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Controle de Sistemas Mecânicos

Projeto básico de controladores

� Definição das margens

� Diagramas de Bode

� Diagramas de Nyquist

� Exemplos de projetos


Margem de ganho

Conhecido o máximo ganho (Km) queassegure a estabilidade para o controleproporcional de uma dada planta de fasemínima (zeros no semi-plano esquerdo)e realimentação unitária negativa, amargem de ganho é definida como:

1020log mMG K=


Exercício 19.1: Margem de ganho

Dado a planta abaixo, calcule a suamargem de ganho:

( ) 1

( ) ( 5)( 8)

Y s

U s s s s=

+ +


Solução: Margem de ganho

( ) 1

( ) ( 5)( 8)

Y s

U s s s s=

+ +

np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);rlocus(np,dp)km=519mg=20*log10(km)

1020log mMG K=

MG = 54.3 dB


Teste em Simulink: Margem de ganho

k=522

K=519muito próximoda estabilidade

marginal

Tempo muitolongo paravisualizar a

instabilidade


Margem de fase

Mínimo atraso de fase que pode seradicionado por um controlador a umsistema de malha aberta estável demodo a desestabilizar o sistema de

malha fechada.


Margens de ganho e fase na FT senoidal

� Com ganho e atraso a FT de malha aberta fica:

� FT de malha fechada fica:

� Fazendo pode-se obter as frequênciasque instabilizam o sistema malha fechadafazendo

)()( sPKesG asT−=

s jω=

( )( )

1 ( )

a

a

sT

sT

Ke P sFTmf s

Ke P s

−

−=+

1 ( ) 0aj TKe P jω ω−+ =


Margens de ganho e fase na FT senoidal

� Duas condições para satisfazer a equação

� A FT malha aberta pode ser escrita na forma

1 ( ) 0aj TKe P jω ω−+ =

( ) 1KP jω =

( ) 180aj Te P jω ω− = −

( )( ) ( ) aj T j jG j KP j e eω φ ωω ω −=


Margens de fase na FT senoidal

� Quando a primeira é satisfeita

� Pode-se observar o quão distante a faseesta de satisfazer a segunda

� Na frequência

( ) 1KP jω =

( ) 180aj Te P jω ω− = −

( ) 180jφ ω θ− = −

cgωPode-se definir

Frequência decruzamento de

ganho

cgω

θ

180 ( )jθ φ ω= +

Margem de faseem graus


Margens de ganho na FT senoidal

� Quando a segunda é satisfeita

� Pode-se observar o quão distante o ganhoesta de satisfazer a primeira

� Na frequência

( ) 180aj Te P jω ω− = − cfωPode-se definir

Frequência decruzamento de

fase

cgω Margem deganho em dBs

( )0 20log10 ( )KP jω−

( )KP jω

( ) 1KP jω =


Exercício 19.2: Margem de fase

Dado a planta abaixo, calcule a suamargem de fase:

( ) 1

( ) ( 5)( 8)

Y s

U s s s s=

+ +


Solução: Margem de fase

( ) 1

( ) ( 5)( 8)

Y s

U s s s s=

+ +

np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);w=logspace(-3,2)bode(np,dp,w)wcg=0.025180 ( 90.5)MF = + −

89.5MF =


Teste em Simulink: Margem de fase

Ta= 65s

( ) ( )aj TG s e P sω−= aTω θ=

89.5* /18062.5

0.025a

piT

θω

= = ≅


Vizualização das margens

� As margens podem ser visualizadasdiretamente nos diagramas de Bode,Nyquist e Nichols.

� Primeiramente faz-se necessário definiralgumas freqüências para visualizaçãodas margens


Definição dos pontos de cruzamentos

� Freqüência de cruzamento de ganho:– corresponde ao ponto em que o ganho cruza a

linha de zero decibéis no diagrama do módulo


Definição dos pontos de cruzamentos

� Freqüência de cruzamento de fase:– corresponde ao ponto em que a fase cruza a

linha de -180 graus no diagrama de fase


Como calcular as margens

� Na freqüência de cruzamento de ganhodefine-se a margem de fase como o ânguloque falta para completar 180 graus.

MF


Como calcular as margens

� Na freqüência de cruzamento de fase define-se a margem de ganho como a diferença emdecibéis para atingir zero dB.

MG


Usando os diagramas de Bode

As margens podem ser vistas no diagrama de Bode(comando margin)

( ) 1

( ) ( 5)( 8)

Y s

U s s s s=

+ +

np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);margin(np,dp)

Para a planta:

MF

MG


No diagrama de Nyquist

zero raio unitário

180 cruzamento com o eixo real negativoo

Db ⇔⇔

Considerandoo ponto onde


Margens no diagrama de Nyquist

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquis t Diagrams

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

MF

1/MG

As margenspodem serencontradasno círculode raiounitário e noponto decruzamentodo eixo realnegativo.


Margens finitas menores

A aproximaçãodos cruzamentosdo ponto (-1,0)gera margensmenores tantopara o ganhocomo para a fase


Usando o diagrama de Nichols

As margens são visualizadas em um único gráfico

MF

MG

np=[1];dp=poly([ 0 -5 -8]);nichols(np,dp)


Frequency (rad/s ec)

Pha

se (

deg)

; M

agni

tude

(dB

)

Bode Diagrams

-100

-50

0

Gm=33.625 dB (at 2.8284 rad/s ec), P m=84.647 deg. (a t 0.1247 rad/s ec)

10-1

100

101

-250

-200

-150

-100

Exemplo 19.1: Margens finitas

Para a planta (comando margin): Y s

U s s s s

( )

( ) ( )( )=

+ +1

2 4

MG

MF


Exemplo 19.1: Gráfico do lugar das raízes

Usando o comando rlocus: Y s

U s s s s

( )

( ) ( )( )=

+ +1

2 4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s


Exemplo 19.1: Diagrama de Nyquist

Para a planta: Y s

U s s s s

( )

( ) ( )( )=

+ +1

2 4

% raio unitário teta=linspace(0,2*pi,100); re=cos(teta); im=sin(teta); plot(re,im,'k') axis equal, hold on

np=1; dp=poly([-4 -2 0]); sys=tf(np,dp); [r i]=nyquist(sys); r1(1,:)=r(1,1,:); i1(1,:)=i(1,1,:); plot(r1,i1,'b'), grid zoom

-0.02 0 0.02

-0.02

-0.01

0

0.01


Exemplo 19.1: Diagrama de Nichols

Para a planta: Y s

U s s s s

( )

( ) ( )( )=

+ +1

2 4

Open-Loop P has e (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)

Nichols Charts

-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100

-200

-150

-100

-50

0

50


Exemplo 19.2: Margem de ganho infinita

Para a planta: Y s

U s s s

( )

( ) ( )( )=

+ +16

2 4


Pha

se (

deg)

; M

agni

tude

(dB

)

Bode Diagrams

-40

-20

0

Gm = Inf, P m=93.268 deg. (at 2.6623 rad/s ec)

100

101

-150

-100

-50

0


Exemplo 19.2: Lugar das raízes

Para a planta: Y s

U s s s

( )

( ) ( )( )=

+ +16

2 4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s



Para a planta:

Y s

U s s s

( )

( ) ( )( )=

+ +16

2 4



Para a planta: Y s

U s s s

( )

( ) ( )( )=

+ +16

2 4


Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)

Nichols Charts

-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0


Exemplo 19.3: Sempre estável

Para a planta: )4)(2(

8

)(

)(

++=

sssU

sY


Pha

se (

deg)

; M

agni

tude

(dB

)

Bode Diagrams

-60

-40

-20

0Gm = Inf, P m=180 deg. (at 0 rad/s ec)

100

101

-150

-100

-50

0


Exemplo 19.3: Lugar das raízes

Para a planta:)4)(2(

8

)(

)(

++=

sssU

sY

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s



Para a planta:

Y s

U s s s

( )

( ) ( )( )=

+ +8

2 4



Para a planta:)4)(2(

8

)(

)(

++=

sssU

sY


Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)

Nichols Charts

-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0


Margem de Redução de ganho

Quando o sistema é instável em malhaaberta (pólos da FT de malha aberta noSPD), a margem de redução de ganho édefinida como o menor ganho (Kr) queassegure a estabilidade do sistema emmalha fechada:

( )rKMRG 10log20=


Margem de Redução de ganho

Observar as margens juntamente com olugar das raízes da malha aberta

np=...;

dp=...;

figure(1)

margin(np,dp)

figure(2)

rlocus(np,dp)


Exemplo 19.4: Margem de redução de ganho

Para a planta cuja FT é

calcule a margem de ganho e margem de fase ejustifique o resultado

2

3

3 6 4( )

1

s sG s

s

+ +=+


Solução:nps=[3 6 4];

dps=[1 0 0 1];

figure(1)

margin(nps,dps)

figure(2)

rlocus(nps,dps)


Solução:

km=0.371

mg=20*log10(km);

mg= -8.6125

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