Resumo• Efeito da Realimentação nos Pólos do Amplificador

• Amplificador só com um Pólo

• Amplificador com dois Pólos

• Amplificador com três ou mais Pólos

• Estabilidade usando Diagramas de Bode

• Compensação de Frequência

– p. 1/26

Função de Transferência do Amplificador re-

alimentado

Num amplificador realimentado o ganho de malha aberta A é função da

frequência e deve ser designado por função de transferênciaem malha aberta

A(s). Tambémβ varia com a frequência e deverá ser designado por função de

transferência de realimentação.

A função de transferência em malha fechada será dada por:

Af (s) = A(s)1+A(s)β(s)

A análise seguinte diz respeito apenas às frequências mais elevadas.

O ganho da malhaA(s)β(s) pode ser representado no domínio complexo

fazendo s=jw. Neste caso é possível representarAβ pela magnitude e fase.

A forma como o ganho varia determina a estabilidade do amplificador.

– p. 2/26

Função de Transferência do Amplificador re-

alimentado

Para a frequência em que a fase atinge o valor de 180◦Aβ é um valor negativo.

Se nesta frequênciaAβ for menor do que a unidade então o ganhoAf será

maior do que o ganho em malha aberta mas o amplificador continua estável.

Se para esta frequência o ganho for igual a 1Af será infinito, ou seja, o

amplificador poderá ter uma saída mesmo sem entrada (oscilador).

O amplificador também oscilará para um valor deAβ superior à unidade

quando a fase atinge 180◦.

Uma vez conhecido o mecanismo que leva à oscilação importa agora

descobrir os mecanismos que permitem evitar esta situação.

– p. 3/26

Efeito da Realimentação nos Pólos do Amplifi-

cador A resposta em frequência

do amplificador

e a estabilidade

são determinadas pelos

seus pólos. É necessário

investigar o efeito da realimentação nos pólos do amplificador. Para um

amplificador ser estável os pólos devem estar no semi-plano esquerdo do

domínios.

Se num amplificador com um par de pólos conjugadoss= σo± jwn, ao ligar

a fonte de alimentação ou excitar com um impulso à entrada obtém-se uma

resposta com termos do tipo

v(t) = eσot[

e+ jwnt +e− jwnt]

= 2eσot cos(wnt)

Se os pólos estão no semiplano esquerdo entãoσo será negativo e as

oscilações decairão exponencialmente até zero o que implica que o sistema é

estável. Se os pólos estão no semiplano direito entãoσo será positivo e as

oscilações aumentarão exponencialmente até à saturação. Se os pólos estão no

eixo jw entãoσo será zero e manter-ão as oscilações.– p. 4/26

Efeito da Realimentação nos Pólos do Amplifi-

cadorSe os pólos estão

no semiplano direito

entãoσo será positivo e

as oscilações aumentarão

exponencialmente

até à saturação.

Se os pólos estão no eixo

jw entãoσo será zero

e manter-á as oscilações.

– p. 5/26

Amplificador só com um Pólo

Os pólos do amplificador realimentado são os zeros de 1+A(s)β(s). Os pólos

do amplificador realimentado são obtidos resolvendo a equação

1+A(s)β(s) = 0 que é chamada aequação característica. Aplicando

realimentação os pólos em malha aberta vão modificar-se. Considera-se que o

amplificador em malha aberta tem só pólos reais uma vez que só existem

condensadores e resistências. Considera-seβ independente da frequência.

– p. 6/26

Amplificador só com um Pólo

Se a função de transferência

em malha aberta tem um póloA(s) = A01+s/wP

a função em malha fechada será

Af (s) = A0/(1+A0β)1+s/(wP(1+A0β))

Para frequênciasw� wP (1+A0β)

Af (s) 'A0wP

s ' A(s)

(coincidência dos gráficos deA eAf )

Ou

seja para altas frequências o ganho da malha

é muito menor que a unidade e a realimentação

não é efectiva (a realimentação fica menos

dependente da malha de realimentação e fica

mais dependente do ganho em malha aberta).

– p. 7/26

Amplificador só com um Pólo

Com a realimentação o pólo

desloca-se no semi-eixo negativo em direcção

a menos infinito o que torna o amplificador

mais estável (incondicionalmente estável).

Para a realimentação se tornar positiva é

preciso que os pólos introduzam um desvio de

fase de 180◦pois assim o ganho da malha muda

de sinal. Assim à entrada do amplificador

a mistura passa duma diferença para

a uma soma. Além do desvio de fase o ganho

Aβ terá que ser maior ou igual a um para o

amplificador se tornar instável. Nesta situação

a realimentação seria positiva. No caso

dum único pólo o máximo desvio de fase é

de 90◦, pelo que não há risco de instabilidade.

– p. 8/26

Amplificador com dois Pólos

Considerando a função transferência

em malha aberta caracterizada por dois pólos

A(s) = A0(1+s/wP1)(1+s/wP2)

O pólos deAf (s) são os zeros de 1+A(s)β = 0

que se pode escrever da seguinte forma

s2 +s(wP1 +wP2)+(1+A0β)wP1wP2 = 0 (1)

Os pólos em malha fechada são

s= −12 (wP1 +wP2)±

12

√

(wP1 +wP2)2−4(1+A0β)wP1wP2

A figura é designada por diagrama do lugar das raízes. É possível verificar

que este amplificador realimentado é incondicionalmente estável (os pólos

estão no semiplano esquerdo). O máximo desvio de fase neste caso é

180◦(90◦por pólo) mas é atingido no infinito quando o ganho em malha aberto

é muito pequeno.

– p. 9/26

Amplificador com dois Pólos

A função

característica (1) é uma função de segunda

ordem que pode ser escrita da seguinte forma

s2 +sw0Q +w2

0 = 0

em quew0 é chamada a frequência do pólo

eQ é o factor de qualidade do pólo. Os pólos

são complexos seQ é maior que 0.5. Na figura

é possível ver a interpretação para as grandezas

w0 eQ. Pólos no eixojw temQ = ∞.

– p. 10/26

Amplificador com dois Pólos

Na figura é mostrado

o ganho normalizado

do amplificador

realimentado de dois

pólos para vários valores

deQ. ParaQ > 0.707

o amplificador mostra

um pico. ParaQ = 0.707

(pólos com ângulos de 45◦) resulta numa resposta bastante plana (sendo estes

os pólos do filtro passa baixo de Butterworth de segunda ordem).

– p. 11/26

Amplificador com três ou mais Pólos

Quando o ganho da malha

(Aβ) aumenta o pólo real mais negativo

no eixo desloca-se para menos infinito

e os outros aproximam-se entre eles,

tornam-se complexos e aumentando

ainda mais o ganho da malha

passam para o semi-plano positivo

tornando o amplificador instável. Três

pólos introduzem um desvio de fase de

-270◦quandow tende para infinito. Se

para o desvio de fase de -180◦o ganhoAβ é maior que um o amplificador

torna-se instável.

– p. 12/26

Estabilidade usando Diagramas de Bode

Margens de Fase e GanhoO amplificador realimentado é estável

porque à frequência que se atinge

uma fase de 180◦(w180◦) o módulo

do ganho da malhaAβ é menor que a

unidade (negativo paradB). O módulo

da diferença entre o valor de|Aβ| para

w180◦ e a unidade é a margem de ganho.

A margem de ganho indica a quantidade

pela qual o ganho da malha pode

ser aumentado mantendo a estabilidade.

Outra maneira de investigar a estabilidade, é verificar o ângulo de fase na

frequência em que o ganho da malha tem módulo um. Se esse valorfor menor

do que 180◦então o amplificador é estável. A diferença entre este ângulode

fase e 180◦é chamado a margem de fase.

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Estabilidade usando Diagramas de Bode

Efeito da Margem de Fase na Resposta em Malha FechadaOs amplificadores com realimentação são normalmente projectados com uma

margem de fase de pelo menos 45◦. Esta margem de fase tem uma enorme

influência na resposta em malha fechada do amplificador.

Para analisar de que forma considere-se um amplificador com|A0β| � 1. O

ganho em malha fechada é aproximadamente 1/β.

Sendo a frequência em que o ganho da malha é umw1 obtém-se:

A( jw1)β = 1xe− jθ

comθ = 180◦−margem de fase

Em w1 o ganho em malha fechada é:

Af ( jw1) = A( jw1)1+A( jw1)β = (1/β)e− jθ

1+e− jθ

O módulo do ganho será:∣

∣Af ( jw1)∣

∣ = 1/β|1+e− jθ|

Para uma margem de fase de 45◦, θ = 135◦ e∣

∣Af ( jw1)∣

∣ = 1.31β

– p. 14/26

Estabilidade usando Diagramas de Bode

Efeito da Margem de Fase na Resposta em Malha FechadaExiste um pico de ganho emw1. Esse aumento de ganho é maior à medida

que a margem de ganho é reduzida.

Uma margem de fase de zero implica que o amplificador pode manter

oscilações. (pólos no eixo imaginário).

Diminuindo a margem de fase os pólos aproximam-se do eixo imaginário

resultando em picos na resposta em frequência em malha fechada.

– p. 15/26

Estabilidade usando Diagramas de Bode

Um método alternativopara investigar estabilidadeEstudar

a estabilidade por construção

de diagramas de Bode do

ganho da malhaAβ é uma tarefa

que consome muito tempo.

É conveniente encontrar um

método alternativo. O método

consiste em construir o diagrama

de Bode para o ganho em malha

abertaA( jw). Considerando que

β é independente da frequência.

– p. 16/26

Estabilidade usando Diagramas de Bode

Um método alternativopara investigar estabilidadeEntão 20log(1/β)

é constante e é possível representar

no mesmo gráfico de 20log|A|.

A diferença entre as duas curvas é

20log|A( jw)|−20log1β = 20log|Aβ|

que é o ganho da malha

en dB. Para avaliar a estabilidade

para uma realimentação diferente

basta traçar outra recta 20log(1/β).

O ganho

20log(1/β) é aproximadamente

o ganho em malha fechada (em DC).

– p. 17/26

Estabilidade usando Diagramas de Bode

Um método alternativo para investigar estabilidadeUma vez que o ganho da malha é a diferença entre a curva 20log|A| e a curva

20log(1/β) o ponto de intersecção corresponde à frequência na qual|Aβ| = 1.

Ao aumentar a realimentaçãoβ, diminui-se o ganho em malha fechada e

aumenta-se a instabilidade do amplificador.

Na frequência correspondente ao segundo pólo (do ganho em malha aberta)

existe um desvio de fase de 135◦ (90◦do primeiro pólo e 45◦do próprio pólo).

Se a recta 20log(1/β) passar por esse ponto (corresponde nesse ponto a

20log(Aβ) = 0dB) obtém-se uma margem de fase de 45◦. Se a recta

20log(1/β) passar acima desse ponto obtém-se uma margem de fase ainda

maior. Por isso se a recta 20log(1/β) cruzar o gráfico do ganho em malha

aberta numa zona com declive igual a 20dB/Decada obtém-se uma margem de

fase superior a 45◦.

– p. 18/26

Estabilidade usando Diagramas de Bode

Um método alternativo para investigar estabilidadeAtendendo que o ponto de fase de malha aberta de 180◦é atingido quando o

ganho em malha aberta decresce a 40dB/Decada conclui-se queuma regra

prática util será:O amplificador em malha fechada será estável se a recta

20log(1/β) intersecta a curva 20log|A| num ponto em que o ganho decresce a

20dB/Decada. Seguindo esta regra garante-se uma margem de fase de 45◦.

Generalizando:Na intersecção de20log[1/ |β( jw)|] e20log|A( jw)| a

diferença de declives não poderá exceder 20dB/Decada

– p. 19/26

Compensação em Frequência

É possível

analisar a compensação

de amplificadores

em malha aberta com três ou

mais pólos de forma a serem

estáveis para qualquer valor

de ganho em malha fechada.

O que se pretende conseguir

é que a recta 20log(1/β)

intersecte o ganho

em malha aberta num ponto

de declive de 20dB/decada.

– p. 20/26

Compensação em Frequência

O método mais simples de

compensação na frequência

consiste em introduzir

um pólo novo na função

A(s) a uma frequência

suficientemente baixa,fD, tal

que a curva do novo ganho

em malha aberta intersecte

a curva 20log(1/ |β|)com uma diferença

de declive de 20dB/Decada.

Primeiro traça-se a recta

20log(1/ |β|). De seguida localiza-se o ponto Y nessa recta à frequência do

primeiro pólo, fP1. De Y traça-se uma recta com -20dB/Decada de declive e

determina-se o ponto no qual se atinge o ganho DC Y’.

– p. 21/26

Compensação em Frequência

Outro método

com melhores resultados é

localizar a intersecção da recta

20log(1/ |β|) com a resposta

em malha aberta pretendida no

segundo pólo (fP2)da resposta

em malha aberta original

(Ponto Z). Traçar um segmento

de declive -20dB/Decada

até atingir o ponto de ganho

DC (ponto Z’). Então alterar

o circuito de forma a deslocar o

primeiro pólo para a frequência do ponto Z’.

– p. 22/26

Compensação em FrequênciaÉ

necessário

analisar

a

forma

de imple-

mentar o

esquema de

compensação discutido no ultimo acetato.

O circuito amplificador consiste normalmente num certo número de andares

em cascata, com cada andar a ser responsável por um ou mais pólos da função

transferência.

Através de análise manual ou computacional do circuito identifica-se qual o

andar responsável por cada um dos pólos. Introduz-se então uma capacidade

em paralelo com a que é responsável pelo pólo mais baixo e corrige-se a

frequência do pólo.

– p. 23/26

Compensação em FrequênciaOs andares diferenciais em cascata da figura (a) têm por circuito equivalente

de saída do primeiro andar a figura (b)

O pólo é dado por

fP1 = 12πCxRx

Se for introduzida uma capacidade adicionalCC nesse andar, desloca-se o

pólo para uma frequência mais baixa

f′

D = 12π(Cx+CC)Rx

De notar que este procedimento pode afectar a localização dos outros pólos

dos andares seguintes. Poderá existir uma nova localizaçãodo segundo pólo.

Traça-se então outro segmento de recta e outro valor deCC. (repete-se este

procedimento até atingir um valor final paraCC).

A desvantagem desta implementação poderá ser um valor elevado para o

condensador que poderá não ser possível implementar num circuito integrado

(normalmente limitado a 100pF). Neste caso é possível utilizar o Efeito de

Miller e integrar um condensador entre dois pontos de ganho elevado. Assim

o condensador necessário será muito mais pequeno.

– p. 24/26

Compensação em FrequênciaCompensationpor efeito de Millere afastamento dos pólosA figura representa um

andar de um amplificador.

C1 inclui a componente

de Miller devido à

capacidadeCµ eC2 inclui

a capacidade de entrada do andar seguinte.Ii representa o sinal de corrente do

andar anterior.

Na ausência deCf os pólos dão os seguintes valores:

fP1 = 12πC1R1

fP1 = 12πC2R2

ComCf obtém-se a seguinte função de transferência:VoIi

=(sCf −gm)R1R2

1+s[C1R1+C2R2+Cf (gmR1R2+R1+R2)]+s2[C1C2+Cf (C1+C2)]R1R2(1)

O polinómio de segundo grau do denominador em função dos pólos é dado

por:

D(s) =(

1+ sw‘

P1

)(

1+ sw‘

P2

)

= 1+s(

1w‘

P1+ 1

w‘P2

)

+ s2

w‘P1w‘

P2– p. 25/26

Compensação em FrequênciaCompensationpor efeito de Millere afastamento dos pólosD(s) '

1+s 1w‘

P1+ s2

w‘P1w‘

P2(2)

De (1) e (2) do

acetato anterior tira-se:

w‘P1 '

1gmR2Cf R1

w‘P2 '

gmCfC1C2+Cf (C1+C2)

Pode-se provar que com o aumento deCf , w‘P1 diminui ew‘

P2 aumenta. O

aumento dew‘P2 é bastante benéfico pois pode deslocar o ponto Z mais para

altas frequências. A este efeito é chamado afastamento dos pólos.

No primeiro póloCf é multiplicado pelo factor do efeito de MillergmR2

resultando numa muito maior capacidade. Por issoCf será muito menor que

CC.

– p. 26/26