modelagem de estado introdução vetor de estado modelo...

EM 621 - DMC - UNICAMP

MODELAGEM DE ESTADO

■ Introdução■ Vetor de Estado■ Modelo Canônico Controlável

■ Autovalor e Autovetor


Introdução

■ O uso de modelos de estados foi iniciado na década de 60, apesarde ser um método conhecido desde o século XIX.

■ Originou o que hoje é conhecido como controle moderno(domínio do tempo), em contraposição ao controle clássico(domínio da freqüência) desenvolvido nas décadas anteriores.

■ A modelagem de estado permite que um sistema de s equaçõesordem n possa ser representado por ns equações de primeiraordem.

■ Definem-se ns variáveis auxiliares, uma para cada equação deprimeira ordem, às quais dá-se o nome de variáveis de estado.

■ As ns variáveis de estado são agrupadas em um vetor de nscomponentes, o qual é chamado de vetor de estado.


Conceito de estado

O estado de um sistema é o menor conjunto de variáveisque permita uma descrição completa do sistema, ouseja, conhecida sua equação dinâmica e respectivasentradas, os seus estados futuros podem ser previstos.

Por exemplo, para que o deslocamento da massa em umsistema MMA seja previsto é necessário que seconheça o deslocamento e velocidade iniciais e a forçaexercida ao longo do tempo.

Portanto um possível vetor de estado é o deslocamento evelocidade, ou diferentes combinações destas variáveis


Características do modelo de estado

■ Domínio do tempo■ Notação matricial■ Vamos trabalhar com sistemas lineares

invariantes no tempo, mas pode representar,da mesma forma, sistemas:

• não lineares• variantes no tempo• de múltiplas entradas e saídas


Vantagens do Modelo de Estado

■ equações mais adaptadas àsolução computacional, por sermatricial

■ equações de primeira ordem, ondea solução é conceitualmentesimples e conhecida


Modelo de estado geral

■ Considerando um sistema de ordem n com p entradas e q saídas

u1

u2

up

�

y1

yq

y2

�

[ ] nituuuxxxftx pnii �� 2,1,,,,)( 2121 ==

pode ser descrito pelo conjunto de

[ ] qktuuuxxxgty pnkk �� 2,1,,,,)( 2121 == e q equações algébricaspara as saídas

n equações diferenciais de1a. ordem para o estado

sistema


■ As equações podem ser resumidas:

■ Ou ainda, na forma matricial linearizada p/ parâmetrosconstantes e invariantes no tempo (LIT):

■ Onde A é n x n, B é n x p, C q x n e D q x p.

Modelo de estado invariante no tempo

)),(),(()(

)),(),(()(

tttgt

tttft

uxy

ux

==x�

)()()(

)()()(

tDtCt

tBtAt

uxy

ux

+=+=x�

equações de estado

equações de saída


Representação no Espaço de Estados

Muitas técnicas estão disponíveispara obtenção da representação no

espaço de estados de sistemasdescritos por equações

diferenciais lineares

Representaçãonão é única

•Modelo com variáveis físicas•Formas canônicas

•Controlável•Observável•Diagonal•Jordan


Exemplo 4.1

Para o circuito abaixo, determine um modelo de estadoonde a entrada é uma fonte de tensão e a saída é atensão no segundo capacitor.

K

R1

C2C1

R2

vi vo


Exemplo 4.1: Solução

Aplicando as leis de Kirchhoff e as relações de cadacomponente:

20

222

111

2222

12

111

C

C

C

C

C

Ci

vvdt

dvCi

dt

dvCi

viRv

Kvv

viRv

=

=

=

+==

+=

K

R1

C2C1

R2

vi vo

2v


Exemplo 4.1: continuando

Admitindo como variáveis de estado e saída:

iC

CC

vuvy

vxvx

====

2

2211

dt

dvCi

dt

dvCi

Kvv

viRv

viRv

C

C

C

C

Ci

222

111

12

2222

111

=

=

=+=

+=

22

221

11

11

xdt

dxCRKx

xdt

dxCRu

+=

+=

222

122

2

111

11

1

1

11

xCR

xCR

K

dt

dx

uCR

xCRdt

dx

−=

+−=


Exemplo 4.1: concluindo

O modelo de estado na forma matricial é portanto

O sistema acima é chamado de modelo de estado comvariáveis físicas.

uCRx

x

CRCR

KCR

x

x

+

−

−=

0

1

1

01

112

1

2222

11

2

1

��

222

122

2

111

11

1

1

11

xCR

xCR

K

dt

dx

uCR

xCRdt

dx

−=

+−=

[ ]

=

2

110x

xy

2xy =


Forma canônica (controlável)

■ Dada a equação geral de um sistema de ordem n

■ considerando a forma de cascata

)(011

1

1

011

1

1

tubdt

dub

dt

udb

dt

udb

yadt

dya

dt

yda

dt

yd

n

n

nn

n

n

n

n

nn

n

++++

=++++

−

−

−

−

−

−

�

�

N(p)D(p)-1

vu y


■ Observando que

■ Análise do 1º sistema para a relação entre v e u

Considerando apenas o denominador

)(011

1

1 tuvadt

dva

dt

vda

dt

vdn

n

nn

n

=++++ −

−

− �

1x2xnxnx�

1nx −� 1x� �

■ definindo

D(p)-1

vu


■ onde a saída é dada por:

Modelo canônico controlável parcial

■ Chega-se assim ao seguinte modelo:

1

2

3

1

2

3

4

n n

x x

x x

x x

x x−

===

=

��

�

��

1v x=

)(011

1

1 tuvadt

dva

dt

vda

dt

vdn

n

nn

n

=++++ −

−

− �

)(10211 tuxaxaxax nnn =++++ − ��

n 0 1 1 2 2 3 n 1 nx u (t) a x a x a x a x−= − − − − −� �


Matrizes sem numerador

■ Em notação matricial, o modelo pode ser escrito:

1 1

2 2

0 1 2 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0( )

1nn n

x x

x xu t

a a a ax x−

= + − − − −

� ��

� � � � � ��

[ ]1

2( ) 1 0 0 0

n

x

xv t

x

=

��

A x Bx�

E


Matrizes sem numerador

■ Em notação matricial compacta, o modelo pode ser escrito:

0 1 1

0 1 0

0 0 0

1

n

A

a a a −

= − − −

��

� � ��

x

x

x

xn

=

1

2

�

B =

0

0

1

�

[ ]1 0 0 0E = �( ) ( ) ( )

( ) ( )

t A t Bu t

v t E t

= +=

x� x

x


Considerando apenas o numerador

■ Para a relação entre y e v

■ substituindo as variáveis de estado já definidas

12nn

n1n322110n

xbxbxb

xaxaxaxau(t)bty

011

)()(

+++++−−−−−=

−

−

�

�

vbdt

dvb

dt

vdb

dt

vdbty

n

n

nn

n

n 011

1

1)( ++++= −

−

− �

N(p)

v y


Conclui-se

■ Agrupando os termos

■ e na forma matricial

u(t)bxabbxabbxabbty n10n21nn1-nnn +−+−++−= − )()()()( 011 �

C

D

0

1

2

1

( )

( )

( )

( )

( )

T

n 0 1

n 1 2

n

n n n-2 n-1

n n n-1 n

b b a x

b b a x

y t b u(t)

b b a x

b b a x−

−

− −

= + − −

� �


Matrizes do modelo canônico controlável

■ O modelo final pode ser escrito

B =

0

0

1

�

nbD =

)()()(

)()()(

tDutCty

tButAtdt

d

+=

+=

x

xx

0

1

1

( )

( )

( )

T

n 0

n 1

n n n-1

b b a

b b aC

b b a−

− − = −

�

−−−−

=

−1210

1000

0100

0010

naaaa

A

��

��


Equação homogênea

■ A equação homogênea corresponde aosistema de entrada nula e portanto o modelode estado reduz-se a

■ Portanto, conhecendo-se a matriz A, ocomportamento natural do sistema pode serdeterminado.

Axdt

dx =( ) ( ) ( )d

t A t Bu tdt

= +xx


Autovalor e autovetor

Definem-se como autovalores (λ) e autovetores (ξ) deuma matriz A a solução da equação

λξξ =A

0)( =− ξλ AI

0)det( =− AIλ

ou ainda,

cuja solução, desprezando a trivial, exige que a matriz[λI-A] seja singular (não inversível) e, portanto,

que é uma forma de calcular os autovalores.


Autovalor e pólo

■ Pode-se mostrar que as raízes do polinômiocaracterístico, ou pólos, são iguais aos autovalores damatriz de estado A.

■ Considerando que existem infinitas representações deestado de um mesmo sistema, pode-se concluir quetodos os modelos vão apresentar os mesmosautovalores.


Exemplo 4.2

Para um sistema MMA, determine o modelo deestado canônico controlável correspondente.

m

k c c k uy y y

m m m+ + =��

y

1x2x2x�

2 2 1

1 2

c k ux x x

m m mx x

+ + =

=

�

�

1x�

onde o vetor de estado

1

2

x yx

x y

= =

�

1y x=resposta


Exemplo 4.2 continuação

1 2

2 2 1

0x x

c k ux x x

m m m

− =

+ + =

�

� vetor deestado

1

2

x yx

x y

= =

�

■ na forma matricial

1 1

2 2

0 1 0

1x x

uk cx x

m m m

= + − −

��

[ ]1 0 1

2

xy

x

=

1y x=

resposta


Exemplo 4.2 continuação

■ na forma matricial padronizada

10C

m =

0 1A k c

m m

= − −

0

1B

=

[ ]0D =

A

a a a an

=

− − − −

−

0 1 0 0

0 0 1 0

0 1 2 1

��

� � � � ��

B =

0

0

1

� nbD =

0

1

1

( )

( )

( )

T

n 0

n 1

n n n-1

b b a

b b aC

b b a−

− − = −

�

c k uy y y

m m m+ + =��


Exemplo 4.2: Diagrama de blocos

■ Diagrama de blocos do sistema

■ notar que as saídas dos integradores são as variáveisde estado

�-

�

k/m

y

c/m

u +1/m

-

2y x=�� 2y x=�1y x=

∫ ∫


Matlab: exemplo 4.2

Considerando m=2kg, c=3 N/m/s, k=10 N/m,montar o modelo de estado anterior usandoMatlab. Usar os comandos ss, eig, damp, tf,roots e mostrar que os autovalores e os pólosdo sistema são os mesmos.


■ m=2;■ c=3;■ k=10;■ A=[0 1;-k/m -c/m];■ B=[0;1/m];■ C=[1 0];■ D=0;■ sys=ss(A,B,C,D);■ impulse(sys)

Matlab: programa p/ o exemplo 4.2

■ np=1/m;■ dp=[1 c/m k/m];■ sys2=tf(np,dp);■ figure(2), impulse(sys2)

■ eig(A)■ roots(dp)

■ damp(A)■ damp(sys2)


Exemplo 4.3

Determine o modelo de estado físico para osistema abaixo, com 2 GDL.

1 1 1, ,y y y� � �

2 2 2, ,y y y� � �

1m

2m

10

3

2

1

1

1

===

k

c

m

10

3

50

2

2

2

===

k

c

m1c

2c

1k

2k

)(tf

Nttf )2sen(10)( =


Exemplo: solução

Aplicando-se a lei de Newton a cada massachega-se às seguintes equações:

A partir dessas equações deduzir os modelos deestado. Usar como vetor de estado odeslocamento e a velocidade de cada massa.

fkykyycycym

kykyycycym

=+−+−=−+−+

212122

212111 022

��

��


Exemplo : solução

Definindo-se o vetor de estado como

as equações ficam

ou ainda

fkxkxcxcxxm

kxkxcxcxxm

=+−+−=−+−+

314242

314221 022

�

�

2412

2311

yxyx

yxyx

�� ====

32

12

42

222

4

31

11

41

21

2

1

22

xm

kx

m

kx

m

cx

m

cf

mx

xm

kx

m

kx

m

cx

m

cx

−+−+=

+−+−=

�

�


Exemplo : solução

Ordenando os termos

e lembrando que

o modelo fica

fm

xm

cx

m

kx

m

cx

m

kx

xm

cx

m

kx

m

cx

m

kx

24

23

22

21

24

41

31

21

11

2

1

22

+−−+=

++−−=

�

�

u

mx

x

x

x

m

c

m

k

m

c

m

k

m

c

m

k

m

c

m

k

x

x

x

x

+

−−

−−=

24

3

2

1

2222

1111

4

3

2

1

10

0

0

1000

220010

��

423

211

xyx

xyx

====

��

��


Exemplo : solução

Considerando a saída como a posição da massa 1:

Se desejarmos as duas posições:

11 yxy == [ ]

=

4

3

2

1

0001

x

x

x

x

y

=

4

3

2

1

0100

0001

x

x

x

x

y


Exercício

■ Utilizar o mesmo programa anterior doúltimo exemplo (p/ saída = y1) e calculara resposta à excitação f(t) a partir dafunção de transferência.

■ Encontrar o modelo canônico controlávelpara o mesmo exemplo.• Sugestão: usar o operador p nas duas

equações básicas e eliminar em umadelas.


Resultados esperados

■ Gráfico da saída p/ uma entrada senoidal10sen(2 )t

modelagem de estado introdução vetor de estado modelo...

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