado e simbólico, pois, ao serem

instigados a responder questões cada vez mais elaboradas, os alunos tiveram que expressar

sua compreensão dos aspectos trabalhados utilizando algum tipo de linguagem e também

desenvolveram a argumentação. Entendemos que a transição foi facilitada, pois a

corporificação possível por meio da ação sobre o observado facilitou a compreensão e fez

com que os alunos tivessem mais convicção de suas conclusões. Além disso, após a

realização das atividades, a professora pôde utilizar as respostas dos alunos para chegar à

sistematização do conteúdo, mostrando a ligação entre o que foi corporificado e, em sua

escrita formal, levando a uma melhor compreensão do significado do resultado do cálculo

do limite.

Na convergência de séries, acreditamos que a atividade tornou mais

compreensível o entendimento da convergência da série por meio da convergência da

sequência das somas parciais. No entanto, também acreditamos que mais alunos

alcançariam à base do mundo formal, como a aluna A20, se fossem feitas algumas

modificações nas atividades acrescentando mais exemplos e questões que levassem a

177

discussões sobre a convergência das séries tanto no que diz respeito à convergência da

sequência do termo geral, como da condição da sequência de termo geral tender a zero.

Como já discutimos no capítulo 5, os dados evidenciam que grande parte dos

alunos corporificou os conceitos de convergência de sequências e séries numéricas.

Também é apontado que a maioria dos alunos alcançou o mundo simbólico, uma vez que

foram capazes de analisar o resultado final do cálculo do limite do termo geral da

sequência e concluir se a mesma era convergente ou não, e inferir, no caso da série, se a

série era divergente ou se ela poderia ser convergente pelo resultado do cálculo do limite

do termo geral. Acreditamos que apenas a aluna A20 chegou à base do mundo formal e

que os demais poderiam ter chegado com mais discussões durante a realização tanto das

atividades de sequências quanto da atividade de séries. A título de exemplo lembramos o

caso dos alunos A15 e A25 que discutiram sobre a convergência da sequência n

an

5=

considerando que ao aumentar o valor de n os termos consecutivos da sequência tornavam-

se cada vez mais próximos. Entendemos que esses dois alunos perceberam uma

característica das sequencias convergentes embora tenham tomado como base apenas um

caso particular. No entanto se tivessem observado de maneira geral que nas sequências

convergentes a distância entre os termos consecutivos tende a zero, eles estariam na base

do mundo formal, pois teriam deduzido uma propriedade com base em experiências

corporificadas e simbólicas. É possível estimular isso com atividades semelhantes para

outras sequências convergentes e divergentes. Consideramos que o conceito corporificado

das distâncias entre termos, diminuindo à medida que se aumenta o número de termos das

sequencias convergentes, é uma raiz cognitiva para desenvolvimento teórico do critério de

Cauchy.

Observamos ainda que a dificuldade em um processo intermediário pode

atrapalhar o processo de aprendizagem como um todo. Esse foi o caso de analisar a

convergência de sequência por meio do cálculo do limite do termo geral. Como dissemos

anteriormente, os dados nos levam a crer que o conceito de convergência foi corporificado,

porém, quase todos os alunos apresentaram erros procedimentais ao efetuarem o cálculo do

limite. Isso pode resultar na dificuldade dos alunos para alcançarem o mundo simbólico.

Por outro lado, no caso da convergência de séries, é comum, em aulas ditas tradicionais, o

aluno aplicar um teste de convergência, mas não saber interpretar o resultado final e

concluir sobre a convergência da série. Isso pode ser interpretado como uma falta de

compreensão do aluno sobre o significado do critério em si. Ele não faz relação entre o

178

conceito de convergência da série e o procedimento utilizado para verificar a convergência.

Entendemos que nesses casos, o processo foi precipitado, não decorrendo de modo natural

de um conceito corporificado.

No caso de nossa pesquisa, por questões relativas ao cronograma da escola, não

tivemos tempo de trabalhar a corporificação de convergência da série fazendo a relação

com os critérios de convergência; ou seja, não exploramos o significado de cada critério

por meio de atividades visando à corporificação ou mesmo à associação de diferentes

visualizações, buscando a relação entre elas. No entanto, acreditamos que isso seja possível

de ser feito, o que contribuiria para a transição do pensamento matemático elementar para

o avançado e também para o alcance da base do mundo formal, no que diz respeito à

convergência de séries. Apontamos esse trabalho com os critérios de convergência de

séries, buscando a corporificação dos conceitos envolvidos ou mesmo o desenvolvimento

de provas que explicam e sua relação com as provas formais, como possibilidades de

futuras pesquisas utilizando os mesmos referenciais teóricos.

Vale ressaltar que as conclusões que apresentamos nesta dissertação estão

baseadas em observações feitas em um curto espaço de tempo. Só seria possível analisar

profundamente o efeito das atividades na aprendizagem dos alunos se fosse feito um

acompanhamento de todo o processo de aprendizagem durante os anos de formação no

curso de graduação.

Os estudos dos referenciais teóricos e a experiência do desenvolvimento das

atividades nos possibilitaram determinar o que de fato consideramos como o desejável para

ser desenvolvido nos cursos de Cálculo. Assim como Tall (1991, 2002) acreditamos que

um curso de Cálculo não precisa ter como objetivo o tratamento formal, característico da

última fase do desenvolvimento cognitivo, devendo esse tratamento ser feito na Análise.

Não se trata de simplesmente desconsiderar as definições formais e as provas de

resultados. Trata-se de proporcionar aos estudantes experiências corporificadas e

simbólicas em ambientes nos quais seja possível estabelecer raízes cognitivas e iniciar um

processo de expansão cognitiva fundamentado em bases sólidas, propícias para

desenvolvimentos teóricos posteriores. Ressaltamos o caráter processual dessa expansão.

Assim, não interessa apenas o final do processo. Mesmo o aluno que não chega ao final (no

mundo formal ou no pensamento matemático avançado) pode já estar nesse processo e

temos fortes indícios de que isso aconteceu com grande parte dos alunos participantes

desta pesquisa.

179

Com nossas atividades acreditamos ter propiciado aos alunos experiências

corporificadas e simbólicas relativas à convergência de sequências e de séries. Entendemos

que os conceitos corporificados dos pontos das sequências convergentes se tornarem mais

próximos à medida que aumentamos os números de termos, assim como a ideia dos pontos

se aproximarem de um valor fixo, contêm sementes da expansão cognitiva que se espera

ser realizada em um curso de Análise.

Acreditamos também ter propiciado aos alunos experiências, não só aquelas em

que a convergência era de fácil conclusão, como também situações nas quais a primeira

percepção que o aluno tem pode gerar dúvidas ou levar a resultados não corretos,

necessitando de outros meios e processos para chegar a uma conclusão final. Com isso

esperamos ter valorizado a necessidade da argumentação e da prova. Note que, se o mundo

corporificado é o mundo do significado sensorial, no qual o “fundamento de verdade é que

as coisas se comportam previsivelmente, de uma maneira esperada” (Tall, 2002, p10),

nesse mundo a intuição é fundamental. Porém para que as experiências corporificadas

possam fundamentar expansões cognitivas é preciso estabelecer raízes cognitivas, que

efetivamente se estabelecem quando vamos além das primeiras aparências, examinando

exemplos e contraexemplos, desestabilizando aparentes certezas. Temos que ir muitas

vezes além das primeiras impressões, além da intuição inicial, com vistas a estudos mais

rigorosos. Nessa linha vemos também possibilidades de pesquisas futuras relativas às

conexões entre o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática e as pesquisas relativas à

intuição e ao rigor na Matemática Superior.

Esperamos que o nosso estudo possa contribuir, não só para a comunidade de

pesquisadores em Educação Matemática, mas, também, para professores de Matemática,

tanto pela leitura deste trabalho, quanto pela leitura do produto educacional intitulado

“Estudo da convergência de sequências e séries numéricas no Cálculo: uma proposta

utilizando o software GeoGebra”, disponível em http://www.ppgedmat.ufop.br. O produto

educacional trata-se de um livreto que compõe a coleção Cadernos de Ensino e Pesquisa

em Educação Matemática organizado pelo programa de Mestrado Profissional em

Educação Matemática da UFOP. No produto educacional, encontram-se: um recorte do

quadro teórico dos Três Mundos da Matemática, uma breve explicação da escolha e de

algumas ferramentas do software GeoGebra, e várias das atividades desenvolvidas nesta

pesquisa, considerando algumas alterações sugeridas ao longo deste trabalho. As atividades

colocadas têm por objetivo subsidiar o desenvolvimento dos conteúdos de convergência de

sequências e séries nas aulas de Cálculo. Não consideramos que as atividades constituam

180

uma “receita” para as aulas de sequências e séries, mas, sim, uma possibilidade

apresentada a professores que desejam trabalhar tais conteúdos de maneira diferente da

tradicional, caso assim decidam.

181

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187

APÊNDICE

APÊNDICE A – ATIVIDADE INTRODUTÓRIA

Nom

e: _

____

____

____

____

____

____

____

____

____

_

2. O

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1. E

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a) S

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188

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4. O

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:

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, 5, 7

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4, 6

, 8, 1

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2, ..

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� 0,−1,0,−1,0,−1,…

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,…

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1, 1

, 2, 3

, 5, 8

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21}

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3. O

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189

Nom

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6. D

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{1, 2

, 3, 4

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Nom

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5. P

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{1, 3

, 5, 7

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1,

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, ...

}

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� �1 2,−2 4,

3 8,−4 16,5 32

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190

�1 2,2 3,3 4,4 5,5 6,…�

� 1,−1,1,−1,1,−1,…�

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Nom

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7.

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{1, 1

, 1, 1

, 1, 1

, ...}

191

APÊNDICE B – ATIVIDADES EXPLORATÓRIAS

INSTITUTO FEDERAL Cálculo II

Professora: Daila S. S. de M. Fonseca

Nome: ___________________________________________________________________

SEQUÊNCIAS

Atividade 01: Para cada uma das sequências abaixo, encontre os três termos seguintes aos

que estão indicados:

a)

,...,,,,5

5,

4

5,

3

5,

2

5,

1

5

b) {1, 4, 9, 16, 25, , , ,...}

c)

,...,,,,6

5,

5

4,

4

3,

3

2,

2

1

Atividade 02: Determine o termo geral an de cada uma das sequências anteriores.

Atividade 03: Liste os cinco primeiros termos de cada uma das sequências, cujos termos

gerais são dados a seguir:

a) ��� ��� !

b) �� = (−2)�%�

c) �� = ��&���%�

192

INSTITUTO FEDERAL Cálculo II

Professora: Daila S. S. de M. Fonseca

Nome: ___________________________________________________________________

Atividade 04: Considere a sequência de termo geral '( = )(

Vamos explorar diferentes formas de representação dos valores dos termos dessa

sequência, com os recursos do Geogebra.

4.1 Considerando que a sequencia pode ser definida como uma função de domínio natural,

vamos representar no plano os pontos P = (n, 5/n). Da forma como definimos P, o valor da

primeira coordenada do ponto P representa a posição n do termo da sequência e o valor da

segunda coordenada do ponto P representa o valor numérico do termo de posição n da

sequência.

• Mova o plano(1) da Janela de Visualização de forma que o eixo vertical dos y’s

fique próximo da divisória entre a Janela de Álgebra e a Janela de Visualização e o

eixo dos x’s fique o mais baixo possível.

• Mude o sistema para 5 Casas Decimais(2).

• Peça para exibir Malha(3) e Planilha(4). Ajuste a Planilha para que apareçam as

colunas A e B.

• Crie um Controle Deslizante(5) e ajuste suas configuração para que tenha o nome n,

e esteja definido no intervalo de 1 até 12 e incremento 1.

• Entre com o ponto P = (n, 5/n)(6) e peça para Habilitar Rastro(7) e Gravar(8) para a

Planilha de Cálculos.

Para observar os valores assumidos por na , vamos variar n.

• Na Janela Algébrica, clique no valor de n de forma que ele fique selecionado.

• Varie o valor de n utilizando a seta do teclado e observe a distribuição do rastro

do ponto P no plano. Observe na coluna B da planilha o que acontece com o valor

numérico do termo nan

5= quando variamos a posição n.

4.1 a) O que está acontecendo com os valores numéricos dos termos da sequência?

193

• Aumente a quantidade de rastro deixada pelo ponto P. Para isso troque o valor

máximo(9) do Controle Deslizante.

• Caso deseje, diminua a escala do eixo dos x’s(10).

• Continue a variar o valor de n utilizando a seta do teclado.

4.1 b) O que acontece com a posição do ponto P no plano cartesiano? E com os

valores de nan

5= representados na coluna B da planilha?

4.1 c) É possível prever o que acontecerá com o valor do termo na da sequência

quando o n (posição do termo) for muito grande? Explique.

4.2 Uma outra forma de visualização é a representação dos valores dos termos da

sequência em uma reta. Para isso vamos criar o ponto Q = (0, 5/n).

• Volte com o valor do Controle Deslizante para n = 1.

• Selecione todos os valores que estão na tabela e apague-os. Mande Reinicializar

Coluna(11).

• Ajuste a planilha para que seja possível visualizar da coluna A até a coluna D.

• Entre com o ponto Q = (0, 5/n). Habilite seu rastro e selecione a opção Gravar

para a Planilha de Cálculos.

• Para melhor visualização, diminua a espessura(12) e mude a cor(12) do ponto Q.

• Varie o valor de n utilizando a seta do teclado. Pare quando atingir o valor de n =

10.

4.2 a)Você percebe alguma relação entre os pontos P e Q? Explique.

• Continue a movimentar o Controle Deslizante.

4.2 b) O que está acontecendo com a posição do ponto Q no eixo vertical?

194

4.2 c) Com base em suas observações e respostas nos itens 4.1 e 4.2, o que você

pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que

acontece com o valor de na quando n assume valores cada vez maiores?

• Grave o arquivo.

195

INSTITUTO FEDERAL Cálculo II

Professora: Daila S. S. de M. Fonseca

Nome: ___________________________________________________________________

Atividade 05: Considere a sequência de termo geral 2nan =

Explore o comportamento dessa sequência usando o GeoGebra. Sugestão: abra um novo

arquivo e utilize os recursos indicados na atividade 04, crie o ponto P(n, na ), Q(0, na ) e

uma planilha em que possam ser observados os valores numéricos de na .

O que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que

acontece com o valor de na quando n assume valores cada vez maiores?

• Grave o arquivo.

196

INSTITUTO FEDERAL Cálculo II

Professora: Daila S. S. de M. Fonseca

Nome: ___________________________________________________________________

Atividade 06: Considere a sequência de termo geral 1+

=n

nan

Explore o comportamento dessa sequência usando o GeoGebra. Sugestão: Abra um novo

arquivo e utilize os recursos indicados na atividade 04, crie o ponto P(n, na ), Q(0, na ) e

uma planilha em que possam ser observados os valores numéricos de na .

O que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que

acontece com o valor de na quando n assume valores cada vez maiores?

• Grave o arquivo.

197

INSTITUTO FEDERAL Cálculo II

Professora: Daila S. S. de M. Fonseca

Nome: ___________________________________________________________________

Atividade 07: Considere a sequência de termo geral nn

n

na

2)1(

2

−=

Explore o comportamento dessa sequência usando o GeoGebra. Sugestão: abra um novo

arquivo e utilize os recursos indicados na atividade 04, crie o ponto P(n, na ), Q(0, na ) e

uma planilha em que possam ser observados os valores numéricos de na .

O que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que

acontece com o valor de na quando n assume valores cada vez maiores?

• Grave o arquivo.

198

INSTITUTO FEDERAL Cálculo II

Professora: Daila S. S. de M. Fonseca

Nome: ___________________________________________________________________

Atividade 08: Vamos explorar o que acontece com a distância entre dois pontos

consecutivos de uma determinada sequência, quando a posição do termo aumenta. A

distância entre dois pontos pode ser medida através do cálculo do módulo da diferença

entre os valores numéricos correspondentes. Por exemplo: a distância entre os pontos 1 e 4

é 3, pois 341 =− .

Para essa exploração vamos usar os recursos do Geogebra. Sugerimos a construção um

Controle Deslizante(5) e a construção de uma planilha.

8.1 Considere a sequência de termo geral 1+

=n

nan .

• Em um novo arquivo, construa o ponto(6) Q=(0, n/(n+1))

• Habilite o rastro(7) de Q, faça n variar , e grave para a planilha de cálculos(8).

8.1 a) O que está acontecendo com os valores dos temos da sequência quando n

aumenta?

8.1 b) O que está acontecendo com a distância entre dois pontos consecutivos da

sequência?

• Podemos saber a medida da distância entre dois pontos consecutivos da sequência,

através do valor absoluto da diferença entre os valores numéricos de posição n e

n+1 (|an+1 – an|). Isso pode ser feito através do comando abs na planilha. Por

exemplo, na célula que pertence a linha 3 e coluna C, digite =(abs(B3 – B2)). Faça

o mesmo em todas as linhas (instruções de como fazer mais rápido no fim da

atividade).

199

8.1 c) O que está acontecendo com o valor absoluto da diferença entre os valores

numéricos de dois termos consecutivos da sequência (indicados na coluna C)?

8.2 Considere a sequência de termo geral n

an

n 3

2=

• Em um novo arquivo, construa o ponto(6) Q=(0, (2^n)/(3*n))

• Habilite o rastro(7) de Q, faça n variar , e grave para a planilha de cálculos(8).

8.2 a) O que está acontecendo com os valores dos temos da sequência quando n

aumenta?

8.2 b) O que está acontecendo com a distância entre dois pontos consecutivos da

sequência?

• Indique na planilha a distância entre dois pontos consecutivos da sequência (valor

absoluto da diferença entre dois valores numéricos consecutivos)

8.2 c) O que está acontecendo com o valor absoluto da diferença entre os valores

numéricos de dois termos consecutivos da sequência?

8.3 Considere a sequência de termo geral 1

)1( 1

+−=

+

n

na n

n .

• Em um novo arquivo, construa o ponto(6) Q=(0, (–1)^(n+1)*n/(n+1)).

• Habilite o rastro(7) de Q, faça n variar , e grave para a planilha de cálculos(8).

8.3 a) O que está acontecendo com os valores dos temos da sequência quando n

aumenta?

200

8.3 b) O que está acontecendo com a distância entre dois pontos consecutivos da

sequência?

• Indique na planilha a distância entre dois pontos consecutivos da sequência (valor

absoluto da diferença entre dois valores numéricos consecutivos)

8.3 c) O que está acontecendo com o valor absoluto da diferença entre os valores

numéricos de dois termos consecutivos da sequência?

Observação: Como aplicar uma equação a várias células da planilha de maneira mais

rápida.

1) Clique na célula que você entrou com a equação para que ela fique selecionada.

2) Clique no canto direito inferior da célula, segure e arraste para as células restantes.

201

INSTITUTO FEDERAL Cálculo II

Professora: Daila S. S. de M. Fonseca

Nome: ___________________________________________________________________

SÉRIES Vamos explorar o que acontece com algumas séries. Para essa exploração vamos usar os recursos do Geogebra. Inicie habilitando a planilha, fechando a janela algébrica e passando o arredondamento para 15 casas decimais. Na célula A1 digite 1. Na célula A2 digite =A1+1. Selecione a célula A2 e arraste até a célula A30. Com isso criamos o valores de n de 1 até 30. Criaremos cada termo da série na coluna B.

Sendo assim, vamos iniciar analisando a série ∑ −12

1n

.

Na célula B1, digite =1/(2^(A1-1)). Selecione a célula B1e arraste até a célula B30. Na coluna C, criaremos as somas parciais. Na célula C1, temos a primeira soma parcial s1=a1, para isso digite C1=B1. Na célula C2, teremos a soma parcial dos dois primeiros termos, ou seja, s2 =s1+a2. Para isso digite C2=C1+B2. Para encontrar as demais somas parciais, selecione a célula C2 e arraste.

1) Analisando a planilha, o que está acontecendo com o termo geral an? O que está acontecendo com os valores sn das somas parciais?

Vamos criar dois gráficos de pontos. Sendo um definido pelo termo an da série na posição n e o outro definido pelo valor sn da soma parcial na posição n. Para isso digite na célula D1, (A1, B1) e na célula E1 digite (A1,C1). Troque as cores de cada célula (clique com o botão direto sobre cada uma, selecione propriedades e depois cores). Selecione as células D1 e E1 e arraste.

2) Observando os gráficos, o que acontece com o termo geral an e com os valores sn das somas parciais? Isso é coerente com o que você havia concluído na questão 1?

202

3) Vamos fazer agora um estudo semelhante para outras séries. Em cada item responda o que acontece com o termo geral an e com os valores sn das somas parciais (para fazer esse estudo basta trocar a equação da coluna B).

a) ∑+2

2 1

n

n

b) ∑+ )1(

1

nn

c) ∑

+

n

n 1

1

d) ∑ +−

21 1

)1(n

n

e) ∑n

1

203

APÊNDICE C – MINIMANUAL DE GEOGEBRA

INSTITUTO FEDERAL

Cálculo II Professora: Daila S. S. de M. Fonseca

MINI MANUAL DE GEOGEBRA

(1) Movendo o plano da Janela de Visualização

Clique no botão , depois, na tela branca, clique, segure e arraste.

(2) Mudando as Casas Decimais

Na barra de ferramentas clique em Opções, em seguida em Arredondamento e escolha

as Casas Decimais desejadas.

(3) Exibindo Malha

Na barra de ferramentas clique em Exibir e em seguida em Malha.

(4) Exibindo Planilha

Na barra de ferramentas clique em Exibir e em seguida em Planilha.

(5) Criando um Controle Deslizante

Clique no botão e depois clique na tela branca. Ajuste as informações conforme

o desejado. Feche a caixa.

Observação: sempre antes de clicar no seletor para movimentá-lo, clique no botão

.

(6) Entrando com um ponto

Na caixa de Entrada , na parte inferior da tela, digite as

coordenadas do ponto desejado. Por exemplo, A=(1,2), nos dará o ponto A(1,2).

(7) Habilitando Rastro

Clique com o botão direito no ponto desejado e selecione Habilitar Rastro.

204

(8) Gravando para a Planilha de Cálculos

Clique com o botão direito no ponto desejado e selecione Gravar para a Planilha de

Cálculos.

(9) Alterando as propriedades do Controle Deslizante

Clique com o botão direito no valor do Controle Deslizante na Janela Algébrica e

selecione Propriedades.

Dentro de Propriedades, na aba Controle Deslizante, modifique o que for desejado.

Em seguida mande fechar.

(10) Modificando a escala de um eixo

Clique no botão , depois vá até a marcação de um número, em um dos eixos que

deseja modificar, clique, segure e arraste.

Se desejar voltar a visualizar a tela como estava inicialmente, clique com o botão

direito em qualquer branca da Janela de Visualização e selecione Visualização

Padrão.

(11) Reinicializando Coluna

Sempre que desejar que os dados voltem a ser exibidos a partir da primeira linha da

planilha será necessário marcar, ou desmarcar, a opção Reinicializar Coluna.

Para isso clique em , na planilha. Na caixa que irá abrir, passe para a janela de

Opções e marque ou desmarque Reinicializar Coluna. Em seguida feixe a caixa.

Caso precise fazer isso com mais de um ponto, quando a caixa estiver aberta, selecione

um ponto de cada vez e marque ou desmarque Reinicializar Coluna. Só depois feixe a

caixa.

(12) Alterando as propriedades de um Ponto

Clique com o botão direito no Ponto desejado e selecione Propriedades.

Dentro de Propriedades, na aba Estilo, modifique a espessura do ponto. Na aba Cor,

troque a cor do ponto por uma cor mais vibrante.

Em seguida mande fechar.

205

APÊNDICE D – PROVA SOBRE SEQUÊNCIAS

1ª PROVA DE CÁLCULO II

Professora: Daila Silva Seabra de Moura Fonseca Valor: 30 pts.

Aluno (a): NOTA

Curso: Engenharia de Produção Turno: Noturno Data: 06/11/2011

QUESTÃO 01 (02 pontos): Considere o ponto P (r, θ) dado em coordenada polar. O que representam r e θ?

QUESTÃO 02 (03 pontos): Considere os pontos P (2, –2) e Q (–1, 3 ): a) Encontre as coordenadas polares, onde r > 0 e 0 ≤ θ ≤ 2π. b) Encontre as coordenadas polares, onde r < 0 e 0 ≤ θ ≤ 2π.

QUESTÃO 03 (08 pontos): Considere as curvas r1 = 3cos(θ) e r2 = 2 – cos(θ):

a) Construa o gráfico das curvas em um mesmo eixo polar. Marque a área contida entre elas. b) Determine a área contida entre as duas curvas. c) Escreva, mas não calcule, a equação para do comprimento de cada uma das curvas. d) Passe as duas equações de polar para cartesiano.

QUESTÃO 04 (03 pontos): O que é uma sequência? QUESTÃO 05 (02 pontos): O que significa dizer que para cada ε > 0, existe um inteiro

correspondente N tal que se n > N então ε<−+

113

3

n

n?

QUESTÃO 06 (12 pontos): Considere as sequências

2

253

nn

nan

+

+=

12 2

3

+=

n

nbn

1)1(

2+

−=n

nc n

n

Para cada sequência determine:

a) os cinco primeiro termos da sequência. b) se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona. Justifique. c) se a sequência é limitada. Justifique. d) se a sequência converge ou diverge e justifique. Se ela convergir, encontre o valor para o

qual ela converge.

Instruções (exemplo): • Leia atentamente as questões. A interpretação das questões faz parte da prova. • É permitido o uso de calculadora. • Explicite TODAS as etapas de seu raciocínio para que seja possível avaliar tudo o que você sabe

sobre o assunto. • A prova deve ser feita a lápis, mas o resultado final deverá ser a caneta.

206

APÊNDICE E – PROVA SOBRE SÉRIES

2ª PROVA DE CÁLCULO II

Professora: Daila Silva Seabra de Moura Fonseca Valor: 30 pts.

Aluno (a): NOTA

Curso: Engenharia de Produção Turno: Noturno Data: 10/02/2012

QUESTÃO 01 (02 pontos): Responda: a) O que é uma série? b) O que é uma série convergente? O que é uma série divergente?

QUESTÃO 02 (04 pontos): Seja 13

2

+=

n

nan .

a) Determine se }{ na é convergente.

b) Determine se ∑∞

=1nna é convergente.

Questão 03 (04 pontos): Classifique as sentenças a seguir como verdadeira ou falsa. Justifique.

a) ( ) Dada a série ∑∞

=1nna , se 0lim =

∞→n

na então a série é convergente.

b) ( ) Considerando a série ∑∞

=1nna e )(nfan = , para que o teste da integral seja conclusivo é

necessário que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em [1, ∞). Questão 04 (10 pontos): Calcule as somas das séries:

a) ∑∞

=

1 6

13

nn

n

b) ∑∞

= +−1 )12)(12(

6

n nn

Questão 05 (10 pontos): Determine se as séries convergem ou divergem:

a) ∑∞

= +12

2

45n n

n

b) ∑∞

=

+−

1

1

2)1(

nn

n n

c) ∑∞

=+

+1124)1(

10

nn

n

n

Instruções (exemplo): • Leia atentamente as questões. A interpretação das questões faz parte da prova. • É permitido o uso de calculadora. • Explicite TODAS as etapas de seu raciocínio para que seja possível avaliar tudo o que você sabe

sobre o assunto. • A prova deve ser feita a lápis, mas o resultado final deverá ser a caneta.

207

APÊNDICE F – TRABALHO SOBRE SÉRIES

INSTITUTO FEDERAL Cálculo II

Professora: Daila S. S. de M. Fonseca

TRABALHO EM GRUPO

Este é um trabalho sobre Séries que tem por objetivo estudar parte do assunto que não foi

possível de ser estudado em sala de aula.

- Trabalho para ser realizado em grupo de quatro ou cinco pessoas.

- O trabalho deverá ser entregue, impreterivelmente, no dia 23 de janeiro de 2012.

- Esse trabalho valerá 10 pontos extras.

- Os assuntos abordados estão no livro: STEWART, James. Cálculo. Vol 2, 6ª ed. São

Paulo: Cengage Learning, 2010.

PARA CADA UM DOS ITENS ABAIXO FAÇA:

• Estude o assunto abordado, faça um resumo da matéria estudada e escreva seu

entendimento.

• Resolva os exercícios selecionados.

1) (1 ponto) Estimando a soma de uma série (páginas 664 a 666). Exercícios 32 ao 37

(página 668).

2) (1 ponto) Teste da Comparação (páginas 668 a 672). Exercícios 1, 2, 3, 11 e 35

(página 672).

3) (1 ponto) Estimativa de soma (página 676). Exercícios 1, 21, 23, 25 e 27 (página

677).

4) (1 ponto) Estratégia para testar as séries (páginas 684 e 685). Exercícios 2, 4, 8, 13

e 21 (página 686).

5) (1 pontos) Séries de Potência (páginas 687 a 691). Exercícios 1, 2, 3, 5 e 7 (página

691).

6) (1 pontos) Representações de funções como séries de potências (páginas 692 a

696). Exercícios 3, 5, 11 e 13 (página 697).

208

7) (1 pontos) Série de Taylor e de MacLaurin (páginas 698 a 708). Exercícios 1, 3, 7,

13 e 15 (página 709).

8) (3 pontos) Parte prática de Séries de Taylor. Siga as instruções das páginas

seguintes.

TRABALHO PRÁTICO DE SÉRIE DE TAYLOR57

Neste trabalho prático iremos analisar em que condições é possível utilizar o polinômio de

Taylor para aproximar funções.

Antes de iniciar a análise siga os passos:

1) Instale o programa GeoGebra 4.0 em um computador. Disponível em:

http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/installers

2) Crie um valor do centro (a). Inicialmente digite a = 0.

3) Crie um Controle Deslizante para ser o possível valor do grau do polinômio (n).

Para isso coloque as configurações com nome n e que esteja definido no intervalo

de 0 a 10 com incremento 1.

4) Troque o Arredondamento para 10 casas decimais.

Observação: Para cada passo escreva o resultado encontrado. Salve o arquivo do

GeoGebra e envie para o meu e-mail.

Atividade 01: Série de Taylor em torno do ponto zero.

1) Insira a função f(x) = cos(x). Troque a cor do gráfico.

2) Crie o polinômio de Taylor utilizando a função pré-definida PolinômioDeTaylor[

<Função>, <Centro>, <Ordem> ]. Troque por PolinômioDeTaylor[f(x), a, n].

Troque a cor do gráfico gerado.

3) Escreva a expansão em série de Taylor da função y=cos(x), em torno do ponto zero,

considerando os termos até ordem 4.

57 Este trabalho prático é uma adaptação de exercícios elaborados por Regina Helena de Oliveira Lino Franchi, discutidos em parte no trabalho intitulado “Caracterização de ambientes de aprendizagem de Matemática através da Informática”, que foi apresentado no 3º Colóquio sobre História e Tecnologia no Ensino de Matemática no ano de 2006.

209

4) Utilize a Planilha. Na célula A1 digite valores para x, na célula B1 digite f(x) e na

célula C1 digite g(x).

5) Calcule cos(π/10) usando a função cosseno pré-definida pelo software e também

usando o polinômio de Taylor definido no item 3 (na célula A2 digite pi/10, na

célula B2 digite f(A2) e na célula C2 digite g(A2)). Compare os resultados.

6) Calcule cos(2π/3) usando a função cosseno pré-definida pelo software e também

usando o polinômio de Taylor definido no item 3 (Faça o mesmo que o item

anterior utilizando a terceira linha da planilha). Compare os resultados.

7) Escreva a expansão em série de Taylor da função y=cos(x), em torno do ponto zero,

considerando os termos até ordem 20. Enquanto você varia a ordem para chegar em

20, escreva o que está acontecendo com o gráfico do polinômio de Taylor.

8) Verifique novamente cos(2π/3) usando a função cosseno pré-definida pelo software

e também usando o polinômio de Taylor (com termos até ordem 20) definido no

item anterior. Compare os resultados.

9) Visualize os gráficos da função cosseno e dos polinômios de Taylor obtidos para a

função cosseno com termos até ordem 4 e com termos até ordem 20. Use os

gráficos obtidos para interpretar os resultados numéricos anteriores.

10) Escreva o seu entendimento sobre a utilização de séries de Taylor, em torno do

ponto zero, para aproximação de funções transcendentes.

Atividade 2: Série de Taylor em torno do ponto a.

1) Troque o valor do centro para a = π. E a função f(x) para sem(x).

2) Escreva a expansão em série de Taylor da função y=sen(x), em torno do ponto π,

considerando os termos até ordem 3.

3) Na linha 2 da Planilha, calcule sen(π/10) usando a função seno pré-definida pelo

software e também usando o polinômio de Taylor definido no item anterior.

Compare os resultados.

4) Na linha 2 da Planilha, calcule sen(2π/3) usando a função seno pré-definida pelo

software e também usando o polinômio de Taylor definido no item anterior.

Compare os resultados.

5) Escreva a expansão em série de Taylor da função y=sen(x), em torno do ponto π,

considerando os termos até ordem 19. Enquanto você varia a ordem para chegar em

19, escreva o que está acontecendo com o gráfico do polinômio de Taylor.

210

6) Verifique novamente sen(π/10) usando a função cosseno pré-definida pelo software

e também usando o polinômio de Taylor (com termos até ordem 19) definido no

item anterior. Compare os resultados.

7) Visualize os gráficos da função seno e dos polinômios de Taylor obtidos para a

função seno com termos até ordem 3 e com termos até ordem 19. Use os gráficos

obtidos para interpretar os resultados numéricos anteriores.

Atividade 3: Série de Taylor em torno do ponto a.

1) Calcule a expansão em série de Taylor da função y=ln(x), em torno do ponto 1,

considerando os termos até ordem 3.

2) Calcule ln(0,9) usando a função logaritmo natural pré-definida pelo software e

também usando o polinômio de Taylor definido no item anterior. Compare os

resultados.

3) Calcule ln(30) usando a função logaritmo natural pré-definida pelo software e

também usando o polinômio de Taylor definido no item anterior. Compare os

resultados.

4) Calcule a expansão em série de Taylor da função y=ln(x), em torno do ponto 1,

considerando os termos até ordem 10.

5) Calcule novamente ln(30) usando a função logaritmo natural pré-definida pelo

software e também usando o polinômio de Taylor (com termos até ordem 10)

definido no item anterior. Compare os resultados

6) Visualize os gráficos da função logaritmo natural e dos polinômios de Taylor

obtidos para a função logaritmo natural com termos até ordem 3 e com termos

até ordem 10. Use os gráficos obtidos para interpretar os resultados numéricos

anteriores.

7) Escreva o seu entendimento sobre a utilização de séries de Taylor, em torno de

um ponto genérico a, para aproximação de funções transcendentes.