Decibeis e Graficos de Bode.Discente: Anderson Souza Rocha

Logaritmo Devido operaes matemticas necessrias para

determinao de logaritmos, e antilogaritmos, essas entidades passavam uma viso de serem entidades vagas e misteriosas, mas como a maioria das calculadoras cientficas atuais implementam funes funes de logaritmos decimal e natural (o que elimina a complexidade) permite aos usurios explorarem essas entidades e utilizarem seus aspectos positivos na soluo de problemas. Relao Bsica: Se N = (b)^x, ento x = logb N

Propriedade do Logaritmo

O decibel uma unidade logartmica que indica uma

proporo de quantidade fsica em relao a um nvel de referencia especificado ou implcito. O decibel corresponde a dcima parte de um bel, que uma unidade bastante utilizada para medidas de intensidade sonora.

Para obter uma unidade de menor magnitude definiu-

se o decibel.

1 bel = 10 decibis dB = 10*logP2/P1 10 Se P2 = P1 dB = 0 P2 > P1 dB > 0 P2 < P1 dB < 0 Para P2=2P1 o ganho em decibis : dB = 10*log2P1/P1 10

Pelas discusses anteriores, podemos concluir

que o aumento de 1dB imperceptvel, um aumento de 2dB est no limite de percepo, e 3 dB resulta numa variao detectvel. A indstria de udio tem como regra aceitar variaes de 3dB na sada, para obteno de variaes de nvel sonoro. Para um sistema de 8W, uma elevao de 3dB exige que a potncia na sada seja 16W. dB = 10*logP2/P1 10

O decibel ter tambm pode ser utilizado para

comparar valores de tenso, atravs da substituio da potencia P = V2 /R, P1 = V12/ R1 , P2 = V22/ R2 . dBv = 10*log V22/ R2 / V12/ R1 dBv = 10*log V22/ V12 / R2 / R1 dBv = 10*log (V2/ V1 )2- 10*log (R2/ R1 ) dBv = 20*log (V2/ V1 )- 10*log (R2/ R1 ) P/ R2 = R1 dBv = 20*log (V2/ V1 )

Atravs da utilizao do decibel, a plotagem dos

grficos para ganhos de potncia/tenso se torna mais fcil, onde nesta notao os ganhos elevados podem ser representados em um s grfico.

Aplicao - Resposta do Ouvido Humano O ouvido humano no responde de maneira

linear a variaes de potncia sonora. Uma variao de 0,5W para 1W, percebida da mesma forma que 5W para 10W pelo ouvido humano, ocasionando a mesma variao de 2dB. O que evidencia que o ouvido humano responde logaritmicamente variao de potncia sonora. Para estabelecer uma base para comparao entre nveis sonoros, usa-se o valor de referncia 0,0002 ubar, que a presso de limiar da audio. dB = 20*log P/0,0002ubar

Quanto uma potncia de uma fonte sonora

dever ser aumentada para que o nvel sonoro recebido pelo ouvido fosse 2x maior?

Para cada nvel de potncia est associado a um

nvel em dB, onde uma variao de 10dB corresponde a uma variao de 10x a potncia. Por meio de experimentos sabe-se que os nveis sonoros dobram a cada aumento de 10dB, dessa forma para duplicar a intensidade do som percebido pelo ouvido humano, multiplica-se a potencia da fonte por 10.

Grfico de Bode Tcnica para representao grfica da resposta

em frequncia para: amplificadores, filtros, e sistemas em escala de decibis. As curvas e os ngulos e/ou mdulos da fase em funo da frequncia so denominado Grficos de Bode.

Anlise de Caso: Filtro RC Passa Altas Freqncias que nos interessam situam-se na

extremidade inferior do espectro. Ganho de Tenso: Av = Vo/Vi = R/R-jXc 1/1-j(Xc/R) = 1/1-j(1/2fRC) Av = 1/1 j(1/2fCR)1/fSendo fc = 1/2fCR.

Substituindo em Av

Av = 1/1-j(fc/f). Em termos de mdulo e fase.

Av = Vo/Vi = Av < = 1/1+(fc/f)2 < tg-1 (fc/f). O que nos permite ter uma equao que envolve o

mdulo e a fase do ganho em funo da frequencia, dessa forma podemos representar esse ganho de tenso em decibis conforme visto anteriormente logo: AvdB = 20*logAv.

Substituindo Av pela equao em funo do

mdulo e fase: AvdB = 20*log 1/(1+(fc/f)2) < tg-1 (fc/f). =20*log1 20*log (1+(fc/f)2) . AvdB = - 20*log (1+(fc/f)2). Lembrando que log x = logx1/2=1/2 log x.

AvdB = -(1/2 )*(20)*log [1 + (fc/f)2]. AvdB = -10*log [1 + (fc/f)2]. Para frequncias em que f >1.

1 + (fc/f) fc/f

AvdB = -10*log [1 + (fc/f)2]. Como logx2 = 2*logx ento: AvdB

-logb + log1/b, b=fc/f. = +20*log (fc/f).

Algumas concluses importantes. Razo entre f/fc = 2:1, as frenquencias se

encontram separadas por uma oitava. Em grfico de Bode, variao de uma oitava resulta em 6dB no ganho. Razo entre f/fc = 10:1, frequencias separadas por uma dcada. Em grficos de Bode, variao de uma dcada resulta em 20dB no ganho.

Plotando o Grfico. Consideremos as seguintes frequncias:

f=fc/10, f/fc=0,1 e 20*log0,1 = -20dB. f=fc/4, f/fc=0,25 e 20*log0,25 = -12dB. f=fc/2, f/fc=0,5 e 20*log0,5 = -6dB. f=fc, f/fc = 1 e 20*log1 = 0dB. A medida que f se aproxima de fc, o ganho em dB se torna menos negativo, aproximando-se do 0. Os grficos de Bode so segmentos de reta por que a variao do ganho com a frequencia em dB por dcada ou dB por oitava constante.

Grafico de Bode.