19 May 2008 . 10:30

Cálculo Numérico / Métodos Numéricos

Determinação numérica de autovalores e autovetoresMétodo das Potências

9 Jun 2008 . 13:05

Método das potências

Objetivo:

Determinar o autovalor de maior valor absoluto de uma matriz A e o seu correspondente autovetor sem determinar o polinômio característico da matriz.

Por que ?

Aparece naturalmente em aplicações, como estudo de estabilidade de sistemas dinâmicos, ou convergências etc.

9 Jun 2008 . 13:05

Teorema

9 Jun 2008 . 13:05

Por hipótese: y0 = c1 u1 + c2u2 + ... +cn un. Aui = i ui

Esboço da demonstração

...

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Esboço da demonstração

tende a zero com k

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Como obter 1?

9 Jun 2008 . 13:05

Como obter 1?

9 Jun 2008 . 13:05

Como obter 1?

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Cálculo de 1 (normalização)

Na prática, o cálculo de 1 é feito com a construção de dois outros vetores:

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Cálculo de 1 (normalização)

9 Jun 2008 . 13:05

Observaçõesa) No limite, todas as componentes de (zk+1)r/(yk)r tendem a 1. Entretanto, na prática, uma das componentes converge mais rapidamente do que as outras. Assim, quando uma das componentes satisfizer a precisão desejada teremos o auto-valor procurado. Além disso, a velocidade de convergência depende de i /1 . Portanto, quanto maior foi | 1 | quando comparado a | i |, mais rápido será a convergência. b) Para obtermos 1 com uma precisão , em cada passo calculamos aproximações para 1. O teste do erro relativo em cada componente de 1 é usado como um critério de parada:

c) Quando todas as componentes r forem iguais, então o vetor yk dessa iteração é o auto-vetor correspondente ao autovalor 1.

d) se algum vetor resultar no vetor nulo, o método falha. Tal acontecimento deve ocorrer se as hipóteses não foram satisfeitas.

9 Jun 2008 . 13:05

Exemplo- Método das potências

9 Jun 2008 . 13:05

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Método da Potência Inversa

Usando para determinar o autovalor de menor valor absoluto e seu correspondente auto-vetor. Assumimos:

Desejamos determinar n

n| < |i|, i=1,...,n-1

9 Jun 2008 . 13:05

Método da Potência Inversa

E portanto:

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Método da Potência Inversa

Exemplo: Determinar o menor autovalor, em módulo, da matriz dada abaixo.

9 Jun 2008 . 13:05

Método da Potência Inversa

Continuando...