1CPV ESPMJUl2011

MateMtiCa

21. O valor da expresso 2 12 1

2 12 1

+

+

igual a:

a) 22 b) 22 c) 0 d) 42 e) 42

Resoluo:

2 12 1

2 12 1

2 1 2 1

2 1 2 1

2 2

+

+

=

( ) +( )+( ) ( )

=.

= + + +( )

( ) =

=

2 2 2 1 2 2 2 1

2 1

3 2 2 3 2 22 12 2

= -4 21

= 42

Alternativa E

22. O determinante x y x yy xy x y

+

01

2 0 pode ser expresso por:

a) (x y)2 b) x2 y2 c) (x + y)2 d) x + y e) x y

Resoluo:

x y x yy xy x y

+

01

2 0 = x2 y2 2xy + 2y2 = x2 2xy + y2 =

= (x y)2

Alternativa A

23. Certa vez, o menino Antnio disse a seu pai que tinha inventado um nmero muito grande.

Indagado sobre o valor desse nmero, que ele chamou de mictilho, Antnio respondeu:

No tem o milho? Ento, o milho 1, o bilho 2, o trilho 3, o mictilho 1000.

De acordo com a explicao do menino, podemos concluir que 1 mictilho igual a:

a) 103030 b) 101003 c) 103001 d) 103300 e) 103003

Resoluo:

1 milho = 106 = a1 1 bilho = 109 = a2 1 trilho = 1012 = a3 1 mictilho = a1000

Assim, temos uma PG cujo 1o termo 106 e cuja razo 103, logo:

1 mictilho = a1000 = 106 . (103)999 = 106 . 102997 = 103003

Alternativa E

Prova resolvida eSPM 03/julho/2011 Prova eCPV 82% de aProvao na eSPM em 2010

ESPM 03/07/2011 CPV esPeCializado na esPM2

CPV ESPMJUl2011

24. Um tringulo retngulo se diz pitagrico se as medidas dos seus lados so expressas por nmeros inteiros, numa certa unidade. Se um dos catetos de um tringulo pitagrico mede 11 cm, seu permetro ser igual a:

a) 192 cm b) 132 cm c) 151 cm d) 125 cm e) 137 cm Resoluo:

Seja o tringulo retngulo:

y2 = 112 + x2 y2 x2 = 121 (y x) (y + x) = 121

Como as medidas dos seus lados so nmeros inteiros, temos que:

y xy x

yx

=+ =

==

1121

6160

ou

y xy x

yx no convm

=+ =

=

= ( )

1111

110

Portanto, o permetro 11 + 60 + 61 = 132 cmAlternativa B

25. Um nmero natural possui 3 algarismos. Retirando-se o algarismo 0 desse nmero e mantendo-se a ordem dos outros dois, seu valor se reduz sexta parte do original.

A soma dos algarismos desse nmero igual a:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 Resoluo:

Um nmero de trs algarismos contendo o 0 pode ser escrito de duas formas: a0b ou ab0. Assim,

ab0 = 6 ab 100a + 10b = 6 (10a + b) 100a + 10b = 60a + 6b 40a = 4b 10a = b (no convm)

a0b = 6 ab 100a + b = 6 (10a + b) 100a + b = 60a + 6b 40a = 5b 8a = b

Como a e b so algarismos de 0 a 9, temos a = 1 e b = 8.

Portanto esse nmero 108 e a soma de seus algarismos 1 + 0 + 8 = 9

Alternativa D

yx

11

26. Uma planta cresce 3 mm por dia. Se num domingo sua altura era de 3 cm, podemos concluir que ela atingir a altura de 27 cm numa:

a) 2a f b) 3a f c) 4a f d) 5a f e) 6a f

Resoluo:

D S T Q Q S S

30 33 36 39

1 2 3 4

mm mm mm cma a a a

A sequncia obtida uma PA de 1o termo 30 mm e razo 3mm.

Assim:

an = a1 + (n 1) r 270 = 30 + (n 1) . 3 n = 81 dias

Como a semana tem 7 dias, temos 81 = 7 . 11 + 4, ou seja, a planta atingir 27 cm na 4a feira.

Alternativa C

27. Se o nmero de lados de um polgono convexo fosse acrescido de 3 unidades, seu nmero de diagonais triplicaria.

Podemosafirmarqueasomadosngulos internosdessepolgono igual a:

a) 720 b) 900 c) 1080 d) 1200 e) 1800

Resoluo:

O nmero d de diagonais em funo do nmero n de lados de um polgono dado por:

d

n n=

( )32

Se aumentarmos o nmero de lados em 3 unidades, triplicamos o nmero de diagonais. Portanto:

3d = n n+( ) + ( )3 3 3

2

3 3

232

. n n n n( )=

+( ) ( )

de onde obtemos n = 6.

A soma dos ngulos internos dada por:

S = 180 (n 2) = 180 (6 2)

S = 720Alternativa A

3CPV esPeCializado na esPM ESPM 03/07/2011

ESPMJUl2011 CPV

28. Nafiguraabaixo,asretasr e s so paralelas e AB = AC.

O valor de x igual a:

a) 120 b) 135 c) 140 d) 150 e) 165

Resoluo:

Temos:

NotringuloABC: 5+2+2=180 9=180 =20

Deondeobtemos x=1802 x = 180 2 (20) x = 140

Alternativa C

29. Na figura abaixo, o quadrado ABCD est inscrito nosemicrculo de centro O e dimetro HG.

A razo entre as reas do retngulo EFGH e do quadrado ABCD igual a:

a) 2 b) 3 c) 2,5 d) 22 e) 5

2 2

Resoluo:

Temos:

No tringulo BOC, temos: R2 = l2 + l

2

2 R =

l 52

AA

REFGHABCD

= = =2 2

52

2. .l

l

l

l

5

Alternativa E

30. Afiguraabaixomostraosgrficosdasfunesdo1o grau f(x) e g(x) no plano cartesiano. A funo gof(x) pode ser representada por uma reta cujo coeficiente angular (oudeclividade) igual a:

a) 4 b) 2 c) 1 d) 1 e) 2

Resoluo:

A funo f(x) = x2 + 1 tem declividade mf =

12

epassapeloponto(2;2),comumsfunesf e g.

A funo g(x) tem declividade mg = -1mf

= 2.

A funo g(x) pode ser escrita na forma diferencial como:

g(x) 2 = 2 (x 2) g(x) = 2x + 4

Ento, temos:

(gof) (x) = g (f (x)) = 2x +

2

2 + 4 =

= x 2 + 4 = x + 2,

cujadeclividadeoucoeficienteangularocoeficientedex, ou seja: 1.

Alternativa D

2R

ll l

R

l

2

ESPM 03/07/2011 CPV esPeCializado na esPM4

CPV ESPMJUl2011

31. No plano cartesiano de origem O, a reta de equao 2x + y 10 = 0 intercepta a circunferncia de equao x2 + y2 = 25 nos pontos A e B.

A rea do tringulo OAB igual a:

a) 10 b) 12 c) 8 d) 5 e) 15 Resoluo:

Observando-seafiguraaseguir

percebe-se que OM a distncia do centro (0; 0) da circunferncia reta 2x + y 10 = 0, ou seja:

OM = 2 0 0 10

2 12 5

2 2

. +

+=

Aplicando o Teorema de Pitgoras ao tringulo OMB:

OM2 + MB2 = OB2 20 + MB2 = 25 MB = 5

A rea do tringulo OAB dada por:

AB OM. .

22 5 2 5

2= = 10

Alternativa A

32. Porcausadelimitaesdomercado,opreounitriodeumacerta mercadoria pode variar de 15 a 30 reais. Quando se cobram x reais por unidade, so vendidas 86 2x unidades por dia. Dessa forma, podemos concluir que a mxima receita diria seria obtida para um preo unitrio de:

a) R$ 18,50 b) R$ 21,50 c) R$ 16,00 d) R$ 20,00 e) R$ 23,50

Resoluo:

A funo que d a receita, em reais, dada por

R(x) = x . (86 2x) = 2x2 + 86x.

Seu valor mximo dado para

x = xV = =

( )

=ba2

862 2. R$ 21,50

Alternativa B

2x + y 10 = 0

O (0; 0)

55

MB

A

33. Durante uma temporada, constatou-se que a temperatura mdia numa cidade variava segundo a funo

y = 24 + 8 . senx 12

23

, em que

xahoradodia(0x 0 :

a) y = log2 x b) y = 2 . log2 x c) y = log2 (x

2 + 1) d) y = log2 (2x

2) e) y = 1 + log2 x

Resoluo:

Temos que:

x = 2t

log2

x = t y = 2t + 1 y = 2 . log2 x + 1 y = log 2 x

2 + log22 \ y = log2 (2x

2)

Alternativa D

37. Uma escola de lnguas apresenta a seguinte distribuio de professores por sexo e rea:

Ingls Alemo EspanholHomens 4 1 3Mulheres 5 3 3

Uma equipe de 6 professores ser formada do seguinte modo: 1 coordenador geral, do sexo masculino, 2 professoras de Ingls, 1 professora de Alemo e 2 professoras de Espanhol.

O nmero de maneiras diferentes para se formar essa equipe igual a:

a) 240 b) 280 c) 630 d) 480 e) 720

Resoluo:

CG() ingls() alemo() espanhol()

C8,1 . C5,2 . C3,1 . C3,2

8 . 5 42. . 3 . 3 2

2. = 720 equipes

Alternativa E

38. A empresa de turismo contratada para a viagem de formatura das terceiras sries de um colgio resolveu presentear 3 alunos com passagens gratuitas. Inicialmente, a comisso de formatura iria sortear 1 aluno por classe, mas depois resolveu sortear 3 alunos entre o total de formandos.

A classe de Cludia tem x alunos e as outras duas tm, juntas, 77 alunos. Da primeira maneira para a segunda, Cludia viu sua chance de ganhar reduzida em 20%.

O nmero x igual a:

a) 25 b) 37 c) 28 d) 42 e) 34

Resoluo:

Probabilidade de Cludia ganhar da 1a maneira: 1x

Probabilidade de Cludia ganhar da 2a maneira: 377x +

Como a probabilidade de Cludia ganhar da segunda maneira reduzida em 20% em relao primeira, temos:

1x

. (1 0,2) = 377x + x = 28

Alternativa C

ESPM 03/07/2011 CPV esPeCializado na esPM6

CPV ESPMJUl2011

39. Seja f: uma funo no identicamente nula, tal que

f (a) . f (b) = f a b f a b+( )+ ( )

2 Pode-se concluir que f (0) igual a:

a) 0 b) 1 c) 1 d) 2 e) 2

Resoluo:

Sendo a e b = 0, temos:

f (a) . f (0) = f a f a+( )+ ( )0 0

2

f (a) . f (0) = 22f a( )

= f (a)

f (a) . f (0) f (a) = 0

f (a) . [f (0) 1] = 0

f (0) = 1 ou f (a) = 0

Como a funo no identicamente nula, f (a) = 0 (no convm).

Portanto, f (0) = 1. Alternativa B

40. Considereasequnciadenmerosnaturaisdefinidapor:

aa a nn n1

1

1== +

+ , com n *.

Pode-seafirmarqueo100o termo dessa sequncia :

a) 4951 b) 5249 c) 3781 d) 2957 e) 6799

Resoluo:

a1 = 1 a2 = a1 + 1 a3 = a2 + 2 = a1 + 1 + 2 a4 = a3 + 3 = a1 + 1 + 2 +3 a5 = a4 + 4 = a1 + 1 + 2 + 3 + 4

a100 = a1 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99

Como 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 = 1 99 99

2+( )

= 4950, temos

a100 = a1 + 4950 = 1 + 4950 = 4951Alternativa A

CoMentrio do CPV da ProVa de MateMtiCa

A prova de Matemtica Vestibular ESPM julho/2011 apresentou questesbastantediretaseobjetivas,comabrangnciadeassuntosem sintonia com as necessidades da Graduao.

Notamos tambm que a prova est mais acessvel, com o nvel dedificuldadeadequadoaoscandidatosmaisbempreparados,oquedeverresultaremumaseleomaisrefinada.

Parabenizamos a Banca Examinadora por mais esta bela prova.