3º ano – 2º semestre –...

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2005/2006 1/Cap.9Novembro.2005

RESPOSTA EM FREQUÊNCIA

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

CONTROLO3º ano – 2º semestre – 2005/2006

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)

Transparências de apoio às aulas teóricas

Capítulo 9 – Diagrama de Bode e Relação Tempo-Frequência

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos

autores

Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal

Setembro de 2001revistas em Março de 2002 e

Novembro de 2004

A definição de Função Resposta em Frequência e o traçado do diagrama de Bode consideram-se conhecimentos já adquiridos pelos alunos. As respectivas

transparências incluem-se neste conjunto para o manter self-contained embora não tenham sido apresentadas nas aulas teóricas.



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Resposta em Frequência

• O que é o estudo da Resposta em Frequência de um SLIT?– Análise da resposta a uma entrada sinusoidal

Resultados de um teste com um 2CV numa estrada de perfil sinusoidal, com velocidades crescentes:

• Até 30Km/h as oscilações de posição do condutor e da via são semelhantes, i.e., quando o piso sobe o condutor sobe e vice-versa,

• Por volta dos 70Km/h a amplitude das oscilações ao nível do condutor é muito maior do que a amplitude do perfil da via,

• A 80/85Km a amplitude das oscilações é semelhante à observada a 70Km/h; no entanto, a diferença de fase é da ordem dos 180º, i.e., quando a estrada se eleva o condutor vai assento abaixo, quando a estrada vai abaixo o condutor bate com a cabeça no tejadilho,

• A 150Km/h as oscilações ao nível do condutor são quase imperceptíveis, pelo que a condução se torna bastante agradável !

Figura retirada de Análise de Sistemas Lineares, M. Isabel

Ribeiro, IST Press, 2001

Reprodução proibida



M

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al

Resposta em Frequênciaconceito (revisão)

G(s)r(t)=A sinw1t y(t)

21

21

sA

)s(Rω+

ω= )s(G

sA

)s(Y 21

21

ω+

ω=

� entrada sinusoidal� como é a componente forçada da resposta ?

)ps()ps)(ps()s(N

)s(Gn21 +++

=L

Assumem-se pólos simples sem

perda de generalidade

∑= +

+ω−

+ω+

=n

1i i

i

1

2

1

1

ssR

jsc

jsc

)s(Y

)j(Gj2

A)s(G

jsA

c 1js1

11

1ω−−=

ω−

ω=

ω−=

11js1

12 c)j(G

j2A

)s(Gjs

Ac

1=ω=

ω+

ω=

ω=

tsn

1ii

tj1

tj1

i11 eRe)j(Gj2

Ae)j(G

j2A

)t(y −

=

ωω− ∑+ω+ω−−=

resposta forçada resposta natural

)t(y)t(y)t(y nf += A resposta em frequência de um SLIT analisa a evolução da

componente forçada da resposta a uma entrada sinusoidal.



M

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ibei

ro, A

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asco

al


resposta natural

)t(ye)j(Gj2

Ae)j(G

j2A

)t(y ntj

1tj

111 +ω+ω−−= ωω−

resposta forçada

G(s) – função complexa de variável complexa

)s(Gargje)s(G)s(G =

)j(Gargj11

)j(Gargj11

1

1

e)j(G )j(G

e)j(G)j(Gω

ω−

ω=ω

ω−=ω−

ímpar função )j(Garg

par função )j(G

ω

ω

)j(Gargj11

)j(Gargj11

1

1

e)j(G )j(G

e)j(G)j(Gω

ω−

ω=ω

ω=ω−

−ω=

ω−ω−ωω

j2e.ee.e

)j(GA)t(y)j(Gargjtj)j(Gargjtj

1f

1111

componente forçada da saída

))j(Gargtsin()j(GA)t(y 111f ω+ωω=



M

. Isa

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io P

asco

al


• SLIT contínuo• Excitado por um sinal sinusoidal• A componente forçada da saída é ainda:

– Um sinal sinusoidal com a mesma frequência– Amplitude e fase do sinal de saída relacionadas com a amplitude e fase

do sinal de entrada

G(s)r(t)=A sinw1t yf(t)=A|G(jw1)|sin(w1t+argG(jw1))

sinal de entrada

componente forçada do sinal de saída

desfasagem

• |G(jw1)| - ganho de amplitude para a frequência w1

• arg G(jw1) – desfasagem para a frequência w1



M

. Isa

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io P

asco

al

Função Resposta em Frequência

• Função Resposta em Frequência G(jw)– Função de transferência calculada ao longo do eixo

imaginário

ω==ω

js)s(G)j(G

• Para sistemas causais e estáveis• A Função Resposta em Frequência é a Transformada de

Fourier da Resposta Impulsional

)]t(h[TF)j(G =ω

Representação gráfica da Função Resposta em Frequência

• Que funções é preciso representar ?

• |G(jw)|

• Arg G(jw)• Que tipo de representação

• Diagrama de Bode• Diagrama de Nyquist• Diagrama de Nichols

Estudo da estabilidade de SLITs em cadeia fechada



M

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asco

al

Diagrama de BodeAproximação assimptótica

Representação gráfica da Função Resposta em Frequência• 20 log|G(jw)| como função de w (escala logaritmica)• Arg G(jw) como função de w (escala logaritmica)

2nn21

2nn11

)w/s(w/s21)(s1(s

)w/s(w/s21)(sT1(K)s(G

22

11

+ξ+τ+

+ξ++=

2nn21

2nn11

)w/jw(w/w2j1)(s1(jw

)w/jw(w/w2j1)(jwT1(K)jw(G

22

11

+ξ+τ+

+ξ++=

))w/jw(w/w2j1()s1(jw

))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G

2nn21

2nn11

22

11

+ξ+τ+

+ξ++=

exemplo

função de transferência

função resposta em frequência

Característica de amplitude

quociente de produtos de termos

O diagrama de Bode (amplitude) representa

)jw(Glog20)jw(GdB

=

dB

2nn2dB1dB

dB

2nn1dB1dB

))w/jw(w/w2j1()s1(jw

))w/jw(w/w2j1()jwT1(K)jw(G

22

11

+ξ+−τ+−−

+ξ++++=

soma algébrica de termosCaracterística de fase

))w/jw(w/w2j1arg()s1arg()jwarg(

))w/jw(w/w2j1arg()jwT1arg(K arg)jw(Garg2

nn21

2nn11

22

11

+ξ+−τ+−−

+ξ++++=



M

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asco

al

Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos)

K)s(G =

K)jw(G =

dBdBK)jw(G =

<

>=

0K se º180

0K se º0)jw(Garg

180º

função de transferência

função resposta em frequência



M

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al


s10

)s(G =jw10

)jw(G =

( ) wlog20dB20jw10)jw(GdBdBdB

−=−=

Recta com declive –20dB/década

passando em 0dB para w=1

º900)jwarg()10arg()jw(Garg −=−=

• Qual é o ganho estático deste sistema ?

• Qual é o ganho de baixa frequência ?

• Declive da assímptota ? E se o sistema tivesse dois pólos na origem ?

• Qual é a componente forçada da resposta deste sistema à entrada r(t)=2sin(100t) ?



M

. Isa

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asco

al


sT11

)s(G+

=jwT11

)jw(G+

=

( )2

dBwT1log20)jw(G +−=

1wTT1w <<⇒<<

1wTT1w >>⇒>>

Baixa frequência

Alta frequência

dB01log20)jw(GdB

=−≅

Tlog20wlog20wTlog20)jw(GdB

−−=−≅

Recta com declive –20dB/década passando em 0dB para w=1/T

assímptota de baixa frequência

assímptota de alta frequência

característica de amplitude

)wT(arctg)jwT1arg()jw(Garg −=+−=

1wTT1w <<⇒<<

1wTT1w >>⇒>>

Baixa frequência

Alta frequência

º0)jw(Garg ≅

2)jw(Garg

π−≅

característica de fase

T1w =4

)jw(Gargπ

−=



M

. Isa

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ro, A

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io P

asco

al


sT11

)s(G+

=jwT11

)jw(G+

=

T=0.5Pólo = - 2

w=2rad/s – frequência de corte do pólo

- 20dB/dec0 dB/dec

assimptota de baixa frequênciaassimptota de alta frequência

0º

- 45º

- 90º



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


sT11

)s(G+

=jwT11

)jw(G+

=

Um pólo de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma década

antes a uma década depois, de 0º a –90ºpassando a –45º na frequência de corte.

T=0.5Pólo = - 2

T1

w =dB32log20)wT(1log20)jw(G 2

dB−=−=+−=

3dB

2 200.2

2 200.2

º45)j1arg()jw(Garg −=+−=

T101

w = º71.510j1arg)jw(Garg −=

+−=

T10

w = ( ) º71.5º90j101arg)jw(Garg +−=+−=

5.71º

5.71º



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Diagrama de BodeLargura de Banda – Relação Tempo-Frequência

Largura de Banda (a 3dB)

• Banda de frequência na qual o módulo da função resposta em frequência não cai mais de 3dB em relação ao ganho de baixa frequência.

• A Largura de Banda traduz a capacidade de um sistema reproduzir mais ou menos perfeitamente os sinais aplicados à sua entrada

Ko

Ko-3dB

wwBW

Num SLIT de 1ªordem, sem zeros,

Largura de Banda =frequência de corte do pólo

LB=2rad/s



M

. Isa

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asco

al

Diagrama de BodeLargura de Banda – Relação Tempo-Frequência

1

11 ws

w)s(G

+=

2

22 ws

w)s(G

+=

12 ww >

ganho estático unitário

w1 w2

1/w11/w2

Largura de banda maior

Resposta mais rápida



M

. Isa

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asco

al

Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo

2)5s(250

)s(G+

=

• Ganho estático ?• Declive da

• Assimptota de baixa frequência• Assimptota de alta frequência

• Fase para • Baixas frequências• Altas frequências

PERGUNTAS

RESPOSTAS

• Ganho estático = G(s)|s=0 = 10 = 20dB• Declive da

• Assimptota de baixa frequência• O sistema não tem pólos nem zeros na origem• declive = 0db/dec

• Assimptota de alta frequência• # pólos - # zeros = 2• declive = -40dB/dec = 2 * (-20dB/dec)

• Fase para • Baixas frequências

• Sistema é de fase mínima• Sistema não tem pólos e zeros na origem• Fase para é igual a 0º

• Altas frequências• Sistema é de fase mínima• # pólos - # zeros = 2• Fase para é igual a –180º

s/rad 0w →

∞→w

A contribuição para a amplitude e para a fase de um pólo duplo é a soma das contribuições

de dois pólos reais simples.



M

. Isa

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asco

al

Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo duplo

2)5s(250

)s(G+

=

2)5s(250

)s(G+

=2

5s

1

10)s(G

+

=

forma das constantes de

tempo

Deste modo a assimptota de baixa frequência correspondente ao pólo duplo passa em 0dB

6dB

-90º

2*5.71º

2*5.71º

-180º



M

. Isa

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asco

al

Diagrama de BodeRelação Tempo Frequência

22 )5s(250

)s(G+

=)5s(

50)s(G1

+=

Sistema de 1ª ordemPólo real simples em –5Ganho estático = 10

Sistema de 2ª ordemPólo real duplo em –5Ganho estático = 10

• Qual dos dois sistemas tem a maior largura de banda?• Qual dos dois sistemas é mais rápido ?

Sistema 1 Sistema 2

Resposta a uma entrada escalãoCaracterística de amplitude junto da frequência de corte

s/rad 5LB1 =

s/rad 15.3LB2 ≅



M

. Isa

bel R

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ro, A

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asco

al

Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólo na origem e pólos reais não nulos

)100s)(10s(s100

)s(G++

=• Ganho estático ?

3 pólos

0 zeros

Assimptota de alta frequência com declive de

3*(-20) = - 60dB/dec

)100/s1)(10/s1(s1.0

)s(G++

=

0.1 1 10 100 1000

- 20

- 40

- 60

- 80

- 100

- 90º

- 180º

- 270º

0º



M

. Isa

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al

Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) - – pólo na origem e pólos reais não nulos

)100s)(10s(s100

)s(G++

=• Ganho estático ?

3 pólos

0 zeros

Assimptota de alta frequência com declive de

3*(-20) = - 60dB/dec

)100/s1)(10/s1(s1.0

)s(G++

=

0.1 1 10 100 1000

- 20

- 40

- 60

- 80

- 100

- 90º

- 180º

- 270º

0º



M

. Isa

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asco

al

+ 20dB/dec

45º

90º

3dB


• Qual é a contribuição de um factor do tipo (1+jwT) ?� Características assimptóticas de amplitude e fase simétricas

relativamente às obtidas para um pólo real com a mesma frequência de corte

T=0.1

Um zero de multiplicidade 1 contribui para a fase total com um ângulo que varia, de uma década

antes a uma década depois, de 0º a 90ºpassando a +45º na frequência de corte.

20

2)wT(1log20jwT1log20 +=+

1wT >> Tlog20wlog20)wTlog(20)wT(1log20 2 +=≅+

frequência de corte do zero



M

. Isa

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asco

al

Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – um pólo e um zero reais

)1.0s()10s(1.0

)s(G+

+=

- 90º

90º

45º

0º

0.01 0.1 1 10 100 w (rad/s)

20dB

40dB

-20dB

-40dB

-20dB/dec

contribuição do zero

ganho estático

Excesso pólos-zeros = 0

Assimptota de alta frequência com declive nulo

- 45º

0.01 0.1 1 10 100 w (rad/s)

Não há pólos nem zeros na origem

A fase para muito baixa freq. é nulaExcesso pólos-zeros = 0

A fase para muito alta freq. é nula



M

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asco

al

Diagrama de BodeRelação Tempo-Frequência

• Ganho de Baixa Frequência

00wK)jw(Glim =

→ganho estático do sistema

y(t)lim)s(G limKt0s0

∞→→==

Para uma entrada escalão unitárioGanho da

Resposta em Frequência àfrequência w=0

2)1s(s

)s(G+

=2)1s(

1)s(G

+=

+20dB/dec-20dB/dec

-40dB/dec

1 100.1 0.1 1 100dB0dB

-20dB -20dB

-40dB-40dB



M

. Isa

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al

Diagrama de BodeAproximação assimptótica (exemplos) – pólos complexos

2nn

2

2n

wsw2sw

)s(G+ζ+

=ganho estático unitário

2

nn ww

ww

2j1

1)jw(G

−ζ+

=

2

nndB w

www

2j1 log20)jw(G

−ζ+−=

Característica de amplitude

2

n

2

2n

2

dB ww

2ww

1log20)jw(G

ζ+

−−=

nww <<

nww >>

dB0)jw(GdB

≅ Assimptota de baixa frequência

2

n

2

2n

2

dB ww

2ww

log20)jw(G

ζ+

−≅

10 <ζ≤

n

2

n ww

log40ww

log20 −=

−≅

Assimptota de alta

frequência

Declive de –40dB/dec

passando em 0dB para w=wn

w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


2nn

2

2n

wsw2sw

)s(G+ζ+

=

10 <ζ≤

1.0=ζ

2.0=ζ

3.0=ζ

5.0=ζ

22707.0 ==ζ

707.00 <ζ<Para a característica real apresenta um pico de ressonânica

2nr 21ww ζ−= frequência de ressonância

nr w w 0 →⇒→ζnr ww <



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


2nn

2

2n

wsw2sw

)s(G+ζ+

=

10 <ζ≤

1.0=ζ

2.0=ζ

3.0=ζ

5.0=ζ

22707.0 ==ζ

707.00 <ζ<Para a característica real apresenta um pico de ressonânica

2nr 21ww ζ−=

2r12

1)jw(G

ζ−ζ=

1=ζ

dB6

ζ=

21

)jw(G n

em unidades lineares, numa situação de ganho estático unitário

Para embora haja sobreelevação na resposta no tempo não há ressonância na resposta em frequência

707.0>ζ



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


2nn

2

2n

wsw2sw

)s(G+ζ+

=

2

nn ww

ww

2j1

1)jw(G

−ζ+

=

212

n

n

ww

1

ww

2arctg)jw(Garg θ−θ−=

−

ζ

−=

Característica de fase

nww <<

nww >>

10 <ζ≤

w=wn é a frequência de corte associada ao par de pólos complexos conjugados

)jww2s)(jww2s(w

)s(Gdndn

2n

−ζ++ζ+=

σ

jw

njw

1jwθ1

θ2

º0)jw(Garg ≅

º180)jw(Garg −≅

nww = º90)jw(Garg −=



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al


2nn

2

2n

wsw2sw

)s(G+ζ+

=

2

nn ww

ww

2j1

1)jw(G

−ζ+

=

10 <ζ≤

)jww2s)(jww2s(w

)s(Gdndn

2n

−ζ++ζ+=

1.0=ζ

2.0=ζ

3.0=ζ

5.0=ζ

22707.0 ==ζ

1=ζ

0=ζComo são os diagramas de amplitude e fase para ?

Como é o diagrama de Bode (amplitude e fase) para um par de zeros compexos conjugados?



M

. Isa

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ro, A

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al

Diagrama de BodeSistema com pólos complexos – Tacoma Narrows Bridge

http://cee.carleton.ca/Exhibits/Tacoma_Narrows/http://maclab.alfred.edu/students/harttm/default.htmlhttp://www.urbanlegends.com/science/bridge_resonance.html

Tacoma Narrows• em Puget Sound, junta da localidade de Tacoma, Washington

• Ponte suspensa aberta ao tráfego só alguns meses• Em 7.Nov.1940 a ponte caiu pelo efeito de forças que nela actuavam, em

particular do vento

• O efeito do vento induziu uma excitação na frequência natural do sistema

• O sistema tinha um comportamento (macro) como o de um sistema de 2ª ordem com pólos complexos conjugados



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Diagrama de BodeSistemas de Fase Não Mínima

1s10s

)s(G1+

+=

1s10s

)s(G2+

−=

sistema de fase mínima sistema de fase não mínima

jw110w

j1.10)jw(G1

+

+=

jw110w

j1.10)jw(G2

+

−−=

2

2

21w1

10w

1.10)jw(G)jw(G

+

+

==

a mesma característica de

amplitude

)w(arctg10w

arctg)jw(Garg 1 −

= )w(arctg

10w

arctgº180)jw(Garg 2 −

−+=

zθpθ pθ

zθ

pz1 )jw(Garg θ−θ=pz2 )jw(Garg θ−θ=

- 90º

0º

90º0.1 1 10 100

- 90º

0º

90º0.1 1 10 100

180º

-10 -1 -1 10



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Diagrama de BodeSistemas de Fase Não Mínima

1s10s

)s(G1+

+=

1s10s

)s(G2+

−=

sistema de fase mínima sistema de fase não mínima



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Diagrama de BodeIdentificação de Sistemas

• 3 SLITs• Todos com a mesma característica de amplitude• Características de fase distintas

Sistema 1

Sistema 2

Sistema 3



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Diagrama de BodeIdentificação de Sistemas

• 3 SLITs• Todos com a mesma característica de amplitude• Características de fase distintas

Sistema 2

( )10s1s

10)s(G±

±±=

Sistema 1

Sistema 3

10s1s

10)s(G1+

−=

10s1s

10)s(G2−

+−=

10s1s

10)s(G3+

+=



M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

Diagrama de BodePólos dominantes e não dominantes

)25s4s)(as(a*25

)s(G 2 +++=

)25s4s(25

)s(G 2 ++=

a=1a=3

a=8

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M

. Isa

bel R

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Diagrama de BodePólos dominantes e não dominantes

2nnp

2

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2

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2n

pp

zz

z

p

wsw2s

wsw2s

w

w)s(G

+ζ+

+ζ+= Sistema 1 1 0.2 1 0.5

Sistema 2 1 0.7 1 0.5Sistema 3 1 0.5 1.2 0.5Sistema 4 1.2 0.5 1 0.5

pnzn w wpz

ζζ

identifique os sistemas

3º ano – 2º semestre –...

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