apostila controle - 14 - desempenho de sistemas (domínio da frequência) - bode

8/6/2019 Apostila Controle - 14 - Desempenho de sistemas (domnio da frequncia) - Bode

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Controle de Sistemas Mecnicos

Desempenho no domDesempenho no domnio da freqnio da freqnciancia

Desempenho em Freqncia

Representao de FRF Diagrama Linear

Diagramas de Bode Funo de transferncia de fase mnima

Funo de transferncia de fase no-mnima

Diagrama de Nyquist

Diagrama de Nichols


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Desempenho em freqDesempenho em freqnciancia

Deseja-se atingir um desempenho que deve

ser especificado tecnicamente em termos daresposta ao sinal padronizado de entradaharmnica

A anlise do desempenho no domnio dafreqncia consiste basicamente na anlise dediagramas de respostas de amplitude e de fase

que representam o comportamento do sistemana resposta a excitaes harmnicas


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Ferramentas de anFerramentas de anlise no DFlise no DF

H vrios tipos de diagramas que podem ser

usados para expor as diversas caractersticasdessas respostas

Diagramas de Bode (principal ferramenta) Diagramas de Nyquist

Diagramas de Nichols


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DefiniDefinio FT de fase mo FT de fase mnimanima

Uma FT chamada de funo de transferncia

de fase mnima se todos os seus zerosestiverem no lado esquerdo do planocomplexo

chamada de fase no-mnima se existiralgum zero do lado direito do plano complexo

Para duas FTs com zeros iguais em mdulo esinais opostos, o diagrama de amplitude omesmo


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Diagramas de BodeDiagramas de Bode

Mtodo mais comum de representao do

comportamento da resposta em freqncia constitudo por dois grficos, o grfico das

amplitudes e o grfico das fases para cada freqnciada excitao harmnica.

O grfico das amplitudes apresentado na unidadedeciBel dB,AdB=10*log10(As/Ae)2= 20*log10(As/Ae)

O grfico das fases apresentado na unidade graus

Ambos tm no eixo horizontal o logaritmo da freqnciaangular (em rad/s)

Corresponde descrio da funo de transfernciacalculada no eixo imaginrio do plano complexo

= js


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Exemplo de diagramas de BodeExemplo de diagramas de Bode

Os diagramas ao

lado correspondema uma funo de

transferncia

de segunda ordem10-1 100 101

-30

-20

-10

0

10Diagramas de Bode

Amplitude(dB)

10-1

100

101

-200

-150

-100

-50

0

Freqncia angular (rad/s)

Fa

se(grau)

MatlabMatlab

: bode(: bode(

syssys

))


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VantagensVantagens

Existe um meio simples de esboar o

diagrama atravs das assntotas. A multiplicao dos mdulos convertida em

soma em dB.

Para traar o grfico das assntotas necessrio o conhecimento da influencia de: Ganho K

Plos e Zeros simples Plos e Zeros com multiplicidade

Plos e Zeros complexos


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Efeito de um ganho KEfeito de um ganho K00

0)( KsP = 100 =K

10)( =sP

Considerando a

funo detransferncia

19

19.5

20

20.5

21

Magnitude(dB)

100

101

-1

-0.5

0

0.5

1

Phas

e(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


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Efeito de um pEfeito de um plo em zerolo em zero

s

KsP

0)( =1

1

0 =

=

K

ssP

1)( =

-20

-15

-10

-5

0

5

Magnitude(dB)

100

101

-91

-90.5

-90

-89.5

-89

Phas

e(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Considerando a

funo detransferncia


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AssAssntotantotaDiagrama de BodeDiagrama de Bode

Dada a FT de um SPO com plo em zero

A funo mdulo e fase da FTS dada por

A funo mdulo em dB fica

0)(

KM =

)()()( 0

== Mj

KjP

js =

2)

0(tan)(

1 ==

log20log20log20)( 00 =

=

KKM

s

KsP

0)( =


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VisualizaVisualizao das equao das equaeses

100 =K

0log20)1( KM ==

log20log20)( 0 =K

M

2)( =

log20log20log20)( 00 =

=

KKM


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Efeito de um pEfeito de um plo genlo genricorico

Considerandoa funo detransferncia

1

)( 0

+

=s

KsP

1

1

0 =

=

K

1

1)(

+

=s

sP


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GrGrfico dasfico dasAssAssntotasntotas

Dada a FT de um SPO, pode-se obter a FTS



1)( 0

+=

s

KsP

22

0

1)(

+=

KM

)()(1

)( 0

=+

= Mj

KjP

js =

)(tan)( 1 =

+=

22

0

1log*20)(

KM


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AssAssntotasntotasBaixa FreqBaixa Freqnciancia

Caso a) Para 1111 22


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AssAssntotasntotasAltas FreqAltas Freqnciasncias

Caso b) Para

log20log20log20)( 0 = KM

Altas freqAltas freqnciasncias

111 2222 >>+>>

)log(*20log*201

log*20)( 022

0

+

= KKM

log20log20)( 0 =K

M

0log20)( KM =


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Cruzamento dasCruzamento dasAssAssntotasntotas

Calcula-se o valor de no cruzamento das duas curvas

log20log20)( 0 = KM0log20)( KM =

log20log20log20log20 00 = KK

log20log20 =1log20log20 =

1

=

1=

MMdulo do pdulo do plolo


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AssAssntotasntotas da faseda fase

Calcula-se a fase em :

2)(tan

4)1(tan10)0(tan0

1

1

1

===

======

=

;1

;0

10-2

10-1

100

101

102

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0=

4=

2=

)(tan)(1

=


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Efeito de um pEfeito de um plo complexo genlo complexo genricorico

Considerando a

funo detransferncia

22

2

0

2

)(nn

n

ss

KsP

++

=

-40

-30

-20

-10

0

10

20

M

agnitude(dB)

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

Phase(d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


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GrGrfico dasfico dasAssAssntotasntotas

Dada a FT de um SSO, pode-se obter a FTS



222222

2

0

4)()(

nn

nKM+

=

)()(2

)(22

2

0

=

+= M

j

KjP

nn

njs =

)2

(tan)(22

1

=

n

n

+=

222222

2

0

4)(log20)(

nn

nKM

22

2

0

2)(

nn

n

ss

KsP

++=


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AssAssntotasntotasBaixa FreqBaixa Freqnciancia

Caso a) Para n


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AssAssntotasntotasAltas FreqAltas Freqnciasncias

Caso b) Para Altas freqAltas freqnciasnciasn>>

22

0222222

20 log20log204)(

log20)(

=

+

= nnn

n KKM

10-1

100

101

-40

-30

-20

-10

0

10

20 log40log20)( 20 = nKM

log40log20)( 20 = nKM

0log20)( KM =


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Cruzamento dasCruzamento dasAssAssntotasntotas

Calcula-se o valor de no cruzamento das duas curvas

log*40log*20log*202

00 = nKK

log*40log*40 = n

n=

log*40log*20)( 20 = nKM0log20)( KM =

10-1

100

101

-40

-30

-20

-10

0

10

20

n=

log*40log*200 2 = n

MMdulo do pdulo do plolo


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AssAssntotasntotas da faseda fase

Calcula-se a fase em :

===

======

)0(tan

2)(tan0)0(tan0

1

1

1

n

)

2

(tan)( 221

=

n

n

10-1

100

101

-180

-150

-120

-90

-60

-30

00

= ;;0 n

0=

2=

=


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Efeito de um pEfeito de um plo duplo em zerolo duplo em zero

Considerando

a funo detransferncia

P(s)=1/s2


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Efeito de um pEfeito de um plo duplo genlo duplo genricorico

Considerando


P(s)=1/(s+1)2


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Efeito devido a pEfeito devido a plos (plos (plos no SPE)los no SPE)

Pode-se concluir pela observao dos diagramas anterioresque um plo simples acarreta uma queda assinttica naamplitude de 20 dB/dcada (ou 6 dB/oitava), a partir dafreqncia respectiva do plo e -90 graus na fase

Um plo duplo acarreta o mesmo efeito porm com uma taxade 40 dB/dec e 180 graus na fase

O mesmo ocorre para um plo complexo devido ao parconjugado

Pode-se inferir 20*n dB/dec de taxa para um plo de ordem n e-90*n graus na fase

Os mesmos resultados podem ser facilmente encontradosfazendo-se e calculando-se o mdulo e a faserespectiva da funo de transferncia

js =


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Efeito de um zero em zeroEfeito de um zero em zero

Considerando


P(s)=s


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Efeito de um zero genEfeito de um zero genricorico

Considerando


P(s)=s+1


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Efeito de um zero duplo em zeroEfeito de um zero duplo em zero

Considerando


P(s)=s2


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Efeito de um zero duplo genEfeito de um zero duplo genricorico

Considerando


P(s)=(s+1)2


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Efeito devido a zeros (zeros no SPE)Efeito devido a zeros (zeros no SPE)

Pode-se concluir de modo similar que um zero simplesacarreta uma subida assinttica na amplitude de 20dB/dcada (ou 6 dB/oitava), a partir da freqnciarespectiva do plo e 90 graus na fase

Um zero duplo acarreta o mesmo efeito porm com umataxa de 40 dB/dec e 180 graus na fase

O mesmo ocorre para um zero complexo devido ao parconjugado

Pode-se inferir 20*n dB/dec de taxa para um zero deordem n e 90*n graus na fase

Novamente, os resultados podem ser tambmencontrados fazendo-se e calculando-se omdulo e a fase respectiva da funo de transferncia

s =


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Ressaltando asRessaltando asassassntotasntotas

Observa-se

a existnciade trsassntotas:

- para baixas

freqncias- ao passar

pela plo

- ao passarpelo zero


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Diagrama de Bode Sistemas em SDiagrama de Bode Sistemas em Srierie

Seja o sistema P(s) formado por vrios sistemas deprimeira ordem em serie

Para temos


+

+

+=

111)( 0

2

0

1

0 21

s

K

s

K

s

KsP

n

n

L

)()(111

)( 0

2

0

1

0 21

=

+

+

+= M

j

K

j

K

j

KjP

n

nL

js =

( )( ) ( )22222220020

111)(

1

1

n

nKKKM

+++=

L

K

=

=n

i

i

1

1 )(tan)(


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GrGrfico dasfico dasAssAssntotasntotasSistemas em SSistemas em Srierie

Portanto a funo mdulo e fase da FTS dada por

A funo Mdulo em dB

que corresponde em dB ao somatrio dos mdulos decada sistema.

( )( ) ( )22222220020

111)(

1

1

n

nKKKM

+++

=L

K

=

=n

i

i

1

1 )(tan)(

( )==

+=n

i

n

i

i iKM1

22

1

0 1log20log20)(


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ExercExercciocio

Obter atravs das assntotas o diagrama de

Bode do sistema abaixo

100101

10000)(

2 ++=

sssP

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