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Controle de Sistemas Mecnicos
Desempenho no domDesempenho no domnio da freqnio da freqnciancia
Desempenho em Freqncia
Representao de FRF Diagrama Linear
Diagramas de Bode Funo de transferncia de fase mnima
Funo de transferncia de fase no-mnima
Diagrama de Nyquist
Diagrama de Nichols
-
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Desempenho em freqDesempenho em freqnciancia
Deseja-se atingir um desempenho que deve
ser especificado tecnicamente em termos daresposta ao sinal padronizado de entradaharmnica
A anlise do desempenho no domnio dafreqncia consiste basicamente na anlise dediagramas de respostas de amplitude e de fase
que representam o comportamento do sistemana resposta a excitaes harmnicas
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
Ferramentas de anFerramentas de anlise no DFlise no DF
H vrios tipos de diagramas que podem ser
usados para expor as diversas caractersticasdessas respostas
Diagramas de Bode (principal ferramenta) Diagramas de Nyquist
Diagramas de Nichols
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DefiniDefinio FT de fase mo FT de fase mnimanima
Uma FT chamada de funo de transferncia
de fase mnima se todos os seus zerosestiverem no lado esquerdo do planocomplexo
chamada de fase no-mnima se existiralgum zero do lado direito do plano complexo
Para duas FTs com zeros iguais em mdulo esinais opostos, o diagrama de amplitude omesmo
-
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Diagramas de BodeDiagramas de Bode
Mtodo mais comum de representao do
comportamento da resposta em freqncia constitudo por dois grficos, o grfico das
amplitudes e o grfico das fases para cada freqnciada excitao harmnica.
O grfico das amplitudes apresentado na unidadedeciBel dB,AdB=10*log10(As/Ae)2= 20*log10(As/Ae)
O grfico das fases apresentado na unidade graus
Ambos tm no eixo horizontal o logaritmo da freqnciaangular (em rad/s)
Corresponde descrio da funo de transfernciacalculada no eixo imaginrio do plano complexo
= js
-
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Exemplo de diagramas de BodeExemplo de diagramas de Bode
Os diagramas ao
lado correspondema uma funo de
transferncia
de segunda ordem10-1 100 101
-30
-20
-10
0
10Diagramas de Bode
Amplitude(dB)
10-1
100
101
-200
-150
-100
-50
0
Freqncia angular (rad/s)
Fa
se(grau)
MatlabMatlab
: bode(: bode(
syssys
))
-
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VantagensVantagens
Existe um meio simples de esboar o
diagrama atravs das assntotas. A multiplicao dos mdulos convertida em
soma em dB.
Para traar o grfico das assntotas necessrio o conhecimento da influencia de: Ganho K
Plos e Zeros simples Plos e Zeros com multiplicidade
Plos e Zeros complexos
-
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Efeito de um ganho KEfeito de um ganho K00
0)( KsP = 100 =K
10)( =sP
Considerando a
funo detransferncia
19
19.5
20
20.5
21
Magnitude(dB)
100
101
-1
-0.5
0
0.5
1
Phas
e(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-
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Efeito de um pEfeito de um plo em zerolo em zero
s
KsP
0)( =1
1
0 =
=
K
ssP
1)( =
-20
-15
-10
-5
0
5
Magnitude(dB)
100
101
-91
-90.5
-90
-89.5
-89
Phas
e(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Considerando a
funo detransferncia
-
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AssAssntotantotaDiagrama de BodeDiagrama de Bode
Dada a FT de um SPO com plo em zero
A funo mdulo e fase da FTS dada por
A funo mdulo em dB fica
0)(
KM =
)()()( 0
== Mj
KjP
js =
2)
0(tan)(
1 ==
log20log20log20)( 00 =
=
KKM
s
KsP
0)( =
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
VisualizaVisualizao das equao das equaeses
100 =K
0log20)1( KM ==
log20log20)( 0 =K
M
2)( =
log20log20log20)( 00 =
=
KKM
-
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Efeito de um pEfeito de um plo genlo genricorico
Considerandoa funo detransferncia
1
)( 0
+
=s
KsP
1
1
0 =
=
K
1
1)(
+
=s
sP
-
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GrGrfico dasfico dasAssAssntotasntotas
Dada a FT de um SPO, pode-se obter a FTS
A funo mdulo e fase da FTS dada por
A funo mdulo em dB fica
1)( 0
+=
s
KsP
22
0
1)(
+=
KM
)()(1
)( 0
=+
= Mj
KjP
js =
)(tan)( 1 =
+=
22
0
1log*20)(
KM
-
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AssAssntotasntotasBaixa FreqBaixa Freqnciancia
Caso a) Para 1111 22
-
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AssAssntotasntotasAltas FreqAltas Freqnciasncias
Caso b) Para
log20log20log20)( 0 = KM
Altas freqAltas freqnciasncias
111 2222 >>+>>
)log(*20log*201
log*20)( 022
0
+
= KKM
log20log20)( 0 =K
M
0log20)( KM =
-
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Cruzamento dasCruzamento dasAssAssntotasntotas
Calcula-se o valor de no cruzamento das duas curvas
log20log20)( 0 = KM0log20)( KM =
log20log20log20log20 00 = KK
log20log20 =1log20log20 =
1
=
1=
MMdulo do pdulo do plolo
-
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AssAssntotasntotas da faseda fase
Calcula-se a fase em :
2)(tan
4)1(tan10)0(tan0
1
1
1
===
======
=
;1
;0
10-2
10-1
100
101
102
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0=
4=
2=
)(tan)(1
=
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
Efeito de um pEfeito de um plo complexo genlo complexo genricorico
Considerando a
funo detransferncia
22
2
0
2
)(nn
n
ss
KsP
++
=
-40
-30
-20
-10
0
10
20
M
agnitude(dB)
10-1
100
101
-180
-135
-90
-45
0
Phase(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
GrGrfico dasfico dasAssAssntotasntotas
Dada a FT de um SSO, pode-se obter a FTS
A funo mdulo e fase da FTS dada por
A funo mdulo em dB fica
222222
2
0
4)()(
nn
nKM+
=
)()(2
)(22
2
0
=
+= M
j
KjP
nn
njs =
)2
(tan)(22
1
=
n
n
+=
222222
2
0
4)(log20)(
nn
nKM
22
2
0
2)(
nn
n
ss
KsP
++=
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
AssAssntotasntotasBaixa FreqBaixa Freqnciancia
Caso a) Para n
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
AssAssntotasntotasAltas FreqAltas Freqnciasncias
Caso b) Para Altas freqAltas freqnciasnciasn>>
22
0222222
20 log20log204)(
log20)(
=
+
= nnn
n KKM
10-1
100
101
-40
-30
-20
-10
0
10
20 log40log20)( 20 = nKM
log40log20)( 20 = nKM
0log20)( KM =
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
Cruzamento dasCruzamento dasAssAssntotasntotas
Calcula-se o valor de no cruzamento das duas curvas
log*40log*20log*202
00 = nKK
log*40log*40 = n
n=
log*40log*20)( 20 = nKM0log20)( KM =
10-1
100
101
-40
-30
-20
-10
0
10
20
n=
log*40log*200 2 = n
MMdulo do pdulo do plolo
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
AssAssntotasntotas da faseda fase
Calcula-se a fase em :
===
======
)0(tan
2)(tan0)0(tan0
1
1
1
n
)
2
(tan)( 221
=
n
n
10-1
100
101
-180
-150
-120
-90
-60
-30
00
= ;;0 n
0=
2=
=
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
Efeito de um pEfeito de um plo duplo em zerolo duplo em zero
Considerando
a funo detransferncia
P(s)=1/s2
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
Efeito de um pEfeito de um plo duplo genlo duplo genricorico
Considerando
a funo detransferncia
P(s)=1/(s+1)2
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
Efeito devido a pEfeito devido a plos (plos (plos no SPE)los no SPE)
Pode-se concluir pela observao dos diagramas anterioresque um plo simples acarreta uma queda assinttica naamplitude de 20 dB/dcada (ou 6 dB/oitava), a partir dafreqncia respectiva do plo e -90 graus na fase
Um plo duplo acarreta o mesmo efeito porm com uma taxade 40 dB/dec e 180 graus na fase
O mesmo ocorre para um plo complexo devido ao parconjugado
Pode-se inferir 20*n dB/dec de taxa para um plo de ordem n e-90*n graus na fase
Os mesmos resultados podem ser facilmente encontradosfazendo-se e calculando-se o mdulo e a faserespectiva da funo de transferncia
js =
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
Efeito de um zero em zeroEfeito de um zero em zero
Considerando
a funo detransferncia
P(s)=s
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
Efeito de um zero genEfeito de um zero genricorico
Considerando
a funo detransferncia
P(s)=s+1
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
Efeito de um zero duplo em zeroEfeito de um zero duplo em zero
Considerando
a funo detransferncia
P(s)=s2
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
Efeito de um zero duplo genEfeito de um zero duplo genricorico
Considerando
a funo detransferncia
P(s)=(s+1)2
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
Efeito devido a zeros (zeros no SPE)Efeito devido a zeros (zeros no SPE)
Pode-se concluir de modo similar que um zero simplesacarreta uma subida assinttica na amplitude de 20dB/dcada (ou 6 dB/oitava), a partir da freqnciarespectiva do plo e 90 graus na fase
Um zero duplo acarreta o mesmo efeito porm com umataxa de 40 dB/dec e 180 graus na fase
O mesmo ocorre para um zero complexo devido ao parconjugado
Pode-se inferir 20*n dB/dec de taxa para um zero deordem n e 90*n graus na fase
Novamente, os resultados podem ser tambmencontrados fazendo-se e calculando-se omdulo e a fase respectiva da funo de transferncia
s =
-
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-
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Controle de Sistemas Mecnicos
Ressaltando asRessaltando asassassntotasntotas
Observa-se
a existnciade trsassntotas:
- para baixas
freqncias- ao passar
pela plo
- ao passarpelo zero
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
Diagrama de Bode Sistemas em SDiagrama de Bode Sistemas em Srierie
Seja o sistema P(s) formado por vrios sistemas deprimeira ordem em serie
Para temos
A funo mdulo e fase da FTS dada por
+
+
+=
111)( 0
2
0
1
0 21
s
K
s
K
s
KsP
n
n
L
)()(111
)( 0
2
0
1
0 21
=
+
+
+= M
j
K
j
K
j
KjP
n
nL
js =
( )( ) ( )22222220020
111)(
1
1
n
nKKKM
+++=
L
K
=
=n
i
i
1
1 )(tan)(
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
GrGrfico dasfico dasAssAssntotasntotasSistemas em SSistemas em Srierie
Portanto a funo mdulo e fase da FTS dada por
A funo Mdulo em dB
que corresponde em dB ao somatrio dos mdulos decada sistema.
( )( ) ( )22222220020
111)(
1
1
n
nKKKM
+++
=L
K
=
=n
i
i
1
1 )(tan)(
( )==
+=n
i
n
i
i iKM1
22
1
0 1log20log20)(
-
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Controle de Sistemas Mecnicos
ExercExercciocio
Obter atravs das assntotas o diagrama de
Bode do sistema abaixo
100101
10000)(
2 ++=
sssP